Ricordiamo quale era il problema di maglieria dal quale eravamo partiti…..

Una piccola industria di maglieria produce due tipi di confezioni: tipo A e tipo B .Per soddisfare le richieste della clientela l’ industria deve produrre ogni giorno:

Del tipo A• almeno 200 unità

, ma non più di 1000

Del tipo B• non più di 500

unità.

Fra i due tipi l’ azienda non può produrre più di 1200 UNITÀ al giorno.Si sa che il ricavo per la vendita di ogni unità A è di є40,00 e di ogni unità B è di є80,00

Supponendo che l’ industria venda

tutte le confezioni prodotte, ci si

domanda se conviene produrre più

unità del tipo A o più unità del tipo B

cioè:

quale è il ricavo massimo che l’

azienda può realizzare?

Pur non tenendo conto di altri fattori

come le paghe degli operai, diverse a

seconda della lavorazione,tasse ecc.,

il problema è complesso.

Troppi dati per ricordarli tutti!!!!

Passiamo dalle parole ai simboli.

Siano

x il numero di confezioni del

tipo A

y il numero di confezioni del

tipo B

Traduciamo il testo del problema in disequazioni: si devono produrre almeno 200 unità del tipo A, cioè deve essere

x≥200Non devo produrre più di 1000

unità del tipo A, cioè deve esserex≤1000Non deve produrre più di 500

unità del tipo B, cioè deve essere y≤500Non deve produrre , tra i due

tipi di confezioni più di 1200 unità, cioè deve essere

x+y≤1200

Inoltre è .Questo sistema di disequazioni si traduce in una” zona”Per ottenerla tracciamo le rette

200

1000

500

1200

x

x

y

x y

Almeno 200 unità del tipo A

Non più di 1000 unità del tipo A

Non più di 500 unità del tipo B

Non più di 1200 unità al giorno

0y

: 200

: 1000

: 500

: 1200

r x

s x

t y

v x y

x

y

O

200 1000

500

(1000,200)

(200,500) 700,500

Abbiamo disegnato le rette nella figura accanto e, dopo aver esaminato le disequazioni, abbiamo tratteggiato la zona: è la “zona di produzione”. Abbiamo così tradotto in disegno la prima parte del problema.

Passiamo alla seconda parte, cioè alla parte finanziaria.

Si vuole che il ricavo sia massimo, sapendo che ogni unità A dà 40,00 € ed ogni unità B dà 80,00 €

Se 1 unità A dà 40,00€ si avrà che 2 unità A daranno

40,00 2 €3 unità A daranno

40,00 3 €x unità A daranno 40,00 x €

E così , se 1 unità B dà 80 ,00 €

y unità B daranno80,00 y €

Il ricavo totale R sarà dunque dato da R=40x+80yChiameremo R funzione obiettivo che vogliamo massimizzare, cioè vogliamo vedere quando assume il valore massimo. Traduciamo in grafico la funzione R.Se il ricavo fosse zero, si avrebbe

40x+80y=0Cioè

x+2y=0o anche

Se il ricavo fosse zero, si avrebbe

40x+80y=0

Cioè

x+2y=0

o anche

Quest’ ultima rappresenta una retta passante per l’ origine.

1y =- x

2

……Ma il ricavo non è sempre nullo…..

E allora, in generale non si avrà la

retta

bensì un’equazione del tipo

x21y

kx21y

La retta dei ricavi si sposta parallelamente a se stessa, entra nella zona per A ed esce per D: a poco a poco k aumenta cioè il ricavo aumenta e sarà massimo in D.Quanto si guadagnerà?Il punto D ha coordinate(700,500)

R=0

x+2y=0

200

(200,500)

1000

(700,500)

Il punto D ha coordinate(700,500) cioè in corrispondenza del punto D si producono 700 unità del tipo A e 500 unità del tipo B.Sostituendo nella funzione ricavo le coordinate di D otteniamo

• R=40x+80y=40 700+80

500=68000€

Questo è il massimo guadagno che l’ industria può realizzare in base alle condizioni iniziali

R=0

Che ricavo si avrebbe nel punto E(200,500) ?

RE=40 ∙200+80 ∙ 500=48000<RD

In tutti i punti che si trovano sulla retta dei ricavi passante per E, il ricavo ha lo stesso valore

(200,500)

R=0

Prendiamo ad esempio il punto F(600,300)

RF=40 ∙600+80 ∙ 300=48000=RE

Cambia la produzione perché in F si producono 600 unità del tipo A e 300 del tipo B, ma il guadagno è lo stesso

(600,300)

(200,500) (700,500)

1000200

Questo metodo è molto potente perché

permette di tradurre stenograficamente in un

sistema di disequazioni , un lungo discorso in

cui i dati, i vincoli sono tanti da non poter essere

ricordati.

Il sistema si traduce in un disegno, una zona.

Infine la funzione da ottimizzare si traduce

anch’ essa in disegno: una retta che

spostandosi parallelamente a se stessa e

sovrapponendosi ala zona, fornisce indicazioni

sui valori minimo e massimo