Momenti nella storia dei logaritmi

Riccardo Rosso

Dipartimento di Matematica, Universita di PAVIA

1

Sommario• Preistoria

• Nascita dei logaritmi

• Logaritmi come ausilio per il calcolo

• Logaritmi e geometria

• Logaritmi e serie

• Logaritmi dei numeri complessi

2

Preistoria: Istanze teoriche

Archimede(287(?)-212 a.C.),Arenario

Proporzionecontinuataa partire dall’unita

a0 = 1, a1 = q, a2 = q2, a3 = q3, ....(a0 : a1 = a1 : a2 = a2 : a3 = ...)

am × an = am+n ⇒ qm × qn = qm+n

Al prodottodi elementi di una progressionegeometricacorrisponde la

sommadegli esponenti che formano una progressionearitmetica

3

Michael STIFEL (1487 ca-1567),Arithmetica Integra(1544)

• estende la regola ad esponentinegativi

1. Nelle progressioni aritmetiche l’addizione corrisponde alla

moltiplicazione in quelle geometriche.....

2. La sottrazione nelle [progressioni] aritmetiche corrisponde alla

divisione nelle geometriche....

3. La moltiplicazione semplice (cioe di un numero per un numero)

quando sia eseguita in una [progressione] aritmetica, corrisponde alla

moltiplicazione di un numero per se stesso nelle progressioni

geometriche. Cosı alla moltiplicazione per due in progressioni

aritmetiche corrisponde la moltiplicazione quadrata in quelle

geometriche....

4. La divisione eseguita in progressioni aritmetiche corrisponde alle

estrazioni di radici nelle progressioni geometriche.

4

Preistoria: Il peso dei calcoli

Operazionicritiche: moltiplicazione con molte cifre, estrazioni di radici

Per alleviare la fatica:

Tavolenumeriche

Tabula Tetragonica(1592),Giovanni Antonio MAGINI (1550-1617)

Contiene tutti i quadrati degli interi da 1 ad 11000

Come si usa per calcolare√

43 = 6.55743...

(6557)2 = 42994249 : 106√

42, 994249 ≈√

43 ' 6, 557

Metodotradizionale

√43 =

√

62 + 7 = 6

√

1 +7

36' 6

(

1 +7

72

)

' 6, 583

5

Formule di prostaferesi

sinα cos β =1

2[sin(α + β) + sin(α − β)]

Trasformanoprodotti in somme

Dispositivi automatici

Bastoncini di NEPERO(Rabdologia, 1617)

Come si usano per eseguire357 × 249

6

357 × 249 =?

3

0

6

0

9

1

2

1

5

1

8

2

1

2

4

2

7

357 × 2 = 714

357 × 4 = 1428

357 × 9 = 3213

3213

1428

714

88893

5

1

0

1

5

2

0

2

5

3

0

3

5

4

0

4

5

7

1

4

2

1

2

8

3

5

4

2

4

9

5

6

6

3

2

4

9

Un prodottoe ridotto ad unasomma

7

Nascita dei logaritmiChi? John NAPIER (NEPERO, 1550-1617) [Jobst BURGI (1552-1632)]

Quando?1614, Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, ejusque usu,

in utraque Trigonometria; ut etiam in omni Logistica Mathematica,

Amplissimi, Facillimi & expeditissimi explicatio.

Contiene definizioni, risultati principali ed applicazioni.

Nell’edizione del 1620 il titolo cambia leggermente:

Logarithmorum Canonis Descriptio seu arithmeticarum supputationum

mirabilis abbreviatio....,

1617Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio

Contiene definizioni,dimostrazionie i dettagli sulla costruzione delle

tavole.

8

Origine di un nome

Logaritmoe vocabolo composto da rapporto (λoγoν) e numero

(αριθµoς), quasi a dire numero di rapporti; cio che ben esprime la realta

delle cose.

(Nicolaus MERCATOR, Logarithmotechnia, 1668)

Wilhelm MATZKA (1850) logaritmoe l’accostamento diλoγιστικoς ed

αριθµoς: numeri per il calcolo (zum Rechnen dienliche).

Caspar PEUCER(1553) aveva introdotto la parolaLogarithmanteia,

logaritmomanzia in tutt’altro contesto.

9

Che cosae (o none) un logaritmo neperiano

Definizione poggia su un modellocinematico

Si considerano due punti:a, mobile di motouniforme(arithmeticus) suuna semirettabi

g, mobile di motogeometricosu un segmentoST di lunghezza finitaR = 107: sinus totus, raggio della circonferenza trigonometrica.

g, partendo daT , percorre in tempi uguali segmenti di lunghezzaproporzionale alla sua distanza daS.

T1

g

2

g

3

g

4 5 6S

T1 = βTS 12 = β1S, 23 = β2S, 34 = β3S, ....

T1, 12, 23, ..., percorsi tutti nellostessointervallo di tempo.

TS, 1S, 2S, 3S,...formano una progressionegeometrica.

10

b

a a

c i

g g

d ST

y(t) := bc, x(t) := dS

y(0) = 0, x(0) = R, entrambi con la stessa velocitav0

Definizione: il logaritmo neperiano didS e pari abc: y = nl (x).

Conseguenza: nl (R) = nl(107) = 0 mentrenl (1) = 1611809576= 0.

Proprieta fondamentale: Sea : b = c : d allora

nl (a) − nl (b) = nl (c) − nl (d)

proportionatorum sinuum sunt aequi-differentes artificiales.

ab : a = b : 1 ⇒ nl (ab) = nl (a)+nl (b)−nl (1) 6= nl (a)+nl (b) !!!

11

Perche ?

Ogni teorema di trigonometria era scritto come proporzionein cui uno dei

termini era ilsinus totusR

R : a = b : c

Passando ai logaritmi (neperiani)

nl (c) = nl (a) + nl (b)

si recupera la trasformazione di prodotti in somme.

In termini moderni

y(x) = nlx = R(ln R − ln x) = ln

(

R

x

)R

= R log 1

e

x

R

R = 1 ⇒ nl (x) = log 1

e

x

12

Osservazioni

• NEPEROintroduce i logaritmi come funzionediretta

• Sistema logaritmico: progressionearitmeticaassociata ad una

progressionegeometrica

• Il modello cinematico diNEPEROfu abbandonato

(menzionato daColin MC LAURIN)

• Nuova definizione di logaritmi:

none sconveniente riferirsi ai logaritmi come a dei compagni

equidifferenti di numeri proporzionali

(BRIGGS, Arithmetica Logarithmica)

BRIGGSe NEPEROriconoscono piu semplici i logaritmi con

log 1 = 0

13

Logaritmi definiti come funzione inversa dell’esponenziale

• carteggioLEIBNIZ-Johann BERNOULLI (fine ’600-inizio ’700);

• su rivista (1771, postumo):William JONES(1675-1749)

1. Ogni numerox e esprimibile da un’unica potenza di un medesimo

numero radicaler.

Infatti un numero qualsiasi si trova da qualche parte nella scala delle

diverse potenze del numero radicaler i cui indici sonom − 1, m − 2,

m − 3, ecc. dove non solo vengono espressi i numerirm−1, rm−2, ecc.

ma anche ogni numero intermediox e rappresentato dar con un

appropriato indicez.

L’indice z e detto il logaritmo del numerox. (rz = x)

14

• Su un manuale (1685):Algebra, John WALLIS (1616-1703)

1 r rr r3 r4 r5 r6 ecc.

0 1 2 3 4 5 6 ecc. ,

“Questi esponenti sono detti logaritmi e sono numeri artificiali che sono

messi in corrispondenza ai numeri naturali in modo che all’addizione o

alla sottrazione dei primi corrispondano la moltiplicazione o la divisione

dei secondi.”

Leonhard EULER (EULERO, 1707-1783)

Introductio in Analysin Infinitorum(1748):

“il logaritmo di un qualsiasi numeroy e quell’esponente della potenzaaz

tale cheaz e uguale ady”

15

Compilatori di tavole

NEPERO

Henry BRIGGS:

Arithmetica Logarithmica(I ed. 1624, II ed. 1628,Adriaan VLACQ)

Logaritmi briggsiani≈ logaritmi in base10

Contenuti

• Algoritmo della radice quadrata

• Schemi alle differenze finite

• tecniche di interpolazione

Altri compilatori: JohannesKEPLER, JuanCARAMUEL Y LOBKOWITZ

CARAMUEL : costruire un sistema logaritmico che coniughi i vantaggi di

quello neperiano e di quello briggsiano.

16

Logaritmi e geometria

• Spirale logaritmica:Evangelista TORRICELLI (1608-1647)

• Curva logaritmica:Evangelista TORRICELLI, Christiaan HUYGENS

(1629-1695)

• Logaritmi ediperbole

1 Gregoriodi S. VINCENZO (1584-1667):

Opus Geometricum de Quadratura circuli et sectionum coni(1647)

2 Alfonso AntonioDE SARASA (1618-1667):

Solutio problematis a R.P. Marino Mersenno minimo propositi(1649)

3 Nicolaus MERCATOR(1620-1687):Logarithmotechnia(1668)

5 James GREGORY(1638-1675):Exercitationes Geometricae(1668)

4 Johann BERNOULLI I, Wilhelm Gottlieb LEIBNIZ: d lnx = dxx

(1697)

17

Gregorio di S. VINCENZO

Lib. VI, Prop. CIX Siano AB ed AC gli asintoti di un’iperbole

(equilatera) DEF. Si suddivida AC in modo che AG, AH, AI, AK edAC

formino una progressionegeometrica.

A

B

C

F

G

D

H

E

I

L

K

M

Si traccino i segmenti DG, EH, LI, MK ed FC paralleli all’asintoto AB. I

trapezi curvilinei DH, EI, LK ed MC sonoequivalenti.

18

segmenti: progressionegeometrica⇒ aree: progressionearitmetica

Proprieta logaritmica!

James GREGORY:

Dimostrazione rigorosa quadratura iperbole diMERCATOR

Nicholaus MERCATOR(1668):

Logaritminaturali: compaiono nella quadratura dell’iperbole.

logaritmi tabulari: logaritmi di BRIGGS.

19

La proposta didattica di Felix KLEIN

(Elementar Mathematik vom hoheren Standtpunkte ausI Band, 1908)

KLEIN lamenta il distacco tra insegnamento (Schulbetrieb) della

matematica ed il progresso della ricerca (vorwartsgehende Forschung)

nella matematica del XIX secolo.

Vorrei ancora una volta riassumere brevemente come ritengodebbano

essere introdotti i logaritmi nella scuola in modo semplicee naturale: la

regola sommae che il principio corretto (richtige quelle) per introdurre

nuove funzioni risiede nella quadratura di curve note. Cio e conforme,

come ho mostrato, sia alle circostanze storiche, sia al mododi procedere

nelle parti piu avanzate della matematica (ad es. le funzioni ellittiche)

20

Realizzazione della proposta di Felix KLEIN

Rihard SUPPANTSCHITSCH(1909) segue le linee direttive diKLEIN

C ′D′ = OC ′OA′ × A′B′ = cA′B′

A

B

C

D

xy = 1

A ≡ (1, 1) B ≡ (x, 1

x)

C ≡ (c, 1

c) D ≡ (d, 1

d)

O A′ B′ C ′ D′

21

• si dividonoA′B′ eC ′D′ in n parti uguali: plurirettangoli circoscritti ed

inscritti all’arcoAB equivalenti agli omologhi per l’arcoCD.

• passaggio al limite

• Areas delimitata daxA = 1 edxB = x ⇒ s := ln x

• Seguono le proprieta elementari dei logaritmi

• Calcolo di(ln x)′ = 1x

• Esponenziale come funzione inversa del logaritmo

22

La trigonometria iperbolica

• Vincenzo RICCATI (1707-1775)Opuscula ad res Physicas et Mathematicas pertinentes(1757)

Analogie e differenze tra circonferenza ed iperbole

OA

P

x2 + y2 = R2x2 − y2 = R2

OA = Cos[2Sett(OPC)]

CA = Sin[2Sett(OPC)]

OD = Cosh[2Sett(OFP)]

DF = Sinh[2Sett(OFP)]

C

D

F

23

Un piccolo ritocco

Abel BURJA Essai d’un nouvel algorithme des logarithmes(1787-88)

dati e incognite

• addizionex + y = z

• sottrazionex + y = z oppurex + y = z

• moltiplicazionexy = z

• divisionexy = z oppurexy = z

• elevamento a potenzaxy = z

• estrazione di radicexy = z

• logaritmoxy = z

24

Logaritmi e serie

1 Le serie come strumento di compilazione piu rapidadelle tavole

logaritmiche.

2 Le serie perdefinirei logaritmi (PietroMENGOLI)

3 Legami inattesi: la costante diEULERO-MASCHERONI

25

Serie e tavole logaritmiche: sempre piu veloci!

• Serie diMERCATOR(1668): quadratura dell’iperbole

ln(1 ± x) = ±x − x2

2± x3

3− x4

4+ ..... (|x| < 1)

• Serie diGREGORY-NEWTON (1668)

ln1 + x

1 − x= 2[x +

x3

3+

x5

5+ ..... (|x| < 1)

convergenza piu rapida.

Esempio: Il calcolo di log 2 (NEWTON)

2 =1.2 × 1.2

0.8 × 0.9=

(1 + 0.2) × (1 + 0.2)

(1 − 0.2) × (1 − 0.1)

26

Varianti (Jean CharlesDE BORDA, 1733-1799)

ln1 + x

1 − x= 2[x +

x3

3+

x5

5+ ..... (|x| < 1)

1 + x = (p − 1)2(p + 2) = p3 − 3p+2

1 − x = (p + 1)2(p − 2) = p3 − 3p−2

ln1 + x

1 − x= ln

p3 − 3p + 2

p3 − 3p − 2= ln

1 + 2p3−3p

1 − 2p3−3p

ln(p+2)+2 ln(p−1)−ln(p−2)−2 ln(p+1) = 2

[

2

p3 − 3p+

1

3

(

2

p3 − 3p

)3

+ ....

]

p=5,6,7,8: sistema lineare di quattro equazioni per determinare

ln 2, ln 3, ln 5, ln 7

Uso di polinomi di grado piu alto: Thomas LAVERNEDE (1810-11)

27

Un virtuoso: Philippe KORALEK (1851)

Problema: Determinare tutti i logaritmi decimali degli interi da1 a 107

con l’approssimazione di sette cifre decimalinoti sololog 2, log 3, log 7,

log 11 e log 13.

log1 + y

1 − y= 2k[y +

y3

3+

y5

5+ ..... (k = log e <

1

2)

1 + y

1 − y= 1 + z ⇒ y =

z

z + 2

log(1 + z) = 2k[z

z + 2+

1

3

(

z

z + 2

)3

+1

5

(

z

z + 2

)5

+1

7

(

z

z + 2

)7

+ .....

z =x

a⇒ log(1 + z) = log

a + x

a

log(x + a) = log a + 2k

[

x

x + 2a+

1

3

(

x

x + 2a

)3

+1

5

(

x

x + 2a

)5

+ ...

]

28

Approssimazione diKORALEK

Se xa

< 195

log(x + a) = log a + 2kx

x + 2a± ε |ε| < 10−8 ∀x ∈ N = 1, ...., 107

Ora non resta che risolvere questo problema(!)

Preso un numeroz ∈ (1, 107) scriverlo nella formaz = x + a dovea

abbia solo 2, 3, 5, 7, 11, 13 come fattori primi exa

< 195

Esempio(XAVIER ,1904)

z0 = 9546253 = 954, 6253 × 10000

z = 954, 6253 = a + x = 945 + 9, 6253 (945 = 33 × 5 × 7)

29

I logaritmi definiti come limite

Pietro MENGOLI (1625-1686),Geometria speciosa(1659)

Sianoa edn numeri naturali.

n-esimoiperlogaritmodi a:

Hyl n(a) :=1

n+

1

n + 1+

1

n + 2+ .... +

1

na − 1

n-esimoipologaritmodi a:

hyl n(a) :=1

n + 1+

1

n + 2+ .... +

1

na − 1+

1

na.

Hyl n(a) ≥ Hyl n+1(a) hyl n(a) ≤ hyl n+1(a)

Hyl n(a) − hyl n(a) =1

n

(

1 − 1

a

)

> 0

30

Definizione

log a := limn→∞

Hyl n(a) = limn→∞

hyl n(a)

• Questa definizione si puo estendere ai numerirazionali;

• bisogna verificare che valgono le proprieta dei logaritmi

I prologaritmi

plog 1(a) := 1 +1

2+

1

3+ .... +

1

a

plog 2(a) :=1

a + 1+

1

a + 2+ .... +

1

2a...........................

plog n(a) :=1

(n − 1)a + 1+

1

(n − 1)a + 2+ .... +

1

na.

loga

b=

∞∑

n=1

[plog n(a) − plog n(b)]

31

Esempio

a = 2, b = 1

log 2 = 1 − 1

2+

1

3− 1

4+

1

5− 1

6+ ...

Sembra esserci un legame molto stretto tra ilogaritmie la seriearmonica

1 +1

2+

1

3+

1

4+

1

5+

1

6+ ....

Questa seriediverge(Nicola ORESME, ca. 1323-1382)

1 +(

12

)

+(

13 + 1

4

)

+(

15 + 1

6 + 17 + 1

8

)

+ ...

>(

12

)

+(

14 + 1

4

)

+(

18 + 1

8 + 18 + 1

8

)

+

= 12 + 1

2 + 12+

molto lentamente

32

La costante di EULERO-MASCHERONI

γ := limn→∞

(

1 +1

2+

1

3+ .... +

1

n− ln(n + 1)

)

= limn→∞

γn

Significato geometrico

ln(n + 1) =

∫ n+1

1

1

xdx

1

y = 1

x

1 n + 1

33

Significato geometrico

γ := limn→∞

(

1 +1

2+

1

3+ .... +

1

n− log(n + 1)

)

= limn→∞

γn

n∑

k=1

1

k= 1 +

1

2+

1

3+ .... +

1

n

1

1/2

1/3

1/n

1 2 3 4 n + 1n

34

La costante di EULERO-MASCHERONI

γn =

n∑

k=1

1

k−

∫ n+1

1

1

xdx

1 n + 1

EULERO (1735):assumel’esistenza diγ = 0.577218.....

35

Il calcolo diγ

ln(1 + x) = x − x2

2+

x3

3− x4

4+ .....

• x = 1/k....

ln(1 +1

k) =

1

k− 1

2k2+

1

3k3− 1

4k4+ .....

• Riordiniamo e sommiamon

∑

k=1

1

k=

n∑

k=1

ln

(

k + 1

k

)

+1

2

n∑

k=1

1

k2− 1

3

n∑

k=1

1

k3+

1

4

n∑

k=1

1

k4− ....

• ln(

k+1k

)

= ln(k + 1) − ln k...

γn =

n∑

k=1

1

k− ln(n + 1) =

1

2

n∑

k=1

1

k2− 1

3

n∑

k=1

1

k3+

1

4

n∑

k=1

1

k4− ....

36

La ζ di RIEMANN (prima di RIEMANN )

ζ(n) =

∞∑

k=1

1

knn ∈ N, n > 1

Problema di Basilea: Calcolareζ(2) =∑∞

k=11k2 = π2

6 (EULERO, 1737)

Espressioniesatteperζ(4), ζ(6), ζ(8), ...., ζ(26) (EULERO, 1750)

ζ(2n) = (−1)n−1 (2π)2n

2(2n)!B2n

B2n numeri di BERNOULLI

Non si conoscono espressioniesatteperζ(2p + 1)

Irrazionalita di ζ(3), Roger APERY (1978)

37

Formula di EULERO-MC LAURIN

∑nk=1 f(k) =

∫ n

1f(x)dx + 1

2 [f(1) + f(n)]+∑m

k=1B2k

(2k)! [f(2k−1)(n) − f (2k−1)(1)] + R(f, m)

γ = γn − 1

2n+

1

12n2− 1

120n4+

1

256n6+ ....

Problema aperto: γ e razionale o no?

38

Logaritmi di numeri complessi

(1712-1713)

ControversiaLEIBNIZ-Johann BERNOULLI I sui logaritmi dei numeri

negativi

(1727-1729)

CarteggioJohann BERNOULLI I- EULERO sullo stesso argomento

(1745)

Pubblicazione carteggioLEIBNIZ-BERNOULLI

(1747-1749)

EULERO commenta il carteggioLEIBNIZ-BERNOULLI

elabora la teoria dei logaritmi di numericomplessi

39

Dubia fluctuant contraria.....

Argomentoa favoredei logaritmi dei numeri negativi:

(−a)2 = a2 ⇒ log (−a)2 = log (a)2 ⇒ 2 log (−a) = 2 log (a)

⇓

log (−a) = log (a)

Argomentocontrarioai logaritmi dei numeri negativi

y = ln x ⇐⇒ x = ey

Sex = −1

−1 =y

1+

y2

1 · 2 +y3

1 · 2 · 3 +y4

1 · 2 · 3 · 4 + .....

Incompatibilecon la sceltax = −1, y = 0

40

Un salto nel buio

Dopo aver ben soppesato tutte le difficolta appena esposte, ritengo che

esse provengano dal fatto che noi supponiamo che ogni numeronon ha

che un logaritmo.

log 1 = 0, α, β, γ, δ, ε, ζ, η, ϑ, ecc.

conα, β, γ.... numericomplessi√

1 = ±1

log√

1 =1

2log (1) = 0,

1

2β,

1

2δ,

1

2ζ,

1

2ϑ, ....

log√

1 = log(−1) =1

2log (1) =

1

2α,

1

2γ,

1

2ε,

1

2η, ....

41

3√

1 = 1,−1 ±

√−3

2

log3√

1 =1

3log (1) = 0,

1

3γ,

1

3ζ,

1

3ι, ecc.

log3√

1 = log−1 +

√−3

2=

1

3log(1) =

1

3α,

1

3δ,

1

3η, ecc.

log3√

1 = log−1 −

√−3

2=

1

3log (1) =

1

3β,

1

3ε,

1

3ϑ, ecc.

Problema: come attribuireconcretamenteinfiniti logaritmi ad un numero?

42

La circonferenza: arrivano i nostri!

Per dimostrare questa pluralita infinita di logaritmi corrispondenti ad

ogni numero non occorre altro che considerare lo stretto rapporto

esistente tra i logaritmi e gli archi di circonferenza:e noto infatti che gli

archi di circonferenza si possono esprimere tramite logaritmi immaginari

e, viceversa, i logaritmi sono esprimibili tramite archi immaginari di

circonferenza. Dunque, siccome il seno od il coseno corrispondono ai

numeri e gli archi ai logaritmi, cosı come ad uno stesso seno corrisponde

ad un’infinita di archi distinti, allo stesso modo ad uno stesso numero

deve corrispondere un’infinita di logaritmi distinti.

x = sinϕ y = cos ϕ =√

1 − x2

dϕ =dx

y=

dx√1 − x2

43

x = z√−1 ⇒, dϕ =

dz√−1√

1 + z2

ϕ =√−1 ln(

√

1 − x2 +x√−1

)

ϕ =1√−1

ln(y +√−1x)

ln(cos ϕ +√−1 sinϕ) = (ϕ ± 2nπ)

√−1 ⇔ e(ϕ±2nπ)

√−1 = cos ϕ +

√−1 sinϕ

Sur les logarithmes des nombres negatifs et imaginaires

(1747, obiezioni diD’A LEMBERT, pubblicato nel 1862)

De la controverse entre Mrs. Leibnitz & Bernoulli sur les logarithmes des

nombres negatives et imaginaires(1751)

Contiene una dimostrazioneincompleta:

dibattito sulla validita della teoria diEULERO

44

Conclusioni

• Logaritmi comepontetra logisticaematematica

• Trigonometriapre- epost-logaritmica

• Impatto sui calcoli

The miracolous powers of modern computation are largely dueto the

invention of logarithms(Florian CAJORI, 1910)

• presente (e futuro): logaritmi discreti e sistemi numericilogaritmici

45