RaccoltadiesercizidiCalcoloNumerico - "Esercizi e...

Annamaria Mazzia

Raccolta di esercizi di Calcolo Numerico

Dipartimento di Ingegneria Civile Edile e AmbientaleUniversità degli Studi di Padova

Creative Commons Attribuzione-Non commerciale-Non opere derivate 3.0 Italy License

a.a. 2015/2016

INDICE

Indice ii

1 Esercizi su zeri di funzione 1

2 Esercizi su interpolazione e approssimazione 13

3 Esercizi su metodi diretti per sistemi lineari 23

4 Esercizi su metodi iterativi per sistemi lineari 31

5 Esercizi su formule di quadratura 41

6 Domande di teoria 51

7 Programmazione in MATLAB 55

Gli esercizi di questa raccolta sono tratti, in parte, da testi d’esame di Calcolo Numerico 1

per gli studenti di diversi corsi di laurea in Ingegneria (Civile, Edile, Meccanica, Ambiente eTerritorio, Aerospaziale) dell’Università di Padova, per i quali sono stata esercitatrice oppuretitolare (dal 1999-2000 fino al 2007-2008). Gli esercizi dall’a.a. 2008-2009 in poi sono invecespecifici del corso di laurea triennale in Ingegneria dell’Energia, (seconda squadra, Canale 3,Canale A, matricole pari, a seconda dell’anno), di cui sono titolare.

Non sono una raccolta completa ed esaustiva di tutti i compiti assegnati nel corso degli ultimiquindici anni. Ma il numero e la varietà degli esercizi proposti offrono un’ampia prospettiva sugliesercizi dei compiti scritti affinchè lo studente possa prepararsi adeguatamente alla prova scritta.Per gli esercizi proposti si trovano, in maniera molto stringata, le soluzioni numeriche principali(ad esempio, se l’esercizio richiede di effettuare tre approssimazioni di un certo metodo numerico,viene dato solo il valore dell’ultima approssimazione: è ovvio che se quel valore è corretto, sa-ranno corretti anche i primi due, come in un gioco di incastri). Si consiglia di effettuare i calcoliutilizzando sempre almeno 7 cifre significative (a meno che non sia specificato diversamente).

Per le domande di teoria non sono date soluzioni e si rimanda alla dispensa.L’ultimo capitolo, invece, presenta una raccolta degli esercizi di programmazione in MATLAB

che vengono svolti in aula Taliercio dall’a.a. 2014-2015 in modo che la preparazione per l’esamedi Calcolo Numerico possa essere il piú completa possibile.

Nel trascrivere i risultati numerici, può essere sfuggito qualche errore di stampa: se avetedubbi o perplessità sui risultati che trovate, non esitate a contattarmi(all’indirizzo annamaria.mazzia CHIOCCIOLA unipd.it!

Annamaria Mazzia

1Questo corso ha avuto nomi diversi a seconda dei vari ordinamenti di studio, da Metodi Numerici per l’Ingegneria I aCalcolo Numerico a Calcolo Numerico e Programmazione.

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PI

TO

LO

1ESERCIZI SU ZERI DI FUNZIONE

Es. 1 — (appello del 22 settembre 2015) Data la funzione f(x) = e−x − 2 cos (x), si vuoledeterminare il punto di minimo assoluto m nell’intervallo [0, 1].

1. Verificare che esiste un unico punto m ∈ [0, 1], tale che f(x) ≥ f(m) per ogni x ∈ [0, 1] conf ′(m) = 0.

2. Determinare un’approssimazione di m eseguendo tre iterazioni con il metodo di Newton-Raphson a partire da x0 = 0 e fornire una stima del fattore di convergenza.

3. Assumendo m pari all’ultima approssimazione ottenuta nel punto precedente, dire se loschema iterativo:

xk+1 = xk −f ′(xk)

f ′′(x0)

converge a m. In caso affermativo, stimare il numero di iterazioni necessarie perchè,sempre partendo da x0, l’errore sia inferiore a 10−10.

Es. 2 — (appello del 17 giugno 2015) Si consideri la funzione f(x) = cos (x+ π/2) − e−x + 1 − xche ammette uno zero ξ nell’intervallo [−1, 1].

1. Partendo da x0 = 1, calcolare 3 approssimazioni x1, x2 e x3 di ξ con il metodo di Newton-Raphson e stimare il fattore di convergenza M .

2. Dopo aver osservato che ξ = 0, dire se lo schema di punto fisso xk+1 = cos (xk + π/2)−e−xk+1converge e, in caso affermativo, determinarne ordine e fattore di convergenza.

3. Si consideri lo schema iterativo xk+1 = xk + f(xk)/C, con C un’opportuna costante. Perquali valori di C la successione xk converge a ξ?

Es. 3 — (appello del 12 febbraio 2015) Sia data la seguente funzione

f(x) = x3 + 4x− 3x2 − 12

1. Provare analiticamente che l’equazione f(x) = 0 ammette un’unica radice nell’intervallo[2.5, 4.5].

2. Partendo da x0 = 2.5 applicare lo schema di Newton-Raphson per calcolare leapprossimazioni x1, x2, x3; stimare il fattore di convergenza M .

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1. ESERCIZI SU ZERI DI FUNZIONE

3. (punto da svolgere dopo aver studiato le formule di quadratura) Quale formula diquadratura numerica semplice si deve applicare se si vuole calcolare

∫ 4.5

2.5f(x)dx in modo

che l’errore della formula sia zero? Applicare, alla funzione f assegnata, tale formula emostrare che l’errore di quadratura vale zero.

Es. 4 — (appello del 4 settembre 2014) Le radici della funzione f(x) = x2 − x− 6 sono 3 e −2.1. Si dimostri che i seguenti metodi iterativi di punto fisso xk+1 = g1(xk) con g1(x) = −

√x+ 6

e xk+1 = g2(xk) con g2(x) =x2 + 6

2x− 1convergono localmente alla radice di segno negativo

della f . Si determini l’ordine di convergenza di ciascuno schema.2. A partire dal punto iniziale −2.5 si calcolino 3 iterazioni del primo schema di punto fisso e,

usando gli errori, si stimi il fattore di convergenza M1.3. A partire dal punto iniziale −2.5 si calcolino 3 iterazioni con il secondo schema di punto

fisso e, usando gli errori, si stimi il fattore di convergenza M2.4. Infine si scriva la formula dello schema di Newton-Raphson per risolvere l’equazione f(x) =

0 e se ne calcoli il fattore di convergenza in relazione alla radice ξ = −2. Commentare irisultati.

Es. 5 — (appello del 18 giugno 2014) Si vuole risolvere l’equazione x3 − 2x− 5 = 0.1. Provare che ammette un’unica soluzione ξ nell’intervallo [1.5, 2.5].2. Eseguire tre iterazioni con il metodo di Newton-Raphson partendo da x0 = 1.5.3. Eseguire tre iterazioni con lo schema delle secanti variabili (o Regula Falsi) partendo da

x0 = 1.5 e x1 = 2.5.4. Stimare le costanti asintotiche dei due metodi applicati.

5. Considerando lo schema di punto fisso xn+1 =x3n − 5

2e senza eseguire alcuna iterazione

dello schema, si dica se tale metodo converge alla soluzione ξ (si prenda come approssi-mazione di ξ il valore trovato con uno dei due metodi applicati in precedenza). In casoaffermativo se ne stimi l’ordine di convergenza e la costante asintotica.

Es. 6 — (appello del 18 settembre 2013) Si vuole risolvere l’equazione x3 + 2x2 − 5 = 0.1. Provare che ammette un’unica soluzione nell’intervallo [0, 2].2. Eseguire tre iterazioni con il metodo di Newton-Raphson partendo da x0 = 2.3. Eseguire tre iterazioni con lo schema della Regula Falsi, partendo da x0 = 2 e x1 ottenuto

al punto precedente.4. Stimare i fattori di convergenza dei due metodi applicati.

Es. 7 — (appello del 10 luglio 2013) È data l’equazione non lineare ln (x+ 2)− e−x/4 = 0.1. Dimostrare esistenza e unicità della soluzione ξ nell’intervallo [−1, 1].2. A partire dal punto iniziale x0 = 1, si applichi il metodo di Newton-Raphson arrestando

le iterazioni quando lo scarto tra due approssimazioni successive è minore della tolleranzatoll = 5× 10−4. Si stimi poi la costante asintotica del metodo.

3. Considerando lo schema di punto fisso xk+1 = ln (xk + 2)−e−xk/4+xk, si dica se tale metodoconverge alla soluzione ξ e, in caso affermativo, si dica qual è l’ordine di convergenza delmetodo e se ne stimi la costante asintotica. Non si esegua nessuna iterazione con lo schemadi punto fisso.

Es. 8 — (appello del 13 febbraio 2013) Sia data l’equazione non lineare f(x) = 0 dove

f(x) =√x2 + 1− cos (x)− x

2

1. Mostrare che l’equazione data ammette almeno due soluzioni (ξ1, ξ2) in [−1, 2](suggerimento: calcolare f(−1), f(0.5), f(2)).

2. Per approssimare ξ1 si parta dal punto iniziale x0 = 2 e si eseguano 3 iterazioni con ilmetodo di Newton-Raphson. Stimare la costante asintotica dell’errore M1 e l’errore al passo3.

3. Per approssimare ξ2 si parta dal punto iniziale x0 = −1 e si eseguano 3 iterazioni conil metodo di Newton-Raphson. Stimare la costante asintotica dell’errore M2 e l’errore alpasso 3.

4. Senza eseguire ulteriori iterazioni, ma giustificando la risposta, si dica a quale delle duesoluzioni il metodo di punto fisso xk+1 =

√x2k + 1− cos (xk) può convergere localmente. Nel

caso in cui c’è convergenza, si calcoli l’ordine p del metodo.

Es. 9 — (appello del 18 settembre 2012) Data l’equazione non lineare x+ cos (x)− 1.2 = 0

1. dimostrare esistenza e unicità della soluzione ξ nell’intervallo I = [0.2, 1.57].2. A partire dal punto iniziale x0 = 1.57 trovare x1 con il metodo di Newton-Raphson. Giu-

stificare, graficamente o in altro modo, le ragioni della iniziale divergenza del metodo.

3. Si consideri ora il metodo di punto fisso xk+1 = 1.2 − cos (x). Dimostrare che tale metodoconverge alla soluzione ξ in I. A partire dal punto iniziale x0 = 1.57 si eseguano 5 iterazionicon tale metodo. Si dica qual è l’ordine di convergenza del metodo e se ne stimi la costanteasintotica.

Es. 10 — (appello del 26 giugno 2012) Sia data l’equazione non lineare x3 − 5x + 4 = 0 di cui ènota una soluzione ξ = 1.

1. Si dimostri che i seguenti due metodi iterativi di punto fisso xk+1 = g1(xk) dove g1(x) =x3 + 4

5e xk+1 = g2(xk) dove g2(x) =

2x3 − 4

3x2 − 5convergono localmente a ξ. Per entrambi si

calcoli l’ordine di convergenza.2. A partire dal punto iniziale x0 = 0.5 si calcolino 3 iterazioni con lo schema xk+1 = g1(xk) ;

usando gli errori si stimi il fattore di convergenza M1.3. A partire dal punto iniziale x0 = 0.5 si calcolino 3 iterazioni con lo schema xk+1 = g2(xk) ;

usando gli errori si stimi il fattore di convergenza M2.

Es. 11 — (appello del 1o settembre 2011) Data l’equazione f(x) = 0 ove:

f(x) = (2 + x)e−x − x2

provare che ammette un’unica soluzione ξ nell’intervallo I = [0.5, 1.5].1. Eseguire tre iterazioni con lo schema di Newton-Raphson partendo da x0 = 0.5. Dare una

maggiorazione dell’errore e una stima del fattore di convergenza M1.2. Utilizzando ξ ≈ x3 si dica se lo schema di punto fisso

xn+1 =√(2 + xn)e−xn

converge a ξ; in caso affermatico calcolarne il fattore di convergenza M2.

Es. 12 — (appello del 21 giugno 2011) Data l’equazione e−x2

(6x2 + 18) − 5 = 0, si provi cheammette un’unica soluzione ξ nell’intervallo I = [0, 4].

1. Si calcoli il punto iniziale x0 effettuando due iterazioni del metodo delle bisezioni (odicotomico), a partire dall’intervallo assegnato.

3


2. A partire dal valore x0 calcolato al punto precedente, si calcolino tre iterazioni del metododi Newton-Raphson e si stimi il fattore di convergenza M . (Esprimere i risultati in virgolamobile normalizzata con almeno 7 cifre decimali)

Es. 13 — (primo compitino del 28 aprile 2011) Data l’equazione f(x) = 0 ove:

f(x) = x/4− arctan(6− x)

provare (analiticamente o graficamente) che ammette un’unica soluzione ξ nell’intervallo I = [4, 5].

1. Dire quante iterazioni sono necessarie col metodo di bisezione per ottenere la soluzione ξcon un errore minore di 10−4.

2. Eseguire tre iterazioni con lo schema di Newton-Raphson partendo da x0 = 5. Dare unamaggiorazione dell’errore e una stima del fattore di convergenza M1.

3. Utilizzando ξ ' x3 si dica se il metodo di punto fisso:

xn+1 = 6− tan(xn/4)

converge a ξ; in caso affermativo calcolare il fattore di convergenza M2. (Esprimere irisultati in virgola mobile normalizzata con almeno 7 cifre decimali).

Es. 14 — (appello del 16 settembre 2010) Si vuole risolvere l’equazione x = g(x) con lo schemadel punto fisso.

Sapendo che g(x) = x2 − 6x+ 12.25 calcolarne analiticamente il punto fisso e determinare:1. il fattore di convergenza M1 dello schema del punto fisso e successivamente le ap-

prossimanti x1, x2, x3 usando prima x0 = 3 e poi x0 = 4.5, giustificandone il diversocomportamento.

Risolvere quindi f(x) = 0 ove f(x) = g(x)−x con lo schema di Newton-Raphson; calcolare

2. il fattore di convergenza M2 dello schema di Newton-Raphson e le approssimanti x1, x2, x3ottenute con lo schema partendo da x0 = 3

3. le approssimanti x1, x2, x3 ottenute con lo schema di Newton-Rapshon modificato e x0 = 3.

Es. 15 — (appello del 7 luglio 2010) Sia data la funzione seguente:

f(x) = e−8x2

− x3

1. Dimostrare che l’equazione f(x) = 0 ammette un’unica soluzione ξ nell’intervallo I =[0, 0.8].

2. Fissato x0 = 0, si dica perchè non si può applicare il metodo di Newton-Raphson.3. Partendo da x0 = 0, x1 = 0.8, si trovino x2, x3, x4 con il metodo della Regula Falsi. Stimare

il fattore di convergenza M1.4. Utilizzando ξ ≈ x4 ottenuto al punto precedente, si dica se il metodo di punto fisso

xn+1 = (e−8x2n)1/3

converge a ξ. In caso affermativo stimare il fattore di convergenza M2.

Es. 16 — (appello del 2 settembre 2009) Sia data la funzione seguente

f(x) = ln(x− 1)− e−x2

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1. Provare, analiticamente o graficamente, che l’equazione f(x) = 0 ammette un’unica solu-zione ξ nell’intervallo I = [1.5, 2.5].Partendo da x0 = 1.5 applicare lo schema di Newton-Raphson per calcolare leapprossimazioni x1, x2, x3; stimare il fattore di convergenza M1 (ξ ≈ x3).

2. Approssimare con la formula di estrapolazione di Richardson il seguente integrale:∫ 2.5

1.5f(x) dx (Punto da svolgere dopo aver studiato le formule di integrazione

numerica).

Es. 17 — (appello 2 luglio 2009) È data l’equazione non lineare f(x) = 0 con

f(x) = 1− x− e−x

che ammette una soluzione in ξ = 0.1. Partendo da x0 = 0.5, calcolare la prima approssimazione x1 di ξ con lo schema di Newton-

Raphson.2. Utilizzando x0 e x1 del punto precedente, calcolare le prime 3 approssimazioni x2, x3 e x4

con lo schema della Regula Falsi.3. Dire qual è in questo caso l’ordine di convergenza p della Regula Falsi e stimare il fattore

di convergenza M .

Es. 18 — (primo compitino - 14 maggio 2008) Data l’equazione f(x) = 0

f(x) = e−x − sin(πx)

provare, analiticamente o graficamente, che ammette un’unica soluzione ξ nell’intervallo I =[0, 1/2].

1. Partendo da x0 = 0 applicare lo schema di Newton-Raphson per calcolare le ap-prossimazioni x1, x2, x3; stimare l’errore e il fattore di convergenza M1 (ξ ≈ x3).

2. Osservando che ξ è punto fisso delle funzioni seguenti:

g1(x) = − ln(sin(πx)), g2(x) = (1/π) arcsin(e−x),

si dica se lo schema del punto fisso applicato a tali funzioni converge, trovando, in casoaffermativo, il corrispondente fattore di convergenza M2 (ξ ≈ x3, ottenuto in (1)).

Es. 19 — (appello 13 settembre 2007) Data l’equazione f(x) = 0

f(x) = e−x + x2 − 3

provare, analiticamente o graficamente, che ammette un’unica soluzione ξ nell’intervallo I =[−√3, 0].

1. Partendo da x0 = −1 applicare lo schema di Newton-Raphson per calcolare le ap-prossimazioni x1, x2, x3; stimare l’errore e il fattore di convergenza M1 (ξ ≈ x3).

2. Osservando che ξ è anche punto fisso della funzione seguente: g(x) = − log(3−x2); si dica selo schema del punto fisso applicato a tale funzione converge, trovando, in caso affermativo,il corrispondente fattore di convergenza M2 (ξ ≈ x3).

Es. 20 — (appello 4 luglio 2007) Sia data l’equazione√x2 + x− 6− cos(x/2) = 0.

1. Si dimostri che ammette una sola soluzione ξ in [2, 2.4].2. Fissato x0 = 2, si dica perchè il metodo di Newton-Raphson non si può applicare.

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3. Partendo da x0 = 2, x1 = 2.4, si trovino x2, x3, x4, x5 con il metodo della Regula Falsi.Stimare il fattore di convergenza M1.

4. Utilizzando ξ ≈ x5 si dica se il metodo di punto fisso

xn+1 =

√cos2(

xn2)− xn + 6

converge a ξ. In caso affermativo stimare il fattore di convergenza M2.

Es. 21 — (primo compitino 23 maggio 2007) Data l’equazione f(x) = 0

f(x) = cos(x)− ln(x+ 1)

provare, analiticamente o graficamente, che ammette un’unica soluzione ξ nell’intervallo I =[0, π/2].

1. Dire quante iterazioni sono necessarie per trovare col metodo dicotomico la radice ξdell’equazione nell’intervallo I con un errore massimo ε ≤ 10−8.

2. Partendo da x0 = 0.1 applicare lo schema di Newton-Raphson per calcolare le ap-prossimazioni x1, x2, x3, x4: stimare l’errore e il fattore di convergenza M1 (ξ ≈ x4).

3. Osservando che ξ è anche punto fisso della funzione g(x) = ecos(x) − 1, si dica se lo sche-ma del punto fisso applicato a tale funzione converge, trovando, in caso affermativo, ilcorrispondente fattore di convergenza M2 (ξ ≈ x4).

Es. 22 — (appello 13 dicembre 2006) La funzione f(x) = x4 + x ln(x) − 1 possiede un minimonell’intervallo [0.1, 0.5]. Usare il metodo di Newton-Raphson per approssimare tale punto di mi-nimo con un errore inferiore a 10−4 (si utilizzi come punto iniziale x0 = 0.5). Si stimi la costanteasintotica dello schema utilizzato.

Es. 23 — (appello del 31 agosto 2006) Dato lo schema iterativo di punto fisso

xn+1 = ln(4 + xn), x0 = 2

1. provare esistenza e unicità del punto fisso ξ nell’intervallo [1, 2] e dire se il metodo convergein I. Calcolare un’approssimazione di ξ eseguendo 4 iterazioni;

2. trovare l’ordine di convergenza, una stima del fattore di convergenza e una maggiorazionedell’errore.

Es. 24 — (primo compitino 24 maggio 2006) Data l’equazione f(x) = 0

f(x) = arctan(−x) + x2 − 1

provare (analiticamente o graficamente) che ammette un’unica soluzione ξ nell’intervallo I =[−1, 0].

1. Partendo da x0 = −1 applicare lo schema di Newton-Raphson per calcolare leapprossimazionix1, x2, x3; stimare il fattore di convergenza M1 (ξ ≈ x3).

2. Osservando che ξ è anche punto fisso delle funzioni seguenti: g1(x) = − tan(1− x2), g2(x) =√1− arctan(−x), si dica se lo schema del punto fisso applicato a tali funzioni converge

trovando, in caso affermativo, il corrispondente fattore di convergenza M2 (ξ ≈ x3).

Es. 25 — (appello del 22 giugno 2005) Data l’equazione

ln(1 + x)− e−x = 0

provare (analiticamente o graficamente) che ammette un’unica soluzione nell’intervallo [0, 1].

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1. Eseguire tre iterazioni con la Regula Falsi, partendo da x0 = 1 e x1 = 0.9.2. Eseguire tre iterazioni con lo schema di Newton-Raphson partendo da x0 = 0.3. Stimare i fattori di convergenza di Newton-Raphson e della Regula Falsi.

Es. 26 — (appello 22 settembre 2004) Data l’equazione f(x) = 0 con

f(x) = e−x2

cos(x)− 0.5

1. Si provi (analiticamente o graficamente) che ammette un’unica soluzione nell’intervallo[0, 1].

2. Usando x0 = 0.1 calcolare con il metodo di Newton-Raphson le approssimazioni x1, x2, x3.3. Si calcoli una nuova approssimazione x′0 con due iterazioni del metodo dicotomico a partire

dall’intervallo dato.4. A partire da x′0, calcolare x1, x2, x3 con il metodo di Newton-Raphson e stimare la costante

asintotica di convergenza .5. (Facoltativo) Spiegare perchè il metodo di Newton-Raphson diverge nel primo caso e non

nel secondo.

Es. 27 — (primo compitino 30 aprile 2003)1. Si vuole risolvere l’equazione x = g(x) con lo schema del punto fisso; sapendo che g(x) =

x2 − 7x+ 16 determinare:a) Il fattore di convergenza M1 dello schema del punto fisso e inoltre le approssimantix1, x2, x3 usando prima x0 = 3.5 e poi x0 = 5, giustificandone il diverso comportamento.

2. Risolvere quindi f(x) = 0 ove f(x) = g(x) − x con gli schemi di Newton-Raphson e dellaRegula Falsi; calcolare

a) il fattore di convergenza M2 dello schema di Newton-Raphson e l’approssimante x1ottenuta con lo schema partendo da x0 = 5

b) le approssimanti x2 e x3 ottenute con lo schema della Regula Falsi usando x0 = 5 e x1calcolato al punto (2.a).

c) le approssimanti x1, x2, x3 ottenute con lo schema di Newton-Rapshon modificato e x0 =5.

Es. 28 — (appello del 27 novembre 2002) Si vuole risolvere l’equazione

x = − ln(x)

con lo schema di Newton-Raphson partendo da x0 = 1 e con la Regula Falsi usando x0 = 1 e x1ottenuto con Newton-Raphson. Calcolare:

1. x3 con lo schema di Newton-Raphson e con quello della Regula Falsi;2. i fattori di convergenza M1 e M2 degli schemi anzidetti usando le soluzioni approssimate

trovate.

Es. 29 — (appello 28 giugno 2002) Data la funzione seguente

g(x) =3x+ 2

2x+ 3

provare, anche solo per via grafica, che esiste un solo punto fisso ξ nell’intervallo I = [0.55, 1.5];provare inoltre che lo schema di punto fisso converge in I. Preso x0 = 0.55 calcolare un’appros-simazione di ξ eseguendo tre iterazioni. Trovare ordine di convergenza assumento ξ ≈ x3. Dareuna maggiorazione dell’errore.

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Es. 30 — (appello del 29 agosto 2001) Si vuole trovare la radice ξ = 2 della funzionef(x) = x2−4x+4 con lo schema della Regula Falsi a partire da x0 = 0 e x1 calcolato con lo schemadi Newton-Raphson.

1. Trovare x2, x3, x4, x5, x6, x72. Trovare, empiricamente, l’ordine p (che in questo caso non è 1.618) ed il fattore M di

convergenza dello schema della Regula Falsi applicata alla soluzione del presente esercizio.

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Soluzioni molto in breve

Soluzione (Es. 1) — Si verifica che m é radice della funzione h(x) = f ′(x). La radice esiste edè unica (valori di segno opposto agli estremi dell’intervallo e h′(x) > 0 nell’intervallo dato. Mah′(x) > 0 significa f ′′(x) > 0 cioè punto di minimo per la radice m. Si trova x3 = 0.357327405 e lastima del fattore di convergenza risulta M ≈ 2.681732× 10−1 usando gli scarti e M ≈ 2.7185597×10−1 usando la formula teorica applicata in x3. Lo schema da studiare è lo schema della tangente

fissa. Applicando uno sviluppo di Taylor sugli errori si trova ek+1 ≈ ek

(1− h′(m)

h′(x0)

). Valutando

h in x0 e in x3 ≈ m si ha ek+1 ≈ Mfek = 5.24404 × 10−1ek Lo schema é del primo ordine e, dalmomento che la costante asintotica é minore di uno, converge. Vale quindi ek ≈ Mk

f e0 da cui, peravere un errore minore di 10−10 deve essere Mk

f e0 ≤ 10−10e0. Applicando i logaritmi in base 10:k ≥ −10/ logMf = 35.672 vale a dire k ≥ 36.

Soluzione (Es. 2) — Si ha x3 = 1.425822113 × 10−7. Il valore M approssimato è 0.520664 se siconsiderano gli scarti e 0.4999998 se si considera la formula teorica valutata in x3. Considerandoche invece la soluzione esatta è ξ = 0 si possono prendere gli errori esatti o la formula esatta esi ha M = 0.5 Lo schema di punto fisso converge con ordine superiore a uno in quanto g′(0) = 0.Si ha ordine due in quando g′′(0) = −1 6= 0 e M = 0.5 L’ultimo punto va studiato considerando lafunzione f dell’esercizio proposto. Facendo uno sviluppo di Taylor (alla stessa maniera di quantoè stato fatto per trovare la costante asintotica del metodo di Newton-Raphson o dello schema dipunto fisso, e sostituendo ai valori f ′(0) e f ′′(0) il valore di tali derivate, si ha

ek+1 = ek −ek + e2k/2 + . . .

C= (1− 1

C)ek −

1

2Ce2k + . . .

Se C = 1 il termine in ek si annulla e si ha un metodo di ordine 2. Se invece C 6= 1 perché ci sia

convergenza, lineare, deve essere |1− 1

C| < 1 vale a dire C > 1/2

Soluzione (Es. 3) — La f ha valori di segno opposti agli estremi dell’intervallo. Inoltre f ′(x)è sempre positiva perchè il discrimante associato è negativo. La terza iterazione di Newton-Raphson vale x3 = 3.00005503839253. Per la costante asintotica, usando gli scarti si ha: M =|x3 − x2|/|x2 − x1|2 = 0.482304333928895. Usando la formula teorica, f ′′(x) = 6x − 6 da cui M =0.461527714620087. Dal momento che f e’ un polinomio di grado 3, la derivata quarta della f valezero. Quindi la formula da applicare, che dà errore zero, è la formula di Cavalieri-Simpson. Inquesto caso si ha: I = (4.5− 2.5)/6(f(2.5) + 4f(3.5) + f(4.5)) = 21.25.

Soluzione (Es. 4) — Si calcolano le derivate prime di g1 e di g2 e si valutano nel punto fisso −2trovando i valori −0.25 e 0 rispettivamente. Ciò dice che entrambi i metodi convergono (in valoreassoluto abbiamo valori minori di uno): dal momento che g′1(−2) 6= 0 l’ordine è p = 1 mentre,essendo g′2(−2) = 0 l’ordine di convergenza del secondo schema sarà maggiore di 1. Si va quindia studiare la derivata seconda di g2 e la si valuta in −2. Il valore è −0.4, diverso da zero e questodice che lo schema ha ordine di convergenza pari a 2.

Facendo le iterazioni dei due schemi di punto fisso si ha x3 = −1.9919748376 per il primo schema

e x3 = −2.0000000233 per il secondo schema. Dagli errori e applicando la formula M =|e3||e2|p

si ha

M1 = 0.25050258 e M2 = 0.19997268.Scrivendo poi la formula di Newton-Raphson si ricava (scrivendo la formula in modo compat-

to) esattamente la relazione xn+1 = g2(xn), quindi lo schema di punto fisso applicato prima è

9


proprio lo schema di Newton-Raphson applicato alla funzione f del problema. Difatti, dalla for-mula teorica per la costante asintotica dello schema di Newton-Raphson, troviamo il valore 0.2che si avvicina al valore stimato per la costante asintotica dello schema di punto fisso con g2 (sepoi si calcola la costante asintotica teorica per lo schema di punto fisso per g2 troviamo di nuovo0.2).

Soluzione (Es. 5) — Per Newton, x3 = 2.09660460386192, per le secanti x4 = 2.09710136856466.Usando gli scarti si ha: per Newton M ≈ 0.594430036281172, le le secanti M ≈

1.07391847140094.Valutando la derivata prima della funzione di punto fisso in x3 ottenuto da Newton, si ha il

valore 6.59362629740252: lo schema non converge.

Soluzione (Es. 6) — Per Newton-Raphson, x3 = 1.242179333, per la Regula Falsi, si ha x4 =1.24218020. Applicando la formula teorica si ha, M ≈ 0.59665447 per Newton e M ≈ 0.7267933 perla Regula Falsi (nulla toglie di stimare i fattori di convergenza usando la formula con gli scarti).

Soluzione (Es. 7) — Si ha x3 = 0.446059023 con d3 = 4.741 · 10−4 < 5 · 10−4. Usando gli scarti,M ≈ 0.18052. Lo schema di punto fisso non converge a ξ ≈ x3 (ottenuto da Newton) in quantog′(x3) = 1.6325>1.

Soluzione (Es. 8) — Partendo da x0 = 2 si ha x3 = 1.200439494, e M ≈ 0.45292768 (usando gliscarti). Partendo da x0 = −1 si ha x3 = −0.1826799 · 10−2 (dai valori di x1 e x2 si vede che lasuccessione tende a ξ = 0 e si può verificare che ξ = 0 è radice della funzione assegnata. In questocaso si ha M ≈ 0.88358361 (con gli scarti).

Considerando la derivata prima della funzione di punto fisso e valutandola in 1.20043... si ha ilvalore 1.70053480255 e il metodo non converge.

Valutando la derivata prima della funzione di punto fisso nell’altra radice ξ = 0 si ha g′(ξ) = 0.Il metodo converge ma l’ordine di convergenza non è p = 1. Calcolando la derivata seconda dellafunzione di punto fisso e valutandola in ξ = 0 si vede che il valore della derivata seconda è diversoda zero e quindi si ricava che p = 2.

Soluzione (Es. 9) — Si ha x1 = −1169451.45993450 dovuto al fatto che f ′(x0) ≈ 0.Per lo schema di punto fisso, si ha x5 = 0.256351762007 e M = 0.2535532282.

Soluzione (Es. 10) — Dallo studio delle derivate, si trova che per g1 p = 1, per g2 p = 2.Applicando lo schema di punto fisso a g1 si ha x3 = 0.951861429 e M = 0.548920023.Con g2 si ha x3 = 0.9997061281 e M = 1.42469.

Soluzione (Es. 11) — Si ha x3 = 1.03746953, |e3| < |x3 − x2| = 0.4289988 · 10−2.Usando gli scarti si ha M ≈ 0.2915185.Per lo schema di punto fisso, considerando ξ ≈ x3 trovato con Newton-Raphson, si ha M ≈

|g′(x3)| = 0.3479537 < 1: lo schema converge.

Soluzione (Es. 12) — x0 = 1; x3 = 0.13183017 · 101. Usando la formula teorica si ha M ≈0.58634256.

10

Soluzione (Es. 13) — n ≥ 14 nel metodo di bisezione. x3 = 4.2280355. |e3| < |x3−x2| = 0.5140551 ·10−2, M ≈ 0.2367450 (usando gli scarti). Usando ξ ≈ x3 trovato prima si ha per lo schema di puntofisso |g′(x3)| = 1.0349746 > 1, quindi lo schema di punto fisso non converge.

Soluzione (Es. 14) — Si trova subito il punto fisso della funzione in modo da determinare il fat-tore di convergenza M1. Si ricava ξ = 3.5. M1 =: il caso è critico. Partendo da x0 = 3 si hax3 = 3.34765625, partendo da x0 = 4.5 si ha x3 = 45.5. Graficamente si può capire il diversocomportamento dello schema.

Per Newton-Raphson, se si ipotizza p = 2 il fattore di convergenza non può essere definito(division per zero). Ma ξ = 3.5 è radice doppia per la f , quindi lo schema è a convergenza linearee M = 0.5. Si ha x3 = 3.4375. Modificando lo schema si ha x1 = x2 = ... = 3.5 immediatamente siha la soluzione.

Soluzione (Es. 15) — Nella Regula Falsi, x4 = 0.5056896211 e M ≈ 0.3212515363 (usando gliscarti).

Chiamando g la funzione dello schema di punto fisso, si ha |g′(x4)| = 1.36372363 > 1: lo schemadi punto fisso non converge.

Soluzione (Es. 16) — x3 = 2.017052139, M ≈ 0.5753867 (usando la formula teorica). Per laformula di Richardson si ha IR = −0.7499237123 · 10−1.

Soluzione (Es. 17) — Con la Regula Falsi, x4 = 0.5411961642 · 10−1. Se si calcola f ′(ξ) si vedeche si ha il valore zero (la radice ha molteplicità), quindi il metodo diventa a convergenza lineare,p = 1. Applicando la formula con gli errori (la radice è nota) si ha M = 0.618143.

Soluzione (Es. 18) — x3 = 0.2746994139. |e3| < |x3 − x2| = 0.1405053 · 10−2. M ≈ 0.1385829 · 101(usando gli scarti).|g′1(x3)| = 2.688308 > 1: lo schema non converge.|g′2(x3)| = 0.371990543 < 1: lo schema converge (e M ≈ 0.37199).

Soluzione (Es. 19) — x3 = −0.8344868702, |e3| < |x3 − x2| = 0.9460198 · 10−4.M ≈ 0.5441967 (con gli scarti).g′(x3) = 0.72449674 < 1: lo schema converge e M è stimato con il valore della derivata appena

trovato.

Soluzione (Es. 20) — La f non si può derivare in 2 perciò non si può applicare Newton-Raphson.Con la Regula Falsi si ha x5 = 0.2055820826 · 10. M ≈ 1.22626064 (con gli scarti).

Chiamando g la funzione dello schema di punto fisso, si ha |g′(x5)| = 0.351430332, quindi loschema converge e M ≈ 0.351430332.

Soluzione (Es. 21) — Occorre fare almeno 28 iterazioni con il metodo delle bisezioni. x4 =0.8845106162. |e4| < |x4 − x3| = 0.2466117 · 10−6. M ≈ 0.1349773 (usando la formula teorica),g′(x4) = −1.457866784, quindi lo schema di punto fisso non converge.

11


Soluzione (Es. 22) — Si applica lo schema di Newton-Raphson alla funzione h(x) = f ′(x). Sitrova x3 = 0.3219215472 e |x3 − x2| = 0.3305282 · 10−4 < 10−4. M ≈ 0.1179331 (con gli scarti).

Soluzione (Es. 23) — x4 = 1.7492552541, M ≈ 0.173903409, |e4| ≤m

1−m|x4 − x3| = 2.65825 · 10−4

dove m = max|g′(x)| nell’intervallo assegnato (m = g′(1) = 0.2).

Soluzione (Es. 24) — x3 = −0.6505615019, M ≈ 0.3387787 (con la formula teorica).|g′1(x3)| = 1.851797362 > 1: lo schema non converge.|g′2(x3)| = 0.540015882 < 1: lo schema converge e M ≈ 0.540015882.

Soluzione (Es. 25) — x4 = 0.6690294241 con la Regula Falsi, x3 = 0.668948271 con Newton-Raphson. Per i fattori di convergenza, usando, ad esempio gli scarti, si ha M ≈ 0.67591877 per laRegula Falsi e M ≈ 0.4421346.

Soluzione (Es. 26) — x2 = −23.3832655, x3 = +∞.Applicando le bisezioni si ha x′0 = 0.75.Partendo da 0.75 Newton-Raphson dà x3 = 0.67031574. M ≈ 0.212388 (con gli scarti).

Soluzione (Es. 27) — Si ricava ξ = 4 punto fisso e M = 1: caso critico. Partendo da x0 = 3.5 si hax3 = 3.84765625, partendo da x0 = 5 si ha x3 = 46.

Con Newton-Raphson si ha M = 0.5 (la radice è doppia).Nella Regula Falsi, x3 = 4.20.Modificando il metodo di Newton-Raphson si ha x1 = x2 = x3 = 4.

Soluzione (Es. 28) — x3 = 0.5671389877 per Newton-Raphson e x3 = 0.5676828145 per la RegulaFalsi. Usando gli scarti si ha M ≈ 0.6650260 per Newton e M ≈ 0.7745482985 per la Regula Falsi.

Soluzione (Es. 29) — x3 = 0.99536560 M ≈ 0.20074357, |e3| <m

1−m|x3 − x2| = 7.75816517 · 10−3

dove m = max|g′(x)| = g′(0.55).

Soluzione (Es. 30) — x7 = 1.941176470588. Per trovare empiricamente l’ordine p si può applicare

la formula con i logaritmi sugli errori (la soluzione esatta è data) : p =log (e7/e6)

log (e6/e5)= 1.004723.

Quindi p = 1, da cui facendo il rapporto e7/e6 si trova il valore approssimato per M . M ≈ 0.617647.Si può vedere subito, comunque, visto che è nota la radice, che questa è una radice doppia e

quindi il metodo della Regula Falsi diventa a convergenza lineare (p = 1).

12

CA

PI

TO

LO

2ESERCIZI SU INTERPOLAZIONE E

APPROSSIMAZIONE

Es. 31 — (appello del 22 settembre 2015) Di una funzione incognita f(x) si conoscono le seguentiinformazioni:

xi 1 1.2 2 3f(xi) 2 1.8 3.6 4

1. Determinare il polinomio P (x) che interpola i dati assegnati mediante la tabella delledifferenze divise.

2. Calcolare la regressione lineare ai minimi quadrati che minimizza gli scarti verticali.3. Stimare il valore dell’integrale I =

∫ 3

1f(x)dx utilizzando la formula dei trapezi con tut-

ti i dati riportati in tabella. (punto da svolgere dopo aver studiato le formule diquadratura)

Es. 32 — (appello del 7 luglio 2015) Un punto materiale si muove lungo una traiettoria rettilineae percorre un certo spazio s in funzione del tempo t. Da un’opportuna stazione di misura, sononoti i seguenti valori:

t [s] 1 2 3s [m] 2.5 4.5 6.3

1. Sapendo anche la velocità s′(3) = 1.5m/s e l’accelerazione s′′(3) = 2.2m/s2, determinare s(t)mediante un’interpolazione polinomiale che rispetti tutti i dati disponibili.

2. Utilizzando solo i tre valori riportati in tabella, fornire una stima dell’accelerazione a delpunto materiale nel senso dei minimi quadrati, assumendo che il moto sia uniformementeaccelerato con velocità iniziale nulla (s = s0 + at2).

3. Sempre utilizzando solamente i tre valori riportati in tabella, calcolare una nuova stimadell’accelerazione a supponendo invece che il moto avvenga con velocità iniziale non nullama cominci nell’origine del riferimento spaziale (s = v0t+ at2).

4. Quale dei due modelli di moto (punti (2) e (3)) è più accurato? Perché?

Es. 33 — (appello del 4 settembre 2014) È data la seguente tabella di dati sperimentalixi 0 1 3 5f(xi) -0.6 4.1 35.7 136.9

13

2. ESERCIZI SU INTERPOLAZIONE E APPROSSIMAZIONE

1. Trovare la retta y = a0 + a1x di approssimazione ai minimi quadrati che minimizza gliscarti verticali.

2. Trovare il polinomio di terzo grado che interpola i dati assegnati.3. Trovare il polinomio di quarto grado che interpola i dati assegnati e inoltre f ′(5) = 196.

Es. 34 — (appello del 10 luglio 2014) È data la seguente tabella di dati sperimentalixi 1 4.41 6.76 9 11.56 13.69yi -4.1 -10.5 -13.2 -15.5 -17.4 -19.2

dove i valori yi approssimano il valore di una certa funzione f nei punti xi.1. Trovare la parabola di approssimazione ai minimi quadrati y = a + bx2 che minimizza gli

scarti verticali.2. Trovare la curva di approssimazione ai minimi quadrati y = c + d

√x che minimizza gli

scarti verticali.3. (punto da svolgere dopo aver studiato le formule di integrazione numerica) Calcolare il va-

lore approssimato di I =∫ 13.69

1f(x)dx impiegando la formula composta dei trapezi applicata

utilizzando tutti i valori della tabella.

Es. 35 — (appello del 18 settembre 2013) È data la seguente tabella di dati sperimentalixi 0 1 2 3 4 5 6yi 1 2.7 5.8 6.6 7.5 9.9 12.5

dove i valori yi approssimano il valore di una certa funzione f nei punti xi.1. Trovare la retta di approssimazione ai minimi quadrati y = a0 + a1x che minimizza gli

scarti verticali.2. Trovare la parabola di approssimazione ai minimi quadrati y = a + bx2 che minimizza gli

scarti verticali.3. Calcolare il valore approssimato di I =

∫ 6

0f(x)dx impiegando la formula di Cavalieri-

Simpson composta applicata su tutti i valori della tabella (vale a dire considerando le n = 3suddivisioni dell’intervallo [0, 6] individuate dalla tabella). (punto da svolgere dopo averstudiato le formule di quadratura)

Es. 36 — (appello del 3 settembre 2013)1. Trovare il polinomio di terzo grado che interpola i dati seguenti:

f(0) = 2, f ′(0) = −1.5, f”(0) = 10, f(1) = 3

2. Trovare il polinomio di quarto grado che interpola i dati precedenti e inoltre f ′(1) = 6; dareuna stima di f(0.3).

Es. 37 — (appello del 25 giugno 2013) Si vuole interpolare la funzione f(x) = ex cos(x)nell’intervallo I = [a, b] = [−6.3, 0] utilizzando punti di appoggio equispaziati.

1. Qual’è il grado minimo del polinomio interpolatore per avere un andamento qualita-tivamente simile alla funzione da interpolare (ad esempio, avere lo stesso numero dimassimi/minimi o lo stesso numero di zeri)?

2. Siano dati i seguenti punti di appoggio: x0 = −6.3, x1 = −4.2; x2 = −2.1 ; x3 = 0. Scriverela tabella delle differenze divise di Newton e il corrispondente polinomio di grado 3;

3. sapendo che nell’intervallo I si ha |F (x)| ≤ 20, si dia una stima dell’errore massimo che sicommette usando il polinomio interpolatore;

4. calcolare l’errore vero commesso nel punto x = −1.1.

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Es. 38 — (appello del 18 settembre 2012) Sia data la seguente tabella di dati sperimentali relativialla funzione f(x) = x− x ln (x).

xi 1 1.5 2 2.5 3f(xi) 1. 0.89180 0.61371 0.20927 -0.29584

1. G Usando i primi 4 punti della tabella si costruisca la tabella delle differenze divise.G Si calcoli il polinomio di Newton p3(x) che iterpola i primi quattro dati della tabellaG Si calcoli P3(3), l’errore E(3) = f(3) − p3(3) e una maggiorazione di |E(3)| mediante la

formula del resto di Lagrange.2. Trovare la retta y = a0 + a1x che approssima tutti i dati della tabella nel senso dei minimi

quadrati.3. (punto da svolgere dopo aver studiato le formule di integrazione numerica)G Calcolare il valore approssimato di I =

∫ 3

1f(x)dx impiegando la formula di Cavalieri-

Simpson composta su tutti i valori della tabella (n = 2).G Si dia una maggiorazione dell’errore commesso.G Sapendo che il valore vero dell’integrale è I = 1.0562, si calcoli l’errore “vero” commesso.

Si usino, dove necessario, 5 cifre significative.

Es. 39 — (appello del 10 luglio 2012) Sia data la tabella di dati sperimentali:xi -1 -0.6 0 0.6 1yi 1.194 0.430 0.052 0.422 1.034

1. Si calcoli la tabella delle differenze divise di Newton.2. Si determinino i coefficienti della retta di approssimazione y = a0 + a1x che minimizza gli

scarti verticali. Si calcoli la somma dei quadrati degli scarti e la si denoti con il simbolo S1.3. Si approssimino i dati utilizzando il modello y = β0 + β1x

2. Si determinino i coefficienti β0e β1 secondo i minimi quadrati, minimizzando gli scarti verticali. Si calcoli la somma deiquadrati degli scarti e la si denoti con il simbolo S2.

4. Dal confronto di S1 e S2, si dica quale dei due modelli approssima meglio i dati sperimentali.

Es. 40 — (appello del 15 settembre 2011) Dato α ∈ R, si consideri il seguente insieme di valoridella funzione f(x):

f(0) = 1 f ′(0) = α f(1) = −3 f(2) = 2

1. Costruire la tabella delle differenze divise e determinare α in modo che il grado minimo delpolinomio P (x) che interpola i dati assegnati sia 2; calcolare P (x).

2. Posto α = −4 e sapendo che f ′′(0) = 3, calcolare il polinomio Q(x) di grado non superiore a4 che interpola tutti i dati assegnati.

Es. 41 — (appello del 5 luglio 2011) Sia data la tabella seguente:

xi -1 0 1 2f(xi) -20.5 -2.5 -0.5 -20.5

1. Trovare la retta ai minimi quadrati che minimizza gli scarti orizzontali;2. facendo uso delle differenze divise trovare il polinomio di grado non superiore a 3 che

interpola i dati della tabella;3. trovare il polinomio di grado non superiore a 5 che interpola i dati della tabella e inoltre i

seguenti dati: f ′(2) = −39, f ′′(2) = −38.

15


Es. 42 — (primo compitino del 28 aprile 2011) Sia data la tabella seguente di dati sperimentalixi 0.4 1 2.5 3yi -2.932 -1 17.375 33

1. Dopo aver costruito la tabella delle differenze divise trovare il polinomio di terzo grado cheinterpola i dati assegnati.

2. Trovare la curva di approssimazione ai minimi quadrati y = b0 + b1√x che minimizza gli

scarti verticali.

Es. 43 — (appello del 2 settembre 2010) Data la seguente tabellaxi -2 -1 0 1yi -17 5.5 6 2.5

1. trovare il polinomio di grado non superiore a tre che interpola i dati riportati in tabella;2. trovare la retta di approssimazione y = ao+a1x che minimizza la somma dei quadrati degli

scarti verticali;3. trovare la curva y = bo + b1x

2 che minimizza la somma dei quadrati degli scarti verticali.

Es. 44 — (appello del 16 giugno 2010) Trovare il polinomio P3(x) di grado non superiore a tre cheinterpola i dati seguenti:

f(−2) = −1 f(−1) = 3 f ′(−1) = −3 f(1) = 5

e stimare f ′(−2) e f ′′(−1). Calcolare quindi il polinomio P4(x) di grado non superiore a 4 che, oltreai punti precedenti, interpola anche il valore f ′′(−1) = −8

Es. 45 — (appello del 18 settembre 2009) Sia data la tabella di dati sperimentali:xi yi

-1.0 0.503417-0.2 1.1526310.1 1.5323900.7 2.8204181.0 3.783668

1. Si determinino i coefficienti della retta di approssimazione y = α + βx che minimizza gliscarti verticali. In corrispondenza di tali valori calcolare la somma dei quadrati degli scartiiS1.

2. Si vogliono ora approssimare i dati con un modello non lineare y = aebx. Si determi-nino i coefficienti a e b secondo i minimi quadrati, minimizzando gli scarti verticali. Incorrispondenza di tali valori calcolare la somma dei quadrati degli scarti S2.

3. Si dica quale dei due modelli è più accurato confrontando i valori S1 e S2.

Es. 46 — (appello del 6 febbraio 2009) Sia data la tabella seguente di dati sperimentali:xi 1 2 3 4yi 0.5 2 4.5 8

1. determinare la retta di regressione ai minimi quadrati y = a0+a1x che minimizza gli scartiverticali;

2. determinare la funzione potenza y = axb (a>0) che approssima i dati; impiegando un’oppor-tuna trasformazione determinare i coefficienti a e b minimizzando gli scarti verticali con ilmetodo dei minimi quadrati.

Es. 47 — (appello del 18 giugno 2008) Sia data la tabella seguente di dati sperimentali:xi -0.5 1 5.5 13yi 0 1 2 3

16

1. Trovare la retta di approssimazione ai minimi quadrati x = b0+b1y che minimizza gli scartiorizzontali.

2. Trovare la parabola di approssimazione ai minimi quadrati x = a + by2 che minimizza gliscarti orizzontali.

3. Calcolare il valore approssimato di I =∫ 13

−0.5 f(x)dx impiegando la formula dei trapezi ap-plicata a ciascuno dei tre sottointervalli. (Punto dell’esercizio da risolvere dopo averstudiato le formule di quadratura.)

Es. 48 — (appello del 30 agosto 2007)

1. Trovare il polinomio P3(x) di grado non superiore a tre che interpola i dati seguenti: f(−1) =−15, f(0) = −3, f(1) = 1, f(2) = 15.

2. Trovare il polinomio P4(x) di grado non superiore a quattro che interpola gli stessi dati delpunto (1) e inoltre interpola il dato seguente: f ′(2) = 37.

Es. 49 — (appello del 4 luglio 2007) Sia data la tabella seguentexi -0.5 0 0.5 1.5 3f(xi) -2.9375 -3 0.5625 35.0625 414

1. Scrivere la tabella delle differenze divise2. Trovare il polinomio di grado non superiore a quattro che interpola i dati assegnati; stimare

f(1.2) e f ′(1.2).3. Trovare la retta ai minimi quadrati y = a0 + a1x che minimizza gli scarti verticali.

Es. 50 — (appello del 13 dicembre 2006) Sia data la tabella di dati sperimentalixi 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5yi 0.597367 0.723130 1.23040 2.04979 3.14852

1. Si ricavino le rette ai minimi quadrati che minimizzano gli scarti verticali e quelliorizzontali.

2. Si dica quale delle due rette è più adatta ad approssimare i punti.

Es. 51 — (appello del 7 luglio 2006) Sia data la tabella seguentexi 1 3 4 5yi 6 30 67.5 130

1. Scrivere la tabella delle differenze divise2. Trovare il polinomio di grado non superiore a tre che interpola i dati assegnati3. Trovare le due rette ai minimi quadrati y = a0 + a1x, x = b0 + b1y, ottenute minimizzando

gli scarti verticali e orizzontali, rispettivamente.

Es. 52 — (appello del 31 agosto 2005) Trovare il polinomio di grado non superiore a 4 cheinterpola i dati seguenti:

f(0) = 4, f ′(0) = 7, f ′′(0) = 16, f(1) = 27, f ′(1) = 52

Stimare f(0.5) e f ′(0.5).

Es. 53 — (appello del 22 giugno 2005) Sia data la tabella seguente di dati sperimentalixi 1 3 5 7 10yi 0.25 0.35 0.42 0.51 0.63

Trovare le due rette ai minimi quadrati y = a0+a1x, x = b0+ b1y ottenute minimizzando gli scartiverticali e orizzontali, rispettivamente. Trovare il punto di intersezione delle due rette.

17


Es. 54 — (appello del 30 giugno 2004) Sia data la tabella seguentexi 0 1 2 3f(xi) 4 2 2 16

1. Scrivere la tabella delle differenze divise.2. Trovare il polinomio interpolatore (di Newton) di grado non superiore a 3.3. Trovare la retta ai minimi quadrati che minimizza la somma dei quadrati degli scarti

verticali.

Es. 55 — (appello del 22 settembre 2004) Siano dati i seguenti valori relativi alla funzione f(x) =√x:

f(1/4) = 1/2, f(1/9) = 1/3, f(4/9) = 2/3

1. Si costruisca la tabella delle differenze divise di Newton.2. Si determini il polinomio P2(x) di grado 2 che interpola tali valori.3. Si approssimi il valore di f(0.2).4. (Facoltativo) Si dia una stima dell’errore massimo che si può commettere utilizzando P2(x)

al posto di f(x) nell’intervallo [1/9, 4/9].

Es. 56 — (appello del 23 settembre 2003) Trovare il polinomio P (x) di grado non superiore a 3che interpola i dati seguenti:

f(0) = 4, f ′(0) = 7, f(1) = 8, f(2) = 18

. Stimare f(0.5) e f ′(0.5).

Es. 57 — (appello dell’1 luglio 2003) Sia data la tabella seguente:xi 1 2 4 8f(xi) 2 1 29 205

1. Scrivere la tabella delle differenze divise.2. Usando i 4 punti in successione, scrivere i polinomi interpolanti (di Newton) Pn(x) di grado

non superiore a n (n = 0, 1, 2, 3); commentare il risultato.3. Usando Pn(x) stimare f(1.6) e f ′(1.6).4. Scrivere il polinomio P2(x) con la formula di Lagrange.

Es. 58 — (appello del 15 luglio 2003) Sia data la tabella seguente:xi 1 2 5 6 8f(xi) 0.2 0.8 1.4 1.9 2.3

Scrivere le equazioni delle due rette ai minimi quadrati, che minimizzano rispettivamente gliscarti verticali e orizzontali; trovare il loro punto di intersezione e dire di che punto si tratta.

18


Soluzione (Es. 31) — Si trova P (x) = 2−(x−1)+3.25(x−1)(x−1.2)−2.1388888(x−1)(x−1.2)(x−2).La retta di regressione è y = 0.7887097 + 1.14516129x. Invece la formula dei trapezi (che vaapplicata sulle suddivisioni non uniformi [1, 1.2], [1.2, 2], [2, 3] dà come risultato I ≈ 6.34.

Soluzione (Es. 32) — Il polinomio di interpolazione è s(t) = 0.75t4 − 6.85t3 + 22.25t2 − 28.05t +14.4. Con la posizione T = t2 e con la procedura ai minimi quadrati si trova s(t) = 2.2714285 +0.46326531t2.

Per trovare il secondo modello riconducendosi ai minimi quadrati, basta dividere per t la re-lazione s = v0t + at2 ottenendo s/t = v0 + at e si pone Y = s/t. Si ricavano v0 = 2.6833333 ea = −0.2.

Considerando la somma dei quadrati degli scarti (S = (s(1)−s1)2+(s(2)−s2)2+(s(3)−s3)2) peri due modelli ottenuti, si trovano i valori 0.21591836 e 0.007222 rispettivamente. Quindi il secondomodello è il più accurato in quanto dà lo scarto inferiore.

Soluzione (Es. 33) — Si ricava la retta y = −16.9118864 + 27.08305035x. I polinomi sono p3(x) =x3 − 0.3x2 + 4x− 0.6 e p4(x) = 3x4 − 26x3 + 68.7x2 − 41x− 0.6.

Soluzione (Es. 34) — Con la trasformazione X = x2 e applicando il procedimento per la retta aiminimi quadrati y = a+ bX si trova y = −7.9387606365641− 0.0689187381606X da cui, ritornandoalla variabile x, si ha y = −7.9387606365641− 0.0689187381606x2.

Nel secondo punto, con lo stesso ragionamento, ponendo X =√x si ricava y = 1.3271468144 −

5.56094182825√x.

Per la formula dei trapezi, si applica la formula semplice su ciascuna suddivisione (in quantole ampiezze non sono uguali tra loro), e poi si sommano tutti i contributi, ricavando quindi IT =−165.9755.

Soluzione (Es. 35) — Primo punto: y = 1.15 + 1.80714286x, Secondo punto: y = 2.942857 +0.279120879x2, Terzo punto: ICV = 38.9666667.

Soluzione (Es. 36) — p3(x) = 2− 1.5x+ 5x2 − 2.5x3, p4(x) = p3(x) + 5x3(x− 1), f(0.3) ≈ p4(0.3) =1.838.

Soluzione (Es. 37) — Se vediamo i punti critici della funzione, il grado minimo è 3. Se vedia-mo solo gli zeri della funzione, il grado può essere anche 2. Considerando anche l’andamentosinusoidale della funzione il grado minimo è 3.

Il polinomio è p(x) = 1.83605 · 10−3 − 4.37514 · 10−3(x+6.3)− 5.1340310 · 10−3(x+6.3)(x+4.2) +2.09044 · 10−2(x+ 6.3)(x+ 4.2)(x+ 2.1)

Per l’errore si consideri il fatto che F (x) =∏(x−xi) quindi calcolare la maggiorazione dell’erro-

re si semplifica |E| ≤ max|f (IV )‘(x)F (x)/4!|. Sappiamo già come maggiorare F (x). Per la derivataquarta in valore assoluto, si trova che il valore massimo si ha per x = 0. da cui |E| ≤ 3.3333333.

L’errore vero in −1.1 risulta |f(−1.1)− p(−1.1)| = 0.082314.

Soluzione (Es. 38) — p3(x) = 0.0580533x3 − 0.60101985x2 + 1.01039645x+ 0.5325701E3(3) = −1.78599 · 10−2.

19


Applicando la formula del resto di Lagrange, per maggiorare, occorre trovare il massimo delladerivata quarta di f (in valore assoluto). Si trova che tale massimo vale 2, da cui la maggiorazionedell’errore vale 0.125.

y = 1.793472− 0.654842xICS = 1.05560; |ECS | ≤ 1.3888 · 10−3.Evero = 2 · 10−4.

Soluzione (Es. 39) — Primo punto: y = 0.6264− 0.060588235x; S1 = 0.8886102588.Secondo punto:y = 0.046535 + 1.06592775x2; S2 = 0.01290304. Dal confronto il modello che

meglio approssima i dati sperimentali è quello che cui la somma dei quadrati degli scarti è ilvalore più basso, quindi il secondo modello.

Soluzione (Es. 40) — α = −8.5. P (x) = 1− 8.5x+4.5x2. Q(x) = 1− 4x+1.5x2− 3.375x3+1.875x4.

Soluzione (Es. 41) — x = 0.53030303 + 0.275482094 · 10−2yp3(x) = −x3 − 8x2 + 11x− 2.5p5(x) = x5 − 5x4 + 4x3 − 3x2 + 5x− 2.5.

Soluzione (Es. 42) — p3(x) = 2x3 − 3.5x2 + 5x− 4.5.y = −26.739026737 + 31.017005915

√x.

Soluzione (Es. 43) — Primo punto: p3(x) = 3x3 − 2x2 − 4.5x + 6. Secondo punto: y = 2.2 + 5.9x.Terzo punto: y = 8.5− 6.1666667x2.

Soluzione (Es. 44) — p3(x) = 3x3 + 5x2 − 2x− 1, p4(x) = p3(x).

Soluzione (Es. 45) — Primo punto: y = 1.763911 + 1.621618x; S1 = 0.5324373. Secondo punto:y = 1.3897092299e1.00774276x; S2 = 9.00462 · 10−4. Il modello più accurato è quello per cui la sommadei quadrati degli scarti presenta il valore più basso. In questo caso, il secondo modello.

Soluzione (Es. 46) — Primo punto: y = −2.5 + 2.5x; secondo punto: y = 0.5x2.

Soluzione (Es. 47) — Primo punto: x = −2+4.5y. Secondo punto: x = −0.5+1.5y2. Terzo punto:IT = 26.25.

Soluzione (Es. 48) — p3(x) = 3x3 − 4x2 + 5x− 3, p4(x) = 2x4 − x3 − 6x2 + 9x− 3.

Soluzione (Es. 49) — p4(x) = 5x4 − 2x3 + 6x2 + 4x− 3; y = −16.1095779 + 116.4967532x.

Soluzione (Es. 50) — y = −0.3788484 + 1.2857932x, x = 0.3951459 + 0.7145798334y. Per la primaretta, la somma dei quadrati degli scarti vale 0.3652635154, per la seconda 0.202995273, quindi laseconda approssima meglio i dati.

20

Soluzione (Es. 51) — p3(x) = x3 + 0.5x2 − 3x + 7.5, y = −37.1285714 + 29.3857143x, x =1.536897144 + 2.93465157 · 10−2y.

Soluzione (Es. 52) — p4(x) = 5x4 + 3x3 + 8x2 + 7x+ 4. f ′(0.5) ≈ p′4(0.5) = 19.75.

Soluzione (Es. 53) — y = 0.2148360656 + 0.4176229508 · 10−1x, x = −5.123827392 + 2389774859y.L’intersezione delle due rette dà il punto di coordinate (5.2, 0.432), vale a dire il baricentro deipunti.

Soluzione (Es. 54) — p3(x) = 2x3 − 5x2 + x+ 4, y = 0.6 + 3.6x.

Soluzione (Es. 55) — P2(x) = −1.028571x2 + 1.571428571x+ 0.1714285714.f(0.2) ≈ p(0.2) = 0.4445714.Per la stima dell’errore massimo nell’intervallo assegnato si vede che |f ′′′(x)| = f ′′′(1/9) =

91.125.Per maggiorare il prodotto

∏(x−xi) la cosa più semplice è maggiorare ciascuno fattore (x−xi)

con l’ampiezza dell’intervallo (che vale 1/3), da cui |Err| ≤ 91.125(1/3)3/3! = 0.79459513.

Soluzione (Es. 56) — P (x) = 3x3 − 6x2 + 7x+ 4, f(0.5) ≈ P (0.5) = 6.375, f ′(0.5) ≈ P ′(0.5) = 3.25.

Soluzione (Es. 57) — P0(x) = 2, P1(x) = 3− x, P2(x) = 5x2 − 16x+ 13, P3(x) = P2(x).Per stimare f(1.6), abbiamo P0(1.6) = 2, P1(1.6) = 1.4, P2(1.6) = 0.2.Per f ′(1, 6), P ′0(1.6) = 0, P ′1(1.6) = −1, P ′2(1.6) = 0.Con i polinomi di Lagrange, si deve arrivare allo stesso polinomio P2 già ricavato (fare i conti,

naturalmente).

Soluzione (Es. 58) — y = 0.287951807 + 0.053012048x, x = −0.062234794 + 3.380480905y. Il puntodi intersezione è il baricentro dei dati e ha coordinate (4.4, 1.32).

21

CA

PI

TO

LO

3ESERCIZI SU METODI DIRETTI PER SISTEMI

LINEARI

Es. 59 — (appello del 18 febbraio 2016) È data la matrice:

A =

25 −2.5 2.5−2.5 16.25 4.552.5 4.55 10.69

1. Dopo aver provato che A é definita positiva, fattorizzarla secondo Cholesky.2. Utilizzare la fattorizzazione trovata per calcolare il determinante di A−1 e per risolvere il

sistema lineare Ax = b, con b = (−95, 81.5, 57.1)T .

Es. 60 — (appello del 7 luglio 2015) È data la matrice

A =

36 −15 18−15 31.25 2.518 2.5 294

1. dopo aver provato che A è simmetrica e definita positiva fattorizzarla secondo Cholesky

A = LLT ;

2. servendosi della fattorizzazione trovata, calcolare il determinante di A−2 e risolvere ilsistema lineare Ax = b, con b = (228,−115, 154)T .


A =

1.96 −1.12 −0.28−1.12 2.89 −0.44−0.28 −0.44 0.84

1. dopo aver provato che A è simmetrica e definita positiva fattorizzarla secondo Cholesky

A = LLT ;

2. servendosi della fattorizzazione trovata, risolvere il sistema lineare Ax = b, con b =(−15.4, 19.6,−2.6)T ;

23

3. ESERCIZI SU METODI DIRETTI PER SISTEMI LINEARI

3. (Punto da eseguire dopo aver studiato i metodi iterativi per sistemi lineari ) dopo aver pro-vato che il metodo di Jacobi converge eseguire due iterazioni col metodo di Jacobi partendodal vettore iniziale x0 = (0, 0, 0)T ;

Es. 62 — (appello dell’11 febbraio 2014) Data la matrice seguente:

A =

4 0 −20 16 12−2 12 γ

determinare γ in modo tale che la somma degli autovalori di A sia uguale a 94. Dopo aver provatoche la matrice è simmetrica e definita positiva, fattorizzarla secondo CholeskyA = LLT .Utilizzarela fattorizzazione trovata per calcolare il determinante di A−2 e per risolvere il sistema lineareAx = b ove b = (−14, 36,−30)T .


A =

16 −4 −8−4 26 9.5−8 9.5 42.25

1. Dopo aver provato che A è simmetrica definita positiva, fattorizzare A secondo Cholesky,

sfruttare la fattorizzazione trovata per calcolare il determinante di A−2.2. Risolvere con il metodo di Seidel il sistema Ax = b dove b = (36,−19, 51)T : partendo da

x0 = (1, 1, 1)T eseguire tre iterazioni con il metodo di Seidel.(Punto da risolvere dopoaver studiato i metodi iterativi per sistemi lineari.

Es. 64 — (appello del 4 settembre 2012) Data la matrice simmetrica A

A =

16 8 28 29 12 1 9.25

dopo aver provato che A è definita positiva, fattorizzarla secondo Cholesky (A = LLT ). Impiegarela fattorizzazione trovata per calcolare il determinante di A−3 e per risolvere il sistema lineareAx = b dove: b = (66, 83, 17.25)T .

Es. 65 — (appello del 15 febbraio 2012) È dato il sistema lineare Ax = b dove

A =

1 3 −10 −1 −2−2 −5 6

b =

−2−311

1. Calcolare la traccia di ATA.2. Determinare la fattorizzazione LU della matriceA secondo Crout (U con diagonale unitaria)

e calcolare il valore del determinante di A−3.3. Calcolare la soluzione x mediante sostituzioni in avanti e all’indietro.

Es. 66 — (appello del 5 luglio 2011) Data la matrice seguente:

A =

16 −8 −6−8 29 13−6 13 42.25

24

1. Dopo aver provato che A è simmetrica e definita positiva, fattorizzarla secondo Cholesky:A = LLT

2. impiegare la fattorizzazione per calcolare det(A−1) e risolvere il sistema lineare Ax = b conb = (−4, 97, 111.5)T ;

3. dopo aver provato che lo schema iterativo di Jacobi converge, eseguire due iterazioni contale schema, partendo da x0 = (0, 0, 0)T . Questo punto è da svolgere dopo aver studiato imetodi iterativi per sistemi lineari.

Es. 67 — (appello del 16 febbraio 2011) Data la matrice seguente:

A =

20.25 6.75 11.256.75 27.25 13.7511.25 13.75 26.25

1. provare che la matrice A è simmetrica definita positiva;2. determinare la fattorizzazione di Cholesky di A = LLT .

3. impiegare la fattorizzazione trovata per calcolare det(A−1) e per risolvere il sistema lineareAx = b ove b = (24.75, 123.25, 123.75)T .

Es. 68 — (appello del 7 luglio 2010) È dato il sistema lineare Ax = b dove:

A =

25 −12.5 −7.5−12.5 42.25 0.75−7.5 0.75 11.5

b =

−12.563.2544

1. Provare che la matrice A è simmetrica definita positiva.2. Fattorizzare la matrice A secondo Cholesky: A = LLT .3. Usare la fattorizzazione trovata per risolvere il sistema Ax = b e per calcolare det(A−2).

Es. 69 — (appello del 2 luglio 2009) Si consideri il fattore triangolare basso di Cholesky L:

L =

α 0 0−1 2 00 −1 3

della matrice simmetrica e definita positiva A = LLT .

1. Calcolare α in modo tale che det(A3) = 34012224.2. Con il valore di α del punto precedente, risolvere mediante sostituzioni in avanti e

all’indietro il sistema lineare Ax = b con b = (12,−14, 32)T .3. Dopo aver verificato che A è biciclica e coerentemente ordinata, calcolare il fattore ottimo di

sovrarilassamento ωopt e stimare il numero di iterazioni con il metodo SOR e ωopt necessarieper abbattere l’errore di 10 ordini di grandezza. (Punto dell’esercizio da risolvere dopoaver studiato i metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari).

Es. 70 — (primo compitino del 14 maggio 2008) Data la matrice

A =

5 0 00 6 30 1 4

25


1. calcolare |A|∞ (norma massima per righe), |A|1 (norma massima per colonne), e N(A)(norma euclidea);

2. senza calcolare A−1 determinare le seguenti tracce: Tr(A−1) e Tr(A−5);3. fattorizzare la matrice A nel prodotto LU (diag(U) = I, Crout);4. utilizzando la fattorizzazione calcolare il determinate di A−3.

Es. 71 — (appello del 30 agosto 2007) Data la matrice simmetrica

A =

16 −8 4−8 68 −24 −2 26

1. provare che la matrice A è definita positiva;2. fattorizzare la matrice secondo Cholesky: A = LLT ;3. usare la fattorizzazione trovata per calcolare det(A−1) e quindi per risolvere il sistema

lineare Ax = b con b = (8, 124, 52)T .

Es. 72 — (appello 20 giugno 2007) Data la matrice

A =

16 4 −64 26 −14−6 −14 44.5

trovare il fattore triangolare inferiore di Cholesky; utilizzarlo per calcolare det(A−1) e per risolvereil sistema lineare Ax = b ove b = (22, 18, 93.5)T .

Es. 73 — (primo compitino 23 maggio 2007) Data la matrice

A =

5 0 20 1 −1−2 1 8

1. calcolare norma massima per righe, norma massima per colonne e norma euclidea;2. fattorizzare la matrice A nel prodotto LU (diag(U) = I, Crout);3. utilizzando la fattorizzazione trovata, risolvere il sistema lineare Ax = b con b =

(31,−1, 16)T , calcolare quindi il determinante di A−2.

Es. 74 — (appello del 7 luglio 2006) Dato il sistema lineare Ax = b dove:

A =

25 −10 10−10 40 −2210 −22 38

b =

−90162−124

determinare la fattorizzazione di Cholesky di A = LLT . Sfruttare la fattorizzazione per calcolaredet(A−1) e per risolvere il sistema lineare assegnato.

Es. 75 — (appello 23 giugno 2006) Data la matrice

A =

5 −20 10−4 19 72 −2 36

fattorizzare la matrice A secondo Crout: A = LU (uii = 1); usando i fattori L e U , calcolaredet(A−3) e risolvere il sistema lineare Ax = b ove b = (−50, 79, 62)T .

26

Es. 76 — (primo compitino del 24 maggio 2006) Data la matrice

A =

25 7.5 2.57.5 22.5 122.5 12 15.5

1. calcolare |A|∞ (norma massima per righe), |A|1 (norma massima per colonne), e N(A)

(norma euclidea);2. dopo aver provato che A è definita positiva, fattorizzare la matrice secondo Cholesky: A =

LLT (prendendo i valori positivi delle radici);3. utilizzando la fattorizzazione trovata, risolvere il sistema lineare Ax = b con b =

(95, 91.5, 62.5)T , calcolare quindi il determinante di A−1.

Es. 77 — (appello del 30 giugno 2004) È data la matrice

A =

25 −5 10−5 65 −2610 −26 94

1. Dopo aver provato che A è definita positiva, fattorizzare la matrice secondo Cholesky: A =

LLT (prendendo i valori positivi delle radici).2. Usare la fattorizzazione per calcolare det(A−2) e per risolvere il sistema lineare Ax = b con

b = (30, 138, 120)T .

Es. 78 — (primo compitino del 23 aprile 2002) Data la matrice

A =

24− δ 8 48 4δ + 21 374 37 90

con δ parametro reale

1. determinare δ in modo che Tr(A) = 159;2. verificare che A è definita positiva;3. fattorizzare secondo Cholesky A = LLT (prendendo i valori positivi delle radici);4. usare la fattorizzazione per calcolare det(A−2);5. usare la fattorizzazione per risolvere il sistema lineare Ax = b con b = (68, 167, 176)T .

Es. 79 — (appello del 12 settembre 2001) Data la matrice

A =

4 2 82 10 198 19 45

verificare che A è definita positiva e trovare il suo fattore triangolare basso di Cholesky L(prendendo i valori positivi delle radici). Utilizzarlo per

1. calcolare il determinante di A−1

2. risolvere il sistema lineare Ax = b con b = (6,−6,−3)T .

27



Soluzione (Es. 59) — La matrice L =

5 0 0−0.5 4 00.5 1.2 3

. Il determinante della matrice A−1 vale

0.7777777× 10−7. Con le sostituzioni in avanti e all’indietro si trova il vettore y = (−19, 18, 15)T eil vettore x = (−4, 3, 5)T .


6 0 0−2.5 5 03 2 4

. Il determinante della matrice A−2 vale

4.8225309× 10−9. Con le sostituzioni in avanti e all’indietro si trova il vettore y = (38,−4, 12)T e ilvettore x = (4,−2, 3)T .


1.4 0 0−0.8 1.5 0−0.2 −0.4 0.8

. Con le sostituzioni in avanti e all’in-

dietro si trova il vettore y = (−11, 7.2,−2.4)T e il vettore x = (−6, 4,−3)T . Con il metodo di Jacobi,alla seconda iterazione si ricava il vettore x(2) = (−4.423887202, 3.26577689,−2.161805899)T .

Soluzione (Es. 62) — 4 + 16 + γ = tr(A) =∑λi = 94 da cui γ = 74.

La matrice L =

2 0 00 4 0−1 3 8

. det (A−2) = 5.9695 · 10−8 (scritto in funzione del determinante di

L). Si risolvono due sottosistemi e si ricava x = (−4, 3,−1)T .

Soluzione (Es. 63) — Si trova L =

4 0 0−1 5 0−2 1.5 6

. det (A−2) = 4.82253 · 10−9 (a partire dal

determinante di L).Con il metodo di Seidel si ha, alla terza iterazione, x(3) = (3.009953,−0.9988449, 2.001625)T .


4 0 02 5 00.5 0 3

. Usando il determinante di L si trova

det (A−3) = 2.143347 · 10−11.Si risolvono due sottosistemi (con gli algoritmi di sostituzione all’indietro e in avanti) per

arrivare al vettore x = (3, 2, 1)T .

Soluzione (Es. 65) — Si ricavano L =

1 0 00 −1 0−2 1 2

e U =

1 3 −10 1 20 0 1

.

Si trova det (A−3) = −0.125. Infine x = (3,−1, 2)T .

28


4 0 0−2 5 0−1.5 2 6

.

Quindi, usando il determinante di L si ricava det (A−1) = 0.694444 · 10−4.Con le sostituzioni all’indietro e in avanti si ha x = (2, 3, 2)T .Applicando il metodo di Jacobi, il vettore che approssima la soluzione alla seconda iterazione

è x(2) = (2.412058764, 2.0928381963, 1.5743725770)T .

Soluzione (Es. 67) — Si ha L =

4.5 0 01.5 5 02.5 2 4

. Usando la L, si ricava det (A−1) = 0.123456 · 10−3.

Con le sostituzioni all’indietro e in avanti, si trova x = (−2, 3, 4)T .

Soluzione (Es. 68) — Per L si ha L =

5 0 0−2.5 6 0−1.5 −0.5 3

Risolvendo il sistema, per sostituzioni in avanti e all’idietro, si ha x = (2, 2, 5)T , mentre,

sfruttando il determinante di L, si ha det (A−2) = 1.524157 · 10−8.

Soluzione (Es. 69) — α = 3, x = (1,−1, 3)T , ωopt = 1.08194187, numero di iterazioni maggiori ouguali a 10.

Soluzione (Es. 70) — |A|∞ = 9, |A|1 = 7, N(A) = 9.327379053. Si calcolano gli autovalori di Aconsiderando che gli autovalori della matrice A−i sono gli autovalori di A elevati a −i, e si sfruttala relazione per cui Tr(A) =

∑λi dove λi sono gli autovalori di A. Perciò Tr(A−1) = 0.67619047,

Tr(A−5) = 4.494725356 · 10−3,

L =

5 0 00 6 00 1 7/2

, U =

1 0 00 1 1/20 0 1

,

det (A−3) = 8.63837598 · 10−7.

Soluzione (Es. 71) — L =

4 0 0−2 8 01 0 5

,

det (A−1) = 3.90625 · 10−5. Con le sostituzioni all’indietro e in avanti si ha x = (1, 2, 2)T .


4 0 01 5 0−1.5 −2.5 6

, det (A−1) = 6.944444 · 10−5. Con le sostituzioni

all’indietro e in avanti si ha x = (2, 2, 3)T .

Soluzione (Es. 73) — |A|∞ = 11, |A|1 = 11, N(A) = 10.

L =

5 0 00 1 0−2 1 9.8

, U =

1 0 0.40 1 −10 0 1



29



5 0 0−2 6 02 −3 5


all’indietro e in avanti si ha x = (−2, 3,−1)T .


5 0 0−4 3 02 6 2

, U =

1 −4 20 1 50 0 1

, det (A−3) = 3.70370370 · 10−5. Con le

sostituzioni all’indietro e in avanti si ha x = (−2, 3, 2)T .

Soluzione (Es. 76) — |A|∞ = 42, |A|1 = 42, N(A) = 42.243343.

L =

5 0 01.5 4.5 00.5 2.5 3

, det (A−1) = 2.19478 · 10−4. Con le sostituzioni all’indietro e in avanti si ha

x = (3, 2, 2)T .


5 0 0−1 8 02 −3 9



Soluzione (Es. 78) — δ = 8, L =

4 0 02 7 01 5 8




2 0 01 3 04 5 2

, det (A−1) = 6.944444 ·10−3. Con le sostituzioni all’indietro

e in avanti si ha x = (2,−1, 0)T .

30

CA

PI

TO

LO

4ESERCIZI SU METODI ITERATIVI PER SISTEMI

LINEARI

Es. 80 — (appello del 4 settembreo 2015) È data la matrice

A =

4 2 02 5 δ0 δ5 8

1. determinare il numero reale positivo δ in modo tale che il raggio spettrale della matrice di

iterazione di Seidel sia ρS = 17/40.2. Per tale valore di δ si vuole risolvere il sistema lineare Ax = b; partendo dal vettore iniziale

x0 = (1, 0, 1)T eseguire tre iterazioni con il metodo di Seidel.

Es. 81 — (appello del 12 febbraio 2015) È dato il sistema lineare Ax = b

A =

16 2 −102 20.5 5.5−10 5.5 33.5

b =

26−3.531.5

1. Provare che il metodo di Seidel converge.2. Eseguire tre iterazioni col metodo di Seidel partendo dal vettore iniziale x0 = (1, 0, 1)T .

3. Si provi che la matrice A è fattorizzabile secondo Cholesky (non è richiesto il calcolo delladecomposta).

Es. 82 — (appello del 19 settembre 2014) È data la matrice3γ + 10 −3 02 γ + 3 40 −1 2γ − 6

con γ parametro reale.

1. Determinare γ in modo che tr(A) = 37.

31

4. ESERCIZI SU METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI

2. Con il valore di γ ricavato si giustifichi, senza calcolare le matrici di iterazione, la conver-genza dei metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel per la soluzione di sistemi lineari Ax = b.

3. Ponendo b = (10, 70, 23)T e partendo dal vettore iniziale x0 = (0, 0, 0)T , si calcolino dueiterazioni del metodo di Jacobi e due iterazioni del metodo di Gauss-Seidel.

Es. 83 — (appello del 18 giugno 2014) È dato il sistema lineare Ax = b

A =

8 2 32 4 03 0 5

b =

48235

1. Provare che il metodo di Seidel converge; senza calcolare la matrice di iterazione di Seidel

calcolare la sua velocità di convergenza.2. Dire se il metodo SOR converge e calcolare la velocità di convergenza del metodo SOR con

parametro ω ottimale.3. Eseguire tre iterazioni col metodo di Seidel partendo dal vettore iniziale x0 = (0, 0, 0)T .

Es. 84 — (appello del 3 settembre 2013) È dato il sistema lineare Ax = b ove:

A =

5 −1 2−1 10 −52 −5 8

e b = (26,−34, 34)T . Dopo aver provato che i metodi iterativi di Jacobi e di Seidel convergono,eseguire prima due iterazioni col metodo di Jacobi e poi tre iterazioni col metodo di Seidel partendoin entrambi i casi col vettore iniziale x0 = (0, 0, 0)T , dare inoltre una stima del raggio spettraledella matrice di iterazione di Seidel.

Es. 85 — (appello del 25 giugno 2013) Si vuole risolvere il sistema lineare Ax = b, dove:

A =

4 −2 0 0−1 4 −1 00 0 4 −10 0 0 3

b =

2233

1. Verificare la convergenza del metodo di Seidel;2. in caso di convergenza, effettuare 3 iterazioni con tale metodo a partire dal vettore inziale

x0 nullo;3. assumendoA biciclica e coerentemente ordinata, dire se il metodo SOR converge, e calcolare

il valore della velocità di convergenza del metodo SOR con parametro ω ottimale.

Es. 86 — (appello del 10 luglio 2012) Sia α un numero reale positivo e sia dato il sistema lineareAx = b dove:

A =

2 0 50 4 15 1 α

b =

181491

1. Senza calcolare la matrice di iterazione di Seidel determinare α in modo tale che il suo

raggio spettrale sia uguale a 3/8; trovare il fattore ωopt di rilassamento e la corrispondentevelocità asintotica di convergenza.

2. Partendo dal vettore iniziale x0 = (1, 1, 1)T , calcolare x1, x2, x3 con lo schema di Seidel.(esprimere i risultati in virgola fissa con almeno 7 cifre decimali ove presenti)

32

Es. 87 — (appello del 26 giugno 2012) Si consideri la seguente matrice dipendente da unparametro reale γ > −1 :

A =

4 −2 0−2 3 γ0 2 2

1. Si dica per quali valori di γ il metodo di Jacobi converge.2. Si consideri ora γ = 0. Per tale valore di γ si stimi il numero di iterazioni necessario per

ridurre l’errore iniziale di un fattore 10−10 con il metodo di Jacobi.3. Sempre considerando γ = 0, si vuole risolvere il sistema lineare Ax = b, dove b = (0, 4, 10)T

mediante il metodo di Gauss-Seidel. Si giustifichi che tale metodo converge e, partendo dalvettore iniziale x(0) = (0, 0, 0)T , calcolare x(1),x(2),x(3).

Es. 88 — (appello del 15 settembre 2011) È dato il sistema lineare Ax = b dove

A =

15 0 30 9 −23 −6 4

b =

4834−11

1. Senza calcolare la relativa matrice di iterazione, provare che lo schema di Seidel converge

e trovarne la velocità asintotica di convergenza.2. Partendo dal vettore iniziale x0 = (0, 0, 0)T , calcolare le prime tre iterazioni dello schema di

Seidel.(Riportare i risultati utilizzando almeno 7 cifre decimali )

Es. 89 — (appello del 21 giugno 2011) Dato il sistema lineare Ax = b dove:

A =

5 −4 2−4 10 02 0 4

b =

51810

provare che lo schema di Seidel converge e trovarne la velocità asintotica di convergenza senzacalcolare la relativa matrice di iterazione. Partendo dal vettore iniziale x0 = (1, 1, 1)T , calcolarex1, x2, x3 con il metodo di Seidel e stimare il fattore di convergenza (raggio spettrale della matricedi iterazione) impiegando la norma euclidea degli scarti.

Es. 90 — (appello del 2 settembre 2010) Dato il sistema lineare Ax = b dove:

A =

2 −4 0−4 12 10 1 5

b =

8−189

senza calcolare la matrice di iterazione provare che lo schema di Seidel converge e trovarne lavelocità asintotica di convergenza. Prendendo x0 = (1, 1, 1)T , calcolare le approssimazioni x1, x2 ex3 ottenute con il metodo di Seidel.


A =

−4 0 70 5 21 4 −3

b =

372

provare che gli schemi di Jacobi e di Seidel convergono e trovare le corrispondenti velocità asin-totiche di convergenza. Prendendo x0 = (0, 0, 0)T , calcolare le approssimazioni x1 e x2 ottenuteprima col metodo di Jacobi e poi con quello di Seidel.

33



A =

25 −5 0−5 20 −120 −12 40

b =

20328

1. senza calcolare la relativa matrice di iterazione provare che lo schema di Seidel converge;2. partendo dal vettore iniziale x0 = (0, 0, 0)T , calcolare x1,x2,x3 con lo schema di Seidel;3. notando che la soluzione vera è il vettore x = (1, 1, 1)T , si usi la norma massima dell’errore

per dare una stima numerica dell’autovalore massimo della matrice di iterazione di Seidele determinare il valore di ωopt


A =

40 −15 −11.5−10 25 8−6 8 20

b =

13.52322

senza calcolare la relativa matrice di iterazione provare che lo schema di Seidel converge; partendodal vettore iniziale x0 = (0, 0, 0)T calcolare x1,x2,x3 con lo schema di Seidel.

Es. 94 — (appello del 6 febbraio 2009) Dato il sistema lineare Ax = b dove:

A =

5 2 12 10 −31 −3 8

e b = (8, 9, 6)T , provare che gli schemi iterativi di Jacobi e Seidel convergono. Partendo dallasoluzione iniziale x0 = (0, 0, 0)T calcolare le approssimazioni x1,x2 ottenute applicando prima loschema di Jacobi e poi quello di Seidel.


A =

5 0 −40 4 5−4 5 10

b =

1911

1. senza calcolare la relativa matrice di iterazione provare che lo schema di Seidel converge e

trovarne la velocità asintotica di convergenza;2. partendo dal vettore iniziale x0 = (0, 0, 0)T , calcolare x1,x2,x3 con lo schema di Seidel;3. stimare il fattore di convergenza (raggio spettrale della matrice di Seidel) impiegando la

norma euclidea degli scarti.


A =

5 1 03 2 10 2 4

b =

17148

1. senza calcolare la relativa matrice di iterazione dire se lo schema di Seidel converge; trovare

la velocità asintotica di convergenza di Seidel e il fattore ottimo di rilassamento;2. partendo dal vettore iniziale x0 = (1, 1, 1)T , calcolare x1,x2,x3 con lo schema di Seidel.

34

Es. 97 — (appello del 13 dicembre 2007) Sia dato il sistema lineare Ax = b dove:

A =

8 4 04 10 50 5 15

b =

445645

Provare che lo schema di Seidel converge e trovarne la velocità asintotica di convergenza. Parten-do dal vettore iniziale x0 = (1, 1, 1)T , trovare le prime due approssimazioni x1 e x2 ottenute con loschema di Seidel.

Es. 98 — (appello del 13 settembre 2007) Sia dato il sistema lineare Ax = b dove:

A =

16 −8 4−8 68 −24 −2 26

b =

812452

1. provare che lo schema di Seidel converge;2. partendo dalla soluzione iniziale x0 = (0, 0, 0)T eseguire tre iterazioni col metodo di Seidel

per trovare le approssimazioni x1,x2 e x3.


A =

5 3 03 10 40 4 8

b =

132828

trovare il fattore ottimo di rilassamento ωopt e le velocità asintotiche di convergenza, RS , Rωopt

degli schemi di Seidel e rilassamento.Partendo dal vettore iniziale x0 = (0, 0, 0)T , calcolare x1,x2, x3 con lo schema di Seidel.

Es. 100 — (appello del 31 agosto 2006) Dato il sistema lineare Ax = b dove:

A =

10 3 42 8 57 6 15

b =

171528

provare che gli schemi iterativi di Jacobi e Seidel convergono. Prendendo come soluzione inizialex0 = (0, 0, 0)T calcolare

1. le prime due approssimazioni x1,x2 ottenute con lo schema di Jacobi;2. le prime due approssimazioni x1,x2 ottenute con lo schema di Seidel.


A =

10 0 20 5 33 1 2

b =

221811

1. provare che lo schema di Seidel converge, calcolare quindi la velocità asintotica di

convergenza;2. partendo dal vettore iniziale x0 = (0, 0, 0)T eseguire tre iterazioni con il metodo di Seidel

calcolando x1,x2 e x3.

35


Es. 102 — (appello del 31 agosto 2005) Dato il sistema lineare Ax = b dove:

A =

8 2 42 5 04 0 10

b =

301928

trovare il fattore ottimo di rilassamento ωopt e le velocità asintotiche di convergenza, RJ , RS , Rωopt

degli schemi di Jacobi, Seidel e rilassamento.Partendo dal vettore iniziale x0 = (1, 1, 1)T , calcolare x1,x2 con lo schema di Seidel.


A =

8 4 12 5 25 3 10

b =

13918

dall’esame della matrice, dire se i metodi di Jacobi e Seidel convergono Partendo dal vettoreiniziale x0 = (0, 0, 0)T

1. calcolare x1,x2 con lo schema di Jacobi;2. calcolare x1,x2 con lo schema di Seidel.

Es. 104 — (appello del 15 luglio 2003) Sia dato il sistema lineare Ax = b dove:

A =

4 0 10 8 21 2 6

b =

5109

1. Dopo aver provato che lo schema iterativo di Seidel converge, calcolare la sua velocità

asintotica di convergenza.2. Posto x0 = (0, 0, 0)T trovare le prime due approssimazioni x1 e x2 ottenute applicando il

metodo di Seidel.

Es. 105 — (appello del 5 febbraio 2003) Dato il sistema lineare Ax = b dove:

A =

8 2 32 5 13 1 10

b =

13814

1. provare che lo schema iterativo di Seidel converge;2. posto x0 = (0, 0, 0)T , calcolare x1 e x2.

Es. 106 — (appello del 28 giugno 2002) Data la matrice 2 32 42 5 0−9 0 3

determinare il fattore ottimo di rilassamento e la corrispondente velocità asintotica di con-vergenza. Calcolare, inoltre, la velocità asintotica di convergenza degli schemi di Jacobi eSeidel.

Es. 107 — Prestare molta attenzione!!! (appello di giugno 2000) Sia data la matrice

A =

3/4 1/8 01/8 3/4 1/20 1/2 3/4

36

e il seguente schema iterativo per la soluzione del sistema Ax = b:

xk+1 = (I −A)xk + b

1. Verificare la convergenza di tale schema.2. Calcolare la sua velocità asintotica di convergenza.3. Dati b = (6, 25/8, 13/4)T e x0 = (0, 0, 0)T calcolare x1, x2 e x3.

Es. 108 — Per i più curiosi! (appello di luglio 1998) Dato il sistema lineare Ax = b con

A =

3 β2 01 3 10 1 + β2 3

b =

323

con β parametro reale, si calcoli:

1. l’insieme dei valori di β per cui il metodo di Jacobi converge;2. il valore di β che minimizza il raggio spettrale della matrice di iterazione di Seidel;3. usando tale valore di β, calcolare le prime tre iterazioni di Seidel a partire dal vettore

iniziale x0 = (0, 0, 0)T .

37



Soluzione (Es. 80) — Si calcolano gli autovalori della matrice di Jacobi, in quanto la matriceA è tridiagonale, dunque biciclica e coerentemente ordinata e possiamo usare la relazione chelega Jacobi e Seidel. Si trova δ = 5. Con questo valore si ottiene, alla terza iterazione il vettorex3 = (3.01, 3.2835, −3.3021875)T .

Soluzione (Es. 81) — La matrice è diagonalmente dominante in senso stretto e quindi Seidelconverge. Alla terza iterazione si ha x3 = (2.937466, −0.9722248, 1.976773)T . Dal momento che lamatrice è simmetrica, con elementi diagonali positivi e diagonalmente dominante in senso stretto,la matrice è definita positiva e quindi è fattorizzabile secondo Cholesky.

Soluzione (Es. 82) — γ = 5. La seconda iterazione di Jacobi dà x(2) = (1.45, 5.775, 7.9375). Laseconda iterazione di Gauss-Seidel dà x(2) = (1.438, 4.43425, 6.8585625).

Soluzione (Es. 83) — RS = 0.455931955, ωopt = 1.1072812867, Rωopt = 0.96947603. Alla terzaiterazione del metodo di Seidel si ha x(3) = (5.1225,−2.06125, 3.9265)T .

Soluzione (Es. 84) — La seconda iterazione del metodo di Jacobi dà x(2) = (2.82,−0.755, 0.825)T .Alla terza iterazione del metodo di Seidel si ha x(3) = (4.036830,−2.1445045, 1.90047719)T . Utiliz-zando la norma euclidea degli scarti si ha ρ(ES) = 0.278963141. Usando la norma infinito degliscarti (più semplice da calcolare) si ha ρ(ES) = 0.254918436.

Soluzione (Es. 85) — La terza iterazione del metodo di Seidel dà x(3) =(0.94531, 0.98633, 1.0, 1.0)T .

Se si vede che la matrice è riducibile, si può applicare Seidel alla matrice 2× 2.ωopt = 1.0334, Rωopt = 1.4766.

Soluzione (Es. 86) — α = 34, ωopt = 1.116963, Rωopt = 0.9319515. La terza iterazione del metododi Seidel dà x(3) = (4.3515625, 3.03515625, 1.947265625)T .

Soluzione (Es. 87) — 1 < γ < 2. Occorre fare un numero di iterazioni maggiore o uguale a 42.La terza iterazione del metodo di Seidel dà x(3) = (0.888888, 1.925925, 3.07407407)T .

Soluzione (Es. 88) — RS = 0.31575325. La terza iterazione è x(3) = (3.0467222, 3.948086419, 0.8870879)T .

Soluzione (Es. 89) — RS = 0.283996656. La terza iterazione è x(3) = (2.56736, 2.826944, 1.21632)T .Usando la norma euclidea degli scarti, si trova ρ(ES) = 0.52000006 (prima teoricamente è statotrovato 0.52.

Soluzione (Es. 90) — RS = 0.16536739366. La terza iterazione è x(3) =(3.93611111,−0.33849537, 1.86769907)T .

38

Soluzione (Es. 91) — RJ = 0.6505149978, RS = 1.301029957. La seconda iterazione di Ja-cobi dà x(2) = (−1.916666667, 1.6666666667, 0.95)T . La seconda iterazione di Seidel dà x(2) =(0.9125, 1.02, 0.9975)T .

Soluzione (Es. 92) — Si ha x(3) = (0.9701, 0.965615, 0.989685)T .Sfruttando la norma massima degli errori, si ha ρ(ES) = 0.23, ωopt = 1.065248 (la matrice A è

tridiagonale, quindi biciclica e coerentemente ordinata e valgono le ipotesi del teorema di Youngperciò si può applicare la formula per l’ωopt).

Soluzione (Es. 93) — Risulta x(3) = (1.010215971, 1.015047568, 0.997045764)T .

Soluzione (Es. 94) — Per Jacobi si ha x(2) = (1.09, 0.805, 0.8875)T . Per Seidel si ha x(2) =(1.2145, 0.88735, 0.93094375)T .

Soluzione (Es. 95) — Si ha RS = 0.024568191; x(3) = (0.28558, 2.11628125, 0.156091375)T . Facendoil rapporto delle norme degli errori si ha ρ(ES) = 0.945 (valore già trovato per rispondere allaprima parte dell’esercizio, usando la matrice di Jacobi – teorema di Young).

Soluzione (Es. 96) — Si ha RS = 0.25963731; ωopt = 1.197016752; Alla terza iterazione, x(3) =(3.033, 1.90925, 1.045375)T .

Soluzione (Es. 97) — Si ha RS = 0.435728569; Alla seconda iterazione, x(2) =(3.95, 3.03666667, 1.98777778)T .

Soluzione (Es. 99) — Si ha RS = 0.420216403, Rωopt= 0.924660293, e x(3) =

(1.76744, 1.147288, 2.926356)T .

Soluzione (Es. 99) — Si ha x(3) = (0.99375781, 1.9995929, 2.0009290)T .

Soluzione (Es. 100) — Con Jacobi si ha x(2) = (0.3908333333, 0.283333333, 0.32333333333)T .Con Seidel si ha x(2) = (1.06766666667, 1.29975, 0.84852242)T .

Soluzione (Es. 101) — Si ha RS = 0.2218487, e x(3) = (2.072, 3.216, 0.784)T .

Soluzione (Es. 102) — Si ha RJ = 0.261439372, RS = 0.522878745, Rωopt= 1.050936293, e x(2) =

(2.3, 2.88, 1.88)T .

Soluzione (Es. 103) — Con Jacobi si ha x(2) = (0.5, 0.43, 0.4475)T .Con Seidel si ha x(2) = (0.9696875, 1.155125, 0.96861875)T .

39


Soluzione (Es. 104) — RS = 0.903089987; x(2) = (1.03125, 1.03125, 0.984375)T .

Soluzione (Es. 105) — x(2) = (1.0809375, 1.004125, 0.97530625)T .

Soluzione (Es. 106) — ωopt = 1.127016654, Rωopt= 0.896139332, RJ = 0.198970004, RS =

0.397940008.

Soluzione (Es. 107) — Si calcola il raggio spettrale della matrice di iterazione e si trova il valore0.76538820 < 1, da cui il metodo converge con velocità di convergenza R = 0.11611823. Alla terzaiterazione si trova x(3) = (7.5859375, 1.369140625, 3.109375)T .

Soluzione (Es. 108) — Si ha −2 < β < 2. La matrice è tridiagonale, gli autovalori della matricedi Jacobi sono reali e per β ∈]− 2, 2[ si ha convergenza, quindi sono valide le ipotesi del teorema diYoung. Di conseguenza, il raggio spettrale della matrice si Seidel è legato anch’esso a β e si trova

ρ(ES) =1 + 2β2

9. Se si vuole minimizzare il raggio spettrale di Seidel bisogna trovare il minimo

della funzione precedente: si ricava β = 0. Con questo valore di β, il metodo di Seidel alla terzaiterazione dà il vettore x(3) = (1, 4.115226337 · 10−3, 0.998628257)T .

40

CA

PI

TO

LO

5ESERCIZI SU FORMULE DI QUADRATURA

Es. 109 — (appello del 18 febbraio 2016) Sia da calcolare il seguente integrale:

I =

∫ 3

1

(x exp(−5x)) dx

1. Approssimare I col metodo dei trapezi e n = 4 suddivisioni in parti uguali dell’intervallo diintegrazione.

2. Dare una maggiorazione dell’errore e confrontarlo con l’errore esatto ottenuto dopo avercalcolato analiticamente l’integrale assegnato.

Es. 110 — (appello del 4 settembre 2015) Sia da calcolare il seguente integrale

I =

∫ 6

4

(3x+ ln (5x))dx

1. Approssimare I col metodo dei trapezi e n = 4 suddivisioni in parti uguali dell’intervallo diintegrazione.

2. Dare una maggiorazione dell’errore e confrontarlo con l’errore esatto ottenuto dopo avercalcolato analiticamente l’integrale assegnato.

Es. 111 — (appello del 17 giugno 2015) Sia da calcolare il seguente integrale

I =

∫ 3

1

(2x+ ln (x+ 2))dx

1. Si approssimi I con la formula di Cavalieri-Simpson e n = 2 suddivisioni in parti ugualidell’intervallo di integrazione.

2. Dare una maggiorazione dell’errore confrontandolo con l’errore esatto ottenuto dopo avercalcolato analiticamente l’integrale assegnato

3. Determinare il numero n di suddivisioni in parti uguali dell’intervallo di integrazione inmodo tale che l’errore stimato con la formula di Cavalieri-Simpson sia minore di 10−7.

41

5. ESERCIZI SU FORMULE DI QUADRATURA

Es. 112 — (appello del 19 settembre 2014) Sia da calcolare il seguente integrale:

I =

∫ 2

0

(4x3 + (1/36)sin(6x)) dx

1. calcolare I con la formula di Cavalieri-Simpson e n = 1 suddivisione dell’intervallo diintegrazione;

2. calcolare I con la formula di Cavalieri-Simpson e n = 2 suddivisioni in parti ugualidell’intervallo di integrazione;

3. calcolare I con la formula di estrapolazione di Richardson;4. determinare il numero n di suddivisioni uniformi dell’intervallo di integrazione in modo che

l’errore stimato con la formula composta di Cavalieri-Simpson sia inferore a 10−7.

Es. 113 — (appello del 18 giugno 2014) Sia da calcolare il seguente integrale

I =

∫ 0.5

0

(x+ 1)e2x dx

1. si approssimi I con la formula dei trapezi e n = 4 suddivisioni in parti uguali dell’intevallodi integrazione;

2. dare una maggiorazione dell’errore confrontandolo con l’errore esatto ottenuto dopo avercalcolato analiticamente l’integrale assegnato;

3. determinare il numero n di suddivisioni in parti uguali dell’intervallo di integrazione inmodo tale che l’errore stimato con la formula dei trapezi sia minore di 10−3.

Es. 114 — (appello dell’11 febbraio 2014) Dato l’integrale

I =

∫ 3

0

(x2

2− xe−x

)dx

1. Si approssimi I con la formula dei trapezi e n = 4 suddivisioni in parti uguali dell’intervallo.

2. Si dia una stima dell’errore commesso.3. Si dica quante suddivisioni occorre fare sull’intervallo dato, per poter approssimare I con

la formula dei trapezi composta commettendo un errore inferiore a 10−3.4. Si calcoli analiticamente l’integrale e, successivamente, l’errore esatto relativo all’approssi-

mazione ottenuta al punto (1), confrontandolo con la stima ottenuta.

Es. 115 — (appello del 13 febbraio 2013) Sia da calcolare il seguente integrale:

I =

∫ 1

0

5x4 − 3x2 + 2 dx

1. si approssimi I con la formula di Cavalieri-Simpson applicata su n = 1 e n = 2 suddivisioniin parti uguali dell’intervallo di integrazione;

2. dare una maggiorazione dell’errore commesso nei due casi confrontandolo poi con l’erroreesatto;

3. applicare il metodo di estrapolazione di Richardson e spiegare l’errore che si ottiene.(Esprimere i risultati con almeno sette cifre decimali)

42

Es. 116 — (appello del 4 settembre 2012) Sia da calcolare il seguente integrale:

I =

∫ 1

1.5

cos(3x) dx

1. si approssimi I con la formula dei trapezi e n = 4 suddivisioni in parti uguali dell’intervallodi integrazione;

2. dare una maggiorazione dell’errore commesso confrontandolo poi con l’errore esatto;3. determinare il numero n di suddivisioni in parti uguali dell’intervallo di integrazione in

modo tale che l’errore stimato con la formula dei trapezi sia minore di 10−4.

Es. 117 — (appello del 26 giugno 2012) Sia da calcolare

I =

∫ 3

0

f(x) dx

dove il valore della funzione f è noto in sette punti equidistanti dell’intervallo [0, 3]:xi 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000f(xi) -0.9502 -0.7929 0.1353 2.5981 7.3679 15.2315 27.0000

1. Utilizzando i valori noti della funzione si approssimi l’integrale mediante la formula deitrapezi composta. Chiamare tale approssimazione IT .

2. Utilizzando i valori noti della funzione si approssimi l’integrale mediante la formula diCavalieri-Simpson composta. Chiamare tale approssimazione IS .

3. Sapendo che la funzione integranda è f(x) = ex−3 + x3 − 1, maggiorare gli errori che sicommettono nei due casi.

4. Dopo aver calcolato il valore esatto dell’integrale, calcolare gli errori ET = |I − IT |, ES =|I − IS |.

Es. 118 — (appello del 15 febbraio 2012) È dato l’integrale I =∫ 0

−1/2x√

1− x2dx.

1. Si approssimi I con i valori Q1 e Q2 ottenuti applicando il metodo di Cavalieri-Simpsonprima a tutto l’intervallo e poi suddividendo l’intervallo in due parti uguali.

2. Si approssimi I usando la formula di estrapolazione di Richardson.3. Dopo aver calcolato analiticamente il valore esatto di I determinare l’errore esatto

commesso con l’estrapolazione di Richardson.

Es. 119 — (appello del 1o settembre 2011) Calcolare l’integrale seguente:

I =

∫ 3

2

ln (x+ x2)dx

1. con il metodo di Cavalieri-Simpson e n = 1 suddivisione dell’intervallo [2, 3].2. con il metodo di Cavalieri-Simpson e n = 2 suddivisioni dell’intervallo [2, 3].3. con il metodo di estrapolazione di Richardson;4. con il metodo di Gauss e tre punti di appoggio (x1 = −

√3/5, x2 = 0, x3 =

√3/5; B1 = B3 =

5/9, B2 = 8/9).(Usare almeno 7 cifre decimali.)

43


Es. 120 — (appello del 21 giugno 2011) Dato l’integrale

I =

∫ 4

2

(x+ cos2 (x))dx

1. Calcolare il numero di intervalli n in cui si deve suddividere l’intervallo [2, 4] in modo daapprossimare I mediante la formula di Cavalieri-Simpson composta con un errore inferiore

a 4× 10−4. (Suggerimento: si ricordi la relazione cos2 (x) =1 + cos (2x)

2).

2. Approssimare I mediante la formula di Cavalieri-Simpson composta utilizzando il valoredi n ottenuto al punto precedente. Chiamare IS tale approssimazione.

3. Dopo aver calcolare il valore “vero” di I, calcolare l’errore vero E = I − IS .

Es. 121 — (appello del 16 febbraio 2011) Calcolare:

I =

∫ 2

1

ln2 x dx

1. con il metodo di Cavalieri-Simpson e n = 1 suddivisione dell’intervallo [1, 2];

2. con il metodo di Cavalieri-Simpson e n = 2 suddivisioni dell’intervallo [1, 2];

3. con il metodo di estrapolazione di Richardson;4. dopo aver calcolato il valore esatto dell’integrale I, calcolare l’errore esatto commesso nei

tre (punti) precedenti.

Es. 122 — (appello del 16 settembre 2010) Dato l’integrale:

I =

∫ 2

0

(1

4x4 + x3 − 2x+ 3

)dx

1. stimare I mediante la formula dei trapezi applicata su n = 1, 2 e 4 suddivisionidell’intervallo [0, 2];

2. stimare I mediante la formula di Cavalieri-Simpson applicata su n = 1 e 2 suddivisionidell’intervallo [0, 2];

3. utilizzando i risultati ottenuti al punto precedente, determinare il valore esatto di I senzacalcolare l’integrale analiticamente.


I =

∫ 6

2

ln(x+ 3)dx

1. si approssimi I con la formula di Cavalieri-Simpson e n = 2 suddivisioni dell’intervallo diintegrazione in parti uguali;

2. si dia una stima dell’errore commesso con la formula di Cavalieri-Simpson;3. calcolare analiticamente l’integrale e l’errore esatto relativo all’approssimazione eseguita

con Cavalieri-Simpson confrontandolo con la stima precedentemente ottenuta.

Es. 124 — (appello del 17 giugno 2009) Dato l’integrale seguente

I =

∫ 3

2

(x2 + xe−2x)dx

44

1. si approssimi I con la formula dei trapezi e n = 4 suddivisioni in parti uguali dell’intervallo,si dia quindi una stima dell’errore commesso;

2. dire in quanti intervalli uguali (n) si deve suddividere l’intervallo [2, 3] in modo daapprossimare I con la formula dei trapezi composta con un errore inferiore a 10−2;

3. si approssimi I con la formula di Gauss-Legendre e tre punti di appoggio x1 = −√3/5,

x2 = 0, x3 =√3/5 con i pesi B1 = B3 = 5/9, B2 = 8/9; Questo punto non è più in

programma quindi non va svolto.4. (facoltativo) calcolare analiticamente l’integrale e poi l’errore esatto relativo all’approssi-

mazione ottenuta al punto (1) confrontandolo con la stima ottenuta.

Es. 125 — ( appello del 13 dicembre 2007) Sia dato l’integrale

I =

∫ 3

1

ln(x2 + 1)dx

Calcolare il valore approssimato di I, dapprima con la formula dei trapezi e poi con quella diCavalieri-Simpson, utilizzando quattro suddivisioni in parti uguali dell’intervallo di integrazione.Dopo aver calcolato analiticamente il valore dell’integrale, valutare l’errore esatto commesso neidue casi.

Es. 126 — (appello del 23 giugno 2006) Dato l’integrale seguente

I =

∫ 1.8

0

x2ex/2dx

1. si approssimi I con i valori Q1 e Q2 ottenuti applicando il metodo di Cavalieri-Simpsonprima a tutto l’intervallo e poi suddividendo l’intervallo in due parti uguali; si approssimiI usando la formula di estrapolazione di Richardson;

2. si approssimi I con la formula dei trapezi e n = 6 suddivisioni in parti uguali dell’intervallo;si dia una stima dell’errore commesso;

3. (facoltativo) calcolare analiticamente l’integrale e l’errore esatto confrontandolo con lastima ottenuta al punto (2).

Es. 127 — (appello del 20 giugno 2007) Dato l’integrale I =∫ 4

2x2 ln(x)dx

1. si approssimi I con i valori Q1 e Q2 ottenuti applicando il metodo di Cavalieri-Simpsonprima a tutto l’intervallo e poi suddividendo l’intervallo in due parti uguali; si approssimiI usando la formula di estrapolazione di Richardson;

2. si approssimi I con la formula dei trapezi e n = 5 suddivisioni in parti uguali dell’intervallo;si dia quindi una stima dell’errore commesso;

3. si approssimi I con la formula di Gauss-Legendre e tre punti di appoggio x1 = −√3/5,

x2 = 0, x3 =√3/5 con i pesi B1 = B3 = 5/9, B2 = 8/9; Questo punto non è più in

programma, quindi non va svolto.4. (facoltativo) calcolare analiticamente l’integrale e poi l’errore esatto relativo all’approssi-

mazione ottenuta al punto (2) confrontandolo con la stima ottenuta.


I =

∫ 1

0

ln(4 + x2)dx

45


1. si approssimi I con la formula dei trapezi e n = 4 suddivisioni in parti uguali dell’intervallo[0, 1];

2. si approssimi I con i valori Q1 e Q2 ottenuti applicando il metodo di Cavalieri-Simpsonprima a tutto l’intervallo e poi suddividendo l’intervallo in due parti uguali;

3. si approssimi I usando la formula di estrapolazione di Richardson;4. (facoltativo) dopo aver calcolato analiticamente il valore di I determinare l’errore esatto

commesso con l’estrapolazione di Richardson.

Es. 129 — (appello del 23 settembre 2003) Calcolare

I =

∫ 1

0

e−xdx

usando la formula dei trapezi e la formula di Cavalieri-Simpson avendo suddiviso l’intervallo [0, 1]in n = 5 parti uguali. Dare una maggiorazione degli errori commessi nei due casi.

Es. 130 — (appello del 1 luglio 2003) Dato l’integrale

I =

∫ 20

0

cos(√x)dx

1. si approssimi I con i valori A1 e A2 ottenuti applicando il metodo dei trapezi prima a tuttol’intervallo e poi all’intervallo suddiviso in due parti uguali;

2. si approssimi I con i valori Q1 e Q2 ottenuti applicando il metodo di Cavalieri-Simpsonprima a tutto l’intervallo e poi all’intervallo suddiviso in due parti uguali;

3. si approssimi I usando la formula di estrapolazione di Richardson.

Es. 131 — (appello del 19 settembre 2002) Calcolare

I =

∫ 6

2

ln(x)dx

con la formula dei trapezi e n = 4 suddivisioni in parti uguali dell’intervallo d’integrazio-ne. Trovare una maggiorazione dell’errore commesso. Confrontare l’errore esatto con la stimaprecedentemente trovata.

Es. 132 — Per i più attenti!!! (appello del 29 agosto 2001) Si deve calcolare∫ 2

0

ex2

dx

con la formula di Cotes di grado 4, conoscendo i coefficienti di Cotes: C(4)0 = 7/90, C(4)

1 = 32/90.(Suggerimento: tenere conto del valore della somma dei coefficienti di Cotes e della loro simmetria)

Es. 133 — (appello del 22 giugno 2000) Si vuole calcolare I =∫ 3

1sin(x) cos(x)dx.

1. Calcolare il valore di I utilizzando il metodo di Gauss-Legendre G3 con 3 punti di appog-gio (x1 = −

√3/5, x2 = 0, x3 =

√3/5; B1 = B3 = 5/9;B2 = 8/9). Punto non più in

programma, quindi non va svolto.2. Calcolare con la formula di Cavalieri-Simpson il valore ICS2 di I che si ottiene suddividendo

l’intervallo in due parti uguali.3. Dopo aver calcolato il valore esatto di I valutare gli errori esatti commessi con le

approssimazioni G3 e ICS2.

46


Soluzione (Es. 109) — Si haa IT = 0.214958770 × 10−2, la maggiorazione è 4.21121687 × 10−3 el’errore esatto è 5.3267620× 10−4 minore della maggiorazione.

Soluzione (Es. 110) — Si trova IT = 36.42252098, la maggiorazione è 2.6041666 × 10−3 e l’erroreesatto è 1.73421258× 10−3 minore della maggiorazione.

Soluzione (Es. 111) — Si ha ICS = 10.751334, la maggiorazione dell’errore vale |ECS | ≤ 5.14403×10−5 (si considera che |f IV (x)| = 6/(x + 2)4 il cui massimo si ha per x = 1 nell’intervallo diintegrazione); l’errore vero vale 1.929876 × 10−5 – minore della maggiorazione, mentre il numerodi suddivisioni affinche l’errore stimato sia minore di 10−7 deve essere n ≥ 10 (applicando laformula si trova n4 ≥ 8230.45267).

Soluzione (Es. 112) — I1 = 15.98468301, I2 = 16.00517384, IR = 16.006539898, n ≥ 45 (siconsidera, per maggiorare la derivata quarta della f , che | sin (6x)| ≤ 1).

Soluzione (Es. 113) — IT = 1.11937707. Dal momento che il massimo di |f ′′(x)| si ha per x = 0.5,si ricava |ET | < 0.1769714732 · 10−1.

L’errore vero (in valore assoluto) vale 0.10236156 · 10−1. Il numero di suddivisioni da fare èmaggiore o uguale a 17.

Soluzione (Es. 114) — IT = 3.89002574055. M = max|f ′′(x)| = f ′′(0) = 3 quindi |ET | < 0.42187.Il numero di suddivisioni da fare è n ≥ 83. Infine l’errore esatto vale I − IT = −0.190877467.

Soluzione (Es. 115) — I1 = 2.0416666666666, I2 = 2.0026041666666666,. Per le maggiorazionidell’errore si ha |E1| < 4.166666 · 10−2 e |E2| < 2.60416666 · 10−3. Gli errori esatti coincidono con lemaggiorazioni appena scritte in quanto la derivata quarta è costante. Da qui si deduce anche cheil valore dell’estrapolazione di Richardson coincide con l’integrale esatto, e vale infatti 2.

Soluzione (Es. 116) — IT = −0.368503372, |ET | < 0.5859375 · 10−2. |Eesatto| = 0.4380003 · 10−2. Ilnumero di suddivisioni da fare è n ≥ 31.

Soluzione (Es. 117) — IT = 18.7824, ICS = 18.2005, |ET | < 1.1875, |ECS | < 1.0416666 · 10−3.Gli errori esatti sono rispettivamente 0.5821871 e 2.87099 · 10−4.

Soluzione (Es. 118) — Q1 = −0.13417881901, Q2 = −0.133990847886, IR = −0.1339783164, I −IR = −3.72026 · 10−6.

Soluzione (Es. 119) — Q1 = 2.158813487, Q2 = 2.158878448, IR = 2.158882779, IG = 2.158883437.

Soluzione (Es. 120) — Il numero di suddivisioni è n ≥ 4 (per maggiorare il valore assoluto delladerivata quarta della f si tenga conto che | cos (2x)| ≤ 1).

47


Si ricava ICS = 7.43669639, e l’errore esatto è E = −1.56 · 10−4.

Soluzione (Es. 121) — Q1 = 0.1896768049, Q2 = 0.188425701, IR = 0.188342294. Gli errori esattisono rispettivamente −0.1359498 · 10−2, −0.108395 · 10−3, −0.24988 · 10−4.

Soluzione (Es. 122) — Con i trapezi si ha, per le tre suddivisioni richieste, A1 = 14,A2 = 9.25,A4 = 8.015625.

Con Cavalieri-Simpson si ha B1 = 7.6666667, B2 = 7.604167.Applicando Richardson ai due valori ottenuti da Cavalieri-Simpson si ha I = 7.6 che è l’inte-

grale esatto in quanto la derivata quarta della f è costante e ciò comporta che il procedimento diRichardson dia l’integrale esatto.

In alternativa, si può dire che I = B1 + E dove E = −f(IV )(ξ)(b− a)5

2880. Dal momento che la

derivata quarta è costante si può valutare esattamente l’errore e quindi ricavare il valore esattodell’integrale.

Soluzione (Es. 123) — ICS = 7.727762277, |ECS | ≤ 0.2133 · 10−3 (per trovare la maggiorazionedell’errore, attenzione al fatto che la derivata quarta è negativa!).

L’errore esatto vale 0.69356 · 10−4.

Soluzione (Es. 124) — IT = 6.362528125, |ET | ≤ 0.10798242 · 10−1.Il numero di suddivisioni da fare è maggiore o uguale a 5.IG = 6.3518901831.L’errore esatto rispetto alla formula dei trapezi vale |I − IT | = 0.10638059 · 10−1.

Soluzione (Es. 125) — IT = 3.133480257, ICS = 3.141925536, ET = 0.84230594 · 10−2, ECS =−0.2221997 · 10−4.

Soluzione (Es. 126) — Q1 = 3.915133668, Q2 = 3.876294242, IR = 3.873704947, IT = 3.969751582,|ET | ≤ 0.2128417552. L’errore esatto rispetto alla formula dei trapezi vale 0.0961584437.

Soluzione (Es. 127) — Q1 = 21.50111363, Q2 = 21.50349557, IR = 21.50365437. IT = 21.64125294,|ET | ≤ 0.15393569926. IG = 21.50367509. L’errore esatto, in valore assoluto, rispetto alla formuladei trapezi vale 0.13758794.

Soluzione (Es. 128) — IT = 1.466113597; Q1 = 1.463901368, Q2 = 1.464020609, IR = 1.464028558,|I − IR| = 0.209 · 10−6.

Soluzione (Es. 129) — IT = 0.634226224, ICS = 0.632120909, |ET | ≤ 3.3333 · 10−3, |ECS | ≤ 5.5555 ·10−7.

Soluzione (Es. 130) — A1 = 7.62051608, A2 = −6.1876026887, Q1 = −10.7903089; Q2 =−11.13932855, IR = −11.16259652.

48

Soluzione (Es. 131) — IT = 5.336797887, |ET | ≤ 8.33333 · 10−1 (attenzione al segno della derivataseconda nel fare la maggiorazione dell’errore). |I − IT | = 2.7464567 · 10−2.

Soluzione (Es. 132) — IC = 1.462909439 (si deve tenere conto che la somma dei coefficienti valeuno e che C0 = C4 e C1 = C3.

Soluzione (Es. 133) — G3 = −0.345438844. ICS = −0.34407928. |I −G3| = 1.36 · 10−3, |I − ICS | =2.166 · 10−3.

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6DOMANDE DI TEORIA

Es. 134 — (appello del 18 febbraio 2016)1. Dare la definizione di punto fisso di una funzione g(x) e spiegare cosa è e a cosa serve lo

schema di punto fisso.2. Ricavare ordine di convergenza e costante asintotica per lo schema di punto fisso, nel caso

generale.

3. Provare che ξ = −1 è punto fisso della funzione g(x) =x2 − 2

2x+ 3e ricavare ordine di

convergenza e costante asintotica del corrispondente schema di punto fisso applicato perapprossimare ξ.

Es. 135 — (appello del 22 settembre 2015)1. Ricavare gli schemi di Jacobi, Seidel e SOR con le relative matrici di iterazione.2. Dato il generico metodo iterativo xk+1 = Exk + q, si assuma di conoscere i primi due auto-

valori λ1 e λ2 di E con i rispettivi autovettori v1 e v2. Se |λ1| > 1 e |λ2| < 1, per quale sceltadella soluzione iniziale x0 lo schema può in teoria ugualmente convergere?

Es. 136 — (appello del 4 settembre 2015)1. Discutere il problema della regressione lineare ai minimi quadrati. Si distingua fra la

minimizzazione degli scarti verticali e degli scarti orizzontali.2. Dimostrare che il punto di intersezione delle rette ai minimi quadrati che minimizzano gli

scarti verticali e orizzontali è il baricentro del sistema di punti assegnato.

Es. 137 — (appello del 7 luglio 2015)1. Dare la definizione di ordine e fattore di convergenza di un metodo iterativo per la soluzione

di un’equazione non lineare. Determinare ordine e fattore di convergenza per il metodo diNewton-Raphson.

2. Dato il generico schema iterativo:

xk+1 = xk + αf(xk)

con α costante, determinare il valore di α per cui lo schema assegnato possiede ordine diconvergenza 2.

51

6. DOMANDE DI TEORIA

Es. 138 — (appello del 17 giugno 2015)1. Dimostrare che se una matrice è diagonalmente dominante in senso stretto allora il metodo

di Jacobi è convergente.2. Sia A una matrice simmetrica definita positiva. Determinare per quali valori dello scalare

α > 0 lo schema xk+1 = xk + αrk converge.

Es. 139 — (appello del 12 febbraio 2015) Siano date n+ 1 coppie di punti (xi, yi), i = 0, 1, . . . , n.1. Che procedimento deve essere applicato per poter approssimare i dati mediante la retta di

approssimazione ai minimi quadrati sugli scarti verticali?2. Quale funzione va minimizzata?3. Come si scrive la retta di approssimazione?4. Che procedimento occorre fare per ricondursi al caso della retta di approssimazione sugli

scarti verticali, se si vogliono approssimare i dati mediante il modello y = a+ bx3 ?

Es. 140 — (appello del 19 settembre 2014) Enunciare il teorema LDU . Cosa succede quando vie-ne applicato a matrici simmetriche? Spiegare, inoltre, nei dettagli la fattorizzazione di Cholesky:quando può essere applicata e sotto quali ipotesi?

Es. 141 — (appello del 4 settembre 2014) Si spieghi come si arriva alla famiglia delle formule diquadratura di Newton-Cotes. Si ricavi, come caso particolare, la formula di Cavalieri-Simpson. Sipassi poi a spiegare come si arriva alla formula composta di Cavalieri-Simpson, e si arrivi (con gliopportuni passaggi spiegati) ad una formula compatta.

Es. 142 — (appello del 10 luglio 2014)1. Date 3 coppie di punti, (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2) spiegare come si costruisce il polinomio di

interpolazione utilizzando il metodo delle differenze divise di Newton e spiegare come siricavano le differenze divise che vengono utilizzate.

2. In che modo e per quale motivo si può usare la tabella delle differenze divise per costrui-re il polinomio di interpolazione che interpola le coppie di punti (x0, f(x0)), (x0, f

′(x0)),(x0, f

′′(x0))? Di che grado è il polinomio di interpolazione? Come si scrive?

Es. 143 — (appello del 10 luglio 2014) Si consideri l’interpolazione polinomiale secondo Lagrangedi n+ 1 coppie di dati (xi, yi), con i = 0, 1, . . . , n.

1. Qual è il grado di ciascuna funzione polinomiale Lj(x) della base di Lagrange? Come siscrive Lj(x)?

2. Quale funzione si ha se sommiamo tutte le n+1 funzioni di Lagrange, cioè se consideriamog(x) =

∑nj=0 Lj(x)? Quale è la funzione g(x)? Giustificare la risposta.

3. Posto n+ 1 = 3, si faccia il grafico della funzione L0(x).

Es. 144 — (appello del 18 giugno 2014)1. Sia dia la definizione di radice di una funzione y = f(x).2. Si ricavi l’ordine di convergenza e la costante asintotica del metodo di Newton-Raphson, nel

caso generale. Quale ipotesi viene fatta? Spiegare tutti i passaggi.3. Si ricavi l’ordine di convergenza e la costante asintotica del metodo di Newton-Raphson nel

caso in cui la radice ξ ha molteplicità 2. Spiegare tutti i passaggi.

Es. 145 — (appello del 18 giugno 2014)1. Dare la definizione di punto fisso di una funzione y = g(x).

52

2. Spiegando tutti i passaggi, si ricavi l’ordine di convergenza e la costante asintotica per loschema di punto fisso applicato ad una funzione g(x) con punto fisso ξ per il quale g′(ξ) 6= 0.

3. Si ricavi l’ordine di convergenza e la costante asintotica per lo schema di punto fisso appli-cato ad una funzione g(x) con punto fisso ξ per il quale g′(ξ) = 0 e g′′(ξ) 6= 0. Si spieghinotutti i passaggi fatti.

Es. 146 — (appello dell’11 febbraio 2014)1. Dati i punti x0, x1, x2, x3 definire i polinomi di Lagrange Li(x) per i = 0, 1, 2, 3 e fare il grafico

del polinomio L2(x).2. Supponendo, ora, di avere n + 1 coppie di punti (xi, yi) e di voler cercare la retta di regres-

sione ai minimi quadrati sugli scarti verticali, quale funzione occorre minimizzare e in chemodo? Spiegare nei dettagli.

3. Se, al posto della retta di regressione, si vuole cercare una funzione di approssimazione ditipo esponenziale, y(x) = aebx, quali passaggi occorre fare per determinare i coefficienti a eb?

Es. 147 — (appello del 18 settembre 2013)1. Assegnato uno schema iterativo per la soluzione di sistemi lineari, nella forma x(k+1) =

Ex(k) + q, enunciare il teorema di convergenza e dimostrarlo nel caso in cui la matrice diiterazione abbia n autovettori linearmente indipendenti.

2. Partendo dal sistema lineare Ax = b, ricavare la formula del metodo di Jacobi.

Es. 148 — (appello del 3 settembre 2013) Ricavare (spiegando tutti i passaggi) la formula deitrapezi e la corrispondente formula dell’errore nel caso semplice.

1. Dare il significato geometrico della formula dei trapezi.2. Ricavare (spiegando tutti i passaggi) la formula dell’errore nel caso in cui si applica la for-

mula composta dei trapezi su n suddivisioni in parti uguali dell’intervallo di integrazione.Quanto vale queste formula applicata per risolvere

∫ 2

0(4x2 − 2x)dx e n = 2 suddivisioni?

3. Cosa succede, in generale, se si fa il rapporto degli errori tra le formule dei trapezi per n eper 2n suddivisioni? Quali ipotesi devono essere verificate?

Es. 149 — (appello del 10 luglio 2013)1. Metodo di estrapolazione di Richardson: spiegare a cosa serve.2. Ricavare, spiegando tutti i passaggi, la formula da applicare per ottenere l’estrapolazione

di Richardson.3. Se si vuole applicare l’estrapolazione di Richardson e la funzione integranda è f(x) = 10x4+

2x3 cosa si può dire sull’errore della formula? Spiegare.

Es. 150 — (appello del 25 giugno 2013)1. Scrivere la formula dello schema di punto fisso per una funzione di punto fisso g.2. Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza dello schema.3. Ricavare ordine e fattore di convergenza nel caso generale (g′(ξ) 6= 0).4. Ricavare ordine e fattore di convergenza nel caso in cui (g′(ξ) = g′′(ξ) = 0 e g′′′(ξ) 6= 0).

Es. 151 — (appello del 25 giugno 2013)1. Ricavare il metodo di Newton-Raphson per un’equazione non lineare f(x) = 0.2. Ricavare ordine e fattore di convergenza del metodo nel caso generale (f ′(ξ) 6= 0, f ′′(ξ) 6= 0).

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6. DOMANDE DI TEORIA

3. Sotto quali condizioni il metodo converge? Dimostrare la convergenza del metodo vedendolocome caso particolare dell’iterazione di punto fisso.

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7PROGRAMMAZIONE IN MATLAB

La soluzione degli esercizi di programmazione non è data attraverso script e function ma at-traverso i risultati che si devono ottenere (risultati numerici e/o grafici richiesti). I risultati sonoottenuti in Octave.Es. 152 — (compito del 22 febbraio 2016) Si vogliono ricavare la costante cinetica e l’ordine direazione di un reagente chimico omogeneo, sapendo che tali quantità sono legati alla velocità direazione e alla concentrazione del reagente tramite l’equazione cinetica

v = kCn

dove v indica la velocità di reazione, k rappresenta la costante cinetica, C la concentrazione molaredel reagente, e n l’ordine di reazione.

Sperimentalmente sono stati osservati i seguenti valori:C (gmol/l) 5 3.85 2.54 2.0 1.76 1.24 1.008

v (gmol/l · s) 0.594 0.528 0.424 0.478 0.348 0.348 0.288Si usino i dati in tabella per ottenere i valori di k e n.A tale scopo si scriva uno script MATLAB dal nome compitoCOGNOME.m che usi in modo

opportuno function proprie di MATLAB per ricavare i valori di k e n riconducendosi ad un modellodi approssimazione lineare ai minimi quadrati.

Una volta trovati i valori di k e n, si definisca come function handle la funzione v(C) = kCn,e si faccia un grafico dei dati sperimentali (per punti) e della funzione v(C) (come linea continua)nell’intervallo definito dal più piccolo e dal più grande valore di C mostrati in tabella. Si inseriscacome titolo il proprio nome e cognome, e si aggiungano etichette sui due assi per spiegare cosaviene messo in figura.

Si calcoli infine la somma dei quadrati degli scarti.Importante: lo script presenti, come commento, nome, cognome e matricola dello studente;La figura venga salvata in formato pdf (si ricordi il comando print -dpdf nomefile.pdf)

con il nome figuraCOGNOME.pdfQuando si e’ sicuri che lo script funziona bene, eseguirlo salvando i risultati tramite il comando

diary(’compitoCOGNOME.txt’) (prima di eseguire lo script) e poi tramite il comando diaryoff per chiudere il file di scrittura dei risultati.

Si visualizzino sulla Command Window i valori di k, n e della somma dei quadrati degli scarti.Si cerchi di commentare il più possibile le variabili e le istruzioni che vengono eseguite.Nella directory di lavoro, devono essere dunque presenti: lo script compitoCOGNOME.m, il file

diary compitoCOGNOME.txt e la figura figuraCOGNOME.pdf.

55

7. PROGRAMMAZIONE IN MATLAB

RIPORTARE I SEGUENTI RISULTATI OTTENUTI DA MATLAB:il valore di k è: ________________________________il valore di n è: ________________________________la somma dei quadrati degli scarti vale: ________________________________

Es. 153 — (compito (straordinario) del 12 gennaio 2016)Si vuole approssimare l’integrale

∫ b

af(x)dx dove f(x) = x2 +cos (x), a = 1.5, b = 2.5 utilizzando

la formula del midpoint partendo da un’unica suddivisione dell’intervallo [a, b] e poi raddoppiandoin parti uguali il numero di suddivisioni dell’intervallo fino ad arrivare a 26 suddivisioni. Ciòsignifica che partiamo dall’applicare la formula di quadratura su tutto l’intervallo [a, b] (primopasso), poi consideriamo due suddivisioni (21) dell’intervallo [a, b] (secondo passo), poi quattrosuddivisioni (22) (terzo passo), fino ad arrivare a 26 suddivisioni dell’intervallo (settimo passo).

La formula del midpoint da applicare su n suddivisioni in parti uguali dell’intervallo [a, b] è laseguente:

I ≈ hn∑

i=1

f(x∗i )

dove h è l’ampiezza dei sottointervalli (uguale per tutti) e x∗i è il punto medio di ciascun

sottointervallo (x∗i =ai + bi

2), considerando ai e bi gli estremi del sottointervallo cui appartiene).

Data la semplicità dell’integrale, si valuti anche il valore esatto dell’integrale, in modo dacalcolare l’errore esatto che si commette al variare del numero di suddivisioni.

L’algoritmo da implementare si può così riassumereGPartendo dal primo passo (20 suddivisioni) fino ad arrivare al settimo passo (26 suddivisioni

in parti uguali dell’intervallo [a, b]): applicare la formula del midpointGValutare l’errore esatto.

A tale scopo si scriva uno script MATLAB dal nome compitoCOGNOME.m e la function dal no-me midpointrule.m, che implementa la formula del midpoint. In particolare lo script devepresentarsi nel seguente modo:

1.come commento presenti nome, cognome e matricola dello studente;2.definisca le variabili a e b estremi di integrazione della funzione f ;3.definisca la funzione f integranda come function handle;4.dopo aver calcolato (a mano) la F funzione primitiva della f , la si definisca come function

handle ;5.assegni alla variabile Iesatto il valore esatto dell’integrale, facendo uso della F appena

definita;6.assegni alla variabile npassi il numero totale di passi in cui si dovrà applicare la formula

del midpoint ;7.si creino due vettori dal nome Imp e h di lunghezza npassi e dalle componenti tutte uguali

a zero, in cui poi si assegneranno i valori della formula di quadratura e dell’ampiezza dellesuddivisioni ad ogni passo;

8.inizializzi la variabile n che rappresenta il numero di suddivisioni dell’intervallo [a, b], comen=1;

9.si crei un ciclo che per i=1 fino a npassi chiami la function midpoinrule che asse-gna, in uscita, il valore dell’integrale ottenuto con la formula del midpoint e l’ampiezza dellesuddivisioni, alle componenti i-sime dei vettori Imp, h. All’interno del ciclo si aggiorni lavariabile n in modo opportuno;

10.una volta che sono ottenuti tutti i valori approssimati dell’integrale mediante la formula di in-tegrazione, si calcoli l’errore esatto in valore assoluto, per ogni passo effettuato, introducendouna variabile dal nome errore;

11.si faccia un grafico in scala logaritmica (loglog) in cui sull’asse delle ascisse si ponel’ampiezza delle suddivisioni effettuate e sull’asse delle ordinate gli errori.

56

La figura venga salvata in formato pdf (si ricordi il comando print -dpdf nomefile.pdf) conil nome figuraCOGNOME.pdf

Si osservi che, per quanto riguarda la function midpointrule.m, essa deve avere come valoridi input la funzione integranda f, gli estremi di integrazione a e b e il numero delle suddivisionin. Si ricordi che il punto medio di ciascun sottointervallo si può anche ottenere come combi-nazione, mediante opportuni coefficienti, dell’estremo sinistro del sottointervallo cui appartiene edell’ampiezza h. In tal modo si può aggiornare, di volta in volta, l’estremo sinistro in una variabile(chiamata, ad esempio x0) che la prima volta assume valore uguale alla variabile a.

Quando si e’ sicuri che lo script funziona bene, eseguirlo salvando i risultati tramite il comandodiary(’compitoCOGNOME.txt’) (prima di eseguire lo script) e poi tramite il comando diaryoff per chiudere il file di scrittura dei risultati: si visualizzino sulla command window i valori diImp, h e errore.

Si cerchi di commentare il più possibile le variabili e le istruzioni che vengono eseguite.Nella directory di lavoro, devono essere dunque presenti: lo script compitoCOGNOME.m, la

function midpointrule.m, il file diary compitoCOGNOME.txt e la figura figuraCOGNOME.pdf.RIPORTARE I SEGUENTI RISULTATI OTTENUTI DA MATLAB:

il valore di Imp all’ultima suddivisione è: ________________________________il valore di errore all’ultima suddivisione è: ________________________________

Es. 154 — (compito del 23 settembre 2015)Data la tabella di dati sperimentali del file tema2.dat dove la prima colonna rappresenta i

valori xi e la seconda colonna i corrispondenti valori yi, si vuole:Gtrovare il polinomio di interpolazione dei datiGtrovare la retta di approssimazione ai minimi quadrati y = A0 +A1x che minimizza gli scarti

verticaliGtrovare la retta di approssimazione ai minimi quadrati x = B0+B1y che minimizza gli scarti

orizzontaliDel polimomio e delle due rette, si vuole fare anche il grafico. A tale scopo si scriva uno script dalnome compitoCOGNOME.m che:

1.come commento presenti nome, cognome e matricola dello studente;2.carichi le coppie di dati sperimentali (senza ricopiarli a mano dal file...)3.utilizzando le function proprie di MATLAB costruisca il polinomio di interpolazione e ne fac-

cia il grafico (una figura con i dati sperimentali – per punti – e il polinomio di interpolazione– per linee)

4.utilizzando le function proprie di MATLAB costruisca la retta di approssimazione y = A0 +A1x salvando i valori A0 e A1

5.utilizzando le function proprie di MATLAB costruisca la retta di approssimazione x = B0 +B1y salvando i valori B0 e B1

6.si faccia un altro grafico con le due rette di approssimazione (per linee, di diverso colore) e idati sperimentali (per punti). Si inserisca una legenda

Per fare i grafici del polimonio di interpolazione e delle rette di approssimazione, si usino almeno50 punti equidistanti nell’intervallo dei dati a disposizione.

A ciascuna figura si aggiunga un titolo che indichi cosa si è fatto ma presenti anche il propriocognome. Le due figure vengano salvate in formato pdf (si ricordi il comando print -dpdfnomefile.pdf) con i nomi figura1COGNOME.pdf e figura2COGNOME.pdf.

Quando si e’ sicuri che lo script funziona bene, eseguirlo salvando i risultati tramite il comandodiary(’compitoCOGNOME.txt’) (prima di eseguire lo script) e poi tramite il comando diaryoff per chiudere il file di scrittura dei risultati. Sulla Command Window si visualizzi ilcoefficiente di x2 del polinomio di interpolazione e i coefficienti delle due rette di approssimazione.

Nella directory di lavoro, devono essere dunque presenti: lo script compitoCOGNOME.m, il filediary compitoCOGNOME.txt e le due figure figura1COGNOME.pdf e figura2COGNOME.pdf.

RIPORTARE I SEGUENTI RISULTATI OTTENUTI DA MATLAB:il coefficiente di x2 nel polinomio di interpolazione è: ________________________________

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la retta y = A0 +A1x vale : ________________________________la retta x = B0 +B1x vale : ________________________________

Il file di dati necessario per risolvere l’esercizio (presente al calcolatore durante lo svolgimentodella prova) è il seguente-6.00000000e+00 4.32279415e+02-5.50000000e+00 3.63705540e+02-5.00000000e+00 3.00958924e+02-4.50000000e+00 2.43977530e+02-4.00000000e+00 1.92756802e+02-3.50000000e+00 1.47350778e+02-3.00000000e+00 1.07858757e+02-2.50000000e+00 7.43995974e+01-2.00000000e+00 4.70723869e+01-1.50000000e+00 2.58971058e+01-1.00000000e+00 1.07906496e+01-5.00000000e-01 1.74177368e+000.00000000e+00 -1.00000000e+00

Es. 155 — (compito del 7 settembre 2015)Si vuole approssimare la radice della funzione f(x) = e−x − x nell’intervallo [0, 4] applicando

lo schema della secante fissa, con una tolleranza di 10−12, numero massimo di iterazioni 80, epartendo da x0 = 2 e x1 = 1. Si ricorda che lo schema della secante fissa è nella forma xn+1 =

xn −f(xn)

cdove c =

f(x1)− f(x0)x1−0

, con x0 e x1 valori iniziali. A tale scopo si scriva uno script dal

nome compitoCOGNOME.m che:1.come commento presenti nome, cognome e matricola dello studente;2.definisca la funzione f(x) come function handle;3.definisca gli estremi dell’intervallo in cui approssimare la radice (usando le variabili a e b);4.definisca le variabili x0 e x1;5.definisca il valore della tolleranza toll e del numero massimo di iterazioni itmax;6.applichi lo schema della secante fissa richiamando la function funsecf che abbia in inputx0, x1, f , toll e itmax, e fornisca in output il valore approssimato della radice ξ, il numerodi iterazioni k effettuate, una stima del fattore di convergenza M e il vettore con il valoredello scarto ad ogni iterazione;

7.stampi i valori di ξ, k e M ;8.generii due grafici:

a)Figura 1: la funzione f nell’intervallo assegnatob)Figura 2: il diagramma di convergenza in scala semilogaritmica degli scarti rispetto al

numero di iterazioni.A ciascuna figura si aggiunga un titolo che indichi cosa si è fatto ma presenti anche il propriocognome. Le due figure vengano salvate in formato pdf (si ricordi il comando print -dpdfnomefile.pdf) con i nomi figura1COGNOME.pdf e figura2COGNOME.pdf.

Quando si e’ sicuri che lo script funziona bene, eseguirlo salvando i risultati tramite il comandodiary(’compitoCOGNOME.txt’) (prima di eseguire lo script) e poi tramite il comando diaryoff per chiudere il file di scrittura dei risultati.

Nello scrivere la function si metta come commento il proprio cognome, nome e numero di ma-tricola. Si cerchi di commentare il piu’ possibile le variabili e le istruzioni che vengono fatteeseguire.

Nella directory di lavoro, devono essere dunque presenti: lo script compitoCOGNOME.m, lafunction funsecf.m, il file diary compitoCOGNOME.txt e le due figure figura1COGNOME.pdf efigura2COGNOME.pdf.

RIPORTARE I SEGUENTI RISULTATI OTTENUTI DA MATLAB:il valore approssimato della radice è: ________________________________

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è stato ottenuto con un numero di iterazioni uguale a: ________________________________

Es. 156 — (compito del 2 luglio 2015)Data la matrice A tridiagonale, di dimensione n = 80, con elementi della diagonale principale

uguali a 20 e gli elementi della sovra e sotto diagonale uguali a −9, si vogliono calcolare la velocitàdi convergenza dei metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel e si vuole ricavare empiricamente il valoredi ωopt per il metodo di rilassamento.

Nel seguito useremo la seguente notazione: I matrice identità, F la matrice diagonale di A, eM matrice contenente la parte triangolare inferiore di A cambiata di segno, N matrice contenentela parte triangolare superiore di A cambiata di segno, in modo tale che A = F −M −N .

A tale scopo si scriva uno script MATLAB dal nome compitoCOGNOME.m che:1.come commento presenti nome, cognome e matricola dello studente;2.usando in modo opportuno le function proprie di MATLAB crei le matrici A, F, M, N.3.crei la matrice di iterazione di Jacobi EJ (EJ = F−1(M +N))4.crei la matrice di iterazione di Gauss-Seidel ES (ES = (F −M)−1N )5.usando le function proprie di MATLAB calcoli la velocità di convergenza dei due metodi RJ eRS dei due metodi

6.all’interno dii un ciclo in cui ω varia da 0 a 2 con passo 0.08, calcoli per ciascun valore di ω lamatrice di iterazione del metodo SOR (Eω = (F −ωM)−1 [(1− ω)F + ωN ]) e il corrispondenteraggio spettrale rhoEw

7.all’uscita dal ciclo visualizzi in un grafico per ogni valore di ω il corrispondente raggiospettrale


Quando si e’ sicuri che lo script funziona bene, eseguirlo salvando i risultati tramite il comandodiary(’compitoCOGNOME.txt’) (prima di eseguire lo script) e poi tramite il comando diaryoff per chiudere il file di scrittura dei risultati: si visualizzino sulla command window i valoridelle velocità di convergenza dei metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel. Inoltre, si veda dal graficoquale sia il valore ottimale di ω per il metodo di rilassamento.

Si cerchi di commentare il piu’ possibile le variabili e le istruzioni che vengono eseguite.Nella directory di lavoro, devono essere dunque presenti: lo script compitoCOGNOME.m, il file

diary compitoCOGNOME.txt e la figura figuraCOGNOME.pdf.RIPORTARE I SEGUENTI RISULTATI OTTENUTI DA MATLAB:

il valore della velocità di convergenza del metodo di Jacobi è: ________________________________il valore della velocità di convergenza del metodo di Gauss-Seidel è:________________________________il valore ottimale sperimentale di ω nel metodo di rilassamento è:________________________________

Es. 157 — (compito del 18 giugno 2015)Si vuole approssimare l’integrale

∫ b

af(x)dx dove f(x) = cos (x) + x3, a = 0, b = 2 utilizzando la

formula dei trapezi partendo da un’unica suddivisione dell’intervallo [a, b] e poi raddoppiando inparti uguali il numero di suddivisioni dell’intervallo fino ad arrivare a 27 suddivisioni. Ciò significache partiamo dall’applicare la formula di quadratura su tutto l’intervallo [a, b] (primo passo), poiconsideriamo due suddivisioni (21) dell’intervallo [a, b] (secondo passo), poi quattro suddivisioni(22) (terzo passo), fino ad arrivare a 27 suddivisioni dell’intervallo (ottavo passo). La formulacomposta dei trapezi sia implementata applicando la formula semplice su ciascuna suddivisione esommando i vari contributi.

Data la semplicità dell’integrale, si valuti anche il valore esatto dell’integrale, in modo dacalcolare l’errore esatto che si commette al variare del numero di suddivisioni.

L’algoritmo da implementare si può così riassumere

59


GPartendo dal primo passo (20 suddivisioni) fino ad arrivare all’ottavo passo (27 suddivisioniin parti uguali dell’intervallo [a, b]): applicare la formula composta dei trapezi.GValutare l’errore esatto.

A tale scopo si scriva uno script MATLAB dal nome compitoCOGNOME.m e la function dal nometrapsemplice.m, che implementa la formula dei trapezi semplice e che viene richiamata all’in-terno della function trapcomposta.m (questa function viene data a disposizione dello studente)In particolare lo script deve presentarsi nel seguente modo:

1.come commento presenti nome, cognome e matricola dello studente;2.definisca le variabili a e b estremi di integrazione della funzione f3.definisca la funzione f integranda come function handle4.dopo aver calcolato (a mano) la F funzione primitiva della f , la si definisca come function

handle5.assegni alla variabile Iesatto il valore esatto dell’integrale, facendo uso della F appena

definita6.memorizzi i valori dell’integrale approssimato e della dimensione dei sottointervalli nei

vettori Itrap e h7.calcoli i valori di Itrap e h richiamando la function trapcomposta.m da 20 a 27 suddivisioni

di [a, b]8.calcoli l’errore esatto in modulo per ogni valore di Itrap introducendo la variabile errore9.costruisca un grafico in scala logaritmica (loglog) di errore contro h.


Quando si e’ sicuri che lo script funziona bene, eseguirlo salvando i risultati tramite il comandodiary(’compitoCOGNOME.txt’) (prima di eseguire lo script) e poi tramite il comando diaryoff per chiudere il file di scrittura dei risultati: si visualizzino sulla command window i valori diItrap, h e errore.

Si cerchi di commentare il piu’ possibile le variabili e le istruzioni che vengono eseguite.Nella directory di lavoro, devono essere dunque presenti: lo script compitoCOGNOME.m, la

function trapsemplice.m, la function trapcomposta.m, il file diary compitoCOGNOME.txt ela figura figuraCOGNOME.pdf.

RIPORTARE I SEGUENTI RISULTATI OTTENUTI DA MATLAB:il valore di Itrap all’ultima suddivisione è: ________________________________il valore di errore all’ultima suddivisione è: ________________________________

Es. 158 — (compitino del 18 giugno 2015)Nel file tema2.dat sono presenti misure ottenute da un’esperienza di laboratorio. La prima

colonna di dati rappresenta i valori xi, la seconda colonna di dati rappresenta i valori yi.Si vogliono approssimare le coppie (xi, yi) attraverso un modello non lineare y = aexb, secondo

i minimi quadrati, minimizzando gli scarti verticali. A tale scopo si scriva uno script MATLABdal nome compitoCOGNOME.m che:

1.come commento presenti nome, cognome e matricola dello studente;2.carichi i dati del file (senza copiarli a mano!)3.utilizzi, applicando opportune istruzioni, la function propria di MATLAB polyfit per

ricavare i coefficienti a e b del modello non lineare assegnato4.definisca la function handle che approssima i dati secondo il modello non lineare5.faccia un grafico dei dati sperimentali (per punti) e della function handle (con linea continua),

nell’intervallo dato dal più piccolo e dal più grande valore di xi (aggiungere titolo, etichettesui due assi, ...)

6.in corrispondenza dei dati sperimentali, calcoli la somma dei quadrati degli scarti,assegnando il valore alla variabile scarto.

60


Quando si e’ sicuri che lo script funziona bene, eseguirlo salvando i risultati tramite il comandodiary(’compitoCOGNOME.txt’) (prima di eseguire lo script) e poi tramite il comando diaryoff per chiudere il file di scrittura dei risultati: si visualizzino sulla command window almeno ivalori di a, b e scarto.

Si cerchi di commentare il piu’ possibile le variabili e le istruzioni che vengono eseguite.Nella directory di lavoro, devono essere dunque presenti: lo script compitoCOGNOME.m, il file

diary compitoCOGNOME.txt e la figura figuraCOGNOME.pdf.RIPORTARE I SEGUENTI RISULTATI OTTENUTI DA MATLAB:

i valori a e b sono: ________________________________la somma dei quadrati degli scarti è: ________________________________

Nel computer, il file tema2.dat che si aveva a disposizione era il seguente:1.13000000e+00 2.28294384e+001.93000000e+00 1.70946734e+002.43000000e+00 1.54665165e+003.13000000e+00 1.16725971e+003.53000000e+00 1.11276781e+004.13000000e+00 8.42955990e-014.53000000e+00 8.25136212e-014.93000000e+00 6.45169408e-015.03000000e+00 7.10619195e-015.13000000e+00 6.02705887e-015.63000000e+00 5.94053235e-015.83000000e+00 4.72632974e-016.03000000e+00 5.27217193e-017.13000000e+00 2.92872181e-017.53000000e+00 3.37255640e-017.93000000e+00 2.12458158e-018.23000000e+00 2.73942356e-018.93000000e+00 1.35621605e-011.00300000e+01 1.57891184e-01

Es. 159 — (compitino del 27 aprile 2015) Si vuole approssimare la radice della funzione f(x) =x3+4ex−3x2−12 nell’intervallo [0, 4] applicando lo schema della tangente fissa, con una tolleranzadi 10−12 e partendo da x0 = 2. Si ricorda che lo schema della tangente fissa è nella forma xn+1 =

xn −f(xn)

cdove c = f ′(x0). A tale scopo si scriva uno script dal nome compitoCOGNOME.m che:

1.come commento presenti nome, cognome e matricola dello studente;2.definisca la funzione f(x) come function handle;3.definisca la funzione f ′(x) come function handle;4.definisca gli estremi dell’intervallo in cui approssimare la radice (usando le variabili a e b);5.definisca la variabile x0;6.definisca il valore della tolleranza toll e del numero massimo di iterazioni itmax

(prendendo 80 come numero massimo di iterazioni);7.definisca il valore della tangente fissa c;8.applichi lo schema della tangente fissa richiamando la function funtangf che abbia in input

la funzione f , il valore della tangente fissa, l’approssimazione x0, il valore della tolleranza eil numero massimo di iterazioni. In uscita, la function dia il valore approssimato della radice,il numero di iterazioni effettuate e il vettore con il valore dello scarto ad ogni iterazione. Loschema iterativo va implementato fino a quando lo scarto tra due iterazioni successive nondiventa minore della tolleranza prefissata o il numero di iterazioni non supera il numeromassimo di iterazioni;

61


9.ci si faccia stampare i valori di output della function;10.si facciano quindi due grafici:

a)una prima figura con la funzione f e con l’asse delle ascisse nell’intervallo assegnatob)una seconda figura con il grafico di convergenza in scala semilogaritmica sull’asse delle

ordinate, in cui sulle ascisse si pone il valore delle iterazioni e sulle ordinate si pone illogaritmo in base 10 degli scarti

A ciascuna figura si aggiunga un titolo che indichi cosa si è fatto ma presenti anche il propriocognome. Le due figure vengano salvate in formato pdf (si ricordi il comando print -dpdfnomefile.pdf) con i nomi figura1COGNOME.pdf e figura2COGNOME.pdf.

Quando si e’ sicuri che lo script funziona bene, eseguirlo salvando i risultati tramite il comandodiary(’compitoCOGNOME.txt’) (prima di eseguire lo script) e poi tramite il comando diaryoff per chiudere il file di scrittura dei risultati.

Nello scrivere la function si metta come commento il proprio cognome, nome e numero di ma-tricola. Si cerchi di commentare il piu’ possibile le variabili e le istruzioni che vengono fatteeseguire.

Nella directory di lavoro, devono essere dunque presenti: lo script compitoCOGNOME.m, lafunction funtangf.m, il file diary compitoCOGNOME.txt e le due figure figura1COGNOME.pdfe figura2COGNOME.pdf.

RIPORTARE I SEGUENTI RISULTATI OTTENUTI DA MATLAB:il valore approssimato della radice è: ________________________________

è stato ottenuto con un numero di iterazioni uguale a: ________________________________

62


Soluzione (Es. 152) — Si ricava k=0.30208, n=0.42224. La somma dei qua-drati degli scarti vale 0.0077474 (Risultati ottenuti nel formato di default).

1 2 3 4 50.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

concentrazione C

velo

cita

’ di r

eazi

one

Cognome Nome

Soluzione (Es. 153) — Il valore di Imp all’ultima suddivisione è 3.68428608668199e+00 concorrispondente errore dato da 2.44041512438287e-05.

1e-2 1e-1 1e+01e-5

1e-4

1e-3

1e-2

1e-1

1e+0

ampiezza h

erro

re

tema1

63


Soluzione (Es. 154) — Il coefficiente di x2 vale 11.185. Invece i valori per a0 e a1 sono-67.381, -72.404, Per b0 e b1 abbiamo -1.075314, -0.012846 rispettivamente.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0-100

0

100

200

300

400

500

figura1tema2

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-100

0

100

200

300

400

500

figura2tema2

nodiscarti verticaliscarti orizzontali

Soluzione (Es. 155) — Il valore approssimato della radice è 0.56714 ottenuto in 22 iterazioni.

0 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

1

x

grafico della f di COGNOME

0 5 10 15 20 251e-14

1e-12

1e-10

1e-8

1e-6

1e-4

1e-2

1e+0

grafico di convergenza di COGNOME

Soluzione (Es. 156) — La velocità di convergenza con il metodo di Jacobi é 0.046084, mentrecon Gauss-Seidel abbiamo 0.092168. Dal grafico si vede che il valore ottimale per ω ottenutosperimentalmente è ω = 1.44.

64

0 0.5 1 1.5 20.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

omega

ragg

io s

pettr

ale

tema4

Soluzione (Es. 157) — All’ultima suddivisione si ha Itrap= 4.9095e+00 con il valore corri-spondente dell’errore pari a 2.2564e-04.

1e-2 1e-1 1e+0 1e+11e-4

1e-3

1e-2

1e-1

1e+0

1e+1

ampiezza h

erro

re

tema3

Soluzione (Es. 158) — Riportando i risultati nel formato di default abbiamo a= 3.318597,b=-0.322712, scarto=0.037387.

65


2 4 6 8 10

0

0.5

1

1.5

2

x

y

tema 2 compitino

Soluzione (Es. 159) — usando il formato di default si ha xnew = 1.3162, iter=49.

0 1 2 3 4

0

50

100

150

200

x

grafico della f di COGNOME

0 10 20 30 40 501e-14

1e-12

1e-10

1e-8

1e-6

1e-4

1e-2

1e+0

grafico di convergenza di COGNOME

66

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