Prof. Fernando D’Angelo

Classe 3BS – PNIa.s.2010/2011

Disequazioni di secondo

grado

In questa presentazione verrà mostrato,

ricorrendo ad alcuni esempi,come si risolvono le

disequazioni di 2° gradoed in particolare

come si scrivono le loro soluzioni.

Premessa

Risolvere la disequazione di secondo grado

025102 xx

se si considera la parabola 25102 xxy

equivale ad individuare i punti della parabola

aventi ordinata positiva

Pertanto, nella risoluzione di una

disequazione di 2° grado, si può

ricorrere al grafico “qualitativo”

di una parabola che funga da guida

nella scrittura delle soluzioni.

Nota Bene: Per semplicità grafica, nei grafici che seguono, non verrà

rappresentato l’asse y.

La soluzione di una disequazione, come si vedrà negli esempi, è un sottoinsieme S (proprio o improprio) dell’insieme dei

numeri reali R

Esempio N°1

025102 xx

Consideriamo l’equazione associatacorrispondente

025102 xx

1

Risolviamola con la formula ridotta trovando le radici reali…

1

251255 x

025102 xx

05x

05x

5x 5x

radici reali coincidenti

2

5x

Posizioniamo tale valore sull’asse x

5 x

3

5

Disegniamo la parabola che passaper il punto trovato e,

025101 2 xx

poiché il primo coefficiente a èpositivo,

avente la concavità verso l’alto.

x

4

5

Poiché nella disequazione siamo interessati ai punti della parabola aventi ordinatapositiva,

025102 xx

>0

25102 xxy

x

5

>05

evidenziamo i punti della parabolache hanno ordinata positiva

e proiettiamoli sull’asse x

x

L’insieme S di numeri reali, in cui la disequazione data è soddisfatta, è costituito dai valori reali x tali che:

5

025102 xx

5x 5x

ossia 5RS

x

5

0642 xx

Consideriamo l’equazione associatacorrispondente

0642 xx

Esempio N°2

1

Risolviamola con la formula ridotta trovando le eventuali radici reali…

1

6142 x

0642 xx

22 x

2

non esistono radici reali!!!non esistono radici reali!!!

…pertanto non possiamo posizionare alcuna radice reale sull’asse x!!!!

x

3

Disegniamo una parabola che nonnon interseca l’asse x e,

0641 2 xx

poiché il primo coefficiente a èpositivo,

avente la concavità verso l’alto.

x

4

0642 xx

>0

Poiché nella disequazione siamo interessati ai punti della parabola aventi ordinatapositiva,

522 xxy

x

5

>0

evidenziamo i punti della parabola aventi ordinata positiva

e proiettiamoli sull’asse x

x

0642 xx

ossia R S

….da tutti i numeri reali!

L’insieme S di numeri reali in cui la disequazione data è soddisfatta è costituito da……

x

5

Esempio N°3

01522 xx

Consideriamo l’equazione associatacorrispondente

01522 xx

1

Risolviamola, trovando le eventuali radici reali

1

15111 x

01522 xx

161x

2

41x

5x 3x

3x

Posizioniamo le radici sopra l’asse x

3

5x

5 x

3

5

Disegniamo la parabola che passaper i punti trovati e,

01521 2 xx

poiché il primo coefficiente a èpositivo,

avente la concavità verso l’alto.

3 x

4

01522 xx

<05 3

Poiché nella disequazione siamo interessati ai punti della parabola aventi ordinatanegativa,

1522 xxy

x

<0

evidenziamo i punti della parabola aventi ordinata negativa

e proiettiamoli sull’asse x.

2 3 x

5

3

01522 xx

5

35 x

L’insieme S di numeri reali, in cui la disequazione data è soddisfatta, è costituito dai valori reali x tali che:

cioè 3x5-Rx S

x

6

Esempio N°4

0442 xx

Consideriamo l’equazione associatacorrispondente

0442 xx

1

Risolviamola con la formula ridotta

1

4142 x

0442 xx

02 x

2

02 x

2x 2x

radici reali coincidenti !radici reali coincidenti !

2x

Posizioniamo tale valore sull’asse x.

2 x

3

2

Disegniamo la parabola che passaper il punto trovato e,

0441 2 xx

poiché il primo coefficiente a èpositivo,

avente la concavità verso l’alto.

x

4

Poiché nella disequazione siamo interessati ai punti della parabola aventi ordinatanegativa,

0442 xx

<02

442 xxy

x

5

<0

2

evidenziamo i punti della parabola che hanno ordinata negativa …

non ci sono puntinon ci sono punticon ordinata negativa!!!con ordinata negativa!!!

x

Pertanto l’insieme di numeri reali, in cui la disequazione è soddisfatta è ……

2

0442 xx

ossia S

...l’insieme vuoto!!!!!

x

6

Esempio N°5

042 xx

Consideriamo l’equazione corrispondente

042 xx

1

Risolviamola, trovando le radici

04 xx

042 xx

0x

04 x

0x

4x

2

4x

Posizioniamo le radici sopra l’asse x

4

0x

0 x

3

0

Disegniamo la parabola che passaper i punti trovati e,

041 2 xx

poiché il primo coefficiente a èpositivo,

avente la concavità verso l’alto.

4 x

4

Poiché nella disequazione siamo interessati ai punti della parabola che hanno ordinata positiva oppure nulla,

042 xx

00 4 x

5

evidenziamo i punti della parabola aventi ordinata positiva o nulla e proiettiamoli

sull’asse x

0 4

0

x

L’insieme S di numeri reali, in cui la disequazione data è soddisfatta, è costituito dai numeri reali x tali che:

4

042 xx

0

0x 4x

4x0xRx Sossia

x

6

Esercizi

1 032 xx

2 01272 xx

3 0273 2 xx

4 062 xx

5 0162 x

6 094 2 xx

FINE