LESUPERFICI QUADRICHE.1. Denizione. Una quadrica e una supercie nello spazio,luogo dei punti P=(x, y, z) le cui coordinate soddisfano ad unequazione del tipoa11x2+a22y2+a33z2+a44 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz++2a14x + 2a24y + 2a34z = 0.In coordinate omogenee lequazione di una quadrica e data daa11x21 +a22x22 +a33x23 +a44x24 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + 2a23x2x3++2a14x1x4 + 2a24x2x4 + 2a34x3x4 = 0.Osserviamo immediatamente che se : ax+by+cz+d = 0 e

: a

x+b

y+c

z+d

= 0sono due piani, allora

: (ax +by +cz +d) (a

x +b

y +c

z +d

) = 0e lequazione di una quadrica, che e detta ridotta nellunione dei due piani.Indichiamo conX =__x1x2x3x4__il generico vettore delle coordinate omogenee e siaA =__a11a12a13a14a12a22a23a24a13a23a33a34a14a24a34a44__lamatricesimmetricaformatadaicoecientichecompaiononellequazionedellaquadrica. Allora lequazione puo essere riscritta in forma compatta come segue:XT A X = 0.Sinoticheognirettadellospazioincontraunaquadricainduepunti, eccettoil casoincui larettaappartengacompletamenteallaquadrica(nel qual casoipunti di incontrotralarettaelaquadricasonoinniti, tutti quelli dellaretta).Analogamente a quanto detto per i punti di una curva algebrica nel piano ane oeuclideo, un punto di una quadrica e detto doppio se una qualsiasi retta passanteper esso ha una intersezione doppia con la quadrica nel punto stesso.Determiniamo una prima classicazione delle quadriche in base alla presenza dipunti doppi:Teorema 1. SiaQ : XT A X = 0 una quadrica. Essa contiene almeno un puntodoppio se e solo sedet(A) = 0.12 LESUPERFICI QUADRICHE.Inparticolare diciamoquadriche generaliquelle che nonpresentanopuntidoppi (det(A) =0); diciamoquadrichespecializzatequellechepresentanounsolopuntodoppio; diciamoquadricheriducibiliquellechepresentanoinnitipunti doppi.Concludiamoquestaprimasezioneosservandochelintersezionetraunpiano : ax + by + cz + d = 0 ed una quadricaQ : XT A X = 0 determina una curvanello spazio, pi u precisamente una conica che giace sul piano, la cui equazione siscrive_ax +by +cz +d = 0XT A X = 0.Tale conica e riducibile solo quando il piano e tangente alla quadrica, oppure nelcaso la quadrica sia ridotta nellunione di due piani.2. Quadrichegenerali. Questesonolequadricheprivedipuntidoppi. Inpre-senza di una quadrica generaleQ : XT A X = 0, si denisce una corrispondenzabiunivoca tra linsieme di tutti i punti dello spazio e linsieme di tutti i piani dellospazio, tale che ad ogni punto P= (a1, a2, a3, a4) corrisponda il piano di equazione :_a1a2a3a4__a11a12a13a14a12a22a23a24a13a23a33a34a14a24a34a44____x1x2x3x4__ = 0.Il puntoPedettopolodel pianorispettoallaquadricaQ, il pianoedettopiano polare diPrispetto alla quadricaQ.In particolare, seP Q e un punto della quadrica, il suo piano polare, rispettoaQ, coincide col piano tangente inPalla quadrica.Fissiamo ora una quadricaQ :XT A X= 0 ed un puntoP Q. Tramite lapolarita appena denita, e possibile costruire il piano tangente in Palla quadrica.Lintersezione traQ e genera una conicariducibile. Se e ridotta in due rettereali edistinte, il puntoPedettoiperbolico. Seeridottainduerettereali ecoincidenti, il puntoPe detto parabolico. Se e ridotta in due rette immaginariee coniugate, il puntoPe detto ellittico.Una quadrica generale non possiede punti parabolici, inoltre vale il seguente:Teorema2. SiaQunaquadricagenerale. Seessapossiedeunpuntoiperbolico(rispettivamenteellittico)alloraognipuntodellaquadrica eiperbolico(rispettiva-mente ellittico).Le quadriche generali a loro volta si suddividono in tre classi. Tale classicazionevienefattainbaseallostudiodellaconicachescaturiscedallintersezionetralaquadrica ed il piano impropriox4 = 0.LESUPERFICI QUADRICHE. 32.1. Iperboloide.E una quadrica generale che interseca il piano improprio in unaconica irriducibile e reale (si dice che il piano improprio e liperboloide sono secantilun laltro).Se i punti delliperboloide sono tutti iperbolici, esso e detto iperboloide iperbol-ico, se i punti sono tutti ellittici esso e detto iperboloide ellittico.Teorema3. Uniperboloideeiperbolicoseesolosedet(A)>0, eellitticoseesolo sedet(A) < 0.Liperboloide possiede tutte le sezioni piane, cioe si possono generare sia iperboliche parabole che ellissi, intersecando un iperboloide con i piani dello spazio.2.2. Paraboloide.E una quadrica generale che interseca il piano improprio in unaconica riducibile (si dice che il piano improprio e tangente al paraboloide).Teorema4. Unaquadricageneraleetangenteal pianoimproprio(quindi eunparaboloide) se e solo se il complemento algebricoA44, dellelementoa44della ma-triceA, e nullo.Se i punti del paraboloide sono tutti iperbolici, esso e detto paraboloide iperbol-ico, se i punti sono tutti ellittici esso e detto paraboloide ellittico.Teorema5. Unparaboloideeiperbolicoseesolosedet(A)>0,eellitticoseesolo sedet(A) < 0.Teorema6. Unparaboloideiperbolicopossiedeiperboli oparabolecomesezionipiane, cioe si possono generare sia iperboli che parabole, intersecando un paraboloideiperbolico con i piani dello spazio.Teorema 7. Un paraboloide ellittico possiede ellissi o parabole come sezioni piane,cioe si possono generare sia ellissi che parabole, intersecando un paraboloide ellitticocon i piani dello spazio.2.3. Ellissoide.Eunaquadricageneralecheintersecailpianoimproprioinunaconicairriducibileimmaginaria(sidicecheilpianoimproprio eesternoallellis-soide).I punti di un ellissoide sono tutti ellittici.Teorema8. Unellissoidepossiedepuntituttirealiseesolosedet(A)< 0,ed edetto ellissodie reale, in caso contrario e detto ellissoide immaginario.Teorema 9.Un ellissoide possiede solamente ellissi come sezioni piane, cioe si pos-sono generare solamente ellissi, intersecando un ellissoide con i piani dello spazio.Esercizio1. Classicare la quadrica di equazionex2+y2z2+xy +x 3 = 0.Svolg. La matrice associata alla quadrica eA =__112012121 0 00 0 1 0120 0 3__.Otteniamoche det(A) >0conA44=0, dove A44eil complementoalgebricodellelementoa44della matriceA.4 LESUPERFICI QUADRICHE.Inoltre la conica impropria della quadrica e data da:_x21 +x22 x23 +x1x2 = 0x4 = 0ed e a punti reali. Allora la supercie e un iperboloide a punti iperbolici.Esercizio2. Classicare la quadrica di equazione 2x2+y2+z2x 2y + 1 = 0.Svolg. La matrice associata alla quadrica eA =__2 0 0 120 1 0 10 0 1 0121 0 1__.Otteniamo chedet(A) < 0 conA44 = 0.Inoltre la conica impropria della quadrica e data da:_2x21 +x22 +x23 = 0x4 = 0ed e a punti immaginari. Allora la supercie e un ellissoide a punti reali.Esercizio 3.Classicare la quadrica di equazione x2+y2+2xy+2xz+2yz2x+2 =0.Svolg. La matrice associata alla quadrica eA =__1 1 1 11 1 1 01 1 0 01 0 0 2__.Otteniamo chedet(A) > 0 conA44 = 0.Allora la supercie e un paraboloide a punti iperbolici.3. Quadriche specializzate. Sono le quadriche con un solo punto doppio, il qualeedettovertice. Perquantoriguardai punti dellesuperci specializzate, valeilseguente:Teorema 10. Se Q e una quadrica specializzata, allora tutti i punti della supercieQ sono parabolici.Anchelequadrichespecializzatesi suddividonoinsottoclassi, etaleclassi-cazione si riferisce alla conica impropria della quadrica, cioe la conica che scaturiscecon lintersezione col piano improprio.LESUPERFICI QUADRICHE. 53.1. Cono. Il cono e la quadrica specializzata la cui conica impropria e irriducibile(il cono ed il piano improprio sono secanti). Il vertice Vdel cono e un punto proprioe le sue coordinate (x1, x2, x3, x4) sono la soluzione del sistema lineare__a11a12a13a14a12a22a23a24a13a23a33a34a14a24a34a44____x1x2x3x4__ = 0.Si riconosce che la supercie e un cono utilizzando il seguente risultato:Teorema 11. SiaA la matrice associata alla quadricaQ. La supercie e un conose e solo sedet(A) = 0,rango(A) = 3 eA44 = 0.Un cono possiede tutte le sezioni piane, cioe si possono generare sia iperboli cheparabole che ellissi, intersecando un cono con i piani dello spazio.Inoltretutti i piani tangenti allasuperciedi unconodevonocontenerneilvertice.3.2. Cilindro. Il cilindroe laquadricaspecializzatalacui conicaimpropriaeriducibile (il cilindro ed il piano improprio sono tangenti). Il verticeVdel cilindroe un punto improprio e le sue coordinate (x1, x2, x3, 0) sono la soluzione del sistemalineare__a11a12a13a14a12a22a23a24a13a23a33a34a14a24a34a44____x1x2x30__ = 0.Si riconosce che la supercie e un cilindro utilizzando il seguente risultato:Teorema12. SiaAlamatriceassociataallaquadrica Q. Lasupercieeuncilindro se e solo sedet(A) = 0,rango(A) = 3 eA44 = 0.Ogni cilindro possiede un solo tipo di sezione piana indipendentemente dal pianocolqualesieettualintersezione. Cioe, ssatoilcilindroQ, sipossonogeneraresoloiperboli oparaboleoellissi, intersecandoil cilindroconi piani dellospazio.In particolare, poiche il piano improprio e tangente al cilindro, la conica impropriaridotta dovra rispettare il seguente prospetto:Conicaimpropria Genericasezionedelcilindro2 rette reali e distinte Iperbole2 rette reali e coincidenti Parabola2 rette immaginarie coniugate EllisseInoltretuttiipianitangentiallasuperciediuncilindrodevonocontenerneilvertice.Esercizio 4.Classicare la quadrica di equazione x2+y2+2xy+2yz2x+y+1 = 0.6 LESUPERFICI QUADRICHE.Svolg. La matrice associata alla quadrica eA =__1 1 0 11 1 1120 1 0 01120 1__.Otteniamo chedet(A) = 0 conA44 = 0.La supercie e un cono di verticeX = (x1, x2, x3, x4) tale cheAX = 0, da cui___x1 +x2 x4 = 0x1 +x2 +x3 +x42= 0x2 = 0x1 +x22+x4 = 0e quindiX = (1, 0, 32, 1).Esercizio 5. Classicare la quadrica di equazionex2+y2+ 2xy 2x +y + 1 = 0.Svolg. La matrice associata alla quadrica eA =__1 1 0 11 1 0120 0 0 01120 1__.Otteniamo chedet(A) = 0 conA44 = 0 e rango 3.La supercie e un cilindro di vertice X = (x1, x2, x3, x4) tale che AX = 0, da cui_x1 +x2 = 0x1 +x22= 0e quindiX = (0, 0, 1, 0).Inoltre la conica impropria della quadrica e data da:_x21 +x22 + 2x1x2 = 0x4 = 0_(x1 +x2)2= 0x4 = 0cioesonoduerettereali ecoincidenti, quindi laconicageneratricedel cilindroeuna parabola.4. Quadricheriducibili. Sono le quadriche di equazionea11x2+a22y2+a33z2+a44 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz++2a14x + 2a24y + 2a34z = 0tali chea11x2+a22y2+a33z2+a44 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz++2a14x + 2a24y + 2a34z = (ax +by +cz +d) (a

x +b

y +c

z +d

)cioe sono unione di due piani e

di equazioni: : ax +by +cz +d = 0

: a

x +b

y +c

z +d

= 0.Taliquadrichehannoinnitipuntidoppi, sonoipuntidellarettacomuneaiduepiani e

.In particolare si possono vericare i seguenti 3 casi:LESUPERFICI QUADRICHE. 71. i due piani sono distinti ed incidenti, ed alloradet(A) = 0,rango(A) = 2, visono 1punti doppi propri;2. iduepianisonodistintieparalleli, edalloradet(A) = 0, rango(A) = 2, visono 1punti doppi impropri;3. i due piani sono coincidenti, ed alloradet(A) = 0,rango(A) = 1, vi sono 2punti doppi propri.Aggiungiamo come caso molto particolare quello in cui la quadrica ha equazionex24 = 0, cioe vi sono 2punti doppi impropri.Consideriamo

: a

x+b

y +c

z +d

= 0 un qualsiasi altro piano dello spazio.Lintersezione della quadrica riducibile con

determina una conica ridotta nelledue rette:r1 :_ax +by +cz +d = 0a

x +b

y +c

z +d

= 0r2 :_a

x +b

y +c

z +d

= 0a

x +b

y +c

z +d

= 05. Pianiedassidisimmetriadellequadrichegenerali.Denizione 1. Il cerchio assoluto e una conica irriducibile priva di punti reali chegiace sul piano improprio. Essa e identicata dalle equazioni:_x21 +x22 +x23 = 0x4 = 0.Ricordandochei punti ciclici di unqualsiasi pianosonoi punti chelapropriagiacitura ha in comune con ogni circonferenza che giace sul piano stesso, il cerchioassoluto e in denitiva il luogo dei punti ciclici di tutti i piani dello spazio.Denizione 2.Sia A = (aij) M4(lR) la matrice non singolare associata allequazionedi una quadrica generale. Si denisce centro di simmetria della quadrica Q il puntoC Q tale che, seP Q e un punto della supercie, allora ancheP

, il simmet-ricodi PrispettoaCappartengaancheallasupercie. Analogamenteaquantovisto per le coniche, le coordinate del centro di simmetria si ottengono direttamantedalla matrice A: C = (A41, A42, A43, A44), dove ogni Aij e il complemento algebricodellelementoaij A considerato con lopportuno segno (derivante dalla posizionecheessooccupanellamatrice). Nel casodi unparaboloide, essendoA44=0, siparla di quadrica a centro improprio o priva di centro.Denizione 3.I piani di simmetria (piani principali) di una quadrica generale sonoquei piani dello spazio che, rispetto alla quadrica denita, hanno come polo il puntoimpropriodelladirezioneadessiortogonale. Gliassidisimmetriadellaquadricasono le rette che si ottengono dallintersezione dei piani di simmetria. Nel caso diiperboloideedellissoide(quadricheacentro)si determinano3assi di simmetria(incorrispondenzadi 3piani di simmetria): tali assi si possonoottenereanchecongiungendo il centro di simmetria con ciascun polo di ogni piano di simmetria. Nelcaso del paraboloide (senza centro di simmetria) si determina 1 asse di simmetria(in corrispondenza di 2 piani di simmetria).Teorema13. Le prime 3 coordinate dei poli dei piani di simmetria sono le com-ponentidegliautovettoridellasottomatriceA44dellamatriceArappresentantelaquadrica generale.8 LESUPERFICI QUADRICHE.Dim. Indichiamo conP0 = (x0, y0, z0, 0) il polo di un piano di simmetria e siaA =__a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44__la matrice che rappresenta la quadrica. Il piano polare diP0 rispetto alla quadricaha equazione(a11x0 +a21y0 +a31z0)x1 + (a12x0 +a22y0 +a32z0)x2+(a13x0 +a23y0 +a33z0)x3 + (a14x0 +a24y0 +a34z0)x4 = 0e per sua denizione esso deve essere ortogonale alla direzione (x0, y0, z0, 0), cioe:(a11x0 +a21y0 +a31z0) = x0(a12x0 +a22y0 +a32z0) = y0(a13x0 +a23y0 +a33z0) = z0per un opportuno lR. Ne segue che___(a11 )x0 +a21y0 +a31z0 = 0a12x0 + (a22 )y0 +a32z0 = 0a13x0 +a23y0 + (a33 )z0 = 0il quale ha soluzioni non banali solo quando(a11 ) a21a31a12(a22 ) a32a13a23(a33 )= 0.Insostanzaeunautovaloredellamatrice A44elecoordinate(x0, y0, z0) delpunto P0 = (x0, y0, z0, 0) individuano le componenti di un autovettore relativo a .Alvarialedi siottengonotuttigliautovettoriequindituttiipolideipianidisimmetria.OltreallutilizzodegliautovaloridellamatriceA44(comeappenavisto),esisteun secondo metodo per determinare i poli dei piani di simmetria: esso consiste neldeterminare inizialmente un fascio di coniche, utilizzando, come coniche di base, ilcerchio assoluto e la conica impropria della quadrica. Quindi si individuano le treconiche riducibili di tale fascio ed i rispettivi punti doppi. Tali punti sono i poli deipiani di simmetria.Verichiamo col seguente esempio lequivalenza dei due metodi:Esempio 1.Consideriamo il paraboloide iperbolico Q di equazione 6xz+8yz5x =0. Determiniamo piani ed asse di simmetria utilizzando entrambi i metodi.Svolg. Metododelfasciodiconicheimproprie:La conica impropria diQ e 6x1x3 + 8x2x3 = 0, x4 = 0, determiniamo il fascio conil cerchio assoluto:F:_6x1x3 + 8x2x3 +(x21 +x22 +x23) = 0x4 = 0.LESUPERFICI QUADRICHE. 9La matrice associata al fascio e__ 0 30 43 4 il cui determinante e (225). Quindi si ottengono le coniche riducubili del fascioper i valori = 0, 5, 5.Per =0laconicae x3(6x1 + 8x2) =0, x4=0, il cui puntodoppioe P1=(4, 3, 0, 0). Ilpianopolaredi P1rispettoalparaboloideQ ex4= 0(talepianorisulterasemprenel casodi unparaboloide, chiaramentenonverramai presoinconsiderazione).Per=5laconica e5x21 + 5x22 + 5x23 + 6x1x3 + 8x2x3=0, x4=0ilcuipuntodoppio eP2 = (3, 4, 5, 0). Il piano polare diP2 e 6x + 8y + 10z 3 = 0.Inne per = 5 la conica e 5x21 5x22 5x23 + 6x1x3 + 8x2x3 = 0, x4 = 0 il cuipunto doppio eP2 = (3, 4, 5, 0). Il piano polare diP2 e 6x + 8y 10z + 3 = 0.Lasse di simmetria e quindi_6x + 8y + 10z 3 = 06x + 8y 10z + 3 = 0inoltre possiamo calcolare il punto di sella del paraboloide iperbolico, intersecandolasse con la sua supercie:___6x + 8y + 10z 3 = 06x + 8y 10z + 3 = 06xz + 8yz 5x = 0ottenendo le coordinate (0, 0,310).Metododegliautovalori.EsucientevericarechegliautovaloridellamatriceA44sonoesattamente=0, 5, 5echei rispettivi autovettori rispettoadA44sono: (43, 1, 0)per=0,(35,45, 1)per = 5,(35, 45, 1)per = 5. Quindiipolideipianisisimmetriasono esattamente (43, 1, 0, 0), (35,45, 1, 0), (35, 45, 1, 0).Osservazione 1.Il calcolo del punto di sella di un paraboloide iperbolico e analogoal calcolo del punto del parabolide ellittico che potremmo denire impropriamentevertice del parabolide. In entrambi i casi tali punti ricopriranno un ruolo fonda-mentale per la riduzione a forma canonica delle equazioni dei paraboloidi.6. Formacanonicadi unaquadricageneraleconcentrodi simmetria.SiaXtAX = 0 lequazione di una quadrica generale con centro di simmetria (iper-boloide o ellissoide). Una rototraslazione degli assi di simmetria che riporti loriginedel sistema di riferimento nel centro di simmetria e faccia coincidere gli assi coordi-nati con gli assi di simmetria della quadrica, trasforma lequazione della supercienella sua forma canonica:Ellissoide:1.x2a2+y2b2+z2c2= 1 ellissoide reale;2.x2a2+y2b2+z2c2= 1 ellissoide immaginario.10 LESUPERFICI QUADRICHE.Iperboloide:1.x2a2+y2b2 z2c2= 1 iperboloide iperbolico;2.x2a2 y2b2+z2c2= 1 iperboloide iperbolico;3. -x2a2+y2b2+z2c2= 1 iperboloide iperbolico;4.x2a2 y2b2 z2c2= 1 iperboloide ellittico;5. -x2a2+y2b2 z2c2= 1 iperboloide ellittico;6. -x2a2 y2b2+z2c2= 1 iperboloide ellittico.DiciamoXtBX=0lequazionedellaquadricanellasuaformaridotta. Comeaccadeva per le coniche,si puo dimostrare (non lo facciamo!) che esistono alcunequantita chenoncambiano dopo avereettuato uncambiamentodibasetramitevettori ortonormali: vengono detti invarianti ortogonali e sonodet(A) = det(B)det(A44) = det(B44)la somma degli autovalori di A44e pari alla somma degli autovalori di B44.In altre parole, se indichiamo con x2+y2+z2= lequazione di una quadrica acentro, e suciente calcolare gli autovalori diA44 per ottenere i coecienti, , ,inoltre gli autoversori relativi ad , , compongono la matrice di rotazione. Quindisi puo eettuare una traslazione rispetto alle coordinate del centro o equivalente-menteapplicarelinvarianzadel det(A) =det(B)perottenereilvaloredelcoe-ciente.Esempio2. Consideriamoliperboloideellitticodi equazione2x2 2y2 2yz 2z23 = 0 di matrice associata:A =__2 0 0 00 2 1 00 1 2 00 0 0 3__.Determiniamone una forma canonica e le formule di rototraslazione che ci perme-ttono di ottenerla.Svolg. Una forma canonica eax2+ by2+ cz2=d, dovea, b, c sono gli autovaloridella sottomatriceA44. Eseguendo i calcoli, essi sono 2, 3, 1, quindi lequazionesara 2x23y2z2= d con matrice associataB =__2 0 0 00 3 0 00 0 1 00 0 0 d__di determinante 6d. Inoltre e facile calcolare che det(A) = 18 e grazie allinvarianzaortogonale sappiamo che 6d = 18, quindid = 3. Inne lequazione in forma ridottasara 2x23y2z23 = 0.Vediamooraqualeestatalatrasformazioneeettuataper otteneretaleformacanonica.Lautospazio relativo allautovalore 2 rispetto alla matriceA44 e generato dal ver-sore (1, 0, 0).LESUPERFICI QUADRICHE. 11Lautospazio relativo allautovalore 3 rispetto alla matrice A44 e generato dal vet-tore (0, 1, 1) e quindi anche dal versore (0,12,12).Innelautospaziorelativoallautovalore 1rispettoallamatriceA44egeneratodal vettore (0, 1, 1) e quindi anche dal versore (0,12, 12).Inoltre il centro della quadrica e (A41, A42, A43, A44) = (0, 0, 0, 6), cioe in coordinatenon omogenee (0, 0, 0).Quindi la rototraslazione che ci permette di concludere e la seguente:__x1x2x3__ =__1 0 00121201212____x

1x

2x

3__+__000__.7. Forma canonica di un paraboloide. Sia XtAX = 0 lequazione di un paraboloide.Comeinprecedenzaunatrasformazioneortonormaledel sistemadi riferimentotrasformalequazionedellasupercienellasuaformacanonica. Facciamorifer-imentoai paraboloidi cheabbianonellaloroformaridotta, lassedi simmetriacoincidente con lasseZ, in modo del tutto identico il discorso puo essere riportatoagli altri 2 casi:1.x2a2+y2b2= 2dz paraboloide ellittico;2.x2a2 y2b2= 2dz paraboloide iperbolico.DiciamoXtBX= 0lequazionedellaquadricanellasuaformaridotta. Comeinprecedenza i seguenti sono invarianti ortogonali:det(A) = det(B)det(A44) = det(B44)la somma degli autovalori di A44e pari alla somma degli autovalori di B44.Esempio 3. Consideriamo il paraboloide iperbolico di equazione 6xz+8yz5x = 0di matrice associata:A =__0 0 3 520 0 4 03 4 0 0520 0 0__.Determiniamone una forma canonica e le formule di rototraslazione che ci perme-ttono di ottenerla.Svolg. Una forma canonica con asse di simmetria coincidente con lasse Z e ax2+by2+ 2cz=0, dovea, bsonogli autovalori nonnulli dellasottomatriceA44(ri-cordiamo che per un paraboloide lautovalore nullo esiste sempre ma non fornisceindicazioni, poichelautovettoreadessorelativoeil polodel pianoimproprio).Eseguendoi calcoli, gli autovalori nonnulli sono5, 5, quindi lequazionesara5x25y2+ 2cz = 0 con matrice associataB =__5 0 0 00 5 0 00 0 0 c0 0 c 0__12 LESUPERFICI QUADRICHE.di determinante 25c2. Inoltre e facile calcolare che det(A) = 100 e grazie allinvarianzaortogonalesappiamoche25c2=100, quindi c {2, 2}. Inneleequazioni informa ridotta saranno5x25y24z = 0oppure5x25y2+ 4z = 0.Vediamo ora quale e stata la trasformazione eettuata per ottenere tali forme canon-iche.Lautospazio relativo allautovalore 0 rispetto alla matriceA44 e generato dal ver-sore (45, 35, 0).Lautospazio relativo allautovalore 5 rispetto alla matriceA44 e generato dal ver-sore (352,452,12).Innelautospaziorelativoallautovalore 5rispettoallamatriceA44egeneratodal versore (352, 452,12).Inoltre il punto di sella della quadrica e (0, 0,310).Quindi la rototraslazione che ci permette di concludere e la seguente:__x1x2x3__ =__352352454524523512120__ __x

1x

2x

3__+__00310__.Osserviamochenellarotazione, possiamosceglierequaleassecoordinatodi-venteralassedisimmetria, sarasucientenellamatricedirotazioneposizionarelautoversore relativo allautovalore nullo esattamente nella colonna 1, se si sceglielasseX, nellacolonna2sesi sceglielasseY , nellacolonna3(comenel nostroesempio) se si sceglie lasseZ.Si verichi infatti che, se si scegli come rototraslazione la seguente:__x1x2x3__ =__453523523545245201212__ __x

1x

2x

3__+__00310__incui lautoversorerelativoallautovalorenulloepostonellaprimacolonna, laforma canonica nale sara 5y2 5z2 4x = 0, cioe un paraboloide iperbolico conasse di simmetria coincidente con lasseX.8. Formacanonicadi uncono. SiaXtAX=0lequazionedi uncono, conmatrice associataA e verticeV di coordinateXV= (xv, yv, zv). Poiche il verticedel cono si comporta esattamente come un centro di simmetria, quanto detto sullequadricheacentroproprio(iperboloidi edellessoidi)puoessereapplicatoancheperlariduzioneaformacanonicadellequazionedi uncono. Si trattaalloradideterminare gli autovalori della sottomatriceA44e quindi di costruire una base diautoversori, tramite la quale riempire la matrice di rotazioneP. Inne si eettuala traslazione rispetto al vettore di coordinateXV . Dopo la rototraslazione,__x1x2x3__ = P __x

1x

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3__+XVlequazione ridotta assume una delle seguenti forme:LESUPERFICI QUADRICHE. 131. a2x2+ b2y2+ c2z2= 0 nel caso di un cono immaginario (lunico punto realee il vertice);2. a2x2+ b2y2 c2z2= 0 nel caso di un cono reale (con asse perpendicolare alpianoz = 0).I coecientia2, b2, c2sono gli autovalori dellaA44.Esempio 4.Consideriamo il cono immaginario di equazione 3x2+2y2+2xz+3z2=0 di matrice associata:A =__3 0 1 00 2 0 01 0 3 00 0 0 0__.Determiniamone una forma canonica e le formule di rototraslazione che ci perme-ttono di ottenerla.Svolg. Il vertice del cono ha coordinate (0, 0, 0). Gli autovalori della sottomatriceA44sono1=2, conmolteplicitaalgebrica2, e2=4. Unaformacanonicae2x2+ 2y2+ 4z2= 0.Vediamo ora quale e stata la trasformazione eettuata per ottenere tali forme canon-iche.Lautospazio relativo allautovalore 2 rispetto alla matriceA44 e generato dai ver-sori (12, 0, 12), (0, 1, 0).Lautospazio relativo allautovalore 4 rispetto alla matriceA44 e generato dal ver-sore (12, 0,12).Quindi la rototraslazione che ci permette di concludere e la seguente:__x1x2x3__ =__120120 1 012012____x

1x

2x

3__+__000__.9. Formacanonicadicilindriabaseellitticaeiperbolica. SiaXtAX= 0lequazionedi uncilindroconbaseellitticaoiperbolica, conmatriceassociataA. Ancheinquestocasosi trattadapprimadi determinaregli autovalori dellasottomatriceA44: unodi essi ecertamente=0. Si costruisceunabasedi au-toversori, tramite la quale riempire la matrice di rotazioneP: lautospazio relativoallautovalore nullo ha dimensione 1, il suo versore generatore e parallelo alle gen-eratrici del cilindro;gli altri autoversori individuano un piano perpendicolare alladirezione della generatrici. Una volta eettuata la rotazione si osserva lequazioneottenuta: se non sono presenti termini di primo grado, allora non vi e alcun bisognodi traslazioni. In caso contrario, si eettua una sostituzionex

= x +a,y

= y +b,z

= z +c, imponendo che i termini di primo grado si annullino. I valoria, b, c chevericanolannullarsi dei termini lineari, sonoesattamentelecoordinatedel vet-tore di traslazione (esso e il centro C = (a, b, c) di una qualsiasi conica direttrice delcilindro, cioe una conica che giace su un qualsiasi piano ortogonale alle generatricidel cilindro). Lequazione ridotta nale assume una delle seguenti forme:1. a2x2+b2y2+c2= 0 nel caso di un cilindro immaginario;14 LESUPERFICI QUADRICHE.2. a2x2+b2y2c2= 0 nel caso di un ellittico (con generatrici parallele allasseZ);3. a2x2b2y2c2= 0 nel caso del cilindro iperbolico (con generatrici paralleleallasseZ).I coecienti a2, b2sono gli autovalori non nulli dellaA44. Si osservi che in modoanalogo si ottengono le equazioni canoniche dei cilindri con generatrici parallele agliassiXoY .Esempio 5. Consideriamo il cilindro a base iperbolica di equazione 6xz+8yz5 =0 di matrice associata:A =__0 0 3 00 0 4 03 4 3 00 0 0 5__.Determiniamone una forma canonica e le formule di rototraslazione che ci perme-ttono di ottenerla.Svolg. Il vertice del cilindro ha coordinate (4, 3, 0, 0), infatti lautospazio relativoallautovalore 0 rispetto alla matriceA44 e generato dal versore (45, 35, 0).Gli altri due autovalori diA44sono 5, 5.Lautospazio relativo allautovalore 5 rispetto alla matrice A44 e generato dal versore(352,452,12).Innelautospaziorelativoallautovalore 5rispettoallamatriceA44egeneratodal versore (352, 452,12).Quindi la rotazione e la seguente:__x1x2x3__ =__352352454524523512120__ __x

1x

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3__.La forma che si ottiene dopo la sostituzione delle variabili ex2 y2 1 = 0,congeneratrici parallele allasseZ. Essa non presenta termini di primo grado,quindinon necessita di alcuna traslazione.10. Forma canonica di cilindri a base parabolica. Discorso a parte per i cilin-dri a base parabolica: essi presentano un autovalore nullo per la matriceA44, conmolteplicita algebrica 2. Lautospazio associato e un piano parallelo alle generatricidel cilindro, quindi contiene il vertice. La scelta dei tre vettori per la rotazione devein tale caso essere pi u oculata che non nei precedenti.Il primo versore e quello relativo alla direzione individuata dal vertice.Il secondo, anche esso appartenente allautospazioV0relativo allautovalore nullo,e il versore della retta che si ottiene dallintersezione del pianoV0 e di un qualsiasipiano ortogonale alla direzione del vertice.Lultimoversoreeil generatoredellautospaziorelativoallautovalorenonnullodella matriceA44, che e quindi ortogonale ai precedenti due.Una volta eettuata la rotazione si osserva lequazione ottenuta: se non sono pre-senti termini di grado zero (termini noti), allora non vi e alcun bisogno di traslazioni.LESUPERFICI QUADRICHE. 15Incasocontrario,sieleminanoitermininotiprocedendoconunatraslazioneim-posta, come per i cilindri a base iperbolica o ellittica. Alla ne si ottiene la seguente:a2x2+by = 0in cui i ruoli delle variabilix, y, z sono intercambiabili.Esempio6. Consideriamoil cilindroabaseparabolicadi equazionex2 2xy +y24x 4y 4z + 4 = 0 di matrice associata:A =__1 1 0 21 1 0 20 0 0 22 2 2 4__.Determiniamone una forma canonica e le formule di rototraslazione che ci perme-ttono di ottenerla.Svolg. GliautovaloridellasottomatriceA44sono1=0, conmolteplicitaalge-brica 2, e2 = 2. Il vertice del cilindro ha coordinate (1, 1, 2, 0), quindi il primoversore per la rotazione e (16,16, 26).Inoltrelautospaziorelativoallautovalore0rispettoallamatriceA44edatodalpiano di equazionex y = 0.Scegliamo ora un qualsiasi piano perpendicolare alla direzione individuata dal ver-tice, ad esempio quello passante per lorigine: x +y 2z = 0.Il secondo vettore per la rotazione e quindi individuato dallintersezione_x y = 0x +y 2z = 0per cui ha componenti (1, 1, 1), con versore (13,13,13)Lultimo vettore e lautovettore relativo allautovalore2= 0,cioe (1, 1, 0),conversore (12, 12, 0). Quindi la rotazione e la seguente:__x1x2x3__ =__16131216131226130__ __x

1x

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3__.La forma che si ottiene dopo la sostituzione delle variabili e 2z2 43y + 4 = 0.La presenza del termine di grado zero, richiede una ulteriore traslazione: poniamox = x

,y = y

+b,z = z

tali che:2z243(y

+b) + 4 = 02z243y

+ (43b + 4) = 0.Imponendo (43b + 4) = 0 otteniamob =13. La trasformazione nale sara__x1x2x3__ =__16131216131226130__ __x

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3__+__0130__che porta alla forma ridotta 2z243y = 0.16 LESUPERFICI QUADRICHE.11. Esercizi.Esercizio 6. Classicare la seguente quadrica x2y2+2z2+6yz4xz2x3 = 0e determinare la conica intersezione con il pianoz = 1.Esercizio 7.Classicare la quadrica x2+y2z2+2xy2x2y = 0 e determinarnegli eventuali punti doppi.Esercizio8. Classicarelaquadricax2+ 2y2 z2+ 2xy 2x 2y + 1=0edeterminarne gli eventuali punti doppi.Esercizio9. Classicarelaquadricax2 y2+ z2+ 2xz 2x 4y 2z 3 = 0,determinarne gli eventuali punti doppi e la conica allinnito.Esercizio10. Classicare la quadricax2+ 2y2+ z2+ 2xy 2x 3 = 0 ed i suoipunti.Esercizio11. Classicare la quadricaxy +yz +xz 2x + 1 = 0 ed i suoi punti.Esercizio 12. Classicare la quadricay2z2+ 4xy 4xz 6x + 4y + 2z + 8 = 0ed i suoi punti.Esercizio13. Determinarelaconicaintersezionetralaquadricax2+ y2+ z2+2xy 2x = 0 ed il pianox +y z = 0; ripetere lesercizio nel caso in cui il pianosiax = 0.Esercizio 14.Determinare la conica intersezione tra la quadrica 2x23y26z2= 0ed il pianox = 0; ripetere lesercizio nel caso il piano siax = 3z + 1.Esercizio15. Classicare la quadrica 2x2+ 2xy + z = 0 e determinare la conicaintersezione con il piano 4x + 2y +z 2 = 0.Esercizio16. Classicare la quadricax22y2z2= 1 e determinare le conicheintersezione con i piani : x = z 1 e : x = 1.Esercizio17. Classicarelaquadricax2 z2 1=0edeterminarelaconicaintersezione col pianoz = 1.Esercizio18. Classicarelaquadrica 4x2+ y2+ z2 2=0edeterminarelaconica intersezione col pianoy +z 2 = 0.Esercizio 19. Classicare la quadricax2+y22xz +z21 = 0 e determinare laconica intersezione col pianox z = 0.Esercizio20. Classicare la quadricax2+y2+ 2xy = 0 e determinare le conicheintersezione coi pianix = 1 ez = 0.Esercizio 21.Classicare la quadrica 2x2+y2+3z2+4x2y+2 = 0 e determinarele coniche intersezione coi pianix = 0 ey = 0.Esercizio22. Classicarelaquadricax2 z2+ 2y=0edeterminarelaconicaintersezione col pianox 2z = 0.Esercizio23. Classicarelaquadricax2 y2+ z2= 1edeterminareleconicheintersezione coi pianix y = 1 ez = 1.