Risk Management nelle Istituzioni Finanziarie

Risk Management nelle Istituzioni FinanziarieAspetti quantitativi e problemi aperti

Roberto Anglani, PhD

Risk Management, Banca Popolare di Bari SCpA, ITAlumni Mathematica Organization, Bari, IT

SEMINARI MATHOUT11/04/2017

Dipartimento di Matematica, Università di Bari

Roberto Anglani, PhD (BPB&AM) 11/04/2017 SEMINARI MATHOUT 1 / 63

Di cosa parleremo

1 Perché parlare di risk management.

2 Il ruolo delle banche nel sistema �nanziario.

3 Perché e come si fa banking risk management.

4 Esempi: metodologie Value-at-Risk


Motivazioni

Perché parlare di bankingrisk management.E perché soprattutto in un dipartimento di matematica.


Motivazioni

MOTIVAZIONI

Il banking risk management

1È un sistema complesso e multidisciplinare di processi, decisionie misure concepito per fronteggiare i rischi connessi all’attività�nanziaria.

2È di primaria importanza per mantenere e�ciente il sistema�nanziario e per garantirne la stabilità.

3Si avvale dimetodi e modelli matematici per la misuraquantitativa dei rischi e per il supporto alle decisioni strategiche.


Motivazioni

OBIETTIVI

Avvicinarsi allamodellizzazione matematica dietro lequinte del contesto bancario ha quindi la duplice funzione diillustrare:

I. l’utilizzo di teorie e modelli in un campoapparentemente così lontano e “materiale”

II. le s�de derivanti dai limiti dellamodellizzazione di fenomeni complessi governati ancheda norme di legge e comportamenti sociali.


Mercati e istituzioni �nanziarie Sistemi economici e ruolo delle istituzioni �nanziarie

Cosa si intende per “sistema�nanziario”.E perché ci riguarda così da vicino.



Il sistema economicoAttività e risorse

Un sistema economico è un sistema complesso di individui, enti eistituzioni (detti agenti o operatori o soggetti economici) cheinteragiscono tra loro per il soddisfacimento dei propribisogni, mediante una serie di attività �nalizzate all’utilizzo dirisorse.

Attività di un sistema economico: la produzione e lo scambio dibeni e servizi, il lavoro, il risparmio e l’investimento di capitali.

Risorse di un sistema economico: insieme limitato delle risorse adisposizione che include gli impianti, le strumentazioni e beniimmobili, le risorse naturali, i capitali e le capacità lavorative oggettodelle attività economiche di sfruttamento.



Il sistema �nanziarioMercati e istituzioni

Il risparmio e l’investimento di capitali rappresentano le attività di unsottosistema economico detto sistema �nanziario in cui diversisoggetti, in de�cit o in surplus sulla base di determinateesigenze di consumo, si scambiano, tramite intermediari oattraverso imercati, �ussi di danaro sottoforma di strumenti�nanziari.

I mercati �nanziari: svolgono lafunzione economica di trasferirele risorse �nanziarie dalle unità insurplus alle unità in de�cit.Le istituzioni �nanziarie:producono e o�rono servizi�nanziari e garantiscono ilfunzionamento dei mercati�nanziari.

Unità inSurplus

Istituzioni Finanziarie

Mercati Finanziari

Unità inDe�cit

circuito indiretto circuito diretto



Le “interazioni” �nanziarieAnticipazione e di�erimento del consumo

L’interazione elementare di un sistema �nanziario consistenell’anticipazione o nel di�erimento del consumoovvero nell’operazione di indebitamento o di investimento.

Un soggetto che possiede una quantità di capitale maggiorerispetto a quella necessaria per soddisfare i propri bisogni puòdi�erire il consumo, investendo una quantità di danaro con lasperanza di ottenere un pro�tto in un tempo futuro.

Un soggetto economico che, per soddisfare i propri bisogni,necessita di capitali maggiori rispetto alla propria disponibilità,ricorre all’indebitamento per disporre capitale aggiuntivo,all’istante di tempo desiderato



Esempi di interazioni �nanziarieIntroduzione al concetto di strumento �nanziario

1: La Banca α investe nello Stato β (acquistando titoli di Stato)2: La Banca α si indebita con la Banca δ (vendendo obbligazioni)4: L’Impresa γ investe nella Banca α (acquistando azioni o obbligazioni)5: L’Impresa γ si indebita con la Banca δ (prestito o vendendo obbligazioni)6: L’Individuo η si indebita con la Banca α (mutuo)8: L’Ente θ investe nella Stato β (acquistanto titoli di Stato)9: La Banca δ investe nel Mercato ω (acquistando azioni e derivati)

Banca α

Stato β

Impresa γ

Banca δ

Individuo η

Ente θ Mercato ω

Individuo ξ

1

2

3

4

56

7

8

9

10



Perché le istituzioni�nanziarie sono cosìimportanti.E perché di fatto non ne possiamo fare a meno.



Il ruolo degli intermediari �nanziariCosa accadrebbe se non esistessero le banche

Problema. Alice vuole investire 100.000 per trarne un pro�tto.Bob è un imprenditore che ha bisogno di 100.000 per l’acquisto diun macchinario nuovo. Charlie ha bisogno di 100.000 euro percomprare una casa.

1 Condizioni di mercato: Qual è un interesse ragionevole cheincontri le esigenze di Bob e Charlie (per evitare che sirivolgano ad altri)?

2 Costi di transazione: Quanto costa un avvocato che stipuli uncontratto in cui si speci�cano condizioni, clausole e penali?

3 Asimmetria informativa: Quanto sono a�dabili Bob e Charlie?

4 Selezione avversa: Qual è la probabilità di preferire il menoa�dabile in assenza di informazioni rilevanti? (Alta. Perché?)



Il ruolo degli intermediari �nanziariCosa fa una banca in teoria

Soluzione. Alice, Bob e Charlie si rivolgono ad una banca.

1 Condizioni di mercato: Una banca o�re un tasso di interessevantaggioso ad Alice per invogliarla ad aprire un deposito eo�re prestiti a condizioni di “mercato” a Bob e Charlie.

2 Costi di transazione: La standardizzazione dei contrattipermette la riduzione dei costi di transazione;

3 Asimmetria informativa: Una banca raccoglie tutte leinformazioni possibili su Bob e Charlie valutando i rispetti rischidi insolvenza, a�rancando Alice dal problema dell’asimmetriainformativa.

4 Selezione avversa: Avendo maggiore esperienza sulmonitoraggio di altre controparti, una banca può mitigare ilrischio di una selezione avversa tra Bob e Charlie.



Il ruolo degli intermediari �nanziariLe banche nel sistema economico

L’intermediazione �nanziaria fornita dalle banche è quindifondamentale per un e�ciente funzionamento del sistemaeconomico perché

1 garantisce il �usso di fondi da unità in surplus a unità in de�cit;

2 promuove la trasformazione e riduzione del rischio;

3 mitiga i problemi originati dall’asimmetria informativa;

4 o�re servizi di liquidità.

Pertanto, è importante gestire correttamente i rischi connessiall’attività �nanziaria.


Rischio nella banche

Cosa si intende quandoparliamo di rischionelle bancheE perché ogni tanto se ne parla.


Rischio nella banche Core business e tassonomia dei rischi

Il core business delle banche, sempli�catoCosa fanno le banche

FundingRaccogliere denaro dei clienti (depositi, c/c, titoliobbligazionari, ecc.);

LendingFinanziare individui e imprese con il denaro “raccolto” (mutui,prestiti, linee di credito);

InvestingInvestire il denaro raccolto su strumenti �nanziari (azioni,obbligazioni, derivati, ecc.).

+ Wealth management �nancial planning, gestione portafogli

clientela, ecc.



Il core business delle banche, sempli�catoLa raccolta o le passività

FundingQuando una banca raccoglie denaro da individui e enti (in surplus)si indebita.Ad esempio, incalando i nostri risparmi sui c/c o aprendo un deposito o acquistandoun’obbligazione, di fatto, stiamo prestando soldi alla nostra banca di “�ducia”.

A seconda della forma di contratto, la banca deve quindi far fronte aimpegni di pagamento e alla corresponsione di interessi passividetta costo della raccolta.



Il core business delle banche, sempli�catoGli impieghi o le attività

Lending & InvestingAl pari di ogni altra azienda, la banca con i soldi “presi in prestito”deve svolgere delle attività che non solo le consentano di ripagare idebiti, ma anche generare utili.Pertanto, a sua volta presta danaro a individui o enti (in de�cit)richiedendo la corresponsione di interessi attivi.

E/o investe in altri strumenti �nanziari che possano portare ricavi informa di rendimenti, dividendi, cedole, etc.

Tutto questo, ovviamente, comporta l’assunzione di uncerto numero di rischi.



Una tassonomia sempli�cata dei rischi

Credit Risk: Perdite potenziali originate dall’eventualeinsolvenza dei debitori.

Market Risk: Perdite potenziali originate da �uttuazioni dimercato.

Operational Risk: Perdite potenziali originate da processi,persone e sistemi interni non adeguati o eventi.

Liquidity Risk: Incapacità della banca di far fronte e in modoeconomico agli obblighi di pagamento

Business Risk: Perdite potenziali originate dall’indebolimentodella posizione competitiva della banca sul mercato

Reputational Risk: Perdite potenziali originati da unindebolimento dello standing nell’opinione pubblica


Rischio nella banche Eventi da rischi non controllati

È mai accaduto cherischi non controllatiabbiano generato perdite?Ovviamente sì e sono stati devastanti.



La crisi dei subprime del 2007Il fallimento di Lehman Brothers

FALLITALEHMAN BROTHERS-6,700,000,000 USD-26,000 DIPENDENTI



La crisi dei subprime del 2007Crisi su scala globale

-4,100,000,000,000 USDTOTALE PERDITE PER BANCHE EISTITUZIONI A LIVELLO MONDIALE.



Una perdita “operativa” del 2008Il celebre caso di Jérôme Kerviel

-5,000,000,000 EURSOCIÉTÉ GÉNÉRALE



I derivati e il terremoto di Kobe del 1995Nick Leeson e il fallimento della banca più antica d’Inghilterra

FALLITABARINGS BANK

-1,300,000,000 EUR


Rischio nella banche Il “quantitative” risk management

Come si fa risk managementnelle banche.E perché la matematica è importante.



Come “si fa” risk management nelle bancheI vincoli normativi

Mediante un sistema di processi �nalizzato a

Individuare MisurareControllare Mitigare

i rischi che minacciano la stabilità, la redditività e le strategiedell’azienda.

Questo sistema si muove all’interno di un complesso normativo regolato da:

Disposizioni di Vigilanza Prudenziale (Circolare 285/2013 Banca d’Italia);

Direttive Europee; Accordi di Basilea; Disposizioni BCE;

Regolamenti emanati dalla Consob;

Leggi dello Stato in materia di intermediazione �nanziaria.



Perché “si fa” il risk management, in praticaE a cosa serve

1Serve a supporto delle decisioni strategicheindividuazione dei rischi potenziali e valutazione degli impatti.

2Serve a de�nire metodi di misura e di monitoraggiodelle principali aree di rischio.

3Serve a determinare il capitale adeguato allacopertura permanente di tutti i rischi ai quali è opotrebbe essere esposta la banca.



Perché entra in gioco la matematicaE con quali regole

1 Per quanti�care le perdite potenziali e “inattese”

2 mediante metodi e modelli

Statistics, Theory of Distributions, Numerical Analysis, LinearAlgebra, etc.

3 sulla base di enormi quantità di dati eterogenei

Multivariate statistics, Time Series Analysis

4 analizzando fenomeni deterministici e stocastici

Probability, Stochastic Calculus, Multivariate Statistics,Statistical Learning, Monte Carlo, etc.

5 governati da agenti economici (non sempre razionali), vincolinormativi, fattori endogeni ed esogeni

Generalized linear models, behavioural models, econometrics.


Metodologie quantitative

Come si misura il rischio, inpratica.I modelli matematici alla base del Value-at-Risk.


Metodologie quantitative Il rischio di mercato

Il rischio di mercatoDe�nizione e scopo della misura

Le banche generalmente investono in strumenti �nanziari (azioni,obbligazioni, commodities, valute e derivati) che compongonoportafoglio di investimenti o trading book della banca.

Il trading book ha un valore che varia nel tempo inmaniera stocastica.

Problema: Come misurare il rischio che il valore del tradingbook subisca perdite inattese a causa delle �uttuazionidelle condizioni di mercato (come variazioni dei prezzi delleazioni, variazioni dei tassi di interesse, variazioni dei tassi dicambio, ecc.)


Metodologie quantitative Il rischio di mercato

Tre cose non matematiche da sapereMa che rende più avvincente la stima dei rischi

1NON è un mero esercizio di probabilità e statistica, ma è un obbligodi legge ed è soggetta pertanto ad un certo numero di “condizionial contorno” date da vincoli normativi.

2Serve a monitorare l’operatività �nanziaria, cioè a evitare che itrader espongano eccessivamente la banca (come nel caso diSoGén e Barings Bank).

3Serve a misurare il capitale adeguato alla coperturadell’esposizione della banca ai rischi di mercato→ Primo Pilastro diBasilea


Metodologie quantitative Il Value-at-Risk

De�nizione matematica del problemaLoss function e severità

Sia V(t) il valore di un portafoglio rischioso al tempo t.De�niamo la loss del portafoglio sull’intervallo [t, t + ∆t] la di�erenza

L[t,t+∆t] = −(Vt+∆t − Vt) . (1)

La distribuzione cumulata delle perdite è de�nita come

FL(`) = P(L ≤ `) . (2)

Problema: determinare una statistica che misuri la severità delrischio legato ad un portafoglio caratterizzato dalla lossdistribution FL(`).



Il Value-at-RiskLa distribuzione delle perdite

Soluzione: Dato un livello di con�denza α ∈ (0, 1). Il VaR diportafoglio al livello α è dato da

VaRα = inf{` ∈ R : P(L > `) ≤ 1− α} (3)

Se de�niamo la funzione quantile di una funzione crescente F come

qα(F) = F←(α) = inf{x ∈ R : F(x) ≥ α} (4)

possiamo notare quindi che il VaR non è altro che una funzionequantile1 della distribuzione delle perdite:

VaRα(L) = qα(L) . (5)

1Perché non prendere la massima perdita possibile, cioè inf{` ∈ R|FL(`) = 1}? Inalcuni casi, il supporto di FL non è limitato pertanto la massima perdità risulterebbein�nita.Roberto Anglani, PhD (BPB&AM) 11/04/2017 SEMINARI MATHOUT 33 / 63


Il Value-at-RiskEsempio

Il problema è abbastanza semplice quando si tratta di calcolare ilVaR per un portafoglio con un solo strumento.

Consideriamo, ad esempio, la serie storica quinquennale delleperdite giornaliere di un titolo azionario e calcoliamo i quantili delladistribuzione.

α VaR(1d)95% -188.6499% -323.54


Metodologie quantitative Metodologie VaR

Il Value-at-RiskMetodi di calcolo

Problema: Come eseguire la stima del VaR su un portafogliocon N strumenti di�erenti?

Soluzione: Esiste una famiglia di approcci basati su di�erenti ipotesie metodi di calcolo sintetizzabili in tre di�erenti metodi:

1 parametric VaR

2 historic VaR

3 Monte Carlo VaR

La scelta del metodo dipende dal problema da a�rontare, dallaqualità dei dati, dal tipo di approssimazione che si accetta, dal tipo ela rischiosità di strumenti che compongono il portafoglio, ecc.



Portafoglio con singolo titoloParametric VaR

Sia Ri = logV(ti+1)/V(ti) la serie storica dei rendimenti di unportafoglio composto da un singolo titolo azionario.

L’approccio parametrico si basa sull’assunzione che la distribuzionedei rendimenti segua una determinata forma analitica con densitàdi probabilità f(x), tale che

P(R ≤ u) = Φ(u) =

∫ u

−∞f(x)dx

Pertanto il VaRα sarà determinato dall’esposizione sul singolo titoloper la funzione quantile di Φ, ovvero:

VaRα = V × Φ−1(1− α) (6)



Portafoglio con singolo titoloParametric VaR

Nell’approccio varianza-covarianza la distribuzione dei rendimentisi approssima con la normale N(µ, σ). Il VaRα è datodall’esposizione V sul titolo, moltiplicato per quel rendimento uαtale che la probabilità che R < uα sia 1− α. In simboli:

1− α =

∫ uα

−∞

1√2πσ

exp−( R−µ2σ )

2

dx .

Ovvero,VaR(α) = V × uα = V × Φ−1(1− α) .

Con il cambio di variabile z = R−µσ si può far ricorso alla normale

standard sicché uα = µ+ zασ, pertanto

VaR(α)= V · (µ+ zασ) con 1− α =

∫ zα

−∞

1√2π

exp−( z2)

2

dz (7)



Portafoglio con singolo titoloParametric VaR – Esempio numerico

Sempli�cazione computazionale

L’ipotesi di normalità dei rendimenti permette di ricondurre ilproblema di valutazione del VaR al calcolo della varianza σ2 deirendimenti.Data la serie storica biennale dei rendimenti giornalieri di un certo titolo azionario edi voler calcolare il VaR95% e il VaR99%. L’esposizione è 1,000,000 EUR e la dev.st.= 0.4179% (si impone µ = 0)

.

α .95 .99zα 1.65 2.33VaR param. 6,895 EUR 9,737 EURF←(α) 6,181 EUR 10,824 EUR

A cosa si deve la di�erenza delle stime?



L’e�etto "fat-tails"Fit alternativi

Fat-tailsLa distribuzione normale è insensibile a fenomeni di code spessedella distribuzione empirica. Pertanto a volte si deve valutarel’opportunità di utilizzare altre distribuzioni alternative (ad es. lat-Student).



Il mapping dei rischiUn classico problema di risk management

Problema: Come generalizzare la stima del VaR di unportafoglio con centinaia di strumenti �nanziari sensibili allevariazioni dei tassi di interesse (obbligazioni), dei valori dei titolisottostanti (derivati), ecc.?

Soluzione: IL MAPPING DEI RISCHI. Supponiamo che il valore delportafoglio al tempo t sia dato da una qualche funzione del tempo edi un vettore di d fattori di rischio Zt = (Zt,1,Zt,1, . . . ,Zt,d) noti altempo t:

f : R+ × Rd → R(t,Zt) 7→ Vt = f(t,Zt) (8)

La rappresentazione Vt = f(t,Zt) si dicemapping dei rischi.Roberto Anglani, PhD (BPB&AM) 11/04/2017 SEMINARI MATHOUT 40 / 63


Il mapping dei rischiApprossimazione lineare o “delta”

Indicati con (Xt)t∈N le variazioni dei fattori di rischio, tale che

Xt+1 ≡ Zt+1 − Zt (9)

la funzione loss di portafoglio al tempo t + 1 assume la forma:

Lt+1 = − [f(t + 1,Zt + Xt+1)− f(t,Zt)] . (10)

Poiché Zt è nota al tempo t la distribuzione di perdite è determinatadalla distribuzione delle variazioni dei fattori di rischio introduciamoun operatore loss che mappa le variazioni dei fattori di rischio nelleperdite:

l[t](x) : Rd → Rx 7→ − [f(t + 1,Zt + x)− f(t,Zt)] (11)



Il mapping dei rischiApprossimazione lineare o “delta”

Ipotesi lineare o approccio “delta”Se f è di classe C1, allora possiamo de�nire l’approssimazione alprimo ordine della portfolio loss come

L∆t+1 = −

[∂f(t,Zt)∂t

∆t + 〈∇f(t,Zt),Xt+1〉]

= −

[∂Vt

∂t∆t +

d∑i=1

∂Vt

∂ziX it+1

]

L’approssimazione lineare dell’operatore loss è pertanto

l∆[t](x) = −

[∂Vt

∂t∆t +

d∑i=1

∂Vt

∂zixi

](12)

Le quantità δi = ∂Vt∂zi

indicano la sensitivity del portafoglio allevariazioni dei fattori di rischio→ le “greche” delle opzioni.



Il mapping dei rischiEsempio di portafoglio con d azioni

Consideriamo, al tempo t, un portafoglio con d azioni di�erenti(l’i−esima azione è presenta con un numero di pezzi λi . Denotiamocon (Sit)t∈N il prezzo dell’azione i al tempo t e indichiamo comefattore di rischio il logaritmo dei prezzi sicché

Z it≡ lnSit X i

t+1 ≡ lnSit+1 − lnSit (13)

Vt =d∑i=1

λi exp(Z it) Lt+1 =

d∑i=1

λiSit[exp(X i

t)− 1] (14)

Conseguemente la loss del portafoglio in approssimazione “delta” èdata da:

L∆t+1 =

d∑i=1

λiSitX

it+1 = −Vt

d∑i=1

witX

it+1 = −Vtw

>Xt+1 (15)

essendo wi = λiSit/Vt il peso dello strumento i.Roberto Anglani, PhD (BPB&AM) 11/04/2017 SEMINARI MATHOUT 43 / 63


Il mapping dei rischiApprossimazione delta-normal

Varianza-Covarianza o Delta-NormalNell’ipotesi in cui:

la loss di portafoglio è una funzione lineare delle variazioni deifattori di rischio;

le variazioni dei fattori di mercato X seguano una distribuzionenormale multivariata con media µ e covarianza Σ

si ha

E(l∆[t](X)) = Vtw>µ var(l∆[t](X)) = V2

t w>Σw . (16)

Pertanto, il VaR è dato da

VaRα =√V2t w>Σw · Φ−1(α) (17)



Parametric VaR (Delta-Normal)La diversi�cazione del rischio

In presenza di 2 strumenti, è facile osservare quale sia il ruolo dellecorrelazioni tra i fattori di rischio degli strumenti nelladiversi�cazione del rischio.Infatti per due strumenti si ha

VaRp(α) = Vp · zα√〈w,Σw〉

= Vp · zα√w1σ

21 + w2σ

22 + 2w1w2 · ρ · σ1σ2 (18)

Pertanto, se

ρ = 1: il VaR di portafoglio coincide con la somma dei VaR deisingoli strumenti (VaRp = VaR1 + VaR2)

ρ ≤ 1: il VaR di portafoglio è minore della somma dei due VaRdei singoli strumenti (VaRp ≤ VaR1 + VaR2)



I problemi del Delta-Normal VaRApprofondimenti

PRO

1. Sempli�cazione computazionale;2. Utile per portafogli non complessi;3. Determinazione delle sensibilità delportafoglio alle sole variazioni dei fattoridi rischio;5. Riduzione della dimensionalità delproblema ad un numero limitato diposizioni �ttizie nei confronti di indici oparametri di mercato.→ CAPM

CONTRO

1. Insensibilità a distribuzionileptocurtiche (fat-tails)→ Fit alternativit−Student, Gaussian mixtures.2. Aumento delle probabilità diconseguire perdite superiori a quelleindicate dal VaR→ Backtesting VaR.3. Non considera dipendenze non linearidalle variazioni dei fattori di rischio→Approccio delta-gamma.

Il risk-mapping richiede a monte una selezione statistica dei fattori di rischio e unamanutenzione numerica molto accurata.Alcuni strumenti non sono mappabili su indici “convenzionali”→ tecnichestatistiche per la costruzione indici e curve ad hoc



Historic VaRLa simulazione storica

IpotesiLe potenziali variazioni dei fattori di rischio sono rappresentate dalladistribuzione empirica delle variazioni passate.Procedura1. Si esegue il mapping statistico delle posizioni su un certo numero di fattori dirischio.2. Si costruisce la serie storica del rendimento complessivo di portafoglio sullabase dei pesi delle esposizioni �ttizie sugli indici di mercato.3. Si stabilisce il quantile per la determinazione del VaR.

Vantaggi e svantaggi1. Non si fanno assunzioni sulla distribuzione dei rendimenti;2. La correlazione tra fattori di rischio è catturata implicitamente;3. Si assume implicitamente che la distribuzione futura sia eguale aquella passata su di�erenti orizzonti temporali.


Metodologie quantitative Intermezzo: Simulazioni Monte Carlo

Intermezzo sui metodi Monte CarloDe�nizione

I metodi Monte Carlocostituiscono una classe dimetodologie computazionali cherestituiscono stime numerichesulla base di un campionamentocasuale.

Le origini risalgono al ProgettoManhattan. I formalizzatori delmetodo sono Enrico Fermi, Johnvon Neumann e Stanislaw MarcinUlam



La stima di π con metodo Monte CarloCodice Python

1 Cerchio di raggio r = 1 iscritto in un quadrato di lato 2.

2 Area cerchio Ac = π; Area quadrato Aq = 4; Rapporto Ac/Aq = π/4.

3 Generiamo casualmente N coppie ordinate (x, y) di numeri compresi tra 0 e 1

4 Contiamo quelle per cui x2 + y2 ≤ 1 (punti rossi).

5 Stima di π = 4× (num. punti rossi)/totale punti.



La stima di π con metodo Monte CarloCodice Python

import numpy as np # importa numpyimport matplotlib.pyplot as pltN = 100000x = np.random.rand(1,N)[0]y = np.random.rand(1,N)[0]r = (x**2+y**2)**0.5quadrante = sum(r <= 1.0)pigreco = 4* quadrante/float(N)errperc = abs(round (100*( np.pi -pigreco )/np.pi ,2))fig , ax = plt.subplots(figsize =(10 ,7))plt.scatter(x,y)plt.scatter(xt,yt , color = ’red’)ax.legend(frameon = False , fontsize = 12)ax.set_xlabel("x", fontsize =12)ax.set_ylabel("y", fontsize =12)ax.set_title("Simulazione Monte Carlo / N = "+str(npoint )+" punti\n"+"$\pi$ stimato = "+str(pigreco), fontsize =16, fontweight = "bold")



Il pricing delle opzioni con metodi Monte CarloPayo� e premio di un’opzione

Alice compra oggi da Bob un’opzione call europea che le consentedi acquistare tra 6 mesi (da Bob), 100 azioni Google ad unprezzo pre�ssato di 850 USD (strike). Oggi il prezzo di GOOG è 824.

Alice è rialzista (bullish) Bob è ribassista (bearish)

Payo� = max(S− K,0) Payo� = max(K − S,0)Pro�t = Payo�-Premium Payo� = Payo�-Premium

Chi divulgò in Italia l’uso dei diagrammi di pro�tto? Enrico de Montel R. Scuola Superiore di Commercio di Bari (1896)



Il pricing delle opzioni con metodi Monte CarloPayo� e premio di un’opzione

1 GOOG arriva a 900. Alice esercita l’opzione. Bob deveacquistare 100 azioni Google a 900 e rivenderle ad Alice a 850.Alice ricava 50 dollari ad azione, Bob ne perde 50 ad azione(Bob è stato fortunato. Le posizioni short non opportunamentecoperte possono generare perdite teoricamente illimitate)

2 GOOG arriva a 840. Alice non esercita l’opzione. Il contrattoscade e Bob ha ricavato il premio.

Problema: quanto vale uno strumento (derivato) il cui valore dimercato dipende da quello di un’altro strumento �nanziario? Inaltre parole, quanto vale il premio?



Il pricing delle opzioni con metodo Monte CarloApproccio sempli�cato

1 Simuliamo i “possibili” cammini dell’azione in un determinatoperiodo di tempo (abbiamo bisogno di un’ipotesi economica);

2 Valutiamo a scadenza T tutti i possibili payo� dell’opzione:E{max(ST − K,0)}

3 Scontiamo a valore attuale il valore di aspettazione di tutti ipayo�: e−rTE{max(ST − K,0)}

Ipotesi del mercato e�ciente

Nessuna asimmetria informativa;

Nessuna frizionalità (no costi di transazioni, titoli in�nitamenteindivisibili);

Mercato liquido: gli strumenti sono facilmente scambiabili.

Nessun rischio di credito.



Il pricing delle opzioni con metodo Monte CarloApproccio sempli�cato

Nell’ipotesi di mercato e�ciente, le informazioni rilevanti sono contenute tuttenell’istante presente. L’evoluzione del prezzo è un processo stocastico (motobrowniano) in cui gli incrementi della variabile sono indipendenti tra loro eidenticamente distribuiti secondo una normale gaussiana a media zero e varianzadata dagli step temporali.Un moto browniano geometrico è un p.s. in cui il logaritmo della variabile aleatoriasegue un moto browniano con un termine di deriva.

S(ti+1) = S(ti) exp

[(µ− σ2

2

)(ti+1 − ti) + σ

√ti+1 − ti · Zi+1

]



Simulazione pricing call europeaCodice Python

from scipy.stats import normimport numpy as npfrom random import randomimport pandas as pdS0 = 42; mu = 0.0; r = 0.1; sigma = 0.2; K = 40; T = 1; nstep = 250;dt = 1.0/ nstep; nsimulation = 100MC = pd.DataFrame ({})for i in range(nsimulation ):

St = [S0]for j in range(nstep):

print "Simulation N.: "+str(i)+"\t "+"Step: "+str(j)G = np.exp((mu -0.5* sigma **2)*dt+sigma*np.sqrt(dt)*norm.ppf(random ()))St.append(St[-1]*G)MC.loc[:, "SIM"+str(i)] = St

fin = np.array(pd.DataFrame(MC, index = [nstep ]))[0] -Kpayoff = np.maximum(list(fin), [0.0]* nsimulation)price = np.exp(-r*T)*np.mean(payoff)print(price)


Metodologie quantitative Monte Carlo VaR

Monte Carlo VaRProcedura e problemi aperti

1 Scelta della distribuzione di densità di probabilità congiuntaf(z1, . . . , zd) che meglio approssima la distribuzione empiricadei d fattori di rischio rappresentativi del portafoglio;

2 Stima dei parametri della distribuzione;

3 Simulazione di N scenari casuali estratti dalla distribuzione f ;

4 Calcolo della distribuzione delle perdite e scelta del percentilecorrispondente al livello di con�denza prescelto.

Problema apertoIl tema fondamentale legato al Monte Carlo VaR è nelladeterminazione della distribuzione multivariata che deve tenerconto necessariamente delle strutture di dipendenza tra i fattoridi mercato.→ Teoria delle Copule, Distribuzioni “stabili”


Metodologie quantitative Commenti �nali

Sulle metodologie quantitative per il riskmanagementConclusioni

1 Le metodologie VaR sono largamente utilizzate nel riskmanagement anche nelle aree di rischio di→ credito o deirischi→ operativi.

2 Esiste una pletora di metodologie per ogni area di rischio chenecessitano di competenze che vanno dallo scripting al calcolostocastico→ Linkedin.

3 La s�da di un buon quantitative risk manager consisteprincipalmente nel giusto equilibrio tra

rigore metodologicoscelta di una buona approssimazionebuon senso aziendale (economicità e rapidità)

4 Il QRM è un campo di→ ricerca. ancora apertissimo: metodistatistici per l’aggregazione dei rischi, �nanza frattale, ecc.


Suggerimenti Bibliogra�a

Bibliogra�a consigliataLetture e approfondimenti


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Filmogra�a consigliataLetture e approfondimenti. Romanzati.


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FINE.Grazie per l’attenzione.

Non sono le cose che non sai a metterti nei guai.È quello che dai per certo che invece non lo è.

It ain’t what you don’t know that gets you into trouble.It’s what you know for sure that just ain’t so.

– Mark Twain

(Incipit di The Big Short)

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L’Expected ShortfallUna misura coerente di rischio

Problema: Il VaR fornisce unvalore minimo con cui possonoandare male le cose. Ma comefacciamo a sapere quanto ciaspettiamo di perdere se lasituazione si mette male?Soluzione: Si misura l’ExpectedShortfall a livello di con�denza αcome

ESα(L) = E{L|L ≥ VaRα(L)} . (19)


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Gli strumenti �nanziariDe�nizione ex-art. 1 del D.Lgs. 24/02/1998 n. 58

Le interazioni �nanziarie sono veicolate da strumenti �nanziari.Tali strumenti (o contratti) formalizzano un accordo tra due o piùoperatori in cui si stabilisce uno scambio di importi in determinatiperiodi di tempo e sotto un certo numero di condizioni.

gli strumenti del mercato dei capitali2;

gli strumenti del mercato monetario3;

le quote di organismi di investimento collettivo del risparmio(fondi di investimento);

i contratti di opzione, future, swap;

gli strumenti derivati per il trasferimento del rischio di credito;2Mercato nel quale vengono trattati strumenti di debito o partecipativi (azioni) a

medio-lungo termine (scadenza superiore a 12 mesi) o a scadenza indeterminata.3L’insieme delle negoziazioni aventi ad oggetto prestiti monetari con durata

inferiore ai 12 mesi, o ai 18 mesiRoberto Anglani, PhD (BPB&AM) 11/04/2017 SEMINARI MATHOUT 62 / 63

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Il rischio di mercatoIl Value-at-Risk

Nel 1987, il CEO e Chairman di J.P. Morgan, DennisWeatherstone chiese al risk di ricevere alle 16:15 (four-�fteen) diogni giorno una misura sintetica espressa in valore monetarioche potesse rispondere alla domanda

How much can we lose on our trading portfolio by tomorrow’sclose?

I risk manager proposero il Value-at-Risk (“valore a rischio”)come una misura di perdita massima che potrebbe essere subita,entro un determinato orizzonte temporale, tale che una perditasuperiore può veri�carsi con una probabilità inferiore ad un certovalore.


Risk Management nelle Istituzioni Finanziarie

Data & Analytics

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