Relazione - sisma

POLITECNICO DI TORINOCOLLEGIO DI INGEGNERIA EDILEA.A. 2013/2014COMPLEMENTI DI TECNICA DELLE COSTRUZIONI

LE AZIONI SISMICHE SULLE COSTRUZIONI: CALCOLO DELLE SOLLECITAZIONIEsercitazione _2

INDICE

1 INTRODUZIONE 3

2 GERARCHIA DELLE RESISTENZE 3

3 IL SISMA: ANALISI FISICA DEL PROBLEMA 4

3.1 GRANDEZZE FISICHE COINVOLTE 43.1.1 Rigidezza 43.1.2 Massa 63.1.3 Smorzamento 6

3.2 MODELLO DEL PENDOLO ROVESCIO 6

4 MODELLAZIONE DELLA STRUTTURA 8

5 METODI DI ANALISI: ANALISI STATICA LINEARE 10

6 ANALISI DELLE SOLLECITAZIONI NEI TELAI - SLU 12

6.1 AZIONI NEI PILASTRI 12

6.2 ANALISI DELLE SOLLECITAZIONI NEI TELAI 14

6.3 COMBINAZIONE DELLE SOLLECITAZIONI 14

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INDICE DELLE FIGURE

Figura 1: Meccanismi di collasso globale e di piano.......................................................................................................4Figura 2: Schema della rigidezza.....................................................................................................................................5Figura 3: Schema dello spostamento imposto................................................................................................................5Figura 4: Pendolo rovescio prima del sisma....................................................................................................................6Figura 5: Pendolo rovescio durante il sisma....................................................................................................................7Figura 6: Gradi di libertà nel modello, centro delle masse (G) e centro delle rigidezze (R)..............................................9Figura 7 : Esempio di spettro di risposta elastico delle componenti orizzontali............................................................11Figura 8 : 32 combinazioni delle sollecitazioni di momento per il telaio x.....................................................................14

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1 Introduzione

In Italia le costruzioni in cemento armato progettate in zona sismica devono attenersi alle prescrizioni riportate nei capitoli 2, 3, 7 del DM 14/01/2008, nel quale sono previsti due stati limite ultimi e due di esercizio.

Alla prima categoria appartengono:

- Stato Limite di salvaguardia della Vita (SLV): fa riferimento ad un evento con probabilità di accadimento durante la Vita di Riferimento VR pari al 10% e prevede danni gravi alla struttura che, tuttavia, però non deve perdere la la capacità di sopportare i carichi verticali. In questo caso è inoltre richiesta una residua capacità di resistere ad azioni orizzontali (repliche sismiche di entità inferiore).

- Stato Limite di prevenzione del Collasso (STC): fa riferimento ad un evento con probabilità di accadimento durante la Vita di Riferimento VR pari al 5% e prevede danni gravi alla struttura che, tuttavia, però non deve perdere la la capacità di sopportare i carichi verticali nella fase post sismica. In questo caso non sono richieste ulteriori riserve contro repliche sismiche.

Alla seconda categoria appartengono:

- Stato Limite di Danno (SLD): fa riferimento ad un evento con probabilità di accadimento durante la Vita di Riferimento VR pari al 63% e prevede danni limitati alla struttura che, tuttavia, deve rimanere agibile dopo l’evento sismico.

- Stato Limite di Operatività (SLO): fa riferimento ad un evento con probabilità di accadimento durante la Vita di Riferimento VR pari al 81%. Dopo l’evento sismico la struttura deve rimanere del tutto operativa anche in termini di impianti ed apparecchiature.

2 Gerarchia delle resistenze

Il concetto della gerarchia delle resistenze si basa sul fatto che, qualora sussista la possibilità di rotture alternative, deve sempre avvenire prima quella caratterizzata dal meccanismo duttile. Quindi, dal punto di vista della progettazione, devono essere individuati tutti i possibili meccanismi di rottura e, una volta analizzati, devono essere ordinati gerarchicamente in modo da assegnare la maggiore resistenza al meccanismo resistente più fragile. Questo discorso va applicato ai seguenti livelli strutturali:

- Materiali: l’acciaio è il materiale che garantisce duttilità alla struttura e quindi è necessario garantire che i meccanismi di rottura che lo coinvolgono vengano effettivamente sviluppati. Ciò ha una ricaduta sul valore della resistenza dell’acciaio in uso: essa deve essere più prossima a quella prevista nei calcoli in quanto il deficit di resistenza è tanto negativo quanto un eccesso della stessa.

- Gerarchia acciaio – calcestruzzo: le sezioni di elementi strutturali inflessi e pressoinflessi devono andare in crisi con il calcestruzzo poco sollecitato e l’armatura molto plasticizzata.

- Gerarchia flessione – taglio: tutti gli elementi inflessi possono arrivare a rottura per flessione o per taglio, ma, poiché la seconda è sempre di tipo fragile, è necessario che avvenga prima la rottura

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per flessione. Ciò implica che per travi e pilastri il taglio di progetto non sia quello ricavato dall’analisi strutturale ma sia il massimo possibile sull’elemento strutturale considerato.

- Gerarchia travi pilastri: il comportamento del telaio in cemento armato può condurre a meccanismi molto diversi tra loro, variabili tra i due limiti riportati in figura 1. Tra i due meccanismi limite bisogna tendere a quello globale, caratterizzato da una capacità dissipativa superiore dato il maggior numero di zone che si plasticizzano (a parità di duttilità).

Figura 1: Meccanismi di collasso globale e di piano

- Gerarchia struttura in elevazione – fondazione: poiché il comportamento della parte in elevazione è modellabile con maggior affidabilità rispetto alle fondazioni (si ricorda che il terreno ha un comportamento non lineare) e dati gli elevati costi lagati ad eventuali riparazioni dei danni delle fondazioni, si preferisce sovradimensionare queste ultime.

3 Il sisma: analisi fisica del problema

3.1 Grandezze fisiche coinvolte

3.1.1 Rigidezza

La rigidezza è la capacità che un corpo ha di opporsi alla deformazione elastica provocata da una forza applicata. In generale si dovrebbe dire rigidezza quando si parla di una struttura e di rigidità quando si parla di materiale (cioè di modulo elastico del materiale).

Per rappresentare la rigidezza k si utilizza come modello una molla; ed è definita come la costante di proporzionalità tra la forza applicata Fe applicata e lo spostamento x subito, come da relazione (1):

k = Fe

x (1)

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Figura 2: Schema della rigidezza

Come una molla, ogni struttura ha una sua rigidezza k, come una trave incastrata all’estremo inferiore e soggetta ad una forza Fe nell’estremo libero superiore in cui vale (2):

Fe = k ∙ x (2)

Con :

- x: spostamento imposto pari a Fe ∙ L

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3∙ E ∙ I

- k = 3EI

L3

- I: momento di inerzia della sezione pari a b ∙h3

12- E: modulo elastico del materiale - L: luce della mensola

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Figura 3: Schema dello spostamento imposto.

3.1.2 Massa

La massa è una grandezza fisica, cioè una proprietà dei materiali, ed esprime la resistenza al cambiamento dello stato di movimento di un corpo quando viene applicata una forza (inerzia del movimento). Dalla seconda legge di Newton, la massa m è la quantità di materia di un corpo (3), e rappresenta la costante di proporzionalità tra la forza Fi applicata al corpo [N] e l’accelerazionasubita:

m = F i

a (3)

Nel campo gravitazionale

- a = g= 9.81 [ms2 ] - Fi : forza peso

3.1.3 Smorzamento

Similmente ad un ammortizzatore, ogni struttura ha una capacità intrinseca di smorzare le oscillazioni, cioè una sua costante c, detta costante viscosa e definita come nella (4) :

c = Fd

v (4)

con:

- Fd : forza viscosa Fd

- v: velocità di movimento dello stantuffo

Lo smorzamento si valuta mediante adatti dispositivi detti smorzatori, che permettono di rudurre l’ampiezza delle oscillazioni in un sistema meccanico o elettrico, applicando una forza viscosa Fd

proporzionale, tramite la costante c , alla velocità v con cui si muove lo stantuffo.

3.2 Modello del pendolo rovescioLa struttura di un edificio monopiano si può schematizzare con una massa – solaio e travi di copertura – (1), i suoi sotegni (2) solle opere di fondazione – pilastri – e le opere di fondazioni (3) come riportato in figura 3.

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Figura 4: Pendolo rovescio prima del sisma.

Il sisma è simulato con una forza orizzontale applicata alla massa. Infatti, quando il sisma investe l’edificio, il terrreno imprime alle fondazioni un’accelerazione ag che si spostano di xg. facendo riferimento alla figura 4, l’elemento (1) si muove di x (con accelerazione a e velocità v) rispetto a (3). a+a g e x+xg sono le accelerazioni e lo spostamento della massa.

Figura 5: Pendolo rovescio durante il sisma.

Si immagini di isolare la massa, su di essa agiscono tre tipi di forze orizzontali:

- Forza di inerzia Fi = m (a+a∙ g) (5)- Forza di richiamo elastico Fe = k x (come riportato in figura 4, k è relativa ai sostegni (2)) (6)∙- Forza di smorzamento Fd = c∙ν (riportato in figura 4, lo smorzamento è offeto dai sostegni (2)) (7)

Le tre forze devono essere in equilibrio tra loro secondo l’equazione (8):

Fi + Fd + Fe = 0 (8)

sostituendo i valori delle relazioni (5), (6) e (7):

m (a+a∙ g) + c ν + k x = 0 (9)∙ ∙

che si può anche scrivere come (10):

m a + c ν + k x = -m a∙ ∙ ∙ ∙ g (10)

con :

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- m a∙ g : l’accelerazione sismica

Divido tutto per la massa m si ottiene la (11):

a + cm

ν+ ∙km

x = -a∙ g (11)

Inoltre la massa sarà soggetta ad oscillazione caratterizzata da un periodo T definito dalla (12):

periodo della struttura T = 2π ∙ √ mk

(12)

Per calcolare T si può fare riferimento a:- risultati di analisi più complesse (analisi modale)- metodi empirici come quelli nominativi. La NTC 2008 e l’EC8 suggeriscono, per costruzioni che di

altezza H ≤ 40 m e la cui massa sia pressapoco uniforme sull’altezza, la seguente formula:

T = C1 H∙ 3/4 (13)dove: C1 = 0.085 per strutture a telaio in acciaioC1 = 0.075 per strutture a tealio in calcestruzzoC1 = 0.05 per strutture di altro tipo.

Se la struttura è molto rigida il periodo è molto piccolo; aumentando la massa aumenta anche il periodo. Il moto oscillatorio della massa tuttavia non continua all’infinito per via di fenomeni di dissipazione dell’energia dovuti ad azioni viscose che sono funzione del fattore di smorzamento, di seguito definito come:

fattore di smorzamento ξ = 0.5 ∙c

√m∙k (14)

Quindi ξ indica la capacità della struttura di dissipare energia, o di sottrarre energia al moto, durante l’evento sismico, che in tal modo viene smorzato. Per le strutture in acciaio assumiamo ξ= 0.02, per quelle in calcestruzzo armato ξ = 0.05.

Data la complessità dell’espressione (11), le norme forniscono un metodo alternativo per ricavare l’accelerazione impressa dal sisma sulla base degli spettri di risposta elastica.

4 Modellazione della struttura

Il modello della struttura deve essere tridimensionale e rappresentare in modo adeguato le effettive distribuzioni spaziali di massa, rigidezza e resistenza, con particolare attenzione alle situazioni nelle quali

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le componenti orizzontali dell’azione sismica possono produrre forze di inerzia verticali (7.2.1 NTC 2008), ovvero nei seguenti casi:

- Presenza di elementi pressoché orizzontali (luce > 20 m);- Elementi principali precompressi (esclusi i solai di luce < 8 m);- Elementi a mensola di luce > 4 m;- Strutture spingenti;- Pilastri in falso;- Edifici con piani sospesi;- Ponti;- Costruzioni con isolamento.

Nella definizione del modello, gli elementi strutturali secondari e quelli non strutturali autoportanti (tamponature e tramezzi) possono essere tenuti in conto unicamente in termini di massa a meno che non diano un significativo contributo alla rigidezza ed alla resistenza.

I solai possono essere considerati infinitamente rigidi nel loro piano (purchè soddisfatte le condizioni riportate nel 7.2.6 NTC 2008) e ciascun livello è caratterizzato da tre gradi di libertà: due traslazioni del baricentro dell’impalcato nelle due direzioni ortogonali e la rotazione intorno all’asse verticale passante per il baricentro delle rigidezze. Il solaio ha quindi la funzione di ripartire l’azione sismica sugli elementi verticali (pilastri e setti) che, in virtù della loro rigidezza k, sviluppano delle forze che si oppongono al moto concentrate nel baricentro delle rigidezze. Alla luce di quanto detto, è necessario individuare il baricentro delle masse e delle rigidezze per ogni piano. Il primo lo si ottiene calcolando il momento statico dell’impalcato e dividendolo per l’area dello stesso (bisogna tener conto di aperture significative nell’impalcato, quali quelle relative al corpo scala), mentre il secondo ha coordinate definite nelle (15) e (16):

xD=∑K=1

m

J xk xk

∑k=1

m

J xk

(15)

yD=∑K=1

m

J yk yk

∑k=1

m

J yk

(16)

Dove:- m= numero di pilastri;

- J x=BH 3

12 : momento di inerzia del K-esimo pilastro in direzione x (nel caso di pilastro

rettangolare);

- J y=HB3

12 : momento di inerzia del K-esimo pilastro in direzione y (nel caso di pilastro

rettangolare);

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- xk , yk coordinate nel sistema di riferimento impostato per il centro delle masse A

Figura 6: Gradi di libertà nel modello, centro delle masse (G) e centro delle rigidezze (R)

E’ bene precisare che, per tenere conto di eventuali incertezze nella localizzazione delle masse, al centro di massa calcolato deve essere attribuita un’eccentricità accidentale sia positiva che negativa nelle due direzioni (individuando quattro punti nell’intorno del baricentro delle masse). L’eccentricità accidentale è data dalla seguente relazione:

ea = ± 5% L∙ i (17)

con:- Li pari alla dimensione lungo la quale stiamo valutando l’eccentricità.

5 Metodi di analisi: analisi statica lineare

L’azione sismica sulle costruzioni è valutata sulla base dei seguenti parametri:

- Periodo di riferimento VR : va ricavato per ciascu tipo di costruzione e si ottie ne come prodotto della vita nominale VN (definita come il numero di anni nel quale la struttura, purché soggetta alla manutenzione oridnaria, deve poter essere usata per lo scopo a cui è destinata) per un coefficiente d’uso CU.

- Pericolosità sismismica di base: trattasi di un parametro espresso in termini di ordinate dello spettro di risposta elastico in accelerazione Se(T), con riferimento a prefissate probabilità di eccedenza PVR (definite a seconda dello Stato Limite di considerato) nel periodo di riferimento VR.

In particolare, noto PVR, è possibile ricavare il periodo di ritorno dell’azione sismica TR con la relazione (4):

T R=−V R

ln (1−PVR ) (18)

Quindi, noti TR e la latitudine e la longitudine relativi alla localizzazione geografica dell’edificio da progettare, sono definite le forme spettrali a partire dai seguenti valori:

- ag: accelerazione orizzontale massima in sito;

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- F₀: valore massimo del fattore di amplificazione dello spettro in accelerazione orizzontale;- T*C: periodo di inizio del tratto a velocità costante dello spettro in accelerazione orizzontale;- S: coefficiente che tiene conto della categoria di sottosuolo e delle condizioni topografiche

mediante la relazione S = SS S∙ T, essendo SS il coefficiente di amplificazione stratigrafica e ST il coefficiente di amplificazione topografica;

- TC: periodo di conclusione del tratto ad accelerazione costante. Si ricava come T C = CC T*∙ C, con CC

funzione della categoria del sottosuolo;- TB: periodo corrispondente all’inizio del del tratto dello spettro ad accelerazione costante. Si

ricava come TB= TC/3;- TD: periodo corrispondente all’inizio del tratto a spostamento costante dello spettro. Si ricava

come TD= 4 (a∙ g/g) + 1,6.

Nello specifico, le equazioni della curva che definisce lo spettro di risposta elastica delle componenti orizzontali e di quelle verticali sono riportate nel paragrafo 3.2.3.2.1 delle NTC 2008.

Figura 7 : Esempio di spettro di risposta elastico delle componenti orizzontali

A partire dallo spettro di risposta elastica, si ricava quello di progetto.

A tal proposito, nel caso di SLV, bisogna calcolare il fattore di struttura q, il quale è funzione dei seguenti parametri:

- Tipologia strutturale: le strutture sismo-resistenti in cemento armato previste dalla normativa sono: strutture a telaio, strutture a pareti, strutture miste telaio-pareti, strutture deformabili torsionalmente, strutture a pendolo inverso.

- Classe di duttilità CD: la normativa individua una calsse di duttilità bassa CDB ed una classe di duttilità alta CDA. La prima implica l’uso, a livello di progettazione, di un fattore di struttura ridotto, aumentando di conseguenza le forze che conducono alla prima plasticizzazione (l’edificio avrà una minore capacità di dissipazione plastica, ma dovrà garantire una resistenza maggiore contro le forze agenti). La seconda, a livello progettuale, implica l’adozione di regole più severe per ottenere una duttilità adeguata.

- Regolarità in altezza: questo parametro è definito nel paragrafo 7.2.2 delle NTC 2008;- Numero di piani.

Nello specifico, il fattore di struttura si ricava con la seguente formula:

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q = q₀ K∙ R [-] (19)

Dove:

- q₀: è il valore massimo del fattore di struttura. E’ funzione del livello di duttilità, dalla tipologia strutturale e dal rapporto αu/α1 tra il valore dell’azione sismica per il quale si verifica la formazione di un numero di cerniere plastiche tali da rendere la struttura labile e quello per il quale il primo elemento strutturale raggiunge la plasticizzazione a flessione.

- KR: è un fattore riduttivo funzione della regolarità in altezza della costruzione (1 per costruzioni regolari in altezza, 0.8 per quelle non regolari).

Noto il fattore di struttura q, sono definiti gli spettri di progetto, ottenibili dividendo per q le equazioni che definiscono la curva dello spettro di risposta elastico.

Dallo spettro di progetto si ricava poi l’ordinata spettrale di progetto e, sulla base di essa, è possibile modellare l’azione sismica come un’azione orizzontale equivalente da scomporre nelle due direzioni. Sulla base del secondo principio della dinamica:

F = a m (20)∙

si determinano le componenti orizzontali dell’azione sismica come il prodotto dell’ordinata (accelerazione) spettrale di progetto per la massa W/g associata al peso sismico W, ottenuto come somma dei pesi sismici degli elementi strutturali e non che caratterizzano la costruzione (solai, balconi, scale, tampnature, travi e pilastri). Nel caso di solai, balconi e scale, il peso sismico si calcola moltiplicando il carico unitario al metro quadrato (ottenuto dalla combinazione dei carichi permanenti G1 e G2 con le azioni variabili Qk ridotte mediante il coefficiente ψ2,i) per la superficie di estensione dell’elemento considerato. Nel caso di tamponature, travi e pilastri, il carico unitario al metro lineare (ricavato dall’analisi dei carichi) va moltiplicato per la lunghezza di estensione dell’elemento considerato. Sostituendo i suddetti valori nella (6), si ottengono le componenti orizzontali della forza sismica orizzontale:

Fhx=Sd(T )x ∙Wg

(21)

Fhy=Sd(T )y ∙Wg

(22)

Bisogna tuttavia precisare che i pesi sismici vanno calcolati di volta in volta per ciscun piano della costruzione e, di conseguenza, a ciascun livello sarà applicata una forza orizzontale diversa, pesata rispetto all’altezza z dalle fondazioni del piano considerato. Nello specifico, la (21) e la (22), per l’i-esimo piano saranno date dalle seguenti relazioni:

Fhx, i=Sd(T )x ∙zi ∙W i

∑j

(z¿¿ jW j)¿¿ (23)

Fhy, i=Sd (T )y ∙zi ∙W i

∑j

(z¿¿ jW j)¿¿ (24)

Dove:

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- Wi e Wj sono i pesi sismici delle masse ai piani i e j;- zi e zj sono le altezze dei piani i e j rispetto alle fondazioni.

In zona sismica 4, Sd(T) = 0,07 W∙ TOT, essendo WTOT il peso complessivo dell’intera costruzione.

6 Analisi delle sollecitazioni nei telai - SLU

6.1 Azioni nei pilastri

Le forze orizzontali, calcolate come descritto nel precedente capitolo, vanno applicate all’i-esimo piano considerato in corrispondenza dei 4 punti individuati nell’intorno del centro delle masse. Ne scaturiscono altrettanti casi che vanno analizzati separatamente:

- Eccentricità ex positiva, forza orizzontale in direzione y;- Eccentricità ex negativa, forza orizzontale in direzione y;- Eccentricità ey positiva, forza orizzontale in direzione x;- Eccentricità ey negativa, forza orizzontale in direzione x.

Gli effetti dell’azione sismica si traducono in una traslazione rigida del solaio in direzione dell’applicazione della forza e in una rotazione dello stesso intorno al baricentro delle rigidezze causata dall’eccentricità della forza rispetto al centro di rotazione. Quest’ultimo aspetto si traduce nell’insorgenza di un momento torcente Mt dato dalla seguente relazione:

M o=Q y ∙ exR+Q x ∙ e yR (25)

Dove, i termini che compaiono sono i seguenti:- Eccentricità reale lungo x: exR = xD-xA, con xD ascissa del baricentro delle rigidezze e xA ascissa del

baricentro delle masse;- Eccentricità reale lungo y: eyR = yD-yA, con yD ordinata del baricentro delle rigidezze e yA ordinata

del baricentro delle masse;- Qy e Qx: forza sismica applicata. Il valore assegnato ai due parametri dipende da quale dei quattro

casi di studio si sta analizzando. Per esempio, nel caso di “eccentricità ex positiva, forza orizzontale in direzione y” è evidente che Qx = 0 mentre Qy = Fh.

Il solaio, essendo infinitamente rigido per ipotesi, trasmette l’azione sismica ai pilastri che, a loro volta, si oppongono al moto sviluppando forze resistenti che sono funzione della loro rigidezza. Quindi, nel j-esimo pilastro dell’i-esimo piano agirà una forza Sj scomponibile nelle seguenti componenti:

Sx , j=Sx , jt +S x, j

M 0 (26)

Sy , j=S y , jt +S y , j

M 0 (27)

In cui:

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-Sx , j

t =Q x ∙ J y , j

∑k=1

m

J y ,k

, con m: numero pilastri al piano considerato;

-Sy , j

t =Q y ∙ J x , j

∑k=1

m

J x, k

, con m: numero pilastri al piano considerato;

- Sx , jMo=¿ - β ∙ Jy,j ∙ yD,j α , con α: angolo di rotazione formato dall’asse baricentrico del j-esimo∙

pilastro con il baricentro delle rigidezze; yD,i : coordinata y del pilastro rispetto al sistema di assi cartesiani con origine ne baricentro delle rigidezze;

- Sy , jMo=¿ β ∙ Jx,j ∙ xD,j α , con α: angolo di rotazione formato dall’asse baricentrico del j-esimo∙

pilastro con il baricentro delle rigidezze; xD,i : coordinata x del pilastro rispetto al sistema di assi cartesiani con origine ne baricentro delle rigidezze;

-α= M o

β ∙∑k=1

m

(J¿¿x , k ∙ xD, k2 +J y ,k ∙ yD, k

2 )¿

- β j=12 E

h j3

6.2 Analisi delle sollecitazioni nei telai

Per ciscuno dei quattro casi di eccentricità bisogna studiare i telai x e quelli y che compongono la struttura, applicando al piano i-esimo la forza orizzontale che gli compete, data dalla somma delle Sj

agenti sugli m pilastri del piano considerato (vedi paragrafo precedente).

Tuttavia, l’azione sismica nei telai va combinata con i carichi verticali applicando la seguente formula (vedi paragrafo 2.5.5 NTC 2008):

E+G1+G2+P+Σψ2,j Q∙ j (28)

Dove E rappresenta l’azione sismica.

La (28), dal punto di vista pratico, rappresenta un’indicazione del procedimento da seguire nell’analisi e, quindi, prescrive che l’azione sismica va aggiunta nel telaio oggetto di studio contemporaneamente ai carichi verticali degli elementi strutturali e non del telaio (travi e tamponamenti) e a quelli trasmessi dal solaio, ottenuti applicando la combinazione quasi permanente (vedi paragrafo 2.5.4 NTC 2008).

6.3 Combinazione delle sollecitazioni

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L’analisi delle sollecitazioni genera come output una terna di valori di M,N,T per ciascuna sezione dei telai x ed y. Poiché ogni telaio è stato risolto 4 volte (perché tale è il numero di situazioni che scaturiscono dai casi di eccentricità), ad ogni sezione corrispondono 4 terne di sollecitazioni:

- Per il telaio x: (Mx1, Nx1, Tx1), (Mx2, Nx2, Tx2), (Mx3, Nx3, Tx3), (Mx4, Nx4, Tx4);- Per il telaio y: (My1, Ny1, Ty1), (My2, Ny2, Ty2), (My3, Ny3, Ty3), (My4, Ny4, Ty4).

Di conseguenza, per ciascun telaio e per ogni sezione, le terne andranno combinate tra loro.

Nello specifico vengono combinate tra loro solo le sollecitazioni di momento e quelle di taglio, mentre ciò non avviene per gli sforzi normali, i quali non subiscono variazioni nei 4 casi di eccentricità.

Per esempio, nel caso del telaio x ed in riferimento alle sollecitazioni di momento, si ottengono le seguenti combinazioni:

Figura 8 : 32 combinazioni delle sollecitazioni di momento per il telaio x

Le stesse combinazioni valgono per il taglio. Il procedimento va poi esteso anche al telaio y.

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