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Spazi vettoriali Esempi e motivazioni Spazi topologici Spazi metrici

Analisi funzionale

Riccarda Rossi

Lezione 1

Riccarda Rossi Lezione 1

Analisi funzionale


Programma

Scopo del corso: studiare le proprieta degli spazi di funzioni, che sono deglispazi vettoriali di dimensione infinita.

1. Richiami sugli spazi vettoriali;

2. esempi di sp. vett. di dimensione finita & infinita

3. proprieta topologiche degli sp. vett., valide in dimensione finita e NONin dimensione infinita

4. motivazioni per l’analisi funzionale

5. spazi topologici

6. spazi metrici


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Definizione di spazio vettorialeSia V un insieme (non vuoto). Diciamo che V e uno spazio vettoriale (sulcampo R) se su V sono definite due operazioni:

somma: + : V × V → V

∀ (v ,w) ∈ V × V (v ,w) 7→ v + w

prodotto per uno scalare: · : R× V → V

∀ (λ, v) ∈ R× V (λ,w) 7→ λ · v

che godono delle seguenti proprieta:

1. ∀ u, v , w ∈ V (u + v) + w = u + (v + w)

2. ∃! 0 ∈ V ∀ v ∈ V : 0 + v = v + 0 = v

3. ∀ v ∈ V ∃! w ∈ V : v + w = w + v = 0

4. ∀ u, v ∈ V u + v = v + u

5. ∀ u, v ∈ V , ∀λ, k ∈ R

λ(u + v) = λu + λv ,(λ+ k)u = λu + ku

6. ∀λ, k ∈ R, ∀ v ∈ V (λk) · v = λ · (kv)

7. ∀ v ∈ V 1 · v = vRiccarda Rossi Lezione 1

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Applicazioni lineari (I)

DefinizioneSiano V , W due sp. vettoriali. Un’applicazione L : V →W si dice lineare se

∀ v , w ∈ V , ∀λ, k ∈ R : L(λu + kv) = λL(u) + kL(v).

• Sia L : V →W un’applicazione lineare. Allora

L(0V ) = 0W


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Applicazioni lineari (II)

• Sia V uno sp. vettoriale e L : V → R un’applicazione (lineare): per Luseremo il termine funzionale (lineare).

• Siano V , W due sp. vettoriali. Un’applicazione lineare L : V →W si diceisomorfismo se L e invertibile: allora gli spazi V e W si dicono isomorfi.


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Dimensione di uno spazio vettoriale (I)

DefinizioneSia V uno sp. vett. Diciamo che V ha dimensione finita n (scrivendodim(V ) = n), se

V ha una base finita di n elementi {v1, v2, . . . , vn}cioe

I i vettori v1, v2, . . . , vn ∈ V sono linearmente indipendenti

I la n-upla {v1, v2, . . . , vn} costituisce un sistema di generatori per V


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Dimensione di uno spazio vettoriale (II)

• La nozione di dimensione finita (uguale a n) e ben definita: se V possiededue basi (=sistemi di generatori linearmente indipendenti)

{v1, v2, . . . , vn} e {w1, w2, . . . , wm}

allora n = m.

• Sia V uno sp. vett. Diciamo che V ha dimensione finita se non ammettealcuna base finita, e scriviamo dim(V ) =∞.


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Esempi (I)

Sia V uno sp. vett. di dimensione finita n ∈ N. Allora

V e isomorfo a Rn

ciaociaociaociaociaociaociaociao


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Esempi (II)

Consideriamo l’insieme

`1 := { successioni {an}n∈N ⊂ R :∞∑n=1

|an| <∞}.

• `1 e uno sp. vett. con le operazioni:

somma:∀ {an}n, {bn}n ∈ `1, {an}n + {bn}n := {an + bn}n

prodotto per uno scalare:

∀ {an}n ∈ `1, ∀λ ∈ R λ · {an}n := {λan}n.


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`1 ha dimensione infinita

In `1 esistono infiniti vettori linearmente indipendenti: sono le successioni

e1 = {1, 0, 0, 0, . . .},e2 = {0, 1, 0, 0, . . .},.................en = {0, 0, 0, 0, n, . . .}.................

ciaociaociaociaociaociao


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Esempi (III)

Consideriamo l’insieme di funzioni

C0([0, 2π]) := {f : [0, 2π]→ R : f e continua su [0, 2π]}

• C0([0, 2π]) e uno sp. vett. con le operazioni:

somma:

∀ f , g ∈ C0([0, 2π]), (f + g)(x) := f (x) + g(x), x ∈ [0, 2π]

prodotto per uno scalare:

∀ f ∈ C0([0, 2π]), ∀λ ∈ R (λ · f )(x) := λf (x), x ∈ [0, 2π].

• C0([0, 2π]) ha dimensione infinita: le funzioni

1, sin(x), cos(x), sin(2x), cos(2x), . . . , sin(nx), cos(nx), . . .

costituisono un sistema di infiniti vettori linearmente indipendenti inC0([0, 2π]).


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Ricapitoliamo

I V con dim(V ) = Rn

I `1

I C0([0, 2π])


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Motivazioni per la topologia e l’analisi funzionale

♣ Alcune proprieta degli sp. vett. di dimensione finita, che non valgono in sp.vett. di dimensione infinita:

I continuita di funzionali lineari

I proprieta di “compattezza”


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Continuita di funzionali lineari (I)

Siano V uno sp. vett. con dim(V ) = n e L : V → R un funzionale lineare.Allora L e continuo su V .ciaociaociaociaociaociaociaociaociao


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Continuita di funzionali lineari (II)

Dimostriamo che L : Rn → R lineare e continuo in ogni x0 ∈ Rn. ciaociaociaociaociaociaociaociaociaociaociao• Se V ha dimensione infinita e L : V → R e un funzionale lineare, e ingenerale falso che L sia continuo.


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Proprieta di “compattezza”

Siano V uno sp. vett. con dim(V ) = n. Allora ogni successione limitata di Vammette una sottosuccessione convergente. ciaociaociaociaociaociaociaociaociao


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Problemi di fondo (I)

I Che cosa significa che un funzionale (definito su uno spazio di dimensioneinfinita) e continuo??

I Che cosa significa che una successione (in uno spazio di dimensioneinfinita) e convergente?


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Problemi di fondo (II)

I nozioni di convergenza in spazi funzionali ciaociaociaociaociaociaociao

I la nozione di continuita di applicazioni e strettamente legata alla nozionedi convergenza di succcessioni


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Discussione euristica sulla nozione di continuita


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Panoramica

1. concetto di spazio topologico:

insieme dotato di una topologia = sistema di intorni

2. esempi

3. spazi metrici

4. spazi normati


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Definizione di spazio topologico

Sia X un insieme (non vuoto).

• Chiamiamo spazio topologico una coppia (X , I), con

I : X ⇒ 2X

∀ x ∈ X x 7→ I(x) = famiglia di sottoinsiemi I di X

in modo che valgano le seguenti proprieta:

1. ∀ x ∈ X , ∀ I ∈ I(x) si ha x ∈ I

2. ∀ x ∈ X , ∀ I ∈ I(x) e ∀Y ⊂ X con Y ⊃ I , si ha Y ∈ I(x)

3. ∀ x ∈ X , ∀ I , I ′ ∈ I(x) si ha I ∩ I ′ ∈ I(x)

4. ∀ x ∈ X , ∀ I ∈ I(x) ∃ I0 ∈ I(x) tale che I0 ⊂ I e I0 ∈ I(y) per ogni y ∈ I0.


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Non unicita della topologia

Su X insieme non vuoto e in generale possibile assegnare almeno due diversetopologie.

La topologia banale ciaociaociaociaociaociao

La topologia discreta


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Topologie su Rn

I La topologia banale

I La topologia discreta

I La topologia euclidea


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Confronto fra topologie

Sia X un insieme (non vuoto) dotato di due topologie I′ e I′′. Diciamo che I′ emeno fine di I′′ (o I′′ e piu fine di I′), se


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Spazi metrici

DefinizioneSia X un insieme (non vuoto): chiamiamo metrica (o distanza) su X unafunzione d : X × X → R verificante le seguenti condizioni

d(x , y) ≥ 0 ∀ x , y ∈ X

d(x , y) = 0 ⇔ x = y ∀ x , y ∈ X

d(x , y) = d(y , x) ∀ x , y ∈ X

d(x , z) ≤ d(x , y) + d(y , z) ∀ x , y , z ∈ X

Dati x , y ∈ X , chiamiamo distanza di x da y il numero d(x , y), e spaziometrico la coppia (X , d).


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Osservazioni

• ciaociaociaociaociao• ciaociaociaociaociao•


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Spazi topologici metrizzabili

• Sia X un insieme non vuoto. In generale su X e possibile definire diversemetriche. ciaociaociaoNon sempre metriche diverse danno luogo a topologie diverse.

DefinizioneSia X 6= ∅ dotato di due metriche d1 e d2. Diciamo che d1 e d2 sonotopologicamente equivalenti se esse inducono su X la stessa topologia.


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Metriche topologicamente equivalenti

TeoremaSia X 6= ∅ dotato di due metriche d1 e d2. Si ha che d1 e d2 sonotopologicamente equivalenti se e solo se per ogni x ∈ X vale che

∀ r1 > 0 ∃ r2 > 0 : Bd2r2 (x) ⊂ Bd1

r1 (x),∀ r2 > 0 ∃ r1 > 0 : Bd1

r1 (x) ⊂ Bd2r2 (x).

(1)

ciaociaociaociaociaociaociaoOsservazione: condizione sufficiente affinche valga (1) e che

∃C1, C2 > 0 ∀ x , y ∈ X : d1(x , y) ≤ C1d2(x , y), d2(x , y) ≤ C2d1(x , y)

cioe le metriche d1 e d2 sono equivalenti.


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Esempio

Sia X 6= ∅. Allora la funzione d : X × X → [0,+∞) data da

d(x , y) =

{0 se x = y ,

1 se x 6= y ,

I e una distanza su X

I induce la topologia discreta su X


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Topologia euclidea su Rn (I)

• La topologia euclidea su Rn e indotta dalla metrica euclidea

d2(−→x ,−→y ) :=

(n∑

i=1

|xi − yi |2)1/2

∀−→x , −→y ∈ Rn

• Su Rn sono definite le infinite metriche dp, con p ∈ R, 1 ≤ p <∞

dp(−→x ,−→y ) :=(∑n

i=1 |xi − yi |p)1/p ∀−→x , −→y ∈ Rn se 1 ≤ p <∞,

d∞(−→x ,−→y ) := max{|xi − yi | : i = 1, . . . , n} ∀−→x , −→y ∈ Rn se p =∞.


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Topologia euclidea su Rn (II)

Le metriche dp sono tutte topologicamente equivalenti, e quindi inducono tuttela topologia euclidea.


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