Percorso Percorso

didattico sulle didattico sulle

geometrie non geometrie non

euclideeeuclideeRealizzato dalle Proff.sseRealizzato dalle Proff.sse

Astone Maria RosaAstone Maria RosaThiella Catterina SileneThiella Catterina SileneTonizzo RaffaellaTonizzo Raffaella

È possibile collocare il percorso alla fine delÈ possibile collocare il percorso alla fine del primo anno di scuola superiore per un totale diprimo anno di scuola superiore per un totale di 10 ore10 ore

Tale percorso può essere eventualmente Tale percorso può essere eventualmente ripreso nel corso degli anni scolastici successivi, ripreso nel corso degli anni scolastici successivi, nel momento in cui si affronta la crisi del nel momento in cui si affronta la crisi del concetto di teoria scientifica e di significato concetto di teoria scientifica e di significato di “verità scientifica”.di “verità scientifica”.  

Definizione di assioma o postulato.Definizione di assioma o postulato.

Definizione di teorema e dimostrazione.Definizione di teorema e dimostrazione.

Elementi di Geometria EuclideaElementi di Geometria Euclidea (proposizioni del primo libro dell’opera di Euclide).(proposizioni del primo libro dell’opera di Euclide).

Elementi essenziali di Fisica classica.Elementi essenziali di Fisica classica.

Rendere gli studenti consapevoli che la verità non Rendere gli studenti consapevoli che la verità non è sempre quella che appare.è sempre quella che appare.

Scardinare la convinzione del carattere epistemico Scardinare la convinzione del carattere epistemico delle scienze, in particolare della Geometria delle scienze, in particolare della Geometria euclidea.euclidea.

Sviluppare un nuovo atteggiamento mentale e Sviluppare un nuovo atteggiamento mentale e cognitivo cognitivo promuovere un sapere riflessivo. promuovere un sapere riflessivo.

Lezione interattiva (“apprendimento attivo”).Lezione interattiva (“apprendimento attivo”).

Mappe concettuali costruite dai ragazzi alla fine Mappe concettuali costruite dai ragazzi alla fine dell’esposizione della Questione sulle Parallele e alla dell’esposizione della Questione sulle Parallele e alla fine dell’introduzione alla Geometria Iperbolica.fine dell’introduzione alla Geometria Iperbolica.

Far riassumere ad uno studente dopo ogni lezione i Far riassumere ad uno studente dopo ogni lezione i “ “concetti fondamentali “ esposti, guidandolo con concetti fondamentali “ esposti, guidandolo con domande socratiche al fine di promuovere la domande socratiche al fine di promuovere la comprensione e la riorganizzazione degli argomenti comprensione e la riorganizzazione degli argomenti spiegati.spiegati.Fornire agli studenti appunti o fotocopie del percorso Fornire agli studenti appunti o fotocopie del percorso didattico seguito.didattico seguito.

La trattazione dell’argomento proposto nonostante le La trattazione dell’argomento proposto nonostante le indubbie difficoltà di comprensione, in quanto poggia indubbie difficoltà di comprensione, in quanto poggia su riflessioni astratte e lontane dalla vita quotidiana su riflessioni astratte e lontane dalla vita quotidiana degli allievi, può costituire un’esperienza molto degli allievi, può costituire un’esperienza molto stimolante proprio perché nell’adolescenza l’essere stimolante proprio perché nell’adolescenza l’essere umano è maggiormente portato alla riflessione e tende umano è maggiormente portato alla riflessione e tende a mettere in discussione tutto ciò che è determinato e a mettere in discussione tutto ciò che è determinato e imposto dall’esterno.imposto dall’esterno.

Svolgimento dei Svolgimento dei contenuticontenuti

Problema delle Problema delle paralleleparallele

1.Problema del V° postulato e sua evoluzione storica

2.Cambiamento concettuale agli inizi dell’800

Problema del V° postulato

Le prime 28 proposizioni del I libro di Euclide sono dimostrate senza l’uso del V° postulato, quasi Euclide volesse servirsene il più tardi possibile, consapevole della difficoltà della sua evidenza.

A causa di ciò sin dall’inizio si cerca di dimostrarlo a partire dagli altri quattro, con la convinzione che non fosse indipendente da questi.

I primi tentativi

modificano la definizione di rette

parallele,

in modo da far apparire ovvia

l’esistenza di una sola retta,

passante per un punto,

parallela alla retta data.

Percorso storicoPercorso storico

I° secolo a.C .Posidonio

1693Wallis

1733Saccher i

Principali tentatividi dimostrazionedel V ° postulato

POSIDONIO (135-50 POSIDONIO (135-50 a.C.)a.C.)

definisce complanari

due rette

equidistanti,

quindi non dà una

definizione

logicamente

equivalente

WALLIS (1616-1703)WALLIS (1616-1703)

nel 1693 tenta di ricavare nel 1693 tenta di ricavare

il V° postulato il V° postulato

introducendo i triangoli introducendo i triangoli

simili,simili,

quindi lo sostituisce con quindi lo sostituisce con

uno equivalenteuno equivalente

SACCHERI (1667-1733)SACCHERI (1667-1733)

usa un nuovo tipo usa un nuovo tipo

di dimostrazione, di dimostrazione,

quella “per assurdo” quella “per assurdo”

e nel 1733 scrive un’opera e nel 1733 scrive un’opera

in cui presagisce in cui presagisce

la soluzione moderna delle la soluzione moderna delle

paralleleparallele

Il quadrilatero di Il quadrilatero di SACCHERISACCHERI

costruiti gli angoli retti e , e potrebbero essere:

entrambi rettientrambi acuti

entrambi ottusi

CAMBIAMENTO CONCETTUALE

agli inizi del 1800, si cerca di dimostrare la coerenza delle teorie nate dalla negazione del V° postulato anziché la sua dipendenza dagli altri quattro

Geometria ellitticaGeometria ellittica

postulato:postulato:

non esistono rette non esistono rette passanti per P, passanti per P, parallele alla retta parallele alla retta ABAB

RiemaRiema

nnnn

AA BB

PP••

Geometria iperbolicaGeometria iperbolica

postulato:postulato:

due sono le rette due sono le rette passanti per P, passanti per P, parallele alla retta parallele alla retta ABAB

Gauss Gauss Lobacevskij Lobacevskij Bolyai Bolyai

AA BB

PP

Lo spazio fisicoLo spazio fisico

Rivoluzione dei concetti di spazio assoluto e Rivoluzione dei concetti di spazio assoluto e di tempo assolutodi tempo assoluto

Introduzione del concetto di spazio curvoIntroduzione del concetto di spazio curvo La relatività di EinsteinLa relatività di Einstein