Revista Latinoamericana de Investigacion en Matematica...

Revista Latinoamericana de Investigacion en Matematica EducativaComité Latinoamericano de Matemática [email protected] ISSN (Versión impresa): 1665-2436MÉXICO

2006 Juan D. Godino / Vicenç Font / Ángel Contreras / Miguel R. Wilhelmi

UNA VISIÓN DE LA DIDÁCTICA FRANCESA DESDE EL ENFOQUE ONTOSEMIÓTICO DE LA COGNICIÓN E INSTRUCCIÓN MATEMÁTICA

Revista Latinoamericana de Investigacion en Matematica Educativa, marzo año/vol. 9, número 001

Comité Latinoamericano de Matemática Educativa Distrito Federal, México

pp. 117-150

Red de Revistas Científicas de América Latina y el Caribe, España y Portugal

Universidad Autónoma del Estado de México

mailto:[email protected]

http://redalyc.uaemex.mx/

Una visión de la didáctica francesa desde

el enfoque ontosemiótico de la cognición e

instrucción matemática 1

Juan D. Godino2

Vicenç Font3

Ángel Contreras4

Miguel R. Wilhelmi5

RESUMEN

En este trabajo analizamos y comparamos las nociones que proponen la teoría desituaciones didácticas, la teoría antropológica de lo didáctico y la teoría de los camposconceptuales para estudiar los procesos de cognición matemática, así como los aportesde la dialéctica instrumento-objeto y de los registros de representación semiótica. El finconsiste en identificar las semejanzas, diferencias y complementariedades de estosmodelos teóricos con la pretensión de avanzar hacia un marco unificado para el estudiode los fenómenos cognitivos e instruccionales en didáctica de las matemáticas. Asimismo,mostraremos en qué sentido la ontología matemática que se propone dentro del enfoqueontosemiótico, junto con la noción de función semiótica, pueden contribuir al progreso yarticulación coherente de dichas teorías.

PALABRAS CLAVE : Marcos teóricos, matemática educativa, conocimiento,concepciones, esquemas, significados.

ABSTRACT

In this work we analyze and compare the notions that propose the Theory of DidacticSituations, the Anthropological Theory of Didactic and the Theory of the ConceptualFields to study the processes of mathematical cognition, as well as the contribution ofthe Dialectic instrument-object and of the Semiotic Representation Registers. The purposeis to identify the similarities, differences and complements of these theoretical modelswith the pretension of advancing toward a unified framework for the study of the cognitiveand instructional phenomena in mathematics teaching. Also, we will show in what sense

Relime Vol. 9, Núm. 1, marzo, 2006, pp. 117-150.

Fecha de recepción: Noviembre de 2005 / Fecha de aceptación: Febrero de 2006.

Versión ampliada y revisada de la ponencia presentada en el I Congreso Internacional sobre la Teoría Antropológica

de lo Didáctico “Sociedad, escuela y matemáticas: Las aportaciones de la TAD”. Baeza, octubre 2005.

Universidad de Granada. España.

Universidad de Barcelona. España.

Universidad de Jaén. España.

Universidad Pública de Navarra. España.

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the mathematical ontology that is proposed in the Ontosemiotic Approach, along with thenotion of semiotic function, can contribute to the progress and coherent articulation ofthese theories.

KEY WORDS: Theoretical frameworks, mathematics education, knowledge,conceptions, schemes, meaning.

RESUMO

Neste trabalho analisamos e comparamos as noções que propõe a Teoria deSituações Didáticas, a Teoria Antropológica do Didático e a Teoria de CamposConceituais para estudar os processos de cognição matemática, assim como ascontribuições da Dialética instrumento-objeto e dos Registros de RepresentaçãoSemiótica. O objetivo principal consiste em identificar as semelhanças, diferenças ecomplementariedades desses modelos teóricos com a pretensão de avançar até ummarco unificado para o estudo dos fenômenos cognitivos e instrucionais em didáticada matemática. Também mostraremos em que sentido a ontologia matemática,proposta no Enfoque Ontosemiótico, junto com a noção de função semiótica, podemcontribuir para o progresso e articulação coerente de tais teorias.

PALAVRAS CHAVE : Marcos teóricos, Educação Matemática, conhecimento,concepções, esquemas, significado.

RÉSUMÉ

Dans ce travail, nous analysons et comparons les notions que proposent la Théoriede Situations Didactiques, la Théorie Anthropologique du Didactique et la Théoriedes Champs Conceptuels pour étudier les procédés de cognition mathématique, ainsique les apports de la Dialectique outil-objet et des Registres de ReprésentationSémiotique. L’objectif est d’identifier les ressemblances, les différences et lescomplémentarités de ces modèles théoriques, afin de pouvoir prétendre avancervers un cadre unifié pour l’étude des phénomènes cognitifs et instructionels dans ladidactique des mathématiques. De même, nous montrerons dans quel sens l’ontologiemathématique qui est proposée dans l’ Approche Ontosémiotique, et la notion defonction sémiotique peuvent contribuer au progrès et à l’articulation cohérente deces théories.

MOST CLÉS: Cadres théoriques, Didactique des Mathématiques, connaissance,conceptions, schémas, signification.

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1. NECESIDAD DE INTEGRACIÓN DEMARCOS TEÓRICOS EN DIDÁCTICA

DE LAS MATEMÁTICAS

El carácter relativamente reciente en elárea de conocimiento de la didáctica de lasmatemáticas explica que no exista aún unparadigma de investigación consolidado ydominante. Diversos trabajos (Ernest,1994; Sierpinska y Lerman, 1996; Gascón,1998; Font, 2002) cuyo objetivo ha sidorealizar propuestas de organización sobrelos diferentes programas de investigaciónen Matemática Educativa han puesto demanifiesto la diversidad de aproximacionesteóricas que se están desarrollando en laactualidad. En ciertos momentos taldiversidad puede ser inevitable, inclusoenriquecedora, pero el progreso en ladisciplina y la potenciación de susaplicaciones prácticas exige aunaresfuerzos para identificar el núcleo firmede nociones y métodos que, a la larga,deberían cristalizar en un verdaderoprograma de investigación.

Uno de los principales problemas meta-didácticos que debemos abordar es laclarificación de las nociones teóricas quese vienen util izando en el área deconocimiento, en particular las nocionesusadas para analizar los fenómenoscognitivos. No hay un consenso sobre estetema entre los diferentes enfoquesteóricos, ni tan siquiera dentro de laaproximación que suele describirse comoepistemológica o didáctica fundamental(Gascón, 1998). Basta observar la variedadde nociones que se emplean sin que sehaya iniciado su confrontación, clarificacióny depuración: conocimientos, saberes,concepciones, conceptos, esquemas,invariantes operatorios, significados,praxeologías, etc. En este trabajopretendemos iniciar el análisis de las

nociones propuestas para el estudio de ladimensión cognitiva en didáctica de lasmatemáticas, tratando de identificar lasconcordancias, complementariedades,posibles redundancias y discordancias.

El uso del término “cognitivo” no deja deser conflictivo en sí mismo. Con frecuenciase usa para designar los conocimientossubjetivos y los procesos mentales queponen en juego los sujetos individualesenfrentados ante un problema. Desde unenfoque exclusivamente psicológico de lacognición matemática, tales procesosmentales, que suceden en el cerebro delas personas, son los únicos descriptoresdel comportamiento matemático de lossujetos. Esta modelización no toma encuenta que los sujetos dialogan entre sí,consensúan y regulan los modos deexpresión y actuación ante una cierta clasede problemas, ni que de esos sistemas deprácticas compartidas emergen objetosinstitucionales, los cuales a su vezcondicionan los modos de pensar y actuarde los miembros de tales instituciones. Portanto, junto a los conocimientos subjetivos,emergentes de los modos de pensar yactuar de los sujetos considerados demanera individual, es necesario considerarlos conocimientos institucionales, a los quese atribuye un cierto grado de objetividad.

En consecuencia, se debería distinguir enla cognición matemática –y en la cogniciónen general– la dualidad individual einstitucional, facetas entre las cuales seestablecen relaciones dialécticascomplejas. En este contexto, la cogniciónindividual es el resultado de la reflexión yla acción del sujeto individual ante unacierta clase de problemas, mientras que lacognición institucional se deriva del diálogo,el convenio y la regulación en el seno deun grupo de individuos. Una manera dedesignar esas cogniciones con un solotérmino podría ser reservar el término

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‘cognitivo’ para la cognición individual(como se hace con frecuencia por elpredominio de la psicología cognitiva) y‘epistémico’ (relativo al conocimientoobjetivo) para la cognición institucional.

La aproximación cognitiva seinteresa por el funcionamiento delconocimiento bajo el ángulo de losmecanismos y procesos que lopermiten en tanto que actividad deun ser individual. Este esevidentemente un punto de vistadiferente de la aproximaciónepistemológica, que afronta losconocimientos relativamente a undominio particular de objetos, a sudesarrollo histórico y a losprocedimientos de validación (Duval,1996, p. 353).

Como describe Varela (1988), el análisiscientífico del conocimiento en todas susdimensiones es llevado a cabo por diversasciencias y tecnologías de la cognición, entrelas que menciona a la epistemología, lapsicología cognitiva, la lingüística, lainteligencia artificial y las neurociencias. Endidáctica de las matemáticas tenemos queadoptar modelos cognitivos que no esténexclusivamente centrados en la psicologíacognitiva -lo cual se hace con frecuencia-,ya que el estudio de las matemáticas enlas instituciones escolares se propone,como uno de sus fines esenciales, que elsujeto se apropie de los conocimientosmatemáticos a los que se les atribuye unestatus cultural y, por tanto, intersubjetivo.

En las siguientes secciones, trataremos declarificar el uso de nociones cognitivas yepistémicas en las siguientes teorías:Situaciones Didácticas, TSD (Brousseau,1986; 1998); Campos Conceptuales, TCC(Vergnaud, 1990; 1994) y Antropológica delo Didáctico, TAD (Chevallard, 1992; 1999).También haremos referencia a la Dialéctica

Instrumento-Objeto, DIO (Douady, 1986;1991); a los Registros de RepresentaciónSemiótica RRS (Duval, 1995; 1996) y a lanoción de concepción presentada enArtigue (1990).

La sección 2 sintetiza las principalesnociones introducidas en el enfoqueontosemiótico de la cognición e instrucciónmatemática, EOS (Godino, 2002), queusaremos como referencia para interpretary comparar los restantes modelos teóricos.El EOS se propone, en cierto modo, articularlas aproximaciones epistemológica ycognitiva, al establecer como hipótesis básicaque los hechos y fenómenos didácticos(Wilhelmi, Godino y Font, en prensa) tienenuna doble dimensión personal-institucional,cuya descripción y explicación precisa deanálisis microdidácticos tanto de loscomportamientos de los sujetos agentescomo de la ecología de los significados enlos procesos de estudio matemáticos.

Legrand (1996) compara diferentes marcosteóricos en relación con la noción desituación fundamental (Brousseau, 1998).Defiende la pertinencia y utilidad de estanoción, a pesar de su carácter en ciertamedida “utópico”, tanto para orientar laenseñanza como la investigación, al igualque explicita las hipótesis de modelizaciónsobre las cuales reposa la teoría desituaciones y el concepto de situaciónfundamental. A continuación, analiza cómoson abordadas por otras aproximacionesdidácticas las preocupaciones principalesque están en el corazón de la noción desituación fundamental y, en consecuencia,de la TSD. Los modelos teóricos comparadosson la dialéctica instrumento-objeto y losjuegos de marcos propuestos por Douady,la teoría del campo conceptual desarrolladapor Vergnaud, el debate científico encursos de matemáticas desarrollado porLegrand y la teoría antropológica propuestapor Chevallard.

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De esta forma, la finalidad de nuestrotrabajo coincide en gran medida con el deLegrand, al contrastar modelos teóricos endidáctica de las matemáticas, perocentramos la atención en nociones másprimitivas que, en cierta medida, están enla base de la idea de situación fundamental:conocimiento, sentido, concepción, saber.Por este motivo, vamos a indagar el usoque se hace de estas nociones en losmodelos teóricos en discusión, mostrandosus limitaciones y cómo la ontologíamatemática explícita que se propone en elEOS, así como el concepto de funciónsemiótica, puede ayudar a comparar lasteorías y progresar hacia su articulacióncoherente.

2. ENFOQUE ONTOSEMIÓTICO DE LACOGNICIÓN MATEMÁTICA

En diferentes trabajos, Godino ycolaboradores6 (Godino y Batanero, 1994y 1998; Godino, 2002; Godino, Contrerasy Font, 2006; Contreras, Font, Luque yOrdóñez, 2005; Godino, Batanero y Roa,2005) han desarrollado un conjunto denociones teóricas que configuran unenfoque ontosemiótico de la cognición einstrucción matemática, debido al papel

central que asignan al lenguaje en losprocesos de comunicación e interpretacióny en la variedad de objetos intervinientes.Para referirnos a esa manera de enfocarla investigación en didáctica de lasmatemáticas, utilizaremos la expresiónenfoque ontosemiótico (EOS) 7.

En el EOS se ha afrontado el problema de lasignificación y representación mediante laelaboración de una ontología matemáticaexplícita sobre presupuestos iniciales de tipoantropológico8, lo que da cuenta del origenhumano de la actividad matemática y larelatividad socioepistémica de lossignificados, pero sin perder las ventajas dela metáfora objetual, esto es, asumiendotambién planteamientos referenciales(Ulmann, 1962). Dicha metáfora permiteconsiderar acontecimientos, actividades oideas como si fueran entidades (objetos,cosas, etc.), de ahí que todo lo que se pueda“individualizar” en matemáticas puede serconsiderado como objeto (un concepto, unapropiedad, una representación, unprocedimiento, etc.). Es decir, objetomatemático es cualquier entidad o cosareferida en el discurso matemático.

A continuación, vamos a sintetizar el sistemade nociones que se propone en este enfoqueteórico de la cognición matemática9.

Estos trabajos y otros relacionados pueden consultarse en la dirección de internet http://www.ugr.es/local/jgodino.

En algunas publicaciones el EOS se designa como Teoría de las Funciones Semióticas (TFS), al considerar que la

noción de “función semiótica” es central para dicho enfoque.

El EOS adopta supuestos antropológicos, ecológicos y sistémicos sobre las matemáticas, su enseñanza y aprendizaje,

integrándolos de manera coherente mediante una ontología explícitamente definida y una interpretación en términos

semióticos de los procesos de cognición e instrucción matemáticos.

En Godino, Contreras y Font (2006) se han introducido nuevas nociones teóricas para el análisis de los procesos de

instrucción matemática. En particular, la de configuración didáctica (unidad primaria de análisis del funcionamiento del

sistema didáctico, constituida por las interacciones profesor-alumno a propósito de una tarea matemática y usando unos

recursos materiales específicos) y los criterios de idoneidad (que permiten valorar el grado de adecuación y pertinencia

de un proceso de estudio matemático según las dimensiones epistémica, cognitiva, semiótica, mediacional y emocional)

pueden aportar una visión complementaria de la TSD y la teoría de los momentos didácticos (Chevallard, 1999).

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2. 1 Sistemas de prácticas operativas ydiscursivas ligadas a campos o tipos de

problemas

En los trabajos sobre “signi f icadoinstitucional y personal de los objetosmatemáticos” Godino y Batanero (1994y 1998) han introducido las nociones depráctica personal, sistema de prácticaspersonales y objeto personal como útilespara el estudio de la cogniciónmatemática individual. De manera dual,el sistema de prácticas vistas comosignificativas para resolver un campo deproblemas y compartidas en el seno deuna institución, y los objetos institucionalesemergentes de tales sistemas, seproponen como nociones útiles paradescribir la cognición en sentidoinstitucional o epistémico. Una instituciónestá constituida por las personasinvolucradas en una misma clase desituaciones problemáticas; el compromisomutuo con la misma problemáticaconl leva a la real ización de unasprácticas sociales que suelen tenerrasgos particulares, y son generalmentecondicionadas por sus instrumentosdisponibles, reglas y modos defuncionamiento10.

De estas nociones se derivan las designificado de un objeto personal y significadode un objeto institucional, que atañen a lossistemas de prácticas personales oinstitucionales, respectivamente. Talesconceptos se propusieron con la finalidad deprecisar y operativizar los de relaciónpersonal e institucional al objeto, introducidospor Chevallard (1992).

2. 2 Objetos intervinientes y emergentesde los sistemas de prácticas

En las prácticas matemáticas intervienenobjetos ostensivos (símbolos, gráficos,etc.) y no ostensivos (que evocamos en laactividad matemática), los cuales sonrepresentados en forma textual, oral,gráfica e incluso gestual. De los sistemasde prácticas matemáticas emergen nuevosobjetos que dan cuenta de su organizacióny estructura (tipos de problemas, lenguajes,procedimientos, definiciones, proposiciones,argumentaciones).

Los seis tipos de entidades primariaspostuladas amplían la tradicionaldistinción entre entidades conceptualesy procedimentales, ya que se leconsiderara insuficiente para describir losobjetos intervinientes y emergentes de laactividad matemática. Las situaciones-problema son el origen o razón de ser dela actividad; el lenguaje (símbolos,notaciones, gráf icos, entre otros)representa las restantes entidades y sirvecomo instrumento para la acción,mientras que los argumentos justificanlos procedimientos y proposiciones querelacionan los conceptos entre sí. Setrata de entidades funcionales y relativasa los juegos de lenguaje en queparticipan (marcos institucionales ycontextos de uso); tienen también uncarácter recursivo, en el sentido de cadaobjeto, dependiendo del nivel de análisis,puede estar compuesto por entidades delos restantes tipos (un argumento puedeponer en juego conceptos, proposicioneso procedimientos).

10 Las instituciones se conciben como “comunidades de prácticas” e incluyen, por tanto, las culturas, grupos étnicos y

contextos socioculturales. Se asume, por tanto, el postulado antropológico de la relatividad socioepistémica de los

sistemas de prácticas, de los objetos emergentes y los significados.

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2. 3 Relaciones entre objetos: funciónsemiótica

Se adopta de Hjemslev (1943) la nociónde función de signo11 como la dependenciaentre un texto y sus componentes y entreestos componentes entre sí. Por tanto,trata las correspondencias (relaciones dedependencia o función) entre unantecedente (expresión, significante,representante) y un consecuente(contenido o significado, representado),establecidas por un sujeto (persona oinstitución) de acuerdo con un cierto criterioo código de correspondencia. Estoscódigos pueden ser reglas –hábitos oconvenios, con frecuencia implícitos– queinforman a los sujetos implicados sobre lostérminos que se deben poner encorrespondencia en las circunstanciasfijadas.

Las relaciones de dependencia entreexpresión y contenido pueden ser de tiporepresentacional (un objeto se pone enlugar de otro para un cierto propósito),instrumental u operatoria (un objeto usa aotro u otros como instrumento) y estructural(dos o más objetos componen un sistemadel que emergen nuevos objetos). De estamanera, las funciones semióticas y laontología matemática asociada tienen encuenta la naturaleza esencialmenterelacional de las matemáticas ygeneralizan de manera radical la nociónde representación. El papel derepresentación no queda asumidoexclusivamente por el lenguaje: enconsonancia con la semiótica de Peirce12,se postula que los distintos tipos de objetos(situaciones-problema, lenguajes,

Descrita por Eco (1979) como función semiótica.

«Signo es cualquier cosa que determina a alguna otra (su interpretante) para que se refiera a un objeto al cual ella

misma alude (su objeto) de la misma manera; el interpretante se convierte a su vez en un signo, y así ad infinitum »

(CP 2.303).

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procedimientos, conceptos, proposicionesy argumentos) pueden ser también signosde otras entidades.

2. 4. Configuraciones de objetos

La noción de sistema de prácticas es útilpara ciertos análisis de tipo macrodidáctico,particularmente cuando se trata decomparar la forma particular que adoptanlos conocimientos matemáticos en distintosmarcos institucionales, contextos de uso ojuegos de lenguaje. Sin embargo, para unanálisis más fino de la actividadmatemática resulta necesario introducir losseis tipos de entidades primarias:situaciones, lenguaje, procedimientos,conceptos, proposiciones y argumentos.En cada caso, dichos objetos estaránrelacionados entre sí formando“configuraciones”, que se definen como lasredes de objetos intervinientes yemergentes de los sistemas de prácticas ylas relaciones establecidas entre ellos.Tales configuraciones pueden serepistémicas (redes de objetosinstitucionales) o cognitivas (redes deobjetos personales). Los sistemas deprácticas y las configuraciones seproponen como herramientas teóricas paradescribir los conocimientos matemáticosen su doble versión: personal einstitucional.

2 5 Dualidades cognitivas

La noción de juego de lenguaje(Wittgenstein, 1953) ocupa un lugarimportante, al considerarla, junto con la deinstitución, como los elementoscontextuales que relativizan los

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significados de los objetos matemáticos yles atribuyen una naturaleza funcional. Losobjetos matemáticos que intervienen en lasprácticas matemáticas y los emergentes delas mismas, según el juego de lenguaje enque participan, pueden ser consideradasdesde las siguientes facetas o dimensionesduales: personal-institucional13, elemental-sistémico, expresión-contenido, ostensivo-no ostensivo y extensivo-intensivo (Godino,2002). Estas facetas se presentanagrupadas en parejas que secomplementan de manera dual y dialéctica;asimismo, se consideran como atributosaplicables a los distintos objetos primariosy secundarios, dando lugar a distintas“versiones” de dichos objetos.

En Godino, Batanero y Roa (2005) sedescriben los seis tipos de entidadesprimarias y los cinco tipos de dualidadescognitivas mediante ejemplos relativos auna investigación en el campo delrazonamiento combinatorio.

Las nociones descritas (sistemas deprácticas, entidades emergentes,configuraciones o redes ontosemióticas,atributos contextuales, junto con la defunción semiótica como entidad relacionalbásica) constituyen una respuestaoperativa al problema ontológico de larepresentación y significación delconocimiento matemático. Consideramosque el problema epistémico/cognitivo nopuede desligarse del ontológico. Conocer,¿qué cosa? Se trata de elaborar unaontología minimal, pero suficiente para

La dualidad personal-institucional es un aspecto esencial en este modelo teórico como se describe en Godino y

Batanero (1994). Si los sistemas de prácticas son compartidos en el seno de una institución, los objetos emergentes se

consideran como objetos institucionales, mientras que si son específicos de una persona se consideran como objetos

personales. Un planteamiento similar se adopta en los cuadros de racionalidad de Lerouge (2000).

Los conocimientos producidos por los agentes interpretantes no representan necesariamente saberes culturalmente

aceptados, ni tan siquiera tienen porqué ser fundamento para un consenso puntual. En ocasiones, los conocimientos

determinan únicamente acciones o argumentaciones que permiten controlar, validar o regular un estado en un proceso

de estudio.

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describir la actividad matemática y losprocesos de comunicación de sus“producciones”. Como unidad básica para elanálisis cognitivo se propone a los “sistemasde prácticas manifestadas por un sujeto (oen el seno de una institución) ante una clasede situaciones-problema”. Conocer enmatemáticas quiere decir conocer los“sistemas de prácticas” –operativas ydiscursivas–, pero ello supone conocer losdiversos objetos emergentes de lossubsistemas de prácticas y las relacionesentre ellos.

“Saber”, “conocer”, “comprender” seinterpretan en términos de competenciapara resolver problemas cuando tenemosen cuenta el componente pragmático-antropológico de base en el enfoqueontosemiótico de la cognición matemática.Pero la introducción de los objetosemergentes, las facetas duales cognitivasy la función semiótica permiten articular demanera coherente un componentereferencial sobre el conocimientomatemático: saber, conocer, comprenderun objeto O (sea ostensivo-no ostensivo,extensivo-intensivo...) por parte de unsujeto X (persona o institución) se interpretaen términos de las funciones semióticasque X puede establecer, en unascircunstancias fijadas, en las cuales sepone en juego O como expresión ocontenido. Cada función semiótica implicaun acto de semiosis por un agenteinterpretante y constituye unconocimiento14.

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En las restantes secciones de este trabajotrataremos de mostrar que este sistema denociones puede ayudar a articular demanera coherente los programas deinvestigación epistemológico y cognitivo endidáctica de las matemáticas.

3. EL PROGRAMA EPISTEMOLÓGICOEN DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS

La teoría de situaciones, la dialécticainstrumento-objeto y la teoría antropológicapodemos situarlas claramente en elprograma epistemológico de investigaciónen didáctica de las matemáticas. Esteprograma “toma como base del análisisdidáctico de cualquier fenómeno unmodelo de la estructura y dinámica de laactividad matemática escolar” (Bosch,Fonseca y Gascón, 2004, p. 211). Lasteorías de los campos conceptuales y losregistros de representación semiótica lasincluimos en el programa cognitivo –sección 4–, donde se da prioridad alestudio de las características individualesde los sujetos como factor explicativo delos procesos de aprendizaje15.

3.1. Teoría de las situaciones didácticas

La TSD matiza de forma esencial losconceptos de asimilación y acomodacióntal como los definió Piaget, quien estudialos procesos psicológicos de un individuoideal (sujeto epistémico) que tienen lugaren las transiciones de un objeto (conceptoo procedimiento) matemático a otro. La

Esta clasificación obedece tanto a cuestiones teóricas (núcleos firmes considerados en los programas de investigación

asociados a las teorías) como a pragmáticas (necesidad del discurso metadidáctico que afrontamos). Somos conscientes

de que es necesario tomar en consideración que las cuestiones teóricas no son categóricas y que deben ser explicadas en

términos del “peso relativo que juegan las dimensiones cognitiva y epistemológica en la descripción de los sistemas

didácticos” y no en los de la dicotomía “existencia-ausencia” de dichas descripciones.

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didáctica fundamental estudia las“evoluciones” de un individuo que gestionaun saber matemático concreto en un“medio” específico, de forma que dichasevoluciones son irreductibles alcomportamiento psicológico del sujeto. Dehecho, como señala Brousseau (1998, p.59):

La concepción moderna de laenseñanza va a pedir al maestroque provoque en los alumnos lasadaptaciones deseadas, medianteuna elección juiciosa de los“problemas” que le propone [...]. Unatal situación la llamamos situaciónadidáctica. Cada conocimiento sepuede caracterizar por una (ovarias) situaciones adidácticas quepreserva su sentido y quellamaremos situación fundamental.

Más aún, la didáctica fundamental hapostulado la necesidad de modelización delsaber matemático a enseñar. El instrumentode modelización clave utilizado en la teoríade situaciones es el juego; aunque la realidad(didáctica) y el juego formal como modelogeneran unas relaciones, no pueden explicartodo el funcionamiento didáctico. Para la TSD(Brousseau, 1998, pp. 92-94), la necesidadde introducir un medio adidáctico en el juegodidáctico del alumno responde a unanecesidad interna del sistema y no es el frutode una reconstrucción del sistema, ni deninguna observación. Se postula que todoconocimiento está íntimamente relacionadoa una o unas situaciones; de hecho, sedescribe un conocimiento en términos deuna situación.


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Según Brousseau, el saber a enseñar tieneuna existencia cultural, preexistente y, encierta forma, independiente de las personase instituciones interesadas en suconstrucción y comunicación. El análisis delos procesos de comunicación yreconstrucción de dichos saberes por elsujeto en el seno de los sistemas didácticoses el objetivo fundamental de la didáctica.La transposición didáctica da cuenta de lasadaptaciones de estos saberes para suestudio en el contexto escolar.

Parece claro que el saber matemático serefiere a una forma especial de conocimientoinstitucionalizado, la cual habitualmentequeda registrada de una forma axiomática,mediante la que se despersonaliza ydescontextualiza. “Este saber cuyo textoexiste ya, no es una producción directa delmaestro, es un objeto cultural, citado orecitado” (Brousseau, 1986, p. 73).

Asimismo, pensamos que atribuye al sabermatemático unos rasgos que podríamoscalificar de absolutos: existe un “sabererudito” que está ahí (sin negar su carácterhistórico y evolutivo) cuya apropiación por losestudiantes es el compromiso de laenseñanza.

La distinción entre un saber y unconocimiento se debe en primer lugara su estado cultural; un saber es unconocimiento institucionalizado. Elpaso de un estado al otro implica, sinembargo, transformaciones que losdiferencia y que se explican en partepor relaciones didácticas que seestablecen al respecto(Brousseau,1986, p. 97)

La distinción entre saber y conocimientoes central en la TSD:

Las actividades sociales y culturalesque condicionan la creación, el

ejercicio y la comunicación del sabery los conocimientos […] El saber esuna asociación entre buenaspreguntas y buenas respuestas. Elprofesor plantea un problema que elalumno debe resolver: si el alumnoresponde, muestra así que sabe; sino, se manifiesta una necesidad desaber que pide una información, unaenseñanza. (Brousseau, 1986, pp.38 y 48)

Generalmente, Brousseau utiliza el término‘saber’ ligado con el calificativo de “saberformal”, “saber erudito”, “saber teórico”,“saber práctico”, lo cual indica que seinterpreta como algo externo o institucional,como elemento de referencia de laenseñanza y el aprendizaje. La distinciónentre saber teórico y saber práctico indicauna primera “descomposición” del saberque podría relacionarse con la praxis y ellogos, con lo procedimental y lo conceptual,estableciéndose una relación estrecha conla noción de praxeología (Chevallard,1999).

En cuanto a las nociones usadas en lateoría de situaciones para referirse a los“conocimientos del sujeto”, hallamos el usode ‘representación’, en el sentido derepresentación interna; en otras ocasionesBrousseau emplea la expresión modelosimplícitos para dichos conocimientos yrepresentaciones. Interpreta a los modelosimplícitos como “formas de conocimiento”,las cuales “no funcionan de maneracompletamente independiente, ni demanera completamente integrada, paracontrolar las interacciones del sujeto. Elestudio de las relaciones que se establecenentre estos tipos de controles en la actividaddel sujeto y el papel que juegan en lasadquisiciones es un sector de la psicología,esencial para la didáctica, estudio al que ladidáctica pretende, por otra parte, contribuir”(Brousseau, 1986, p. 99).

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De hecho, la noción de modelo es nuclearpara describir los procedimientos decálculo, los resultados de la formulación ylos conocimientos puestos en juego por losestudiantes enfrentados a una situacióndada. Así, se define:

Modelo de acción: Procedimiento decálculo que produce una estrategia(válida para todos los casos) o unatáctica (específica para algunos casosconcretos).

Modelo explícito: Resultado de unasituación de formulación y que puedeser planteado mediante signos y reglas,conocidos o nuevos.

Modelo implícito: Representaciónsimplificada de un conocimiento,suficiente para caracterizar loscomportamientos observados en unasituación dada.

Por otro lado, hay que resaltar que la teoríade situaciones es respetuosa con lasaportaciones de la psicología en el estudiode los procesos de construcción de losconocimientos por parte del sujeto. Losconocimientos evolucionan segúnprocesos complejos. Querer explicar esasevoluciones únicamente por lasinteracciones efectivas con el medio seríaciertamente un error, pues muy pronto losniños pueden interiorizar las situacionesque les interesen y operar con sus“representaciones internas”, experienciasmentales muy importantes. Resuelven asílos problemas de asimilación (aumento deesquemas ya adquiridos por agregación dehechos nuevos) o de acomodación(reorganización de esquemas paraaprender preguntas nuevas o para resolvercontradicciones). Pero la interiorización deestas interacciones no cambia mucho lanaturaleza: el diálogo con un oponente“interior” es ciertamente menos vivificante

que un verdadero diálogo, mas es undiálogo.

Ahora bien, el término concepción sólo lohemos encontrado en un párrafo deBrousseau, que hemos tomado comoprincipal referencia para nuestro análisis.Nos parece que se usa con un significadosimilar a modelo implícito y también demanera equivalente a conocimientos delalumno: “Es necesario insistir sobre elcarácter ‘dialéctico’ de estos procesos: lasconcepciones anteriores de los alumnos ylos problemas que el medio les propone,conducen a nuevas concepciones y anuevas preguntas cuyo sentido esfundamentalmente local” (Brousseau,1986, p. 100). Sin embargo, en Antibi yBrousseau (2000, p. 18) se indica que “unade las hipótesis fuertes de la teoría desituaciones y de la teoría de los camposconceptuales es la que postula la existenciade las concepciones”.

Nos parece fundamental el progreso dadopor la teoría de situaciones al conectargenéticamente los conocimientosmatemáticos con las situaciones-problema,pero pensamos que es insuficiente elanálisis de los constituyentes delconocimiento: las situaciones son uno delos constituyentes, pero no el único. En lateoría de situaciones hallamos propuestas,aunque de modo implícitas, para progresaren la descomposición controlada delconocimiento. Si bien están las situacionesde acción -que son ocasión para eldesarrollo y aplicación de técnicasmatemáticas de solución de los problemas-,las situaciones de formulación –comunicación en la que intervienen demanera esencial los instrumentoslingüísticos– y las situaciones de validación,donde intervienen lo que podemosdenominar objetos validativos –argumentaciones o demostraciones–, losconceptos y teoremas deben ser


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reconocidos como constituyentesesenciales del componente discursivo delconocimiento, tanto en su versión personal(concepciones, conceptos y teoremas enacto) como institucional (conceptos yteoremas matemáticos).

3.2. La dialéctica instrumento-objeto y eljuego de marcos

Douady (1986) atribuye a los conceptosmatemáticos un carácter no unitario eidentifica en ellos dos polos o dimensionesprincipales: el aspecto objeto (cultural,impersonal e intemporal), plasmado endefiniciones y propiedades características,y el aspecto instrumento, que permite aalguien realizar una tarea en un momentodado.

Decimos que un concepto esinstrumento cuando focalizamosnuestro interés sobre el uso que sehace de él para resolver unproblema. Un mismo instrumentopuede ser adaptado a variosproblemas, varios instrumentospueden ser adaptados a un mismoproblema. Por objeto entendemos elobjeto cultural que tiene un lugar enun edificio más amplio que es elsaber sabio en un momento dado,reconocido socialmente (Douady,1986, p. 9).

Interpretamos que el concepto-instrumentose pone en juego en las fases o momentosde exploración en la resolución deproblemas, y está del lado del estudianteo del investigador matemático que resuelveel problema. El concepto-objeto se pone enjuego en las fases de institucionalización,normalmente hechas por el profesor, perotambién es resultado de los procesos defundamentación y validación de losconocimientos entendidos como entidadesculturales. “Se llega a que los

investigadores crean directamente objetospara organizar mejor una rama de lasmatemáticas, para poner en orden lospensamientos o por necesidades de laexposición” (Douady, 1986, p. 9).

Para Douady los conceptos matemáticostienen una doble dimensión: por un lado,posibilitan la acción (instrumento), por otro,son conceptualizados como entidadesreutilizables en otros procesos similares –nose vinculan necesariamente a una situacióndeterminada– y pueden formar parte de undiscurso más general (objeto). De esta forma,la distinción instrumento-objeto descrita porDouady la podemos interpretar en términosde subsistema de prácticas operatorias(praxis) y discursivas (logos), entre las cualesse establecen relaciones dialécticas demutua interdependencia.

Pero la dialéctica instrumento-objeto nopuede ser explicada totalmente sin hacerreferencia a la noción de marco (en francés,cadre) introducida por Douady, que suponeel reconocimiento de una relatividad en lasprácticas matemáticas respecto a los“contextos de uso” internos en la propiamatemática. El uso de un marco u otro afectaa los procedimientos de solución, su eficaciarelativa e incluso al planteamiento de nuevosproblemas. En el aprendizaje de una nociónmatemática, o en la resolución de unproblema, el hecho de cambiar de marco enel que se afronta dicho problema permitedesbloquear los procesos de comprensióny, en muchos casos, generalizar una noción,un procedimiento o un significadomatemáticos. Tal generalización representael paso de un uso contextualizado de unobjeto matemático (que determina unafunción como concepto-instrumento en unasituación concreta de dicho objeto) a un usopotencial (el objeto trasciende la situaciónconcreta y se constituye en un concepto-objeto reutilizable para una clase desituaciones).

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La palabra ‘cadre’ es tomada en elsentido usual que tiene cuando sehabla de marco algebraico,aritmético, geométrico..., perotambién de marco cualitativo oalgorítmico. Decimos que un marcoestá constituido por los objetos deuna rama de las matemáticas, de lasrelaciones entre los objetos, susformulaciones eventualmentediversas y a las imágenes mentalesasociadas a estos objetos y estasrelaciones (Douady, 1986, p. 11)

La mención de las imágenes mentales enla descripción de los marcos que haceDouady nos lleva a pensar que, en suformulación inicial, esta noción tiene uncarácter híbrido institucional-personal. Poruna parte, los marcos o contextosalgebraico, geométrico, etc., tienen unasconnotaciones independientes de lossujetos y se postula una relatividad de lossignificados ligados a los mismos:

El significado de un concepto sederiva del contexto en que estáimplicado. Por tanto, es el estadocomo instrumento lo que entra enjuego. También se deriva de lasrelaciones desarrolladas en elcontexto con otros conceptos en elmismo dominio matemático o no(Douady, 1991, p. 116).

Pero al incluir las imágenes mentales enla definición de marco se está atribuyendoa dicha noción una dimensión individual, yen cierto modo una relatividad personal delsignificado de los objetos matemáticos.Esta apreciación es compartida porLerouge (2000) quien, en referencia a lostrabajos de Douady, afirma que “la autoraha pasado en algunos años de un modelosincrónico a un modelo diacrónico en el quecada estado en el transcurso del tiempose puede caracterizar por componentes

matemáticas, socioculturales y personales”(Lerouge, 2000, p.180).

Este breve análisis de la dialécticainstrumento-objeto y del juego de marcosnos lleva a afirmar que en el modelo teóricode Douady está presente, al menos de unamanera implícita, una concepción de lasmatemáticas en términos praxeológicos,así como la atribución de una relatividadpragmática del significado de los objetosmatemáticos en sus dimensionespersonales y socioculturales.

No obstante, estas nociones teóricas y sumetodología nos parecen insuficientes parael análisis de la actividad matemática, desus objetos emergentes y de las distintasfunciones que éstos pueden desempeñar.En la sección 5 justificaremos estaafirmación.

3.3. Teoría antropológica de lo didáctico

La teoría antropológica de lo didáctico se hacentrado hasta el momento, casi de maneraexclusiva, en la dimensión institucional delconocimiento matemático. Aquí, las nocionesde obra matemática, praxeología y relacióninstitucional al objeto se proponen como losinstrumentos para describir la actividadmatemática y los objetos institucionalesemergentes de tal actividad. La dimensióncognitiva es descrita en términos de larelación personal al objeto, que agrupa todaslos restantes conceptos propuestos desde lapsicología (concepción, intuición, esquema,representación interna, etc.); sin embargo, lanoción de relación personal al objeto no hasido desarrollada, al postularse como previay determinante la caracterización de laspraxeologías matemáticas y el estudio de lasrelaciones institucionales. De hecho, lapraxeología local representa la unidadmínima de análisis de los procesos didácticos(Bosch y Gascón, 2004). Por praxeología,se entiende:


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Alrededor de un tipo de tareas, T, seencuentra así, en principio, unatripleta formada por una técnica (almenos), , por una tecnología de , y por una teoría de . El total,indicado por , constituyeuna praxeología puntual, donde esteúltimo calificativo significa que setrata de una praxeología relativa aun único tipo de tareas, T. Una talpraxeología –u organizaciónpraxeológica– está pues constituidapor un bloque práctico - técnico, , y por un bloque tecnológico-teórico, .

El bloque se identificahabitualmente como un saber,mientras que el bloqueconstituye un saber-hacer. Pormetonimia, se designa corrientementecomo “saber” la praxeología

completa, o inclusocualquier parte de ella. Pero estamanera de hablar estimula unaminoración del saber-hacer, sobretodo en la producción y difusión delas praxeologías (Chevallard, 1999,p. 229).

Las técnicas se describen como manerasde realizar las tareas. Una técnica no esnecesariamente de naturaleza algorítmicao casi algorítmica; sólo en casos pocofrecuentes. No se hace referencia algunaa que las técnicas sean usadas para elanálisis de la cognición del sujeto, sino másbien para la cognición, entendida en sentidoinstitucional. Se trata de una noción decarácter epistémico y, por tanto, es útil parala descripción de dicha dimensión, no dela cognitiva (personal).

Parece claro que como constituyentes delas tecnologías y de las teorías –aunqueno se ha precisado hasta el momento losconceptos, las proposiciones y las

ττ,θ θ,Θ

T /τ / θ / Θ[ ]

T /τ[ ]θ / Θ[ ]

θ / Θ[ ]

T /τ[ ]

T /τ / θ / Θ[ ]

demostraciones matemáticas, mediante loscuales se logra justificar y explicar lastécnicas–, estas nociones estánimplícitamente contenidas en laspraxeologías matemáticas y tienen unanaturaleza epistémica y, por ende,institucional.

La noción de praxeología guarda granparalelismo con la de sistema de prácticasinstitucionales ligadas a un campo deproblemas (Godino y Batanero, 1994). Dehecho, el punto de partida de este trabajode Godino y Batanero fue precisar algunasnociones introducidas por Chevallard(1992), como sistema de prácticas y objetomatemático, pero sobre todo desarrollar lanoción de relación personal al objeto.

La distinción entre el dominio de lopersonal y de lo institucional y desus mutuas interdependencias esuno de los ejes principales de laantropología cognitiva. Pero unénfasis excesivo en lo institucionalpuede ocultar la esfera de lo mental,de los procesos de cogniciónhumana, que quedan diluidos en lateorización de Chevallard, de losque en un enfoque sistémico de ladidáctica no se puede prescindir. Laconsideración explícita de estedominio nos lleva a diferenciar entreobjeto institucional, base delconocimiento objetivo, y objetopersonal (o mental), cuyo sistemaconfigura el conocimiento subjetivoy proporciona una interpretación útila la noción de concepción del sujeto(Artigue, 1990), así como a las deconcepto y teorema en acto(Vergnaud, 1990) [Godino yBatanero, 1994, p.333].

Respecto a la noción de praxeología,según se describe en Chevallard (1999),consideramos que el polo tecnológico/

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teórico (logos) se debe descomponerexplícitamente en entidades máselementales y operativas (conceptos-definición, proposiciones, argumentaciones);además, nos parece necesario añadir untercer polo, formado por el sistema de objetosperceptibles mediante los cuales seexpresan y operan los otros dos polos (ellenguaje).

El análisis detallado sobre los procesos deresolución de tareas matemáticas revelaque las fases de desarrollo de las técnicas(en general, elementos procedimentales)suponen la aplicación contextualizada deobjetos intensivos (conceptos-regla yproposiciones) y validativos, al menos demanera implícita. De igual modo, laelaboración de justificaciones requiere laaplicación de elementos procedimentalesy situacionales. Esta circunstancia nosparece que resta relevancia a la distinciónpraxis-logos (y la de tecnología-teoría): loselementos discursivos y regulativos sondensos por doquier en la actividadmatemática.

4. EL PROGRAMA COGNITIVO ENDIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS

4.1. La teoría de los camposconceptuales

La teoría de los campos conceptuales(Vergnaud, 1990, 1994) es la que másnociones cognitivas ha introducido:esquema, invariante operatorio (conceptoen acto y teorema en acto16), concepto,campo conceptual, sentido de un

16 Los conceptos y teoremas en acto han sido traducidos al inglés como theorems-in-action y concepts-in-action (Vergnaud,

1998). Las expresiones “en acto” y “en acción” expresan una misma concepción: los teoremas y conceptos emergen de

la actividad matemática. Así, un conocimiento se constituye en un teorema en acto si el alumno organiza diversas

estrategias de resolución en torno a dicho conocimiento.

conocimiento. Esta es la razón por la queincluimos este modelo teórico dentro delprograma cognitivo, reconociendo, noobstante, que algunas nociones teóricaselaboradas (campo conceptual) tienen unanaturaleza epistémica.

La noción de esquema

La noción cognitiva básica para Vergnaudes la de esquema, que describe como “laorganización invariante de la conducta parauna clase de situaciones dadas” (Vergnaud,1990, p. 136). Dice que “es en losesquemas donde se deben investigar losconocimientos en acto del sujeto que sonlos elementos cognitivos que permiten a laacción del sujeto ser operatoria”.

Cada esquema es relativo a una clase desituaciones cuyas características son biendefinidas. Además, un esquema reposasiempre sobre una conceptualizaciónimplícita, siendo los conceptos-en-acto ylos teoremas-en-acto constituyentes de losesquemas operatorios. A su vez, consideraque los esquemas son los elementos quesirven de base (sostienen) a las“competencias matemáticas”. De maneramás precisa, Vergnaud (1990, p.135)señala que para “considerar correctamentela medida de la función adaptativa delconocimiento, se debe conceder un lugarcentral a las formas que toma en la accióndel sujeto. El conocimiento racional esoperatorio o no es tal conocimiento”.

Por ello, continua Vergnaud, es necesariodistinguir dos clases de situaciones: 1)aquellas para las cuales el sujeto disponeen su repertorio […] de competencias


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necesarias para el tratamiento relativamenteinmediato de la situación; 2) aquellas paralas cuales el sujeto no dispone de todas lascompetencias necesarias, lo que le obliga aun tiempo de reflexión y de exploración, dedudas, tentativas abordadas, y le conduceeventualmente al éxito o al fracaso. SegúnVergnaud, el concepto de esquema seaplica fácilmente a la primera categoría desituaciones y con mayor dificultad a lasegunda.

Un esquema es una totalidad organizadaque permite generar una clase deconductas diferentes en función de lascaracterísticas particulares de cada una delas situaciones de la clase a la cual sedirige. Implica los siguientes componentes:

Invariantes operatorios (conceptos-en-acto y teoremas-en-acto) que pilotan elreconocimiento por el sujeto de loselementos pertinentes de la situación yla recogida de información sobre lasituación a tratar

Anticipaciones del fin a lograr, de losefectos a esperar y de las etapasintermedias eventuales

Reglas de acción del tipo si...entonces... que permiten generar laserie de acciones del sujeto

Inferencias (o razonamientos) quepermiten “calcular” las reglas y lasanticipaciones a partir de lasinformaciones y del sistema deinvariantes operatorios de los quedispone el sujeto

La noción de esquema incorporaelementos procedimentales (técnicas omodos de actuar) y tecnológicos-teóricosimplícitos (conocimientos en acto);además, está asociada a una clase desituaciones, entendidas como tareas. En

tal sentido, admite una interpretacióncoherente en términos de los “sistemas deprácticas personales ligadas a un tipo deproblemas” (Godino y Batanero, 1994).

La noción de concepto

Los invariantes operatorios (conceptos yteoremas en acto) son entidadescognitivas, no epistémicas, al igual que lanoción de esquema, la cual constituyen.

Un concepto-en-acto no es de hechoun concepto, ni un teorema-en-actoun teorema. En la ciencia, losconceptos y los teoremas sonexplícitos y se puede discutir supertinencia y su verdad (Vergnaud,1990, p.144).

Vergnaud propone una noción de conceptoa la que parece atribuir una naturalezacognitiva, al incorporar los invariantesoperatorios “sobre los que reposa laoperacionalidad de los esquemas”. Estanoción es distinta de lo que son losconceptos y teoremas en la ciencia, paralos que no propone ningunaconceptualización. Expresamente, diceque:

Una aproximación psicológica ydidáctica de la formación deconceptos matemático, conduce aconsiderar un concepto como unconjunto de invariantes utilizables enla acción. La definición pragmáticade un concepto pone, por tanto, enjuego el conjunto de situaciones queconstituyen la referencia de susdiferentes propiedades, y el conjuntode esquemas puestos en juego porlos sujetos en estas situaciones(Vergnaud, 1990, p. 145).

Una primera observación es que en laaproximación dada a los procesos de

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conceptualización no se tiene en cuenta eluso de significantes explícitos (palabras,enunciados, símbolos y signos).

Una segunda observación es que en dichaaproximación no se distingue con claridad elplano personal del institucional, ni su carácterrelativo al sujeto individual o a los contextosinstitucionales. El saber sabio se proponecomo un elemento de referencia para elinvestigador con un carácter absoluto ouniversal. La incorporación del conjunto desituaciones y de significantes, junto con los“invariantes operatorios constituyentes de losesquemas”, lleva inevitablemente a confundirlos planos cognitivos y epistémicos, lo queva a dificultar estudiar la dialéctica entreambas facetas de la cognición matemática.Esta falta de problematización de la dualidadpersonal-institucional se percibe también enla definición de la noción de campoconceptual.

La noción de campo conceptual

La primera descripción que hace Vergnaudde un campo conceptual es la de “conjuntode situaciones”. Pero a continuación aclaraque, junto a las situaciones, se debenconsiderar también los conceptos y teoremasque se ponen en juego en la solución de talessituaciones.

En efecto, si la primera entrada de uncampo conceptual es la de lassituaciones, se puede tambiénidentificar una segunda entrada, la delos conceptos y los teoremas(Vergnaud, 1990, p. 147).

Así, por ejemplo, el campo conceptual de lasestructuras aditivas es a la vez el conjuntode las situaciones cuyo tratamiento implicauna o varias adiciones o sustracciones, y elconjunto de conceptos y teoremas quepermiten analizar estas situaciones comotareas matemáticas.

En esta descripción del campo conceptualno se mencionan elementos de tiposubjetivo, por lo cual consideramos que alcampo conceptual se le atribuye unanaturaleza de tipo epistémica. Losconceptos y teoremas que intervienen aquíse califican como “matemáticos”, nocionesque no son teorizadas; la de conceptomatemático no parece ser la misma que lade cognitiva de concepto, que acaba dedefinirse como una tripleta heterogénea deconjuntos formados por situaciones,invariantes y significantes.

La noción de campo conceptual y losejemplos que pone de ella tiene unascaracterísticas muy generales (estructurasaditivas, estructuras multiplicativas, laelectricidad, la mecánica, las magnitudesespaciales, la lógica de clases). Al igual quela noción de concepto no se relativiza a loscontextos institucionales, dificultando deeste modo el análisis de la dinámica yecología de tales formaciones epistémicas.

Según nuestra interpretación, la noción decampo conceptual, que de una maneraimplícita también incluye los algoritmos yprocedimientos de resolución de los tiposde problemas que se incluyen en loscampos conceptuales, podría asimilarse ala de praxeología matemática global, yaque ambas nociones tienen una naturalezainstitucional e incluyen componentessimilares. Ciertamente, la noción depraxeología es bastante más general yflexible, pues se aplica también a tipos deproblemas más puntuales, aparte dedistinguir entre los dos polos del sabermatemático: el saber-hacer (praxis) y elsaber-qué (logos).

La noción de sentido

“El sentido es una relación del sujeto a lassituaciones y a los significantes. Másprecisamente, son los esquemas evocados


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por el sujeto individual en una situación opor un significante lo que constituye elsentido de esta situación o de estesignificante para este sujeto. Losesquemas, es decir, las conductas y suorganización. El sentido de la adición paraun sujeto individual es el conjunto deesquemas que puede poner en prácticapara tratar las situaciones a las cuales esconfrontado, y que implican la idea deadición” (Vergnaud, 1990, p. 158).

En esta descripción, Vergnaud estáhaciendo corresponder a un objetomatemático, por ejemplo, “la adición”, conun conjunto de otros objetos (situaciones,esquemas, significantes), o sea, lo queanteriormente ha presentado como unconcepto en sentido cognitivo. Tal sistema17

representa entonces el sentido o significadode la adición para el sujeto, por lo queguarda una fuerte relación con uno de lostipos de significados que hacemos en elenfoque ontosemiótico: el significadopersonal de un objeto matemáticoconsiderado como “sistema de prácticaspersonales eficaces para la resolución deun cierto tipo de problemas”.

Respecto a este punto, podemos decir quela teoría de los campos conceptuales nointroduce una versión institucional de lanoción de sentido, por lo cual se dificulta elestudio de la dialéctica entre lasdimensiones personales e institucionalesde la cognición matemática. Además,debemos analizar si el “sistema deprácticas” del EOS es una interpretaciónmás general y flexible de las nociones deesquema y concepto (según Vergnaud),como herramientas utilizadas para ladescripción del comportamientomatemático de los alumnos.

Es un sistema y no un conjunto, ya que importa tanto los objetos referidos como la estructura que se les confiere.17

[Las nociones de esquema yconcepto son] un análisis muy finode los procedimientos depensamiento, de los ‘gestos’intelectuales del alumno, puesto quede algún modo es la facilidad delalumno en la realización de estosgestos lo que le va a permitirprincipalmente entrar en la situación,que va a condicionar la atribución desentidos adaptados (Legrand, 1996,p. 246).

El interés de la TCC por loscomportamientos de los estudiantesdetermina su diferencia fundamental conla TSD.

La teoría del campo conceptualpuede ser considerada como unateoría que clarifica esencialmente elfuncionamiento individual delalumno o del profesor, mientras quela teoría de situaciones clarifica másel funcionamiento de la clase(Legrand, 1996, p. 247).

4.2. La noción de concepción

La noción de concepción es la más usadapara el análisis cognitivo en didáctica delas matemáticas, como puede inferirse delestudio que hace Artigue (1990). Estambién usada por los modelos teóricosTSD, TCC y DIO-JM, descritosanteriormente.

Esta noción no se distingue claramente enla bibliografía de otras como representación(interna), modelo implícito, etc. Comodescribe Artigue (1990, p. 265), “trata deponer en evidencia la pluralidad de puntosde vista posibles sobre un objeto

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matemático, diferenciar las representacionesy modos de tratamiento que se le asocian,poner en evidencia su adaptación más omenos buena a la resolución de distintasclases de problemas”. En la descripción quehace Artigue se aprecian dos sentidoscomplementarios para el términoconcepción: el punto de vista epistémico(naturaleza compleja de los objetosmatemáticos y de su funcionamiento) y elpunto de vista cognitivo (los conocimientosdel sujeto en relación a un objeto matemáticoparticular). Así, Artigue (1990) habla de, “unconjunto de concepciones es definido a prioricon referencia a once definiciones distintasde círculo” (p. 268); y también se habla de“las concepciones del sujeto sobre elconcepto de ... (círculo, tangente, límite,etc.)”.

Sobre las concepciones del sujeto sediscuten dos tipos de usos según losdistintos autores:

a)La concepción como estado cognitivoglobal que tiene en cuenta la totalidadde la estructura cognitiva del sujetoen un momento dado en relación aun objeto. En este caso, unaconcepción representa un “conceptosubjetivo”, entendiendo éste entérminos de la tripleta de Vergnaud(situaciones, invariantes ysignificantes).

b)La concepción como un objeto local,estrechamente asociado al saberpuesto en juego y a los diferentesproblemas en cuya resoluciónintervienen.

Sin embargo, el uso habitual (basado enun enfoque cognitivo) de concepciónconlleva unas connotaciones fuertementementalistas. A pesar de los intentos deproponer un uso técnico de esta noción noparece muy distinto del uso que se hace

del mismo en el lenguaje ordinario: “la ideaque tiene una persona en su mente cuandopiensa sobre algo en un momento ycircunstancias dadas”. Con otras palabras,los conocimientos y creencias sonconcebidos únicamente como entidadesmentales y, por lo tanto, no susceptiblesde generalización a colectivos sociales enel enfoque cognitivista.

Por otro lado, desde el programaepistemológico, la noción de concepción esmodelizada en tanto objeto que permite laacción o la argumentación del sujeto conrelación a la búsqueda de una respuesta auna cuestión matemática.

Una concepción está determinadapor un conjunto relativamenteorganizado de conocimientosutilizados con bastante frecuencia,y conjuntamente, sobre unconjunto de situaciones (para elcual son pertinentes, adecuados,útiles, etc.), y que se manifiestanmediante un repertor iorelativamente estable y limitado decomportamientos, lenguajes,técnicas, etc. (Antibi y Brousseau,2000, p. 20)

Por último, bajo un enfoque antropológicola concepción comprende también lasdestrezas, disposiciones, capacidadeslógicas y discursivas, en definitiva, la“relación personal al objeto”. En estainterpretación de la concepción vemosque si la noción de conocimiento es losuficientemente amplia, de modo queabarque tanto los conocimientos de“saber hacer” (praxis), como “saber qué”(logos) la concepción del sujeto viene aser equivalente a la faceta no ostensiva(interiorizada) de los subsistemas deprácticas personales asociadas a unobjeto, relativas a un contexto de uso oun marco institucional.


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4.3 Registros de representaciónsemiótica

Una característica importante de laactividad matemática es el uso de diversossistemas de expresión y representación,además del lenguaje natural: variadossistemas de escritura para los números,escrituras algebraicas para expresarrelaciones y operaciones, figurasgeométricas, gráficos cartesianos, redes,diagramas, esquemas, etc. Duval (1995)se ha interesado particularmente por esteuso variado de los sistemas derepresentación semiótica y se pregunta:“¿Es esencial esta utilización de variossistemas semióticos de representación yexpresión, o al contrario no es más que unmedio cómodo pero secundario para elejercicio y para el desarrollo de lasactividades cognitivas fundamentales?” (p.3). Considera que esta pregunta sobrepasael dominio de las matemáticas y de suaprendizaje y apunta hacia la naturalezamisma del funcionamiento cognitivo delpensamiento humano, aportando lossiguientes argumentos:

1)No puede haber comprensión enmatemáticas si no se distingue unobjeto de su representación. No sedeben confundir nunca los objetosmatemáticos (números, funciones,rectas, etc.) con sus representaciones(escrituras decimales o fraccionarias,los símbolos, los gráficos, los trazadosde figuras, etc.), pues un mismo objetomatemático puede darse a través derepresentaciones muy diferentes.

2)Existen representaciones mentales,conjunto de imágenes, conceptos,nociones, ideas, creencias,concepciones que un individuo puedetener sobre un objeto, sobre una

situación y sobre aquello que les estáasociado. “Permiten una mirada delobjeto en ausencia total de significanteperceptible”. (p. 20). Las representacionesmentales están ligadas a lainteriorización de representacionesexternas, de la misma manera que lasimágenes mentales lo están a unainteriorización de los perceptos.

3)Las representaciones semióticas sonun medio del cual dispone un individuopara exteriorizar sus representacionesmentales, es decir, para hacerlasvisibles o accesibles a los demás.Además de sus funciones decomunicación, las representacionessemióticas son necesarias para eldesarrollo de la propia actividadmatemática. La posibilidad de efectuartratamientos (operaciones, cálculos)sobre los objetos matemáticos dependedirectamente del sistema derepresentación semiótico utilizado. Elprogreso de los conocimientosmatemáticos se acompaña siemprede la creación y del desarrollo desistemas semiót icos nuevos yespecíficos que coexisten con el dela lengua natural y les confieren elcarácter de objetos.

4)La pluralidad de sistemas semióticospermite una diversificación tal de lasrepresentaciones de un mismo objeto,que aumenta las capacidadescognitivas de los sujetos y, por tanto,de sus representaciones mentales.Esta interdependencia entre lasrepresentaciones internas y externasla expresa Duval afirmando que “nohay noesis18 sin semiosis; es lasemiosis la que determina lascondiciones de posibilidad y de ejerciciode la noesis” (p. 5). La aprehensión

18 Noesis, aprehensión conceptual de un objeto; semiosis, la aprehensión o la producción de una representación semiótica.

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conceptual no es posible sin el recursoa una pluralidad, al menos potencial,de sistemas semióticos, y, por tanto, sucoordinación por parte del sujeto.

5)La coordinación entre lasrepresentaciones que provienen desistemas semióticos diferentes no esespontánea; la conversión de unossistemas a otros requiere unaprendizaje específico. El problemaesencial de la semiosis es el de ladiversidad de sistemas derepresentación y los fenómenos de no-congruencia que resultan por laconversión de las representaciones. Lacoordinación entre representaciones noes una consecuencia de la aprehensiónconceptual (noesis) sino que, alcontrario, el logro de dicha coordinaciónes una condición esencial de la noesis.

La contribución teórica de Duval se inscribedentro de la línea de indagación quepostula una naturaleza mental (lasrepresentaciones internas) para elconocimiento matemático y que atribuyeun papel esencial en los procesos deformación y aprehensión de lasrepresentaciones mentales (noesis) allenguaje, en sus diversas manifestaciones.La disponibilidad y uso de diversossistemas de representación semiótica, sustransformaciones y conversiones, seconsidera imprescindible en la generacióny desarrollo de los objetos matemáticos;pero la semiosis (producción y aprehensiónde representaciones materiales) no esespontánea y su dominio debe ser unobjetivo de la enseñanza. Una atenciónparticular debe darse a la conversión entreregistros de representación semiótica nocongruentes entre sí19.

19 La congruencia o no congruencia entre dos registros de representación semiótica se determina según criterios

económicos (coste para la realización de una tarea), prácticos (utilidad y eficacia de un registro para la realización de una

tarea) y teóricos (consistencia con los saberes existentes en el seno de una institución dada).

Estas ideas nos parecen razonables y útilespara la educación matemática. Sinembargo, desde la perspectiva más globaldel EOS, encontramos las siguienteslimitaciones en el modelo cognitivoelaborado por Duval.

1. No se propone una teoría explícita dequé sean los objetos matemáticos, apartede ser concebidos como representacionesinternas (conceptos, ideas, nociones,creencias, etc.). No se concede un papelclaro a la acción del sujeto, ligada asituaciones-problema, ni a su dimensiónsociocultural. Sólo se enfatiza el papelmediador del lenguaje y las tareas deproducción y manipulación de los sistemasde representación. ¿Qué es un conceptopara Duval? ¿Qué otros tipos de objetos,además de conceptos, se ponen en juegoen la actividad matemática?

2. Comprensión y diversidad derepresentaciones. Se postula que para laaprehensión conceptual es necesario eltrabajo con al menos dos registros derepresentación semiótica. Sin embargo,desde el punto de vista del EOS, laaprehensión del componente discursivo,por ejemplo, del número 3 se consiguecuando se conoce (entiende) que el signo‘3’ es un miembro de la estructura numéricanatural, o sea, un miembro de yes indiferente usar cualquier numeral paraindicar ese miembro. El uso de distintasrepresentaciones proporciona propiedadesergonómicas específicas que enriquecenprogresivamente la comprensión de losnúmeros, pero no es necesario “conocer”varios sistemas numerales para saber quéson los números naturales. El componentepraxémico (situacional y procedimental) delsignificado sistémico del número requiere

(N,+,≤)


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el conocimiento de los usos del número,de las técnicas e instrumentos de contar yordenar. El conocimiento del número no sereduce a un juego de representaciones.

3. El modelo de cognición matemática deDuval no incorpora la faceta institucional oepistémica del conocimiento matemático.Esto nos deja sin medios para planificarlos procesos curriculares e instruccionalesmatemáticos y entender el aprendizaje yla comprensión matemática como unacoplamiento progresivo entre significadosinstitucionales y personales de objetosmatemáticos.

Independientemente de estas limitacionespensamos que la semiótica cognitivaelaborada por Duval es un desarrolloparcialmente compatible con el EOS, al queaporta algunas nociones útiles paraestudiar los fenómenos del aprendizajematemático (tipos de funciones discursivasy meta-discursivas del lenguaje,diferenciación funcional y coordinación deregistros, etc. (Duval, 1996)).

5. HACIA UNA ARTICULACIÓN DEMODELOS TEÓRICOS

La tesis que vamos a argumentar en estasección es que el EOS puede ayudar acomparar los marcos teóricos descritosanteriormente y, en cierta medida, asuperar algunas de sus limitaciones parael de análisis de la cognición matemática.La justificación de esta afirmación, sin dudademasiado fuerte, sólo podrá ser esbozadaen este trabajo. En principio, se trata de

una expectativa que se basa en lageneralidad con la que se define en el EOSlas nociones de problema matemático,práctica matemática, institución, objetomatemático, función semiótica y lasdualidades cognitivas (persona-institución;elemental-sistémico; ostensivo-noostensivo; extensivo-intensivo; expresión-contenido). Estas nociones nos permitenestablecer conexiones coherentes entre losprogramas epistemológicos y cognitivossobre unas bases que describimos comoontosemióticas20.

Concebimos las teorías comoinstrumentos que permiten definir losproblemas de investigación así como unaestrategia metodológica para suabordaje. El sistema de nociones teóricasy metodológicas que necesitamoselaborar, para caracterizar los fenómenosdidácticos, deberá permitir diferentesniveles de análisis de las diversasdimensiones o facetas implicadas en losprocesos de enseñanza y aprendizaje delas matemáticas. Este sistema no puedeelaborarse con la simple agregación deelementos teóricos y metodológicos dedistintos enfoques disponibles, sino queserá necesario elaborar otros nuevosmás eficaces, enriqueciendo algunasnociones ya elaboradas, evi tandoredundancias y conservando unaconsistencia global. Debemos aspirar aincluir en dicho sistema las nocionesteóricas y metodológicas “necesarias ysuf ic ientes” para invest igar lacomplej idad de los procesos deenseñanza y aprendizaje de lasmatemáticas.

20 El papel central dado en el EOS a la práctica matemática (en su versión institucional, esto es, relativa a juegos de

lenguaje y formas de vida) y las características que se le atribuye a dicha noción (acción compartida, situada, intencional,

mediada por recursos lingüísticos y materiales) permite acomodar en este marco otras posiciones teóricas como el

constructivismo social (Ernest, 1998), la socioepistemología (Cantoral y Farfán, 2003), y en general las perspectivas

etnomatemáticas y socioculturales en educación matemática (Atweh, Forgasz y Nebres, 2001).

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5.1. Supuestos sobre la naturaleza delconocimiento matemático

Consideramos que la naturaleza del sabermatemático, en el sentido de saber “sabio”,o saber en la institución matemática-profesional, no ha sido problematizada enlas teorías discutidas. En la TAD, con lanoción de praxeología y su dependenciade las instituciones se atribuye unanaturaleza relativa y plural al conocimientomatemático, como consecuencia de laadopción del marco antropológico, pero secontinúa hablando de un “saber sabio” quese traspone a las instituciones deenseñanza, cuya naturaleza no se explicita.

¿Es posible compaginar de maneracoherente el relativismo antropológico conla visión platónica usual que atribuye untipo de realidad absoluta y universal alconocimiento matemático? En Wilhelmi,Lacasta y Godino (en prensa) abordamosesta cuestión desde el enfoqueontosemiótico analizando, como unejemplo, las diversas definiciones de lanoción de igualdad de números reales ylos subsistemas de prácticas asociadas alas mismas. Proponemos que cadadefinición y la configuración de objetos yrelaciones entre los mismos constituyen unsentido, o significado parcial, de la nociónde igualdad de números reales, y que enúltima instancia, el significado matemáticode la noción, en singular, debemosasociarlo a la estructura formal quedescribe los diversos significadosparciales. El saber matemático, en singular,es una emergencia del sistema deprácticas matemáticas, realizadas en elseno de una comunidad de prácticasespecial (matemática pura), ante elproblema de la organización yestructuración de los subsistemas deprácticas implementados en diversosmarcos institucionales, contextos de uso yjuegos de lenguajes.

En el EOS la cuestión del “significado delos objetos matemáticos” es de naturalezaontológica y epistemológica, esto es, serefiere a la naturaleza y origen de losobjetos matemáticos. En un primermomento se propone una respuestapragmática/antropológica –significadocomo sistema de prácticas operativas ydiscursivas–, pero simultáneamente sepostula la emergencia de nuevos objetosde tales sistemas de prácticas que seconcretan en reglas socialmenteconvenidas (y objetos personales), loscuales serán a su vez contenidos denuevas funciones semióticas. Con estaformulación dualista –sistema de prácticasy objetos emergentes organizados enredes o configuraciones- se pretendearticular los programas epistemológicos(sobre bases antropológicas) y cognitivo(sobre bases semióticas).

Las visiones pragmática y realista sobre elsignificado se suelen presentar comocontrapuestas. Sin embargo, Ullman(1962) presenta las teorías de tipopragmático (que denomina operacionaleso contextuales) como un complementoválido de las teorías de tipo realista (quedenomina referenciales).

No hay ningún atajo hacia elsignificado mediante laintrospección o cualquier otrométodo. El investigador debecomenzar por reunir una muestraadecuada de contextos y abordarlosluego con un espíritu abierto,permitiendo que el significado o lossignificados emerjan de loscontextos mismos. Una vez que seha concluido esta fase, se puedepasar con seguridad a la fase“referencial” y procurar formular elsignificado o los significados asíidentificados. La relación entre losdos métodos, o más bien entre las


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dos fases de la indagación, es, endefinitiva, la misma que hay entre lalengua y el habla: la teoríaoperacional trata del significado enel habla; la referencial, delsignificado en la lengua. No hay,absolutamente, necesidad decolocar los dos modos de accesouno frente a otro: cada uno manejasu propio lado del problema, yninguno es completo sin el otro(Ullman, 1962, p. 76-77)

Esta observación de Ullmann sirve deapoyo para el modelo de significado de losobjetos matemáticos que se propone en elEOS. El significado comienza siendopragmático, relativo al contexto, peroexisten tipos de usos que permiten orientarlos procesos de enseñanza y aprendizajematemático.

En el EOS, de acuerdo con la visiónantropológica sostenida por Wittgenstein(Bloor, 1983), los componentes teóricos delconocimiento matemático (conceptos,teoremas) se interpretan como reglasgramaticales para el manejo de lasexpresiones usadas para describir elmundo de objetos y situaciones extra ointramatemáticas21.

5.2. Relatividad ontosemiótica personal,institucional y contextual

Las teorías analizadas dan un peso muydiferente al aspecto personal e institucionaldel conocimiento matemático y a sudependencia contextual. En el EOS sepostula que los sistemas de prácticas, losobjetos emergentes y las configuracionesmediante las cuales se expresan sonrelativos a los contextos de uso, a lasinstituciones en que tienen lugar las

21 Esta es la manera en que se conciben los conceptos y teoremas en la filosofía de las matemáticas de Wittgenstein

(Baker y Hacker, 1985).

prácticas y a los sujetos implicados en lasmismas (juegos de lenguaje y formas devida, según Wittgenstein, 1953).

La descripción de los conocimientos de unsujeto individual sobre un objeto O sepuede hacer de una manera global con lanoción de “sistemas de prácticaspersonales”. Esta noción queda concretadamediante la trama de funciones semióticasque el sujeto puede establecer en las queO se pone en juego como expresión ocontenido (significante, significado). Si eneste sistema de prácticas distinguimosentre las que tienen una naturalezaoperatoria o procedimental ante un tipo desituaciones-problema, respecto de lasdiscursivas obtenemos un constructo queguarda una estrecha relación con la nociónde praxeología (Chevallard, 1999), siemprey cuando le atribuyamos a dicha noción unadimensión personal, además de lacorrespondiente faceta institucional.También se puede incorporar de estamanera la dualidad “instrumento-objeto”que propone Douady para los conceptosmatemáticos.

Los modos de “hacer y de decir” ante untipo de problemas que ponen en juego,por ejemplo, el “objeto función” seproponen como respuesta a la pregunta“qué significa el objeto función” para unsujeto (o una institución). Estamodelización semiótica del conocimientopermite interpretar la noción de esquemacomo configuración cognitiva asociada aun subsistema de prácticas relativas a unaclase de situaciones o contextos de uso,y las nociones de concepto-en-acto,teorema-en-acto y concepción comocomponentes parciales (intensionales)constituyentes de dichas configuracionescognitivas.

140

En el EOS la noción de concepción esinterpretada mediante el par (sistema deprácticas personales, configuracióncognitiva) para sacar la cognición delsesgo mental ista. En términossemióticos, cuando nos preguntemos porel significado de “concepción” de unsujeto sobre un objeto O (o sostenida enel seno de una institución) asignemoscomo contenido, “el sistema de prácticasoperativas y discursivas que ese sujetomanifiesta en las que se pone en juegodicho objeto”. Dicho sistema es relativoa unas circunstancias y momento dado yse describe mediante la red de objetos yrelaciones que se ponen en juego(configuración cognitiva).

Asimismo, la comprensión y elconocimiento se conciben en su faceta dualpersonal-institucional, involucrando, portanto, los sistemas de prácticas operativasy discursivas ante ciertos tipos de tareasproblemáticas. El aprendizaje de un objetoO por un sujeto se interpreta como laapropiación de los significadosinstitucionales de O por parte del sujeto;se produce mediante la negociación, eldiálogo y acoplamiento progresivo designificados.

En el EOS la noción de significado ysentido dejan de ser entidades etéreas ymisteriosas. El significado de un objetomatemático es el contenido de cualquierfunción semiótica y, por tanto, según elacto comunicativo correspondiente,puede ser un objeto ostensivo o noostensivo, extensivo – intensivo, personalo institucional; puede referirse a unsistema de prácticas, o a un componente(situación-problema, una notación, unconcepto, etc.). El sentido se puedeinterpretar como un significado parcial,esto es, se refiere a los subsistemas deprácticas relativos a marcos o contextosde uso determinados.

La noción de representación y registrosemiótico usadas por Duval y otros autoreshacen alusión según nuestro modelo, a untipo particular de función semióticarepresentacional entre objetos ostensivosy objetos mentales (no ostensivos). Lanoción de función semiótica generaliza estacorrespondencia a cualquier tipo de objetosy, además, contempla otros tipos dedependencias entre objetos.

El uso que se hace en teoría de lassituaciones didácticas de la noción desentido queda restringido a lacorrespondencia entre un objetomatemático y la clase de situaciones de lacual emerge, y “le da su sentido” (podemosdescribirlo como “significado situacional”).Según el EOS esta correspondencia es, sinduda crucial, al aportar la razón de ser detal objeto, su justif icación u origenfenomenológico, pero también se tienenque tener en cuenta las correspondenciaso funciones semióticas entre ese objeto ylos restantes componentes operativos ydiscursivos del sistema de prácticas delque consideramos sobreviene el objeto,entendido bien en términos cognitivos obien en términos epistémicos.

La teoría de los campos conceptualesextiende la noción de significado como“respuesta a una situación dada”introducida en la teoría de las situacionesdidácticas. Esta extensión supone lainclusión, además del componentesituacional, de elementos procedimentales(esquemas) y discursivos (conceptos yteoremas en acto), relacionando ademásel significado con la noción de modeloimplícito.

Los diferentes tipos derepresentación o los teoremas enacto que rigen las decisiones delsujeto no son muy fáciles deidentificar, incluso si parecen


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formulables o explicitables por elsujeto. Pero numerosos trabajosempiezan a mostrar cómo lasregularidades en loscomportamientos pueden dar accesoa un tipo de ‘modelos implícitos’. Laimportancia que estos modelosjuegan en la adquisición deconocimiento representa una cuestiónmuy abierta, muy a menudo abordadade forma demasiado estrecha(Brousseau, 1986, p.103)

El contenido que se considera “significadode un objeto matemático para un sujeto” enla TCC es prácticamente la globalidadholística que nosotros describimos como“sistema de prácticas personales”. Sinembargo, nuestra noción de funciónsemiótica y la ontología matemática asociadaproporciona un instrumento más general yflexible para el análisis didáctico-matemático.

5.3. Niveles de análisis de la cogniciónmatemática

La didáctica debe identificar no sólo losfenómenos relativos a la ecología de lossaberes matemáticos (objetivo principal dela TAD), o los correspondientes al diseño eimplementación de ingenierías didácticas(objetivo principal de la TSD), sino tambiénlos fenómenos relativos al aprendizaje de losalumnos. En última instancia los esfuerzosde los profesores e investigadores convergenen el objetivo de lograr que los estudiantesaprendan, esto es, se apropien de losconocimientos matemáticos que les permitandesenvolverse en la sociedad y, en algunoscasos, contribuyan al desarrollo de nuevosconocimientos. El abordaje de cuestionescomo ¿por qué los alumnos tienendificultades en resolver este tipo de tareas?,¿es idónea esta tarea, este discursomatemático, para estos alumnos en unascircunstancias dadas?, etc., supone un nivel“microscópico” de análisis de fenómenos

cognitivos y didácticos y requiere usarnociones teóricas y metodológicasespecíficas.

Las nociones de esquema, conceptos yteoremas en actos, que proponen la TCC yla RRS se orientan en esa dirección. Ahorabien, ¿son suficientes estas nociones paraeste aspecto del trabajo didáctico?Consideramos que la noción de“configuración cognitiva” que propone elEOS, con su desglose en entidadessituacionales, lingüísticas, procedimentales,conceptuales, proposicionales yargumentativas permiten un análisis más finodel aprendizaje matemático de losestudiantes. La noción de configuración, ensu versión epistémica, permite también haceranálisis microscópicos de los objetosmatemáticos, caracterizar su complejidadontosemiótica y aportar explicaciones de losaprendizajes en términos de dichacomplejidad.

El EOS permite estudiar los hechos yfenómenos a nivel microscópico, inclusofenómenos que pueden calificarse desingulares. ¿Qué ocurre aquí y ahora? ¿Porqué ocurre? ¿Qué aprende, o deja deaprender, este alumno en estascircunstancias? Aportar respuestas a estascuestiones puede ser un primer paso paragenerar hipótesis referidas a otros alumnosy circunstancias. Para hacer este tipo deanálisis el EOS introduce las dualidadescognitivas: elemental-sistémica; ostensiva-noostensiva; extensiva-intensiva; expresión-contenido (función semiótica). Un ejemplo deestos análisis más puntuales en el marco delEOS se puede encontrar en Contreras, Font,Luque y Ordóñez (2005). Estos autoresutilizan conjuntamente las dualidadesextensivo-intensivo y expresión-contenidopara explicar, en el caso de la funciónderivada, las dificultades de los alumnosrelacionadas con la complejidad semióticainherente al uso de elementos genéricos.

142

Por otra parte, las nociones de sistema deprácticas (praxeología u organizaciónmatemática), instituciones, marcos ycontextos de uso, ecología de significadosson nociones apropiadas para realizaranálisis de tipo macroscópico (curricular,instruccional).

La noción de conflicto semiótico, cualquierdisparidad o discordancia entre lossignificados atribuidos a una expresión por

dos sujetos (personas o instituciones) eninteracción comunicativa, es también útilpara la realización tanto de análisis de nivelmacro como de nivel microdidáctico en laproducción y comunicación matemática.

En la Tabla 1 presentamos una síntesis delas relaciones entre algunas nociones de losmodelos teóricos estudiados y lascorrespondientes interpretaciones en elenfoque ontosemiótico.

Tabla 1: Comparación de algunas nociones teóricas de los enfoques analizados

NOCIONES DE MARCOSTEÓRICOS ESTUDIADOS

TEORÍA DE SITUACIONES

Situación

Conocimiento

Saberes matemáticos

Modelo implícito /concepción

Sentido de un conocimiento

Formas de conocimiento(ligadas a situaciones deacción, formulación,validación)

DIALÉCTICAINSTRUMENTO – OBJETO

Problema matemático

INTERPRETACIÓNES EN EL ENFOQUEONTOSEMIÓTICO

Situación-problema

Conocimiento, entendido como significados deobjetos personales (sistemas de prácticaspersonales y sus configuraciones cognitivasasociadas)

Saberes, entendidos como significados de objetosinstitucionales (sistemas de prácticas institucionales ysus configuraciones epistémicas asociadas)

Concepción, entendida como significados de objetospersonales (sistemas de prácticas y susconfiguraciones cognitivas asociadas)

Sentido, entendido como significado parcial(subsistemas de prácticas)

Diferentes configuraciones cognitivas ligadas aprácticas actuativas, comunicativas o argumentativas

Situación – problema (que reúne ciertas condiciones)


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Concepto – instrumento

Concepto –objeto

Marcos

Juego de marcos

TEORÍA ANTROPOLÓGICA

Tarea (problemática)

Praxeología u organizaciónmatemática(puntual, local,regional, global)

Praxis (tarea; técnica)

Logos (tecnología; teoría)

Transposición didáctica

TEORÍA DE LOS CAMPOSCONCEPTUALES

Concepto

Campo conceptual

Esquema

Concepto y teorema en acto

Sentido

Concepto entendido como objeto interviniente en unsistema de prácticas (principalmente operatorias)

Concepto, entendido como objeto interviniente en unsistema de prácticas regulativas y discursivas(definiciones y propiedades del objeto en un contextoformal).

Contextos matemáticos (geométrico, algebraico, etc.;atribuyen un significado parcial a los objetos)

Coordinación de significados parciales derivados delos contextos de uso.

Situación – problema que desencadena una práctica

Configuración epistémica asociada a un sistema deprácticas operativas y discursivas y relativas a unaclase de situaciones más o menos amplia

Prácticas operativas ligadas a un tipo de situaciones

Prácticas discursivas ligadas a campos de problemas

Ecología de significados (entendidos como sistemasde prácticas)

Concepto, entendido como parte de una configuracióncognitiva/ epistémica asociada a un sistema deprácticas

Campo conceptual, entendido como configuraciónepistémica global

Esquema, entendido como significados de objetospersonales (sistemas de prácticas y susconfiguraciones cognitivas asociadas)

Concepto y teorema (entendidos como reglas), parteregulativa de la configuración cognitiva que se activaal realizar una práctica personal.

Significado personal, entendido como sistema deprácticas personales ligadas a una clase de situaciones

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REGISTROS DEREPRESENTACIÓNSEMIÓTICA

Registros de representación

Representación semiótica

Cambio de registros

Tipos de lenguajes o medios de expresión ostensiva

Representación semiótica, entendida comoconfiguración epistémica que participa como expresióno contenido en una función semiótica

Coordinación de significados parciales

“La noción de conocimiento nos parece una y evidente. Pero, en el momento en que se le interroga, estalla, se

diversifica, se multiplica en nociones innumerables, planteando cada una de ellas una nueva interrogante” (Edgard

Morin, 1977, p. 18).

22

6. OBSERVACIONES FINALES

En este trabajo hemos abordado soloalgunos aspectos de los modelosteóricos seleccionados, en particular lasnociones relacionadas con elconocimiento matemático. Consideramosque este es un aspecto crucial, ya que ladidáctica de las matemáticas no puedeevitar abordar este problema, a pesar desu dificultad22, y entrar en interacción conlas diversas discipl inas quetradicionalmente se han ocupado delmismo. Los modelos teór icosseleccionados, bien asumen posicionestomadas de otras disciplinas, o proponennuevos planteamientos y desarrollos.

Un aspecto esencial que permite distinguirentre los modelos teóricos es el relativo ala dialéctica entre la dualidad institucional ypersonal, entre enfoques epistemológicos ycognitivos, los cuales con frecuencia sepresentan disjuntos dando lugar aposiciones extremas. En unos casos elacento se pone en la dimensión personal(TCC y RRS), en otros en la dimensión

institucional (TAD y TSD), mientras que enel EOS se postula una relación dialécticaentre ambas dimensiones, por lo quepensamos puede ayudar a la articulaciónentre los restantes modelos teóricos.

La clasificación de los modelos teóricosdescritos como pertenecientes a losprogramas epistemológico o cognitivo noes completamente satisfactoria. Se tratade una clasificación dicotómica que sóloparece pertinente en algunos casosextremos, como ocurre con la TAD (queconsideramos claramente posicionadodentro del programa epistemológico) y laRRS (claramente dentro del programacognitivo). Por el contrario la TSD y laTCC reúnen características de ambosprogramas; en el caso de la TSD máspróximo al programa epistemológico y enel de la TCC al cognitivo. Consideramosque la última formulación de la DIO-JMestaría en una posición central, comoocurre con el EOS, uno de cuyos objetivosclave es la articulación coherente de losprogramas epistemológico y cognitivo(Figura 1).


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EOS Progra ma Pro grama cogn itivo ep istemológico

RRS TCC DIO -JM TSD TAD RSS: Registro s de Represe ntació n Semiótica TCC: Teoría de los Campos Conce ptuales DIO-JM: Dialéct ica In strumento -Objet o y Jueg o de Marcos TSD: Teoría de la s Situ acione s Didáct icas TAD: Teoría Antropológic a de lo Didáct ico EOS: Enfoqu e Ont osemiótico

En este trabajo no hemos abordado elanálisis de los supuestos y nociones teóricasque se introducen en cada modelo para ladescripción, explicación y predicción defenómenos ligados a los procesos deinstrucción matemática. En cierta manera, elanálisis instruccional se apoya en la adopciónde un modelo epistemológico sobre lasmatemáticas y un modelo de cogniciónindividual por lo que su estudio lo hemosconsiderado previo. En Godino, Contreras yFont (en prensa) se amplía el marco del EOSincorporando algunas nociones para elanálisis de procesos de estudio matemático.

Somos conscientes de las limitaciones deeste trabajo, ante la complejidad delproblema abordado, y de la necesidad deprofundizar en la clarificación y confrontaciónde las nociones teóricas usadas en la

Figura 1. Articulación de programas de investigación en didáctica de las matemáticas.

investigación didáctica, tanto respecto de losautores que hemos seleccionado, como deotras aportaciones valiosas que se hanrealizado en diferentes países y escuelas depensamiento, cuyo análisis y confrontacióndeberá ser abordada en otros trabajos. Es elcaso de la teoría APOS (Dubinsky, 1991),Interaccionismo simbólico (Cobb yBauersfeld, 1995), Socioepistemología(Cantoral y Farfán, 2003), Semióticaantropológica (Radford, 2006), etc.

Terminamos este trabajo expresandonuestro reconocimiento a G. Brousseau,R. Douady, G. Vergnaud, Y. Chevallardy R. Duval por sus contribuciones a lafundamentación de la Didáctica de lasMatemáticas como disciplina científica yestimular nuestro interés hacia esteespacio de reflexión teórica.

Reconocimiento:

Trabajo realizado en el marco del proyecto MCYT – FEDER: SEJ2004-00789, Ministerio deCiencia y Tecnología, Plan Nacional de Investigación Científica, Desarrollo e InnovaciónTecnológica. Madrid.

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Juan D. GodinoFacultad de EducaciónGranada, España

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Vicenç FontUniversitat de BarcelonaFacultat de Formació del ProfessoratDepartament de Didàctica de les Ciències Experimentals i la MatemàticaBarcelona, España

E-mail: [email protected]

Angel ContrerasDepartamento de Didáctica de las CC. EESociales y MatemáticaUniversidad de JaénJaén, España

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Miguel R. WilhelmiDepartamento de Estadística e Investigación OperativaUniversidad Pública de NavarraNavarra, España

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