Rappresentazione Rappresentazione grafica delle grafica delle

equazioni di I e II equazioni di I e II gradogrado

Rappresentazione Rappresentazione grafica delle grafica delle

equazioni di I e II equazioni di I e II gradogrado

Prof.ssa Oriana Pagliarone

• ax=b2

• ax=bc• x2=c

• x2+bx=c (area) • x2+bx=c (segmento) x2+10x=39

• x2+c=bx (segmento) x2+1400=90x

• x2+c=bx (area) x2+21=10x• x2-bx=c (area) x2-3x=10• x2-bx=c (segmento)

ax=b2

b a

t

t

2

2

X

b2

ax

ax = bc

a

c

b

XD

E F

GH

L

MN

o

DE=ML

DO=MN

I triangoli DEO e MNL sono uguali

I parallelogrammi DELM e DONM sonoequivalenti( DOLM in comune)Il rettangolo DEFG è equivalente al parallelogramma DELM (stessa base DEe stessa altezza DG)

Il rettangolo MNHG è equivalente alparallelogramma DONM (stessa base MN e stessa altezza MG)

I rettangoli DEFG e MNHG sono equivalenti

bc = ab + MNHG = ab + DEFG = ax

x = AE

axbc

A

X2 = C

H

1A

B

DCX BH2= AH ∙ HD

X2 = 1 ∙ C

X =±√CD

AH=1 HD = C

x2+bx-c=0x2+bx=c esempiox2+10x-39=0 aggiungo

52

x2+10x + 52 =39+25(x+5)2= 64X+5=8 x=8-5=3

8

8

525

5

X25x

5x

3

X=3 e ora ………

Ora possiamo anche costruire il rettangolo di area 39

x2+10x = 39

Sapendo che x=3 e che x(x+10)=39

930

10 3

Abbiamo costruito il rettangolo di area 39

39

x2+bx=cx2 + bx = cx2 + bx + b2/4 = b2/4 + c(x+b/2)2 = b2/4 + cx = -b/2 ± √(b2/4 + c) (trascurando la soluzione negativa -b/2 - √(b2/4 + c))

x = -b/2 + √(b2/4 + c) E ora la costruzione geometrica ….

b>0,c>0

x2+bx = cCostruisci il quadrato di lato √(b2/4+c) Costruisci il quadrato di lato b/2

L’area in giallo è = b2 /4 +c – b2 /4 = c

b/2

---------- √(b2/4+c) ---------

x = √(b2/4+c) – b/2

x

r

r x2

L’area totale del quadratoe dei due rettangoli gialli è sempre c

Per cui

c = x(b/2) + x2 + x(b/2) = x(b/2 + x + b/2)= = x(b+x) = x2 + bx

x 2 + bx = c

Sposta il rettangolo r

x2+c=bx

AB=90 Scompongo AB in AD=70 e DB=20 in modo che AD ∙ DB = 1400 e costruisco DF=√1400Costruisco M punto medio di AB AM=MB=45 e in M costruisco MC=DF MD=MB-DB=45-20=25 EM=MD=25 AE=20 EC=√(1400+625)=√2025=45 EC=CD=45=AB/2 E e D sono le intersezioni di AB con la circonferenza di

raggio AB/2 e centro C

A BD

9070 20

F

x2+1400=90x

C

ME

Quindi :Costruisco AB=90,il punto medio M, costruisco in M perpendicolarmenteil segmento MC =√1400Costruisco la circonferenza di raggio AB/2 e centro CCostruisco le intersezioni E e D della circonferenza con AB AD e DB sono le soluzioni

x2+1400=90x70 20

20 1400 = 20 ∙ 70

90

x

X=20 1° soluzione

X2

x2+1400=90x

x2

70 20

70 701400

X=70 2° soluzione

x2+c=bx Soluzione b>0, c>0 x2 – bx = -cx2 – bx +b2/4 = b2/4 –c(x-b/2)2= b2/4 –c x-b/2 = ±√(b2/4 –c)x = b/2 ±√(b2/4 –c) Costruiamo geometricamente le

soluzione

x2+c=bx

A B

b

Costruire AB=b e traslare PL =√c in MT con M punto medio di ABTracciare la circonferenza di raggio b/2 e centro T che interseca in E e D il segmento AB

---------- c+1 -----------

1 --------- c ----------

Con centro nel punto medio di HK tracciare la circonferenza di diametro HKA distanza unitaria dal punto H tracciare il segmento LP la cui misura sarà √c

H KL

P

M

T

E D

b/2

EM = √(b2/4-c)

x1 = b/2 - √(b2/4-c) = AM-EM = AE

x2= b-x1 = AB-AE = EB

AE e EB sono le soluzioni

x2+c=bxx2+21=10x

Soluzione b>0, c>0 x2 – bx = -cx2 – bx +b2/4 = b2/4 –c(x-b/2)2= b2/4 –c x-b/2 = ±√(b2/4 –c)x = b/2 ±√(b2/4 –c) costruiamo geometricamente le soluzione per b=10 c=21 x2 +21 =10x x=5±2=3 x1=3 x2 =7

Costruiamo il quadrato di lato 5

Costruiamo il quadrato di lato 2

Togliendo il quadrato di lato 2 al quadrato di lato 5 si ottiene una figura di area 25-4= 21

5

2x

--------10--------

X2

2 Spostiamo il rettangolo x(5-x)

Aggiungiamo il quadrato di x

5-x

X

X2+21=10X

21

Costruzione di x2 +21=10x

x2+21=10x

10

10x-x2=21-10x+x2=-2125 -10x+x2=25-21(5-x)2=45-x=±2Vediamo ora

5-x=2

x=3Costruendo il quadrato di lato 5 e togliendo il quadrato di lato (5-x),

si ottiene il rettangolo x(5-x) di lato x cercato

x2 x

x5 5-x

5-x

5-x

X 5-x

E ora la 2a soluzione x=7

x2+21=10x

2° soluzione10x-x2=21x(10-x)=21-10x+x2=-2125 -

10x+x2=25-21

(x-5)2=4x-5= 2

x=7 x

21

1010-x5

X-5

x

X-5X-5

X-5

x

10-x

Semplificando ….

semplificandoDisegniamo il quadrato di area 4 che è

il quadrato di x-5, aggiungendo il segmento di lunghezza

5 otteniamo x =2+5 =7

4

X-5 5

x

x2+c=bx Soluzione b>0, c>0 x2 – bx = -cx2 – bx +b2/4 = b2/4 –c(x-b/2)2= b2/4 –c x-b/2 = ±√(b2/4 –c)x = b/2 ±√(b2/4 –c) Costruiamo geometricamente le

soluzione

In generale: costruiamo X=b/2-√((b2/4)-c)Costruiamo il quadrato di lato b/2

Costruiamo il quadrato di lato √((b2/4)-c)

Togliendo il quadrato di lato √((b2/4)-c) al quadrato di lato b/2si ottiene una figura di area b 2/4 –(b 2 /4 -c)= c

b/2

√((b2/4)-c)x

---------b---------

X2

Spostiamo il rettangolo x(b/2-x)

Aggiungiamo il quadrato di x

b/2-x

X

X2+c=bX

C

X=b/2-√((b2/4)-c)

b/2-x x

Costruiamo x=b/2+√(b2/4 –c)

Costruiamo il quadrato di lato b/2

b/2

Costruiamo il quadrato di lato √(b2/4 –c)

√(b2/4 –c)

Costruiamo il segmento √(b2/4 –c)

√(b2/4 –c)

L’area gialla è = b2 /4 –(b2 /4 –c)=c

C

X= b/2 + √(b2/4 –c)

-------------X------------- Costruiamo il quadrato di x

x

x

Spostiamo c trasformandolo nel rettangolo r1 + r2

r1 r1

r2

r2

b/2-√(b2/4 –c)

X- √(b2/4 –c) =b/2

X+b/2 - √(b2/4 –c) = b/2+b/2=b

-----------------b----------------

x2 +c = bx

x2-bx=cx2-bx=c con b>0 , c>0x2-bx+b2/4=b2/4+c(x-b/2)2 = b2/4+cx – b/2 = ± √(b2/4+c)x =b/2 ± √(b2/4+c) x = b/2 + √(b2/4+c) essendo √(b2/4+c) > b/2 la soluzione x = b/2 - √(b2/4+c) è negativa e la scartiamo per la rappresentazione grafica

x2-bx=c

Costruisci il quadrato di lato √(b2/4+c)

-------- √(b2/4+c) ---------

Costruisci il quadrato di lato b/2

b/2 Prolunga il lato del primo quadrato di un segmento lungo b/2

b/2

x = b/2 + √(b2/4+c)

-------------- x ----------------

La zona gialla ha area c: infatti b2/4+c –b2/4 = c

C

x – b = b/2 + √(b2/4+c) –b/2 –b/2= = √(b2/4+c) –b/2

x -b

1

b/2

x

Il rettangolo giallo di area x(x-b) = cè quello cercato

10

X2-3x=10

Ripeti la dimostrazione precedente nel caso particolare b=3 c=10

Costruisci il quadrato di lato√(b2/4+c)= √(32/4+10) = √49/4= 7/2

Costruisci il quadrato di lato b/2=3/2

La differenza delle aree dei due quadrati è49/4 -9/4=40/4 =10 ( l’area della zona gialla)

Aggiungi il segmento b/2=3/2

----------7/2 ----------3/2

3/2

x

X = b/2 + √(b2/4+c) = = 3/2 + √(3 /4+10) = = 3/2 + 7/2 = 10/2 = 5

r

x – b = 5-3 = 2

2

x2 -3x =10 x(x-3)=10 5∙2=10

x

x2-3x=10x(x-3) = 10x (x-3) = 5∙2x=5

x

x

3

x-3

10

2

=5

Una soluzione ingenua…….

x2-3x=10x2-3x + 9/4=10+9/4(x-3/2)2=49/4(x-3/2)2=(7/2)2

costruiamo il quadrato di area 49/4 , aggiungiamo al lato 3/2 ,otteniamo x

49/4

7/2

x-3/23/2

x

x2-bx=c

x2-bx +b2/4= b2/4 +c(x-b/2)2 = b2/4 +c

x-b/2 =± √(b2/4 +c)

x=b/2 + √(b2/4 +c) e allora…

La soluzione x= b/2-√(b2/4 +c) è negativa

x2-bx=c

AB

b

Costruire AB=b e traslare PL =√c in AT M punto medio di ABTracciare la circonferenza di raggio TM= √(b2/4+c)e centro M che interseca in E e D il prolungamento del segmento AB

---------- c+1 -----------

1 --------- c ----------

Con centro nel punto medio di HK tracciare la circonferenza di diametro HKA distanza unitaria dal punto H tracciare il segmento LP la cui misura sarà √c

H KL

P

M

T

Eb/2

TM = √(b2/4+c) = MD AM= b/2 AD = b/2 + √(b2/4+c)

x1 = b/2 + √(b2/4+c)=AD

AD è la soluzione positiva

b/2

√(b2/4+c)

D√c

x2+bx=cx2 + bx = cx2 + bx + b2/4 = b2/4 + c(x+b/2)2 = b2/4 + cx = -b/2 ± √(b2/4 + c) (trascurando la soluzione negativa -b/2 - √(b2/4 + c))

x = -b/2 + √(b2/4 + c) E ora la costruzione geometrica ….

b>0,c>0

x2+bx=c

AB

b

Costruire AB=b e traslare PL =√c in AT M punto medio di ABTracciare la circonferenza di raggio TM= √(b2/4+c)e centro M che interseca in E e D il prolungamento del segmento AB

---------- c+1 -----------

1 --------- c ----------

Con centro nel punto medio di HK tracciare la circonferenza di diametro HKA distanza unitaria dal punto H tracciare il segmento LP la cui misura sarà √c

H KL

P

M

T

Eb/2

TM = √(b2/4+c) = MD BM= b/2 BD = √(b2/4+c) - b/2 x1 = √(b2/4+c)- b/2 = BD

BD è la soluzione positiva

b/2

√(b2/4+c)

D√c

• Animazione flash ax=b2

• Animazione flash ax=bc• Animazione flash x2=c

• Animazione flash x2+bx=c

• Animazione flash x2+c=bx

• Animazione flash x2+21=10x

• Animazione flash x2 -3x=10