RENDICONTI DEL CIRCOLO MATEMATICO DI PALERMO Serie II, Tomo XXVIII (1979), pp. 115-133

Q U A L C H E C R I T E R I O DI E S I S T E N Z A P E R S O L U Z I O N I

DI U N SISTEMA DI E Q U A Z I O N I D I F F E R E N Z I A L I

LUCIANO CARBONE

We give some solution existence and uniqueness theorems for the Volterra type equations systems (1) and (6).

Si indichi con I l'intervallo [0, 1] e si consideri il seguente problema �9 mo- dello �9 d'esistenza di soluzioni.

(A) Siano I e g due ]unzioni continue e limitate da 1Rx X 1Ry X TR. X TRy a ~ ; determinure una coppia di tunzioni (u, v) definite su P e continue tali che per ogni (x, y) E P:

(1)

u(x,y) = f f(t,y,u(t,y), v(t,y))dt, o

Y

v (X, y) = . f g (X, "r U (X, "r V (X, "~)) d'c. o

Tramite una serie di ricerche (Ciliberto [4], Fiorenza [6], [7], Walter [14], Zitarosa [15]. Si rinvia a Walter [13] per una bibliografia sull'argomento e per altri approcci al problema (A)) si b pervenuti a stabilire come condizioni sufficienti per la risolubilith del problema (A) le seguenti:

che l'equazione:

x

(2) u(x) - - / [ ( t , y , u ( t ) , v(t))dt V xEI , 0

ammetta una ed una sola soluzione comunque si fissi la funzione continua v;

116 LOCI,~O cAm)Ol~

che l'equazione: Y

v (y) = t g (x, -~, u ('0, v (~:)) dx V y E t, (3) 0

ammetta una ed una sola soluzione comunque si fissi la funzione continua u;

che per ogni successione {un} di funzioni continue ed equilimitate l'equa- zione:

y

(4) v (y) = l i m j g (x,-~, un ('0, v ('0) dz V y E 1 n 6

ammetta al pitl una sola soluzione.

Quest'ultima condizione ~ una condizione tipica per il problema (A) (cf ad es. Fiorenza [5], [6]). La diremo, seguendo Fiorenza, unicith uni/orme.

Un primo risultato di questa nota (paragrafo 1) consisto nel provare l'esi stenza di soluzioni per il problema (A) sostituendo, nel quadro precedente d ipotesi, l'unicith uniforme con opportune condizioni di monotonia su f e g. Pii precisamente si prova chese [ ~ crescente (risp. decrescente) in v e g ~ crescent(

(risp. decrescente) in u, esistono allora due coppie di funzioni (u , , v,) e (u*, v* (risp. (u , , v*) e (u*, v,)) tali che risolvono il problema (A) e per ogni altra solu zione (u, v) del problema (A) si ha:

(5) u, <_ u ___ u* v, _ v < v*.

Viene poi provato un cdterio di unicit~t supponendo verificata, oltre all ipotesi di monotonia su f e g, una opportuna ipotesi di Nagumo unilaterale.

Si osserva infine che qualora alle ipotesi di decrescenza su I e g si aggiung l'ulteriore condizione / = g , il problema (A) ammette una sola soluzione (par, grafo 2).

I1 problem~t (A) ammette la seguente versione in ipotesi di tipo Carath& dory per / e g.

(B) Siano f e g due [unzioni da 1Rx >( IRy X ~, , X 1Rv a 1R misurabili rispetj a (x, y), continue rispetto a (u, v), tall che per quasi ogni (x, y), per ogni (u, v)

It(x,y,u,v)[ < M(x,y), [g(x,y,u,v)[ < M(x,y),

ove M ~ una /unzione sommabile su P. Determinare una coppia di funzioni (u, v) definite su F, con u contim rispetto ad x e misurabile rispetto a y, v continua rispetto a y e misurabi rispetto a x tali che la prima equazione delle (1) sia verificata per q.o. in 1 per ogni x in I e la seconda equazione delIe (1) sia verificata per q. x in l per ogni y in L

QUALCHE CRITERIO DI ESISTENZA PER SOLUZIONI DI UN SISTEMA, ECC. I 1 7

Analogamente a quanto fatto per il problema (A) sono state stabilite (cf. Arnese [1], Bruno [2], Deimling [5], Santagati [11]) come condizioni di riso- lubilith del problema (B) l'esistenza e l'unicith della soluzione dell'equazione (2) per ogni funzione sommabile v e per ogni y in 1 - - N con N insieme di mi- sum nulla indipendente da v, dell'equazione (3) per ogni funzione sommabile u e per ogni x in I - - M con M insieme di misura nuUa indipendente da u, l'uni- citer della soluzione dell'equazione (4) per ogni successione {u,} di funzioni equisommabili e per ogni x in I - - P con P insieme di misura nulla indipendente dalla successione { u,}.

In un secondo risultato (paragrafo 3) di questa nota si stabilisce come con- dizione sufficiente per la risolubilith del problema (B) la sola ipotesi di cre- scenza (risp. decrescenza) di f rispetto a v e d i g rispetto ad u.

Altri risultati di esistenza per il problema (B) ottenuti tramite tecniche di monotonia sono contenuti in [5], ove si suppone c h e f e g siano crescenti nella coppia (u, v). Ancora a [51 rinviamo per una vasta bibliografia suI problema (B).

Nel paragrafo 4, adattando opportunamente le tecniche introdotte nei para- graft 1 e 3, si studia it seguente problema (, modello ~.

(C) Siano f e g due funzioni continue e limitate da N ~ X ~ y X i ~ u X ~ v a 1R, ~z e ~ due [unzioni derivabili con continuitd e crescenti su I tali che:

max ~z _< 1; max 9 --< 1; ,t' (0). 9' (0) < 1, cz (0) = 9 (0) = 0, I 1

e infine l 'equazione: (x, ,t (x)) = (9 (Y), Y) ammet ta l'unica soluzione x = y = O. Determinate una soluzione (u, v) del sistema:

x

u (x, y) = I f (t, y, u (t, y), v (t, y)) dt - - 9" (Y)" v (9 (Y), Y),

(6) Y

v (x,y) = f e(x, ~, u (x, x), v(x, ~>)d,~ - ~z' (x). u (x, cz(x)) r

V (x,y) EA----{(w,z): 9 (z) --< w --< 1, cz(w)_<z_< 1}.

Questo problema nel caso in cui f coincide con g, con condizioni al con- torno pbh generali, b stato introdotto da Goursat [8] e studiato fra gli altri da Guglielmino ~9J, Stampacchia EI2], in opportune ipotesi di lipschitzianith per la f, da Kisynski [10] in ipotesi di tipo Osgood. La coppia di soluzioni (u, v) determinata & in questi casi costituita da funzioni continue.

Viene qui provato che se f risulta decrescente in v e g in u, allora esistono due topple di soluzioni (u , , v*) e (u*, v.) del problema (C) tali the u , e u* (risp. v, e v*) sono continue in x (risp. in y) e rispettivamente semicontinue

1 18 LUCL*NO C~Ot~

infedormente e superiormente in y (risp. in x) e se (u, v) b una qualsiasi solu- zione continua del problema (C), allora la (5) ~ verificata.

Ricordiamo infine che se f coincide con g it sistema (1) equivale al seguente problema di Darboux:

zxy = f (x, y, zy, zx) z(x,O) = z(O,y) = c,

per ogni (x, y) E F con c E 111,

e il sistema (6) al seguente problema di Goursat:

z~y = l (x, y, zy, z~) z (x, ~ (x)) = z (~ (y), y) = c,

per ogni (x, y) 6 A con c E 1R.

1 . - Cominciamo col richiamare alcuni noti lemmi sulle diseguaglianze inte- grali (cf. per es. [13]).

LEMMA 1.1. Siano 91 e 92 due applicazioni da 1Rx X 1Rw in 1R misurabili in

x e continue in w tall che per q.o. x: 91 (x, w) <__ 92 (x, w) per ogni w e

[ r (x, w) I < M (x), I r (x, w) [ <__ M (x) per ogni w,

ove M ~ una ]unzione sommabile.

Siano w~ e w2 le uniche soluzioni delle equazioni ( i= 1, 2): X

w , ( x ) = wi(t))dt + a, u

Xo

ove xo E I e a E 1R ; allora :

wl (x) <_ We (x) v x E l , x >__ xo.

LEMMA 1.2 Siano ao un numero reale, xo un elemento di 1, q~ un'applicazio-

ne da 1Rx )K ~ w a 1R misurabile in x, continua in w, tali che l'equazione :

X

w (x) = f ~ (t, XO

w(t ) )d t + ao V x E l ,

ammette una ed una sola soluzione w.

Siano an una successione di numeri reali convergente ad ao, x~ una succes-

sione in I convergente verso xo, q~, una successione di applicazioni da ~x X ~ w

a ~ misurabili in x e continue in w, equimaggiorate per q.o. x da una funzione

sommabile M, convergente per q.o. x uniformente rispetto it w verso 9.

QUALCHE CRITERIO DI ESISTENZA PER SOLUZIONI DI UN 6ISTEMA, ECC. I 1 9

Allora ogni successione { w, } di soluzioni delle equazioni :

X

w. (x) = j r (t, w. (t)) dt + an V x E 1, Xtl

converge uni[ormemente verso w su I.

Indichiamo con Cx(P) risp. Cr(12)) lo spazio delle funzioni v da 1 a 1R continue in x (risp. y) e misurabili in y (risp. x), tali c h e l a seminorma:

(7)

llvl]=/maxxE, Iv(x'y)ldY"

II v II =fmax I v(x,y)ldx) (lisp. i yE/

finita. In esso identificheremo poi due funzioni vl e v2 se per q.o. y (risp. x):

v~ (x, y) = v2 (x, y) per ogni x (risp. y).

Con tale identificazione la seminorma definita in (7) diviene una norma. Si pub allora mostrare che Cx (15) (risp. Cy (15)) ~ uno spazio di Banach (cf. [5], lemma 2.1).

Diremo poi che v~ _<_ v2 in Cx(F) (risp. Cr(P)) , se per q.o. y (risp. x):

vl (x, y) _< v2 (x, y) per ogni x (risp. y).

Le funzioni ] e g da 1Rx X1R~ X1R,, X1Rv a �9 soddisfino le ipotesi di cui in (B). lndichiamo allora con T~ (risp. 7"2) la trasformazione, the ad ogni coppia (u, v) di funzioni in C~ (12) x Cy (F) associa la funzione w in Cx (/2) (risp. Cy (/2)) deft- nita per q.o. y (risp. x) dalla relazione:

(8) x

w (x, y) = f [ (t, y, u (t, y), v (t, y)) dt V x E 1, 0

Y

(lisp. w (x, y) = f g (x, .~, u (x, , O, v (x, .O) d~ V y E I). 0

1~ facile vedere che TI (risp. T2) ~ un'applicazione continua da C~ (12)• (12) a C~ (12) (risp. Cy (F)).

Il problema (B) equivale owiamente a risolvere il sistema:

u : T l ( u , v ) , v = T 2 ( u , v ) .

1 2 0 LUCIANO CARBONE

L'equazione (2) (risp. (3)) ammetta una ed una sola soluzione per ogni funzione v (risp. u) sommabile, e per ogni y (risp. x) in I - - N con N insieme di misura nulla indipendente da v (risp. u). Si consideri per ogni v E Cy (/2) (risp. u E Cx (/2)) l'equazione:

(9) u E Cx (/2) : u = T1 (u, v), (risp. v E Cy (12) : v = T2 (u, v)),

e si indichi con 01 (risp. 02) l'applicazione, che ad ogni v in C r (/2) (risp. u E C~ (F)) associa l'unica soluzione (quando esiste) della (9).

Vale allora il:

LEMMA 1.3. L'applicazione 01 (risp. 02) ~ delinita su tutto Cr(/2) (risp. Cx (F)) ed ~ continua.

DIMOSTRAZIONE. Sia v in C~ (12). Indichiamo per q.o. y con u (y) la funzione continua soluzione (unica) deU'equazione:

(10) x

= f f ( t ,y , ~t(g)(t), v (t ,y))dt 0

Si ponga ora per q.o. y u (x, y) = u (y) (x) V x E I.

v x E l .

Occorre provare che u a x fissato ~ misurabile rispetto a y, ma cib segue subito dal teorema 1.4 di [5].

Per provare la confinuith di 01 si osservi che se v~ converge a v in C r (/2) allora (passando eventualmente a sottosuccessioni) per q.o. x in I :

lira v~ (x, y) = v (x, y) per ogni y.

D'altro canto per q.o. y si pub supporre che, uniformemente in x:

lim 01 (v~) (x, y) = u (y) (x).

Passando al limite nell'equazione:

x

0. (v.> (x, y> = f l (,, r, 0. (t, y>. (,. y)) dt. 0

Grazie al lemma 1.2 si ha subito che u (y) veritica la (10) e dunque, per q.o.

y, ~ (y) (x) = 01 (v) (x, y). Poich~:

!

I 01 (v~) (x, r) ) <- f M (t, y) dt, 0

si ha subito che 0t (v,) converge a 01 (v) in Cx(/2).

QUALCHE CRITERIO DI ESISTENZA PER SOLUZIONI DI UN sISTEMA, ECC. 121

Denotiamo con 0 l'applicazione da Cy(F) in Cy (F) definita tramite la relazione:

0 (v) = 02 (01 (v)).

I~ facile verificare che una coppia (u, v) risolve il problema (B), s e e solo se v=O (v) e u___ 01 (v). Indicheremo pertanto con Fe l'insieme delle soluzioni del problema (B) (e anche, qualora non vi sia arnbiguith, del problerna (A)).

Vale iI seguente:

LEMMA 1.4. S i a f crescente (risp. decrescente) in v e g crescente (risp. decre-

scente) in u.

Le equazioni (2) e (3) ammettano una ed una sola soluzione rispettiva-

mente per ogni v e per ogni u [unzioni sommabili su 1, per ogni y e per ogni

x in I - - N con N insieme di misura nulla indipendente da u e v. A l lora i l pro-

blema (B) ammette due soluzioni (u , , v , ) e (u*, v*) (risp. (u . , v*) e (u*, v,))

tali che per ogni (u, v) E Fo sussiste la (5).

DtMOSl~AZIO~. Si tratta di provare che l'applicazione 0 b dotata di punti fissi.

Cominciamo col supporre c h e f sia crescente in v e g crescente in u. In tal caso le applicazioni 0~ e 02, grazie al lemma 1.1. risultano entrambe cre- scenti. Di conseguenza 0 come loro composizione risulta crescente. Grazie al lemma 1.3 sia 01 che 02 sono continue e quindi tale risulta anche 0. Definiamo

per ricorrenza la successione {v-*-}C Cy(F) nel seguente modo:

Y

f : (11) v~ (x,y) = M ( x , ~ ) d ~ , v-* = O( ,_ , ) . o

Poichd v~* <v0* e 0 b crescente, la successione Iv.*} ~ decrescente. Essa inoltre b costituita da funzioni che per q.o. x sono equilimitate ed equicontinue rispetto a y. Ne segue che { v.* } converge per q.o. x verso una funzione v* con- tinua rispetto a y. Inoltre v*, come limite di funzioni misurabili, b misurabile rispetto a x.

Poichd infine per q.o. x in 1:

I

I v (x,y) I m a x yE l

o

si ha che v* E C r (F) e che v.* converge a v* in Cy (F). Poichd 0 b continua, dalle

(11) si deduce subito che v* b punto fisso di 0.

122 LUCIAIqO CA.RBOHE

Analogamente potto:

Y

f n n--| o -- M(x,~l)da q, = O(v, ), (11") v , = v ,

si prova c h e l a successione v , converge verso una funzione v, in Cy (F) the punto fisso di 0.

Per provare la (5) poniamo u* = 01 (v*) e u, = 01 (v,) e sia (u, v) in Fe. Dalle relazioni: v~ <_v<_v~, v = 0 (v), dalla crescenza di 0, dalla (11) e (11")

si ricava subito : v,<_v<_v*, da cui per la crescenza di 01, si ottiene u , <u<__u*. Supponiamo ora J decrescente in v e g decrescente in u. Le applicazioni

01 e 02 risultano ora decrescenti e continue e quindi 0 come loro composizione risulta ancora crescente e continua.

Applicando il procedimento precedente si costruiscono due punti fissi per 0, v* e v~,. Poniamo ora u,=01 (v*) e u*=01 (v,). Utilizzando questa volta la decrescenza di 01, la (5) ~ di immediata verifica.

I1 lemma ~ cosi completamente provato.

TEOREMA 1. 5. S i a ] crescente (risp. decrescente) in u e g crescente (risp. decrescente) in v.

Le equazioni (2) e (3) ammettano una ed una sola soluzione rispettivamente per ogni u e per ogni v funzioni sommabili su L Allora il problema (A) am- mette due soluzioni (tt , , v.) e (u*, v*) (risp. (u, , v*) e (u*, v,) tali che per ogni (u, v)E Fe sussiste la (5).

DIMOSTRAZIONE. Limitiamoci al caso in cui f �9 g risultano entrambe cre- scenti e a provare l'esistenza della soluzione (u*, v*). Vogliamo pertanto pro- varo the la soluzione (u*, v*) del problema (B), la cui esistenza ~ assicurata dal lenama 1.2, ammette una rappresentante costituita da funzioni continue, ehe soddisfano la prima delle equazioni (1) per ogni y e la seconda delle (1) per ogni x. Poniamo:

M -_ sup( I / I + Igl + 1).

�9 tramite neUa (11), M ( x , y ) coincidente con M e si defmisca: u n Si scelga, la posizione:

@ un = 01(v.*).

La successione Iv,*} ~ costituita da funzioni continue in y uniformemente rispetto ad x ed n, equilimitate. Grazie al lemma 1.2, v* risulta essere continua in x. La successione Ivy} inoltre converge decrescendo verso v* per ogni x, uni- formemente rispetto a y. La funzione v* sar~t pertanto continua in y e semi-

QUAI.,CFIF: CILITERIO DI ESISTENZA PER SOLUZIONrl DI UN SISTEMA, ECC. 123

continua superiormente in x. Considerazioni analoghe (invertendo i ruoli di x e y) valgono per la successione {u~} e la sua funzione limite u * = 01(v*).

Si osservi infine che le relazioni:

x

* x f u* (t,y), v* (t,y))dt. u . - l ( ' Y ) = ] i f 'Y ' . -1 .-1 0

Y

v~ (x.y)= f g(x.~.~_, (x.~). v'(x.~))d~. 0

sono soddisfatte per ogni (x, y) in /2. I~ possibile adlora passare in esse al limite per ogni (x, y) e si pub subito dedurre che (u*, v*) soddisfa le equazioni (1) per ogni (x, y). Rimane dunque da provare solo che u* e v* sono continue. Provia- mo ad esempio che u* ~ continua. Basterb. verificarne la continuith rispetto a y. Sia y. una successione convergente verso Y0.

Per le proprieth di convergenza di v si ha uniformemente rispetto al varia- re di (x, u) su di un insieme limitato:

lirn ] (x, y . , u, v* (x, y.)) = ] (x, y0, u, v* (x, Y0)). t l

Poich6 l'equazione (2) ammette una sola soluzione, dad lemma 1.2 segue subito che lim u* (x, y.) = u* (x, Y0)-

L'asserto 6 cost provato.

2 . - Vale la:

PROPOSIZIONE 2.1. Se f ~ crescente (risp. decrescente) in v e g ~ crescente

(risp. decrescente) in u e inoltre:

kl k2 f (x, y, u~ , vl) - f (x, y, u2, v2) < x ( u . - u 2 ) + -~- I v l - v , I.

per u1>u2 e v l>v2 (risp. u l>u2 e v l<v2) , e:

k3 k~ g (x, y, ul, vl) -- g (x, y, u2, v2) _< -X- I ul--u21 --I- ~ - (vl--v2),

per ul>__u2 e v l>v2 (risp. u l<u2 e vl>_v2), con 0_<k l+k2<l . 0_<k3+k4<l ,

allora il s is tema (A) ammet te una ed una sola soluzione.

DIMOSII~AZIONE. Poich6 sono soddisfatte le ipotesi del criterio di unicit~ di Nagumo, le equazioni (2) e (3) ammettono una sola soluzione. Pub dunque essere applicato il teorema 1.5.

124 LUCIANO CARBONE

Baster~t allora provare the u* = u , e v * = v , .

Limitiamoci al caso in cui f e g sono entrambe crescenti. Si osservi the :

(u* - -u , ) (0, y) = (v*- -v , ) (x, 0) = 0.

Poniamo :

w (x; y) = (u* (x, y) - u , (x, y)) / x,

z (x, y) = (v* (x. y) -- v , (x, y)) / y.

Si ha subito:

w (x, y) = ~ X (tt*--t/,) (~y, y) = f (~y, y, u*(~y, y), v* (~y, y)) --

-- f ( ~ y , y , u , (~y,y) , V , ( ~ y , y)).

Di conseguenza, si ha uniformemente rispetto a y:

l im w (x, y) = O. x--~)

Analogamente si prova che, uniformemente rispetto ad x:

l i m z ( x , y) -- O.

Si ha inoltre:

Siano

X X kl/ k2/z ,. w (x, y) ___ ~ w (t, y) dt +

0 0

y) dr,

y y

- y . I -~- z (x, .Oa~. 0 0

M 1 - - m a x w M 2 = m a x z . p

Si supponga per assurdo che 0 < M r e M z < M ~ .

Poich6 w non pub essere identicamente eguale a M~, detto (x0, Y0) un punto di massimo si ha:

MI < klMl + k~Ml ---- Ml ,

QUALCHE CRITERIO DI ESISTENZA PER SOLUZIONI DI UN ~SISTEMA, ECC. 1 2 5

e cib ~ assurdo; dunque Mt = 0 e u* = u . , v* ----- v , . Analogamente si ragiona se 0 < M 2 e M t < M 2.

PROPOSIZIONE 2.2. Si supponga che J coincida con g e che essa sia decre- scente neIla coppia (u, v) allora il sistema (A) ammette una ed una sola soluzione.

DIMOSTRAZIONE. Le equazioni (2) e (3) ammettono una sola soluzione in virtu della decrescenza della L grazie ad un noto criterio di unicith. Pub allora applicarsi il teorema 1.5.

Si ponga:

si ha dalla (1):

Z (x, y) = f u * (x, t) dt; 0

Zxy (x, y) = J(x, y, u* (X, y), v , (x , y)),

e quindi tenendo conto delle condizioni al bordo e ancora della (1):

y x

Zx = v , , f U* (x, t) dt : . f v , ('~, y) d-c. 0 0

Analogamente si ricava:

y x

0 0

Poichd u* > u , e v* > v , si pub subito concludere chc:

U * = U , e v * = v , .

3.- Applicando il lemma 1.4 e utilizzando un opportuno proccdimcnto di approssimazione possiamo provare il:

TEOREMA 3.1. S i a f crescente (risp. decrescente) in v e g crescente (risp. decrescente) in u, allora il problema (B) ammette due soluzioni (u*, v,) e (v , , v*) (risp. (u*, v,) e (u , , v*)) tali che se (u, v) E Fo vale la (5).

DIMOSTRAZlONE. Supponiamo ad esempio c h e / e g siano crescenti e pro- viamo l'esistenza della coppia (u*, v*).

Siano Jm e gm duo successioni di funzioni da 1Rx X ]Ry ~( 1g~ X 1Rv in ~ mi- surabili in (x, y) e lipschitziane in (u, v) tali che, per ogni m, fm risulta crescente rispctto a v e gm rispetto a u, convergenti in decrescenza rispettivamente verso J e g per q.o. (x, y) uniformemente al variare di (u, v) su insiemi limitati, equi-

126 LUCI NO CArOm

limitate da 2 (M (x, y)+ l). Successioni di questo tipo possono essere ottenute, ad esempio, regolarizzando f e g rispetto alia variabile (u, v).

Osserviamo esplicitamente che ogni coppia (]m. g,,) soddisfa le ipotesi del lemma 1.4.

Indichiamo con T~' (risp. T~') l'applicazione associata a lm (risp. gin) tra- mite la (8).

I~ facile provare the se (u', v m) converge a (u, v) in Cx (/2)XCy (/2) allora:

(12) lira T~" (u m, v") = Ti (u, v) i = 1, 2.

In effetfi posto:

fm(X, y, um(x,y), v"(x,w))-- f(x,y,u(x,y,v(x,y))= Wm(X,y),

si tratta di provare che:

I

lim fa, m 0

Per q.o. y si ha:

x

m a x I fw,.(t,y)dtl = O.

x ( : ! 0

x 1

max t f wm(t,Y)t, dtl <-- f l xEl

o 0

I

w,,(t,y)ldt < 4 f (M(t,y) + Ddt, o

---- 0;

e dunque ~ sufficiente provare che per q.o. y:

1

0

ma cib ~ ovvio in quanto per q.o. y:

I w,. (x, y) I < 4 (M (x, y) + 1) per q.o. x,

e passando eventualmente a sottosuccessioni, per q.o. y si ha:

lira w,, (x, y) = 0 per q .o .x .

Indichiamo ora con 0~ (risp. 0~') l'applicazione crescente v E Cy (/2) (risp. u E Cx (/2)) associa l'unica soluzione u in C~ (/2) (risp. C, (/2)) di:

o t rn u = T 1 (u, v) (risp. v -- T~ (u, v)).

Si osservi che:

r a t i t 0~ (v) < 0~ -1 (v) (risp. 0 2 (v) < 0~ -1 (v)).

che ad ogni v in

Q U A L C H E C R I T E R I O D I E S I S T E N Z A P E R S O L U Z I O N I D I U N S I S T E M A , E C C . 127

m Si indichi con 0" l'applicazione composta 0m= 0~ �9 0t �9 Essa risulta, per ogni m, crescente, mentre:

0" (v) < 0 "- l (v) per ogni v in C r (F)-

n -m nel seguente modo: Definiamo per ricorrenza le successioni doppie v m e u~

(13)

Y -m / mln v, (x,y) = M(x,"c)d'r v, : 0m(v~_,),

0

" m m " -m Un = 0, (Vn).

Si ha subito che:

--In - - - - m - - m + l v. >~vT+,, v. >~v . ,

- - m - m - m --m.4- I t/,, ~ t/.+ 1, U~ :>/U~ .

Si osservi che per ogni m a l divergere di n:

m 41, (14) lim (u , , v~) = (u~, vm), n

ove (u~, v~) ~ la soluzione del problema (B) relativa alle funzioni [,~ e gin, la

cui esistenza ~ assicurata dal lemma 1.4. La successione v : (risp. u~) grazie alia (13) ~ decrescente rispetto ad m e costituita da Iunzioni, a x (risp. y) fis-

x

nella y (risp. x) ed equimaggiorate da 2 / (1 q - M (x, "0)d-~. sato equicontinue 0

Si ha dunque che v : (risp. u : ) converge verso una funzione v* (risp. u*) in C r (F) (risp. C~ (F)).

- - m

Dalle (13) segue che la successione v, (risp. - " u, converge in Cy (/r) (risp. C,(/z)) al divergere di (m,n) verso v* (risp. u*). Dalla (12) e dalla (14) si de- duce allora che:

lira T~' (u~, vT) = Ti (//*, V*) i = 1,2, ira,n)

e dalla (14):

lim T~' (uT, vT) = lira lim T~' (uT, v•) i = 1,2, (m,n) ,n n

m - - n l lira lira T~ (u . , v~') = lim u,~ = u*,

n m

lira lira T, (u~, v~) = lim v~ = m N tPi

128

vio in quanto:

v = 0 ( v ) < 0 "~ (v) ,

nl u = 01 (v) <__ 0, (u),

LUCIANO CARBONE

Non resta da provare che se (u, v)E Fe allora u _< u*, v < v* ma cib ~ ov-

- / r l

m - m u_<O, ( v o ) ;

trl di conseguenza per la crescenza di 0" e di 0~ si ha:

v < v" , u < uT, per ogni (m, n).

La dimostrazione ~ co~ completata.

4 . - In questo paragrafo ci proponiamo di studiare tramite le tecniche messe a punto nei paragrafi 1 e 3, opportunamente adattate, il problema (C). Ritcrremo percib soddisfatte sempre le ipotesi di cui in (C). A tale scopo occorre introdurre qualche nuova definizione.

Indichiamo con p u n vettore di componenti (pl ,p2) tali che : 0 < p ; _ 1 i = 1,2, con •p l'insieme ~ f)([0,01 ] X [0, p2]); ~ coincide con ~ e pertanto sar~ denotato pitt brevemente con 4. Poniamo poi:

K 1 ( t ) = m a x ~'(x); K z ( 0 = m a x l 3 ' ( x ) tE[0 ,1 ] . xEI0,tl xEi0,tl

Per brevitb, sostituiremo alle dizioni ,~ semicontinuo inferiormente ~ e ~, se- micontinuo superiormente ~ quelle di s.c.i, e s.c.s.

Denoteremo con Stx (Ap) ed S' x (ao) (risp. S t, (ae), ~ (z~.o)) l'insieme delle

funrioni su ~, continue nella x (risp. y) e rispettivamente semicontinu~ inferior- mente e superiormente nella y (risp. x) e limitate.

Le equazioni :

X

u(x) = f t(t,y,u(t), w(t))dt + a VxEl, ~0

(15)

Y

v = f g (x, v + b V y E 1, Y0

ammettano una ed una sola soluzione comunque si fissino rispettivamente x0 in 1, a in I~, w funzione misurabile e y0 in 1, b in 1R, z funzione misurabile.

S i a m una funzione s.c.i. (risp. s.c.s), n una funzione s.c.s. (risp. s.c.i.), en- trambr limitate.

QUALCHE CRITERIO DI EsISTENZA PER SOLUZIONI DI UN SISTEMA, ECC. 129

Indichiamo con 01 l'applicazione che ad ogni v E ~ (Ap) (risp. St (As)) asso- cia la soluzione u in S~x (Ap) (risp. S ~. (As)) della equazione:

x

(16) u(x , y ) = / f ( t , y , u ( t , y ) , v ( t , y ) )d t - ~ ' ( y ) . v (~(y ) , y ) + re(y),

V (x,y) EAp,

e con 02 l'applicazione che ad ogni u in S", (Ap) (risp. S~ (As)) associa la soluzione v in ~ (A~) (risp. Sty (Ap)) dell'equazione:

Y

(17) v(x ,y ) = f g(x, '~,u(x, 'O, v (x , 'O)dz -- a ' ( x ) .u (x , cz(x)) + n(x), a~x)

V (x,y) E Ap.

Utilizzando il lemma 1.2, si vede facilmente che 0t e 02 risultano ben definite. Indichiamo infine con 0 l'applicazione 02" 01 e con F0 l'insieme dei suoi

punti fissi limitati. I~ facile verificare che una coppia (u, v)ES ~. (As)• S~ (As) (risp. S~ (A~) • S ~ (A~)) di funzioni limitate i~ una soluzione del sistema (16), (17), y

s e e solo se v E Fee u=01 (v). Di conseguenza indicheremo con F0 anche l'insie- me delle coppie (u, v) che risolvono il sistema (16), (17), costituite da funzioni limitate.

LEMMA 4.1. S i a [ decrescente in v e g decrescente in u. Le equazioni (15) ammettano una ed una sola soluzione e risulti infine :

KI (pO" K2 (02) < 1.

Allora il sistema (16), (17) ammette una soluziorte (u,, v*) (risp. (u*, v,)) con

u, ES](AQ), v*ES~(AQ) (risp. u*ES~(Ao), v, ES~(AQ)) tale che se (u,v)EFo

allora vale la (5).

DIMOSTRAZIONE. Poniamo: M = sup Itl + sup Igl + sup Iml + sup Inl, e ancora:

2M(1 + K l ( p 0 ) + I (risp. v o*= - - v 0.). v~ = 1--Kl(pl).K2(p2)

Poich6 01 e 02 risultano decrescenti, 0 6 crescente e inoltre:

,It. 0 ( v ~ ) _< v 0

e ancora se (u, v)E Fe, allora:

'~ > v, 01 (vD < u ( 1 8 ) v 0 _ _ _ _

(risp. O(v ~ _> v~,),

0 < v, 0, (v~ ) > u). (risp. v ~ _

Limitiamoci a costruire la coppia (u. , v*) potendosi procedere in modo aria- logo per la costruzione di (u*, v,).

130 LUC~NOC~Om

Poniamo, per ogni n:

(19) v~'= 0(~-1), u.

La successione {v~ } b decrescente limitata, converge per ogni x uniforme-

mente in y verso una funzione v*(x,y) in ~(Ap); la successione {u~} ~ cre-

scente limitata e converge per ogni y uniformemente in x verso una funzionc

u , (x, y) in S ~ (Ap). Passando al limite nella equazione: $

X

U~-' (x. y) = f ~ (t. u~ -t (t. y). pL, ( t. y)) at - ~' ( y) v L l (~ (y). y) + m (y). Oty)

per ogni y e nell'eqnazione:

X

41" X n--1 V, (x, y) = f g ( , ~, u. (x, ~). v'~ (x, ~)) & - e ' (x) u ; - ' (x, e (x)) + n (x), alx)

per ogni x, rasserto ~ provato.

La (5) discende subito dalla (18), dalla dccrcscenza di 01, dalla crescenza

di 0 e daUa (19).

Siano ora (m~,n~) i=1,2 due coppie di funzioni. Indichiamo con(u~,v~) l (risp. u~*, v.)) i=1,2 le soluzioni del sistema (16), (17) con m=ml, n=nl e

m=m~, n=n,, la cui esistenza ~ assicurata dal lemma prcccdcntc. Vale allora

il seguentc Icmma di dimostrazione immexliata.

LEMMA 4.2. Se ml >__ m2, nl < n2, allom:

U. ~ U . , Y 2

I

Adottando un procedimento utilizzato in [9] possiamo ora eliminate nello studio del problema (C), la condizione KI(OI)'Kz(02)< 1 che dava al lemma 4.1 il carattere d 'un criterio d'esistenza locale.

LI~MMA 4.3. S i a f decrescente in v e g decrescente in u e le equazioni (15)

ammettano una ed una sola soluzione. Allora il probIema (C) ammette due solu-

zioni (u , , v*), (u*, v,) con

u. ~ s; (a), u* ~ s: (a), v. ~ s~' (a), v* ~ s;(a),

tali che se (u, v) ~ una soluzione continua di (C), la (5) ~ verificata.

QUALCHE CRITERIO DI ESISTENZA PER SOLUZIONI DI UN SISTEMA, ECC. 131

DIMOSTRAZIONE. Indichiamo con C1 �9 C2 i grafici di a e [3. 1~ possibile co- struire (cf. [ 12]) una curva continua crescent~ di equazione y = y (x) con "1' (0) = 0 tale che, dettone C3 il grafico, si ha C3--{(0,0)}cA.

Poich6 ~'(0).[3"(0)<1, esiste un numero reale positivo ~ tale che:

K, (p0).K~ (p0)< 1.

Sia R0=[0, a0] • [0, b0] un rettangolo con i vertici sugli assi, nell'origine, su 6"3 contenuto in [0, 90] 5. Detta ~; la distanza tra C3 e le parti di C~ e C2 non interne a R0, sia ~, un numero reale positivo tale che in ogni intervallo di am- piezza minore di L, l'oscillazione di ~ e [3 sia minore di ~; sia "~<k un numero tale che in ogni intervallo di ampiezza minore di ,~ l'oscillazione di y sia mi- nore di k. Sia R1 = [0, al] • [0, bl] un rettangolo a vertici sugli assi, nell'origine, su Ca la cui dimensione a~ superi a0 per meno di -~. Prolungando i lati di R0, R~--Ro risulta decomposto in tre rettangoli RL~,RL~ e RL2 tali c h e l a curva

C, ha intersezione vuota con R~,, e RL3 e la curva C2 con RL2, RL3

Limitiamoci a costruire la soluzione (tt. , v*). I1 lemma 4.1 permette di definire su R0 una soluzione o (u~,, v o ) che soddisfa

la (5). Vogliamo prolungarla su tutto R~.

Mostriamo come cib ~ possibile, ad esempio su RL~. Allo stesso modo si pub procedere su RL3 e cib fatto, infine, su RL2.

Come estensione su RL~ sceglieremo la soluzione (u. , v*) del sistema:

x

f ~ u (x, y) = ~ (t, y, u (t, y), v (t, y)) dt + u~ (ao, y), ao

(20) Y

v (x, y) = f g (x, x, u (x, x), v (X, "r d'c -- ~' (x). u (x, a (x)),

per ogni ( x , y )ERL~NA. esistente per il lemma 4.1. Indicheremo questa solu-

zione con (u~,, v~). Poniamo ora, per ogni (u,v)EFe, u(ao,y)=u~ (ao,y) e indichiamo con

( u , , v 2 ) l a soluzione fomita dal lemma 4.1 per il sistema (20), ove si rim- o u~ (ao, y). piazzi u . (ao,y) tramite

Per il lemma 4.1: u~ e ancora, su R1.1:

< /4, V~ > V. U~ ~

Per il lemma 4.2: I < 2 .It-

/ 2 ~ _ _ U l . , V ~ > " V z ,

�9 dunque la (5) 5 verificata.

1 3 2 LUCIAIqO CARBOIqE

1~ facile provare che l'estensione a R1 di (u , , v*) appartiene a S~(A~)• S] (A~), con p=(a~,bl) , e verifica il sistema (16), (17) con m(y)=n(x)=O.

Con un numero finito di iterazioni del procedimento si ottiene il prolun- gamento a /~ N A, ove /~ ~ il massimo rettangolo in /z i cui vertici giacciono nell'origine, sugli assi e su C3. 1~ facile allora prolungare a tutto 12N A, utiliz-

zando ancora il lemma 4.1. Dal lemma 4.3 si pub dedurre, adattando opportunamente il procedimen-

to utilizzato nel paragrafo 3, il seguente:

TEOREMA 4.4. Sia] decrescente in v, g decrescente in u, allora il problema

(C) ammette due soluzioni (it,, v*) e (u*, v,) con

j ~ t s u, eS (A), u*eS , v, v*eS;(A)

tall da verificare la (5) per ogni soluzione continua (u, v).

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Pervenuto n 30 settembte 1976

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