Prof. Sergio Baragetti

Progettazione FEM

Perché gli Elementi Finiti

Le teorie classiche della meccanica, studiate nei corsi precedenti,

sono risolutive nella grande maggioranza dei casi: problemi piani,

tridimensionali, sistemi articolati, problemi dinamici, termici,

fluidodinamici…

Tuttavia si incontrano sovente situazioni in cui non è agevole

ricorrere alle teorie analitiche per affrontare i problemi reali:

nonlinearità, gradienti di sollecitazione, fenomeni di interazione fra

diversi elementi ancora non affrontati.

In tutti questi casi, l’approccio analitico non è più sufficiente, e si

rivela necessario un metodo numerico.

Problemi di Contatto

I problemi di contatto fra corpi vengono affrontati in modo

classico per mezzo della teoria di Hertz:

Siamo in grado di valutare l’entità delle pressioni di contatto

fra due corpi, secondo diverse casistiche geometriche

(cilindri, sfere, sfera su piano …).

Contatto

Non sempre le condizioni sono quelle che ci si aspetta di

trovare.

Vi sono casi in cui il contatto è istantaneo, la forza non è

distribuita, o la geometria dell’elemento non consente di

intredurre le semplificazioni desiderate.

Perciò i calcoli condotti soffrono di un alto grado di

approssimazione; il FEM ci permette di studiare gli effetti del

contatto, anche locali, con grande precisione, benché non

siano valide tutte le ipotesi espresse sopra.

Il contatto istantaneo: la pallinatura

Simulazione dell’urto fra la sfera e la superficie

Pallinatura: deformazione residua

Pallinatura: deformazione residua

Pallinatura: distribuzione di sforzi

Pallinatura: distribuzione di sforzi

Conferme sperimentali

La superficie di un elemento meccanico pallinato mostra la presenza di cavità micro-

scopiche analoghe a quelle che riscontriamo sul modello; la distribuzione di

sollecitazioni residue segue altrettanto bene le predizioni numeriche.

Simulazione del serraggio di connessioni filettate

Simulazione impatto autoveicolo

Il contatto su superfici infinitesime: le cricche

Simulazione di un modello di piastrina

con ricopertura superficiale, soggetto a

frattura superficiale nella zona di

maggiore infittimento degli elementi.

Il contatto su superfici infinitesime: le cricche

Il contatto su superfici infinitesime: le cricche

Effetti di bordo: il Recipiente in pressione

Spessore uniforme

Pressione uniforme

Carico perfettamente assialsimmetrico, non dipendente

dalla coordinata assiale.

2

2

e

2tr

R1

1a

p

Lo studio del recipiente condotto nel corso di Costruzione di

Macchine si fonda sulla semplificazione delle sue

caratteristiche:

In queste condizioni, la distribuzione di sforzi nel fasciame e

nel fondo è nota, e riprodotta da formule semplici:

2

2

e

2rr

R1

1a

p

Recipiente in pressione

s t (MPa)

94

96

98

100

102

104

106

98 100 102 104 106 108 110 112

r (mm)

s r (MPa)

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

98 100 102 104 106 108 110 112

r (mm)

Gli sforzi nel recipiente in pressione

Gli sforzi mostrati dalla simulazione riproducono

l’andamento analitico:

•Il valore massimo (all’interno) è 105 MPa,

•Il minimo (all’esterno) è 95 MPa

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

94 96 98 100 102 104 106

Recipiente in pressione: effetti di bordo

L’indagine analitica parte dalla

soluzione di una equazione

differenziale:

R

Np

R

)x(whE

dx

)x(wdD

dx

d x

22

2

2

2

Tralasciando il dettaglio matematico, si perviene con metodi ben noti alla somma

di un integrale generale dell’omogenea associata, e dell’integrale particolare del-

l’equazione completa; la deformata, w(x), è composta da un termine espansivo, e

uno smorzato, come un’onda di lunghezza d’onda λ.

4

3xsineCD22)x(T

2xsineCD2)x(M

x3

x2

x

Sono le espressioni del momento

flettente e del taglio lungo il

fasciame: come si vede lo sforzo

non è più membranale, ma

flessionale.

Recipiente in pressione: effetti di bordo

La deformazione del

recipiente, come si vede,

risente degli effetti di

bordo; anche gli sforzi ne

sono perturbati.

Sigma T perturbata

75

80

85

90

95

100

105

110

100125150175200225250

Z (mm)

MP

a

Unione col fondo

←

Sigma T

aumenta

Recipiente in pressione: effetti di bordo

-1,20E+01

-1,00E+01

-8,00E+00

-6,00E+00

-4,00E+00

-2,00E+00

0,00E+00

100,0 101,0 102,0 103,0 104,0 105,0 106,0 107,0 108,0 109,0 110,0

sigma X perturb.

sigma X norm.

Simulazione apertura air-bag

Modello di struttura navale

Software commerciali: Abaqus®

È un solutore particolarmente potente per

quanto riguarda i problemi lineari, non lineari,

i problemi plastici ed elasto-plastici.

Richiede una conoscenza particolarmente

approfondita delle tecniche di modellazione, e

delle teorie di base.

Solutori commerciali: Abaqus®

Matematica molto perfezionata, solida

Ricco di elementi, con grande scelta di funzioni di forma

e proprietà

Adatto per problemi strutturali, termici, magnetici

Versatile anche per la fluidodinamica

Richiede un preprocessing avanzato, con interfacce

dedicate.

Non è integrato con un CAD/CAE specifico ma ha

numerosi software di preparazione (Patran, PRO/E,

SolidWorks, Solid Edge, …)

Permette analisi non lineari molto approfondite.

Solutori commerciali: Cosmos®

Software di facile accesso anche a

chi non conosce nel dettaglio le

tecniche di modellazione

Utile per il facile controllo che

consente all’utente sul progetto e

sugli elementi, in particolare per le

proprietà e le funzioni di forma

Adatto per analisi strutturali lineari

e non lineari

I moduli integrativi permettono di

affrontare problemi termici,

fluidodinamici e di vibrazioni

Solutori commerciali: Cosmos®

Integrato con il CAD

SolidWorks®

Integrato con il preprocessor

DesignStar®, che permette di

disegnare le geometrie molto

agevolmente

Come gli altri software,

permette anche un post-

processing avanzato, e

interagisce con Matlab® e

Office®

Solutori commerciali: Ansys®

È uno dei più potenti software

commerciali per il FEA, che

permette di eseguire analisi

statiche e dinamiche.

Consente studi fluidodinamici e

termici.

Le interfacce sono particolarmente

accessibili agli utenti.