Proprietà riflessiva A=A Proprietà simmetrica Se A=B allora B=A Proprietà transitiva Se A=C e B=C...

Proprietà riflessivaA=A

Proprietà simmetricaSe A=B allora B=A

Proprietà transitivaSe A=C e B=C allora A=B

AA

BB CC

AA

BB

CC

DD

Quali tra questi poligoni Quali tra questi poligoni sono equivalenti?sono equivalenti?

Impossibile saperlo se prima non Impossibile saperlo se prima non si sceglie una unità di misura si sceglie una unità di misura

omogenea alla superficie piana, omogenea alla superficie piana, ad esempio:ad esempio:

Si dice area di una superficie piana quel numero che Si dice area di una superficie piana quel numero che indica quante volte l’unità di misura, o un suo indica quante volte l’unità di misura, o un suo

sottomultiplo, è contenuta nella superficie stessa.sottomultiplo, è contenuta nella superficie stessa.

AA BB

CCDD

AB = 5cmAB = 5cmBC = 3cmBC = 3cm

Il rettangolo può essere scomposto in 15 Il rettangolo può essere scomposto in 15 quadratini che si ottengono riportando quadratini che si ottengono riportando

sulla base e sull’altezza l’unità di misura sulla base e sull’altezza l’unità di misura (il cm) e conducendo le parallele ai lati.(il cm) e conducendo le parallele ai lati.

Formula Formula direttadiretta Formule inverseFormule inverse

hbA hA

bbA

h

AA BB

CCDD

Sappiamo che il quadrato è un Sappiamo che il quadrato è un particolare rettangolo con le dimensioni particolare rettangolo con le dimensioni

congruenti, quindi se consideriamo il congruenti, quindi se consideriamo il quadrato ABCD, che ha il lati l di 3 cm, la quadrato ABCD, che ha il lati l di 3 cm, la

sua area sarà:sua area sarà:

AB = 3cmAB = 3cm

Formula direttaFormula diretta Formula Formula inversainversa

2lllA Al

Con degli elastici Con degli elastici colorati proviamo a colorati proviamo a formare dei rettangoli formare dei rettangoli equivalenti di area 16equivalenti di area 16

Usiamo come unità di Usiamo come unità di misura un quadratino misura un quadratino che ha come vertici 4 che ha come vertici 4 chiodichiodi

latilati areareaa

perimetperimetroro

funzionfunzionee

16x116x1 1616 3434

Ramo Ramo di di

iperboliperbolee

8x28x2 1616 2020

4x44x4 1616 1616

2x82x8 1616 2020

1x161x16 1616 3434

Fra tutti i rettangoli il quadrato è quello che ha Fra tutti i rettangoli il quadrato è quello che ha perimetro minoreperimetro minore

Ce ne sono altri Ce ne sono altri isoperimetrici?isoperimetrici?

Costruiamo con un Costruiamo con un elastico un rettangolo elastico un rettangolo di base 1 e altezza 15di base 1 e altezza 15

Qual è la figura con Qual è la figura con area maggiore?area maggiore?

QUADRATOQUADRATO

FUNZIONE: FUNZIONE: rettaretta

• Bisogna trovare un metodo per verificare l’equivalenza tra il Bisogna trovare un metodo per verificare l’equivalenza tra il poligono considerato e uno di cui si sa già calcolare l’area.poligono considerato e uno di cui si sa già calcolare l’area.

• Sappiamo l’area del rettangolo? Sappiamo l’area del rettangolo? • Sì: A=Sì: A=bb·h·h• Riesco a trasformare Riesco a trasformare il mio parallelogrammo in un rettangolo?il mio parallelogrammo in un rettangolo?• Considero il triangolo Considero il triangolo AHDAHD..• Questo triangolo può essere traslato lungo la base in modo da far Questo triangolo può essere traslato lungo la base in modo da far

coincidere il lato coincidere il lato ADAD con il lato con il lato BCBC..

AA HH BB

CCDD

EE

• I due triangoli I due triangoli AHDAHD e e BECBEC sono congruenti. sono congruenti.• Il rettangolo Il rettangolo HECDHECD risulta equicomposto rispetto al risulta equicomposto rispetto al

parallelogrammo parallelogrammo ABCDABCD e quindi ad esso equivalente. e quindi ad esso equivalente.

AA HH BB EE

CCDD


hbA hA

bbA

h

AA BB

CC DD

• Anche per trovare l’area del triangolo occorre cercare un metodo per Anche per trovare l’area del triangolo occorre cercare un metodo per verificare la sua equivalenza con un poligono conosciuto di cui si sa già verificare la sua equivalenza con un poligono conosciuto di cui si sa già trovare l’area.trovare l’area.

• Possiamo utilizzare una rotazione di 180° con centro nel punto medio di un Possiamo utilizzare una rotazione di 180° con centro nel punto medio di un suo lato (suo lato (CB in questo casoCB in questo caso).).

• Otteniamo un parallelogrammo che ha la stessa base (Otteniamo un parallelogrammo che ha la stessa base (AB = CDAB = CD) e la stessa ) e la stessa altezza (altezza (CH = BLCH = BL) del triangolo dato.) del triangolo dato.

• I due triangoli I due triangoli ABCABC e e BDCBDC sono congruenti. sono congruenti.

HH

LL

un triangolo è un triangolo è equivalente alla equivalente alla metàmetà di un parallelogramma di un parallelogramma avente la stessa base avente la stessa base

e la stessa altezza.e la stessa altezza.A B

C D

H

L


2hb

A

hA

b2

bA

h2

AA BB

CC DD

Con la rotazione del triangolo rettangolo si Con la rotazione del triangolo rettangolo si ottiene un rettangolo la cui area si trova ottiene un rettangolo la cui area si trova

moltiplicando moltiplicando AB AB · AC (ovvero i due cateti).· AC (ovvero i due cateti).

• Il romboIl rombo ABCD ABCD è un quadrilatero di 4 lati uguali.è un quadrilatero di 4 lati uguali.• Una delle sue proprietà è quella di avere le diagonali Una delle sue proprietà è quella di avere le diagonali

perpendicolari tra loro (perpendicolari tra loro (DBDB diagonale maggiore; diagonale maggiore; CACA diagonale diagonale minore). Esse dividono il rombo in 4 triangoli rettangoli minore). Esse dividono il rombo in 4 triangoli rettangoli uguali.uguali.

• Possiamo traslare ogni triangolo ottenendo il rettangolo Possiamo traslare ogni triangolo ottenendo il rettangolo EFGHEFGH..

• Questo rettangolo ha per altezza la diagonale minore Questo rettangolo ha per altezza la diagonale minore CA = CA = GF GF e per base la diagonale maggiore e per base la diagonale maggiore DB =EFDB =EF, e l’area di , e l’area di questo rettangolo è doppia di quella del rombo.questo rettangolo è doppia di quella del rombo.

AA

BB

CC

DD

EE FF

GGHH

Un rombo è equivalente Un rombo è equivalente alla alla metàmetà di un di un

rettangolo che ha per rettangolo che ha per base e per altezza base e per altezza

rispettivamente le sue rispettivamente le sue due diagonali (due diagonali (DBDB e e CACA).).

AA

BB

CC

DD


2Dd

A

DA

d2

dA

D2

C:\Documents and Settings\WIndowsXP\Desktop\mio Patre\ssis\didattica mate\Gnani\area e proporzione rombo.fig

AA BB

CCDD

HH EE


2

hbBA

hA

bB2

bBA

h

2

C:\Documents and Settings\WIndowsXP\Desktop\mio Patre\ssis\didattica mate\Gnani\proporzione e area del trapezio.fig

Proprietà riflessiva A=A Proprietà simmetrica Se A=B allora B=A Proprietà transitiva Se A=C e B=C...

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