Progetto: “Con la mente e con le mani”Gruppo di lavoro: “il numero più grande” dei proff. Bernardi, Fioravanti, TaralloPresentano: gli alunni della classe IC

I.C. Via Giuliano da SangalloA.S. 2013-2014

Lorenzo e Sara

La “bizzarra” richiesta del Bramino: una ricompensa in chicchi di riso su una scacchiera di 64 caselle;i chicchi si raddoppiano di casella in casella.

Laura e Miriam

20 21 22 23 24 25 26 27

28 29 210 211 212 213 214 215

216 217 218 219 220 221 222 223

224 225 226 227 228 229 230 231

232 233 234 235 236 237 238 239

240 241 242 243 244 245 246 247

248 249 250 251 252 253 254 255

256 257 258 259 260 261 262 263

263 è già un numero enorme…

poi gli dobbiamo sommare anche 262, 261 ecc.

Sono tanti numeri, e tanto grandi!

AIUTOOOO!!!!!!!!

Sara

Scoperta della regolarità per verifica empirica:

Potenze di 2 Somme di potenze di 2

20 = 1 1

21 = 2 3

22 = 4 7

23 = 8 15

24 = 16 31

25 = 32 63

26 = 64 127

Iris

Chicchi totali in 64 caselle S2(64) = 264–1 =

18.446.744.073.709.551.615(circa 1,84 × 1019)

Circa 18 miliardi di miliardi

Sabrina

DOMANDA:Se dimezziamo le caselle (32 anziché 64) e raddoppiamo la base (4 anziché

2) otteniamo una quantità totale di riso maggiore o minore di quella

richiesta dal Bramino?

Martina

40 41 42 43

44 45 46 47

48 49 410 411

412 413 414 415

416 417 418 419

420 421 422 423

424 425 426 427

428 429 430 431

Alex

Le potenze di 4 sono anche potenze di 2.In particolare le potenze di 4 sono potenze di 2 con esponente pari: 20 = 40 = 122 = 41 = 424 = 42 = 1626 = 43 = 6428 = 44 = 512…

Considerare solo 32 caselle e riempirle con le potenze di 4 da 40 a 431 equivale a riempire tutte le 64 caselle con le potenze di 2 da 20 a 263 e poi cancellare quelle con esponente dispari.

Gabriele

20 21 22 23 24 25 26 27

28 29 210 211 212 213 214 215

216 217 218 219 220 221 222 223

224 225 226 227 228 229 230 231

232 233 234 235 236 237 238 239

240 241 242 243 244 245 246 247

248 249 250 251 252 253 254 255

256 257 258 259 260 261 262 263

20 22 24 26

28 210 212 214

216 218 220 222

224 226 228 230

232 234 236 238

240 242 244 246

248 250 252 254

256 258 260 262

40 41 42 43

44 45 46 47

48 49 410 411

412 413 414 415

416 417 418 419

420 421 422 423

424 425 426 427

428 429 430 431

Quindi:S4(32) < S2 (64)

I chicchi sulla semi-scacchiera delle potenze di 4 sono in numero minore dei chicchi sulla intera scacchiera delle potenze di 2

… oppure:la somma delle potenze di 4 da 40 a 431 è minore della somma delle potenze di 2 da 20 a 263.

Simona

S4(32) < S2 (64)

Minore sì, ma quanto minore?

S4(32) =S2 (64) : 3I chicchi sulla semi-scacchiera delle potenze di 4 sono 1/3 dei chicchi sulla intera scacchiera delle potenze di 2.

Motivazione empirica: per ottenere le potenze di 4 ho cancellato le colonne di potenze di 2 con esponente dispari;ciascuna colonna che ho cancellato ha valore doppio rispetto alla colonna alla sua sinistra che ho conservato.Quindi: ho cancellato una quantità doppia di quella rimasta, che quindi sarà un terzo del totale.

Nicholas

Se tolgo dalla quantità totale una quantità doppia di quella che rimane allora la quantità che rimane

sarà un terzo della quantità totale.

Scusate il gioco di parole!

20 21 22 23 24 25 26 27

28 29 210 211 212 213 214 215

216 217 218 219 220 221 222 223

224 225 226 227 228 229 230 231

232 233 234 235 236 237 238 239

240 241 242 243 244 245 246 247

248 249 250 251 252 253 254 255

256 257 258 259 260 261 262 263

Dario

20 23 26

29 212 215

218 221

224 227 230

233 236 239

242 245

248 251 254

257 260 263

80 81 82

83 84 85

86 87

88 89 810

811 812 813

814 815

816 817 818

819 820 821

Martina

Potenze di 2 e di 4

Tutte le potenze di 4 sono anche potenze di 2.Solo le potenze di 2 con esponente pari sono anche potenze di 4.Per ricavare una potenza di 4 a partire da una potenza di 2 bisogna dividere per 2 l'esponente.es. 43 = 26 perché 43 = (22)3 = 26

Potenze di 2 e di 8

Tutte le potenze di 8 sono anche potenze di 2.Solo le potenze di 2 con esponente multiplo di 3 sono anche potenze di 8.Per ricavare una potenza di 8 a partire da una potenza di 2 bisogna dividere per 3 l'esponente.es. 83 = 29 perché 83 = (23)3 = 29

Potenze di 4 e di 8

Solo le potenze di 8 con esponente pari sono anche potenze di 4.Solo le potenze di 4 con esponente multiplo di 3 sono anche potenze di 8.Per ricavare una potenza di 8 a partire da una potenza di 4 bisogna dividere per 3 l'esponente e poi moltiplicarlo per 2.es. 84 = 46 perché 84 = (4×2)4 = 44×24 = 44×42 = 46

Valeria

Hanno esposto i materiali: Flavia, Alex, Daria, Olivia, Eleonora, Nimasha, Loubna, Melania, Martina.