REGOLA DI RUFFINIREGOLA DI RUFFINI

La regola generale per determinare il quoziente ed il resto della divisione tra due polinomi,A(x) e D(x),può essere semplificata quando il divisore e del tipo D(x)=x-c, cioè nel caso in cui il divisore è un binomio di primo grado con coefficiente della variabile uguale ad 1.Tale procedura semplificata della regola generale prende il nome di REGOLA DI RUFFINI.Vi è la distinzione in due casi,che analizzeremo in seguito

RUFFINIRUFFINI

Questo procedimento prende il nome dal suo inventore, Paolo Ruffini, che nacque a Valentano nel 1765, e che quindi dimostrò la parziale irresolubilità algebrica delle equazioni di grado superiore al quarto tramite la teoria dei gruppi e la regola di scomposizione dei polinomi.

ESEMPIESEMPII caso: il coefficiente della x nel binomio

D(x)=1. Esempio: Calcolare il quoziente e il resto della seguente divisione (2x4-18x2-x+3):(x-3). Si effettuano le seguenti operazioni:sopra una stessa riga si scrivono tutti i coefficienti del polinomio P(x), avendo cura di indicare con uno zero il coefficiente degli eventuali termini mancanti, disponendoli in una tabella. Nell'angolo a sinistra si riporta l'opposto del termine noto del polinomio divisore D(x)

Si abbassa al di sotto del segno orizzontale il primo coefficiente del polinomi P(x) in questo caso 2.

si moltiplica questo coefficiente, 2, per il numero scritto in basso a sinistra, 3. Si dispone il risultato sotto il secondo coefficiente e si esegue la somma algebra.

il risultato ottenuto, 6, si moltiplica per l solito numero in basso a sinistra, 3, e si ottiene 18, quindi si esegue la somma algebrica tra i due numeri in colonna -18 e 18

CONTINUA ESEMPIOCONTINUA ESEMPIOe così via fino all'ultimo coefficiente.L'ultimo numero trovato, 0, è il resto della divisione, mentre i numeri in basso, 2, 6, 0, -1 sono i coefficienti del polinomio quoziente. Quindi R(x)=0, Q(x) = 2x3+6x2-1

II caso. Il coefficiente della x del binomio D(x) NON è 1. Esempio: Calcolare il quoziente e il resto della seguente divisione

(6x5+9x4-10x3+x+1):(2x-3)

In questo caso, si dividono polinomio dividendo, P(x), e polinomio divisore, D(x) per il coefficiente della x del divisore, 2. La divisione precedente diventa:

(3x5+9/2x4-5x3+1/2x+1/2):(x-3/2).

Sviluppando i calcoli si ha R(x)=4, Q(x)= 3x4-5x2+x-1.

Scomposizione di polinomi Scomposizione di polinomi mediante il teorema e la mediante il teorema e la regola di Ruffiniregola di Ruffini

Gli eventuali zeri di un polinomio P(x), nel quale il coefficiente di grado massimo è 1, sono divisori interi del termine noto del divisore.

Esempio. Scomporre in fattori il polinomio P(x)=x4+3x3-11x2-3x+10.

I divisori del termine noto sono +1,-1,+2,-2,+5,-5,+10,-10.

Con un po' di calcoli si vede che P(1)=0; P(-1)=0, P(2)=0, P(-5)=0.

Il polinomio P(x) risulta divisibile per (x-1), (x+1), (x-2), (x+5).

Quindi x4+3x3-11x2-3x+10 = (x-1)(x+1)(x-2)(x+5).