Risoluzione angolare per fotoni di bassa energia con...
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Università degli Studi di Firenze
Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Tesi di laurea in Fisica
Risoluzione angolare per fotoni
di bassa energia con
esperimento GAMMA-400
Tesi di Laurea di
Lorenzo Pacini
Relatore
Prof. Oscar Adriani
Anno accademico 2010/2011
Firenze, 26 Luglio 2011
Indice
Introduzione 1
1 Missione GAMMA-400 2
1.1 Obiettivi scienti�ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Descrizione delle con�gurazione geometriche analizzate . . . . . . . . . 5
1.3 Rivelatori a micro-strisce di silicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Fenomeni �sici alla base del sistema di rilevazione 9
2.1 Creazione di coppie elettrone-positrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Scattering multiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Simulazione di eventi e algoritmo di ricostruzione 14
3.1 Simulazione degli eventi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Algoritmo di ricostruzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4 Analisi della risoluzione angolare 19
4.1 Visualizzazione eventi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 Stima della risoluzione angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.3 Stima a posteriori dell'errore attribuito alla risoluzione angolare . . . . 23
4.4 Risoluzione angolare al variare dell'energia . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.5 E�cienza di conversione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.6 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Bibliogra�a 32
i
Introduzione
Questo lavoro di tesi si inquadra nello studio del futuro esperimento GAMMA-400,
progetto che nasce con lo scopo di misurare lo spettro dei raggi cosmici ed in particolare
di fotoni, elettroni e nuclei leggeri. L'apparato strumentale, che verrà installato su di un
satellite, è stato progettato come un compatto rivelatore nel quale la parte superiore è
adibita alla misura dell'angolo di incidenza dei fotoni, tramite un tracciatore, e la parte
inferiore è adibita alla misura dell'energia dei raggi cosmici, tramite un calorimetro.
Sono attualmente in studio due con�gurazioni dell'apparato. Lo scopo di questo lavoro
di tesi è quello di confrontare il valore della risoluzione angolare, per fotoni di bassa
energia, nelle due possibili con�gurazioni dello strumento.
Per raggiungere tale scopo è stato utilizzato un software di simulazione basato
su GEANT4, necessario per simulare l'interazione dei fotoni con i materiali di cui è
composto il rivelatore, ed un programma di ricostruzione eventi per eseguire l'analisi
dati e stimare la risoluzione angolare [5].
Nel primo capitolo descriverò brevemente l'apparato strumentale e gli obiettivi
scienti�ci di GAMMA-400, concentrandomi maggiormente sulla parte riguardante la
misura dei raggi gamma a basse energie.
Nel secondo sono illustrerò i fenomeni �sici della creazione di coppie elettrone
positrone e dello scattering multiplo che sono i fenomeni che maggiormente in�uiscono
sul funzionamento del rivelatore studiato
Nel terzo capitolo invece descriverò il funzionamento dei programmi usati, facendo
una breve introduzione alla struttura del programma di simulazione, e concentrandomi
maggiormente sull'algoritmo di ricostruzione da me usato e modi�cato.
In�ne nel quarto capitolo capitolo spiegherò come, dalle informazioni forniteci dal
programma di ricostruzione, abbiamo ricavato la risoluzione angolare, con il proprio
errore, e l'andamento di questa in funzione dell'energia.
1
Capitolo 1
Missione GAMMA-400
1.1 Obiettivi scienti�ci
L'esperimento GAMMA-400 è un progetto dedicato allo studio dei raggi cosmici con i
seguenti obiettivi:
• Misura dello spettro di raggi gamma ad alta energia (30 GeV - 1000 GeV)
• Misura dello spettro degli elettroni.
• Misura dello spettro di nuclei con numero atomico inferiore a 26.
I dati saranno raccolti da un rivelatore compatto (chiamato anche telescopio) instal-
lato su di un satellite. La missione, promossa da Roscosmos (Agenzia Spaziale della
Federazione Russa), che provvederà al razzo e al satellite e a cui parteciperà un grup-
po di ricercatori russi, è stata proposta come possibile collaborazione con gli istituti
italiani di ricerca. I gruppi di ricerca dell'esperimento PAMELA delle sezioni INFN
di Trieste, Roma 2 e Firenze hanno espresso interesse ad avviare una collaborazione
con gli ideatori del progetto a partire dal 2009. I parametri principali della missione
(massa totale disponibile per gli apparati scienti�ci 2600 kg, potenza 2 kW e apogeo
dell'orbita del satellite 300000 km) permettono di progettare un esperimento capace
non solo di adempiere a pieno agli obbiettivi originali, ma anche di di estenderli.
Lo schema originale dell'apparato sperimentale era comprendeva due rivelatori: un
tracciatore-convertitore (tracker/converter) nella parte superiore, con il compito di
misurare l'angolo di incidenza dei fotoni di alta energia e un calorimetro a immagine
nella parte inferiore, adibito alla misura dell'energia degli sciami elettromagnetici. Per
2
quanto riguarda la misura dei raggi gamma ad energia di circa 100 GeV la missione
doveva soddisfare due richieste: una risoluzione angolare di 0.01◦ e una precisione nella
misura dell'energia dei fotoni incidenti di circa 1%. Grazie alla collaborazione italiana
sono stati proposti, e sono attualmente in studio, alcuni importanti ampliamenti negli
obiettivi della missione:
• estendere la capacità di misura anche a fotoni gamma di energie più basse (�no
a qualche decina di MeV)
• ottimizzare la con�gurazione geometrica dei rivelatori in modo da ottenere un
accettanza superiore a 1m2sr così da poter misurare ,in qualche anno di presa
dati, il �usso di protoni con energie superiori a 1 PeV e il �usso di nuclei di elio
con energia superiore a 0.5 MeV per nucleone
Per soddisfare la prima richiesta sono state proposte modi�che alla parte superiore
dell'apparato che permette la misura dell'angolo di incidenza e dell'energia dei raggi
gamma sfruttando la creazione di coppie elettrone-positrone dovute all'interazione di
fotoni con il rivelatore stesso.
Sono state prese in considerazione due possibili con�gurazioni per iltracker a basse
energie:
1. Nella prima la zona del telescopio predisposta alla misura dei raggi gamma a
bassa energia è posta sopra il tracker per alte energie ed è composta da circa
20-30 piani di rivelatori di silicio a microstrisce con dimensione passo dell'ordine
di 500 µm e con spessore di circa 300 µm.
2. Nella seconda le zone di alta e bassa energia non sono separate e i piani sensibili
sono alternati da sottili piani di tungsteno.
Il numero esatto dei piani, nelle due con�gurazioni, sarà determinato in base al risul-
tato di studi eseguiti tramite simulazioni e tenendo conto dei parametri della missione
quali il costo, la potenza elettrica disponibile e la massa del dispositivo.
Lo studio dello spettro dei raggi gamma per energie inferiori a 1 GeV è complicato
dal fatto a causa del fatto che fotoni a così basse energie hanno una sezione d'urto
piccola per la produzione di coppie. Una misura con buona risoluzione in questa zona
spettrale fornirebbe interessanti informazioni su sorgenti di raggi cosmici sia galattici
che extra-galattici. Illustrerò brevemente alcuni esempi di sorgenti per le quali lo studio
degli spettri basse energie è importante.
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I resti di supernove (Supernova Remmants o SNR) sono comunemente considerate
le sorgenti galattiche in cui raggi cosmici vengono accelerati �no alle energie della
cosiddetta zona del ginocchio, circa 1015eV [9]. Una conferma di questo processo si
può avere misurando con ottima risoluzione lo spettro dei raggi gamma provenienti da
SNR.I raggi gamma possono infatti essere prodotti dal decadimento di pioni neutri,
che si formano a seguito delle collisioni dovute a protoni accelerati nell'ambiente ricco
di campi elettromagnetici delle SNR. Studiando la cinematica di tali decadimenti si
ricava che lo spettro dei fotoni emessi è simmetrico intorno a mπc2/2 = 67MeV . La
misura di una tale caratteristica dello spettro proveniente da SNR sarebbe una eccel-
lente conferma dei SNR come sorgenti di raggi cosmici. Gli esperimenti più recenti
per la misura dei raggi gamma dallo spazio (Fermi-LAT [2], AGILE [3]) forniscono in
e�etti indicazioni sulla complessità dell'ambiente dei SNR, ma per raggiungere questo
tipo di obiettivo è necessario uno strumento con una miglior risoluzione spaziale anche
per fotoni con bassa energia, come GAMMA-400.
La misura di fotoni a bassa energia è cruciale anche per lo studio dei processi di acceler-
azione di particelle nelle sorgenti Galattiche compatte (micro-quasar [13] e pulsar [11].).
Per quanto riguarda oggetti extra-galattici, GAMMA-400 potrebbe dare un contributo
nello studio del taglio intrinseco nello spettro dei GRB che potrebbe spiegare la man-
canza delle alte energie negli spettri dei GBR riscontrati da AGILE e Fermi-LAT [?].
Inoltre l'interazione dei raggi gamma con la materia circostante la sorgente può pro-
durre linee di assorbimento misurabili da GAMMA-400; per quanto riguarda questo
aspetto le misure eseguite da Fermi sono limitate a 100 MeV. In�ne anche l'emissione
dei raggi gamma nel corso dei brillamenti solari potrebbe essere misurata durante il
prossimo ciclo solare.
Non sono al momento previste altre missioni che possano coprire la zona di basse
energia che GAMMA-400 sarà in grado di misurare. Grazie ad una maggiore granu-
larità sia trasversale che longitudinale, lo strumento potrà ampliare gli spettri anche
per energie inferiori ai 30MeV , dove Fermi-LAT e AGILE sono limitate a causa dello
scattering multiplo e della piccola area e�cace. Lo scopo di questo lavoro di tesi è
quello di studiare la risoluzione angolare per fotoni di bassa energia, confrontando due
possibili con�gurazioni del tracker/converter, analizzando gli eventi generati tramite
4
TRK upTOF1
Target calorimeter TCAL ~0.9 Xo
~ 50cm
~ 60cm
Geometry schema GEOV02R00
AC
TRK middle
AC 2 scintillator layers 120x120x0.5 cm3
TOP TRK 30 planes at ~2cm from each other.Each plane two layers of SiSi-X (300µm) and Si-Y ( 300µm)
TCAL: 2 planes BGO cristals tot thickness 1cm ~.9Xo
TRK up a Si double sided plane with 10x10 tilesTOFS1 2 layers 100x100x0.5cm3TRK middle a Si double sided plane with 10x10 tiles
TRK low a Si double sided plane with 10x10 tiles
TOP TRK
neutron detector
pre-shower CALS ≈≈≈≈ 4Xo
tail-catcher TAIL ≈≈≈≈4Xo
~ 29cm
~8cm
80cm
pre
sho
wer
pre
sho
wer
Si A
rray
50
x140
Si A
rray
50
x140
Calorimeter CALH ≈≈≈≈22Xo
TRK lowTOF2
TOF4
TOF S2 2 layers 80x80x0.5cm3
CALS (80x80xcm2) 4 planes each with:SiX 8x8 tiles, pitch 0.05cmBGO thickness 1cm SiY like SiX
TOF S3 2 layers 80x80x0.5cm3
CALH 80x80x28.7cm3vertical BGO (2.5x2.5x23.7cm3)plus 5cm free space for BGO readout
TAIL same as CALSTOF S4 2 layers 80x80x0.5cm3
ND 80x80x15cm3
SiArray 2 planes 140x50cm2x300 µm. Pixel 1cm2. Plane distance 1cm
Lateral Preshower 4 planes 80x40cm2 each with:Si thickness 500 µmW thickness 0.26cm
TOF3
30cm
Figura 1.1: Schema della con�gurazione GEOV02R00; la zona TOP TRK (top tracker)è dedicata alla misura di fotoni a bassa energia mentre quella sottostante, costituita daTRK up, TRK middle, e TRK lower, è pensata per raggi gamma ad alte energie. In�nela parte inferiore dell'apparato è costituita dal calorimetro e da altri tipi di rivelatori.
un un software di simulazione Montecarlo basato su GEANT-4 [5].
1.2 Descrizione delle con�gurazione geometriche anal-
izzate
Le con�gurazioni che testeremo sono denominate GEOV02R00 e GEOV03R00.
Lo schema del rivelatore in con�gurazione GEOV02R00 è riportato in �g.1.1 La parte
dell'appartato da noi studiata è quella superiore, denominata TOP TRK, ed è costituita
da 30 piani di silicio orientati lungo la coordinata x e 30 piani orientati lungo la
coordinata y con spessore di 0.03cm, larghezza e lunghezza di circa 100cm. Ogni piano
è composto a sua volta da 100 sezioni. Ognuna di queste sezioni è un rivelatore a
micro-strisce predisposto alla misura di una sola delle coordinate del punto di impatto
della particella ionizzante (single sided). Un fotone, attraversando i vari piani, può
5
neutron detector
pre-shower CALS ≈≈≈≈ 4Xo
tail-catcher TAIL ≈≈≈≈4Xo
80cm
Si A
rray
50x
140
Si A
rray
50x
140
Calorimeter CALH ≈≈≈≈21Xo
TOF4
TOF3
30cm
TOF2
PR
ES
ho
wer
PR
ES
ho
wer
TOF1
AC
TRK~ 114 cm
~ 18
0cm
~ 140cm
Geometry schema GEOV03R00
AC 2 scintillator layers 120x120x0.5 cm3
TRK 20 planes of double sided Si and 20 W planesTOFS1 2 layers 100x100x0.5cm3
TOF S2 2 layers 80x80x0.5cm3
CALS (80x80xcm2) 4 planes each with:SiX 8x8 tiles, pitch 0.05cmBGO thickness 1cm SiY like SiX
TOF S3 2 layers 80x80x0.5cm3
CALH 80x80x28.7cm3vertical BGO (2.5x2.5x23.7cm3)plus 5cm free space for BGO readout
TAIL same as CALSTOF S4 2 layers 80x80x0.5cm3
ND 80x80x15cm3
SiArray 2 planes 140x50cm2x300 µm. Pixel 1cm2. Plane distance 1cm
Lateral Preshower 4 planes 80x40cm2 each with:Si thickness 500 µmW thickness 0.26cm
Figura 1.2: Schema della con�gurazione GEOV03R00; la zona denominata TRK èpredisposta alla misura dei fotoni a bassa e alta energia. La parte inferiore dell'apparatoresta invariata rispetto alla con�gurazione GEOV02R00.
interagire con questi convertendosi in una coppia elettrone-positrone: queste particelle,
attraversando gli strati sottostanti a quello in cui si è formata la coppia, ionizzano il
silicio permettendo la misura delle posizioni e l'energia delle stesse. Il silicio quindi
opera sia da convertitore di raggi gamma in coppie elettrone-positrone, sia da rivelatore
di particelle ionizzanti. La zona appena inferiore, costituita da 3 piani di silicio anche
essi in con�gurazione single sided, è adibita alla misura dei raggi gamma a più alte
energie. In�ne nella sezione più bassa dell'apparato sono presenti una serie di altri
rivelatori, fra cui un calorimetro eterogeneo che misurerà gli sciami prodotti da fotoni
e elettroni ad alta energia, oltre che protoni e nuclei di raggi cosmici.
Nella con�gurazione GEOV03R00, �g. 1.2, invece non c'è distinzione fra il tracker
per le alte e le basse energie: il TRK in questo caso è composto da venti piani di silicio di
spessore 300 µm alternati da venti piani di tungsteno di spessore 100 µm. La lunghezza
e la larghezza dei piani è di 100 cm. In questa con�gurazione il tungsteno ha il compito
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di convertire i raggi gamma incidenti in coppie elettrone-positrone, mentre il silicio
mantiene la doppia veste, convertitore-rivelatore, che possedeva nella con�gurazione
precedente. Il calorimetro rimane identico nelle due con�gurazioni.
Va aggiunto in�ne che in entrambe le con�gurazioni la distanza fra le micro/stirce
(pitch) che compongono i rivelatori è di 100 µm.
Nel prossimo paragrafo descriverò brevemente il funzionamento dei rivelatori a
micro-strisce.
1.3 Rivelatori a micro-strisce di silicio
Nelle simulazioni usate per lo studio preliminare della con�gurazione dell'esperimento
GAMMA-400 sono stati considerati piani sensibili costituiti da rivelatori a micro-strisce
di silicio con spessore di 300 µm. Un tipico rivelatore di questo genere è costituiti da
una base di silicio di tipo n (cioè drogata con atomi donori) su cui vengono posizionate
sottili micro-strisce di silicio di tipo p; si vengono quindi a creare delle giunzioni p-
n che, se adeguatamente contropolarizzate, possono generare regioni di svuotamento
su�cientemente grandi da coprire tutta la base di tipo n. Consideriamo un diodo
formato da due cristalli semiconduttori uno di tipo p, drogato con una densità numerica
di atomi accettoriNa, e uno di tipo n, drogato con una densità numerica di atomi donori
Nb. Se non viene applicato nessun potenziale esterno al semiconduttore il potenziale
di barriera che si instaura nella zona di contatto fra i due cristalli , a temperature T,
assumendo cheNa, Nb >> n2i , è dato dalla formula
Vd =kT
elnNd ·Na
n2i
dove ni è la densità intrinseca di portatori,e è la carica dell'elettrone e K è la
costante di Boltzmann [1] ; Vd è in media di circa 0.5 V. Applicando un potenziale Vb
esterno di contropolarizzazione il potenziale totale che si genera nella zona di contatto
sarà Vt = Vd + Vb. La regione di svuotamento è tanto più grande quanto è grande Vt
e possiamo stimare la dimensione di questa ragionando nel modo seguente: se Wp è
lo spessore della regione di svuotamento di tipo p e Wn di quella di tipo n, poiché la
carica totale deve rimanere nulla, approssimando che ogni atomo accettore rappresenti
una carica negativa, e opposta carica per gli atomi donori, si ha Na ·Wp = Nd ·Wn.
Supponendo che la zona di svuotamento sia rettangolare possiamo scrivere l'equazione
7
di Poisson come segue:d2V
dx2=eNd
ε
Integrando questa equazione due volte e imponendo la condizione che per x = Wn il
campo elettrico sia uguale a0, si trova la relazione che lega il potenziale alla larghezza
della zona di svuotamento. Invertendo quest'ultima si ricava
Wn =
√2εVt
qNd(1 +NaNd
)
e identica formula per Wp scambiando Nd con Na Scegliendo Na di 1015cm−3, Nd di
5 · 1012cm−3 e V b = 100V si ottiene Wp = 0.4µm e Wn = 300µm [12]. É possibile
quindi, nel caso dei rivelatori a micro-strisce, drogare fortemente le zone p per avere una
regione di svuotamento che coprano con buona approssimazione tutta la base di tipo
n. Il vantaggio principale di avere una tale con�gurazione è quella che nel momento in
cui una particella ionizza gli atomi di silicio, gli elettroni e le lacune passati in banda
di conduzione non incontrano portatori di carica liberi con cui ricombinarsi. Quando
si creano le coppie elettrone lacuna a seguito del passaggio di una particella carica, gli
elettroni vengono spinti dal potenziale verso la base del rivelatore, mentre le lacune
vengono raccolte dalle strisce di silicio drogato p. Misurando quindi la questa corrente
si determinano le coordinate del punto in cui sono passate le particelle.
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Capitolo 2
Fenomeni �sici alla base del sistema di
rilevazione
In questo capitolo descriverò brevemente i fenomeni �sici alla base del sistema di rive-
lazione dei raggi gamma da noi studiato facendo una rapida descrizione del fenomeno
della creazione di coppie elettrone-positrone e dello scattering multiplo.
2.1 Creazione di coppie elettrone-positrone
Ci sono tre meccanismi principali di interazione fra i fotoni e la materia: e�etto fo-
toelettrico, e�etto Compton e produzione di coppie. L'e�etto fotoelettrico e la pro-
duzione di coppie provocano un completo assorbimento dei fotoni che interagiscono,
l'e�etto Compton invece provoca ampi angoli di scattering e perdite di energia ma non
l'assorbimento completo.
Un fascio di fotoni che attraversa un materiale è attenuato secondo la legge
I = I0e−µx
dove µ è il coe�ciente di attenuazione di massa dato da
µ =NA
A
∑i
σi
in cuiNA è il numero di Avogadro, A è il peso atomico e la somma viene svolta
sulle sezioni d'urto σi dei vari processi che contribuiscono all'attenuazione del fascio;
il coe�ciente di attenuazione dipende fortemente dall'energia dei fotoni incidenti.In
9
Figura 2.1: Dipendenza dall'energia del coe�ciente di assorbimento µa e di attenu-azione µ per fotoni in acqua: µph descrive l'e�etto fotoelettrico, µcs e µca lo scatteringe l'assorbimento Compton, µp la produzione di coppie. I coe�cienti di assorbimentoed attenuazione sono de�niti da µa = µph + µp + µca e µ = µa + µcs.
generale il fenomeno dominante per energie inferiori a 100keV è l'e�etto fotoelettrico,
per energie medie (Eγ ≈ 1MeV ) l'e�etto Compton e per alte energie, Eγ >> 1MeV
la produzione di coppie. I valori esatti dell'energia per i quali i tre fenomeni diven-
tano dominanti dipendono dal materiale in considerazione: in �gura 2.1 è mostrato
l'andamento dei coe�cienti di assorbimento nell'alluminio.
Questo ultimo e�etto è quello che permette la rilevazione di raggi gamma nei
rilevatori del tipo tracker-converter come quelli da noi studiati.
La produzione di coppie dovuta dall'interazione di un fotone con il campo Coulom-
biano generato da un nucleo può avvenire soltanto se l'energia del fotone supera un
energia di soglia:
Es = 2mec2 + 2
(mec)2
mnucleo
10
poiché però me << mnucleo la relazione può essere approssimata a
Eγ > 2mec2
È possibile inoltre che la coppia venga prodotta dall'interazione di fotoni con un
campo Coulombiano generato da elettroni, ma questo processo è trascurabile rispetto
alla produzione di coppie dovuta alla presenza dei nuclei.
Si può stimare la sezione d'urto per la produzione di coppie dovuta ai nuclei nel
regime di alte energie: detto ε = Eγmec2
se vale
ε >>1
αZ1/3
allora
σpair '7
9
A
NaX0
doveX0 è una lunghezza di radiazione del materiale, che rappresenta la distanza me-
dia nella quale un elettrone perde (1− 1e) della sua energia nell'attraversare il materiale
[7]. Si vede dunque che nel regime delle alte energie la sezione d'urto per la produzione
di coppie non dipende dall'energia. Per le basse energie, invece, la sezione d'urto è
proporzionale a ln2ε. L'energia liberata si distribuisce uniformemente fra l'elettrone e
il positrone solo a basse energie. La sezione d'urto di�erenziale per la creazione di una
coppia con energia del positrone compresa fra E+ e dE+ e di un elettrone con energia
E− è data da:dσ
dE+
=αr2e
Eγ − 2mec2Zf(ε, Z)
dove c è l velocità della luce, α la costante di struttura �ne, re è il raggio classico
dell'elettrone, me è la massa dell'elettrone e Z il numero atomico del materiale [8].
La funzione f(ε, Z) dipende debolmente da Z, mentre la dipendenza dal parametro di
partizione dell'energia:
x =E+ −mec
2
Eγ − 2mec2
è mostrato in �g. 2.2. L'energia comincia a distribuirsi, con buona probabilità, tutta
su una delle due particelle per valori di ε pari a 200, e quindi per energie del fotone
di circa 0, 1GeV . Va in�ne aggiunto che l'angolo di apertura delle traiettorie delle due
particelle dipende dall'energia del fotone che ha generato la coppia: si stima tale angolo
11
Figura 2.2: Andamento della funzione di partizione f(ε, Z) in funzione del parametrodi partizione x .
con la seguente relazione approssimata:
θpair =mec
2
Egamma
2.2 Scattering multiplo
Esistono molti meccanismi di interazione fra particelle cariche e la materia quali l'ec-
citazione e la ionizzazione degli atomi, il bremsstrahlung, lo scattering multiplo. Nel-
l'apparato da noi studiato quest' ultimo fenomeno che limita la risoluzione angolare,
infatti particelle cariche che attraversano la materia possono essere di�use a causa del
potenziale Coulombiano generata dai nuclei. Lo scattering multiplo, al contrario del
fenomeno di ionizzazione degli atomi, in cui il contributo dominate è dovuto all'in-
terazione con gli elettroni del materiale, è un processo dominato dalla presenza dei
nuclei che causano un alto numero di processi di scattering con angoli di de�essione
mediamente piccoli rispetto alla traiettoria originale. La distribuzione dell'angolo di
scattering causato dello scattering multiplo Coulombiano è descritta dalla teoria di
12
Molière |6|. Nell'approssimazione di angoli di scattering piccoli, ponendo uguale a zero
l'angolo con il quale le particelle cariche incidono sulla super�cie del materiale, si stima
una distribuzione di probabilità dell'angolo di uscita proiettato su un qualsiasi piano
con media θ0 = 0 e deviazione standard
θrms =13.6MeV
βcpZ
√x
X0
dove p , βc e Z sono l'impulso, la velocità e la carica della particella incidente. x/X0
è lo spessore di scattering misurato in unità di lunghezza di radiazione. La presenza
di angoli di scattering più grandi, provocati dalle collisioni delle particelle cariche con
i nuclei, rendono le code della distribuzione di θ più grandi rispetto a quelle aspettate
in una normale distribuzione Gaussiana con media zero e σ = θrms.
13
Capitolo 3
Simulazione di eventi e algoritmo di
ricostruzione
In questo capitolo fornirò una breve descrizione del software di simulazione degli eventi,
concentrandomi maggiormente sull'algoritmo di ricostruzione da me direttamente usato
3.1 Simulazione degli eventi
Il software di simulazione, denominato GCD, è un interfaccia per GEANT4.
GEANT4 è un pacchetto che contiene un insieme di strumenti, come classi e funzioni,
utili per la simulazione del passaggio di particelle attraverso la materia. Questo soft-
ware, scritto nel linguaggio di programmazione C++ è sviluppato da CERN, e trova
grandi applicazione nella �sica delle alte energie, nella �sica nucleare, nella �sica medi-
ca e in�ne nella �sica dell'universo. Essendo GEANT4 un insieme di librerie è l'utente
che ha il compito di scrivere un programma che utilizzi questi per eseguire la simu-
lazione necessaria. GCD è proprio un software progettato per questo scopo: anch'esso
scritto in C++, implementa in modo generico e �essibile la maggior parte delle sezioni
del codice richieste all'utente (come il formato delle informazioni associate all'evento,
o la struttura dati di uscita, ad esempio), e le integra con il core della simulazione.
La con�gurazione geometrica dei rivelatori (il tipo di materiali, il loro posizionamento,
etc) viene fornita dall'utente sotto forma di una libreria dinamica che viene letta dal
programma principale a run time, mentre le caratteristiche sul modo in cui le parti-
celle in ingresso vengono generate sono speci�cate tramite data cards, garantendo una
grande versatilità del programma stesso. Nel nostro caso le particelle generate sono
14
fotoni con energia e angoli di incidenza �ssati. Le coordinate con cui il fotone viene
generato vengono invece scelte, all'interno di un range da noi �ssato, tramite un gener-
atore di numeri casuali Per ogni evento, oltre ai dati della particella primaria, vengono
memorizzate informazioni relative al passaggio delle particelle nei volumi sensibili (hit).
A seconda del livello di dettaglio necessario durante la successiva analisi dei dati, per
ogni volume sensibile gli hit possono essere di 3 tipi:
1. di tipo Posizione: a ogni passo (step) eseguito dalla simulazione all'interno dei
materiali per ogni particella è associato un set di informazioni quali l'energia
depositata, il tipo di particella, la posizione...
2. di tipo Particella: il passaggio di ogni particella attraverso il volume sensibile
genera un unico set di informazioni contenenti l'energia totale depositata, il tipo
di particella interagente, la media delle coordinate di ogni step della simulazione
all'interno del materiale, la media dell'impulso della particella.
3. di tipo Integrato: il passaggio di una o più particelle genera un unico set di
informazioni dei parametri di tutte le particelle che hanno interagito all'interno
del materiale, per un dato evento, non contenente il tipo di particelle che hanno
interagito. L'utente avrà a disposizione solo la somma dell'energia rilasciata da
particelle diverse senza poterne distinguere il tipo
Per quanto riguarda lo studio del tracker i volumi logici sensibili sono quelli di
silicio e l'informazione raccolta è di tipo Particella. Ogni volta quindi che un evento
provoca una creazione di coppie elettrone positrone, queste particelle attraversando le
zone sensibili rilasciano un'energia che viene memorizzata dal programma. Tutte le
informazioni vengono poi inviate al �le di uscita di GCD in formato TTree di ROOT.
ROOT é un software ad oggetti, sviluppato dal CERN, scritto in C++, che e' molto
usato per l'analisi dei dati nella �sica delle alte energie.
L'algoritmo di ricostruzione da me usato, anch'esso scritto in C++ , accetta in
entrata questi tipi di �le, ricavando, per ogni singolo evento, la posizione in cui sono
passate le particelle. Una volta ottenute questa informazioni il programma, usando
due semplici metodi basati sulla cinematica degli eventi, fornisce 2 stime dell'angolo di
incidenza del fotone e quindi della risoluzione angolare.
15
3.2 Algoritmo di ricostruzione
L'algoritmo di ricostruzione, o programma di analisi, può essere diviso in tre parti prin-
cipali: lettura dei volumi logici e delle coordinate dei punti in cui le particelle hanno
interagito con i volumi sensibili, selezione dei punti da utilizzare all'interno del �t di
ricostruzione, stime della risoluzione angolare.
Nella prima parte del programma vengono lette le coordinate dei volumi �sici cos-
tituenti i piani di silicio. In questo modo è possibile veri�care che la con�gurazione del
rivelatore usata durante la simulazione degli eventi rispetti fedelmente lo schema del
tracker analizzato.
Si apre adesso un ciclo che scorre gli eventi (loop sugli eventi) generati dalla simu-
lazione e che si conclude solamente al termine del programma. Nella parte iniziale del
loop si selezionano gli eventi in cui si è generata una coppia e vengono lette e memo-
rizzate le coordinate dei punti in cui gli elettroni e i positroni sono passati attraverso
i volumi sensibili (hits ). Il passaggio successivo è la digitizzazione di queste coordinate.
In un rivelatore a micro/strisce infatti la posizione degli hits delle particelle ha una
precisione massima de�nita dalla geometria del rivelatore. Nell'algoritmo usato la dig-
itizzazione, che tiene conto di questo problema, è stata realizzata nel modo seguente:
si è approssimato che le coordinate degli hits fossero date dalla posizione della mi-
cro/striscia più vicina ai punti di interazione fra le particelle e il materiale. Poiché nel
nostro rivelatore il pitch è in entrambe le con�gurazioni di 100µm, non avrebbe senso
usare le coordinate generate direttamente dalla simulazione, poiché queste hanno una
precisione molto migliore di 100µm. Alle coordinate discretizzate è stato poi associ-
ato un errore pari a pitch√12, poiché questa è la deviazione standard attribuita ad una
distribuzione di probabilità costante di ampiezza pari al valore del pitch. Infatti im-
maginiamo di misurare la coordinata x di una particella uguale a zero: questo signi�ca
che abbiamo una probabilità costante che questa particella sia e�ettivamente passata
in una zona larga pitch/2 a destra o a sinistra della striscia posizionata su x = 0. La
varianza di tale distribuzione è:
σ2x =
1
pitch
∫ +pitch/2
−pitch/2x2dx =
(pitch)2
12
che giusti�ca l'errore attribuito alle coordinate rese discrete.
16
Nella parte successiva dell'algoritmo si determinano in maniera molto semplice e ap-
prossimata le traiettorie del positrone e dell'elettrone, e il risultato è usato poi come
stima iniziale per il �t delle tracce: supponendo le traiettorie come rette, si prende
il primo e l'ultimo hit per le due particelle e tramite questi punti si ricavano le due
rette. Dall'intersezione delle rette si ricava poi una stima del punto (chiamato vertice)
in cui il fotone è stato assorbito generando la coppia . Questi parametri andranno poi
passati al �t di minimizzazione del χ2 che fornirà le stime de�nitive delle traiettorie e
del vertice. Prima di fare questo si opera una scelta dei punti da includere nel �t: per
ogni hit, ad esclusione del primo e dell'ultimo, si ricava la traiettoria incidente e uscente
dal piano in cui è avvenuto l'hit e si stima l'angolo di incidenza e l'angolo di uscita
rispetto alla perpendicolare al piano. Se la di�erenza di questi due angoli supera un
certo angolo limite, i punti successivi vengono scartati e non utilizzati all'interno del �t.
Viene adesso svolto il �t, che consiste in una semplice funzione di minimizzazione del
χ2. I parametri che il �t può variare per ottenere la minimizzazione richiesta sono le tre
coordinate del vertice e gli angoli polari ed assiali delle due particelle. Il �t restituisce
in uscita questi sette valori ed χ2 risotto = χ2
Ne+Np−7 dove Ne r Np sono rispettivamente
il numero di hits dell'elettrone e del positrone inclusi nel �t.
Una volta ricostruite le traiettorie possiamo stimare la risoluzione angolare usando
due semplici metodi basati sulla cinematica della creazione di coppie. Per queste stime
si utilizzano gli angoli e le coordinate del vertice stimati dal �t. Si suppone invece di
saper misurare l'energia depositata per ogni hit in maniera molto precisa. Poiché poi
l'energia depositata è proporzionale al modulo dell'impulso delle particelle, leggiamo
questa informazione direttamente dal �le di uscita della simulazione. Così facendo si
trascura un l'errore nella lettura dell'energia depositata provocato dalla non perfezione
del rivelatore. Lo stimare in questo modo il modulo dell'impulso serve per ricavare le
proiezioni dell'impulso:
px = |p| sin θ cosφ
py = |p| sin θ sinφ
pz = |p| cos θ
dove θ e φ sono rispettivamente l'angolo assile e polare stimati per la particella, |p|è il modulo dell'impulso e px, py e pz sono le proiezioni dell'impulso lungo gli assi x,
17
y e z. Nella prima stima della risoluzione angolare consideriamo sia l'elettrone che il
positrone. Usando la conservazione dell'impulso si ricava:
~pγ = ~pe + ~pp
Nel �le di uscita dalla simulazione è contenuta anche l'informazione dell'impulso dei
fotoni incidenti. Facendo quindi il prodotto scalare fra l'impulso ricostruito e quello
generato dalla simulazione possiamo ricavare l'angolo fra i due vettori, che chiamiamo
α:
cosα =~pric · ~psim|~pric| · |~psim|
α è proprio quindi la risoluzione angolare associata all'evento in considerazione Nella
seconda stima invece si considera solo la particella che ha avuto più hits all'interno
del silicio. In questo caso l'impulso del fotone si pone uguale all'impulso dell'unica
particella in considerazione. Nel caso in cui le due particelle abbiano avuto lo stesso
numero di hits viene presa la bisettrice fra le due tracce come direzione ricostruita del
fotone e la seconda stima è identica alla prima. Naturalmente la prima stima restituirà
una risoluzione angolare migliore della seconda e per questo la prima è denominata α
best e la seconda α worse. La seconda stima è stata eseguita per tenere conto del fatto
che, soprattutto ad alte energie, l'energia ceduta alle particelle a seguito della creazione
della coppia può essere fortemente asimmetrica. In questo caso una delle due particelle
avrà poca energia e la rilevazione della sua posizione sarà meno precisa. Infatti nella
reale ricostruzione della risoluzione angolare bisognerà sare l'informazione dell�energia
del�elettrone e del positrone proveniente dal calorimentro, nel caso queste particelle non
vengano assorbite all'interno del tracker, o dall'energia depositata all'interno del silicio.
Noi all'interno del programma di analisi stiamo però usando l'informazione vera, gener-
ata dalla simulazione e per questo α best è un limite inferiore della risoluzione angolare,
ma non può rappresentarne il valore vero. la stima α worse invece, leggendo solo le
informazioni provenienti da una delle due particelle, rappresenta un limite superiore
al valore vero della risoluzione angolare. Tutte le informazioni ricavate dall'algoritmo
di ricostruzione vengono memorizzate nel �le di uscita in formato TTree di ROOT.
Dall'analisi di questi dati abbiamo ricavato l'andamento della risoluzione angolare in
funzione dell'energia.
18
Capitolo 4
Analisi della risoluzione angolare
Per ogni simulazione da noi lanciata gli angoli con cui sono stati generati i fotoni
incidenti sono stati �ssati nel modo seguente: angolo polare 45 gradi, angolo assiale
5 gradi. Tutti i risultati riportati di seguito valgono quindi per tali angoli. Inoltre il
numero di eventi simulati ad ogni lancio è stato di 10000. Per analizzare le informazioni
in uscita dal software di ricostruzione è stato usata il programma ROOT. Tutti i gra�ci
presenti in questo capitolo, compresi quelli inerenti la visualizzare degli eventi, sono
stati realizzati tramite questo programma di analisi.
4.1 Visualizzazione eventi
Il primo passo dell'analisi dati ricavati dal programma di analisi è stato quello di
visualizzare gli eventi per comprendere se la simulazione e la ricostruzione eventi è
stata eseguita correttamente. Per far questo è stato necessario leggere le coordinate
degli hits delle due particelle per ogni singolo evento. In �gura 4.1 è mostrato un evento
tipico generato dalla simulazione eseguita per l'energia dei fotoni �ssata a 100MeV. La
con�gurazione del rivelatore usata è la GEOV02R00. Il colore rosso rappresenta le
coordinate degli elettroni, il colore blu quelle dei positroni. Nel gra�co a superiore
sono visualizzate le coordinate x rivelate dal tracker a basse energie ( la sigla xLET sta
per Low energy tracker x ). Nel gra�co inferiore vengono visualizzate le coordinate y. I
cerchi rappresentano le coordinate che sono state incluse nel �t. Nella con�gurazione
GEOV02R00 l'angolo limite usato nell'algoritmo di ricostruzione per discriminare i
punti da includere nel �t è di 2◦ gradi: i punti scartati dalla selezione sono visualizzati
con un simbolo a forma di triangolo. Le traiettorie stimate dal �t sono visualizzate come
delle linee di colore rosso per gli elettroni e blu per i positroni. In�ne i piani di silicio
19
Figura 4.1: Visualizzazione evento numero 15 con�gurazione GEOMV02R00 ad energia100MeV, i punti rappresentati sono spiegati nel testo.
20
sono visualizzati in verde e le varie sezioni che li compongono sono separate dai brevi
tratti verticali che intercettano i piani. La simulazione tiene conto delle ine�cienze di
rivelazione dovute al fatto che le super�ci dei sensori al silicio non sono interamente
ricoperte di microstrisce, ma ai bordi esistono delle zone morte non sensibili, per cui
nel punto di contatto fra le sezioni non è possibile rivelare il passaggio delle particelle.
Nell'evento visualizzato si nota, infatti, come le coordinate non posso essere misurate
nel momento in cui la particella attraversa una zona di contatto fra le sezioni del piano.
Sul gra�co di visualizzazione degli eventi sono riportati il χ2 ridotto risultante dal �t
e le due stime della risoluzione angolare in radianti per il singolo evento. Il valore
del χ2 elevato è dovuto al fatto che la minimizzazione viene eseguita tramite un �t
lineare mentre, a causa del fenomeno dello scattering multiplo, la traiettoria reale delle
particelle è un susseguirsi di linee spezzate.
In �gura 4.2 è mostrato un evento realizzato tramite la simulazione in con�gurazione
GEOV03R00 e con energia dei fotoni incidenti �ssata a 500 MeV Come descritto nella
sezione 1.2, in questa con�gurazione nello spazio che intercorre fra un piano di silicio e il
sottostante è presente un piano di tungsteno. La presenza di questo materiale aumenta
la larghezza della distribuzione degli angoli di scattering dovuti allo scattering multiplo
(come descrito dalla formula discussa in sezione 2.2). Per questo motivo l'angolo limite
per il quale i punti vengono inclusi nel �t è �ssato a 4◦ invece che a 2◦. Questo inoltre
spiega i valori del χ2 che risultano molto più grandi rispetto a quelli trovati nella
GEOV02R00. Nonostante tali valori la risoluzione angolare rimane ragionevole.
Una volta veri�cato il corretto svolgimento della simulazione tramite la visualiz-
zazione dei singoli eventi, abbiamo trovato una stima della risoluzione angolare e del
suo errore.
4.2 Stima della risoluzione angolare
Inserisco adesso la de�nizione di quantile poiché le stime della risoluzione angolare sono
state eseguite tramite questo concetto. Sia F (x) l'integrale fra 0 ed x della distribuzione
di probabilità della variabile aleatoria x, normalizzata a uno e a valori positivi: il
quantile q calcolato all'ordine A è de�nito come quel valore per cui F (q) = A.
Per quanto riguarda l'analisi della risoluzione angolare, usando i dati proveniente
dal programma di ricostruzione, sono state eseguite le seguenti operazioni:
• è stato operato un taglio su eventi con valori del χ2 elevati, per escludere i casi
21
Figura 4.2: Visualizzazione evento numero 126 con�gurazione GEOMV03R00 adenergia 300MeV
22
in cui il �t non ha ricostruito in maniera attendibile le traiettorie delle particelle
cariche
• è stata fornita la stima della risoluzione angolare totale calcolando il quantile
della distribuzione al 68, 3%.
• è stato attribuito alla risoluzione angolare un errore derivante dall'e�cienza del
metodo Montecarlo.
Il primo passo è stato svolto realizzando un gra�co della distribuzione del χ2 e rica-
vando il valore del quantile di ordine 95%. Tutti gli eventi con valore del χ2 maggiore
di questo sono stati scartati.
Il secondo passo è stato svolto realizzando due istogrammi contenenti i valori di α
best e di α worse. É stati poi calcolato il valore del quantile, per ogni gra�co, al 68, 3%,
Questi valori rappresentano le stime di α best e di α worse.
L'errore sulla risoluzione angolare è stato calcolato, tramite gli istogrammi precedenti,
come segue: chiamato A l'ordine da noi scelto nella stima della risoluzione angolare,
abbiamo ricavato altri due ordini A+ ed A−
A± = A±√A ∗ (1− A)/N
dove N è il numero di entrate con cui si è generato l'istogramma in questione. L'errore
sarà quindi la media fra gli scarti tra il quantile calcolato all'ordine A e i due quantili
calcolati agli ordini A+ e A−
4.3 Stima a posteriori dell'errore attribuito alla risoluzione
angolare
Per veri�care che il metodo usato per il calcolo dell'errore attribuito alla risoluzione an-
golare fosse corretto abbiamo lanciato più volte il software di simulazione con i seguenti
parametri in ingresso: energia dei fotoni 100MeV e con�gurazione GEOV02R00. Per
23
Energy(GeV)0 2 4 6 8 10
An
gu
lar
reso
luti
on
(deg
)
1.5
1.55
1.6
1.65
1.7
1.75
media = 1.6162
RMS = 0.0398
best α
best αmean
RMS ±mean
(V02) alpha best Q=0.68
Figura 4.3: stima a posteriori dell'errore su α best. Nel gra�co si riportano i risultatidelle 10 prove, la media calcolata su questi valori, e le zone comprese tra media + RMSe media - RMS
problemi legati al tempo di elaborazione dati il lancio della simulazione è stato esegui-
to solo 10 volte. Naturalmente il numero limitato di prove eseguite non permette di
considerare quella che segue una vera e propria stima statistica dell'errore. Nel gra�-
co in �gura 4.3 sono riportati i 10 valori di α best e il loro rispettivo errore, ricavati
dall'analisi dati delle simulazioni. È stato scelto di usare i valori ricavati calcolando il
quantile al 68, 3%. La linea rossa rappresenta la media di questi valori. È stato poi
calcolato il valore RMS (root mean square) con la formula:
RMS =
√∑i(αi − αmean)2
Np
dove Np è il numero di prove e�ettuato. La banda colorata in �gura rappresenta i
valori compresi fra αmean + RMS e αmean − RMS. Vediamo dal gra�co che le barre
di errore sono confrontabili con la larghezza della banda: possiamo quindi considerare
l'errore attribuito a α best corretto.
In �gura 4.4 è riportato il gra�co contenente le informazioni su α worse. Anche in
questo caso le barre di errore attribuite alle misure sono confrontabile con la larghezza
24
Energy(GeV)0 2 4 6 8 10
An
gu
lar
reso
luti
on
(deg
)
2.05
2.1
2.15
2.2
2.25
2.3
2.35
2.4
2.45media = 2.2087
RMS = 0.0683
best α
best αmean
RMS ±mean
(V02) alpha worse Q=0.68
Figura 4.4: stima a posteriori dell'errore su α worse. Nel gra�co si riportano i risultatidelle 10 prove, la media calcolata su questi valori, e le zone comprese tra media + RMSe media - RMS
della banda. Inoltre, in entrambi i gra�ci più della metà delle misure cadono all'interno
della banda αmean±RMS, e questo ci suggerisce che il valore RMS trovato sia in prima
approssimazione corretto.
Tutte le informazioni ricavate dalla stima precedente andranno confermate da studi
statistici eseguiti su un numero di prove maggiore. Poiché per gli scopi �nali di questo
lavoro di tesi l'errore attribuito alla risoluzione angolare é poco in�uente, questa stima
statistica può essere tralasciata.
4.4 Risoluzione angolare al variare dell'energia
Per ottenere la stima della risoluzione angolare in funzione dell'energia dei fotoni in-
cidenti, abbiamo eseguito più volte il programma di simulazione eventi, per entrambe
le con�gurazioni, con i seguenti valori dell'energia dei raggi gamma: 5 MeV, 10 MeV,
25 MeV, 50 MeV, 100 MeV, 250 MeV, 500 MeV e 1 GeV. Abbiamo poi eseguito il pro-
gramma di ricostruzione su i 16 �le di uscita, 8 per una con�gurazione e 8 per l'altra,
ricavati dalle simulazioni. Dai �le di uscita dal software di ricostruzione, applicando i
metodi descritti al paragrafo 4.2, è stata ricavata la stima della risoluzione angolare e
25
Figura 4.5: gra�co della risoluzione angolare in funzione dell'energia in con�gurazioneGEOV02R00. Vengono riportate le due stime, α best e α worse, con i rispettivi errori,per 8 energie dei fotoni incidenti (Gli assi sono in scala logaritmica)
dell'errore. Abbiamo deciso di riportare i valori ricavati calcolando il quantile al 68, 3%.
In �gura 4.5 sono mostrati i valori di α best e α worse ricavati tramite le simulazioni in
con�gurazione GEOV02R00. La risoluzione angolare, come ci aspettavamo, decresce in
maniera regolare con l'aumentare dell'energia. L'andamento può essere spiegato tenen-
do conto che il contributo che limita la risoluzione angolare è lo scattering multipolo;
infatti l'ampiezza degli angoli di scattering è inversamente proporzionale all'energia
delle particelle poiché
θrms =13.6MeV
βcpZ
√x
X0
e il valore βcp, per le energie da noi considerate, può essere approssimato con l'energia
delle particelle.
In �gura 4.6 è mostrato l'analogo gra�co a svolto per la con�gurazione GEOV03R00.
Anche qui valgono le considerazioni svolte per il caso precedente.
Per entrambe le con�gurazioni, come ho già spiegato nel capitolo precedente, il
valore e�ettivo della risoluzione angolare non sarà ne α best ne α worse. È ragionevole
pensare che il valore e�ettivo della risoluzione angolare cada in una banda di valori
compresi tra α best e α worse, poiché la prima rappresenta una stima ottimistica e la
seconda rappresenta una stima pessimistica della risoluzione angolare vera. Questo è
26
Figura 4.6: gra�co della risoluzione angolare in funzione dell'energia in con�gurazioneGEOV03R00. Vengono riportate le due stime, α best e α worse, con i rispettivi erroriper 8 energie dei fotoni incidenti (Gli assi sono in scala logaritmica)
il motivo per cui gli errori calcolati sulle due singole stime sono poco in�uenti ai �ni di
confrontare le due con�gurazioni. Le bande comprese tra α best e α worse, infatti, sono
molto più ampie delle barre di errore sui singoli punti, che risultano quindi trascurabili
nello stimare i possibili valori veri della risoluzione angolare.
Nel gra�co in �gura 4.7 sono riportate le bande dei valori possibili della risoluzione
angolare nelle due con�gurazioni studiate: per i motivi spiegati precedentemente sono
state omesse le barre di errore. In questo gra�co, per ogni energia studiata, le stime
α best e α worse rappresentano il limite superiore ed inferiore del valore vero della
risoluzione angolare. Si vede dunque che per quanto riguarda il tracker per le basse
energie, la con�gurazione GEOV02R00 garantisce una migliore risoluzione angolare per
tutte le energie da noi studiate tramite il software di simulazione e tramite il programma
di analisi. Dal gra�co 4.7 si può infatti apprezzare il fatto che il valore della risoluzione
angolare nella con�gurazione GEOV03R00 è in media tre volte superiore rispetto a
quello stimato nell'altra con�gurazione.
27
Figura 4.7: gra�co delle bande dei valori possibili della risoluzione angolare, in funzionedell'energia, in con�gurazione GEOV02R00 e GEOV03R00. I punti circolari rappre-sentano, al variare dell'energia, le due stime α best e α worse che forniscono il limiteinferiore e superiore al valore vero della risoluzione angolare. (Gli assi sono in scalalogaritmica)
4.5 E�cienza di conversione
Oltre alla risoluzione angolare, un altro aspetto molto importante per il corretto con-
fronto delle due con�gurazioni è l'e�cienza di conversione. Questo parametro rappre-
senta la probabilità che un fotone, interagendo con i piani che compongono il tracker
per le basse energie, generi una coppia elettrone positrone. L'e�cienza dipenderà sia
dalla con�gurazione del rivelatore che dall'energia dei fotoni incidenti Nel �le di uscita
del programma di analisi vengono riportati due parametri riguardanti l'e�cienza: il nu-
mero di coppie elettrone positrone generate all'interno del tracker per le basse energie
e il numero di eventi che sono stati utilizzati nella ricostruzione delle traiettorie delle
particelle. Questi due parametri sono diversi poiché non tutti gli eventi che producono
una coppia possono essere utilizzati per stimare le traiettorie delle particelle, come nei
due seguenti esempi:
• Le particelle generate si ricombinano con gli atomi di silicio, o con gli atomi di
tungsteno, prima di aver attraversato almeno due piani adibiti alla misura della
coordinata x e due piani adibiti alla misura della coordinata y.
28
Energia(MeV) GEOV02R00 GEOV03R00
5 69 15210 194 60325 531 144750 707 2377100 827 2850250 984 3303500 1073 36001000 1187 3746
Tabella 4.1: Numero di eventi per i quali il �t è riuscito a ricostruire le traiettorie
• Per motivi inerenti alla traiettorie delle particelle, la minimizzazione del χ2 all'in-
terno del �t non riesce. Questo può essere causato da traiettorie troppo spezzate,
che non possono essere approssimate da una retta, come richiesto nel �t.
In tabella 4.1 è riportato il numero di eventi, per le due con�gurazioni, che hanno
permesso una buona riuscita del �t, e che quindi sono stati utilizzati per stimare le
traiettorie delle particelle.
In tabella 4.2 è invece riportato il numero di coppie generate all'interno del tracker
per le basse energie.
In entrambe le tabelle si nota un e�cienza della con�gurazione GEOV03R00 in media
tre volte maggiore rispetto alla con�gurazione GEOV02R00.
Per avere un ulteriore conferma della buona riuscita delle simulazioni da noi ef-
fettuate possiamo adesso veri�care se l'e�cienza ricavata tramite le simulazioni è ra-
gionevole rispetto alle predizioni teoriche. Faremo questa stima sui valori ricavati ad
1 GeV così da poter usare la formula approssimata per il calcolo della sezione d'urto
della creazione di coppie. Infatti questa approssimazione è lecita se
Eγmec2
>>1
αZ1/3.
dove Egamma è l'energia del fotone, αm è la costante di struttura �ne, mec2 l'energia a
riposo dell'elettrone e Z il numero atomico del materiale attraversato. Questa relazione
è veri�cata in maniera abbastanza corretta per Egamma = 1GeV infatti
1000MeV
0.5MeV>>
137
141/3=⇒ 2000 >> 56.8
29
Energia(MeV) GEOV02R00 GEOV03R00
5 151 39810 270 82525 617 167250 806 2171100 944 2492250 1164 2939500 1237 32771000 1307 3471
Tabella 4.2: Numero di coppie generate nell tracker per le bsse energie
dove al posto di Z è stato sostituito il numero atomico del silicio, poiché questo
ha il numero atomico più basso del tungsteno. Possiamo quindi usare la formula
approssimata
σpair '7
9
A
NaX0
Usando le formule citate nel paragrafo 2.1 si ricava che se I0 è il numero di fotoni
che incidono su un materiale di spessore x, il numero di coppie Nc generato dai fotoni
è dato da
Nc = I0(1− exp (−NA
Aσpairx)) =⇒ Nc = I0(1− exp (− 7x
9X0
))
Calcolando questo valore per la con�gurazione GEOV02R00, dove X0 è la lunghezza di
radiazione del silicio pari a 9.4 cm, lo spessore x è pari allo spessore totale dei 60 piani
ciascuno di spessore 0.03 cm e il numero di fotoni incidenti è pari a 10000 si ottiene
Nc = 10000(1− exp(−7 ∗ 60 ∗ 0.03cm9 ∗ 9.4cm
) ≈ 1400.
Il numero di coppie generato tramite la simulazione in con�gurazione GEOV02R00, ad
energia 1 GeV, è 1307 che è confrontabile con il valore trovato dalla stima teorica. Il
fatto che la stima teorica fornisca un valore leggermente più elevato proviene dall'aver
usato formule approssimate.
Un calcolo analogo può essere svolto anche per la con�gurazione GEOV03R00: in
questo caso lo spessore del materiale in lunghezze di radiazioni (x/X0) sarà dato dalla
somma dello spessore in lunghezze di radiazione dei piani silicio (spessore 0.03 cm) e
30
dei piani di tungsteno (spessore 0.01 cm)
Nc = 10000(1− exp(−7
9[20 ∗ 0.03cm
9.4cm+
20 ∗ 0.01cm0.35
]) ≈ 3800.
Anche in questo caso con buona approssimazione il numero di coppie generato è in
accordo con la stima teorica.
4.6 Conclusioni
Dallo studio eseguito tramite il software di simulazione GCD e tramite il programma
di analisi sono emerse con chiarezza due informazioni: la con�gurazione GEOV02R00
presenta una risoluzione angolare maggiore ed una e�cienza minore rispetto alla con-
�gurazione GEOV03R00. La scelta fra le due con�gurazioni dovrà quindi essere svolta
in base agli obiettivi scienti�ci dell'esperimenti GAMMA-400.
Per quanto riguarda questo lavoro di tesi possiamo dire che i risultati ottenuti hanno
confermato le ipotesi iniziali. Infatti, come avevamo previsto, la presenza del tungsteno
aumenta di molto l'e�cienza di conversione del tracker, ma aumenta anche l'ampiezza
degli angli di scattering multiplo provocando una diminuzione della risoluzione ango-
lare.
Va in�ne aggiunto che sono state progettate anche altre due con�gurazioni del tracker
per le basse energie. Uno studio simile a quello descritto in questa tesi andrà svolto
anche su queste due con�gurazioni.
31
Bibliogra�a
[1] G. F. Knoll
Radiation Detection and Measurement.
Wiley 2010.
[2] W. B. Atwood, et al.
The Large Area Telescope on the Fermi Gamma-ray Space Telescope Mission.
Astrophys.J.697:1071-1102,2009
[3] Agenzia Spaziale Italiana:AGILE Mission.
http://agile.asdc.asi.it/docs/AO1.pdf 2007
[4] R. Brun F. Rademakers
ROOT - An Object Oriented Daa Analysis Framework.
Linux Journal, Issue 51, July 1998.
[5] S. Agostinelli et al.
G4 � a simulation toolkit.
Nuclear Instruments and Methods in Physics Research 2003
[6] H.A. Bethe
Molière's Theory of Multiple Scattering .
Phys. Rev. 89 1953
[7] B. Rossi
High Energy Particles.
Prentice-Hall, 1952
32
[8] P. Marmier E.Sheldon
Physics of Nuclei and Particles.
Academic Press 1969
[9] Yasunobu Uchiyama at al.
Extremely fast acceleration of cosmic rays in a supernova remnant.
Nature 449, 576-578 2007
[10] Fermi LAT Collaboration
Fermi Observations of high-energy gamma-ray emissions from GRB 080916C
Science 323 2009
[11] A. Pellizzoni et al
DISCOVERY OF NEW GAMMA-RAY PULSARS WITH AGILE
ApJ 695 L115 2009
[12] A. Peisert
Silicon microstrip detectors
Nuclear Instruments and Methods in Physics Research 1992
[13] M. Tavani at al.
New evidence for extreme particle acceleration in microquasars
Meam. S.A.It. Vol. 82, 120 2011
[14] C. Grupen B. Shwartz
Particle Detectors.
Cambridge 2008.
[15] M. Grundmann.
The Physics of Semiconductors.
Springer-Verlag, 2006.
33
