Progetto Scienza-Sport

2010Liceo Scientifico Galileo Galilei

Classi V I – V GProff. E. Ciardiello - P. Diener

La Brachistocrona nello Slalom.Influenza della massa dello sciatore sul tempo di

percorrenza.

Il problema è il seguente: • A e B due punti fissati. • M una massa puntiforme che si muove in un piano

verticale su una guida curva che connette due punti A e B; la massa M è soggetta alla forza peso.

• Il tempo che M impiega per andare dal punto A al punto B (con velocità iniziale nulla) dipende dalla traiettoria, che è determinata dalla forma della guida.

• Contrariamente a quanto ci si potrebbe aspettare, il tempo non risulta minimo se la guida è quella di lunghezza minima fra A e B (cioè una guida rettilinea). La curva che permette alla particella di andare dal punto A al punto B nel minor tempo possibile è chiamata brachistocrona, ossia curva del tempo più corto.

In Passato:• Già Galileo Galilei aveva notato che una sfera

arriva prima rotolando lungo un arco di cerchio piuttosto che sulla corda del cerchio, anche se essa è più corta. Il problema fu però proposto per la prima volta in forma ufficiale da Johann Bernoulli nel maggio 1697 quando produsse la sua dimostrazione in ACTA ERUDITORIUM.

• Questo metodo corrisponde a quello che viene oggi chiamato una discretizzazione del problema.

Il problema del Bagnino:• Immaginiamo di dividere il piano in cui

si muove il corpo in tante strisce orizzontali, sufficientemente sottili così da poter supporre che in ognuna delle quali la velocità sia praticamente costante. La traiettoria resta così divisa in archi talmente piccoli da poter essere approssimati con segmenti. La traiettoria diventa quindi una poligonale.

• Ma come deve muoversi il corpo passando da una striscia all'altra in cui ha una velocità diversa in modo da ottimizzare il tempo di percorrenza? Il problema si riconduce quindi al cosiddetto problema del bagnino che altro non è che un’applicazione della legge di Snell per la rifrazione della luce.

• Un bagnino si trova sulla spiaggia nel punto A, un bagnante sta annegando e si trova nel punto B, ovviamente in mare. Quale traiettoria deve percorrere il bagnino per raggiungere il bagnante nel minor tempo possibile, supponendo che possa correre a velocità costante v1 sulla spiaggia e velocità v2, pure costante nell'acqua?

RISPOSTA:

•  

Tornando al problema …

• Se ora immaginiamo che le strisce orizzontali diventino sempre più sottili e che il loro numero cresce indefinitamente, la poligonale tende a diventare una curva. Le tangenti in ogni punto di questa curva approssimano la sequenza di segmenti. L'angolo che la tangente forma con la verticale deve essere legato alla velocità v dalla relazione

• Poiché il campo gravitazionale è conservativo, la velocità dipende solo dall'altezza y secondo la relazione ; in definitiva la curva che

ottimizza il tempo di percorrenza deve verificare la relazione

• La curva che soddisfa tale relazione è la cicloide.

L’IDEA:In tale discussione non si è tenuto conto dell'attrito. Noi ci

siamo posti il problema di determinare come cambia la soluzione al problema se teniamo conto sia dell'attrito dinamico fra corpo e piano, sia dell'attrito aerodinamico.

A questo punto abbiamo diverse possibilità per affrontare il problema:

• seguire alla lettera il procedimento di Bernoulli• affrontare il calcolo delle variazioni

• Abbiamo quindi deciso di proseguire affrontando parallelamente i due modi di procedere. Per facilitarci il lavoro abbiamo aperto un sito wiki in modo da seguire i progressi degli studenti da casa, per scambiare idee e materiale e soprattutto per permettere agli studenti di comunicare fra di loro per scambiarsi informazioni e suggerimenti.

Il Metodo di Bernoulli:• Come deve muoversi il corpo passando da una striscia all'altra in modo da

ottimizzare il tempo di percorrenza?• A questo punto, per rispondere alla domanda, schematizziamo il problema come

segue: il corpo, partendo dal punto A con velocità iniziale zero, deve raggiungere un punto B, e supponiamo che sia soggetto oltre che alla forza peso anche a forze di attrito dinamico con il piano e aerodinamiche. Ipotizziamo che possa muoversi solo lungo tratti rettilinei e che possa solo cambiare la direzione della traiettoria. Insomma un problema simile a quello del bagnino ma complicato dal fatto che la velocità non è costante.

• Dobbiamo allora cercare una relazione analoga alla legge di Snell che ci permetta di determinare come deve muoversi il corpo passando da un tratto all’altro in modo da ottimizzare il tempo di percorrenza.

• Il risultato ottenuto è la legge di Snell in cui alle velocità costanti bisogna sostituire la velocità media (che nel caso del moto uniformemente accelerato coincide con la media delle velocità) in ogni striscia.

• Con l’utilizzo del foglio di calcolo abbiamo verificato che in corrispondenza del tempo minimo le relazioni sono in effetti verificate.

Nel grafico seguente è rappresentata l’arco di cicloide, che sappiamo essere la soluzione al

problema, con i punti ottenuti con il nostro metodo!

Sono stati ottenuti 30 punti, il tempo di percorrenza è di 1.166 s, il punto iniziale è l'origine e il punto finale ha coordinate (4; -4).

Il caso dell’attrito dinamico.• Dopo aver sperimentato, con ottimi risultati, che il metodo utilizzato funziona,

abbiamo cominciato ad introdurre l'attrito dinamico con il piano. L'equazione del moto di un corpo che scivola lungo un piano inclinato è la seguente:

• Dove g è l'accelerazione di gravità, θ è l'angolo fra il piano e la verticale e μ è il coefficiente di attrito dinamico. Cominciamo a considerare solo due tratti, così come abbiamo fatto in precedenza, per determinare una relazione che sostituirà la legge di Snell valida solo in assenza di attrito.

• Un corpo di massa m• Velocità iniziale vi• Scivola lungo un piano inclinato da un altezza h• Raggiunge in fondo al piano una velocità vf che può essere determinata

dalla seguente considerazione: il lavoro La fatto dalla forza di attrito per uno spostamento del corpo di ∆s è pari alla variazione di energia meccanica, per cui

• E quindi:

Il caso dell’attrito aerodinamico.

• Dal punto di vista teorico l’introduzione dell’attrito aerodinamico non comporta nessun ulteriore problema. Dal lavoro dello scorso anno, a cui facciamo riferimento per maggiori dettagli, possiamo ricavare le funzioni necessarie al nostro scopo.L’equazione del moto di un corpo di massa m che scivola lungo un piano inclinato di un angolo θ rispetto alla verticale è:

• Usando un foglio di calcolo, senza grosse difficoltà, abbiamo determinato il valore di x che minimizza il tempo di percorrenza.

Il risultato è rappresentato nel grafico seguente in cui sono confrontate le traiettorie ideali nei casi analizzati: assenza di attrito (arco di cicloide), presenza di solo attrito dinamico e infine presenza di attrito sia dinamico che aerodinamico.

I dati per il caso di attrito aerodinamico sono stati ottenuti considerando un corpo di massa 200 g di forma cilindrica di diametro 20 cm e altezza 40 cm. Il coefficiente di attrito dinamico è stato posto pari a 0.4. La scelta delle dimensioni del cilindro è dettata dall’idea di realizzare un’esperienza utilizzando il nostro apparato sperimentale.

Fase sperimentale Il punto di partenza è quello di dare una risposta al problema: un corpo, partendo dal punto A con velocità iniziale zero, deve

raggiungere un punto B, sottoposto, oltre che alla forza peso, anche a forze di attrito dinamico con il piano e aerodinamiche;

ipotizzando che possa muoversi solo lungo tratti rettilinei e che possa solo cambiare la direzione della traiettoria, quale deve essere la traiettoria che rendere minimo il tempo di percorrenza?

Per sperimentare abbiamo costruito un doppio piano inclinato.

Variando gli angoli di inclinazione dei due piani, abbiamo fatto scivolare un carrellino, con ruote bloccate, e misurato attraverso due sonar sincronizzati posti all’inizio e alla fine del percorso come variava la posizione nel tempo, determinando quindi la legge oraria.

Nel nostro modello teorico non si è mai tenuto conto che nel passaggio da un tratto all’altro la velocità presenta una discontinuità. Non è stata una dimenticanza in quanto tale discontinuità scompare nel passaggio dal discreto al continuo.

In una misura reale, invece, il carrello nel passare da un piano all’altro, soprattutto nel caso in cui la differenza di angolo di inclinazione fra i due piani è rilevante, subisce un urto. Ciò significa che la velocità iniziale nel secondo tratto non è quella finale del primo, ma solo la sua proiezione nella direzione del secondo tratto.

Tenuto conto di ciò siamo stati indotti a modificare il modello per adattarlo alla fase sperimentale.

I risultati ottenuti sono stati confrontati con quelli previsti teoricamente. Per l’analisi dei dati si rimanda all’indirizzo

http://scienza-sport.wikispaces.com/sperimentazione.

Apparato sperimentale• L’apparato sperimentale è essenzialmente costituito da due binari

costruiti da noi (docenti e studenti) sospesi a tre aste per scaffalature (vedi foto) di diverse altezze (2 m, 1,5 m e 1 m). Le due aste poste alle estremità sono state fissate ad una distanza di circa 2 m. L’asta centrale viene spostata per poter variare l’angolo di inclinazione dei due piani.

• I due binari sono stati agganciati fra loro usando del velcro, delle astine di legno e morsetti e appoggiati alle aste attraverso reggi mensole. Sui binari viene fatto scorrere un carrellino costruito utilizzando materiale disponibile nel nostro laboratorio di fisica.

• Abbiamo bloccato le ruote del carrello, frapponendo fra le ruote e l’asse una rondella, in modo che le ruote scivolassero senza ruotare. Sul carrellino è stato posizionato un disco di cartone rivestito da un foglio di alluminio in modo da poter essere più facilmente rilevato dal sonar.

COEFFICIENTE DI ATTRITO DINAMICO:

• Il primo passo è stato quello di determinare il coefficiente di attrito dinamico fra carrello e binari. Abbiamo utilizzato un sonar interfacciato con una calcolatrice Texas Instruments TI 89. Dopo aver misurato con un goniometro, agganciato ai binari, l'angolo θ di inclinazione del binario rispetto alla verticale, abbiamo lasciato libero il carrellino e misurato, attraverso il sonar, come variava la sua posizione nel tempo.

• I dati sperimentali sono stati analizzati con il software open source GnuPlot. La legge oraria del carrellino è:

• la velocità iniziale v0 è nulla poiché la rilevazione dei dati inizia prima di lasciar andare il carrellino, la posizione r0 e il tempo t0 iniziali vengono letti dai dati forniti dalla calcolatrice.

• L'accelerazione e legata al coefficiente di attrito attraverso al relazione;

• L'angolo di inclinazione è stato misurato

precedentemente e quindi l'unica incognita è il coefficiente di attrito dinamico μ fra piano e carrellino.

• Il software GnuPlot costruisce la migliore curva teorica, compatibile con la legge del moto, che fitta i dati sperimentali e quindi fornisce il " migliore" valore di μ. Come esempio riportiamo i risultati ottenuti per un angolo di inclinazione di 52°.

Come esempio riportiamo i risultati ottenuti per un angolo di inclinazione di 52°.

Abbiamo fatto quattro misurazioni ottenendo i risultati riportati in tabella:

Angolo di inclinazione in gradi decimali

Coefficiente di attrito dinamico

Medie Media

  62 0.3765 ± 0.0006    

61.5 ± 0.5 61.5 0.3871 ± 0.0006 0.39 ± 0.01  

  61 0.3977 ± 0.0006    

  62 0.3765 ± 0.0004    

61.50 ± 0.5 61.5 0.3870 ± 0.0004 0.39 ± 0.01 0.39 ± 0.01

  61 0.3976 ± 0.0004    

  52.5 0.372 ± 0.001    

52.0 ± 0.5 52 0.384 ± 0.001 0.38 ± 0.01  

  51.5 0.395 ± 0.001    

  52.5 0.3760 ± 0.0007    

52.0 ± 0.5 61.0 0.3873 ± 0.0007 0.39 ± 0.01  

  51.5 0.3988 ± 0.0007    

L'errore sulla misura dell'angolo è stato posto pari 0.5°. Per tener conto di tale errore sulla valutazione del coefficiente di attrito abbiamo interpolato i dati con il valore centrale e i valori estremi dell'intervallo di variazione. Possiamo quindi concludere che μ = 0.39 ± 0.01 che è vicino ai valori risultanti da tabelle reperibili in rete.

Verifica del modello con attrito dinamico

• Una volta determinato il coefficiente di attrito dinamico siamo pronti a verificare la validità del nostro modello. Cominciamo ad analizzare i tempi di discesa del carrello, tenendo conto per il momento solo dell'attrito dinamico. A causa delle ridotte dimensioni del carrello è ragionevole supporre che, almeno per i brevi tratti considerati, sia predominante l'attrito dinamico su quello aerodinamico.

• Cambiando la posizione dell'asta centrale abbiamo variato le inclinazioni dei due binari. Abbiamo posizionato un sonar nella posizione più alta in modo che coprisse il primo tratto e uno dal basso in modo da coprire il secondo tratto. Siamo stati attenti a posizionare il punto di partenza e di arrivo del percorso in modo che il carrello si trovasse all'incirca alle stesse altezze nelle varie esperienze.

• E' stato possibile sincronizzare i due sonar interfacciandoli, attraverso strumentazione della Texas, ad un computer sul quale è installato il software in dotazione Logger Pro.

Esempio dei dati ottenuti in cui l'inclinazione del primo binario (quello da cui il carrello parte da fermo) è stata

posta pari 34° e quella del secondo 58.5°.

Dal grafico appare evidente che il cambio di pendenza non è istantaneo (il carrello non è un punto materiale come nelle nostre simulazioni) per cui i punti che vanno da 1.14 s a 1.2 s devono essere esclusi dall'anali. Inoltre, nel cambiare pendenza, il carrello subisce un urto; ci è sembrato ragionevole supporre che nell'urto solo la componente parallela della quantità di moto, acquistata dal carrello alla fine del primo tratto, alla direzione del secondo tratto si conservi nell'urto. Ciò significa che la velocità iniziale nel secondo tratto non è quella finale del primo, ma solo la sua proiezione nella direzione del secondo.

Quest'ultima considerazione ci ha indotto ad adattare il nostro modello teorico, in cui il punto materiale in ogni tratto rettilineo parte con la velocità acquistata alla fine di quello precedente, per poterne verificare sperimentalmente la sua validità.

Nel modello teorico l'urto non ha incidenza nei risultati finali, in quanto la variazione della quantità di moto tende a zero suddividendo i vari percorsi rettilinei in segmenti sempre più piccoli fino a che la poligonale non diventa una curva continua.

Abbiamo quindi adattato il modello per tener conto di tale correzione.

Nei grafici seguenti sono stati messi a confronto i dati sperimentali con quanto previsto dal modello.

•  

GRAZIE PER L’ATTENZIONE!

Presentazione a cura di Alessandra Leonori

VG