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Cenni storici La Geometria ellittica La Geometria ellittica La Geometria iperbolicaLa Geometria iperbolica Le Geometrie non euclidee Le Geometrie non euclidee e la Fisicae la Fisica Considerazioni finaliConsiderazioni finali

Cenni storici La Geometria ellittica La Geometria ellittica La Geometria iperbolicaLa Geometria iperbolica Le Geometrie non euclidee Le Geometrie non euclidee e la Fisicae la Fisica Considerazioni finaliConsiderazioni finali

La geometria euclidea ha caratterizzato la matematica e la fisica per oltre venti secoliLa sua validità era anche uno dei principi fondamentali della filosofia di Kant.

L’opera di Euclide “Elementi “(circa 300 a. C.) è stata usata come ” bibbia matematica” e i cinque postulati di Euclide sono stati considerati alla base del metodo assiomatico.

Prima di Talete (cira 600 a. C.) le entità geometriche erano vincolate agli oggetti materiali.

La concezione astratta degli enti geometrici svincolata dagli oggetti materiali e dalla loro rappresentazione, è merito del pensiero greco sviluppatosi con Euclide.

I postulati di Euclide sono stati in armonia con le comuni intuizioni fisico geometriche degli oggetti materiali.

La scoperta delle geometrie non euclidee ha rivoluzionato questa armonia.

Le prime 28 proposizioni del I libro di Euclide sono dimostrate senza l’uso del V postulato, quasi Euclide volesse servirsene il più tardi possibile, consapevole della difficoltà della sua evidenza.A causa di ciò sin dall’inizio si cercò di dimostrarlo a partire dagli altri quattro, con la convinzione che non fosse indipendente da questi.

I primi tentativi furono rivolti a modificare la definizione di rette parallele, in modo da far apparire ovvia l’esistenza di una sola retta, passante per un punto, parallela alla retta data.

Nel I sec. a.C. Posidonio definisce complanari due rette equidistanti, servendosi “gratuitamente” del fatto che il luogo dei punti equidistanti da una retta sia ancora una retta. Non fornisce dunque una definizione logicamente equivalente.

Nel 1693 Wallis ricavò il V postulato ammettendo che per ogni figura ne esiste una simile e di grandezza arbitraria. In realtà egli non fece altro che sostituire il V postulato con uno logicamente equivalente.

L’impossibilità di ricavare il V postulato a partire dai primi quattro portò alla conclusione che

il V postulato era indipendente dagli altri assiomi..

L’opera di Saccheri rappresentò il tentativo più ingegnoso per affrontare il V postulato mediante una dimostrazione “a contrariis”: egli assunse come punto di partenza la negazione del V postulato, se tale negazione fosse risultata falsa nel corso del procedimento dimostrativo, allora il postulato (che costituisce il suo contrario) sarebbe risultato vero.

Questo modo di ragionare suggerì ai matematici il modo per dimostrare non solo che il V postulato non era dimostrabile, ma anche la via per individuare le nuove geometrie non euclidee.

Se una retta terminata, incontrando due altre, forma Se una retta terminata, incontrando due altre, forma con esse, da una medesima parte, angoli interni la cui con esse, da una medesima parte, angoli interni la cui somma sia minore di due retti, quelle due rette, somma sia minore di due retti, quelle due rette, prolungate indefinitivamente, si incontrano dalla prolungate indefinitivamente, si incontrano dalla parte da cui stanno gli angoli la cui somma è minore parte da cui stanno gli angoli la cui somma è minore di due retti.di due retti.

afferma:afferma:

Sotto questa forma il V postulato è detto :Sotto questa forma il V postulato è detto :POSTULATO DELL’INFINITA’ DELLA RETTAPOSTULATO DELL’INFINITA’ DELLA RETTA

Si definiscono “Geometrie non euclidee“ quelle Si definiscono “Geometrie non euclidee“ quelle geometrie che, non accettando il V postulato, lo geometrie che, non accettando il V postulato, lo negano proponendo in alternativa i seguenti due negano proponendo in alternativa i seguenti due postulati:postulati:

Fissati nel piano un punto P ed una retta r, non Fissati nel piano un punto P ed una retta r, non passante per P, esiste ed è unica la retta s passante per P, esiste ed è unica la retta s passante per P e parallela alla retta prefissata rpassante per P e parallela alla retta prefissata r

Il V postulato è logicamente equivalente al seguente:Il V postulato è logicamente equivalente al seguente:

Sotto questa forma il V postulato è detto :Sotto questa forma il V postulato è detto :POSTULATO DELLE PARALLELEPOSTULATO DELLE PARALLELE

Postulato 5a :

Non esiste alcuna retta s passante per il punto P e parallela ad una retta r prefissata.

Questo postulato nega il V postulato in relazione all’esistenza della parallela ad una retta condotta per un punto.

Esistono almeno due rette s’ e s’’ passanti per il punto P e parallele ad una retta prefissata r.

Questo postulato nega il V postulato in relazione all’unicità della parallela ad una retta condotta per un punto.

Postulato 5b :

Le tre Geometrie sono state definite da Klein Le tre Geometrie sono state definite da Klein rispettivamente:rispettivamente:

Geometria parabolicaGeometria parabolica

Geometria ellitticaGeometria ellittica

Geometria iperbolicaGeometria iperbolica

EUCLIDEEUCLIDE

RIEMANNRIEMANN

BOLYAI BOLYAI LOBACEVSKIJLOBACEVSKIJ

La Geometria ellittica o riemanniana si La Geometria ellittica o riemanniana si ottiene “depennando” il V postulato e ottiene “depennando” il V postulato e ponendo al suo posto il postulato 5a.ponendo al suo posto il postulato 5a.

Essa sarà “non contradditoria“, ossia non Essa sarà “non contradditoria“, ossia non porterà mai ad affermare un asserto e porterà mai ad affermare un asserto e contemporaneamente il suo opposto, se è contemporaneamente il suo opposto, se è possibile trovare un modello che soddisfi sia possibile trovare un modello che soddisfi sia ai primi quattro postulati scritti da Euclide ai primi quattro postulati scritti da Euclide che al postulato 5a.che al postulato 5a.

Per stabilire un modello bisogna scegliere gli elementi Per stabilire un modello bisogna scegliere gli elementi primitivi.primitivi.

Gli enti primitivi della Geometria di Riemann sono:Gli enti primitivi della Geometria di Riemann sono:

Il piano di RiemannIl piano di Riemann

Il punto di RiemannIl punto di Riemann

Il retta di RiemannIl retta di Riemann

Esso è costituito da una Esso è costituito da una qualunque superficie sfericaqualunque superficie sferica

Esso è costituito da una Esso è costituito da una qualunque coppia di punti qualunque coppia di punti diametralmente opposti sulla diametralmente opposti sulla superficie sfericasuperficie sferica

Essa è costituita da una Essa è costituita da una qualsiasi circonferenza qualsiasi circonferenza massimamassima

In generale, si fanno corrispondere alle rette del piano le linee geodetiche di una superficie curva.

Queste ultime infatti conservano la principale caratteristica delle rette e precisamente sono le linee più brevi che sulla superficie congiungono due punti dati. Sulla superficie della sfera le geodetiche sono proprio le circonferenze massime, cioè quelle circonferenze che si ottengono intersecando la superficie della sfera con piani passanti per il centro della sfera.

Esempi familiari sono i meridiani e l'equatore, non lo sono i paralleli.

                                     

        

Nella figura sono rap-presentati due meridiani perpendicolari all'equatore e che si incontrano perpen-dicolarmente al polo Nord. Si vede che la somma degli angoli interni del triangolo curvilineo ABN è 270°.

Sulla superficie della sfera non esistono 'rette' o meglio geodetiche che non si incontrano, quindi non esistono parallele.

In generale la somma degli angoli interni di un In generale la somma degli angoli interni di un triangolo di questo tipo è sempre maggiore di 180° e triangolo di questo tipo è sempre maggiore di 180° e non è costante per tutti i triangoli. Mentre nella non è costante per tutti i triangoli. Mentre nella geometria euclidea la somma degli angoli interni di geometria euclidea la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180°, nella geometria ellittica un triangolo è sempre 180°, nella geometria ellittica la somma degli angoli interni del triangolo è la somma degli angoli interni del triangolo è variabile e dipende dalla grandezza del triangolo.variabile e dipende dalla grandezza del triangolo.

La Geometria iperbolica o di Bolyai- La Geometria iperbolica o di Bolyai- Lobacevskij cancella il V postulato e pone al Lobacevskij cancella il V postulato e pone al suo posto il postulato 5b.suo posto il postulato 5b.

Essa sarà “non contradditoria“ se è possibile Essa sarà “non contradditoria“ se è possibile individuare un modello che soddisfi sia ai individuare un modello che soddisfi sia ai primi quattro postulati scritti da Euclide che primi quattro postulati scritti da Euclide che al postulato 5b.al postulato 5b.

Per stabilire un modello bisogna scegliere gli elementi Per stabilire un modello bisogna scegliere gli elementi primitivi.primitivi.

Gli enti primitivi della Geometria di Bolyai-Lobacevskij Gli enti primitivi della Geometria di Bolyai-Lobacevskij sono:sono:

Il piano di KleinIl piano di Klein

Il punto di KleinIl punto di Klein

Il retta di KleinIl retta di Klein

Esso è costituito dalla Esso è costituito dalla superficie interna ad un superficie interna ad un qualunque cerchioqualunque cerchio

Esso è costituito da un qualsiasi Esso è costituito da un qualsiasi punto interno al cerchiopunto interno al cerchio

Essa è costituita da una Essa è costituita da una qualunque corda della qualunque corda della circonferenzacirconferenza

Un modello intuitivo, didatticamente utile per Un modello intuitivo, didatticamente utile per la geometria iperbolica o di Lobacevskij è un la geometria iperbolica o di Lobacevskij è un po' più complesso. po' più complesso.

In particolare, non esiste un modello che In particolare, non esiste un modello che rappresenti globalmente una geometria di rappresenti globalmente una geometria di questo tipo. questo tipo.

Si può prendere una superficie a forma di sella, Si può prendere una superficie a forma di sella, o meglio la pseudosfera.o meglio la pseudosfera.

Il Il triangolo curvilineo ABC su un pezzo di pseudosfera è il corrispondente di un triangolo rettilineo del piano euclideo, perché è composto da linee geodetiche. La somma degli angoli interni di questo triangolo è minore di 180° e dipende dalla grandezza del triangolo.

Per il punto P, esterno alla geodetica r, passano più geodetiche (p1 e p2) che non incontrano la geodetica r e che quindi sono parallele a r.

La nascita delle Geometrie non Euclidee nell’Ottocento diede una profonda svolta agli studi della Matematica, facendo crollare la convinzione che essa fosse una “scienza esatta” fondata su verità evidenti e indimostrabili.

La Matematica scoprì in sé numerose antinomie.

I concetti di spazio assoluto e tempo assoluto dovevano necessariamente essere rivisti.

Tutte le più importanti convinzioni circa la concezione del mondo espressi da Newton, ossia la nozione di spazio e di tempo assoluti, e quella delle particelle solide elementari, sono state sconvolte, nei primi decenni del 1900, dalla teoria della relatività di Albert Einstein (1879-1955) e dallo sviluppo della fisica atomica.

Secondo la fisica classica, da Euclide al modello meccanico di Newton dell'universo, lo spazio geometrico era concepito come caratterizzato da rette ed angoli retti e fondamentalmente uniforme in ogni suo punto.

Lo spazio era assoluto, non aveva alcuna relazione con l'esterno, e rimaneva sempre eguale e perfettamente immobile, mentre tutte le variazioni che avvengono nel mondo fisico erano descritte in funzione del tempo, anche esso assoluto, e la materia era completamente inerte e senza vita.

Gauss fu il primo a riconoscere con chiarezza Gauss fu il primo a riconoscere con chiarezza che solo con un’indagine sperimentale sullo che solo con un’indagine sperimentale sullo spazio si poteva decidere la natura geometrica spazio si poteva decidere la natura geometrica che meglio può descriverloche meglio può descriverlo..

Egli dedusse che lo spazio fisico, almeno in Egli dedusse che lo spazio fisico, almeno in regioni limitate, è euclideo oppure, se non è regioni limitate, è euclideo oppure, se non è euclideo, la deviazione è così piccola da non poter euclideo, la deviazione è così piccola da non poter essere rilevata con gli strumenti allora essere rilevata con gli strumenti allora disponibili.disponibili.

Poincarè da parte sua affermò che era Poincarè da parte sua affermò che era impossibile determinare sperimentalmente le impossibile determinare sperimentalmente le caratteristiche della geometria dello spazio caratteristiche della geometria dello spazio fisico.fisico.

Egli sostenne che la scelta di una geometria Egli sostenne che la scelta di una geometria oppure di un’altra ha un carattere convenzionale oppure di un’altra ha un carattere convenzionale e propose di accettare la geometria euclidea e propose di accettare la geometria euclidea perché più semplice ed intuitiva e di adattare poi perché più semplice ed intuitiva e di adattare poi le leggi fisiche alle proprietà empiriche le leggi fisiche alle proprietà empiriche riscontrate.riscontrate.

Nel 1916 Einstein grazie alla formulazione della teoria della relatività generale contribuì fortemente allo studio del rapporto tra geometria e spazio fisico.

Egli introduse una quarta variabile, il tempo, e secondo la sua teoria la struttura dello spazio era determinata da spazi gravitazionali e non dalla geometria euclidea. Seguendo il linguaggio non euclideo adottato da Einstein non era possibile parlare di contrazioni gravitazionali dei corpi solidi nello spazio fisico

L’esperimento di Eddington nel 1919 fornì la L’esperimento di Eddington nel 1919 fornì la prova del fatto che lo spazio fisico non era prova del fatto che lo spazio fisico non era euclideo.euclideo.

La struttura dello spazio fisico in una regione si La struttura dello spazio fisico in una regione si differenzia dalla struttura euclidea tanto più differenzia dalla struttura euclidea tanto più quanto più forte è il campo gravitazionale in quanto più forte è il campo gravitazionale in quella regione.quella regione.

La teoria della relatività di Einstein è basata sull’ipotesi che i corpi materiali producono una distorsione dello spazio circostante modificandone la geometria.

Tale teoria affonda le radici nella nascita delle Tale teoria affonda le radici nella nascita delle geometrie non euclidee.geometrie non euclidee.

Le geometrie non euclidee sono plausibili in uno spazio che non presenta le caratteristiche di omogeneità che gli assegnava Newton:

Einstein spiegò i fenomeni dell’inerzia e della Einstein spiegò i fenomeni dell’inerzia e della gravitazione facendo ricorso ad un modello gravitazione facendo ricorso ad un modello geometrico quadrimensionale. Esso consiste geometrico quadrimensionale. Esso consiste nello spazio-tempo reso curvo dall’azione delle nello spazio-tempo reso curvo dall’azione delle masse e delle energie e masse e delle energie e la sua curvatura, punto per punto, dipende dalla presenza o meno di masse.

esse presuppongono uno spazio curvo.

Dalla curvatura dello spazio deriva anche la questione della struttura dell’universo, che non risulterebbe chiuso ma in espansione, in accordo con le scoperte astronomiche fatte proprio in quegli stessi anni.

La teoria della relatività ebbe quasi subito una La teoria della relatività ebbe quasi subito una clamorosa conferma grazie alla scoperta clamorosa conferma grazie alla scoperta dell’incurvamento dei raggi luminosi in dell’incurvamento dei raggi luminosi in prossimità di corpi celesti di massa elevataprossimità di corpi celesti di massa elevata ..

Per molti secoli si è ritenuto che la Geometria di Per molti secoli si è ritenuto che la Geometria di Euclide fosse l’unica adatta a descrivere il mondo Euclide fosse l’unica adatta a descrivere il mondo che ci circonda; su di essa Galileo e Newton che ci circonda; su di essa Galileo e Newton fondarono la fisica classica.fondarono la fisica classica.

Bisogna giungere ai primi del 1900, con la fisica Bisogna giungere ai primi del 1900, con la fisica relativistica e quantistica di Einstein, la fisica relativistica e quantistica di Einstein, la fisica delle particelle che si muovono a velocità vicina a delle particelle che si muovono a velocità vicina a quella della luce (300 000 kmquella della luce (300 000 km/sec), per vedere /sec), per vedere notevoli applicazioni delle geometrie non notevoli applicazioni delle geometrie non euclidee.euclidee.

In conclusioneIn conclusione::

Le tre geometrie rispettivamente di :Le tre geometrie rispettivamente di :

EuclideEuclide RiemannRiemann Bolyai-LobacevskijBolyai-Lobacevskij

hanno ciascuna una loro validità e possibilità di hanno ciascuna una loro validità e possibilità di applicazione in situazioni concrete del campo applicazione in situazioni concrete del campo scientifico, sia teorico che tecnologico.scientifico, sia teorico che tecnologico.

EuclideEuclide

Visse intorno al 300 a.C. ad Visse intorno al 300 a.C. ad Alessandria d’Egitto dove fondò una Alessandria d’Egitto dove fondò una scuola di matematica. Una delle sue scuola di matematica. Una delle sue opere più importanti è rappresentata opere più importanti è rappresentata dagli dagli ElementiElementi, divisa in 13 libri. I , divisa in 13 libri. I primi sei contengono le proposizioni primi sei contengono le proposizioni fondamentali della geometria piana e fondamentali della geometria piana e la teoria generale delle proporzioni la teoria generale delle proporzioni fra grandezze; i libri VII, VIII, XI fra grandezze; i libri VII, VIII, XI trattano dei numeri e delle loro trattano dei numeri e delle loro proprietà; il X dà in forma geometrica proprietà; il X dà in forma geometrica una classificazione dei numeri una classificazione dei numeri irrazionali; gli ultimi tre studiano la irrazionali; gli ultimi tre studiano la geometria solida. geometria solida.

L’opera si apre con un elenco di L’opera si apre con un elenco di concetti fondamentali ai quali concetti fondamentali ai quali seguono i postulatiseguono i postulati (tra i quali (tra i quali enuncia il postulato delle parallele la enuncia il postulato delle parallele la cui negazione diede origine alle cui negazione diede origine alle geometrie non euclidee, le geometrie non euclidee, le proposizioni o assiomi e infine la serie proposizioni o assiomi e infine la serie dei teoremi: uno dei più famosi dei teoremi: uno dei più famosi teoremi attribuiti allo stesso Euclide teoremi attribuiti allo stesso Euclide stabilisce che in ogni triangolo stabilisce che in ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito su rettangolo, il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo un cateto è equivalente al rettangolo che ha per base un lato uguale che ha per base un lato uguale all’ipotenusa del triangolo iniziale, e all’ipotenusa del triangolo iniziale, e per altezza la proiezione del cateto per altezza la proiezione del cateto sull’ipotenusa. sull’ipotenusa.

Nelle sue opere è inoltre presente la Nelle sue opere è inoltre presente la semplice ma geniale dimostrazione semplice ma geniale dimostrazione dell’infinità dei numeri primi.dell’infinità dei numeri primi.La grandezza di Euclide non deriva La grandezza di Euclide non deriva tuttavia dall’originalità delle sue tuttavia dall’originalità delle sue opere ma dalla capacità di aver opere ma dalla capacità di aver organizzato tutto il sapere organizzato tutto il sapere matematico del tempo in un’opera matematico del tempo in un’opera completa e sistematica, dotata di completa e sistematica, dotata di un’impalcatura logica e rigorosa.un’impalcatura logica e rigorosa.

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I postulati di EuclideI postulati di EuclideRisulti postulato che:Risulti postulato che:1) si possa tracciare una retta da un 1) si possa tracciare una retta da un punto qualsiasi ad ogni altro punto;punto qualsiasi ad ogni altro punto;2) si possa prolungare 2) si possa prolungare indefinitamente una linea retta ;indefinitamente una linea retta ;3) si possa descrivere un cerchio con 3) si possa descrivere un cerchio con un centro qualsiasi e un raggio un centro qualsiasi e un raggio qualsiasi;qualsiasi;4) tutti gli angoli retti siano uguali fra 4) tutti gli angoli retti siano uguali fra di loro; di loro; 5) se una retta che interseca due 5) se una retta che interseca due altre rette forma dalla stessa parte altre rette forma dalla stessa parte angoli inferiori a due angoli retti, le angoli inferiori a due angoli retti, le due rette, se estese indefinitamente, due rette, se estese indefinitamente, si incontrano da quella parte dove gli si incontrano da quella parte dove gli angoli sono inferiori a due rette.angoli sono inferiori a due rette.

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I numeri primi sono infinitiI numeri primi sono infinitiUn numero maggiore dell'unità si dice Un numero maggiore dell'unità si dice primo se ha solo due divisori distinti: primo se ha solo due divisori distinti: 1 e se stesso. 1 e se stesso.   Tra 1 e 10 ci sono 5 numeri primi;Tra 1 e 10 ci sono 5 numeri primi;Tra 10 e 100 ce ne sono 21;Tra 10 e 100 ce ne sono 21;Tra 9.999.900 e 10.000.000 ce ne Tra 9.999.900 e 10.000.000 ce ne sono 9;sono 9;Tra 10.000.000 e 10.000.100 ce ne Tra 10.000.000 e 10.000.100 ce ne sono 3.sono 3.  Questa è la legge di rarefazione dei Questa è la legge di rarefazione dei numeri primi. Secondo questa legge numeri primi. Secondo questa legge si può pensare che i numeri primi si può pensare che i numeri primi siano in numero finito, ma non è così, siano in numero finito, ma non è così, infatti, Euclide dimostrò che i numeri infatti, Euclide dimostrò che i numeri primi sono infiniti.primi sono infiniti.

  

  Dimostrazione (metodo indiretto):Dimostrazione (metodo indiretto):  Si suppone che i numeri primi siano Si suppone che i numeri primi siano in numero finito.in numero finito.Esiste allora il numero primo più Esiste allora il numero primo più grande di tutti (MAX).grande di tutti (MAX).Se si esegue il prodotto tra MAX e Se si esegue il prodotto tra MAX e tutti i numeri primi che lo precedono tutti i numeri primi che lo precedono e si aumenta di 1 il risultato, si e si aumenta di 1 il risultato, si ottiene un nuovo numero primo N ottiene un nuovo numero primo N più grande di MAX: infatti dividendo più grande di MAX: infatti dividendo N per ciascun numero primo si N per ciascun numero primo si ottiene sempre resto 1.ottiene sempre resto 1.Questa è un’assurdità perché è in Questa è un’assurdità perché è in contrasto con il fatto che MAX sia il contrasto con il fatto che MAX sia il più grande numero primo. Perciò si più grande numero primo. Perciò si conclude che i numeri primi sono conclude che i numeri primi sono infinitiinfiniti..

    

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