Misure ripetute di lunghezza e tempo

Gruppo M05 - Biasi Lorenzo, Micallo Tommaso, Ranieri Bianca

20 marzo 2015

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PedeFont monospazioDiscreta la parte relativa alla misura delle lunghezze. Appena sufficiente la parte sulle misure di tempo, con diversi errori e numerose lacune. L'analisi statistica (vedi tabelle) incompleta. Attenzione anche agli errori di batittura.

PedeFont monospazio

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PedeFont monospazioSUFFICIENTE

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Abstract

Scopi dellesperienza

Il nostro obiettivo e` ricavare la distribuzione di grandezze di una popolazione dicilindretti utilizzando strumenti di misura diversi e (con risoluzioni differenti)e calcolare il periodo di un pendolo in modi via via migliori per la riduzionedellincertezza. Tale esperienza ci ha dato possibilita` anche di iniziare ad averedimestichezza sia con gli strumenti di misura che con lanalisi dei dati e luti-lizzo di parametri statistici come media, scarto quadratico medio e devianza.Inoltre attraverso questa esperienza e` stato possibile entrare in contatto conalcuni strumenti infromatici quali Excel, LATEX e Matlab, dandoci occasione diimparare e migliorare le nostre abilita` con tali software.

Note sul lavoro fatto

A scopi di semplificazione e leggibilita`, tratteremo il lavoro svolto in laboratoriocome due blocchi separati, lasciando prima spazio a metodi di misurazione,analisi e conclusioni riguardo ai dati dei cilindretti e passando poi alla parte suipendoli.

Misure di cilindretti metallici

Introduzione

Vogliamo misurare la distribuzione dellaltezza di una popolazione 25 cilindrettie stimare i possibili errori commessi nella misura.

Raccolta dati

Materiale a disposizione:

1. 25 cilindretti metallici

2. 1 metro a nastro con risoluzione 1 mm

3. 1 calibro a cursore con risoluzione 0.05 mm

4. 1 micrometro (calibro a vite micrometrica) con risoluzione 0.01 mm

Procedure di misura

Ogni cilindretto e` stato misurato prima col metro a nastro dalloperatore 1, poicol calibro dalloperatore 2 e infine col micrometro dalloperatore 3. In talemodo si e` reso possibile un confronto incrociato fra tre misurazioni indipendentidello stesso campione.

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PedeFont monospazioLUNGHEZZE

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PedeFont monospaziolunghezza

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Per il metro a nastro:

1. il cilindretto e` stato posto sul metro a nastro allineando un estremo allatacca corrispondente ai 3 cm

2. si e` letto poi il valore della tacca piu` vicina al secondo estremo

3. tramite una sottrazione si e` dedotta la lunghezza del cilindretto.

Nota: abbiamo scelto tale procedura poiche abbiamo ritenuto trascurabile ler-rore dellocchio umano nellallineamento rispetto allincertezza di risoluzione delmetro.

Per il calibro ventesimale:

1. controllo della taratura: mettendo a zero lo strumento ha dato valoreduscita effettivamente nullo

2. si e` portata la parte scorrevole in una posizione tale che il cilindrettopotesse rientrare facilmente tra i becchi

3. si e` riportata indietro la parte scorrevole in modo che il cilindrettro fosseben stretto tra i becchi

4. si e` bloccata la parte scorrevole

5. si e` effettuata la lettura (sulla scala e sul nonio).

Per il micrometro:

1. controllo taratura: mettendo a zero lo strumento ha dato valore duscitaeffettivamente nullo

2. si sono allontanati i rebbi in modo che il cilindetto potesse rientrare confacilita`

3. si e` collocato il pezzo da misurare tra i rebbi

4. si e` stretto il cilindretto tra i rebbi

5. si e` letta sulla scala fissa la componente maggiore, in mezzi millimetri,aggiungendo le frazioni centesimali lette sul tamburo.

Analisi dati

Comparando i dati ottenuti dalle misurazioni con i tre strumenti e` possibileapprezzare le differenze esistenti nella popolazione dei campioni.In realta` si nota subito dalla Tabella 1 e dalla Figura 1 che la risoluzione delmetro (e quindi la minima larghezza possibile dei bin) e` insufficiente ad apprez-zare le fluttuazioni delle lunghezze dei cilindretti. Pertanto lanalisi dei dati siincentrera` principalmente sui risultati ricavati con lutilizzo del micrometro e

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PedeFont monospaziointendete nella lunghezza?

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calibro.Nota: in seguito, ove non indicato in modo differente, con Incertezza si intendeincertezza massima di risoluzione.

Indice Dati metro a nastro [mm] Incertezza metro a nastro [mm]1 14 0.52 14 0.53 14 0.54 14 0.55 14 0.56 14 0.57 14 0.58 14 0.59 14 0.510 14 0.511 14 0.512 14 0.513 14 0.514 14 0.515 14 0.516 14 0.517 14 0.518 14 0.519 14 0.520 14 0.521 14 0.522 14 0.523 14 0.524 14 0.525 14 0.5

Tabella 1: misure metro a nastro

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Figura 1: istogramma comulativo delle misure con il metro a nastro

Nel creare listogramma abbiamo optato per un un binning adeguato al nu-mero dei campioni. Abbiamo appunto scelto di far avere allistogramma unmassimo di 5 bin (ove possibile), numero che permetteva di avere il massimodelle informazioni sulle misure, ma manteneva la forma dellistogramma uti-le per lanalisi. Abbiamo infatti prima provato a tenere la larghezza dei binequivalente allincertezza di risoluzione (ovvero ad avere il massimo di informa-zioni allinterno del grafico), ma la forma degli istrogrammi diventava troppoirregolare. La Figura 2 presenta un istogramma normalizzato in area, con lasovrapposizione dei dati ottenuti dal micrometro e dal calibro. Si puo` notare chele forme dei due istogrammi non sono molto differenti. Questo avviene grazieallincertezza di risoluzione sia del calibro (0.05 mm) che del micrometro (0.01mm) che permettono di apprezzare la variazione di lunghezza dei campioni. In-fatti le variazioni tra i singoli cilindetti avvengono su una scala maggiore o al piu`confrontabile con la risoluzione degli strumenti. Dalle Tabella 2.a e Tabella 2.bsi notano alcune discrepanze tra i dati ricavati dalla misura col calibro e quelliricavati col micrometro. I dati 1, 3, 9, 12, 13, 15, 16, 20, 22 e 23 presentano unresiduo tale che:

R = XM XC|R| > XM + XC

dove R e` il residuo, XM la misura ottenuta col micrometro, XS la misura otte-nuta col calibro, XM lincertezza massima sulla misura col micrometro e XC

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PedeFont monospazio

PedeFont monospazioe quindi questo cosa implica?

PedeOvale

lincertezza massima sulla misura col calibro.Riteniamo che tali frequenti discrepanze siano dovute a errori di tipo B causatiprincipalmente dalla nostra inesperienza nelluso degli strumenti, ma se ne par-lera` piu` accuratamente in seguito.

Indice Dati Calibro [mm] Incertezza Calibro [mm]1 13.75 0.0252 13.90 0.0253 13.45 0.0254 13.90 0.0255 13.75 0.0256 13.85 0.0257 13.75 0.0258 13.70 0.0259 13.80 0.02510 13.90 0.02511 13.90 0.02512 13.95 0.02513 13.90 0.02514 13.85 0.02515 13.85 0.02516 13.80 0.02517 13.95 0.02518 13.90 0.02519 13.85 0.02520 13.90 0.02521 13.85 0.02522 13.90 0.02523 13.85 0.02524 13.85 0.02525 13.85 0.025

Tabella 2.a

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PedeFont monospaziodove? in quale sezione?

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PedeFont monospazioma cosa vuol dire? Un errore sistematico dovuto all'inesperienza...?????

PedeFont monospazio

Indice Dati Micrometro [mm] Incertezza Micrometro [mm]1 13.71 0.0052 13.98 0.0053 13.80 0.0054 13.89 0.0055 13.73 0.0056 13.88 0.0057 13.77 0.0058 13.70 0.0059 13.86 0.00510 13.93 0.00511 13.89 0.00512 13.91 0.00513 13.94 0.00514 13.84 0.00515 13.89 0.00516 13.76 0.00517 13.95 0.00518 13.90 0.00519 13.87 0.00520 13.85 0.00521 13.87 0.00522 13.83 0.00523 13.93 0.00524 13.87 0.00525 13.87 0.005

Tabella 2.b

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Figura 2: istogramma normalizzato in area delle misure di calibro emicrometro

Misure condivise da tutti i gruppi

Mettendo insieme i dati raccolti da diversi gruppi e` possibile analizzare unapopolazione molto piu` ampia e quindi ottenere una distribuzione sperimentaleche si avvicina a quella reale molto piu` di quanto non facciano le misurazionieffettuate da un singolo gruppo. Possiamo vedere dallistogramma in Figura 3che la distrubuzione delle misure non e` simmetrica, come appunto non avevaragione dessere: questa appunto presenta due picchi, quello a sinistra circa lameta` di quello a destra. Tale fatto ci induce a pensare che siano stati uniti duegruppi di cilindretti diversi. Tali due gruppi potrebbero essere rappresentatida i cilindretti fini e dai cilindretti spessi, ma in assenza di ulteriori dati non e`possibile andare oltre la semplice supposizione.

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PedeFont monospazio?

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PedeFont monospazio??

Figura 3: istogramma normalizzato in area delle misure calibro e micrometro,325 campioni

Un altro vantaggio della numerosita` dei dati e` il poter costruire un isto-gramma comulativo che indichi piu` precisamente dati statistici come medianae percentili. Come possiamo infatti vedere nella Figura 4, per effetto del grannumero di dati, la mediana viene segnata su un bin molto piu` stretto paragonatoai bin usato ad esempio in Figura 2 . Notiamo inoltre che listogramma cumu-lativo in Figura 4 intorno alla mediana presenta una pendenza molto maggioreche nel nel resto delgrafico. Si nota questa tale pendenza elevata coincide conlelvato picco di destra in Figura 3.

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PedeFont monospazionon c' nessun commento riguardo alla scelta del binning....

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Figura 4: istogramma comulativo micrometro con mediana, 325 campioni

Parametri statistici

Affronteremo ora unanalisi dei parametri statistici, che risultano utili per unacomprensione piena dei risultati. Abbiamo scelto di analizzare la media campio-naria, lo scarto quadratico medio e mediana, essendo per ora gli unici parametricon cui abbiamo buona dimestichezza.

m[XM ] =1

N

Ni=1

XMi

m[XM ] = 13.86mm

Dovem[XM ] e` la media campionaria delle misure col micrometro, N e` il numerodi campioni e le XMi sono le misure effettuate.

m[XC ] =1

N

Ni=1

XCi

m[XC ] = 13.84mm

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Dove m[XC ] e` la media campionaria delle misure col calibro, N e` il numero dicampioni e le XCi sono le misure effettuate.

[XM ] =

1N

Ni=1

(m[XM ]XMi)2

[XM ] = 0.073mm

Dove [XM ] e` lo scarto quadratico medio campionario delle misure effettuatecon il micrometro.

[XC ] =

1N

Ni=1

(m[XC ]XCi)2

[XC ] = 0.101mm

Dove [XC ] e` lo scarto quadratico medio campionario delle misure effettuatecon il calibro.

([R])2 = ([XM ])2 + ([XC ])2

Dove [R] e` lerrore che si commette sul residuo R = |m[XM ] m[XC ]|.Poiche il residuo tra m[XM ] e m[XC ] e` minore del [R] ne deduciamo chegli errori di misura constatati attraverso le tabelle 2.a e 2.b si sono compensatisenza apportare grosse modifiche alla distribuzione generale dei cilindretti. E`lecito pensare cio` poiche i due set di misure sono stati fatti indipendentementeda due operatori differenti, e quindi non sussiste alcun motivo per supporre unadipendenza tra i due.

Conclusione

In questa parte dellesperienza e` stato possibile notare come lo strumento uti-lizzato influenza non solo la raccolta dei dati, ma anche la loro analisi. Inoltreabbiamo imparato che alcuni preconcetti possono essere molto fuorvianti; adesempio aspettarsi sempre una distribuzione normale e` assolutamente sbagliato,soprattutto quando si campiona una popolazione. Infatti, come i dati hanno mo-strato, in questo caso ci siamo trovati di fronte ad una popolazione (i cilindrettimetallici) che mostrano una grandezza (la lunghezza) che ha una distribuzionefortemente asimmetrica.

Misure del periodo di un pendolo

Introduzione

Vogliamo misurare il periodo di un pendolo con migliore accuratezza possibilee confrontare i valori ottenuti con diverse procedure di misura tra loro e con ilmodello teorico del pendolo semplice.

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PedeFont monospazioe la mediana che avete menzionato dov' finita? Mancano anche i quantili

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PedeFont monospaziolo strumento utilizzato non "raccoglie i dati e non effettua l'analisi!!!!

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PedeFont monospazioPotevate calcolare almeno la varianza...La trattazione statistica non sufficiente!

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Raccolta dati

Materiale a disposizione:

1. Strumenti:

(a) 1 cronometro manuale con risoluzione 0.01 s

(b) 1 bilancia elettronica con risoluzione 0.1 g

(c) 1 metro a nastro con risoluzione 1 mm

(d) 1 calibro a cursore con risoluzione 0.05 mm

2. Un pendolo costruito con:

(a) cilindro metallico con un dado avvitabile forato posto al di sopra enel centro di una base del cilindro (massa totale 201.2 g 0.05 g)

(b) un filo di massa inferiore agli 0.5 g (non e` stato possibile rilevare lasua massa con la bilancia in dotazione)

Costruzione del pendolo

Abbiamo fatto passare il filo allinterno del foro e avvitato il dado sulla vitesporgente assicurandoci che il dado fosse fisso e il filo non scivolasse. Abbiamopoi ben stretto laltro capo del filo ad un morsetto, cos` da lasciare 52.4 cm0.05 cm tra il punto in cui il morsetto stringeva il filo e la faccia superiore delcilindro. Ci siamo assicurati che il centro di massa fosse effettivamente lungola retta individuata dal filo teso, perche il cilindro non ruotava, concordementecon lassunzione che il cilindro avesse unadistrubuzione di massa uniforme e chequindi il centro di massa coincidesse col centro geometrico.

Raccolta dati

Per evitare che il pendolo superasse nelle oscillazioni un angolo di 10 con lanormale al terreno, abbiamo imposto che il cilindro non avesse una distanzamaggiore di 9 cm circa dalla verticale passante per il perno. Inoltre abbiamocontrollato che loscillazione non si smorzasse troppo e che langolo massimoraggiunto fosse sempre lo stesso.

Ciascun operatore ha effettuato, indipendentemente dagli altri, 20 misura-zioni di un singolo periodo del pendolo. In queste 60 misurazioni e` stata usatala medesima procedura:

1. si e` messo in oscillazione il pendolo (angolo minore o uguale a 10)

2. si e` atteso che il pendolo avesse moto regolare

3. si e` fatto partire il cronometro quando il pendolo era nel punto di inver-sione del moto

4. si e` fermato il cronometro quando il pendolo ha compiuto unoscillazionecompleta

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PedeFont monospazioe questo perch?

PedeFont monospazio

PedeFont monospazioperch'?

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PedeFont monospazioSi chiama "procedura di misura"

5. si e` registrato il valore e azzerato il cronometro.

Con la medesima procedura loperatore 3 si e` dedicato a misurare 100 singoliperiodi distinti.In seguito, per ridurre gli errori commessi nella misura sono state prese 20misure di 5 oscillazioni complete, di modo che (con lipotesi che i periodi fosseroisocroni) dividendo per 5 il risultato segnato dal cronometro si ottenesse unamisura piu` precisa del periodo.

Aspetti teorici

Prima di analizzare I dati, vogliamo discutere il modello teorico che descriveil fenomeno in esame. Il nostro pendolo, per le misurazioni che desideriamofare, e` approssimabile in buona misura al modello teorico del pendolo semplice.Infatti il filo utilizzato risulta con buona approssimazione inestensibile e di pesotrascurabile rispetto al cilindro metallico. Per quanto riguarda questultimo, lesue dimensioni ridotte rispetto alla lunghezza del filo lo rendono approssimabilea un punto materiale. Questa semplificazione ci permette di predire con facilita`il periodo del pendolo per oscillazioni con angoli minori o uguali a 10. Per unpendolo semplice:

T = 2pi

l

g

Dove T e` il periodo, l e` la distanza tra il centro di massa e il perno, e g e`laccelerazione di gravita` Con i nostri dati:

T = 1.46s

*Nota: Poiche la dipendenza di T da l non e` lineare, non ci e` stato possibilestimare lerrore commesso sulla previsione di T

Analisi dei dati

Nota iniziale: Per dare una maggiore struttura alla relazione e permettere diaffrontare tutti I punti richiesti con maggior ordine e chiarezza possibile abbiamodeciso di suddividere lAnalisi dei dati in tre blocchi:

1. Le misure prese da ciascun operatore separatamente

2. 20 misure e 100 misure prese da uno stesso operatore messe a confronto

3. 20 misure di 5 periodi

Misure prese da ciascun operatore.Poiche le i dati raccolti sono stati riassunti negli istogrammi in Figura 5, Figura6 e Figura 7 abbiamo ritenuto ridondante evidenziare in questa sede anche letabelle, che pero` vengono riportate in appendice.

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PedeFont monospazioNON E' VERO.Conoscendo l e la sua incertezza, potete ricavare l'errore su T. E il fatto che non sia lineare non c'entra nulla

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Figura 5: istogramma di conteggio, misurazioni di singoli periodi, operatore 1

Figura 6: istogrammadi conteggio, misurazioni di singoli periodi, operatore 2

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Figura 6: istogramma di conteggio, misurazioni di singoli periodi, operatore 3

Vista la somiglianza nei dati per intervallo massimo e per errore di risolu-zione, abbiamo deciso di limitarci a fare un istogramma con il conteggio sulleordinate e i vari periodi sulle ascisse, utilizzando lo stesso binning per tutti e tregli istogrammi. Inoltre, dalle tabelle in appendice si sono dedotti i parametristatistici che vengono riassunti nella Tabella 3.

m[Ti] [s] [Ti] [s]Operatore 1 1.42 0.05Operatore 2 1.45 0.10Operatore 3 1.46 0.02

Tabella 3: parametri statistici di base dei tre operatori

Nella Tabella 3 sono indicati con m[Ti] la media campionaria dei dati raccoltidagli operatori e con [Ti] lo scarto quadratico medio di tali misure. Perun confronto piu` immediato in Figura 7 si sono sovrapposti i tre precedentiistogrammi.

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PedeFont monospazioquant' questo binning?

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PedeFont monospaziomancano tutti gl altri parametri statistici (es.mediana, quantili...)Incompleto!

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Figura 7: istogramma di conteggio, misurazioni di 20 singoli periodi, confronto

E` possibile notare che loperatore 1 e loperatore 3 si distinguono nellaveredue picchi diversi e un conseguente spostamento relativo dei due istogrammi.Cio`, come si vede nella Tabella 3, si ripercuote sulle medie, che risultano diver-se. Inoltre listogramma delloperatore 2 e` evidentemente piu` appiattito (la suacolonna centrale e` poco piu` della meta` della colonna piu` alta delloperatore 3).Dalla Tabella 3 si nota infatti che lo scarto quadratico medio delloperatore 2e` maggiore di quello degli altri due operatori. Le varie asimmetrie presenti inquesti istorgrammi non sono significative: benche ci si aspetti una distribuzio-ne gaussiana i grafici sono ancora troppo poco popolati per cercare una formastabile.

100 misurazioni.Per studiare come variano i parametri statistici e gli istogrammi con laumen-tare dei campioni abbiamo compiuto cento misure di singoli periodi, scegliendoloperatore 3 per compiere tali misure. I dati presentano infatti una media piu`vicina degli altri al valore atteso e uno scarto quadratico medio piu` piccolo edunque le code dellistogramma risultano meno popolate. In Figura 8 vienepresentato listogramma che confronta le 100 misurazioni con le precedenti 20dello stesso operatore, al fine di mettere in luce la variazione subita.

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PedeFont monospazioIn generale, negli istogrammi sarebbe opportuno che i centri dei bins coincidessero con i valori riportati in ascissa. Questo rende il grafico pi leggibile.

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PedeFont monospazioquesto sarebbe il titolo della sezione?

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Figura 8: istogramma normalizzato in area, 100-20 misurazioni, confronto

Qui e negli altri istogrammi abbiamo cercato di avere un numero di binuguale a

N , dove N e` il numero di campioni, in modo da ottenere una forma

pressoche stabile, senza perdere troppa informazione. Per confrontarli li abbia-mo normalizzati in area. Possiamo notare dalla Figura 8 come lstogramma piu`popolato si avvicini molto di piu` ad una distribuzione gaussiana, ma notiamoche presenta una visibile asimmetria: cio`, riteniamo, che sia per effetto di unpossibile errore di tipo B, ossia una leggera tendenza delloperatore 3 a pren-dere la misura con un piccolo ritardo. Anche qui riportiamo nella Tabella 4 unriassunto dei piu` semplici parametri statistici.

m[Ti] [s] [Ti] [s]100 misurazioni 1.46 0.05

Operatore 3 1.46 0.02

Tabella 4: confronto tra parametri statistici delle 100 e delle 20 misurazioni

Nella Tabella 4 sono indicati con m[Ti] la media campionaria dei dati rac-colti nei due casi e con [Ti] lo scarto quadratico medio di tali misure. Si puo`notare come mentre la media e` rimasta invariata, lo scarto quadratico medio siapiu` che raddoppiato. Nel grafico in Figura 8 cio` si riflette in un picco identi-ficato da una colonnina piu` stretta (in rosso), ma circondata da piu` colonninedi altezza piu` o meno confrontabile, mentre con le sole 20 misurazioni tale ca-rattere non veniva evidenziato. Al contario le colonne intorno a quella piu` alta

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PedeFont monospazioquesto andava menzionato prima

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PedeFont monospaziotabella incompleta (come tabella sopra)

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PedeFont monospazio?

PedeFont monospazio

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non ne raggiungevano neanche la meta` dellaltezza.

20 misurazioni di 5 periodi.Abbiamo raccolto i dati scegliendodi attendere 5 periodi di oscillazione primadi fermare il cronometro. Tale metodo non solo ci permette di ridurre erroridi tipo A, ma di ridurre perfino lincertezza di risoluzione e gli errori tipo B.Questo si riscontra subito dallistogramma in Figura 8, che confrontato con le100 misure, presenta un picco centrale molto piu` alto e quindi le code risultanopraticamente non popolate.

Figura 9: istogramma normalizzato in area, 100 misurazioni-20 misurazioni di5 periodi, confronto

A dimostrare lefficacia di questo nuovo metodo adottato per misurare ilperiodo ci sono anche i dati statistici in Tabella 5, infatti lo scarto quadraticomedio in questo caso si presenta nettamente minore rispetto al caso delle 100misure.

m[Ti] [s] [Ti] [s]100 misurazioni 1.46 0.05

5 Periodi 1.46 0.004

Tabella 5: confronto tra parametri statistici delle 100 e delle 20 misurazioni diperiodi medi su 5 oscillazioni

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PedeFont monospaziomanca la tabella con i dati

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PedeFont monospazioincompleta, come le tabelle precedenti

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PedeFont monospazioAh s? perfino??

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Nella Tabella 4 sono indicati con m[Ti] la media campionaria dei dati rac-colti nei due casi e con [Ti] lo scarto quadratico medio di tali misure.Tali risultati non ci sorprendono, infatti quando si prende si misurano 5 periodie poi si divide la grandezza ottenuta per 5 per ottenere il valore di un singoloperiodo, si va a dividere anche lincertezza legata alla misura.

Conclusione

Putroppo la media ottenuta gia` con le 20 singole oscillazioni era gia` moltovicina al valore previsto, e non risulta migliorata dalla procedura di misuradelle 5 oscillazioni. Usando la media m[Ti] e lo scarto quadratico medio [Ti],notiamo che il risultato previsto dal modello teorico rientra in un intervallodel tipo [m[Ti] [Ti], m[Ti] + [Ti]] usando tutte e tre le procedure dimisura. I nostri risutati sul periodo di oscillazione sono quindi in stretto accordocon il modello e non si riesce ad evidenziare, con gli strumenti usati, alcunadiscrepanza.

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PedeFont monospazioperch purtroppo???

PedeFont monospazioNoh capisco questa delusione...

Appendice

Operatore 1 [s] Operatore 2 [s] Operatore 3 [s] Incertezza [s]1.41 1.44 1.45 0.051.41 1.41 1.40 0.051.27 1.48 1.44 0.051.41 1.46 1.47 0.051.37 1.57 1.45 0.051.36 1.49 1.54 0.051.44 1.52 1.43 0.051.41 1.34 1.47 0.051.48 1.51 1.44 0.051.47 1.42 1.51 0.051.50 1.54 1.48 0.051.47 1.52 1.44 0.051.47 1.41 1.47 0.051.44 1.46 1.41 0.051.41 1.40 1.49 0.051.42 1.34 1.47 0.051.49 1.48 1.50 0.051.43 1.31 1.45 0.051.40 1.51 1.52 0.051.42 1.37 1.45 0.05

Tabella A: misure di 20 periodi del pendolo, tre operatori

Lincertezza massima di risoluzione e` la stessa per i tre operatori perche si e`usato il medesimo strumento.

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PedeOvale

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PedeFont monospazioNO

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