Relazione Anno di Prova Numeri di Carta · con origami, ovvero come si indicheranno le pieghe da...

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Liceo Scientifico “Le Filandiere”San Vito al Tagliamento

a.s. 2012-2013

Relazione Anno di Prova

Numeri di Cartaprof. Gasparotto Matteo

Dirigente Tutor

dott.ssa Cinelli Giuliana prof. Altan Daniele

Introduzione

Che si tratti di applicazioni pratiche oppure di speculazioni teoriche la prospettivanon cambia: la Matematica ha bisogno di oggetti con i quali lavorare ed i piunaturali e noti sono i numeri. Determinare le dimensioni di un barattolo capace dicontenere 30 dl di liquidi richiede la determinazione di numeri (le dimensioni delcilindro) conoscendo un valore dato (il volume interno), percio e importante sapercostruire, ricavare, determinare nuovi numeri partendo da valori noti.

Il linguaggio simbolico matematico si rivela il piu potente strumento (al mo-mento disponibile) in grado di manipolare e generare numeri. La Teoria degliInsiemi e la Logica Formale ci offrono la possibilita di ricostruire ogni insiemenumerico: partendo da pochi assiomi e semplice costruire i naturali N e succes-sivamente estendere questo insieme ai successivi Z, Q, R e C. E naturale poipassare a spazi di dimensione maggiore o a campi ancora piu grandi, sfruttan-do appieno le possibilita offerte dal linguaggio simbolico combinato con i metodialgebrico-analitici.

Il percorso che ha condotto a questo apparato logico-formale non e stato certobreve e per molti secoli i matematici hanno dovuto affidarsi ad altri strumenti alfine di garantire correttezza e rigore per i propri risultati.

ii

Capitolo 1

Dalla Grecia al Giappone

Nell’antico Egitto erano le corde lo strumento principe per i geometri, i misuratori-di-terra, con le quali essi erano in grado di determinare con buona precisionepossedimenti terrieri, calcolando con estrema accuratezza sia lunghezze lineari cheampiezze di alcuni angoli specifici (come quelli retti).

La corda come strumento matematico fu l’eredita che gli egizi passarono aigreci, assieme ad un vasto bagaglio di conoscenze geometriche ed aritmetiche, econ questi si poterono creare i fondamenti teorici della Matematica come la conos-ciamo oggi. Una corda tesa tra due pioli ed una vincolata ad una estremita conl’altra libera di muoversi costituisco infatti i prototipi degli strumenti d’eccellenzadella matematica greca: la riga non graduata ed il compasso. Gli scienziati elleniciportarono ai limiti estremi le scienze matematiche dando rigore alle proprie scop-erte con costruzioni scomponibili in operazioni elementari con riga e compasso.Un problema, inteso come la determinazione di uno specifico numero dati alcunivalori iniziali, veniva considerato risolto se si poteva descrivere una costruzionecon riga e compasso che ne la determinasse soluzione.

Facciamo nostro questo modo di concepire la matematica ed i suoi problemi,cioe consideriamo

1. quali numeri possono essere costruiti,

2. fissati certi oggetti iniziali

3. e specificati gli strumenti di lavoro.

Piu precisamente consideriamo il piano Euclideo (Π), fissiamo un sottoinsieme nonvuoto di punti (S 6= ∅) contenuto in Π, stabiliamo quali siano gli strumenti e gliassiomi con i quali poter determinare nuovi punti partendo da S ed iniziamo acostruire nuove estensioni S ′ di S.

1

CAPITOLO 1. DALLA GRECIA AL GIAPPONE 2

1.1 Con riga e compasso

Per cominciare consideriamo un insieme iniziale minimale costituito da due solipunti del piano S = {O,A}. Se assegniamo ad O il ruolo di origine possiamodeterminare un’associazione tra i punti del piano ed i numeri: possiamo considerarei punti del piano come punti sul piano di Gauss e quindi come numeri complessi,oppure se stabiliamo che OA = 1 ogni punto P ∈ Π determina un vettore

−−→PQ il cui

modulo e appunto un valore scalare. Detto questo costruire un numero significheradeterminare con una costruzione geometrica un certo punto nel piano Π poiche ilvettore associato ci consentira di determinare lo scalare corrispondente al numeroda costruire. Analogo discorso varra considerando i punti del piano come numericomplessi nel piano di Gauss.

Tutti e soli i numeri che potremo aggiungere a questo insieme iniziale sarannoquei punti del piano che si potranno costruire usando una riga non graduata (pertracciare linee) ed un compasso (per disegnare circonferenze o trasportare segmen-ti), e che costituiranno ampliamenti S ′ dell’insieme iniziale. Pertanto ci atterremoa costruzioni che rispettino i seguenti assiomi:

RC1: Dati due punti P,Q ∈ S ′ (gia precedentemente costruiti) e possibile costruire

1. la retta per P e Q[←→PQ ⊆ S ′

];

2. la circonferenza centrata in P passante per Q[CP,PQ ⊆ S ′

];

3. la circonferenza centrata in Q passante per P[CQ,PQ ⊆ S ′

].

RC2: Sono punti di S ′ le intersezioni di

1. due rette: r1, r2 ⊂ S ′ ⇒ r1 ∩ r2 ⊂ S ′;2. una retta ed una circonferenza: r, C ⊂ S ′ ⇒ r ∩ C ⊂ S ′

3. due circonferenze: C1, C2 ⊂ S ′ ⇒ C1 ∩ C2 ⊂ S ′.

1.1.1 Come scrivere una costruzione

Ovviamente il modo piu immediato per illustrare una costruzione e quello di re-alizzare un diagramma ma, a meno che non venga fatto in tempo reale, cio che siperde e la sequenza dei passi che la costituiscono. Possiamo sopperire a questoaffiancando al diagramma una tabella a due righe in cui riportare i passi dellacostruzione, seguendo queste semplici regole:

1. nella prima riga di ogni colonna si indicano gli oggetti dati, specificandonela natura (segmenti, rette, circonferenze, . . . );


2. nella seconda riga di ogni colonna si indicano gli oggetti ricavati, soprattuttointersezioni degli oggetti dati;

3. la prima colonna contiene i punti iniziali della costruzione;

4. l’ultima colonna contiene i punti finali della costruzione.

Gli oggetti verranno scritti usando la solita notazione geometrica, con alcunevarianti che renderanno piu snella la scrittura delle tabelle di costruzione:

1. AB: circonferenza centrata in A e passante per B;

2. A(BC): circonferenza di centro A e raggio BC;

3. sO: semiretta di origine O.

Detto questo la classica costruzione del triangolo equilatero puo essere scrittasi vede in figura 1.1. La tabella riassume la seguente costruzione:

A B

C

AB AB, BA AB, C

AB, BA C 4ABC

Figura 1.1: La costruzione del triangolo equilatero (diagramma e tabella).

- si consideri il segmento AB;

- tracciando la circonferenza centrata in A e passante per B e quella centratain B passante per A, sia C una delle intersezioni tra esse;

- il triangolo 4ABC e equilatero.


1.1.2 Cosa si puo. . .

Ora che possediamo strumenti efficaci per descrivere le costruzioni geometriche,viene naturale chiedersi quanto si possa espandere l’insieme iniziale, ovvero quanti(e quali!) numeri si possano costruire con riga e compasso.

Proposizione 1 Fissata un’unita di misura, dati due segmenti a e b con riga ecompasso e possibile costruire i seguenti segmenti:

1. a+ b e a− b;

2. a · b e a : b;

3.√a.

Fornire una costruzione per ogni operazione e sufficiente a dimostrare la propo-sizione; alcune di queste sono triviali, altre richiedono un po’ d’ingegno. A titolod’esempio consideriamo la divisione a : b. Siano a = OA | OA > 1, b = OB eP ∈ OB | OP = 1, e si esegua la costruzione illustrata in figura 1.2.

OA

B

P1

Q

OA, OB AB, P OA, sP O, Q

AB sP ‖ AB Q OQ

Figura 1.2: La divisione tra due segmenti (diagramma e tabella).

1.1.3 . . . e cosa no!

Per la proposizione 1 l’insieme iniziale puo essere ampliato fino ad includere l’interoinsieme Q e tutti i radicali quadratici, ma molti altri numeri rimangono fuori eproprio questi hanno fatto la storia della Matematica Classica.

Ad esempio non e possibile costruire numeri corrispondenti agli angoli di ognipoligono regolare (o se preferiamo possiamo anche considerare il segno del semi-angolo corrispondente); un risultato che si deve a Gauss e proprio quello chegli unici poligoni costruibili sono quelli il cui numero n di vertici e della forman = 2k · p1 · · · pm con pi = 22qi + 1, ovvero primi di Fermat. Ma non serve sp-ingersi cosı oltre: il problema di Delo ci fornisce un ottimo esempio di numero noncostruibile con riga e compasso.


La leggenda narra che la citta di Delo venne colpita da un’epidemia di peste;degli emissari vennero inviati a Delfi per consultare l’oracolo di Apollo per capirecome si potesse far cessare la piaga e la risposta che ricevettero poneva una richiestaben precisa: raddoppiare l’altare dedicato ad Apollo. Tale altare aveva la peculiareforma di un cubo, pertanto se gli abitanti di Delo fossero riusciti a duplicarlo, cioecostruendo un cubo dal volume doppio, la peste sarebbe cessata. Ingenuamenteessi raddoppiarono la misura dello spigolo dell’altare esistente e rimasero sorpresiche, una volta terminato il nuovo altare, la peste non si placasse. InterrogaronoPlatone sulla ragione del loro fallimento e questi, facendo osservare che il cuborealizzato aveva un volume pari ad otto volte quello precedente, spiego come Apolloli volesse punire per la loro superficialita, invitandoli allo studio della geometria edella matematica.

In termini di costruzioni geometriche il problema corrisponde alla determi-nazione del numero 3

√2a con a spigolo del cubo iniziale. Molti matematici risolsero

il problema con metodi molto ingegnosi: Menecmo (meta del IV secolo a.C.) uti-lizzo l’intersezione di due parabole, Archita (430 a.C. - 360 a.C. circa) ricorseall’intersezione di coni e cilindri nello spazio, Nicomede (250 a.C. – 180 a.C.) creoaddirittura una curva, la concoide, per determinare la soluzione di questo problema.Ma nessuno fu in grado di fornire una costruzione con riga e compasso.

La ragione risiede in questo teorema

Teorema 1 Se l’equazione cubica x3 + ax2 + bx + c = 0 non ammette radicirazionali, allora nessuna delle sue radici e costruibile partendo dal campo Q.

che implica

Teorema 2 Una costruzione con solo riga e compasso e impossibile se l’equiva-lente algebrico del problema e la soluzione di un’equazione cubica priva di radicirazionali.

La duplicazione del cubo ha come equivalente algebrico l’equazione x3 − 2 = 0,le cui unica radice reale e 3

√2 ∈/ Q, pertanto per il teorema 1 non esiste alcuna

costruzione con riga e compasso che ci dia la soluzione del problema.

1.2 Dal lontano oriente

In Giappone fin dall’antichita e diffusa la pratica dell’origami, ovvero l’arte dicreare oggetti e figure piegando un foglio di carta. Partendo da un foglio, soli-tamente quadrato, si possono ricreare fiori, animali ed anche figure geometriche,piane e solide, eseguendo una costruzione i cui passi sono piegature del foglio stes-so. Potrebbe quasi sembrare una pratica infantile, se pensiamo alla costruzionedella classica barchetta di carta o dell’aeroplanino che ognuno di noi conosce, ma


alcune di queste costruzioni richiedono una grande abilita e sono piuttosto lungheed elaborate da realizzare. Inoltre a dispetto della semplicita delle sue mossebase, la tecnica dell’origami si rivela uno strumento matematico molto potente,addirittura superiore alla riga e compasso.

1.2.1 Tanto per capirci

Per poter proseguire agevolmente nella trattazione dell’origami come strumentomatematico e bene precisare da subito come verranno rappresentate le costruzionicon origami, ovvero come si indicheranno le pieghe da realizzare per ottenerele figure cercate. In figura 1.3 troviamo una rappresentazione delle pieghe basedell’origami, le mosse base, appunto.

1. Piega (fronte foglio). 2. Piega (retro foglio). 3. Piega e apri.

Figura 1.3: Rappresentazione delle pieghe basilari nella tecnica dell’origami.

Per prendere dimestichezza con questi diagrammi consideriamo la realizzazionedi un triangolo equilatero partendo da un foglio A4. I passi sono raffigurati in figura1.4 e figura 1.5 affiancati da una sintetica indicazione sulle pieghe da effettuare. Inquesto caso si e fatto uso anche di un taglio, pratica poco frequente nell’origami,per ottenere un migliore risultato finale.

1. Piega orizzontalmente e a meta il foglio.

Figura 1.4: Prima piega per costruire un triangolo equilatero da un foglio A4.


2. Portare l’angolo in alto a sinistra sulla piega centrale.

3. Tagliare lungo la linea tratteggiata.

Figura 1.5: Conclusione della costruzione di un triangolo equilatero da un foglio A4.

1.2.2 Una dimostrazione classica

Consideriamo la costruzione precedente, senza tagli, riportando tutte le piegherisultanti (figura 1.6), aggiungendo qualche lettera di riferimento.

Figura 1.6: Le pieghe ottenute dalla costruzione del triangolo equilatero. Rispetto alla

costruzione originale sono state aggiunte le pieghe AN e PQ.

A B

CD

H I

P

Q

M N


Dimostrare che il triangolo4APQ e equilatero e un buon esercizio che richiedel’applicazione del teorema di Talete e, al contempo, ci fornisce una prova dellacorrettezza della costruzione con origami. Forniamo la dimostrazione utilizzandouna tabella (1.1) con tre colonne: nella prima indichiamo le ipotesi di ogni passodeduttivo, nella seconda le tesi derivate e nella terza quali teoremi e/o assiomisiano stati sfruttati per ricavare la tesi.

Tabella 1.1: Passi per dimostrare che il triangolo 4APQ e equilatero riferiti alla figura

1.6 delle pieghe della costruzione mediante origami.

Si deduce Da Poiche

AM ∼= MPPN ∼= NQ

AH ∼= HD←→AB ‖

←→HI ‖

←→DC Teorema di Talete

4APD ∼= 4APNDP ∼= PNAD ∼= ANAP ∼= AP

SSSper costruzioneper costruzioneriflessivita di ∼=

∠ANP ∼= ∠ADP ∼=π

2 4APD ∼= 4APN angoli corrispondenti

∠ANP ∼= ∠ANQ ∠ANP ∼=π

2 angoli supplementari

4ANP ∼= 4ANQPN ∼= NQ∠ANP ∼= ∠ANQAP ∼= AP

SASpasso precedentepasso precedente∼= riflessiva

AP ∼= AQ 4ANP ∼= 4ANQ lati corrispondenti

∠DPA ∼= ∠PAQ←→AB ‖

←→DC angoli alterni interni

∠PAQ ∼= ∠PQA ∠DPA ∼= ∠APN ∼= ∠AQN transitivita

AP ∼= PQ ∠PAQ ∼= ∠PQA angoli alla base congruenti

4APQ equilateroAP ∼= PQAP ∼= AQ

passo precedentepasso precedente

La tipologia di esercizio e quella classica, ma l’ispirazione per l’esercizio stessoe differente e consente anche di verificare alcune proprieta degli origami.

Capitolo 2

Piega dopo Piega

Se gli origami ci consentissero solamente di creare esercizi per svolgere dimostrazionidi geometria euclidea, non varrebbe la pena considerarli piu di tanto; dal momento,pero, che la portata di questo strumento si estende ben oltre, e bene che cerchiamodi affrontare l’argomento con chiarezza e, soprattutto, specificando quali sono gliobiettivi da raggiungere.

Inizieremo definendo un apparato assiomatico per le costruzioni con origa-mi, osservando quale sia la portata dello strumento con particolare riferimen-to alla risoluzione di alcuni problemi della Matematica Classica. Successiva-mente sfrutteremo questi assiomi per rappresentare parabole nel piano cartesianoe per costruire numeri reali, dando un taglio piu applicativo legato ai programmiscolastici.

2.1 Sei piu Uno

Nella geometria classica rette e punti sono segni a matita tracciati sul foglio dicarta, ma nell’origami sono le pieghe a determinare le costruzioni e quindi e neces-sario definire alcuni enti primitivi della geometria euclidea, oltre che alcune regolespecifiche (assiomi), per i piegamenti con la carta.

In una costruzione con origami

1. si dicono rette sia i bordi del foglio che le pieghe su di esso;

2. sono punti tutte le intersezioni di rette;

3. ogni piega deve essere definita univocamente combinando punti e rette;

4. una nuova piega si ottiene piegando la carta ed appiattendo il foglie, even-tualmente spiegandolo successivamente.

9

CAPITOLO 2. PIEGA DOPO PIEGA 10

Ora che sappiamo cosa si intende per punti e rette e il momento di capire qualiassiomi regolino le costruzioni con origami.

A partire dagli anni 70 del Novecento, molti origamisti cercarono di definirecon chiarezza quali fossero le pieghe fondamentali per l’arte dell’origami, una sortadi insieme di assiomi che costituisse fondamenta solide per questa raffinata tecnica.Il primo studio sistematico in questa direzione venne fatto in quegli anni da Hu-miaki Huzita che descrisse un insieme di mosse basilari per costruire nuove pieghepartendo da punti e linee noti. Queste pieghe elementari vengono solitamentechiamati Assiomi di Huzita [HA].

O1Dati due punti distinti P1 e P2 e possibilepiegare la retta `f passante per essi.

P1

P2`f

O2Dati due punti distinti P1 e P2 e possibilepiegare P1 su P2.

P1

P2

`f

O3Dati due rette distinte `1 e `2 e possibilepiegare `1 su `2.

`1

`2

`f

O4Dati un punto P ed una retta ` e possibilepiegare la retta `⊥ perpendicolare a ` epassante per P .

`

P

`⊥


O5

Dati due punti distinti P1 e P2 ed unaretta ` e possibile piegare la retta `f pas-sante per P2 tale che P1 venga piegato su`.

`

P1

P2`f

O6Dati due punti distinti P1 e P2 e due rettedistinte `1 e `2 e possibile piegare P1 su`1 e P2 su `2.

`1

`2

P1

P2

`f

Nel 2003 Koshiro Hatori identifico un’ulteriore operazione, indipendente dallesei formulate da Huzita, e quindi a pieno titolo un assioma, che completo il quadroassiomatico relativo agli origami.

O7

Dati un punto P e due rette distinte `1 e`2 e possibile piegare la retta `⊥ perpen-dicolare a `2 tale che il punto P vengapiegato su `1.

`2

`1

P

`⊥

Prima di proseguire oltre e doveroso fare un paio di precisazioni. Innanzitutto sideve riconosce il merito al matematico francese Jacques Justin di aver formalizzatotutti e sette gli assiomi contemporaneamente ad Huzita, anticipando addirittura illavoro di Hatori; purtroppo il suo elaborato passo pressoche inosservato e solo re-centemente ha avuto i riconoscimenti dovuti. In secondo luogo e bene sottolineareche i sette assiomi (noti anche come HHA o HJA) definiscono le operazioni base perorigami che prevedono l’esecuzione di pieghe singole: permettendo pieghe multiplecontemporaneamente la operazioni fondamentali cambiano ed anche le possibilitaofferte da questa tecnica aumentano notevolmente la portata matematica degliorigami.

2.2 Carta numerabile

Forti dell’apparato assiomatico appena definito cominciamo quindi ad esplorare ilmondo delle pieghe della carta, iniziando proprio dalla costruzione di numeri, inanalogia con quanto fatto con riga e compasso. Armiamoci di carta (la penna nonserve) e prepariamoci a piegare. Un’ultima precisazione: nell’origami si utilizzano


principalmente fogli quadrati quindi di seguito faremo riferimento a questo formatodi carta, senza peraltro compromettere la generalita di quanto verra enunciato.

Innanzitutto precisiamo quali numeri (positivi) andremo a costruire, o meglio,piegare:

1. Numeri Interi

2. Numeri Razionali minori di Uno

3. Numeri Irrazionali

2.2.1 I Numeri Interi

Per poter costruire qualsiasi intero dobbiamo da principio fissare un’unita di misura;come per le costruzioni con riga e compasso questa viene scelta arbitrariamente:fissiamo un punto origine in uno degli angoli del foglio e pratichiamo una piccolapiega lungo uno dei bordi adiacenti per ottenere l’unita di riferimento. Conside-riamo ora la retta ` definita dal bordo del foglio su cui abbiamo fissato l’unita dimisura e sia P1 ∈ ` il punto che ne definisce la grandezza. Pieghiamo ora ` su sestessa attorno al punto P1 e sia P2 il punto di ` su cui cade l’angolo del foglio. P2

definisce un segmento doppio rispetto all’unita di misura e pertanto cio che abbi-amo costruito e il numero 2. La costruzione si basa sull’assioma O4 (si osservi checio che viene costruita e la perpendicolare a ` passante per P1) e successive sueripetizioni consentono di costruire anche i numeri 3,4,5, etc.

2.2.2 I Razionali minori di Uno: frazioni binarie

Per questa classe di numeri e conveniente fissare come unita di misura il lato delfoglio (ricordiamo quadrato): un numero razionale n

dverra costruito ottenendo

una piega che divida il foglio (o piu semplicemente il suo lato) in due parti n e dil cui rapporto sia proprio n : d. Per questi numeri esistono procedure diverse, aseconda del tipo di razionale che si intendo costruire.

Supponiamo di voler determinare razionali il cui denominatore sia una potenzadi due. Queste frazioni sono di facile costruzione con gli origami poiche, applicandol’assioma O4 come appena visto, si tratta semplicemente di eseguire una serie didivisioni a meta, fino al denominatore desiderato, e di contare il giusto numerodi pieghe, in base al valore del numeratore. In figura 2.1 possiamo osservare lacostruzione del numero 7

16.

Procedura semplice ed intuitiva, ma anche tremendamente lunga da realizzare alcrescere del denominatore.


Figura 2.1: I passi della costruzione della frazione 716 . In verde sono segnate le

nuove pieghe, in nero quelle realizzate nei passi precedenti. La linea rossa nell’ultimodiagramma definisce la piega che demarca tale frazione.

1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7

Fortunatamente il sistema binario ci viene in soccorso fornendoci gli elementiessenziali per un algoritmo piu efficiente che consente di costruire ogni numerodella forma m

2n,m < 2n con esattamente n pieghe.

Innazitutto estendiamo l’idea di numero decimale anche al sistema binario. Lecifre decimali, come tutte le cifre della mantissa, possono essere associate ad unapotenza della base B10, ma a differenza di queste presentano esponenti negativi.Ecco quindi che

0.134 = 1 · 10−1 + 3 · 10−2 + 4 · 10−3

Analogamente, usando la base B2:

(0.1011)2 = (1 · 2−1 + 0 · 2−2 + 1 · 2−3 + 1 · 2−4)10

ovvero

(0.1011)2 =

(1

2+

1

8+

1

16

)10

=

(11

16

)10

E interessante osservare come la precedente espressione possa essere riscritta


in termini di moltiplicazioni annidiate:

1 · 2−1 + 0 · 2−2 + 1 · 2−3 + 1 · 2−4 =

= 1 · 1

2+ 0 · 1

22+ 1 · 1

23+ 1 · 1

24=

=1

2

(1 +

1

2

(0 +

1

2

(1 +

1

2(1)

)))Fondamentalmente ci accorgiamo di come un’espansione binaria sia ottenibile

combinando ripetutamente due sole operazioni:

• sommare 0 e moltiplicare per 12,

• sommare 1 e moltiplicare per 12.

Il passo ora e breve: se consideriamo una piega su un foglio ad una certa distanzar dal bordo sinistro, piegando tale bordo sulla piega se ne crea una nuova ad unadistanza 1

2r = (0 + r) · 1

2; per contro se si porta il bordo destro sulla piega, la piega

che ne nascera sara posta ad una distanza 12(1 + r) = (1 + r) · 1

2. Non dovrebbe

essere difficile riconoscere l’analogia tra queste pieghe e le operazioni essenziali perl’espansione binaria.

Figura 2.2: Le due pieghe equivalenti alle operazioni fondamentali per la scritturadell’espansione binaria sotto forma di parentesi annidiate.

r

Cifra 0

r

Cifra 1

r

Se come prima piega consideriamo una piega a meta del foglio (r = 12), mentre

per le successive facciamo riferimento all’ultima piega appena ottenuta, possiamorenderci conto che sono sufficienti n piegature per costruire il ogni frazione del tipom2n

, contro le 2n − 1 necessarie per il primo metodo proposto.Tirando le somme:

1. esprimiamo la frazione m2n

mediante la sua espansione binaria;

2. eseguiamo una serie di pieghe da destra (valore 1) o da sinistra (valore 0) aseconda delle cifre che compaiono nell’espansione binaria in ordine inverso;


3. l’ultima piega realizzata corrispondera alla nostra frazione.

Per chi non fosse ancora convinto dell’efficacia di questo che, a tutti gli effetti,possiamo chiamare algoritmo con la carta, osserviamo quanto velocemente si possacostruire la frazione 11

16. Cominciamo con la scrittura dell’espansione binaria:

11

16=

1

2+

1

8+

1

16= (0.1011)2

Le pieghe da realizzare sono ora le seguenti

1. cifra 1: piega a meta da destra;

2. cifra 1: piega da destra sulla piega precedente;

3. cifra 0: piega da sinistra sulla piega precedente;

4. cifra 1: piega da destra sulla piega precedente.

Il diagramma 2.3 illustra tali passaggi.

Figura 2.3: La piegatura della frazione 1116 . In verde le nuove pieghe, in nero le vecchie

pieghe. Per praticita di interpretazione l’ultima piega realizzata prima di quella attualee tracciata con tratto continuo, mentre le altre sono tratteggiate. In rosso la piega finale.

Cifra 1 Cifra 0 Cifra 1 Cifra 1

2.2.3 I Razionali minori di Uno: frazioni arbitrarie

L’algoritmo binario (lo chiameremo cosı anche successivamente) e decisamenteuno strumento efficace per la costruzione di frazioni binarie, ma purtroppo non eapplicabile a frazioni generiche a

b. A meno che . . .

Consideriamo la frazione ab

e sia p tale che:

mink∈N

{p = 2k|p > a ∧ p > b− a

}supponendo ovviamente che b > a.

Costruiamo ora le frazioni ap

e p+a−bp

rispettivamente sui bordi sinistro e de-stro di un foglio quadrato. Poiche p e una potenza di due possiamo agevolmentecostruire tali frazioni utilizzando l’algoritmo binario. Applichiamo l’assioma O1per costruire le seguenti rette:


• la diagonale che congiunge il vertice in basso a sinistra con quello in alto adestra del foglio;

• le due frazioni binaria costruite precedentemente sui bordi.

Proiettando l’intersezione sul bordo in basso (o su quello sinistro) otteniamoun segmento corrispondente alla frazione a

bcercata (figura 2.4).

Figura 2.4: In rosso il quadrato avente per lato un segmento di 35 . Per costruire il

quadrato si sono incrociate le diagonale del foglio e la retta passante per le piegheottenute con l’algoritmo binario per le frazioni 3

4 e 12 .

34 1

2

34 1

2

34 1

2

35

35

Cerchiamo di capire meglio il meccanismi che si nasconde in queste diagonalimagiche. L’idea alla base e quella di determinare il punto (y) che proiettato suibordi del foglio determini un segmento di lunghezza a

b, attraverso l’intersezione

tra una diagonale del foglio ed una piega passante per due frazioni binarie (f1 ef2) marcate su lati opposti del foglio. Semplici calcoli di geometria analitica (siconsiderino le pieghe in figura 2.5) ci consentono di esprimere y in funzione dellefrazioni binarie:

y =f1

1 + f1 − f2

f1

f2

y

y

Figura 2.5: Diagonali e frazioni binariper la determinazione della frazioni ar-bitraria y = a

b . Si considerino le pieghetratteggiate come rette nel piano carte-siano e si calcoli y come intersezione traesse per ottenerne il valore in funzionedelle frazioni f1 e f2.


Se f1 e f2 devono essere frazioni binarie, facciamo in modo che condividano lo stessodenominatore (una potenza di due), che indichiamo con p, pertanto si chiede che

f1 =m

p∧ f2 =

n

p

Affinche le frazioni risultino minori di uno devono valere le seguenti condizioni

p > a ∧ p > b− a

E facile ora verificare che

a

b= y =

m

p+m− n⇒ m = a ∧ n = p+ a− b

Nell’esempio illustrato in figura 2.4 per calcolare la frazione 35

si sono presi i valorim = 3, n = 2 e p = 4.

2.2.4 Gli Irrazionali minori di Uno

Come per le costruzioni con riga e compasso, anche per gli origami i numeri ir-razionali, con le loro infinite cifre decimali, pongono problemi di realizzazione. Edanche in questo caso la soluzione si trova ricorrendo all’approssimazione: troncandoin una certa posizione la parte decimale e arrotondando l’ultima cifra significati-va, il decimale ottenuto e facilmente trasformabile in frazione e quindi piegabilecon le tecniche appena esposte. Il problema che si pone ora e: quanto buona equesta approssimazione? E poi, si puo trovare un modo per approssimare un certoirrazionale che sia migliore del troncamento-arrotondamento?

La domanda e ovviamente retorica e la risposta si trova nelle frazioni continue.L’argomento e cosı ricco ed esteso che una completa trattazione non solo risul-terebbe lunga ed elaborata, ma ci porterebbe lontano dal vero argomento di questatesina, pertanto ci basti sapere che il troncamento dell’espansione della frazionecontinua di un irrazionale risulta piu precisa del semplice troncamento della partedecimale dell’irrazionale stesso. In rete si possono trovare lavori molto belli ecompleti (e anche di una certa complessita) che forniscono un quadro esaustivosull’argomento, e per chi ne volesse una semplice introduzione potrebbe trovarlatra i post del blog cinquemm (vedi [5]).

E questo e (quasi) tutto!

Sara certamente saltato all’occhio che, a parte i numeri interi, tutte le costruzioniesposte facevano riferimento a numeri minori di Uno e quindi e lecito come com-portarsi per quelli maggiori di Uno. Non c’e nessun problema: scomponiamo tali

http://cinquemm.wordpress.com


numeri in mantissa e parte decimale e costruiamo separatamente tali numeri. Lamantissa e un intero, costruibile con la prima tecnica vista, mentre la parte deci-male e un reale minore di uno, e dunque costruibile con le ultime tecniche esposte.Chiaramente possono sorgere problemi legati all’unita di misura adottata, o ailimiti fisici delle piegature della carta, ma l’abilita dell’origamista puo in una certamisura superare tali impedimenti e consentire la costruzione di numeri anche diuna certa complessita.

Ancora un’ultima osservazione. Leggendo il bellissimo articolo di Robert Lang[3] o visitando il suo sito (Robert J. Lang Origami) ci si rendera conto che esistonomolti altri modi per costruire numeri razionali, ed anche tecniche di approssi-mazione che sfruttano l’algoritmo binario, che non sono stati citati, ma questatesina vuole essere un primo, piccolo passo che invita ad esplorare l’affascinantemondo della matematica degli origami, senza la pretesa di esaurire completamentel’argomento.

2.3 Luoghi (geometrici) inesplorati

Riga e compasso possono vantare un primato rispetto agli origami: la possi-bilita di tracciare curve non rettilinee. Le pieghe dell’origami sono esclusivamenterettilinee, tuttavia possiamo approssimare delle curve generiche considerandolecome inviluppo di una curva. Ci occuperemo in particolare della realizzazionedell’inviluppo di una parabola, mescolando disegni con la matita e pieghe dellacarta.

Iniziamo tracciando un sistema di assi coordinati su un foglio, rappresentandosuccessivamente Fuoco e direttrice della parabola che si intende costruire (figura2.6). Coordinate del Fuoco ed equazione della direttrice possono essere noti a

Figura 2.6: Su di un foglio si rappresentino degli assi coordinati e successivamente sidisegnino Fuoco e direttrice di una parabola.

−3 −2 −1 1 2 3

−1

1

2

3

0 −3 −2 −1 1 2 3

−1

1

2

3

0F

http://www.langorigami.com


priori, oppure possiamo sempre ricavarli con semplici calcoli dall’equazione dellaparabola.

Pieghiamo ora una linea `⊥ perpendicolare alla direttrice e passante per ilFuoco (assioma O4)e riapriamo il foglio, quindi eseguiamo una piega a valle (versoil retro del foglio) senza riapertura in corrispondenza della direttrice (figura 2.7).

Figura 2.7: Si pieghino (con riapertura) l’asse di simmetria della parabola e lungo ladirettrice (senza riapertura).

−3 −2 −1 1 2 3

−1

1

2

3

0F

−3 −2 −1 1 2 3

−1

1

2

3

0F

Fissiamo alcuni punti sul bordo laterale piu vicino alla linea passante per il fuo-co ed applichiamo per ciascuno di essi l’assioma O5: pieghiamo il bordo inferiore(in corrispondenza della direttrice) fino a farlo sovrapporre al fuoco, mantenendol’estremita della piega in corrispondenza dei punti stabiliti (figura 2.8). Ad essere

Figura 2.8: Pieghiamo la direttrice sul fuoco mantenendo l’estremita sui punti di rifer-imento a sinistra. Ogni piega rappresenta una tangente alla parabola, ovvero parte delsuo inviluppo.

−3 −2 −1 1 2 3

−1

1

2

3

0F

−3 −2 −1 1 2 3

−1

1

2

3

0FF

precisi l’assioma O5 prevederebbe la piega del punto sulla retta, ma in questo casoe piu agevole eseguire l’operazione contraria. Ripetendo questa piega per diversipunti sul margine del foglio otterremo l’inviluppo di una parabola: con poche esemplici pieghe possiamo dimostrare che ciascuna delle linee appena costruite euna tangente della parabola avente il fuoco e la direttrice considerati.


Se ci concediamo una certa liberta rispetto all’origami tradizionale (come delresto abbiamo gia ampiamente fatto!) possiamo tracciare con una penna l’arco diparabola determinato dalle pieghe appena realizzate, completando la restante partedi curva sfruttando la simmetria assiale rispetto a `⊥. Potra sembrare difficile dacredere ma le parabole tracciate con questo metodo risultano molto piu precise diquelle che solitamente si disegnano a mano libera fissando alcuni punti della conicasul piano cartesiano. Inoltre ci si aprono nuove possibilita, come ad esempio larealizzazione di parabole con direttrici non perpendicolari agli assi coordinati che,con gli strumenti classici, risultano decisamente piu complesse ed elaborate.

Figura 2.9: Con una penna possiamo tracciare l’arco sinistro di parabola, appoggian-doci alle pieghe dell’inviluppo. Succeddivamente, sfruttando la simmetria della parabo-la possiamo completare l’intera curva senza necessariamente realizzare la parte destradell’inviluppo. Infine possiamo riaprire il foglio in corrispondenza della direttrice.

−3 −2 −1 1 2 3

−1

1

2

3

0F

−3 −2 −1 1 2 3

−1

1

2

3

0FF

Capitolo 3

Tiriamo le somme

In queste poche pagine abbiamo visto come gli origami aprano nuove prospettive aimatematici ed ai geometri (chi si occupa di geometria, ovviamente) e, nonostante visia ancora molto da scoprire, credo possa comunque bastare per intuire la potenzae la portata dello strumento origami in ambito matematico. Tuttavia questo lavoronon sarebbe completo se non si facesse cenno agli aspetti che rendono le pieghe sullacarta addirittura superiori alla riga e compasso. Il sistema assiomatico HHA/HJAe in grado di produrre costruzioni che risolvono due dei tre problemi classici dellageometria: la duplicazione del cubo e la trisezione dell’angolo. Tecnicamente cio epossibile poiche le pieghe con la carta consentono di costruire numeri che risultanoradici di equazioni cubiche (le costruzioni con riga e compasso possono determinaresolamente radici di equazioni al piu quadratiche) e tali problemi sono descrivibilialgebricamente proprio con equazioni di terzo grado.

Nell’antichita tali problemi vennero risolti ricorrendo a procedure tanto ingeg-nose quanto complesse, che pero uscivano dai limiti imposti da riga e compasso(ricordiamo la trisettrice di Ippia), e pertanto non vennero mai considerati ver-amente risolti. Con l’origami le cose si fanno molto piu semplici, quasi naturali,e per capirlo meglio affrontiamo in chiusura di questo articolo il problema dellatrisezione di una angolo.

3.1 A la Justin!

La costruzione che proponiamo (figura 3.1) e opera di Jacques Justin ed e statascelta per la semplicita, per la possibilita di realizzarla su fogli di qualunque for-mato, ma anche per dare un doveroso riconoscimento al lavoro di questo ingegnosomatematico.

21

CAPITOLO 3. TIRIAMO LE SOMME 22

Figura 3.1: I passi per la trisezione di un arbitrario angolo θ con il metodo di J. Justin.La costruzione non richiede l’utilizzo di un foglio quadrato.

a

b

θ

O

Consideriamo un generico angolo θ.

a

b

θ

O

Pieghiamo lungo i lati dell’angolo . . .

a

b

θ

O

. . . e perpendicolarmente ad a in O.

a

b

θ

O

A1

A2

Fissiamo due punti equidistanti da O . . .

a

b

θ

O

A1

A2

B1

B2

. . . e pieghiamoli sulle rette tratteggiate.

a

b

θ

O

A1

A2

B1

B2

Un’ultima piega perpendicolare in O . . .

a

b

O

θ3

A1

A2

B1

B2

. . . e l’angolo θ e trisecato.

Bibliografia

[1] Caputo G. - I tre problemi classici dell’antichita

[2] Stumbo F. - Costruzioni con riga e compasso

[3] Lang R.J. - Origami and Geometric Constructions

[4] Demailly J.P. - Geometric constructions in relation with algebraic andtranscendental numbers

[5] Gasparotto M. - Fratto, fratto, fratto, . . .

23

Elenco delle figure

1.1 La costruzione del triangolo equilatero (diagramma e tabella). . . . . . . 31.2 La divisione tra due segmenti (diagramma e tabella). . . . . . . . . . . 41.3 Rappresentazione delle pieghe basilari nella tecnica dell’origami. . . . . 61.4 Prima piega per costruire un triangolo equilatero da un foglio A4. . . . . 61.5 Conclusione della costruzione di un triangolo equilatero da un foglio A4. 71.6 Le pieghe ottenute dalla costruzione del triangolo equilatero. Rispetto

alla costruzione originale sono state aggiunte le pieghe AN e PQ. . . . . 7

2.1 I passi della costruzione della frazione 716 . In verde sono segnate le nuove

pieghe, in nero quelle realizzate nei passi precedenti. La linea rossa

nell’ultimo diagramma definisce la piega che demarca tale frazione. . . . 132.2 Le due pieghe equivalenti alle operazioni fondamentali per la scrittura

dell’espansione binaria sotto forma di parentesi annidiate. . . . . . . . . 142.3 La piegatura della frazione 11

16 . In verde le nuove pieghe, in nero le vecchie

pieghe. Per praticita di interpretazione l’ultima piega realizzata prima

di quella attuale e tracciata con tratto continuo, mentre le altre sono

tratteggiate. In rosso la piega finale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 In rosso il quadrato avente per lato un segmento di 3

5 . Per costruire il

quadrato si sono incrociate le diagonale del foglio e la retta passante per

le pieghe ottenute con l’algoritmo binario per le frazioni 34 e 1

2 . . . . . . 162.5 Diagonali e frazioni binari per la determinazione della frazioni arbitraria

y = ab . Si considerino le pieghe tratteggiate come rette nel piano carte-

siano e si calcoli y come intersezione tra esse per ottenerne il valore in

funzione delle frazioni f1 e f2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.6 Su di un foglio si rappresentino degli assi coordinati e successivamente si

disegnino Fuoco e direttrice di una parabola. . . . . . . . . . . . . . . 182.7 Si pieghino (con riapertura) l’asse di simmetria della parabola e lungo la

direttrice (senza riapertura). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.8 Pieghiamo la direttrice sul fuoco mantenendo l’estremita sui punti di

riferimento a sinistra. Ogni piega rappresenta una tangente alla parabo-

la, ovvero parte del suo inviluppo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

24

ELENCO DELLE FIGURE 25

2.9 Con una penna possiamo tracciare l’arco sinistro di parabola, appoggian-

doci alle pieghe dell’inviluppo. Succeddivamente, sfruttando la simme-

tria della parabola possiamo completare l’intera curva senza necessaria-

mente realizzare la parte destra dell’inviluppo. Infine possiamo riaprire

il foglio in corrispondenza della direttrice. . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1 I passi per la trisezione di un arbitrario angolo θ con il metodo di

J. Justin. La costruzione non richiede l’utilizzo di un foglio quadrato. . . 22

Indice

Introduzione ii

1 Dalla Grecia al Giappone 11.1 Con riga e compasso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Come scrivere una costruzione . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Cosa si puo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.3 . . . e cosa no! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Dal lontano oriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1 Tanto per capirci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Una dimostrazione classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Piega dopo Piega 92.1 Sei piu Uno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Carta numerabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 I Numeri Interi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.2 I Razionali minori di Uno: frazioni binarie . . . . . . . . . . 122.2.3 I Razionali minori di Uno: frazioni arbitrarie . . . . . . . . . 152.2.4 Gli Irrazionali minori di Uno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Luoghi (geometrici) inesplorati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Tiriamo le somme 213.1 A la Justin! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Bibliografia 23

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