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REPASO DE MATEMATICA PARA FISICA 014 Javier De Js Paulino

JDJP

Las matemáticas las utilizamos en la vida cotidiana y son necesarias para comprender y analizar la

abundante información que nos llega. Pero su uso va mucho más allá: en prácticamente todas las ramas

del saber humano se recurre a modelos matemáticos y no sólo en la Física, sino que gracias a los

ordenadores las matemáticas se aplican a todas las disciplinas.

CONTENIDO

NOTACIÓN CIENTÍFICA.

FUNCIONES Y GRÁFICOS.

VECTORES.

DESPEJE DE VARIABLE EN FORMULA.

CALCULO DE ÁREA Y VOLUMEN PARA FIG. GEOMÉTRICA.

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS.

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Parte1

NOTACIÓN CIENTÍFICA

La notación científica (o notación índice estándar) es un modo conciso de representar números —ya sean enteros ó reales— mediante una técnica llamada coma flotante aplicada al sistema decimal, es decir, potencias de diez. Esta notación es utilizada en números demasiado grandes o demasiado pequeños.

La notación científica es altamente útil para anotar cantidades físicas, pues pueden ser medidas solamente dentro de ciertos límites de error y al anotar sólo los dígitos significativos se da toda la información requerida sin malgastar espacio.

Para expresar un número en notación científica debe expresarse en forma tal que contenga un dígito (el más significativo) en el lugar de las unidades, todos los demás dígitos irán entonces después del separador decimal multiplicado por el exponente de 10 respectivo. Ej 238294360000 = 2,3829436E11 y 0,000312459 = 3,12459E-4

Uso

Por ejemplo, la distancia a los confines observables del universo es ~4,6x1026m y la masa de un protón es ~1,67x10-27 kilogramos. La mayoría de las calculadoras y muchos programas de computadora presentan resultados muy grandes y muy pequeños en notación científica; los números 10 generalmente se omiten y se utiliza la letra E para el exponente; por ejemplo: 1,56234 E29. Nótese que esto no está relacionado con la base del logaritmo natural también denotado comúnmente con la letra e.

Escritura

100 = 1

101 = 10

102 = 100

103 = 1 000

106 = 1 000 000

109 = 1 000 000 000

1020 = 100 000 000 000 000 000 000

El resultado de la potencia 10n es igual a la unidad seguida de n ceros.

Adicionalmente, 10 elevado a una potencia entera negativa -n es igual a 1/10n o, equivalentemente 0, (n-1 ceros) 1:

10-1

= 1/10 = 0,1

10-3

= 1/1000 = 0,001

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10-9

= 1/1 000 000 000 = 0,000 000 001

Por lo tanto un número como

156 234 000 000 000 000 000 000 000 000 puede ser escrito como 1,56234x1029,

y un número pequeño como 0,000 000 000 0234 puede ser escrito como 2,34x10-11.

Historia

El primer intento de representar números demasiados extensos fue emprendida por el matemático y filósofo griego Arquímedes, descrita en su obra El contador de Arena en el siglo III ad C. Ideó un sistema de representación numérica para estimar cuántos granos de arena existían en el universo. El número estimado por él era de 1063 granos. Nótese la coincidencia del exponente con el número de casilleros del ajedrez sabiendo que para valores positivos, el exponente es n-1 donde n es el número de dígitos, siendo la última casilla la Nº 64 el exponente sería 63 (hay un antiguo cuento del tablero de ajedrez en que al último casillero le corresponde -2 elevado a la 63- granos).

A través de la notación científica fue concebido el modelo de representación de los números reales a través del coma flotante. Esa idea fue propuesta por Leonardo Torres Quevedo (1914), Konrad Zuse (1936) y George Robert Stibitz (1939).

Discrepancia

A pesar que la notación científica pretende establecer pautas inviolables sobre la referencia numérica en materia científica, se presentan discrepancias de estilo.

Por ejemplo en EE.UU. 109 se denomina “billion”. Para los países de habla hispana 109 es mil millones o millardo (millard) y el billón se representa 1012. Llegamos a un caso práctico donde para los estadounidenses one billion dollars, para los hispanoparlantes será un millardo de dólares (poco usado) o mil millones de dólares (más usado).

Otra particularidad del mundo hispano es que a 104 (10 000), se le denomina miríada. No obstante para 10 000 se usa diez mil como uso frecuente y miríada cuando se quiere hacer notar el diez mil como "muchísimo" respecto a una comparación con algo cuantificable que elevó su cuenta significativamente, sin que este uso tenga fundamento científico sino de costumbres.

Operaciones matemáticas con notación científica

Adición

Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se debe sumar las mantisas, dejando la potencia de 10 con el mismo grado (en caso de que no tengan el mismo exponente, debe convertirse la mantisa multiplicándola o dividiéndola por 10 tantas veces como sea necesario para obtener el mismo exponente):

Ejemplo: 5x106 + 2x106 = 7x106

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Ejemplo2: -9x103 + 9.6x102 = -9x103 + 0.96x103 = -8,04x103

Aquí al número 9.6x102 se multiplico por 10 y se dividió por 10, para que la potencia sea la misma haciendo este paso tenemos + 9.6/10 x102+1 = 0.96x103

Ejemplo3: sumar 3.00 x108 + 67.8 x106 multiplicando 67.8 x106 por x 100 y dividimos por 100 donde se convierte en 0.678 x108 ahora si podemos sumarlo tienen el mismo exponente.

3.00 x108 + 0.678 x108 = 3.678 x108

Ejemplo4: sumar 45.7 x10-12 - 0.0034 x10-15 multiplicando 0.0034 x10-15 por 1000 y dividiendo por 1000 tenemos 3.4 x10-12 ahora tienen el mismo exponente podemos sumarlo algebraicamente.

45.7 x10-12 - 3.4 x10-12 = 42.3 x10-12= 4.23 x10-11

Multiplicación

Se multiplican las mantisas y se suman las potencias de diez:

Ejemplo: (4x106) x (2x106) = 8x1012

División

Se dividen las mantisas y se restan las potencias de diez:

Ejemplo: (4x1012)/(2x106) =2x106

Potenciación

Se potencia la mantisa y se multiplican los exponentes:

Ejemplo: (3x106)2 = 9x1012

Radicación

Se debe extraer la raíz de la mantisa y dividir el exponente por el índice de la raíz:

Ejemplo: 9 𝑥1012 = 3 x 106

Utiliza la calculadora y calcula el producto 9857 * 37563.

El resultado que muestra la calculadora (que tenga una pantalla con una capacidad de mostrar 8 dígitos) es

9857 * 37563 = 3,7025849 08

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Este resultado hay que interpretarlo de la siguiente manera:

3.7025849 08 = 3,7025849 * 108 = 370.258.490

Esta forma extraña de presentar el resultado es debido a que el producto es un número que tiene 9 cifras (el resultado del producto es 370.258.491) que no cabe en la pantalla. Es decir, la calculadora no es capaz de mostrar el resultado exacto de la operación y lo muestra aproximado: no ofrece la última cifra que es la menos representativa del resultado, la menos importante.

Diremos que el resultado de la calculadora se expresa en notación científica

1 POTENCIA DE 10 VIDEO

Parte 2

FUNCIONES Y GRAFICOS

Cuando en ciencias queremos encontrar la relación de dos variables, hacemos el gráficos y=

f(x), El Cálculo, en cambio, estudia los problemas en los cuales x puede adoptar distintos

valores. Así se introduce la noción de variable: x es la variable independiente y cualquier

magnitud que cambia cuando x cambia se llama variable dependiente (su valor está en función

del valor de x). El conjunto de los pares ordenados (x, f(x) se llama, en general, relación, y,

cuando a cada valor x le corresponde un único valor f(x), función.

Las funciones reales de una variable real, es decir, las relaciones que asignan a cada número

real x de un conjunto un único número real f(x). Muchas veces la variable independiente es el

tiempo y se representa con el símbolo t. (En este sentido se dice que el Cálculo «estudia los aspectos dinámicos de los problemas» o «resuelve problemas donde los sistemas deben ser vistos como una película, no como una fotografía». Los primeros problemas estudiados eran problemas de la Física o, más precisamente, de la Astronomía.) Sin embargo, la del Cálculo es

una aproximación puramente formal: x puede ser el tiempo y f(x) el espacio recorrido (problema

de movimiento); x puede ser la temperatura y f(x) la densidad de una sustancia a una presión

dada (problema de variación de propiedades físicas); x puede ser el tiempo y f(x) la

concentración de cierto componente de una mezcla reactiva (problema de Cinética Química); etc. Más aún, haciendo la identificación cartesiana de los números reales con los puntos

geométricos, x podría ser la abscisa de un punto de la base (horizontal) de una figura geométrica

de dos dimensiones y f(x) la ordenada (altura) correspondiente.

Estudiemos las funciones más comunes. y = f(x)

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Cuando en y = f(x). una variable aumenta y la otra aumenta en la misma proporción.

Esto es y = k x, donde k es la constante de

proporcionalidad, cuando la variable se relacionan de esta forma decimos que son directamente proporcionales.

La constante se encuentra k = y/x

Esto es y = k x + b, donde b es la constante

adictiva y k es la constante de proporcionalidad, cuando la variable se relacionan de esta forma decimos que hay una variación lineal.

La constante se encuentra k = (y-b)/x

Esto es y = k/x, donde k es la constante que

relacionan x y y cuando la variable se relacionan de esta forma decimos que son inversamente proporcionales. Aquí la curva es una hipérbola.

La constante se encuentra k = y x, multiplicando el valor de x por el valor de y

Cuando y= f(x) nos da una parábola decimo

y= k x2 aquí la constante se encuentra

dividiendo el valor de y entre x2, k=y/x2

x

y

y

x

x

y

b

y

x

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1 GRAFICO DE UNA FUNCION f(x) SIMULACION

Ejercicios

1.0 Use “SimpleGraph” en la simulación 2 (es una herramienta hecha en java para hacer

grafico) , para la construcción de los siguientes gráficos f(x)=2 x, f(x)=0.5 x, f(x)=6 + 8 x,

f(x)=12-8x, f(x)=2 x^2, f(x)=1/x, f(x)=1/x^2,use las siguientes especificaciones xmin=0, xmax=10,

ymin=0, xmax=16, elegir establecer intervalos, haga cada una de las funciones, use función

nueva para trabajar con cada una de ella. Haga un bosquejo de cada grafico en un papel, decir

que tipo de grafico representa cada función, si son directamente proporcionales, si hay una

variación lineal, etc.

“SimpleGraph”

Cambiar estos valores

Introducir la Nueva función

f(x)=?

Usar establecer intervalos

Función Nueva

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Parte3

VECTORES

Cantidades escalares y vectoriales. Las cantidades según su cualidad, pueden ser:

- escalares: quedan definidas conociendo su valor numérico y las unidades en que se expresa

éste. Ejemplo, el tiempo, la masa, el volumen, la distancia, etc.

- vectoriales: aparte de conocer su valor numérico y las unidades en que se expresa (módulo),

es necesario conocer su dirección y sentido, para que la magnitud quede perfectamente

definida. Ejemplo, el desplazamiento.

Representación

Los vectores admiten una representación gráfica, que hace el entendimiento de sus

propiedades más intuitivo. Un vector se representa por un segmento orientado (con forma de

flecha), del cual su longitud denota la intensidad del vector, la recta donde está incluido

indica la dirección ("línea de acción"), la punta de la flecha indica el sentido, y el punto del

cual parte determina el punto de aplicación.

En cuanto a la notación matemática los vectores que aparecen en mecánica newtoniana y

otras las aplicaciones Física se suelen representar con flechas sobre el nombre del vector o

con negrita. Ejemplo el desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza, etc. ( A,𝐴 ,v,𝑣 ,F,𝐹 ) etc

Forma de representar un vector

Resolución de sistemas de fuerzas

Fuerzas de misma dirección y sentido

θ

Dirección

Sentido Magnitudes,

o Modulo

A

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La resultante tiene misma dirección y sentido que los componentes y su intensidad es igual a la suma de la

intensidad de los componentes.

R

Fuerzas de misma dirección y sentido contrario

La resultante tendrá la misma dirección que sus componentes, su sentido el de la mayor y su intensidad es

igual a la diferencia entre sus componentes

R

Para trabajar con vectores es conveniente usar un sistema de coordenada.

x

C

Sur

Este

Y

X

Sur

Norte

Oeste Este

Por ejemplo: el vector A tiene 8 unidades de magnitud, y

su ángulo es de 90º con relación al eje x(+) , podemos

escribir el vector a cómo, A=(A, θ)= (8,90º) podemos

decir que la magnitud es 8 sus ángulo es de 90º .

También podemos decir que el vector A tiene dirección

Norte-Sur o Sur–Norte y su sentido hacia el Norte (el

sentido es hacia donde apunta la flecha).

Y

X

A

B

c

θ

c

Norte

Norte

Para trabajar y hacer operaciones con

vectores, siempre es más convenientes sus

representación grafica en un sistema de

coordenada, Puede ser Norte, Sur; Oeste,

Este o simplemente eje X y el eje Y.

Tenemos que tomar que el ángulo de un

vector siempre se mide con relación al Este o

al eje X+

Y

Oeste

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El vector B tiene 5 unidades de magnitud y su ángulo es de 180º con relación al eje x(+) , podemos escribir el vector

a cómo: B=(B, θ)= (5,180º) podemos decir que la magnitud es 5 y su dirección es Oeste-Este o Este –Oeste y su

sentido hacia el Oeste.

El vector C tiene una magnitud de 10 unidades y forma un ángulo 53o con relación al eje x(+)

Al vector C lo podemos representar como: C=(10,53º)

Resultante de vectores

EJERCICIOS RESUELTOS

Dados los siguientes vectores: hallaremos varias resultante entre ellos

1 Hallar la resultante R=A+B, gráficamente y

analíticamente. Respuesta En este caso los vectores tienen igual dirección y sentido, la sumas vectorial coincide con la sumas aritmética Respuesta Analíticamente.

R= A+ B = 8u + 4u = 12u

Gráficamente.se coloca un vector a continuación del otro con el mismo modulo, dirección y sentido.

2 Hallar la resultante R=A+C gráficamente y

analíticamente. En este caso los vectores tienen igual dirección y sentido contrario. Aquí C= -5 u

R=A+C= 8u- 5u = 3u

Colocando los vectores uno a continuación del otro tenemos

A=8u B=4u

D=6u

C=5u

E=10u

30o

A=8u B=4u

R=12u

A=8u

C=5u R=3u

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3

Hallar la resultante R=A+ B +C, gráficamente y analíticamente. En este caso los vectores A, B y C tienen igual dirección, A y B tienen el mismo sentido y C tiene sentido contrario. Aquí C= -5 u

R=A+B+C= 8u+4u - 5u = 7u

Respuesta gráficamente.se coloca un vector a continuación del otro con la misma dirección y sentido.

4 Hallar la resultante R= A+ D gráficamente

y analíticamente. En este caso los vectores A y D .son perpendiculares entre sí, forman 90º entre ellos. La resultante analítica se encuentra por el teorema de Pitágoras.

𝑹 = 𝑨𝟐 + 𝑩𝟐 = 𝟖𝟐 + 𝟔𝟐= 𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟎 𝒖

solución: resultado gráficamente

5 Hallar la resultante R=B + E gráficamente

A=8u

C=5u

B=4u

D=6u

R=7u

Si medimos la resultante con las mismas

unidades que los vectores R≃10u

A=8u

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Componentes de un vector

y

Todo vector se puede descomponer en sus componentes, para hallar la magnitud de un vector si

conocemos las componentes usamos la siguiente expresión:

La magnitud de 𝑅 = 𝐴𝑥2 + 𝐴𝑦2 ; y el ángulo entre la resulta que es 𝑻𝒂𝒏𝛉 = 𝑨𝒚

𝑨𝒙 ;

De esta manera encontramos magnitud y el ángulo del vector.

VIDEO Y SIMULACIONES DE VECTORES

1 SUMA DE VECTORES UTILIZANDO EL MÉTODO DEL PARALELOGRAMO Y EL MÉTODO DEL TRIÁNGULO SIMULACION

2 SUMA DE VECTORES ……….METODO GRAFICO SIMULACION

3 COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR

SIMULACION

4 Introducción a los vectores VIDEO

5 Operaciones con vectores (gráficamente) VIDEO

6 Vector Fijo: Componentes y Módulo VIDEO

El vector  lo podemos representar de la siguiente forma

Â=(A, θ)

Donde A es la magnitud y θ es el ángulo del vector, con

relación al Este o al eje x +

Otra forma de representar un vector es.

Â= (Ax + Ay)

Siendo Ax y Ay la componentes en cada eje en este

caso tenemos Ax= A cosθ, y Ay=A senθ,

Estas definiciones salen de las definiciones de seno y

coseno de un ángulo en este caso θ.

Â= (Ax, Ay) cualquier vector siempre es posible

descomponerlo en su dos componentes.

Si tenemos otro vector B dimensiones el vector B lo

podemos expresar como. B= (Bx, By)

θ

Â

x

y

Ax

Ay

Ax= A cosθ, Ay=A senθ,

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Ejercicios

1 Leer la intrusiones de la simulación 1 (COMPONENTES RECTANGULARES DE UN

VECTOR ) para hace los ejercicios, 5 y 6.

2 Hacer los ejercicios del 1-al 4 usando la simulación 2.

3 Viendo los videos 5, 6, hable brevemente sobre, la utilidad e importancia de

los vectores.

Parte 4

Despejar variable en una ecuación o formula

Los mayores problemas que enfrentan los estudiantes para aprobar esta asignatura de Física Básica, se

encuentran en el nivel de matemática con que vienen los estudiantes al aula, necesitamos un nivel de

matemática mínimos que tenemos que usar en esta asignatura, para que sea entendida por los

estudiantes así que inmediatamente ataca queremos ese problemas, que se basa en un repaso de

algebra:

DESPEJE DE VARIABLE EN FORMULA

Por ejemplos muchas de las ecuaciones típicas que veremos en clase tendrán esta forma: Tabla1 tenemos que

aprender como despejar una variable en una ecuación.

1 2 3 4

𝑥 = 𝑣 𝑡

𝐸𝑝 = 𝑚 𝑔 ℎ

𝑣 = 𝑣𝑖 + 𝑎 𝑡

𝐹 = 𝑚𝑎

5 6 7 8

𝑎𝑐 =𝑣2

𝑟

𝐸 =1

2 𝑚𝑣2

2 𝑎 𝑥 = 𝑣2 − 𝑣𝑖2

𝑥 =(𝑣 + 𝑣𝑖)

2 𝑡

9 10

𝑤 =1

2𝑚(𝑣2 − 𝑣𝑖

2 )

2 𝑡2 + 4 𝑡 − 8 = 0

Tabla1

Es bien conocido en matemática que para despejar una variable en una ecuación es dejar la sola en

cualquier lado del signo de igual. Si una variable está multiplicando en un lado del signo de igual pasa al

otro lado dividiendo y viceversa. Si esta sumando pasa restando y así sucesivamente ..

Por Ejemplo: Observemos los siguientes ejercicios resueltos.

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EJERCICIO RESUELTOS

1.0

En la ecuación (2). 𝐸𝑝 = 𝑚 𝑔 ℎ

Despejar la ℎ=?

Solución: en esta ecuación nos damos cuenta que tanto m y 𝑔 están multiplicando a h, por lo tanto pasan al otro lado dividiendo de esta forma tenemos.

ℎ =𝐸𝑝

𝑚 𝑔

2.0

En la ecuación (3) de la Tabla1 𝑣 = 𝑣𝑖 + 𝑎 𝑡 despejar 𝑎 =?

Solución: Aquí sabemos que 𝑣𝑖 que esta sumando pasa al otro lado restando, seria 𝑣 − 𝑣𝑖 = 𝑎 𝑡 ; y t que; está multiplicando pasa dividiendo entonces tendríamos.

𝑎 =𝑣 − 𝑣𝑖 𝑡

3.0

En la ecuación (5) de la Tabla1

𝑎𝑐 =𝑣2

𝑟 despejar 𝑣 =?

Solución: si observamos la ecuación 𝑎𝑐 =𝑣2

𝑟 ; r está

dividiendo pasa al otro lado multiplicando esto es

𝑣2 = 𝑎𝑐 𝑟 sacándole la raíz cuadrada a ambos lado

tenemos; 𝑣 = 𝑎𝑐 𝑟

4.0

En la ecuación (7) de la Tabla1 2 𝑎𝑥 = 𝑣2 − 𝑣𝑖

2 despejar la 𝑣 =?

Solución: En término −𝑣𝑖2 esta restando pasa

sumando, tenemos 2 𝑎𝑥 + 𝑣𝑖2 = 𝑣2 que podemos

escribir 𝑣2 = 2 𝑎𝑥 + 𝑣𝑖

2 y luego extraemos la raíz en ambos lados y obtenemos:

𝑣 = 2 𝑎 𝑥 + 𝑣𝑖2

CALCULO DE AREA Y VOLUMEN PARA FIGURA GEOMETRICA

VER VIDEO

1 Ecuaciones lineales01 VIDEO

2 Ecuaciones lineales02 “

3 Ecuaciones lineales03 “

4 ECUACION CUADRATICA “

Esto videos le muestran como se despeja una variable en una ecuación lineal y de segundo grado

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FIGURA GEOMETRICA GRAFICA FORMULA

RECTANGULO 𝑨 = 𝒃𝒉

TRIANGULO

𝑨 =𝒃𝒉

𝟐

CUADRADO

𝑨 = 𝒂𝟐

TRAPECIO

𝑨 =(𝒃+ 𝑩)

𝟐𝒉

CIRCULO 𝒓 = 𝑫/𝟐

𝑨 = 𝝅 𝒓𝟐

ESFERA 𝒓 = 𝑫/𝟐

𝑽 =𝟒

𝟑 𝝅 𝒓𝟑

CILINDRO

𝑽 = 𝝅 𝒓𝟐 𝒉

CUBO

𝑽 = 𝒂𝟑

h

b

h h

a

b b

a

D

a

𝒓 = 𝑫/𝟐

a

b

B

h

a

h

D

D