I RADICALI

RACCOLTA DI ESERCIZI CON SOLUZIONE

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Ecco a voi una raccolta di esercizi su radici e radicali. La prima parte è una raccolta di esercizi svolti, mentre la seconda è una raccolta sono esercizi da svolgere con soluzione finale.

BUON LAVORO!

A. Semplifica le seguenti espressioni con numeri irrazionali:

1. √49� è irriducibile perché √49� = √7��

e �. C. D. �5; 2� = 12. √49� = √7��∙� = √7�3. √a��� = √a�� √a�� = a� √a�� = a�4. √8� = √2�� = √2�:��:� = √2� √−5!�" = −√5!�" = −5� = −25 5. √x�� = x √a!$�% = √a�� , C. E. : a ≥ 06. √16� = √2�� = √2�� = √4� √8� = √2�� = √2� 7. +�−8��� = +|−8|� = √8� = 2 la scrittura +�−8��� = √−8� è errata, perché +�−8��� ≥ 0 mentre √−8� < 0 8. +�−2��� = +|−2|� = √2� la scrittura +�−2��� = √−2� è evidentemente errata. 9. >?2 − √5@�� = A2 − √5A = −?2 − √5@ perchè 2 − √5 < 0 10. √8a� − 12a� + 6a − 1� = +�2a − 1��� = √2a − 1� con C. E. : a ≥ !�11. √a� − 6a + 9� = +�a − 3��� = |a − 3| 12. +�5a − 2���� = +�5a − 2���13. ?1 + √2@� + ?1 + √2@ ∙ √2 + ?√2 + 1@ ∙ ?√2 − 1@ = 1 + 2 + 2√2 + √2 + 2 + 2 − 1 = 6 + 3√2 .14. 2√8 − 3√18 + 5√12 − √200 + D√� = 2 ∙ 2√2 − 3 ∙ 3√2 + 5 ∙ 2√3 − 10√2 + D√� ∙ √�√� =

= 4√2 − 9√2 + 10√3 − 10√2 + 6√22 = 4√2 − 9√2 + 10√3 − 10√2 + 3√2 = 10√3 − 12√2 .15. ?2√3 − 5√2@� − √DE√��√�E� − !$√� ∙ ?√3 − 4√2@ = 12 + 50 − 20√6 − √DE√��√�E� ∙ �√�F��√�F� − 15 + 60 √�√� =

= 62 − 20√6 − 2√12 − 2√6 + 2√6 − 2√38 − 4 − 15 + 60 √2√3 ∙ √3√3 == 62 − 20√6 − 4√3 − 2√34 − 15 + 60 √63 = 62 − 20√6 − 2√34 − 15 + 20√6 = 47 − √32 .

16.!?�E√�@?�E√�@?�F√�@?�F√�@ = !?�E√�@?�F√�@?�E√�@?�F√�@ = !�GF����F�� = !H∙! = !H .

17. +2√2�� = +√2� ∙ 2�� = +√2$�� = √2$�% = √2 � .18. IJ5 √�� K√�L √�� = 5 √�� ∙√�∙ √�� = 5 √��� ∙ √��� ∙ √�� = 5 √��∙��∙�� = 5 √��� = 5� = 25 . 19. >7 + +9 + √4 + 5180 = >7 + +9 + √5184 = +7 + √9 + 72 = +7 + √81 = √7 + 9 = √16 = 4 .20. ( ) ( ) ( ) =−−+⋅−

2

5331321 ( ) =−+−⋅−−+ 310523323231

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Esercizi Svolti

=+−−−−+= 31025363231 3933+− .

21. Verifica che: ( ) ( ) 2 2

+=++ 102172510

2

102171022510 +=+++ ; 1021710217 +=+ .

22. ?4√3 + √2@� + ?√3 + 3√2@ ∙ ?√3 − 3√2@ − 15 ∙ √�F�√�√�E�√� = 48 + 2 + 8√6 + 3 − 18 − 15 ∙ √�F�√�√�E�√� ∙ √�F�√�√�F�√� = = 35 + 8√6 − 15 ∙ 3 + 18 − 6√63 − 18 = 35 + 8√6 − 15 ∙ 21 − 6√6−15 = 35 + 8√6 + 21 − 6√6 = 56 + 2√6 .

23. =−−+− 48432612582183 =⋅−⋅−⋅+⋅−⋅ 344246325222233 =−−+−= 3162243102429 36219 −− .

24. ��E�√D − √��√� + √��?√�E�√�@ = ��E�√D ∙ �F�√D�F�√D − √��√� ∙ √�√� + √��?√�E�√�@ ∙ √�F�√�√�F�√� = = 6 − 4√69 − 24 − √66 +∙ √6 − 42 ∙ �3 − 8� = 4√6 − 615 − √66 + 4 − √610 = 8√6 − 12 − 5√6 + 12 − 3√630 = 0 .

25. 3√27 − 5√32 + 2√300 − D√� + D√�F√� = 3 ∙ 3√3 − 5 ∙ √2$ + 2√100√3 − D√� ∙ √�√� + D√�F√� ∙ √�E√�√�E√� == 9√3 − 20√2 + 20√3 − 6√33 + 6 ∙ ?√3 + √2@3 − 2 = 9√3 − 20√2 + 20√3 − 2√3 + 6√3 + 6√2 = = 33√3 − 14√2 .

26. +�2 − M��� = 2 − M . 27. +�2 − M��� = |2 − M| = −�2 − M� perché 2 − M < 0 . 28. +�M − 2��� = |M − 2| = +�M − 2� perché M − 2 > 0 . 29. >?√5 − √6@�� = √5 − √6 . 30. >?√5 − √6@�� = A√5 − √6A = −?√5 − √6@ perché √5 − √6 < 0 . 31. >?√6 − √5@�� = A√6 − √5A = +?√6 − √5@ perché √6 − √5 > 0 . 32. >?√2 − √3@� = A√2 − √3A = −?√2 − √3@ perché √2 − √3 < 0 . 33. >?√2 − 1@� + >?√2 − √3@� = √2 − 1 − ?√2 − √3@ = √2 − 1 − √2 + √3 = −1 + √3

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B. Semplifica le seguenti espressioni letterali irrazionali:

34. baba224

416 =

35. 22yx − radicale irriducibile

36. √O� − 9O� + 27O − 27� = +�O − 3��� = √O − 3 con la condizione di esistenza O ≥ 337. > P�P�F�P�E�PF!�� = > P��PF!���� = > PPF!�

con le C.E.: P��PF!�� ≥ 0 ossia Q < 0 ∨ Q ≥ 1

38. √O� + 4S� + 4OS� = +�O + S��� = +|O + S|39. =+=+++

15

6

3

15

6

231133

x

)x(

x

xxx5

2

1

x

x +

40. ?√3 − Q� @$ = 3 − Q41. ?√3 − Q@� = 3 − Q con 3 − Q ≥ 0 ossia Q ≤ 342. ?√3 + Q@D = �3 + Q�� con 3 + Q ≥ 0 ossia Q ≥ −343. √4Q� + 4Q + 1 + +�Q� − 6Q + 9��� = +�2Q + 1�� + +�Q − 3��� = |2Q + 1| + |Q − 3| .44. √Q + 1 + √4Q + 4 + √9Q + 9 = √Q + 1 + +4�Q + 1� + +9�Q + 1� = √Q + 1 + 2√Q + 1 + 3√Q + 1 =6 √Q + 1 UVW C. E: Q ≥ 145. √9Q$ − 18Q� + √4Q − 8 − 3√Q� − 8 − 6Q� + 12Q = +9Q��Q − 2� + +4�Q − 2� − 3+�Q − 2�� = C.E: Q ≥ 2= 3Q� √Q − 2 + 2√Q − 2 − 3�Q − 2�√Q − 2 = �3Q� + 2 − 3Q + 6�√Q − 2 = �3Q� − 3Q + 8�√Q − 2 .46. !√XE!F√X + !√XE!E√X − √16O� + 32O + 16� = √XE!E√XE√XE!F√X?√XE!F√X@∙?√XE!F√X@ − +16 ∙ �O + 1��� =

= √O + 1 + √O + 1?√O + 1@� − ?√O@� − 2√O + 1 = 2√O + 1O + 1 − O − 2√O + 1 = 2√O + 1 − 2√O + 1 = 0 UVW C. E: YO ≥ 0O + 1 ≥ 0Z O ≥ 047. > X�F!X�EXF� ∶ >X�F�XE!� ∙ > XE�X�E�XE!� = >�XE!��XF!��XF!��XE�� ∶ >�XE���XF��XE!� ∙ > XE��XE!��� =

= \O + 1O + 2 ∶ \�O + 2��O − 2�O + 1� ∙ \ O + 2�O + 1��� = \�O + 1���O + 2�� � : \�O + 2���O − 2���O + 1��� ∙ \ O + 2�O + 1��� = = \�O + 1���O + 2�� ∙ �O + 1���O + 2���O − 2�� ∙ O + 2�O + 1��� = \ �O + 1���O + 2�� ∙ �O − 2���

UVW ]. ^.: _�O + 1��O − 1��O − 1��O + 2� ≥ 0O + 2 ≥ 0 Z YO < 2 ∨ −1 < O < 1 ∨ O < 1O ≥ −2 Z − 1 < O < 1 ∨ O < 1 .

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48. 202

22

202

22

116

31

163216

9612

)x(

)x()x(

)xx(

)xx)(xx(

−++=

+−++++

. 10

14

31

−++

=x

xx

49. =+=++=++ 6

24

22

624

242

624

2121

121

yx

)yx(

yx

yxyx

yx

yx.yx

yx

yx 00

13

2

2

≠≠+

50. >X̀ + X̀ + 2� ∙ > X̀� + X̀� + ��XE`�X`� : >X�E`�E�X�`E�X`�X�`� = >X�E`�E�X`X`� ∙ >X�E`�E�X�`E�X`�X�`�� ∙ > X�`��XE`�� = = \�O + S��OS� ∙ \�O + S��O�S�� ∙ \ O�S��O + S�� = \�O + S��O�S��� ∙ \�O + S�GODSD�� ∙ \ O!�S!��O + S�!��� = = \�O + S��O�S� ∙ �O + S�GODSD ∙ O!�S!��O + S�!��� = \ O�S�O + S�� UVW ]. ^. : O + S ≥ 0

51. a>�PF!�PE! + > !�P�F! b : !√�PF! − �P√�PE! = a>�PF!�PE! + > !��PE!���PF!� b ∙ √2Q − 1 − �P√�PE! = = \2Q − 12Q + 1 ∙ √2Q − 1 + \ 1�2Q + 1��2Q − 1� ∙ √2Q − 1 − 2Q√2Q + 1 = = \�2Q − 1��2Q + 1 + \ 2Q − 1�2Q + 1��2Q − 1� − 2Q√2Q + 1 = 2Q − 1√2Q + 1 + \ 12Q + 1 − 2Q√2Q + 1 = = 2Q − 1√2Q + 1 + 1√2Q + 1 − 2Q√2Q + 1 = 2Q − 1 + 1 − 2Q√2Q + 1 = 0√2Q + 1 = 0 .UVW ]. ^.: c 2Q − 12Q + 1 ≥ 0�2Q + 1��2Q − 1� > 0 cQ < − 12 ∨ Q ≥ + 12Q < − 12 ∨ Q > + 12

ZZ Q < − 12 ∨ Q > + 1252. =

−−

−−⋅

−−

43

1

2

2

1

1

2

x

x:

x

x

x

x=

−−⋅

−−⋅

−−

12

3

12

4

12

6

2

1

2

1

1

2

x

x

x

x

x

x ( )( )

( )( )

( )( ) =

−−⋅

−−⋅

−−

123

3

4

4

6

6

2

1

2

1

1

2

x

x

x

x

x

x.

x

x 12

2

1

−−

UVW ]. ^.: Q − 2Q − 1 ≥ 0 Q < 1 ∨ Q ≥ 22 .53. ?√Q − 1 + +d@ ∙ ?√Q − 1 − +d@ + ? +2 − d� @D

Le condizioni di esistenza sono: eQ − 1 ≥ 0d ≥ 0 2 − d ≥ 0Z eQ ≥ 1d ≥ 0d ≤ 2Z ossia: ]. ^. : Q ≥ 1 ∧ 0 ≤ d ≤ 2?√Q − 1 + +d@ ∙ ?√Q − 1 − +d@ + ? +2 − d� @D = Q − 1 − d + 2 − d = Q − 2d + 1 con ]. ^. : Q ≥ 1 ∧ 0 ≤ d ≤ 2 .

54. √Q − 5� = g+ +�Q − 5���� hij Q ≥ 5− +�Q − 5���� hij Q < 5Z55. √Q − 5� = +�Q − 5����

per Q ≥ 556. Semplifica la seguente espressione:

>X� ∙ √X���+X�� ∙ √X�� con O ≥ 0 sia utilizzando le operazioni e le proprietà dei radicali, sia

trasformandola in una espressione con esponenti frazionari. Verifica poi, l’uguaglianza dei due risultati ottenuti.

Soluzione 1 +O� ∙ √O���√O$� ∙ √O�� = +√OD ∙ O���

√O!k�� ∙ √OG�� = +√O���√O!k ∙ OG�� = √O���

√O!G�� = √O���%√OG$�% = \O��OG$�% = \ 1OD��% =

= 1√OD��% = 1O √O��% = 1O √O�% .www.lorenzoandreassi.it

Soluzione 2

+O� ∙ √O���√O$� ∙ √O�� = >O� ∙ O ���

O $D ∙ O �� = lO ��m!$O $D E �� = O �!$O !G!� = O �!$F!G!� = O ��FG$Dk = OFD�Dk = OF�!�k .

Soluzione 3 1O √O�% = 1O ∙ O !�k = 1O�!�k = OF�!�k .

C. Trasporta, se possibile, uno o più fattori fuori dal segno di radice:

57. 4 234 86354 86322232 yxyzyxzyx z

2== con la condizione di esistenza Q ≥ 0 . 58. ( ) ( ) yxyxyxxyyxyx 2221268

32233 −−=−=+−− con la condizione di esistenza Q − 2d ≥ 0 .D. Razionalizza i denominatori delle seguenti frazioni :

59. 252

5

2

5 55

55

5

5

5

52

5 =⋅

=⋅

=⋅

60.7

7

7 7

7 4

7 4

7 4

7 37163

2

166

2

26

2

2

2

6

8

6

===⋅=

61.

( ) ( )2

5

25

27

25

2

2

22+=+⋅=

−+⋅=

++⋅

−=

−7

77

7

7

7

5

7

5

62.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) =−

++⋅−=−

++⋅−=++

++⋅−−=

−−

5

555

5

555

55

55

5

5

5

53 233 2

33

33

3 233 2

3 233 2

3 233 2

3333 x

xxx

x

xxx

xx

xx

x

x

x

x

333 2 255 ++= xx .

E. Trasforma i seguenti radicali doppi in somme di radicali semplici:

63. 247647627 +=⋅+=+

Essendo 2524722 =−=− ba un quadrato perfetto conviene sviluppare il radicale con la formula:

22

22 baabaaba

−−+−+=+

1622

62

572

572

2572

257247 +=+=−++=−++=+

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F. Risolvi il seguente sistema lineare:

64. g√2Q + d − 2 = √2Q − n� + 1 = 0 Z o√2Q + d − 2 = √22Q − d + 2 = 0 Z o√2Q + d − 2 = √2d = 2Q + 2 Z o√2Q + 2Q + 2 − 2 = √2− Z65. o?√2 + 2@Q = √2− Z cQ = √�√�E� = √�√�E� ∙ √�F�√�F� = �F�√��F� = �?!F√�@F� = √2 − 1

d = 2 ∙ ?√2 − 1@ + 2 = 2√2 − 2 + 2 = 2√2 _Q = √2 − 1d = 2√2 Z Z

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SEMPLIFICARE, SE POSSIBILE

1) 8 27 ; 10 54 ; 12 43 [ 4 7 ;2; 3 3 ]

2) 18 81 ; 6 16 ; 16 256 [ 9 9 ; 3 4 ; 2 ]

3) 9 27 ; 8 25− ; 6 1000 [ 3 3 ; 4 5− ; 10 ]

4) 6 9 68a b ; 5 10 532x y ; 3 12 6216x a [ 3 22a b ;2x2y;6x4a2]

5) 12 9 12343a b ; 4 2a b ; 4 8 1216a x [ 4 3 47a b ; 2a b ;322a x ]

6) 6 3 2a 3a 3a 1+ + + ; 2x 2x 1− + [ a 1+ ; x 1− ]

7) ( )23 2 2 318 a 6a b 12ab 8b− + − ; 4 4 3 2x 4x 4x+ + [ 3 a 2b− ; ( )x x 2+ ]

8) 2 2a b+ ; 2 2a b 2ab+ + [ 2 2a b+ ; a b+ ]

9) 2x 1+ ; 2x 1− [ 2x 1+ ; 2x 1− ]

PRODOTTI E QUOZIENTI

10) 3 27⋅ ; 5 6⋅ [9; 30 ]

11) ( )25 6⋅ ; 9 16⋅ [30;12]

12) 3 12 4⋅ ⋅ ; 3 3 375 5 9⋅ ⋅ [12;15]

13) 44 45 7 10⋅ ⋅ ; 44 45 10 2⋅ ⋅ [ 4 350 ; 10 ]

14) 6 6 62 3ab ab ab⋅ ⋅ ; 3 32 2a b ab⋅ [ 2ab ; ab]

15) 33 3⋅ ; 3 44a a a⋅ ⋅ [ 6 53 ; 122a a ]

16) 105 3x x⋅ ; 3 62 52a 8a 8a⋅ ⋅ [ x ;4a2]

17) 2

32

a 1 a 2a 1:a a− − + [ 6 a

a 1−]

18) ( )

34122 5

a 1 a 1 x:x x a 1

+ +⋅+

[ a 1x+ ]

19) ( )321 4372

x x: 2a 1 x2a 1 4a 4a 1

⋅ −− − +

[ ( )23 2a 1− ]

20) ( )2

842 2

a b a b:ab a b a b

−⋅

− +[

( )( )

6

82 5

a b

a b a b

−+

]

PORTARE FUORI

21) 128 ; 3 243 [ 8 2 ; 33 9 ]

22) 4 4 8a b c ; 5 2 3 5a b c [ 42ab c ; 5 2 3c a b ]

23) 150 ; 24 [5 6 ; 2 6 ]

24) 49xy ; 2 4x y [ 23y x ; 2xy ]

25) 3 2x x+ ; 4 8 4x x+ [ x x 1+ ; 4 4x x 1+ ]

26) 2 49x 9x− ; 3 3 627x 27x+ [ 23x 1 x− ; 3 33x 1 x+ ]

27) 5 12 4332a b c ; 11 7 11 18 29 141a b c d x [ 2 6 214a b c 2ac ; 112 12 7 7 7 9bcd x a c d x ]

PORTARE DENTRO

28) 2 3− ; 1 33

[ 12− ; 13

]

29) 2 123

; 3 184

[ 163

; 818

]

30) 31 22

; 5 2525

[ 3 14

; 5 250 ]

31) 1 b aa b

−−

; 1 b aa b

++

[ 1b a

−−

; 1b a+

]

SOMMA, DIFFERENZA, ESPRESSIONI

32) 3 3 5 3 6 3− + [ 4 3 ]

33) 5 2 8 2 3 2− + [ 0 ]

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Esercizi da svolgere

34) 5 3 2 5 2 3 3 5 3 3− + + − − [ 2 3− ]

35) 3 18 6 2 50− + [ 8 2 ]

36) 2 125 45 3 20− − [ 5 ]

37) 27 4 12 48+ − [ 7 3 ]

38) 3 7 2 5 343 80− − − [ 4 7 6 5− − ]

39) 18 8 11 32 44 72+ − − − + [ 7 2 3 11− ]

40) ( ) ( ) ( )22 5 1 5 1 5 1 4 5− − − ⋅ + + [17 ]

41) ( ) ( )2 23 2 3 2− + + [10 ]

42) ( ) ( ) ( )2 22 7 1 2 7 3 2 7 7− + + + − [ 59 10 7+ ]

43) ( )( ) ( )( )3 2 1 2 2 3 2 1 2 3 2+ − − + − [13 7 2− ]

44) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 5 3 2 5 3 5 3 3 5 2 3− − + − − + [17 5 15 11 5 3 3− − + ]

45) ( )( ) ( )2 6 6 2 6 2 2 6 2 2 6 2− + + − − [ 4 ]

46) ( )( ) ( ) ( )2 23 5 1 2 5 3 5 1 2 3 5− + − − − − [ 21 5 28− ]

RADICE DI RADICE

47) 3 7 ; 4 3 16 [ 6 7 ; 3 2 ]

48) 3 3 6a ; 7 2 18b [ 3 2a ; 7 9b ]

49) 3 2 ; 32 3 [ 4 18 ; 6 24 ]

50) 3 4 5 ; 6 2 18 [ 6 80 ; 12 72 ]

RAZIONALIZZAZIONI

51) 37

; 52 3

; 32 2

[ 3 7

7; 5 3

6; 3 2

4]

52) 43

; 12 5

; 63 2

[ 4 3

3; 5

10; 2 ]

53) aa

; 22

; 55

[ a ; 2 ; 5 ]

54) 3 3 2

2

− ; 2 3 1

3

− [ 6 6

2

− ; 6 3

3

− ]

55) 6 3 3

3

− ; 5 5

5

− [ 6 3− ; 5 1− ]

56) 32

2;

33

3;

33

5 [ 3 4 ; 3 9 ; 33 25

5]

57) 320

100;

3

xy

xy;

41

8 [ 32 10 ; 3 2 2x y ;

4 2

2]

58) 43

9;

55

25;

37

2 4 [ 3 ; 5 125 ; 37 2

4]

59) 3 2

1

ab;

2

34

xy

xy;

38

6 [

3 2a b

ab; 34y x y ; 34 36

3]

60) 3

4

16;

33

2 48;

42

32 [ 3 4 ;

3 36

8;

4 8

2]

61) 13 2−

; 15 2−

; 15 3+

[ 3 2+ ; 5 2+ ; 5 3

2

− ]

62) 382 5 1+

; 143 2 2−

; 63 6−

[ ( )2 2 5 1− ; 3 2 2+ ; ( )2 3 6+ ]

63) 2 3

2 3

+−

; 3 5 1

3 5 1

−+

; 25 3−

[ 7 4 3+ ; 23 3 5

22

− ; 5 3

2

+− ]

64) a 1a 1−−

; a bb a

−−

; xx 1+

[ a 1+ ; b a− − ;( )x x 1

x 1

−

−]

RADICALI DOPPI

65) 4 2 3− ; 4 7− [ 3 1− ; 14 2

2

− ]

66) 9 17− ; 4 2 3+ [ 34 2

2

− ; 3 1+ ]

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67) 10 51+ ; 11 2 10− [ 34 6

2

+ ; 10 1− ]

68) 6 2 5− ; 8 15− [ 5 1− ; 30 2

2

− ]

POTENZE A ESPONENTE RAZIONALE

69) 3249 ;

3481

− [343; 1

27]

70) 1225

4

−

;

238

125

−

[ 25

; 254

]

71)

12

2

23

a

a

−

;

23 32

2x x xx

−

−

⋅ ⋅

[3 2

2

a

a;

21x

]

72)

23

2 31

12

a :a a

a

− − ⋅

;

11 3

3 2 22

a a :aa

−−

−

⋅

[a2; 6 5a a ]

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