Caos e problemi con il principio dicorrispondenza

Jacopo Surace

I. Introduzione

Caos, gli antichi greci facevano uso di questaparola per descrivere l’inizio dell’universo, pri-ma del tutto non c’era niente, il nulla, il caos.Passano gli anni e le elucubrazioni sul primadel tutto si alternano, cosicché dove primac’era il nulla ora si può trovare un ammassoalla rinfusa di ipotesi e di cause. Si arriva alconcetto di caos moderno: disordine, confusio-ne e complessità. Ci si può sentire immersi nelcaos durante una manifestazione, cercando unlibro in una stanza molto disordinata, studian-do degli appunti presi male. Caotiche sonoquindi quelle situazioni in cui non è possibilecomprendere, trovare un ordine, prevederel’evoluzione della situazione. Tutto questoha a che fare con la fisica o con le scienze ingenerale? Sembra un controsenso elevare adargomento di studio il caos, quando lo scopo diqualsiasi disciplina scientifica è proprio quellodi eliminare la confusione per trasformala inschemi ben precisi. Sembra esserci qualcosache stride ad associare ad una scienza determi-nistica un campo di studi in cui caratteristicaprincipale è la confusione e l’imprevedibilità.Ovviamente, viene da pensare, che ci sia qual-che meccanismo non ancora capito, qualcosache non sappiamo ancora bene. Sarà propriosu questa mancanza di conoscenza che basere-mo la definizione di caos.

II. Cos’è il caos?

Ci troviamo ora nell’universo della meccani-ca classica, il mondo costruito sul concetto dispazio delle fasi.Per parlare di caos dobbiamoinnanzitutto richiedere un sistema abbastanzacomplesso da avere almeno 2 gradi di liber-tà, richiesta non troppo difficile da realizzare

conoscendo ben poche situazioni reali di unaparticella in una sola dimensione. Fatto questopossiamo definire la caratteristica principaledei sistemi caotici: la divergenza esponenzialedelle traiettorie nello spazio delle fasi. Vediamo co-me da questa semplice richiesta possa derivarel’impossibilità di fare previsioni e la grande di-pendenza dalle condizioni iniziali del sistemafamosa al mondo come effetto farfalla e quindiriusciremo a giustificare l’accostamento delleparole caos-deterministico.Prendiamo in considerazione uno spazio ad Ndimensioni (N pari) come nostro spazio dellefasi, un punto in questo spazio corrisponde aduno stato preciso del sistema, diciamo che ilpunto ( ~q, ~p ) con ~q e ~p vettori N

2 dimensio-nali corrisponde allo stato A del sistema. Seil sistema è in equilibrio statico allora non simuoverà dallo stato A, se per caso non lo fos-se, l’evoluzione temporale del sistema sarebbedata da una traiettoria in questo spazio dellefasi che porta fino ad uno stato B dipenden-te da A e dal tempo passato. L’evoluzionetemporale del sistema è quindi data da unatraiettoria nello spazio delle fasi. E’ immediatonotare che la traiettoria dell’evoluzione tem-porale sarà una curva continua e senza straneparticolarità, basti pensare ad un qualsiasi og-getto in movimento e campionare il suo statoin intervalli di tempo sempre più piccoli. Piùaccorciamo l’intervallo di tempo dal sistemaallo stato A al secondo campionamento, più lostato B sarà vicino allo stato A. Veniamo oraalla divergenza delle traiettorie, ovviamenteci serviranno almeno due punti dello spaziodelle fasi, prendiamo il punto A=(~qA, ~pA) edil punto B=(~qB, ~pB). La distanza tra A e B èuguale a δ. Ora facciamo passare un tempo ted i due sistemi si saranno evoluti in uno statoAt e Bt. Se la divergenza degli stati è esponen-

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ziale avremmo che la distanza tra At e Bt saràdell’ordine di: eλtδ dove λ è una costante tipicadel sistema Hamiltoniano che caratterizza ladivergenza del sistema e viene chiamata espo-nente di Lyapunov. Se tale esponente è positivoallora il sistema è molto sensibile ai dati inizialie questa è la caratteristica più appariscente deisistemi caotici. (Effetto farfalla: se cambio i da-ti iniziali del sistema in maniera impercettibilegli effetti al passare del tempo possono variarein maniere esponenziale. Effetto farfalla poe-tico: se una farfalla sbatte o non sbatte le alia Trieste, può venire o non venire un uraganoa New York). Ricordiamo ora la triste verità,ogni misura è inevitabilmente affetta da un er-rore (per ora stiamo facendo principalmenteriferimento alla fisica classica quindi siamo benlontani dal preoccuparci dell’indeterminazione,l’errore di cui si parla è più grande), dunquemisurando lo stato di un sistema non otterre-mo mai un punto dello spazio delle fasi mapiuttosto un volumetto largo in ogni direzionequanto l’errore di quella misura. Se i punti delsistema si separano esponenzialmente, questovolumetto col passare del tempo si stenderàed espanderà, ovviamente il volume rimarrà lostesso per il teorema di Liouville, ma ciò nonvieta che schiacciandosi lungo una dimensionepossa diventare una ipersuperficie estesissima.Dunque da una misura ben localizzata, conl’evoluzione temporale riusciamo ad ottenereimprecise previsioni per il futuro del sistema.Il motivo per cui un sistema deterministicorisulta imprevedibile pur conoscendone l’evo-luzione temporale è legato all’impossibilità difare misure perfette ed all’ esponenziale pro-pagazione dell’errore. (Deterministico dunquenon vuol dire praticamente prevedibile). An-che altre proprietà sono richieste ad un sistemaaffinché possa essere caotico, ma per lo scopodi questo scritto darò ora una definizione di si-stema caotico differente, compatibile con quellaclassica ma basata su quella che è forse la ca-ratteristica che più popolarmente si associa alcaos: la casualità e la perdita di informazioni.

III. Casualità e teoria della

complessità

Per questa definizione di caos si fa uso diargomenti della teoria della complessità, dun-que chiariamo subito cos’è la complessità. Peruna qualsiasi stringa {N} di N simboli (ugualio diversi tra loro) si definisce la complessitàcome la lunghezza in bit del più più cortoalgoritmo per generarla. Prendiamo ad esem-pio la stringa 111...111 = {N} (dove i puntininon sono parte della stringa ma rappresentanoN-6 cifre 1) un algoritmo per generarla saràScrivi N volte 1 ; in questo caso la lunghezzadella stringa in bit è ovviamente N, mentrela sua complessità sarà dell’ordine di log2(N)(Per N molto grandi all’interno della stringa lalunghezza della scrittura di N sarà molto piùgrande della scrittura di Scrivi volte 1 dunqueconsidero solo la scrittura di N e la sua lun-ghezza in bit). Questa definizione però sembranon proprio precisa, questo algoritmo a chideve far capire come generare la stringa? Devoscriverlo in inglese Print 1 N times? In inglesesarebbe già più corto di un carattere rispettoalla versione italiana. Potrebbe addirittura esi-stere una civiltà nella quale capita così spessodi dove scrivere la cifra 1 N volte che bastadire a chi ti ascolta scrive. In questo caso lalunghezza più corta della stringa per genera-re l’algoritmo sarebbe un bit. Adottando unragionamento analogo potremmo dichiarareche la complessità di ogni stringa è sempreuguale ad 1 bit perché potrebbe sempre esi-stere una civiltà atta a svolgere l’algoritmocome attività principale. Dunque il concettodi complessità è inutile. Ponendosi questoproblema, e traslandolo dal piano delle lingueumane a quello più rigoroso delle macchine(faccio riferimento alla macchina di Turing oqualsiasi suo equivalente, in quanto oggettiteorici che definiscono il concetto di algoritmo),Kolmogorov ha dimostrato che esiste sempre,per ogni sequenza di bit {N} una macchinaUniversale tale che nel suo linguaggio la com-plessità KU({N}) della stringa {N} risulti sem-pre essere: KU({N}) ≤ KA({N}) +CA con CAindipendente dalla stringa e dipendente solo

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dalla macchina. Quando si parla di comples-sità dunque si fa riferimento alla lunghezzadell’algoritmo più corto scritto per la macchinaUniversale. Quello che è veramente complessoè riuscire a trovare l’algoritmo più corto perdescrivere la stringa, la complessità KU({N})è sempre conoscibile? Purtroppo no. Suppo-niamo di credere che KU({N}) = M, se fossevero allora nessun algoritmo con M − 1 bitsarà in grado di generare la stringa {N}. Perverificarlo suppongo di avere 2M−1 macchineuniversali ognuna delle quali sta computandouno dei possibile algoritmi da M− 1 bit. Primao poi, se la complessità fosse più piccola di M,una delle macchine genererebbe la stringa {N},ma come è evidente siamo nel tipico caso delproblema della fermata, dunque questo risultaun problema indecidibile. Con questo nuovoconcetto stabiliamo quindi un criterio per de-cidere quando una stringa è fatta di numericasuali e quando no, definiamo la casualitàK-S-C (Kolmogorov-Solomonff-Chaitin): unastringa {N} è casuale quando KU({N}) ∼ Ncioè quando la quantità di dati che trasportaè dello stesso ordine della quantità di dati checontiene (non si può riassumerla, è incompri-mibile). Questo criterio è molto compatibilecon il senso comune di casualità. Ed arriviamoquindi al caos: un sistema è caotico quando lasua evoluzione temporale sembra casuale, cioèse con la descrizione del sistema da ∼ N bit diinput riesco ad ottenere solo ∼ N bit di output(ad esempio l’input è lo stato del sistema altempo t mentre l’output è lo stato del sistemaal tempo t + T, non so per il tempo t+T pratica-mente niente di più di quello che sapevo primadi calcolare l’evoluzione temporale, quindi ilsistema si è evoluto casualmente).

IV. Il gatto di Arnol’dcostruzione

Prendiamo un sistema ad una dimensionegovernato dall’Hamiltoniana:

H =p2

2m+

12

kq2∞

∑n=−∞

δ(n− tT) (1)

Dove m è la massa dalla particella, k è la co-stante della molla, T è un periodo di tempofisso, q e p le classiche coordinate. QuestaHamiltoniana rappresenta una particella liberache periodicamente a tempi fissati (multipli delperiodo T) riceve una spinta istantanea da unamolla come se per un istante si trovasse in unoscillatore armonico. Queste spinte vengonochiamati calci e questo sistema viene chiamatokicked oscillator. Utilizzando le equazioni diHamilton ottengo:

q = pm

p = −kq ∑∞n=−∞ δ(n− t

T )

(2)

Ed integrando su un periodo di tempo T:

qn+1 = qn +Tm pn

pn+1 = pn − kTqn+1

(3)

Per verificare di aver bene interpretato l’Hamil-toniana proviamo a portare T → dt rendendoin questo modo i calci continui e ci accorgiamo,come ci aspettavamo dalla precedente interpre-tazione, che il sistema si è trasformato in unoscillatore armonico classico. Posso trasforma-re le equazioni (3) in una forma di più facilelettura, già presa in studio nel campo della ma-tematica. Rinomino pn come T

m pn, moltiplicol’equazione in basso della (3) da entrambe leparti per T

m e chiamo −k T2

m = β .

qn+1 = qn + pn

pn+1 = βqn + (1 + β)pn

(4)

Scelgo dunque β = 1 (facendo questa sceltaottengo che il k dell’oscillatore armonico sia< 0, dunque l’oscillatore armonico è instabile)e scrivo la (4) in forma di matrice:[

qn+1pn+1

]=

[1 11 2

] [qnpn

](5)

Analizzando un pò il comportamento di que-sti punti notiamo che si conserva la quantitàq2

n + qn pn − p2n = q0 + q0 p0 − p2

0, cioè tutti i

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(qn, pn) giacciono sulla stessa iperbole. Quindise io avessi effettuato una misura ottenendo altempo 0 un errore sul momento ∆p0 ed un er-rore sulla posizione ∆q0, facendo evolvere neltempo il sistema otterrei che al crescere espo-nenziale di ∆p c’è una restrizione esponenzialedi ∆q. Ma tutto ciò non basta per rendere ilsistema caotico, per fare ciò confiniamo il motoall’interno dei un quadrato di lato 1 con con-dizioni a contorno periodiche (cioè se l’angoloin basso a sinistra del quadrato è l’origine del-le coordinate ed una particella al passo n sitrova in (1,4;0) allora questa viene consideratain (0,4;0)), il che equivale a fare un modulo 1dell’evoluzione temporale:[

qn+1pn+1

]=

[1 11 2

] [qnpn

](mod1) (6)

Quella ottenuta è la mappatura del gatto di Ar-nol’d del quadrato di lato unitario in se stesso.Famosa costruzione matematica nella quale èpossibile trovare un comportamento caotico an-che se rappresenta un sistema ad un solo gradodi libertà a causa delle particolari condizioni acontorno.

V. Il gatto di Arnol’d classico

Per analizzare il sistema classico basato sull’evoluzione temporale costruita sopra facciamouso della quantità f (q, p, n) cioè la probabilitànormalizzata che all’ n-esimo passo dell’evo-luzione temporale il il sistema sia nello stato(q, p). Per il teorema di Liouville avremo che:

f (qn, pn, n) = f (q0, p0, 0) (7)

Sapendo che la la funzione f è periodica inq ed in p con periodo 1 (siamo nel quadratounitario), posso espandere f in serie di Fouriered ottengo:

f (q0, p0, 0) = ∑k,l AkBle2πi(kq0+lp0) == f (qn, pn, n)

(8)

E sapendo come si evolve il sistema sco-pro che f (qn+1, pn+1, n + 1) = f (qn, pn, n) =f ((2qn+1 − pn+1), (pn+1 − qn+1), n) ed usando

questo nella (8) ottengo:

f (q1, p1, 1) = ∑k,l

AkBle2πi((2k−l)q1+(l−k)p1) (9)

Qui mi accorgo che i coefficienti A e B nonvengono toccati dal procedimento ma cambia-no solo i numeri ad esponente. Procedendoinduttivamente ottengo finalmente:

f (q, p, n) = ∑k,l AkBle2πi(Knq+Ln p) = (10)

Con la definizione ricorsiva:

Kn+1 = 2Kn − LnK0 = k

Ln+1 = Ln − KnL0 = l

(11)

Essendo l’evoluzione passo passo dei K e degliL dettata dalla stessa matrice (5) anche tutti iKn ed i Ln giaceranno sulla stessa iperbole deiloro k ed l di partenza ed all’aumentare di n au-menteranno di valore. Questo vuol dire che seal passo 0 il coefficiente Ak,l corrisponderà allefrequenze k, l, al passo n-esimo lo stesso coeffi-ciente Ak,l corrisponderà alle frequenze Kn, Lndelle quali almeno una delle due sarà moltogrande (aumenta esponenzialmente con n) edunque lo stesso coefficiente varrà per frequen-ze alte e basse. Considero ora di compiere unamisura di p e q con errori rispettivamente ∆pe ∆q, dunque nell’espansione in serie di Fou-rier ogni termine che avrà lunghezza d’ondaminore di ∆p o ∆q non potremo considerarloperché troppo preciso rispetto all’errore cheabbiamo. Come abbiamo visto ad ogni iterazio-ne le frequenze aumentano esponenzialmentee quindi le lunghezze d’onda diminuiscono,quindi all’aumentare delle iterazioni sempremeno termini dello sviluppo in serie potran-no essere presi in considerazione e i terminiscartati andranno persi. Supponiamo che allaiterazione 0, con la mia misura, posso prende-re in considerazione M termini dello sviluppoin serie, se alla prima iterazione le lunghezzed’onda variano elevandosi alla potenza di 2,allora alla prima iterazione potrò prendere inconsiderazione solo ∼ M1/2 alla seconda solo

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∼ M1/3 e così via. All’ iterazione n avrò per-so ∼ M−M

1x termini. Procedendo all’infinito

avrò perso tutti i termini tranne uno e non avròpiù alcuna previsione. In questo tipo di siste-ma si può quindi verificare un comportamentocaotico. (Non tutte le orbite sono caotiche, in-fatti è possibile costruire delle orbite periodichesemplicemente dividendo il quadrato di lato1 in N2 quadrati con la stessa area, partendoda un punto p0, q0 con coordinate frazionariee minimo comune denominatore N, le orbitesaranno periodiche).

VI. Il gatto di Arnol’dquantistico

Per passare al caso quantistico quantiz-zo l’Hamiltoniana secondo il principio dicorrispondenza:

H =p2

2m+

12

kq2∞

∑n=−∞

δ(n− tT) (12)

Cerco di trovare ora l’evoluzione temporaledella funzione d’onda associata a questa Ha-miltoniana. Per dare un’idea di come vieneutilizzata la periodicità delle condizioni a con-torno cerco le autofunzioni del momento comeonde piane Uk(q) = e2πikq con p = hk e impo-nendo le condizioni periodiche su q (q = q+1)devo avere che Uk(q) = Uk(q + 1) dal qualeottengo che k = 2πκ con κ intero. Impongola periodicità anche a p (p=p+1) allora deveessere che Uκ+η(q) = Uκ(q) con η intero e daquesto scopro che deve essere q = ι

η con ι in-tero. Quindi la base dello spazio di Hilbert incui ci troviamo è:

Uκ(ι) =√

ηe2πiκι

η (13)

Implementate quindi almeno inizialmente lecondizioni a contorno, tralascio i calcoli e mo-stro direttamente il risultato, cioè l’espressio-ne dell’evoluzione temporale di una genericafunzione d’onda Ψ:

Ψ(ι, t) =η

∑κ=1

Aκψκ(ι)eiλκ t (14)

Dove ψκ(ι) (1 ≤ ι ≤ η)è un autostato, t è untempo intero e λκ è una costante che tiene con-to della periodicità degli autostati. Risulta su-bito chiaro che a causa dell’esponente dellae l’evoluzione della funzione d’onda avrà uncomportamento periodico e dunque, al contra-rio del caso classico, calcolando l’evoluzionetemporale del sistema non perderemo infor-mazioni ma anzi, per evoluzioni lunghe unperiodo ci troveremo di nuovo allo stato inizia-le come se niente fosse accaduto. Dunque ilsistema quantizzato non presenta caos.

VII. Verso il limite classico

Una volta trovato l’algoritmo per l’evoluzionedei due sistemi si può trovare, tramite argo-mentazioni basate sulla teoria della comples-sità, che per ottenere un risultato lungo N bitoccorre un algoritmo di complessità ∼ N bitnel caso classico e ∼ log2N bit nel caso quan-tistico. Dunque il sistema gatto di Arnol’dclassico ha un comportamento caotico mentrequello quantistico no. Ma cosa succede passan-do dal caso quantistico al classico attraversoil limite h → 0? Innanzitutto notiamo chequesto limite è equivalente a η → ∞ , a livel-lo intuitivo perchè essendo η la dimensionedello spazio di Hilbert, portandola all’infini-to ci avviciniamo al caso classico (altrimentichiamando Q e P i valori massimi della po-sizione e del momento possiamo dire che illoro prodotto PQ = 1 nel caso del gatto, maanche, utilizzando le definizioni date per trova-re Uκ(ι), PQ = hkmax ιmax

η = hηηη = hη dunque,

1 = hη e infine η = 1h ). Utilizzando questo

limite e focalizzando l’attenzione sulla primariga della griglia nella quale abbiamo divisoil quadrato di lato 1, aumentando η di 1 nonfacciamo altro che ridividere il lato che pri-ma era diviso in η parti in η + 1 parti. Dun-que sulla prima riga avremo tutte le frazioniEη = {q|q = [ r

η ]con(1 ≤ r ≤ η)} e quindi fa-cendo tendere η → ∞ otterremo un infinitàcontabile di frazioni in E∞. Facciamo la stes-sa cosa per la prima colonna del quadrato edotterremo anche in questo caso uni infinità con-

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tabile di frazioni E∞. Dunque il quadrato saràdiviso in questa griglia che chiameremo S∞composta dal limite della griglia di tutte le fra-zioni con il denominatore che va a infinito. Ladomanda cruciale è S∞ contiene tutte le frazio-ni o proprio tutti i numeri reali formando cosìun continuo? A che tipo di infinito arriviamocon questo limite? Dove ci porta il passaggioal limite classico? Richiamiamo qui il fatto chela complessità dell’algoritmo per il caso quan-tistico è Kquantη ≤ log2η + C (C è la costantedi Kolmogorov dipendente dalla macchina vi-sta nella sezione 3) e questa facendo tendereη → ∞ diventa Kquant∞ = limη→∞

log2η+Cη = 0.

Dunque l’algoritmo per calcolare la griglia S∞deve avere complessità nulla. Dunque la gri-glia S∞ deve essere solo l’insieme di tutte lefrazioni, poiché nessun algoritmo di comples-sità nulla può computare gli irrazionali o ad-dirittura un continuo. Passando per il limiteclassico non si arriva al caso classico caotico.

VIII. Conclusioni

Partendo dall’ Hamiltoniana quantistica e pas-sando per il limite classico dovrei ottenere lostesso risultato che ho ottenuto partendo dall’Hamiltoniana classica. Cioè il caso classico èil limite di quello quantistico. In questo caso

però ciò non accade, infatti portando al limiteclassico non si trova generazione di caos. Il chenon è difficile da immaginare: dovrei ottene-re da una stringa di complessità ∼ log2N unadi complessità ∼ N operando un passaggio allimite, cioè creare informazione, il che è impos-sibile. In questo caso, dunque, il principio dicorrispondenza non funziona.

Riferimenti bibliografici

[J. Ford and G. Mantica] (1992) Does quan-tum mechanics obey the correspondenceprinciple? Am. J. Phys. 60 (12), December1992, pp 1086–1097.

[G. J. Chaitin] (2002) Paradoxes of random-ness Vol. 7, No. 5, May/June 2002, pp14–21.

[G. J. Chaitin] (1975) Randomness and mathe-matical proof Scientific American 232, No.5, May 1975, pp 47-52

[F. Scheck] (1988) Mechanics, From Newton’sLaw to deterministic chaos

[J. Ford, G. Mantica and G. H. Ristow] (1990)The Arnol’d cat: Failure of the correspon-dence principle Physica D 50 (1991), pp493–520.

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