Proprietà fisiche della materia

7/28/2019 Propriet fisiche della materia

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Proprieta Fisiche

della Materia

Andrea Castro


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Sommario

Prefazione ix

I La fisica dei quanti 1

1 La quantizzazione dellenergia e il fotone 3

1.1 La radiazione di corpo nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Caratteristiche sperimentali della radiazione da

corpo nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2 La legge di Planck per la radiazione del corpo nero 12

1.1.3 La quantizzazione dellenergia . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.4 Implicazioni del postulato di Planck . . . . . . . . . . 151.1.5 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2 Leffetto fotoelettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.1 Linterpretazione di Einstein per leffetto fotoelet-

trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2.2 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3 Diffrazione dei raggi X su un cristallo . . . . . . . . . . . . . . 28

1.4 La diffusione di Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.4.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.5 Natura duale delle onde elettromagnetiche . . . . . . . . . . 36

1.6 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.6.1 Termografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.6.2 Radiazione cosmica di fondo . . . . . . . . . . . . . . 39

1.7 Quesiti di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45


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SOMMARIO

2 La materia: corpuscoli o onde? 47

2.1 Esperimento di Young con elettroni . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2 Lipotesi di De Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.2.1 Esperimenti di supporto . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.2.2 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.3 Il dualismo onda-particella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.4 Indeterminazione di Heisemberg . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.4.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.5 Complementarieta onda/particella . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.6 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.6.1 Microscopia elettronica . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.6.2 Diffrazione di neutroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72


2.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3 I fondamenti della meccanica quantistica 79

3.1 Lipotesi di Born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.2 Lequazione di Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.2.1 Equazione di Schrodinger degli stati stazionari . . . 83

3.2.2 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.3 Momenti angolari e spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.3.1 Lesperimento di Stern-Gerlach . . . . . . . . . . . . 96

3.3.2 Lo spin dellelettrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.3.3 Interazione spin-orbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.3.4 Momenti magnetici nucleari . . . . . . . . . . . . . . 1013.4 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.4.1 Risonanza magnetica (nucleare) . . . . . . . . . . . . 103


3.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

ii


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SOMMARIO

II Proprieta elettriche, magnetiche, ottiche e termiche 107

4 La conduzione elettrica nei metalli 111

4.1 Classificazione dei solidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.2 Il modello di conduzione classico . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.3 Verso un modello quantistico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.3.1 Stati permessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.3.2 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.4 Teoria delle bande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.5 La conduzione elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1344.6 Conduttore o isolante? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

4.7 Leffetto della struttura reticolare . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4.8 Massa efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4.9 Elettroni e lacune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4.9.1 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.10 Superconduttivita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.10.1 La teoria BCS per la superconduttivita . . . . . . . . 151

4.11 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.11.1 Termocoppia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

4.11.2 Magneti superconduttori . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.11.3 Effetto Josephson e SQUID . . . . . . . . . . . . . . . 157


4.13 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5 I semiconduttori 161

5.1 I semiconduttori intrinsechi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.1.1 Proprieta elettriche di un semiconduttore . . . . . . 163

5.1.2 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5.2 Semiconduttori drogati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

5.2.1 Proprieta elettriche di un semiconduttore drogato 174

5.2.2 Effetto Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

5.2.3 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

5.3 Dispositivi semiconduttori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

iii


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SOMMARIO

5.3.1 La giunzione p-n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

5.3.2 Il diodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

5.3.3 Il transistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

5.3.4 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

5.4 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

5.4.1 I LED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

5.4.2 Il laser a semiconduttore . . . . . . . . . . . . . . . . 202

5.4.3 La cella fotovoltaica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

5.4.4 I rivelatori di particelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

5.4.5 Il regolatore di tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . 2085.5 Quesiti di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

5.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

6 Diamagnetismo e paramagnetismo 215

6.1 Campo magnetizzante e magnetizzazione . . . . . . . . . . 216

6.2 Diamagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

6.3 Paramagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

6.3.1 Suscettibilita magnetica per gli elettroni di condu-zione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

6.3.2 Smagnetizzazione adiabatica . . . . . . . . . . . . . . 228

6.3.3 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

6.4 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

6.4.1 Raffreddamento adiabatico . . . . . . . . . . . . . . . 233

6.4.2 Levitazione diamagnetica . . . . . . . . . . . . . . . . 234

6.5 Quesiti di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2356.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

7 Ferromagnetismo 237

7.1 Ferromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

7.1.1 Domini di Weiss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

7.1.2 Ciclo di isteresi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

7.1.3 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

7.2 Ferrimagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

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SOMMARIO

7.3 Antiferromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

7.4 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

7.4.1 Elettromagneti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

7.4.2 Magneti permanenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

7.4.3 Nuclei per trasformatori . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

7.4.4 Memorie magnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

7.4.5 Dischi magneto-ottici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

7.4.6 Schermo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259


7.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

8 Onde elettromagnetiche in un dielettrico 263

8.1 Polarizzazione di un dielettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

8.2 Equazioni di Maxwell per un dielettrico . . . . . . . . . . . . 270

8.3 Lindice di rifrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

8.3.1 Dispersione della luce . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

8.3.2 Velocita di gruppo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

8.3.3 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2818.4 Costante dielettrica relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

8.5 Riflessione sulla superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

8.5.1 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

8.6 Trasmissione di unonda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

8.7 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

8.7.1 Spettroscopia ottica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

8.7.2 Riscaldamento dielettrico . . . . . . . . . . . . . . . . 2888.8 Quesiti di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

8.9 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

9 Onde elettromagnetiche in un conduttore 293

9.1 Lindice di rifrazione di un conduttore . . . . . . . . . . . . . 293

9.1.1 Approssimazione per basse frequenze . . . . . . . . 295

9.1.2 Approssimazione per alte frequenze . . . . . . . . . 297

9.1.3 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

v


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SOMMARIO

9.2 Effetto pelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

9.2.1 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

9.3 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

9.3.1 Argentatura degli specchi . . . . . . . . . . . . . . . . 306

9.3.2 Schermatura elettromagnetica . . . . . . . . . . . . . 307

9.3.3 Ionosfera e onde radio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308


9.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

10 Proprieta termiche 31110.1 Capacita termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

10.1.1 Modello classico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

10.1.2 Modello di Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

10.1.3 Modello di Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

10.1.4 Contributo elettronico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

10.1.5 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

10.2 Conduzione termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

10.2.1 Conduzione elettrica e termica . . . . . . . . . . . . . 32710.2.2 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

10.3 Espansione termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

10.4 Comportamenti termici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

10.4.1 Isolamento o conducibilita . . . . . . . . . . . . . . . 331

10.4.2 Dilatazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

10.5 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

10.5.1 Isolamento termico dello Shuttle . . . . . . . . . . . 33410.5.2 Dispersori di calore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335


10.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

11 Cristalli liquidi 339

11.1 Proprieta elettriche e magnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . 342

11.2 Proprieta ottiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

11.2.1 Birifrangenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

vi


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SOMMARIO

11.2.2 Dicroismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

11.2.3 Attivita ottica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

11.2.4 Riflessione di Bragg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

11.3 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

11.4 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

11.4.1 Termografia a cristalli liquidi . . . . . . . . . . . . . . 354

11.4.2 Schermo a cristalli liquidi . . . . . . . . . . . . . . . . 355


11.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

12 Soluzioni 357


12.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

13 Bibliografia 373

vii


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Prefazione

Questo testo e stato pensato principalmente come supporto al corso di Comple-

menti di Fisica per la Laurea riennale in Chimica e Chimica dei Materiali,

presso la Facolta di Scienze MM. FF. e NN. dellUniversita di Bologna.

Si tratta di un corso di base e non specialistico e, quindi, questo libro vuole

servire da introduzione concisa e, si spera, esauriente, al tema complesso delle

proprieta fsiche della materia. A tal fne si e scelto di privilegiare la trattazione

dei concetti e delle ormule principali, limitandosi al ormalismo matematico

indispensabile alla comprensione dei concetti stessi in modo da non appesantire

la trattazione.

Le proprieta fsiche della materia sono legate principalmente al compor-

tamento degli elettroni, elettroni che si maniestano talvolta come particelle etalvolta come onde con un dualismo che viene spiegato nellambito della mec-

canica quantistica. Lelettromagnetismo classico e in genere in grado di ornire

un modello valido per la spiegazione, qualitativa se non quantitativa, dei eno-

meni fsici. Laccordo tra teoria ed esperimento, cos come la previsione di certi

enomeni inspiegabili classicamente, puo essere ottenuto pero solo ricorrendo

a un trattamento secondo la meccanica quantistica dei enomeni in questio-

ne. Per questo motivo la prima parte del testo e dedicata a tracciare le origini,

riassumere i concetti e descrivere i ondamenti di questa teoria.

La seconda parte del libro aronta il tema principale e discute le proprieta

elettriche, magnetiche, ottiche e termiche della materia solida, proprieta che

hanno innumerevoli conseguenze pratiche e che portano ad applicazioni di

estrema rilevanza scientifca e tecnologica. Per completare parzialmente il qua-

dro, verra discusso anche il caso di uno stato di aggregazione dierente da

quello solido, il caso dei cristalli liquidi.


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In questo testo, per ciascun capitolo, vengono presentati degli esempi seguiti

dallillustrazione di alcune tra le applicazioni concrete piu signifcative dei temi

discussi. Ogni capitolo terminera con alcuni quesiti di riepilogo e problemi, la

soluzione dei quali e riportata alla fne del testo.

Per aiutare lo studente si e voluto inoltre evidenziare, incorniciandole, le

ormule essenziali, che spesso anno rierimento a delle leggi particolarmente

importanti.

Per completare la trattazione ho voluto ornire anche, ove rilevante, un bre-

ve inquadramento cronologico dei modelli o degli esperimenti, segnalando gliscienziati che vi hanno contribuito.


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Parte I

La fisica dei quanti

Il XIX secolo termino, dal punto di vista della fsica, con il grosso succes-so dellunifcazione dei enomeni elettrici e magnetici attraverso le quattro

equazioni di Maxwell. Queste equazioni rappresentarono il compendio del-

la conoscenza scientifca dei enomeni elettrici e magnetici acquisita fno ad

allora e diventarono le equazioni ondamentali di una nuova teoria elettroma-

gnetica. I campi elettrici E e magnetici B non appartenevano piuaduemondi

distinti, ma rappresentavano due aspetti della stessa entita, il campo elettro-

magnetico, descritto ormalmente da un unico insieme di equazioni che lega-

no E a B. In aggiunta a cio le equazioni di Maxwell portarono alla previsione,

verifcata poi sperimentalmente, dellesistenza delle onde elettromagnetiche.

Il XX secolo comincio subito con delle osservazioni sperimentali che non

poterono essere spiegate dalla fsica classica che includeva lelettromagneti-

smo derivante dalle equazioni di Maxwell, ma che invece richiesero dei nuo-

vi modelli in netto contrasto con la teoria classica. Fu lanno 1900, quello in

cui Planck presento i suoi studi sulla radiazione termica emessa da un corpo

nero, che viene convenzionalmente considerato lanno di nascita della fsi-ca quantistica, teoria che richiese qualche decina danni per arrivare a una

ormulazione completa. Oltre alla radiazione termica, altri enomeni quali

leetto otoelettrico e la diusione di Compton dimostrarono inequivocabil-

mente che la radiazione elettromagnetica quando interagisce con la materia,

cioe quando viene emessa o assorbita da essa, si comporta non come lusuale

onda ma come unentita in cui lenergia risulta essere concentrata in pacchetti

localizzati e non distribuita su tutto il ronte donda come ci si aspetterebbe

classicamente.


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Continuando con le osservazioni sperimentali si ecero delle scoperte ul-

teriori che obbligarono a cambiare drasticamente il modo in cui si interpreta-

va la materia. Alcune assunzioni della fsica classica, quali il atto che le par-

ticelle di materia siano localizzabili spazialmente con precisione arbitraria e

che si spostino tra due punti come corpuscoli, risultarono essere in contrasto

con i risultati sperimentali e dovettero essere abbandonate per are posto al

concetto di indeterminazione nella conoscenza della posizione di un corpo e

al concetto di natura ondulatoria, paradossale per le particelle.

Come vero anche per la teoria della relativita speciale, che venne a svi-

lupparsi piu o meno negli stessi anni, la fsica quantistica rappresenta una ge-neralizzazione di quella classica, nel senso che essa include la teoria classica

come caso particolare. Cos come la teoria della relativita estende il dominio

di validita delle leggi fsiche a situazioni in cui le velocita in gioco sono molto

grandi (vicine a quelle della luce nel vuoto, c), allo stesso modo la fsica quan-

tistica rappresenta unestensione delle teorie classiche, indispensabile quanto

piu si va a indagare nel mondo microscopico.

Il ruolo svolto nella teoria relativistica dalla costante universale c viene gioca-

to in quella quantistica da unaltra costante universale, la costante di Planck,

h, che ornisce la granularita degli aspetti quantistici della materia.

I enomeni suddescritti, assieme ad altri aspetti in netto conitto con la f-

sica classica, sono diventati i ondamenti a partire dai quali e stata sviluppata

la nuova teoria quantistica, evoluta poi in una teoria piu completa e orma-

lizzata detta meccanica quantistica, che rappresenta unestensione delle teorie

classiche e che descrive con successo il comportamento della materia a livello

microscopico.Questa ranata teoria si e sviluppata soprattutto nella prima metadelXX

secolo con contributi importanti da parte di vari scienziati, come dimostrato

dalla serie di Premi Nobel per la Fisica a loro attribuiti.

In questa prima parte andremo a discutere gli esperimenti e i principi

ondamentali che hanno determinato la nascita della fsica quantistica, per

poi ornire dei cenni su alcuni aspetti signifcativi della meccanica quantisti-

ca.

2


18/405

Capitolo 1

La quantizzazione dellenergia e il fotone

Lo spettro elettromagnetico rappresentato in fgura 1.1, cioe la caratterizzazio-

ne delle onde elettromagnetiche in unzione di lunghezza donda o requen-

za, e convenzionalmente suddiviso in porzioni individuate da un intervallo

di lunghezze donda o requenze. Queste classi di radiazione elettromagneti-

ca non si propagano nello spazio in modo dierente luna dallaltra, ma sono

invece caratterizzate da modi diversi di essere prodotte e/o assorbite dalla

materia.

Sono tre, in particolare, le classi dello spettro elettromagnetico che ci in-

teressa discutere in questo capitolo: la radiazione inrarossa, quella ultravio-letta e i raggi X. Linizio del XX secolo ha visto, inatti, lo svolgimento di espe-

rimenti, rieriti a queste tre classi, che hanno modifcato totalmente linter-

pretazione di queste onde elettromagnetiche e hanno portato alla creazione

di una nuova teoria, la fsica quantistica.

Andiamo ora a discutere questi esperimenti, la loro interpretazione e le

nuove ipotesi che vennero proposte per descriverli adeguatamente.

1.1 La radiazione di corpo nero

utti i corpi, in quanto si trovano a una temperatura superiore allo zero

assoluto, emettono radiazione termica. Di tale radiazione ce ne accorgiamo,

ad esempio, quando avviciniamo la nostra mano a un corpo molto piu caldo

di noi, come nel caso di una lampadina a incandescenza: anche senza toccare

la lampadina la nostra mano percepisce e assorbe del calore. Questo calore


19/405

Capitolo 1 La quantizzazione dellenergia e il fotone

(m) E (eV) (Hz)Raggi

Raggi X

Ultravioletto

Luce visibile

Infrarosso

Microonde

TV

Radio

10710610

5

10410310210

1

101102

103104105106107108109

1010101110121013

1013101210

11

1010109108107106105104

103102101

1

10

102103

104105106107

10

102103

1041051061071081091010101110121013101410151016101710181019102010211022

Figura 1.1: rappresentazione dello spettro elettromagnetico in termini di lunghezza donda,

energia e requenza dei otoni associati.

4


20/405

La radiazione di corpo nero Capitolo 1

non e stato traserito ne per contatto diretto ne per convezione, ma secon-

do una terza modalita detta irraggiamento. La radiazione termica e allora

unonda elettromagnetica che e stata prodotta dal corpo caldo, si e propagata

nello spazio ed e stata assorbita dalla nostra mano (non ce ne accorgiamo,

ma contemporaneamente la nostra mano emette essa stessa radiazione ter-

mica). Chiaramente si tratta di unonda elettromagnetica emessa dal corpo

e non riessa/diusa da esso perche la possiamo osservare anche nel caso di

un corpo a temperatura molto alta (incandescente) posto in una stanza buia.

Unaltra osservazione sperimentale piuttosto comune riguarda il riscal-

damento progressivo di un corpo e le mutazioni che avvengono nella radia-zione termica da esso emessa. Inatti, la radiazione termica corrisponde tipi-

camente allintervallo inrarosso dello spettro elettromagnetico (vedi fgura

1.1), con lunghezza donda compresa tra 700 nanometri e qualche millimetro,

e quindi non e percepibile direttamente dalla vista umana. Le cose cambiano

se la temperatura del corpo assume valori elevati: se osserviamo una sbarret-

ta di erro sottoposta a una famma, man mano che si riscalda essa comincia

ad assumere unincandescenza via via piu brillante. Continuando a riscalda-

re la sbarretta ne aumentiamo la temperatura e la sua colorazione passa da

un colore bruno-rossastro a un arancio piu vivo, per diventare poi di aspetto

bianco-azzurrastro.

Questa osservazione sperimentale signifca due cose:

1) che allaumentare della temperatura del corpo ne aumenta la brillan-

tezza, cioe che la radiazione emessa aumenta in intensita;

2) che allaumentare della temperatura il colore dominante della radia-

zione emessa, e osservata dai nostri occhi, passa dal rosso al bianco-azzurro,cioe diminuisce in lunghezza donda.

In rierimento a cio, come in altri casi simili, si possono are delle misu-

re precise di intensita e di lunghezza donda e qualsiasi modello che si pro-

ponga di spiegare le modalita della radiazione termica deve essere in grado

di accordarsi con le suddette osservazioni sperimentali qualitativamente e

quantitativamente.

Se tutti i corpi emettono e assorbono radiazione termica le caratteristi-

5


21/405


che di tale radiazione dipenderanno, come gia visto, dalla temperatura, ma

anche dalle caratteristiche del corpo stesso e soprattutto della sua superfcie:

il tipo di materiale che compone la superfcie, la sua orma, il grado di ru-

videzza, la capacita di riettere/diondere la luce incidente su di esso. Ad

esempio, una superfcie piana e liscia di 1 cm2, alla temperatura di 500 C,

emette tipicamente 1.7 W, nel caso del erro, e 0.2 W se si tratta di platino. Se

poi, a parita di materiale, si rende la superfcie piu ruvida la potenza emessa

aumenta perche e come se avessimo aumentato la superfcie emettente.

In una teoria della radiazione termica si vuole ricavare un modello ge-

nerale che accia rierimento a dei principi ondamentali della fsica e non acaratteristiche e dettagli individuali del corpo in questione. Per potere are

cio dovremmo poter are rierimento a un corpo ideale cos come, nel caso

dei gas, si e atto rierimento a un gas ideale per poter ottenere la amosa leg-

ge di stato PV= nR. ale modello, basato su un corpo radiante ideale, avracome parametro ondamentale la temperatura del corpo stesso.

Un esempio di corpo radiante ideale e rappresentato dal corpo nero, un

corpo cioe che assorbe tutta la radiazione incidente su di esso senza rietterla.

Un esempio di (quasi) corpo nero e un corpo normale ricoperto da uno strato

di pigmento nero.

Un corpo che non riette ne trasmette la luce apparira nero se e reddo,

ma se lo riscaldiamo esso diventa una sorgente di radiazione termica idea-

le perche le caratteristiche della radiazione vengono a dipendere solo dalla

temperatura del corpo e non dalla sua natura. Un corpo nero che si trovi

allequilibrio termico (cioe alla stessa temperatura) rispetto ad altri corpi che

lo circondano si trovera a emettere, in media, altrettanta energia di quellache assorbe dagli altri corpi, a qualsiasi lunghezza donda. Un corpo nero

a temperatura maggiore dellambiente circostante emetterebbe, invece, piu

radiazione di quella assorbita dallambiente.

Ce un altro esempio di corpo che si comporta come un corpo nero ed e

piu acile da trattare: la cosiddetta cavita. Immaginiamo di avere un corpo

cavo le cui pareti sono mantenute alla temperatura uniorme (vedi fgura

1.2). Questa cavita sia ornita di un piccolo oro che consenta alla radiazione

6


22/405


di entrare al suo interno. Una volta entrata, questa radiazione viene assorbita

e riemessa continuamente dalle pareti, raggiungendo una sorta di equilibrio

termico con le pareti stesse della cavita. Una piccola razione di tale radiazio-

ne riesce pero a suggire dalla cavita emergendo dal oro avente unarea molto

piccola rispetto allarea della superfcie interna della cavita. Il oro della ca-

vita agisce allora come sorgente di radiazione termica e la radiazione uscente

da esso rappresenta un campione con le stesse caratteristiche della radiazio-

ne allequilibrio presente dentro la cavita. Siccome tale cavita assorbe quasi

tutta la radiazione incidente essa puo essere assimilata a un corpo nero.

Nel seguito considereremo come equivalenti i concetti di cavitaedicorponero e useremo i due termini in modo intercambiabile.

1.1.1 Caratteristiche sperimentali della radiazione da corpo

nero

Supponiamo di eettuare adesso delle misure quantitative sulla radiazione

emessa da un corpo nero. Nello specifco si possono are le seguenti osser-

vazioni: lintensita della radiazione emessa dal corpo nero, cioe lenergia emes-sa in un secondo da una superfcie di area unitaria, si chiama intensita di

irraggiamento. Misurando questa intensita per valori diversi della tempe-

ratura del corpo nero scopriamo che essa non solo aumenta allaumentare

della temperatura, come qualitativamente avevamo anticipato, ma aumenta

secondo la potenza quarta della temperatura assoluta, secondo la seguente

ormula empirica:I = 4 (1.1)

chiamata legge di Stean-Boltzmann1, enunciata per la prima volta nel

1879.

1Jose Stean (1835-1893), fsico austriaco. Ludwig Boltzmann (1844-1906), fsico au-

striaco studente di Stean, che contribu anche allo sviluppo della teoria cinetica dei

gas.

7


23/405


Figura 1.2: rappresentazione di una cavita e della radiazione incidente su di essa e riessa

dalle pareti.

La costante viene misurata sperimentalmente e vale 5.67

108 W

/m2

K4

per un corpo nero. Qualsiasi altro corpo diverso dal corpo nero ideale ha

unintensita di irraggiamento che e sempre minore di quanto espresso dalla

legge di Stean-Boltzmann. Per un corpo reale lintensita di irraggiamento si

scrive allora:

I = 4 (1.2)dove < 1 e una caratteristica del corpo reale e si chiama emissivita;

lintensita emessa in un certo intervallo di lunghezze donda (o di re-

quenze) si chiama radianza spettrale R

,

ed e unzione sia della lunghez-

za donda sia della temperatura . ale quantita rappresenta la potenza perunita di superfcie, emessa con lunghezza donda compresa tra il valore e il

valore + d. Il legame tra radianza spettrale e intensita di irraggiamento edato dalla ormula seguente:

I = 0

R, d (1.3)La radianza spettrale cos defnita eunaunzione di distribuzione che puo

essere misurata per un corpo nero a una certa temperatura e che, se rappre-

8


24/405


m)(0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

m)

2

Radianzaspettrale(W/cm

0

5

10

15

20

25

30

35

1800 K

2000 K

2200 K

Figura 1.3: curve di radianza spettrale per un corpo nero alla temperatura di 1800, 2000 e

2200 K.

sentata in un grafco, seguirebbe landamento di fgura 1.3. Dalla fgura si ve-

de che allaumentare della temperatura aumenta larea al di sotto della curva

e, essendo tale area uguale allintegrale della unzione, se ne deduce che au-menta anche lintensita di irraggiamento, come osservato sperimentalmente; osservando la fgura 1.3 si nota anche che il massimo della unzione

viene raggiunto a valori diversi di lunghezza donda max per temperature

diverse. Se si studia quantitativamente la relazione tra max e si scopre

unaltra legge empirica, la legge dello spostamento di Wien2:

max

=2898 m

K (1.4)

A questo proposito bisogna prestare attenzione se si sta esprimendo la ra-

dianza spettrale in unzione della lunghezza donda o della requenza poi-

che la requenza a cui corrisponde il massimo della radianza spettrale non

e data banalmente da max = c/max. Inatti, la radianza spettrale assumeorma diversa se espressa in unzione di o in unzione di . Per passare da

2Wilhelm Wien (1864-1928), fsico tedesco vincitore del Premio Nobel per la Fisica nel

1911 per le ricerche sulla radiazione termica.

9


25/405


m)(0 1 2 3 4 5 6

m)

2

R

adianzaspettrale(W/cm

0

2

4

6

8

10

12

1595 K

Rayleigh-Jeans

Wien

Dati

Figura 1.4: radianza spettrale sperimentale () e previsioni ottenute dalle ormule diRayleigh-Jeans e di Wien, per una temperatura di 1595 K.

unespressione allaltra dobbiamo ricordarci che la grandezza fsica che deve

essere la stessa nei due casi e la potenza emessa, quindi deve valere :

Rd = Rd (1.5)dove il segno deriva dal atto che se la lunghezza donda aumenta la

requenza diminuisce e viceversa. Essendo = c/ ne deriva che d =c/2d quindi R R, cioe non si puo passare da R a Rsemplicemente per sostituzione della variabile con c/.

La legge di Wien espressa per la requenza sarebbe invece:

max/= 5.879 1010 Hz/K (1.6)Piu avanti verranno discussi degli esempi (1 e 2) di radiazione termica

emessa dal corpo umano e dalle stelle che si comporta in accordo con le leggi

di Stean-Boltzmann e di Wien.

Date queste osservazioni sperimentali, passiamo a discutere la loro inter-

pretazione.

Agli inizi del XX secolo esistevano due ormule che tentavano di spiegare

le caratteristiche della radiazione da corpo nero (vedi fgura 1.4):

10


26/405


1) la ormula di Rayleigh-Jeans, e stata sviluppata inizialmente da Raylei-

gh3 sulla base di principi della fsica classica e modifcata successivamente da

Jeans4.

ale ormula era stata ricavata considerando la radiazione entro la cavita

come somma di onde stazionarie aventi i nodi sulla superfcie della cavita.

Il numero di onde stazionarie presenti in un certo intervallo di requenze

veniva contato usando considerazioni geometriche. A ciascuna onda veniva

associata, secondo il principio di equipartizione dellenergia5, unenergia me-

dia

E =k dipendente solo dalla costante di Boltzmann k e dalla tempera-

tura della cavita. In questo modo si arriva a valutare la densita di energiaentro la cavita e, quindi, la radianza spettrale. La ormula cos ottenuta per

la radianza spettrale non risulta pero in accordo con i valori sperimentali se

non a lunghezze donda molto grandi ( 50 m). Non si tratta pero diuna semplice dierenza quantitativa; il grosso problema di questa ormula e

che per lunghezze donda piccole essa tende a divergere (catastroe ultravio-

letta) prevedendo, cosa chiaramente assurda, unintensita di irraggiamento

infnita.

2) la ormula di Wien per lirraggiamento, che e invece una ormula di

derivazione empirica. ale ormula non ha i problemi di divergenza della

ormula precedente e segue abbastanza bene le misure sperimentali, comin-

ciando a discostarsene a lunghezze donda piu elevate. Questa ormula ha

come unico presupposto la somiglianza analitica con unaltra ormula usata

in tuttaltra situazione, laormula di Maxwell6, per la distribuzione delle velo-

cita delle molecole di un gas ideale. Per spiegare la radiazione termica, Wien

3John W. Strutt noto come Lord Rayleigh (1842-1919), fsico inglese vincitore del Premio

Nobel per la Fisica nel 1904 per i suoi studi sui gas e la scoperta dellargon.4James H. Jeans (1877-1946), fsico, astronomo e matematico inglese, studio oltre alla

teoria della radiazione anche levoluzione stellare.5Il principio di equipartizione dellenergia prescrive che in un sistema di particelle clas-

siche allequilibrio lenergia cinetica media valga 12

k per ogni grado di liberta; altrettanto

dicasi per lenergia potenziale.6La ormula di Maxwell ornisce la distribuzione (v) delle velocita vdi singole molecole

di massa m in un gas alla temperatura . ale distribuzione risulta dipendere dalla velocita

secondo una ormula del tipo (v) v2 emv2

/2k.

11


27/405


ha usato la orma unzionale di Maxwell, adattando i parametri ai risultati

sperimentali. Rispetto al mancato accordo tra risultati sperimentali e la or-

mula di Rayleigh-Jeans, la proposta di Wien rappresento un passo in avanti,

dal punto di vista della pratica, ma era ovviamente insuciente dal punto di

vista della teoria.

Queste due ormule risultano parzialmente accettabili, vista la loro appli-

cabilita a porzioni diverse dello spettro inrarosso. Entrambe pero alliscono

nellinterpretazione della natura della radiazione termica.

1.1.2 La legge di Planck per la radiazione del corpo nero

Partendo dalle due descrizioni insoddisacenti di Rayleigh-Jeans e Wien, Planck7

cerco di adattarle per ricavare unespressione valida su tutto lintervallo di

lunghezze donda. A questo fne Planck propose inizialmente, nel 1900, una

ormula per la radianza ancora empirica, del tipo:

R

=a

5

1

eb/ 1

(1.7)

dove i parametri empirici a e b erano stati ricavati in modo da accordare

la ormula con le osservazioni sperimentali.

Anche se per questa ormula laccordo valeva a qualsiasi lunghezza don-

da, essa non aveva apparentemente alcun ondamento teorico. Planck cerco

successivamente di ornirne uninterpretazione teorica e nel giro di un paio

di mesi ci riusc, arrivando a una ormulazione leggermente dierente:

R = 2c2h5

1

ehc/k 1 (1.8)In questa nuova ormula i due parametri a e b vennero sostituiti da due

costanti universali: la costante di Boltzmann k e una nuova costante h, che

assumera il nome di costante di Planck. Questa nuova ormulazione risulto

7Max Planck (1858-1947), fsico tedesco vincitore del Premio Nobel per la Fisica nel 1918

per la scoperta della quantizzazione dellenergia.

12


28/405


in pieno accordo con i risultati sperimentali (vedi fgura 1.5) a piccole come

a grandi lunghezze donda. Rispetto alla ormulazione precedente essa non

rappresenta banalmente una sostituzione di variabili perche ora la ormula

viene a dipendere da costanti universali e non da parametri empirici.

La nuova costante h introdotta da Planck viene ad assumere un signif-

cato ondamentale, associato alla quantizzazione dellenergia.

1.1.3 La quantizzazione dellenergia

Per arrivare alla sua ormula Planck rivide la legge di equipartizione delle-nergia E = k e assunse che essa valesse ancora per requenze vicine a zeromentre, per ovviare alla catastroe ultravioletta, lenergia media dovesse ten-

dere a zero ad alte requenze. Nel modello elaborato da Planck gli atomi

che compongono la superfcie interna della cavita si comportano come degli

oscillatori caratterizzati da una requenza propria di oscillazione. Come tutti

gli oscillatori essi sono in grado di assorbire energia, se sollecitati dallesterno,

e di cederne a loro volta. Un tale oscillatore, secondo la teoria classica, sareb-

be soggetto a variazioni continue dellenergia, cos come un pendolo classicoriduce progressivamente lampiezza delle proprie oscillazioni quando lattri-

to con laria o lattrito tra flo e perno dissipano in modo progressivo la sua

energia.

Loscillatore introdotto da Planck si comportava pero in modo diverso e

lipotesi ondamentale postulata da Planck u che:

Per un oscillatore lenergia

Eassorbita o ceduta puo assumere solo

valori discreti, multipli di una quantita elementare, cioe E = nhdove il numero intero n, chiamato numero quantico, ci dice che lincremento

o decremento minimo di energia deve essere pari alla quantita h , dove h e

una costante universale indipendente dalle caratteristiche della cavita.

Lidea che gli incrementi o decrementi nellenergia di un oscillatore av-

vengano in modo discreto corrisponde ad assumere che lenergia, una gran-

dezza fsica che veniva considerata fno ad allora variabile con continuita, sia

13


29/405


m)(0 1 2 3 4 5 6

m)

2

R

adianzaspettrale(W/cm

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1595 K

Figura 1.5: radianza spettrale sperimentale () e previsione ottenuta dalla ormula di Planckper un corpo nero alla temperatura = 1595 K. I dati sperimentali sono tratti da una misuradi W.W. Coblentz (1916) e riscalati per tenere conto di una defnizione diversa di radianza.

invece una quantita discreta o come si dice quantizzata. Questo concetto ri-

voluzionario non u acile da accettare nemmeno da parte di Planck stessoche cerco invano, per piu di un decennio, di conciliare la teoria classica con il

modello quantistico. La dicolta principale nellaccettare questa nuova idea

stava nel atto che la teoria classica aveva ben unzionato per descrivere il

moto di oggetti macroscopici mentre era nel dominio del microscopico, nel

caso ad esempio degli atomi-oscillatori, che essa alliva.

La discrepanza era basata su dati di atto, ma poteva essere sanata se si an-

dava a considerare la teoria classica come un caso limite di quella quantistica.

In questa ottica il legame tra le due teorie sta nel principio di corrispondenza,principio che puo essere enunciato nel modo seguente:

La teoria quantistica coincide con quella classica quando si ha a

che are con numeri quantici grandi

cioe tipicamente con oggetti macroscopici per i quali la teoria classica un-

ziona egregiamente.

Avendo considerato lenergia come una variabile discreta e non continua,

14


30/405


la legge di equipartizione dellenergia assume una orma dierente:

E = heh/k 1 (1.9)tale da ottenere il comportamento voluto: E kper 0 e E 0 per

.Si noti che e lestrema piccolezza del valore della costante di Planck, h =

6.63

1034 J

s, a rendere inosservabile la discretezza dellenergia se non

quando lenergia assume essa stessa valori minuscoli e conrontabili con la

variazione elementare h . La costante di Planck rappresenta allora un altromodo di guardare al principio di corrispondenza: si puo ottenere la teoria

classica a partire da quella quantistica acendo tendere h a zero; in questo mo-

do la quantizzazione dellenergia sparirebbe e lenergia tornerebbe ad essere

una grandezza continua.

Il principio di corrispondenza spiega anche perche la legge di Rayleigh-

Jeans osse in accordo con lesperimento per

50 m. Lunghezze donda

elevate corrispondono, inatti, a requenze molto piccole e, quindi, il valore di

h risulta piccolo rispetto alla quantita k che rappresenta lordine di gran-

dezza dellenergia media classica di traslazione di una particella alla tempe-

ratura . In questo caso la discretezza dellenergia e inosservabile e si ricade

nel caso classico.

Osserviamo che le leggi sperimentali di Stean-Boltzmann e dello sposta-

mento di Wien possono essere ricavate a partire dalla ormula di Planck per

la radianza8. Nel primo caso si integra su tutto il dominio della lunghezza

donda, nel secondo caso si trova il valore di lunghezza donda che annulla laderivata della radianza spettrale, dR/d = 0.1.1.4 Implicazioni del postulato di Planck

Il postulato usato da Planck, cioe che ogni oscillatore possiede unenergia pari

a nh dove n e un numero intero, puo essere generalizzato dicendo che

8

In questo caso sarebbe piu conveniente usare R() = 2h3

/(eh/k

1)c2

.

15


31/405


Un qualsiasi sistema fsico, descritto da una coordinata che sia una

unzione sinusoidale del tempo e che quindi esegua oscillazioni

armoniche semplici, possiede una energia E = nh.In questo caso si dice che il sistema si trova in un insieme discreto di stati

quantici permessi, descritti dal numero quantico n.

ale descrizione quantistica sarebbe vera, ad esempio, per un pendolo

semplice che oscilli a partire da una certa ampiezza iniziale. Sappiamo pero

che a causa di attriti vari lampiezza delloscillazione del pendolo e, quindi,

la sua energia diminuiscono. Se lenergia e quantizzata, come ci aspettiamoda quanto detto fnora, allora anche lampiezza di oscillazione deve variare

in modo discreto. Come puo accordarsi cio con la nostra esperienza che la

diminuzione dellampiezza sia continua? Lo discuteremo nellesempio 3.

1.1.5 Esempi

1. Discutere la radiazione termica prodotta dal corpo umano.

La radiazione termica emessa dal corpo umano segue sostanzialmente le leg-gi della radiazione del corpo nero. Parte dellenergia scambiata dal corpo

con lambiente circostante viene scambiata sotto orma di radiazione termica,

con uninterazione continua con lambiente. La potenza netta risulta essere

la dierenza tra quella emessa e quella assorbita:

Pnetta

=Pem

Pass

dove ciascuna potenza risulta essere pari allintensita di irraggiamentomoltiplicata per larea A del corpo umano. A sua volta lintensita di irraggia-

mento segue la legge di Stean-Boltzmann, tenendo conto dellemissivita. La

potenza netta irradiata diventa allora:

Pnetta = A4 40 dove 0 e la temperatura ambiente e quella del corpo umano. Consi-

deriamo unarea approssimativa di 2 m2

per la superfcie del corpo umano,

16


32/405


unemissivita

1, una temperatura ambiente 0

=20 C e una temperatura

media del corpo umano 28C, dovuta alla presenza dellabbigliamento.

Con questi valori la potenza netta risulta essere:

Pnetta = 2 1 5.67 108 3014 2934 = 95 Wcioe la stessa potenza emessa da una tipica lampadina a incandescenza. Una

tale potenza netta persa dal corpo umano comporterebbe una perdita gior-

naliera di energia pari a 8.2

106 J o equivalentemente circa 2000 kcal. Ecco

perche dobbiamo assumere con il cibo una quantita energetica piu o meno

equivalente anche solo per mantenere la nostra temperatura corporea.

Il calcolo atto rappresenta una stima grossolana a causa dellapprossi-

mazione delle assunzioni. Esistono, inoltre, altri meccanismi per lo scambio

di calore che andrebbero considerati, quali la conduzione, la convezione e

levaporazione legata alla nostra traspirazione.

Sruttando la legge dello spostamento di Wien possiamo poi stabilire la

lunghezza donda dominante della radiazione emessa dal corpo umano:

max = 2898/301 = 9.6 mIl picco della radianza si trova, quindi, nella regione inrarossa.

2. Discutere la radiazione termica prodotta dalle stelle.

Consideriamo la radiazione termica proveniente da tre stelle: il Sole, Anta-

res e Vega. Per queste tre stelle conosciamo (vedi tabella 1.1) la lunghezza

donda dominante (quella del picco della radianza) max e il raggio r. Con

questi valori si puo ottenere una stima approssimativa della loro temperatura

superfciale, dellintensita di irraggiamento e della potenza totale irraggiata.

Assumendo che la superfcie stellare si comporti come un corpo nero, pos-

siamo ottenere una buona stima della sua temperatura dalla legge dello spo-

stamento di Wien:

= 2898/maxottendendo una temperatura superfciale di circa 5800 K per il Sole, 3500

K per Antares e 9600 K per Vega. Le intensita di irraggiamento si ottengono

17


33/405


34/405

Leffetto fotoelettrico Capitolo 1

Lenergia iniziale del pendolo corrisponde alla sua energia potenziale nel-

la posizione iniziale, assumendo come zero dellenergia potenziale il valore

corrispondente a quando il pendolo passa per la verticale. Quindi:

E = mgh = mg1 cos cioe E = 0.01 9.8 0.1 1 cos0.1 = 5 105 JLa quantizzazione dellenergia prevederebbe incrementi/decrementi di ener-

gia di entita

E =h

=6.63

1034

1.6

=1

1033 J. Chiaramente tale quantita

discreta risulta essere enormemente piu piccola dellenergia stessa del pen-

dolo, essendo E/E = 2 1029. Per accorgersi della discretezza dellenergia,e cioe della validita del postulato di Planck per il pendolo in questione, do-

vremmo essere in grado di misurare lenergia del pendolo con unaccuratezza

migliore di una parte su 1029, cosa assolutamente impossibile in questo caso

come per qualsiasi altro esempio riguardante corpi macroscopici.

1.2 Leffetto fotoelettrico

La radiazione di corpo nero riguarda tipicamente la porzione inrarossa o vi-

sibile dello spettro delle onde elettromagnetiche. Aumentando la requenza

della radiazione incidente e illuminando una piastrina metallica con radia-

zione ultravioletta, avente lunghezza donda compresa tra circa 1 e 400 nm, si

osserva invece un altro enomeno di estremo interesse: leetto otoelettrico,

scoperto da Hertz9 nel 1887.

Consideriamo il sistema rappresentato in fgura 1.6 in cui una piastri-

na metallica viene illuminata con onde elettromagnetiche di requenza . Si

osserva sperimentalmente che se la radiazione incidente ha requenza su-

fcientemente grande (tipicamente nellintervallo dellultravioletto) essa e in

grado di espellere degli elettroni dalla piastrina metallica. Gli elettroni espul-

si, chiamati otoelettroni, possono poi essere raccolti da un anodo e trasor-

marsi in corrente misurabile in un circuito esterno. Lecacia della raccolta

9Heinrich R. Hertz (1857-1894), fsico tedesco, scopritore anche delle onde radio (1897).

19


35/405


V

A

EC

Figura 1.6: apparato sperimentale per la misura delleetto otoelettrico. Nel recipiente sotto

vuoto una piastrina (emettitore) E viene illuminata e il otoelettrone emesso () viene rac-colto dal collettore C. Variando la d.d.p. applicata V si misura con lamperometro A una

corrente i.

dei otoelettroni emessi dipende dalla dierenza di potenziale V applicata

tra la piastrina (catodo emettitore) e lanodo collettore. Questa dierenza

di potenziale e a sua volta la somma della dierenza di potenziale del ge-

neratore (Vgen ) e del potenziale di contatto (Vcont) inevitabilmente presente

se emettitore e collettore sono composti da metalli dierenti. Ai fni della

discussione non ci interessa pero separare i due tipi di potenziale e aremo

sempre rierimento alla dierenza di potenziale complessiva.

La fgura 1.7 mostra lintensita della corrente osservata allanodo in un-

zione di V, per un certo valore I0 di intensita della radiazione incidente e per

un valore doppio. Dallo studio di questa fgura possiamo trarre le conside-

razioni seguenti: per una dierenza di potenziale sucientemente grande tutti i otoe-lettroni emessi dal catodo vengono raccolti allanodo e si raggiunge un valore

di saturazione per la corrente; a unilluminazione con intensita doppia corrisponde un valore doppioper la corrente di saturazione;

in corrispondenza di V

=0 esiste ancora una qualche corrente, pero se

la dierenza di potenziale diventa sucientemente negativa la corrente va a

20


36/405


V

i

V

I

I

Figura 1.7: intensita di corrente misurata in seguito ad illuminazione con intensita I0 e 2I0.

zero. Il valore V0 di V che annulla la corrente si chiama potenziale darrestoe risulta essere lo stesso indipendentemente dallintensita dellilluminazio-

ne. Il potenziale darresto rappresenta il potenziale (negativo) da applicare

per impedire ai otoelettroni di raggiungere lanodo. Anche il otoelettroneemesso con velocita maggiore non deve essere in grado di arrivare allanodo

quindi, considerando la conservazione dellenergia, ne segue che lenergia ci-

netica massima vale proprio Kmax = eV0. Possiamo a questo punto provare amisurare come il potenziale darresto dipenda dalla requenza della luce in-

cidente. In questo caso si ottiene il grafco di fgura 1.8 dal quale si evince che

esiste una requenza minima 0, detta requenza di soglia, corrispondente a

un potenziale darresto nullo, al di sotto della quale lemissione di otoelet-

troni non ha luogo. Il grafco riporta i dati tratti da una misura di Millikan10

atta nel 1914.

Sono sostanzialmente tre le proprieta delleetto otoelettrico che non

sono spiegabili per mezzo dellelettromagnetismo classico:

1) relazione intensita - energia cinetica. La fgura 1.7 a vedere che il poten-

ziale darresto non dipende dallintensita della luce incidente. Ne consegue

10Robert A. Millikan (1868-1953), fsico statunitense vincitore del Premio Nobel per la

Fisica nel 1923 per i suoi studi sulleetto otoelettrico.

21


37/405


allora che anche lenergia cinetica massima dei otoelettroni Kmax

=eV0 non

debba dipendere dallintensita. Cio non torna pero con lelettromagnetismo

classico perche a unintensita maggiore corrisponderebbe un valore maggio-

re dellampiezza del campo elettrico, quindi, un lavoro piu grande atto sugli

elettroni e dunque unenergia cinetica maggiore;

2) requenza di soglia. Lemissione di un otoelettrone avviene, secondo

la teoria classica, quando lelettrone ha assorbito dalla radiazione incidente

unenergia suciente a vincere le orze che lo tengono legato alla piastrina

metallica, cioe pari al lavoro di estrazione W0 che e una proprieta caratteristi-

ca del metallo. Ne consegue che, con unintensita sucientemente grande laotoemissione avviene per qualsiasi valore della requenza. Cio e in contrad-

dizione, pero, con losservazione sperimentale dellesistenza di una requenza

di soglia;

3) assenza di ritardo. Unaltra contraddizione tra teoria classica ed esperi-

mento sta nella simultaneita tra arrivo dellonda luminosa e la otoemissione.

Lenergia della radiazione classica e distribuita su tutto il ronte donda e ci si

aspetta che ciascun elettrone assorba solo quella che incide su una superfcie

ecace pari circa alla sezione dellatomo al quale lelettrone appartiene. Se

lintensita della luce e estremamente debole si prevede allora che la otoemis-

sione avvenga con un ritardo signifcativo (come discusso nellesempio 4),

durante il quale lelettrone continua a raccogliere energia dallonda incidente

fno a raggiungere unenergia pari almeno al lavoro di estrazione.

Un tale ritardo non e pero osservato sperimentalmente: la otoemissione

e praticamente coincidente con larrivo della luce.

Il disaccordo tra teoria elettromagnetica classica e il comportamento spe-rimentale delleetto otoelettrico non e una banale discrepanza numerica

che potrebbe essere recuperata anando le assunzioni alla base del modello.

Si tratta, invece, di una ondamentale incapacita da parte della teoria clas-

sica di accordarsi con lesperimento. Ce bisogno di rivedere completamente

i presupposti della teoria.

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Hz)14(10Frequenza0 2 4 6 8 10 12

(V)

0

P

otenzialedarrestoV

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Figura 1.8: potenziale darresto in unzione della requenza della luce incidente. Misure tratte

da un lavoro di Millikan (1914).

1.2.1 Linterpretazione di Einstein per leffetto fotoelettrico

Per risolvere lincompatibilita tra teoria classica ed esperimento, Einstein11propose nel 1905 di rivedere il meccanismo di interazione tra radiazione e

materia, alla luce dei risultati ottenuti dalla teoria di Planck per la quantizza-

zione dellenergia di un oscillatore. Nel momento in cui la radiazione viene

assorbita dagli elettroni essa non si comporta, secondo Einstein, come unon-

da distribuita, ma come un pacchetto di energia localizzata. Sono tali pac-

chetti di energia, chiamati otoni, a essere assorbiti individualmente e com-

pletamente dagli elettroni. Linterazione onda-materia non va allora consi-

derata come un enomeno complessivo, ma come uninterazione individuale

tra un singolo otone e un singolo elettrone.

Questa assunzione non e per Einstein in conitto con i comunemente

accettati esperimenti sullintererenza e dirazione perche in tali casi si ha

a che are con un numero molto grande di otoni e, quindi, i risultati che

11 Albert Einstein (1879-1955), fsico tedesco amoso per la sua teoria della relativita; vinse

invece il Premio Nobel per la Fisica nel 1921 per la teoria sulleetto otoelettrico.

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si ottengono vanno rieriti a un comportamento collettivo in cui vengono

mediati i comportamenti dei otoni individuali.

Lattenzione di Einstein non punta sulle modalita di propagazione della

radiazione ben descritta della teoria ondulatoria classica ma invece sulle

modalita di emissione e assorbimento. Il otone porta con se unenergia

quantizzata pari a E = h , localizzata in un piccolo volume dello spazio eche rimane localizzata mentre esso si muove nello spazio con velocita c.

Allatto dellassorbimento della radiazione questa energia viene ceduta in-

tegralmente allelettrone in uninterazione individuale elettrone-otone. Con

questa energia lelettrone che si trova allinterno del metallo puo compensarelenergia dissipata negli urti con il reticolo cristallino e, una volta arrivato in

prossimita della superfcie, avere energia suciente per ornire il lavoro di

estrazione e suggire al metallo.

Il bilancio energetico per lassorbimento di un otone da parte di un elet-

trone prossimo alla superfcie del metallo sarebbe allora:

Kmax

= E

W0

=h

W0 (1.10)

mentre per tutti gli altri elettroni si avrebbero valori dellenergia cinetica

K< Kmax.Va sottolineato che lipotesi del otone unziona perche e in grado di mo-

tivare agevolmente le tre condizioni non spiegabili dalla teoria classica:

1) relazione intensita - energia cinetica. Il numero di otoni associati a

unonda elettromagnetica e proporzionale allintensita dellonda, quindi, an-

che se aumenta lintensita non aumenta la requenza dellonda e il potenziale

darresto:

V0 = Kmaxe= h W0

e(1.11)

rimane indipendente dallintensita come osservato sperimentalmente;

2)requenza di soglia. Per un otone avente requenza 0 =W0/h lenergiacinetica massima del otoelettrone risulterebbe nulla. Percio se la radiazio-

ne ha requenza al di sotto di 0, per quanti otoni ci siano cioe per quanto

intensa sia la radiazione, nessun elettrone puo assorbire energia suciente a

ornire il lavoro di estrazione e quindi leetto otoelettrico non si verifca;

24


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3) assenza di ritardo. Nel momento in cui un otone, con requenza su-

periore alla soglia, viene a contatto con un elettrone gli cede istantaneamen-

te la sua energia. Riducendo lintensita riduciamo il numero di otoni, ma

fntantoche ce ne almeno uno leetto otoelettrico si puo verifcare.

Per Einstein lintensita della radiazione e:

I= Nh (1.12)dove N e il numero medio di otoni che attraversano lunita di superf-

cie (ortogonale alla direzione di propagazione dellonda) nellunita di tempo

(vedi esempio 5). Siccome la teoria ondulatoria prescrive che lintensita sia

proporzionale al valore medio del quadrato dellampiezza del campo elettrico

e siccome tutti i otoni hanno la stessa energia, allora E2m puo essere inter-pretato come una misura del numero medio di otoni presente nellunita di

volume.

La teoria del otone non solo risolve elegantemente i problemi suelenca-

ti, ma risulta essere in accordo con i risultati ottenuti precedentemente sulla

radiazione del corpo nero. Sulla base della misura del potenziale darrestoin unzione della requenza (vedi fgura 1.8), Millikan arrivo nel 1914 a mi-

surare, a partire dalla pendenza della retta interpolante, il valore della co-

stante numerica h che moltiplica la requenza. ale misura orn il valore

h = 6.570.03 1034 J s, in ottimo accordo con il valore usato da Plancknella sua ormula. Si tratta, quindi, della stessa costante universale a cui si

assegna, sulla base di misure piu recenti, il valore:

h = 6.626 1034 J sVa sottolineato che lipotesi di Einstein e che il otone abbia esattamente

energia pari a h e non pari a un suo multiplo intero. Lenergia nh delloscil-

latore di Planck sarebbe allora associata alla presenza di n otoni aventi tutti

requenza . In questa ottica Einstein tratto la radiazione presente entro la

cavita come un gas di otoni non interagenti luno con laltro e ricavo la stessa

ormula ottenuta qualche anno prima da Planck.

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1.2.2 Esempi

4. Valutare il tempo che, nella teoria classica, sarebbe necessario a un elettroneper essere emesso da una superfcie di potassio illuminata con una sorgente

luminosa di potenza pari a P = 1 W, posta a una distanza = 1 m.Il potassio ha un lavoro di estrazione

W0 = 2.3 eV = 3.7 1019 Je anche lelettrone possa essere emesso esso deve assorbire dallonda al-

trettanta energia. Se lenergia della radiazione incidente e distribuita in modouniorme su tutto il ronte donda serico, quella assorbita dallelettrone sara

solo la porzione che colpisce unarea ecace pari a circa r2 = 1020 m2dove r 1 1010 m e il raggio tipico di un atomo. La potenza assorbitadallelettrone vale:

Pe

=P

r2

42

=2.5

1021P

=2.5

1021 W

Per raggiungere il valore necessario di 3.7 1019 J ci vuole un tempo pariat= W0

Pe= 1.5 102 s

cioe 2 minuti e mezzo, che e, quindi, acilmente osservabile.

5. In rierimento allesempio precedente, quanti elettroni potrebbero, al piu,

essere emessi in un secondo da unarea unitaria? Si assuma luce monocromatica

con lunghezza donda = 530 nm.Innanzitutto verifchiamo che leetto otoelettrico abbia eettivamenteluogo. Lenergia di ciascun otone vale:

E = h = hc= 6.63 1034 3 108

530 109 = 3.75 1019 J = 2.35 eVappena al di sopra della soglia corrispondente al lavoro di estrazione W0

=2.3 eV.

26


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Macchie di Laue

Cristallo

Raggi X

Lastra fotografica

Figura 1.9: schema dellapparato usato da Laue per la dirazione di raggi X su un cristallo.

Alla distanza = 1 m la potenza per area unitaria (cioe lintensita) valeI

=P

42

=1

4

1

=8.0

102 W

/m2

=5.0

1017 eV

/m2

s

Il numero di otoni che colpiscono larea unitaria nellunita di tempo siottiene dividendo lintensita per lenergia del singolo otone:

IE = 5.0 10172.35 = 2.1 1017 /m2 sCiascuno di questi otoni puo essere assorbito da un elettrone, ma solo

gli elettroni in prossimita della superfcie non perdono, a causa degli urti con

il reticolo cristallino, parte di questa energia fnendo sotto la soglia pari a W0.

Al piu possono, quindi, essere emessi 2.1 1017 e/m2 s.Osserviamo che il numero di otoni che colpiscono larea unitaria in un

secondo e un numero enorme, quindi, lagranularita della radiazione diventa

dicile da rivelare. La radiazione appare percio continua, salvo circostanze

speciali.

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1.3 Diffrazione dei raggi X su un cristallo

Passiamo ora a discutere i raggi X12,cioe la radiazione elettromagnetica aven-

te lunghezza donda compresa approssimativamente tra 0.01 e 10 nm. Que-

sta radiazione ha lunghezza donda dellordine delle distanze interatomiche

e, quindi, ci si aspetta che essa possa essere soggetta a dirazione da parte di

un cristallo. Il ruolo delle enditure trasparenti, che unzionavano per un re-

ticolo ottico dirangendo la luce e producendo fgure di intererenza, viene

per i raggi X svolto dai piani presenti allinterno del reticolo cristallino.

Inviando dei raggi X ben collimati su un cristallo, come in fgura 1.9, eosservando limmagine che essi producono su una lastra otografca, si os-

serva una serie di macchie luminose che ricorda il risultato dellesperimento

dei ori di Young. Queste macchie (vedi fgura 1.10) vengono chiamate mac-

chie di Laue, dal nome dello scienziato13 che le osservo la prima volta nel 1912

studiando la dirazione da parte di un cristallo di cloruro di sodio. Questa

immagine prova chiaramente che i raggi X hanno natura ondulatoria.

Nel caso del cloruro di sodio, come per altri solidi cristallini, la struttura

presenta una simmetria cubica in cui gli atomi si dispongono ai vertici diun cubo a ormare delle celle elementari. Allinterno del reticolo cristallino

si possono individuare allora dei asci di piani che contengono queste celle

elementari ripetute. La ripetizione, con una certa regolarita, di tali piani e

cio che porta alla ormazione delle fgure di intererenza.

La posizione delle macchie di Laue e la direzione di dirazione rispet-

to allasse di incidenza vennero studiate da Bragg14, che mise in relazione la

12 I raggi X, scoperti dal fsico tedesco Wilhelm C. Roentgen nel 1895, sono prodotti quan-do un ascio di elettroni moltoenergetici, accelerati da unadierenza di potenziale di miglia-

ia di volt, viene ermato da un bersaglio; la orte decelerazione risulta in emissione di onde

elettromagnetiche con spettro continuo. Per questa scoperta Roentgen (1845-1923) vinse il

Premio Nobel per la Fisica nel 1901.13 Max von Laue (1879-1960), fsico tedesco vincitore del Premio Nobel per la Fisica nel

1914 per la scoperta della dirazione dei raggi X.14William L. Bragg (1890-1971), fsico australiano vincitore del Premio Nobel per la Fisica

nel 1915 (assieme al padre William H. Bragg) per lanalisi della struttura cristallina per mezzo

di raggi X.

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Diffrazione dei raggi X su un cristallo Capitolo 1

Figura 1.10: fgura di dirazione (macchie di Laue) prodotta dalla dirazione di raggi X su

un cristallo. Per gentile concessione di Internet Microscope or Schools dellUniversita di

Manchester, UK. Vedi anche http://www.tools4schools.org.uk.

distanza tra i piani atomici d, la lunghezza donda della radiazione X e la

direzione di dirazione, in una equazione nota come legge di Bragg:

2dsin

=m

m

=1,2,3,. . .

(1.13)

dove e langolo di dirazione della radiazione che emerge dal cristallo

come se osse riessa dai piani cristallini a un angolo di riessione15 uguale a

quello di incidenza (vedi fgura 1.11). La dierenza di cammino tra i due raggi

(1) e (2) di fgura 1.11 eparia AC+CB = 2dsin . La condizione di intereren-za si ottiene imponendo che la dierenza di cammino sia pari a un multiplo

intero della lunghezza donda, ottenendo cos la legge di Bragg. In queste con-

dizioni le onde riemesse da ciascuna cella elementare del reticolo cristallino

(atomo o molecola) risultano essere in ase e intereriscono costruttivamen-

te nella direzione corrispondente a un angolo di dirazione uguale a quello

della radiazione incidente; si parla in questo caso di riessione di Bragg.

Allinterno del reticolo si possono defnire tante amiglie possibili di piani

paralleli passanti per le celle elementari. Una tra queste amiglie avra distan-

za interplanare dtale da soddisare la legge di Bragg per la lunghezza donda

15 In questo caso langolo di riessione non viene defnito, come al solito, rispetto alla

normale di incidenza ma rispetto al piano (angolo radente).

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dA

BC

(1)(2)

Figura 1.11: rappresentazione della dirazione di raggi X come riessione sui piani (linee

tratteggiate) del cristallo, dove i pallini rappresentano i centri delle celle elementari. Sono

evidenziati due raggi e il diverso cammino percorso.

della radiazione X incidente. Conoscendo gia la lunghezza donda e misu-

rando si ottiene una caratterizzazione della struttura geometrica di un cri-stallo, mentre conoscendo le distanze interplanari e misurando possiamo

ottenere una misura di .

In esperimenti simili Debye16 e Scherrer17 studiarono la dirazione di

raggi X su una polvere cioe su un agglomerato di cristalli minuscoli orientati

a caso. In questa situazione non si ottengono delle singole macchie, ma de-

gli anelli circolari (vedi fgura 1.12) dovuti alla dirazione sugli innumerevoli

piani cristallini aventi orientazione spaziale casuale. I raggi degli anelli sonocollegati alla lunghezza donda dei raggi X e orniscono un modo per mi-

surarla. Lesperimento di Debye e Scherrer conerma in modo spettacolare

quanto osservato da Laue, a dimostrazione che i raggi X hanno comporta-

mento ondulatorio nella loro interazione con la materia in orma cristallina.

16Peter J.W. Debye (1884-1966), fsico e chimico olandese vincitore del Premio Nobel per

la Chimica nel 1936.17

Paul Scherrer (1890-1969), fsico svizzero.

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La diffusione di Compton Capitolo 1

Figura 1.12: rappresentazione della fgura di dirazione prodotta dalla dirazione di raggi X

su una polvere policristallina.

1.4 La diffusione di Compton

Nel 1923 Compton18 studio la diusione di raggi X monocromatici incidentisu un bersaglio di grafte, come descritto in fgura 1.13. Andando a misurare la

presenza di raggi X in unzione dellangolo di diusione e la loro lunghez-

za donda, si osservarono due picchi di intensita: uno alla stessa lunghezza

donda della radiazione incidente e uno a una lunghezza donda diversa ,

piu grande di un valore chiamato spostamento di Compton. Muovendo il

rivelatore e, quindi, variando langolo di diusione si osservo che il valore di

risultava essere dipendente da .

La teoria ondulatoria classica prevede che i raggi X, comportandosi come

onde elettromagnetiche a tutti gli eetti, vadano a sollecitare con il loro cam-

po elettrico gli elettroni dellatomo, costringendoli a oscillare con requenza

pari a quella dei raggi X stessi e portandoli, quindi, a emettere a loro volta

onde elettromagnetiche ancora alla stessa requenza. Non e possibile, quin-

18 Arthur H. Compton (1892-1962), fsico statunitense vincitore nel 1927 del Premio Nobel

per la Fisica per gli studi sulla diusione dei raggi X.

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rivelatore

bersagliocollimatore

Figura 1.13: descrizione dellapparato usato da Compton per lo studio della diusione diraggi X.

di, immaginare un meccanismo che sulla base della teoria classica preveda

riemissione di onde con .Compton interpreto questi risultati postulando che i raggi X incidenti

non siano semplicemente unonda di requenza , ma uninsieme di otoni.

La diusione dei raggi X non sarebbe altro che un urto tra questi otoni in-

dividuali, aventi energia E = h e quantita di moto p = h/c e i singolielettroni del bersaglio debolmente legati al resto dellatomo e, inizialmente,pressoche in quiete. I otoni vennero trattati da Compton ancora come parti-

celle, ma a dierenza del caso otoelettrico non venivano assorbiti ma diusi,

cioe deviati con direzione diversa da quella di incidenza, cos come avviene

per urti tra corpi.

La giustifcazione dellipotesi di un urto con un singolo elettrone deri-

va dallosservazione sperimentale che la requenza della radiazione diusanon dipende dal tipo di materiale che costituisce il bersaglio e, quindi, dal

numero di elettroni o protoni presenti in ciascun atomo. Per questo moti-

vo il enomeno di diusione deve riguardare non interi atomi, ma singoli

elettroni.

A dierenza della teoria ondulatoria la teoria del otone spiega acilmen-

te il atto che

e arriva anche a prevedere quanto debba valere per

un certo angolo di diusione, determinando un accordo qualitativo e quan-

titativo con le osservazioni sperimentali. Risulta chiaro, acendo rierimento

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0.700 0.750

0

0

=

=

( A)

Intensit`a

Figura 1.14: risultati sperimentali per la

diusione di Compton in corrisponden-

za dellangolo di diusione

=0 e

=45. Viene rappresentata lintensita rela-tiva in unzione della lunghezza donda

del raggio diuso.

0.700 0.750

0

0

=

=

( A)

Intensit`a

Figura 1.15: risultati sperimentali per la

diusione di Compton in corrisponden-

za dellangolo di diusione

=90 e

=135. Viene rappresentata lintensita re-lativa in unzione della lunghezza donda

del raggio diuso.

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49/405


alle leggi di conservazione energia-quantita di moto in un urto, che se lelet-

trone emerge con una certa energia e quantita di moto dopo lurto, il otone

deve emergere con energia e quantita di moto dierenti rispetto al valore

posseduto prima dellurto. Si spiega, quindi, in questo modo il atto che sia

.Se si a rierimento alla cinematica relativistica19 e si applicano le leggi di

conservazione di energia e quantita di moto nella loro ormulazione relativi-

stica, si ottiene una previsione per lo spostamento di Compton

=

in unzione di :

= hmc 1 cos (1.14)dove la quantita C = h/mc = 2.43 1012 m viene chiamata lunghezza

donda di Compton. ale previsione risulto essere in accordo con le misure

sperimentali, come puo essere osservato in fgura 1.14 e 1.15. La presenza di un

picco di larghezza fnita in corrispondenza di e dovuta allintervallo fnito

delle lunghezze donda e degli angoli di diusione selezionati dallapparato e

allincertezza sui loro valori.

Se la teoria relativistica e in grado di prevedere il valore dello spostamen-

to di Compton, resta da capire come mai avvengano anche diusioni corri-

spondenti a = 0 cioe = . In questo caso quello che succede e che ladiusione, cioe lurto e, avviene non con un elettrone quasi libero ma conun elettrone ortemente legato al suo atomo. In questo caso lanalogia sarebbe

con un urto classico tra una particella e un corpo di massa molto grande: la

particella incidente emerge dallurto con energia pressoche immutata perchela grande massa del corpo gli consente di rinculare con la stessa velocita. Se

il otone incidente viene diuso senza variazioni sostanziali nella sua ener-

gia ne consegue che anche la sua lunghezza donda restera immutata come

osservato nel picco di sinistra di fgura 1.15. Nella soluzione delle equazio-

19 La cinematica relativistica e una modifca di quella classica per renderla compatibile con

la teoria della relativita di Einstein. Per essa lenergia di un corpo avente massa m e quantita

di moto p e

E =

p2 c2

+m2c4, dove c e la velocita della luce nel vuoto, mentre la quantita

di moto vale p = mv/1 v2/c2.

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ni dellurto bisogna sostituire la massa dellelettrone m con quella dellintero

atomo M. Nel caso della grafte (M 22000 m) lo spostamento Comptondiventa 22 mila volte piu piccolo e la radiazione diusa fnisce al di sotto delpicco corrispondente alla lunghezza donda incidente. In questo caso si parla

di diusione di Tomson.

La diusione di Tomson e quella di Compton sono enomeni che av-

vengono entrambi quando una radiazione elettromagnetica colpisce un ber-

saglio. E solo per lunghezze donda molto piccole, cioe nellintervallo dei rag-

gi X, che la diusione di Compton diventa osservabile in aggiunta a quella

di Tomson. Per lunghezze donda ancora piu piccole, cioe per i raggi , ladiusione di Compton diventa invece dominante.

I risultati dellesperimento di Compton sancirono defnitivamente la ne-

cessita e la validita dellipotesi del otone.

1.4.1 Esempi

6. Ricavare dalla fgura 1.15 il valore della costante h che compare nellequazio-

ne (1.14).I risultati della fgura 1.15 mostrano, per un angolo di diusione = 135,

la presenza di due picchi, uno a circa 0.708 A e uno a circa 0.747 A. Il primo

picco e allora a = 70.8 1012 m, mentre il secondo corrisponde a =74.7 1012 m. Lo spostamento di Compton vale, quindi:

=

=3.9

1012 m

Invertendo lequazione (1.14) si ottiene

h = mc1 cos = 9.1 1031 3.0 108 3.9 10121 cos135 = 6.24 1034 J s

molto vicino al valore della costante di Planck.

7. Si consideri un ascio di raggi X aventi lunghezza donda

=0.1 nm. Consi-

derando la radiazione diusa a 90 calcolare: a) lo spostamento di Compton,

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b) lenergia cinetica di rinculo dellelettrone, c) la razione energia persa dal

otone.

Lo spostamento di Compton per = 90 vale = h

mc1 cos = 6.63 1034

9.1 1031 3.0 108 1 0 = 2.43 1012 mAssumendo che lelettrone sia inizialmente a riposo la conservazione del-

lenergia prescrive che20 E = E + Ke , quindi lenergia cinetica dellelettronevale

Ke = E E =hc

hc

+ =hc

+ cioe:

Ke = 6.63 1034 3.0 108 2.43 10120.1 109 100 + 2.43 1012 = 4.72 1017 J

equivalente a 295 eV.

Lenergia del otone valeva inizialmente:

E = hc = 6.63 1034 3.0 1080.1 109 = 1.99 1015 J = 12.4 keVe la razione di energia persa e:

E/E = 0.295/12.4 = 0.024quindi, il otone perde in questa diusione di Compton il 2.4% della sua

energia.

1.5 Natura duale delle onde elettromagnetiche

Gli esperimenti presentati in questo capitolo hanno dimostrato la necessita di

introdurre nella teoria lidea del otone, inteso come un pacchetto di energia

20Secondo la cinematica relativistica bisognerebbe considerare per lelettrone anche le-

nergia di massa a riposo mc 2 che pero e la stessa prima e dopo lurto e, quindi, si semplifca

nellequazione.

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Applicazioni Capitolo 1

localizzato. Sono, inatti, i otoni che si trovano entro la cavita a essere re-

sponsabili delle caratteristiche della radiazione termica del corpo nero, cos

come sono ancora i otoni a produrre leetto otoelettrico. Londa elettroma-

gnetica in queste due situazioni viene emessa e assorbita dalla materia sotto

orma di otoni. Lesperimento di Compton necessita a sua volta lipotesi del

otone per spiega

Proprietà fisiche della materia

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