Processi Radiativi

Alessandro Marconi

Dipartimento diFisica e Astronomia

Università di Firenze

Appunti per il corso di Astrofisica Relativistica(A.A. 2016/2017), convertiti in LATEX da Marta De SimoneLaurea Magistrale in Scienze Fisiche e AstrofisicheScuola di Scienza Matematiche Fisiche e NaturaliUniversità di Firenze

Dispense e presentazioni disponibili all’indirizzo:http://www.arcetri.astro.it/„marconiContatti: alessandro.marconi@unifi.it

Ultimo aggiornamento: 27 marzo 2017

http://www.arcetri.astro.it/~marconimailto:alessandro.marconi@unifi.it

Capitolo 1Equazioni di Maxwell(cgs)

Come ben sappiamo, le equazioni di Maxwell descrivono il modo in cui il campo elettrico edil campo magnetico interagiscono fra di loro e con oggetti che possiedono carica elettrica;nel Sistema Internazionale assumono la ben nota forma:

$

’

’

’

’

’

’

’

&

’

’

’

’

’

’

’

%

~∇ ¨ ~E “ ρ�0

~∇ ¨ ~B “ 0

~∇ˆ ~B ´ µ0p ~J ` �0B ~EBt q “ 0

~∇ˆ ~E ` B~B

Bt “ 0

(1.1)

dove ~E è il campo elettrico, ~B il vettore di induzione magnetica, ρ la densità di carica,~J la corrispondente densità di corrente che è legata alla densità di carica mediante larelazione ~J “ ρ~v, con ~v velocità media delle particelle cariche. Inoltre �0 è la permittivitàelettrica di vuoto (�0 “ 8.854 ¨ 10´12 C2{Nm´2) e µ0 è la permeabilità magnetica di vuotolegata ad �0 dall’espressione: �0µ0 “ 1{c2.In Astrofisica è molto comune utilizzare il sistema di unità di misura c.g.s, per il quale�0 “ 1{4π e di conseguenza µ0 “ 4π{c2.Questo risultato è una conseguenza del modo di scrivere il modulo della forza di Coulombla quale, nel Sistema Internazionale, assume la forma:

Fcoul “1

4π�0

q1q2r2

(1.2)

mentre nel sistema cgs (o di Gauss):

Fcoul “q1q2r2

(1.3)

da cui, come abbiamo detto �0 “ 1{4π.Da ciò viene anche fuori che l’unità di misura della carica in cgs è l’ElectroStatic Unit :

e.s.u “ 3.3356 ¨ 10´10C “ statcoulomb (1.4)

di conseguenza la carica dell’elettrone è: re´s “ 4.8 ¨ 10´10e.s.u.Detto ciò, si possono ricavare facilmente le equazioni di Maxwell nel sistema cgs, edassumono la forma:

~∇ ¨ ~E “ 4πρ (1.5)

~∇ ¨ ~B “ 0 (1.6)

~∇ˆ ~B ´ 1c

B ~EBt “

4π

c~J (1.7)

~∇ˆ ~E ` 1c

B ~BBt “ 0 (1.8)

Nella forma qui scritta le equazioni sono del tutto generali, poiché esse valgono non solonel vuoto ma anche in presenza di un mezzo materiale pur di introdurre, nella densità dicarica ρ, anche le cariche di polarizzazione e nella densità di corrente ~J , anche le correntidi magnetizzazione e quelle di polarizzazione. Possiamo inoltre notare che le equazioni diMaxwell contengono l’equazione di continuità che esprime la conservazione della caricaelettrica, infatti facendo la divergenza della terza equazione di Maxwell (1.7) e sostituendola prima (1.5) si ottiene:

BρBt `

~∇ ¨ ~J “ 0 (1.9)

1.1 Energia trasportata dal campo elettromagnetico

Supponiamo di avere un sistema di cariche e correnti soggette esclusivamente a interazionidi carattere elettromagnetico, possiamo considerare:

- W: energia meccanica totale per unità di volume;

- u: densità di energia del campo elettromagnetico: u “ 18πpE2 `B2q.

È possibile mostrare come W ed u seguano il cosiddetto Teorema di Poynting che esprimela conservazione dell’energia e secondo il quale:

BBtpW ` uq `

~∇ ¨ ~S “ 0 (1.10)

con S vettore di Poynting, definito: ~S “ c4π

~E ˆ ~B.Questa equazione, detta teorema di Poynting, rappresenta un bilancio energetico per cuila variazione di energia per unità di volume è data dal flusso di energia attraverso unasuperficie unitaria perpendicolare alla direzione di propagazione del campo elettromagne-tico (che è anche la direzione del vettore S). Dunque il modulo del vettore di Poynting |~S|rappresenta la densità di flusso dell’energia del campo elettromagnetico le cui dimensioni

sono un’energia per unità di tempo e superficie.´

|~S| “ ∆ε∆t∆SK

¯

.

1.2 Quantità di moto trasportata dal campo elettro-

magnetico

La distribuzione di carica e di corrente possiede una quantità di moto per unità di volumeche chiamiamo ~Q, per cui vale:

BBtp

~Q`~S

c2q “ ~∇ ¨T (1.11)

con T tensore di Maxwell, definito dall’espressione seguente (con U tensore unitario taleche Uij “ δij)

T “ 14πp ~E ~E ` ~B ~Bq ´ 1

8πpE2 `B2qU (1.12)

L’equazione 1.11 rappresenta un bilancio di impulso: il campo elettromagnetico possiedeuna quantità di moto per unità di volume data da ~S{c2.Inoltre il campo elettromagnetico si comporta come un mezzo materiale elastico soggettoa deformazioni, nel cui interno si sviluppano delle forze descritte dal cosiddetto tensoredegli sforzi. La variazione nell’unità di tempo della quantità di moto contenuta entro unvolume arbitrario è uguale al flusso del tensore -T attraverso una superficie che racchiude ilvolume stesso; dunque se consideriamo una superficie infinitesima dΣ con vettore normaleunitario n̂, possiamo definire il flusso di quantità di moto attraverso la superficie come:

d~F “ ´n̂ ¨TdΣ (1.13)

1.3 Potenziali elettromagnetici

Tenendo presente la seconda equazione di Maxwell (1.6) e ricordando che la divergenza delrotore di un qualsiasi vettore è identicamente nulla, allora possiamo esprimere il vettorecampo magnetico in funzione di un opportuno potenziale ~A detto potenziale vettore:

~B “ ~∇ˆ ~A (1.14)

Sostituendo questo risultato nella quarta equazione di Maxwell (1.8) otteniamo:

~∇ˆ p ~E ` 1c

B ~ABt q “ 0 (1.15)

e ricordando che il rotore del gradiente di un vettore arbitrario è nullo possiamo introdurreil potenziale scalare φ in modo tale che:

~E “ ´~∇φ´ 1c

B ~ABt (1.16)

Sostituendo questi valori di ~E e ~B nelle equazioni di Maxwell non omogenee otteniamodue equazioni indipendenti per ~A e φ:

∇2 ~A´ 1c2B2 ~ABt2 ´

~∇p~∇ ¨ ~A` 1c

BφBt q “ ´

4π

c~J (1.17)

∇2φ´ 1c2B2φBt2 `

1

c

BBtp

~∇ ¨ ~A` 1c

BφBt q “ ´4πρ (1.18)

Esse ci permettono di ricavare ~A e φ (e di conseguenza ~E e ~B) una volta note ρ, ~J e lecondizioni al contorno.Questi potenziali possono essere sottoposti ad un ulteriore condizione supplementare chepermette di semplificare notevolmente le equazioni a cui sono soggetti; infatti esistonodiverse funzioni ~A e φ che danno luogo agli stessi valori per ~E e ~B e sono quelle per cuivalgono queste trasformazioni (trasformazioni di Gauge):

$

&

%

~A0 Ñ ~A1 “ ~A0 ´ ~∇χ

φ0 Ñ φ1 “ φ0 `1

c

BχBt

(1.19)

con χ funzione arbitraria da scegliere arbitrariamente.Una possibile scelta conveniente è trovare una funzione χ che soddisfi questa equazione:

∇2χ´ 1c2B2χBt2 “

~∇ ¨ ~A0 `1

c

Bφ0Bt (1.20)

in modo tale da avere il cosiddetto Gauge di Lorenz, per cui:

~∇ ¨ ~A` 1c

BφBt “ 0 (1.21)

In questo gauge le equazioni per ~A e φ si semplificano notevolmente:

∇2 ~A´ 1c2B2 ~ABt2 “ ´

4π

c~J (1.22)

∇2φ´ 1c2B2φBt2 “ ´4πρ (1.23)

In assenza di cariche libere si può ancora semplificare effettuando una trasformazione digauge mantenendoci nel gauge di Lorenz, per cui, scegliendo χ in modo che soddisfi

1

c

BχBt “ φ0

è possibile far in modo che φ “ 0 e di conseguenza ~∇ ¨ ~A “ 0

1.4 Soluzione generale delle equazioni di Maxwell nel

vuoto

Consideriamo una regione di spazio priva di cariche e di correnti. Abbiamo appena vistoche nel gauge di Lorenz possiamo porre φ “ 0, per cui il campo elettromagnetico restadescritto dal solo potenziale vettore che obbedisce all’equazione 1.22 con ~J “ 0 e con lacondizione supplementare ~∇ ¨ ~A “ 0.Elaborando le equazioni di Maxwell si ottengono le equazioni delle onde per ~E e ~B:

∇2 ~E ´ 1c2B2 ~EBt2 “ 0 (1.24)

idem per ~B.

La generale soluzione di questa equazionepuò essere espressa come sovrapposizionedi onde piane del tipo:

~Ek “ â1Ekeip~k¨ ~r´ωtq

~Bk “ â2Bkeip~k¨ ~r´ωtq

(1.25)

con â1 e â2 versori perpendicolari tra di loroe alla direzione di propagazione; la direzione lungo la quale l’onda piana si propaga è datada n̂ “ ~k{|~k|.

Figura 1.1

Dunque possiamo mostrare che ~B “ n̂ˆ ~E e che | ~B| “ | ~E|.L’energia elettrica e magnetica trasportate dall’onda sono uguali fra loro (in quanto E2 “B2); la densità totale di energia elettromagnetica è data da:

u “ 18πpE2 `B2q “ 1

4πE2 (1.26)

mentre il vettore di Poynting risulta:

~S “ c4π

~E ˆ ~B “ c4πE2n̂ (1.27)

Confrontando le due formule precedenti e ricordando che il modulo del vettore di Poyntingrappresenta l’energia che fluisce per unità di tempo attraverso l’unità di superficie dispostaperpendicolarmente al versore n̂, ne risulta che l’energia si propaga con la velocità c.Per la densità di quantità di moto si ha:

~g “~S

c2“ E

2

4πcn̂ “ u

cn̂ (1.28)

da cui si vede che la densità di quantità di moto è diretta lungo la direzione di propagazionedell’onda ed è pari alla densità di energia divisa per c; questo è un importante risultatoclassico che si traduce in meccanica quantistica nella relazione E “ cp che collega l’energiaE all’impulso p di un fotone.Più in generale, possiamo calcolare il flusso di quantità di moto attraverso una superficie

unitaria dΣ diretta perpendicolarmente alla direzione individuata dal versore arbitrarion̂1 (vedi figura 1.1) Si ha:

~F pn̂1q “ ´n̂1 ¨T “ 14πE2pn̂1 ¨ n̂qn̂ (1.29)

ovvero il flusso è sempre diretto lungo la direzione di propagazione ma contiene il fattoredi proiezione pn̂1 ¨ n̂qn̂ “ cospθq, dove θ è l’angolo tra i due versori.La superficie dΣ assorbe nel tempo dt una quantità di moto data da:

d~q “ ~F pn̂1qdΣdt “ E2

4πcospθqn̂dΣdt (1.30)

Questo trasferimento di quantità di moto si manifesta come una pressione di radiazioneche vale:

Prad “d~q ¨ n̂1

dtdΣ“ E

2

4πcos2pθq “ u cos2pθq (1.31)

mediando sull’angolo solido si avrà: Prad “ u{3Il risultato cos

‘

¨ ottenuto vale per una superficie perfettamente assorbente; nel caso diuna superficie perfettamente riflettente bisogna tener conto che la quantità di moto tra-sferita è doppia, dunque il secondo membro della 1.31 deve essere moltiplicato per unfattore 2.

1.5 Spettro della radiazione

L’onda monocromatica piana, soluzione delle equazioni di Maxwell,è un’idealizzazione percui può descrivere la radiazione emessa in un processo fisico reale solo come caso limite.In realtà il campo elettrico (e di conseguenza il campo magnetico, essendo perpendicolare

e uguale in modulo a quello elettrico) è limitato nel tempo e nello spazio. In generale ~E

sarà caratterizzato da una generica dipendenza temporale del suo modulo: | ~E| “ Eptq,misurabile per un tempo sufficientemente lungo (più grande dei tempi scala di variazionedel campo elettrico).Assumendo che Eptq Ñ 0 per t Ñ ˘8, possiamo valutare la trasformata di Fourier diE(t) nello spazio delle frequenze angolari:

Êpωq “ 12π

ż `8

´8Eptqeiωtdt

con la trasformata inversa:

Eptq “ż `8

´8Êpωqe´iωtdω

Consideriamo ora il flusso di energia (energia per unità di superficie e per unità di tempo)trasportato dalla radiazione elettromagnetica. Se E(t) varia col tempo, anche il flusso dienergia (F) cambia col tempo:

F ptq “ c4πE2ptq (1.32)

dato dal modulo del vettore di Poynting.La quantità totale di energia per unità di superficie attraverso una superficie perpendico-lare alla direzione di moto si ottiene integrando il flusso di energia nel tempo:

F “ż `8

´8F ptqdt “ c

4π

ż `8

´8E2ptqdt

Sfruttando il teorema di Parseval:

ż `8

´8E2ptqdt “ 2π

ż `8

´8|Êpωq|2dω (1.33)

otteniamo:

F “ cż 8

0

|Êpωq|2dω (1.34)

Gli estremi di integrazione sono tra 0 e 8 perché Êpωq “ Êp´ωq˚ (la trasformata di Fou-rier a frequenze negative non contiene ulteriori informazioni rispetto a quella a frequenzepositive).

c|Êpωq|2 è l’energia totale attraverso l’unità di superficie nel range spettrale dω nell’in-tervallo di tempo tra t=´8 a t=`8, mentre |Êpωq|2 è lo spettro della radiazione elet-tromagnetica (ci da informazioni sulla distribuzione dell’energia alle varie frequenze) chedipende dal comportamento della funzione E(t) su tempi molto lunghi e non sul compor-tamento istantaneo.Ovviamente il tempo di osservazione per misurare uno spettro non sarà mai infinito,ma sarà limitato ad un intervallo di tempo τ , detto tempo di campionatura. Dunqueassumendo che τ sia più grande del tempo scala di variazione di E(t), possiamo scrivere:

Êpω, τq “ 12π

ż τ2

´ τ2

Eptqeiωtdt

e di conseguenza anche il flusso totale di energia dipenderà da τ :

Fτ “ cż 8

0

|Êpω, τq|2dω (1.35)

Il flusso totale di radiazione, ovvero la quantità di energia totale nell’unità di superficie edi tempo sarà:

F “ż 8

0

Fωdω “Fττ“ cτ

ż 8

0

|Êpω, τq|2dω (1.36)

dove Fω è il flusso monocromatico definito come la quantità di energia contenuta nell’in-tervallo di frequenza dω che fluisce attraverso la superficie unitaria in un intervallo ditempo unitario.

Fω “c

τ|Êpω, τq|2 (1.37)

1.6 Potenziali ritardati

Come abbiamo visto nel paragrafo 1.3, il campo elettrico ~Ep~r, tq e il campo magneti-co ~Bp~r, tq, nel punto di coordinate ~r e all’istante t, possono essere dedotti, in manieragenerale, a partire dai potenziali elettromagnetici ~Ap~r, tq e ~φp~r, tq tramite le equazioni:

~B “ ~∇ˆ ~A

~E “ ´~∇φ´ 1c

B ~ABt

che nel caso di gauge di Lorenz (1.21), soddisfano le equazioni 1.22 e 1.23. Per trovarela soluzione di questo sistema di equazioni differenziali, è conveniente analizzare primail caso statico. Consideriamo l’equazione statica per il potenziale scalare (l’equazione diPoisson):

∇2φ “ ´4πρp~rq (1.38)

la cui soluzione, considerando V il volume occupato dalla distribuzione di carica ρ, è:

φp~r, tq “ż

V

ρp~r1q|~r ´ ~r1|

d3~r1 (1.39)

Nel caso generale, partendo dall’equazione statica e utilizzando il gauge di Lorenz, èpossibile ottenere che1:

∇2φ´ 1c2B2φBt2 “ ´4πρp~rq

la cui soluzione sarà:

φp~r, tq “ż

V

ρp~r1, t1q|~r ´ ~r1|

d3~r1 (1.40)

dove abbiamo introdotto il tempo ritardato t1 definito come:

t1 “ t´ |~r ´~r1|

c(1.41)

Ciò significa che la distribuzione di carica in tutti i punti ~r1 contribuisce al potenziale φin un tempo t1 antecedente, che è dovuto alla propagazione non istantanea del segnale (iltempo t1 è dato dal tempo t meno il tempo che impiega la luce ad andare dal punto r alpunto r1).Analogamente abbiamo per il potenziale vettore:

Ap~r, tq “ 1c

ż

V

~Jp~r1, t1q|~r ´ ~r1|

d3~r1 (1.42)

φ e ~A cos‘

¨ definiti vengono chiamati potenziali ritardati, e permettono di valutare ilpotenziale di una carica in moto.È possibile verificare che soddisfano la condizione imposta dal gauge di Lorenz1 (1.21).

1per approfondimenti vedi [1], paragrafo 3.1

Capitolo 2Radiazione da cariche in moto

2.1 Potenziali di Liénard-Wiechert

Applichiamo ora le espressioni dei potenziali, trovate per una distribuzione arbitraria dicariche e correnti, al caso particolare di una particella puntiforme di carica e con equazionedi moto data da ~roptq. Per il moto della particella definiamo velocità e accelerazione comedi consueto:

~vptq “ ddt~roptq ~aptq “

d

dt~vptq “ d

2

dt2~roptq (2.1)

Possiamo esprimere la densità di carica e di corrente in funzione della Delta di Diractridimensionale:

ρp~r, tq “ eδp~r ´ ~roptqq ~jp~r, tq “ e~vptqδp~r ´ ~roptqq (2.2)

per cui i potenziali ritardati (1.40,1.42) diventano:

φp~r, tq “ eż

V

δp~r1 ´ ~ropt1qq|~r ´ ~r1|

d3~r1 Ap~r, tq “ ec

ż

V

~vpt1qδp~r1 ´ ~ropt1qq|~r ´ ~r1|

d3~r1 (2.3)

con t1 tempo ritardato definito dalla 1.41.La presenza della funzione Delta di Dirac permette di valutare facilmente questi integrali,grazie ad una nota proprietà:

ż `8

´8fpxqδrgpxqsdx “

Nÿ

i“1fpxiq

1

|g1pxiq|(2.4)

dove xi sono gli zeri della funzione g(x) (gpxiq “ 0) e g1pxq “ dgpxq{dx. Per la Delta diDirac tridimensionale di può generalizzare la relazione:

ż `8

´8fp~r1qδrgp~r1qsd3~r1 “

Nÿ

i“1fp~riq

1

|Jp~riq|(2.5)

con ~ri le N soluzioni dell’equazione vettoriale gp~rq “ 0 e J lo Jacobiano della trasforma-

zione ~r “ gp~r1q, ovvero la matrice Jklp~rq “Bgkp~rqBxl

.

Figura 2.1: I vettori ~v e ~a rappresentano velocità e accelerazione della particella all’i-stante ritardato t1. La traiettoria indicata è quella percorsa dalla particella. Il punto r èil punto in cui si calcola il campo all’istante t.

Dobbiamo ora trovare la soluzione dell’equazione gp~rq “ 0 che sono i punti che annullanol’argomento della Delta di Dirac:

~r1 ´ ~ropt1q “ 0

~r1 ´ ~ro´

t´ |~r ´~r1|

c

¯

“ 0(2.6)

Se la particella carica di muove a velocità v ! c, ho un’unica soluzione a ~r e t fissati; losi può notare in Figura 2.1 Per semplicità indichiamo con ~r1e t1 la posizione e l’istantecorrispondente a questa soluzione.La matrice Jacobiana invece sarà:

Jkl “Bgkp~r1qBx1l

“ BBx1l

!

x1k ´ r~ropt1qsk)

“ δkl ´BBx1lr~ropt1qsk (2.7)

usando l’espressione del tempo ritardato (1.41):

BBx1lr~ropt1qsk “

! BBt1 r~ropt

1qsk) Bt1

Bx1l“ ´vk

c

BBx1l|~r ´ ~r1| (2.8)

dove abbiamo utilizzato l’espressione per la componente k-esima della velocità valutata

all’istante t1: ~vk “BBt1 r~ropt

1qsk.

Per valutare l’ultima derivata poniamo ~R “ ~r ´ ~r1 (dove ~r1 “ ~ropt1q “ px11, x12, x13q), percui:

BRiBx1l

“ ´δil

quindiBR2

Bx1l“ BBx1l

pÿ

i

RiRiq “ ´2Rl

per cuiBRBx1l

“ B?R2

Bx1l“ ´Rl

R“ ´nl

Figura 2.2: Segnali emessi da una sorgente in movimento a tempi successivi; essi sonorappresentati sotto forma di onde sferiche e si infittiscono nella direzione della velocità.Essendo la velocità minore di quella della luce, ogni onda sferica contiene tutte quelleemesse a tempi successivi.

dove abbiamo indicato con nl la l-esima componente del versore n̂ di ~R (n̂ “~R

|~R|). La

matrice Jacobiana sarà infine:

Jkl “ δkl ´!

´ vkcp´nlq

)

“ δkl ´vknlc

o in forma matriciale:

J “

»

—

—

—

—

—

—

—

–

1´ vxnxc

´vxnyc

´vxnzc

´vynxc

1´ vynyc

´vynzc

´vznxc

´vznyc

1´ vznzc

fi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

fl

il cui determinante sarà:

J “ 1´ ~v ¨ n̂c

(2.9)

Sostituendo questi risultati negli integrali contenenti le delta di Dirac si arriva allaseguente espressione per i potenziali:

φp~r, tq “ eκR

~Ap~r, tq “ e~vcκR

(2.10)

dove abbiamo definito κ “ 1´~v ¨ n̂c

e dove tutte le quantità (~v, R, n̂, κ) andranno valutate

all’istante ritardato t’.I potenziali appena trovati sono i potenziali di Liénard-Wiechart.Il coefficiente κ sarà quello che determina la propagazione del segnale, e dunque graziead esso potremo determinare le proprietà di irraggiamento delle cariche in moto. Puòessere utile notare che i segnali emessi da una sorgente in movimento si infittiscono nelladirezione della velocità e si diradano nella direzione opposta (vedi Figura 2.2).Nel caso statico κ “ 1 e il potenziale scalare φ di Liénard-Wiechart si riduce al potenzialedell’elettrostatica (φ “ e{R), mentre il potenziale vettore ~A è nullo (essendo ~v “ 0).

2.2 Campo elettromagnetico di una carica in moto

Il campo elettrico e il campo magnetico dovuti, nel punto di coordinate ~r e all’istante t,ad una particella puntiforme di carica e in moto con legge oraria ~roptq, si ottengono appli-cando ai potenziali di Liénard-Wiechart le equazioni generali che definiscono i potenzialiscalare e vettore:

~Bp~r, tq “ ~∇ˆ ~Ap~r, tq

~Ep~r, tq “ ´~∇φp~r, tq ´ 1c

BBt~Ap~r, tq

(2.11)

I conti possono essere lunghi e noiosi, si possono trovare in appendice A; il risultato è:

~Ep~r, tq “ eκ3R2

p1´ β2qpn̂´ ~βq ` ecκ3R

n̂ˆ rpn̂´ ~βq ˆ 9~βs (2.12)

~Bp~r, tq “ ´ eκ3R2

p1´ β2qn̂ˆ ~β ´ ecκ3R

tn̂ˆ 9~β ` n̂ˆ rn̂ˆ p~β ˆ 9~βqsu (2.13)

dove

κ “ 1´ ~β ¨ n̂ ~R “ ~r ´ ~ropt1q n̂ “~R

|~R|~β “ ~v

c9~β “ ~a

c

con tutte le quantità valutate al tempo ritardato t’.Si può anche verificare che vale la relazione ~Bp~r, tq “ n̂ˆ ~Ep~r, tq.Focalizziamoci sul campo elettrico (analoghe considerazioni possono essere applicate alcampo magnetico). Possiamo scrivere:

~E “ ~ECoulp~r, tq ` ~ERadp~r, tq

ovvero il campo elettrico è la somma di due contributi: la parte Coulombiana il cui mo-dulo è | ~ECoul|9R´2 e la parta Radiativa il cui modulo è | ~ERad|9R´1.Le espressioni per ~E e ~B sono generali ed essendo le equazioni di Maxwell invarianti pertrasformazioni di Lorentz, sono valide anche in un sistema di riferimento inerziale arbi-trario, quindi valide nel caso relativistico anche se sono state trovate in maniera classica.Guardando i due termini notiamo che ~ECoul dipende da ~β mentre ~ERad dipende sia da ~β

che da9~β, dunque questo termine si ha solo se la particella è accelerata!

Facendo il limite non relativistico al primo ordine in β di ritrova la ben nota leggedell’elettromagnetismo valide per fenomeni stazionari.

2.3 Radiazione da una carica in moto

Consideriamo una carica che si muove con velocità costante. Non essendo accelerata ~ERadè nullo, per il cui il campo elettrico sarà dato dal solo termine coulombiano ~Ep~r, tq “ ~ECoul.La velocità della particella è costante e lungo l’asse x la posizione della particella (o della

carica) al tempo t è data da ~roptq. Per valutare ~E abbiamo bisogno della posizione della

carica al tempo t1 “ t´~Rpt1qc

.

Chiamiamo il punto P p~r, tq il punto in cui si vuole misurare il campo elettrico al tempot, ~roptq posizione in cui si trova effettivamente la particella nell’istante in cui valutiamo il

Figura 2.3: Particella carica che si muove a velocità costante lungo l’asse x. Il punto Pè il punto in cui si vuole misurare il campo all’istante t.

campo, ~l il vettore che unisce il punto P alla posizione della particella all’istante t (vedifigura 2.3):

~l “ ~Rpt1q ´ r~roptq ´ ~ropt1qs (2.14)

essendo la velocità costante possiamo scrivere:

~roptq ´ ~ropt1q “ ~v ¨ pt´ t1q (2.15)

inoltre dall’espressione del tempo ritardato (1.41):

t´ t1 “~Rpt1qc

allora, sostituendo nella 2.15 si ha:

~roptq ´ ~ropt1q “ ~v~Rpt1qc

inserendo quest’ultima espressione nella 2.14 troviamo:

~l “ ~Rpt1q ´ ~v~Rpt1qc

“ ~Rpt1qrn̂´ ~βs

Considerando l’espressione del campo elettrico (2.12), valutata nel caso stazionario ab-biamo:

~Ep~r, tq “ eκ3R2

p1´ β2qpn̂´ ~βq

e possiamo notare che il campo ha la direzione del vettore pn̂ ´ ~βq che è proprio quelloche connette il punto P alla posizione vera della particella all’istante t. In altre paroleil termine Coulombiano è diretto dove si trova esattamente la particella, dunque se laparticella si muove di moto rettilineo uniforme le linee di campo sono delle rette. Questirisultati si ottengono indipendentemente dal fatto che abbiamo valutato tutte le quantitàal tempo ritardato t’.Assumiamo ora, come mostrato in figura 2.4, che la particella si muove di moto rettilineouniforme nell’intervallo di tempo ∆t e che viene fermata all’istante t=t0 nella posizionex=0; essendo la situazione statica e il moto rettilineo uniforme le linee di campo sono dellerette. Al tempo t=1 l’osservatore lontano (a distanza L " cpt´ t0q) non sa ancora che laparticella è stata fermata (l’informazione non ha avuto il tempo di raggiungerlo) per cui

Figura 2.4: Rappresentazione grafica del campo di accelerazione 1/R; la particella caricache si muove a velocità costante lungo l’asse x positivo viene fermata a x=0 e t=t0.

Figura 2.5

vede la particella come fosse nella posizione x=1 (posizione in cui sarebbe la particellaall’istante t=1 se avesse continuato il suo moto a velocità costante senza essere fermata),dalla cui posizione partono linee di campo sempre rette.La transizione avviene in una regione a distanza c(t-t0) dalla posizione in cui la particellaè ferma (x=0) con spessore c∆t, con ∆t tempo in cui la particella si è fermata.Se ∆t ! t´ t0 la regione di transizione si “schiaccia” sulla superficie (vedi Figura 2.5) percui il campo elettrico nella regione di transizione è perpendicolare alla direzione radiale einoltre il campo transiente (ovvero il campo elettrico nella regione di transizione) viaggiaa velocità c lungo la direzione radiale, per cui il segnale è quindi un’onda elettromagnetica.Chiaramente l’onda elettromagnetica è dovuta alla decelerazione della particella: l’emis-sione della radiazione è dunque associata all’accelerazione della particella e non alla suavelocità.Tornando indietro all’espressione del campo elettrico (2.12) notiamo che il termine Cou-lombiano proporzionale a R´2 domina a piccoli R, mentre quello di radiazione proporzio-nale a R´1 domina a grandi R. I due termini saranno dello stesso ordine di grandezza perR=Rc, tale che:

e

κ3R2c“ ecκ3Rc

a

c

che vale per Rc “ c2{a.Se L rappresenta la dimensione tipica della regione in cui si muove la carica e τ il tempocaratteristico in cui avvengono variazioni significative del moto possiamo dire che a “L{τ 2, per cui Rc “ c2τ 2{L. La carica stessa irradia a frequenze caratteristiche ν „ 1{τ

e definendo λ la lunghezza d’onda tipica della radiazione irraggiata dalla carica in moto,possiamo porre la distanza critica nella forma:

Rc “c2τ 2

L“ c

2

Lν2“ λ

2

L(2.16)

La regione dello spazio per cui R " Rc viene detta regione di radiazione ed è la regionein cui il contributo radiativo domina il campo elettrico, ovvero la parte che dipende dal-l’accelerazione della particella.Dal punto di vista astrofisico siamo sempre molto distanti dalle sorgenti, quindi saremosempre nel caso in cui domina la componente radiativa; il che permette notevoli sempli-ficazioni. Infatti quando vale la relazione R " L, il moto della particella è trascurabilerispetto alla distanza a cui si trova l’osservatore, per cui t „ t1, ovvero possiamo trascurarel’effetto del tempo ritardato sia sulla distanza R che sul versore n̂.

~Ep~r, tq » ~ERadp~r, tq “e

c2κ3Rn̂ˆ

”´

n̂´ ~vc

¯

ˆ ~aı

R " Rc (2.17)

Il modulo del vettore di Poynting rappresenta la quantità di energia per unità di superficienell’unità di tempo, perpendicolare alla direzione di propagazione e possiamo valutarlocome:

~S “ c4π

~E ˆ ~B “ c4π

~E ˆ pn̂ˆ ~Eq “ c4πE2n̂

Dunque il vettore di Poynting nel punto P è diretto secondo la direzione che va dallacarica al punto P stesso.Consideriamo il caso non relativistico (sfruttando gli invarianti risaliremo poi al casorelativistico).

~β ! 1 κ “ 1´ ~v ¨ n̂c« 1 n̂´ ~β « n̂

Il campo di radiazione sarà dunque:

~Ep~r, tq » ~ERadp~r, tq »e

c2Rn̂ˆ rn̂ˆ ~as “ ´ e

c2Rr~a´ p~a ¨ n̂qn̂s (2.18)

avendo usato la relazione:

~uˆ p~v ˆ ~wq “ p~w ¨ ~uq~v ´ p~v ¨ ~uq~w

Come risulta da questa espressione il campo elettrico è diret-to perpendicolarmente a n̂ e giace nel piano individuato dan̂ e ~a. Se θ è l’angolo tra n̂ e ~a otteniamo:

~E “ ´ ec2R

r~a´ ~a cos θn̂s

per cui:

E2 “ e2

c4R2ra2 ` a2 cos2 θ ´ 2a cos θ p~a ¨ n̂qs “

“ e2

c4R2ra2 ` a2 cos2 θ ´ 2a2 cos2 θs “ e

2

c4R2a2 sin2 θ

Si ha cos‘

¨ per il vettore di Poynting:

~S “ Ac4π

e2

cA43R2a2 sin2 θn̂ “ e

2a2

4πc3R2sin2 θn̂

Figura 2.6: Diagramma di radiazione (o diagramma di antenna) di una particella nonrelativistica. L’accelerazione della particella è diretta lungo l’asse verticale. La potenzaemessa lungo una direzione che forma l’angolo θ con l’accelerazione è proporzionale alsegmento disegnato in figura.

Ricordando che |~S| è la quantità di energia per unità di tempo che attraversa l’unitàdi superficie perpendicolare alla direzione di propagazione, possiamo ricavare la potenzatrasferita come:

dP “ |~S|R2dΩdove R2dΩ è la superficie perpendicolare alla propagazione del campo elettromagneticoattraversata dall’energia. Quindi

dP

dΩ“ |~SR2| “ e

2a2

4πc3sin2 θ (2.19)

è la potenza irraggiata per unità di angolo solido in una direzione. La potenza emessadalla carica in movimento dipende dunque dalla direzione secondo sin2 θ.Possiamo cos

‘

¨ tracciare il Diagramma di Radiazione per una particella non relativisticacome in figura2.6. Notiamo come non ci sia emissione nella direzione dell’accelerazione(θ “ 0), mentre l’emissione è massima nella direzione perpendicolare all’accelerazione.Per trovare la potenza totale della radiazione emessa dalla particella dobbiamo integraresu una sfera di raggio R:

P “ż

4π

dP

dΩdΩ “

ż

R

~S ¨ n̂dΣ

cioè la potenza totale è il flusso del vettore di Poynting attraverso una superficie chiusache contiene la sfera di raggio R scelta centrata sulla particella. In questo caso ~S ¨ n̂ “ |~S|e

P “ż

Σ

|~S|R2dΩ “ż

4π

dP

dΩdΩ “

“ż 2π

0

dφ

ż π

0

dθ” e2a2

4πc3ZZR2sin2 θ

ı

ZZR2 sin θ “

“ e2a2

4πc32π

ż π

0

sin3 θdθ

essendo

ż π

0

sin3 θdθ “ 43

otteniamo:

P “ e2a2

ZaZπ c32ZπA4

3“ 2e

2a2

3c3

Abbiamo ottenuto cos‘

¨, la Formula di Larmor che rappresenta la potenza irraggiata dauna particella non relativistica.

P “ 2e2a2

3c3(2.20)

Alcune considerazioni:

- la potenza è proporzionale al quadrato della carica e dell’accelerazione;

- l’emissione non è isotropa ma ha il profilo caratteristico del dipolo (9 sin2 θ) sen-za emissione nella direzione dell’accelerazione, mentre si ha massima emissioneperpendicolarmente ad essa;

- la direzione istantanea del campo elettrico di radiazione ( ~ERad) è determinata da ~ae n̂. Se la particella è accelerata linearmente (~a ha direzione costante ) la radiazionesarà polarizzata al 100% nel piano (~a,n̂).

2.4 Lo Spettro di radiazione

Considerando il caso non relativistico, abbiamo trovato che il modulo del campo elettricoè dato da:

E “ eac2R

sin θ (2.21)

Cerchiamo di capire qual è la distribuzione in frequenza, ovvero vogliamo trovare lo spettrodi radiazione.Se il modulo del campo varia nel tempo, in modo tale che Eptq Ñ 0 per tÑ ˘8 possiamodefinire la trasformata di Fourier e la sua antitrasformata come:

Êpωq “ 12π

ż `8

´8Eptqeiωtdt

Eptq “ż `8

´8Êpωqe´iωtdω “ eaptq sin θ

c2R

Definiamo il momento di dipolo come ~pptq “ e~r, la cui trasformata di Fourier è:

pptq “ż `8

´8p̂pωqe´iωtdω

che derivata due volte è:

:pptq “ eaptq “ ´ż `8

´8ω2p̂pωqe´iωtdω

per cui, tornando all’espressione del campo, ed utilizzando quest’ultima trovata:

Eptq “ż `8

´8Êpωqe´iωtdω “ eaptq sin θ

c2R“ ´sin θ

c2R

ż `8

´8ω2p̂pωqe´iωtdω

e di conseguenza:

Êpωq “ ´ω2p̂pωqsin θc2R

(2.22)

ovvero abbiamo collegato lo spettro del campo elettrico ~E a quello del dipolo.Il flusso totale di energia per unità di superficie è:

F “ dEdA

“ż `8

´8Fdt “ c

4π

ż 8

´8E2ptqdt “ c

ż 8

0

|Êpωq|2dω

avendo utilizzato il teorema di Parseval.La quantità di energia irradiata per unità di superficie e di banda di frequenza (flussomonocromatico) è:

Fω “dE

dAdω“ c|Êpωq|2 (2.23)

Integrando su una superficie sferica A di raggio R:

dE

dω“ż

A

c|Êpωq|2dA “ż

4π�cω

4|p̂pωq|2 sin2 θ

cA43��R2��R2dΩ “

“ ω4|p̂pωq|2

c3

ż 2π

0

dφ

ż π

0

sin3 θdθ “ ω4|p̂pωq|2

c32π

4

3“ 8π

3

ω4

c3|p̂pωq|2

Abbiamo trovato, nell’approssimazione non relativistica, che lo spettro della radiazioneemessa è proporzionale a ω4|p̂pωq|2:

dE

dω“ 8π

3

ω4

c3|p̂pωq|2 (2.24)

2.5 Sviluppo multipolare nella zona di radiazione

Fino ora ci siamo occupati di trovare le proprietà della radiazione elettromagnetica irrag-giata da una singola carica elettrica in moto arbitrario. Adesso andiamo a considerare ilcaso in cui si abbia un insieme di N cariche elettriche in moto, invece di una sola.Possiamo sfruttare la linearità delle equazioni di Maxwell per generalizzare l’espressionedei campi elettrico e magnetico, valutati al tempo t, come segue:

~Ep~r, tq “Nÿ

i“1

~Eip~r, tq ~Bp~r, tq “Nÿ

i“1

~Bip~r, tq “Nÿ

i“1n̂i ˆ ~Eip~r, tq

dove ricordiamo che per ogni particella vale sempre l’equazione 2.17:

~Eip~r, tq “ei

c2κ3iRin̂i ˆ

”´

n̂i ´~vic

¯

ˆ ~aiı

nella quale tutte le quantità geometriche e dinamiche relative alla particella i-esima,n̂i, κi, Ri, ~vi,~ai devono essere valutati al tempo ritardato della particella medesima, t

1i,

definito come:

t1i “ t´|~r ´ ~ript1iq|

c

essendo ~ript1iq la traiettoria della particella i-esima. In generale ogni particella ha un temporitardato diverso.Consideriamo il caso in cui l’insieme di particelle si trovi in una regione dello spazio didimensioni L, tali che L ! R, dove R è la distanza dal punto in cui si valutano i campi.In queste condizioni possiamo supporre che il versore n̂ e la distanza R siano uguali pertutte le cariche (n̂i » n̂ e ~Ri » ~R). Consideriamo un punto centrale C, con coordinate~rc dell’insieme di cariche, rispetto al quale misureremo le coordinate spaziali delle singoleparticelle. Come mostrato in figura 2.7, definiamo:

~Si “ ~ri ´ ~rc

Figura 2.7: N particelle confinate in una regione di dimensione L. P è il punto in cui sicalcola il campo. C il punto centrale della regione, i una particella i-esima.

e

t1i “ t´|~Ri|c“ t´ |

~R ´ ~Si|c

“ t´ rp~R ´ ~Siqp~R ´ ~Siqs1{2

c“

“ t´ rR2 ` S2i ´ 2~Si ¨ ~Rs1{2

c“ t´ R

c

”

1` S2i

R2´ 2

~Si ¨ ~RR2

ı1{2

essendo R " L e SiR! 1 possiamo sviluppare e fermandoci al primo ordine in S

Rabbiamo:

t1i » t´R

c

´

1´~Si ¨ n̂R

¯

“ t1c `~Si ¨ n̂c

con t1c “ t´R

ctempo ritardato relativo al punto C.

Per avere lo stesso tempo ritardato per tutte le particelle cariche è necessario che il temposcala delle variazioni nel moto delle particelle soddisfi la relazione

τmoto "|~Si ¨ n̂|c

« Lc

La lunghezza d’onda tipica dell’emissione delle particelle sarà

λ « cτ " L

quando λ " L è possibile definire il momento di dipolo elettrico del sistema di particellecariche come

~D “Nÿ

i“1ei~Si

ottenendo l’ordine zero del campo elettrico

~E0p~r, tq “1

c2Rn̂ˆ pn̂ˆ :~Dq

dove tutte le quantità sono valutate al tempo ritardato t1c; si parla di irraggiamento didipolo elettrico. Questa è la stessa espressione ottenuta per la singola particella (2.18 con~p “ e~a), quindi possiamo scrivere la formula di Larmor per la distribuzione di particelle:

P “ 2|:~D|2

3c3(2.25)

Il diagramma di radiazione è esattamente lo stesso di quello trovato per la singola caricanon relativistica (figura 2.6).

Nel caso in cui la distribuzione di particelle è simmetrica | :~D| “ 0, per cui dobbiamosviluppare tenendo in considerazione gli ordini successivi in

´v

c

¯2

,´v

c

¯3

e cos‘

¨ via.

Andando ad ordini più alti dell’espansione sarà possibile definire momenti di ordine piùalto, come il momento di dipolo magnetico, il momento di quadrupolo elettrico, e cos

‘

¨via: si parla appunto di espansione di multipolo.

Capitolo 3Radiazione da cariche relativistiche

3.1 Aberrazione relativistica e effetto Doppler

La teoria della relatività di basa su due postulati:

- Le leggi della natura sono le stesse in due sistemi di riferimento in moto relativouniforme senza rotazione;

- la velocità della luce è la stessa (c) in tutti i sistemi di riferimento.

Consideriamo due sistemi di riferimento K e K1 con una velocità uniforme relativa v lungol’asse x, come mostrato in figura 3.1. Si assume che l’origine sia coincidente al tempo t=0.La relazione tra x,y,z e x1,y1,z1 sono relazionate dalle trasformazioni di Lorentz per qualsiasi~v possono essere scritte come:

$

’

’

’

&

’

’

’

%

t1 “ γ´

t´~β ¨ ~xc

¯

~x1‖ “ γp~x‖ ´ ~βctq~x1K “ ~xK

$

’

’

’

&

’

’

’

%

t “ γ´

t1 `~β ¨ ~x1

c

¯

~x‖ “ γp~x1‖ ` ~βct1q~xK “ ~x1K

(3.1)

γ “ 1a1´ β2

~β “ ~vc

Figura 3.1: Due sistemi di riferimento inerziale con una velocità relativa v lungo l’assex

dove ‖ e K indicano la direzione parallela e ortogonale alla velocità ~v, rispettivamente.Differenziando le trasformazioni di Lorentz (3.1) possiamo risalire alle trasformazioni perla velocità:

$

’

’

’

’

&

’

’

’

’

%

dt “ γ´

dt1 `~β ¨ ~dx

1

c

¯

~dx‖ “ γp ~dx1‖ ` ~βcdt1q

~dxK “ ~dx1K

~u‖ “d~x‖dt

“γpd~x1‖ ` ~βcdt1q

γ´

dt1 `~β ¨ d~x1

c

¯

~uK “d~xKdt

“ d~x1K

γ´

dt1 `~β ¨ d~x1

c

¯

Dunque le componenti parallela e perpendicolare della velocità della particella sono:

~u‖ “~u1‖ ` c~β

1`~β ¨ ~u1

c

~uK “~u1K

γ´

1`~β ¨ ~u1

c

¯ (3.2)

Aberrazione relativisticaAssumiamo che ~u1 e ~β formino un angolo θ’ nel sistema di riferimento comovente;

l’angolo θ tra ~u e ~v nel sistema di riferimento dell’osservatore si ottiene come:

tan θ “ |~uK||~u‖|“ |~u

1K|

��

����

´

1`~β ¨ ~u1

c

¯

¨ ����

���

´

1`~β ¨ ~u1

c

¯

|~u1‖ ` cβ|“ |~u

1K|

γ|~u1‖ ` cβ|

|~u1‖| “ u1 cos θ1 |~u1K| “ u1 sin θ1 |~u1| “ u1

Troviamo cos‘

¨ la formula per l’aberrazione relativistica:

tan θ “ u1 sin θ1

γpu1 cos θ1 ` vq (3.3)

L’angolo θ cambia da un sistema di riferimento all’altro. Per capire il significato fisicodi questa relazione consideriamo il sistema di riferimento comovente K1 dove la particellaemette isotropicamente (cioè fronti d’onda sferici). Il fotone emesso in K1 con θ1 “ π{2,cioè perpendicolarmente alla direzione del moto avrà, ovviamente, |~u1| “ c. Nel sistemadi riferimento K questo fotone si muoverà lungo la direzione che forma un angolo θ conla velocità in modo che (usando la 3.3)

tan θ “ c sinpπ{2qγpc cospπ{2q ` vq “

c

γv

inoltre possiamo trovare che:

sin θ “ tan θ?1` tan2 θ

“ 1γ

Figura 3.2: Beaming relativistico della radiazione emessa isotropicamente nel sistemadi riferimento a riposo K1

Se la particella è ultra relativistica1

γ! 1 per cui sin θ « θ per cui:

θ „ 1γ

γ " 1 (3.4)

Per cui tutto l’emisfero superiore (e/o inferiore) in K1 verrà concentrato in un cono conapertura „ 1{γ attorno alla direzione del moto in K (vedi figura 3.2).

Effetto Doppler relativisticoConsideriamo il sistema di riferimento K dell’osservatore e una particella che emette

una radiazione monocromatica mentre si muove dalla posizione 1 alla posizione 2 (vedifigura 3.3). ∆t è il periodo dell’onda elettromagnetica emessa tra 1 e 2. Nel sistema diriferimento comovente K1 abbiamo:

∆t “ γ∆t1 “ γT 1 “ γν 1

dove ν 1 è la frequenza della radiazione. L’osservatore vede l’emissione lungo una direzioneche forma un angolo θ con la velocità della particella. La radiazione emessa nel punto2 raggiungo l’osservatore con un ritardo pari a d{c rispetto quella emessa nel punto 1 .Quindi la differenza nel tempo di arrivo tra l’impulso in 1 e quello in 2 sarà:

∆tA “´

∆t` Dc

¯

´´D

c` dc

¯

dove la prima parentesi rappresenta il tempo di arrivo dal punto 2, mentre la secondaparentesi il tempo di arrivo dal punto 1 (valutato in t=0). ∆t è il periodo della radiazionenel sistema di riferimento dell’osservatore, D e d la distanza dell’osservatore dal punto 2e dal punto 1 rispettivamente, ∆t1 il periodo della radiazione nel sistema di riferimentocomovente, ∆tA durata della radiazione vista dall’osservatore.

∆tA “ ∆t´d

c

ma per come è definito d “ l cos θ “ v∆t cos θ per cui

∆tA “ ∆t´

1´ vc

cos θ¯

“ ∆tp1´ β cos θq

Figura 3.3: Geometria per l’effetto Doppler

La frequenza osservata sarà:

ν “ 1∆tA

“ 1∆tp1´ β cos θq “

1

γ∆t1p1´ β cos θq

per cui si ottiene la formula dell’effetto Doppler relativistico

ν “ ν1

γp1´ β cos θq (3.5)

la quale ci dice come cambia la frequenza della radiazione emessa da un sistema di ri-ferimento comovente a quello dell’osservatore. Il termine γ´1 è puramente relativisticoed è legato alla dilatazione temporale, mentre il termine p1 ´ β cos θq è presente anchenell’effetto Doppler classico. Per questo motivo quando l’osservatore è perpendicolare allalinea di vista, cos θ “ 0 (nel caso classico l’effetto Doppler sarebbe nullo) abbiamo effettoDoppler relativistico perché domina il termine in γ ottenendo ν “ ν 1{γ.Nella relazione classica bisogna fare riferimento, oltre alla velocità relativa, anche allavelocità della sorgente e dell’osservatore relativa al mezzo nel quale si propagano le onde;invece in quella relativistica compare solo l’informazione sulla velocità relativa tra sorgen-te e osservatore.Utilizzando la relazione dell’aberrazione relativistica (3.3) e combinandola con quelladell’effetto doppler (3.5) troviamo:

ν “ ν 1γ´

1` vc

cos θ1¯

ν 1 “ νγ´

1´ vc

cos θ¯

(3.6)

3.2 Radiazione da una particella relativistica

Vogliamo ora usare le trasformazioni relativistiche per trovare la radiazione emessa dauna particella che si muove a velocità relativistica. Consideriamo il sistema di riferimentoK1 comovente con la particella, a causa della sua accelerazione la particella non rimane ariposo in questo sistema di riferimento, ma ci sarà un intervallo di tempo infinitesimo ∆tin cui abbiamo la particella che si muove con velocità non relativistica. In quest’ultimosistema di riferimento possiamo usare la formula di Larmor.

La particella in questo sistema di riferimento opportunamente scelto K1 (comovente) emet-te una quantità dw1 di energia nell’intervallo di tempo dt1; nel sistema di riferimento Kabbiamo che dt “ γdt1. La quantità di moto totale dei fotoni d~p1 è nulla perché l’emissioneè simmetrica rispetto la particella, per cui i fotoni emessi in una direzione hanno quantitàdi moto uguale a quella dei fotoni nella direzione opposta; per questo motivo la relazionetrovata per i tempi vale anche per l’energia dw “ γdw1.La potenza irraggiata in K è

P “ dwdt“ γdw

1

γdt1“ dw

1

dt1“ P 1 (3.7)

La potenza irradiata è un invariante di Lorentz, per cui possiamo usare la formula diLarmor:

P 1 “ 2e2

3c3|~a1|2 (3.8)

Di conseguenza anche |~a1|2 è un invariante di Lorentz, vediamo il perché.La quadri-accelerazione aµ “ duµ{dτ è tale che aµuµ “ 0, ma nel sistema di riferimentodella particella abbiamo che uµ

1 “ pc, 0q e aµ1 “ pa10,~a1q per cui la proprietà aµuµ “ 0implica che a10 “ 0. Possiamo dunque scrivere:

aµ1aµ1 “ ´a120 ` ~a1 ¨ ~a1 “ ~a1 ¨ ~a1 “ |~a1|2

per cui |~a1|2 è un invariante di Lorentz, perché uguale al modulo della quadri-accelerazione.Possiamo dunque utilizzare la formula di Larmor anche nel sistema di riferimento K,scritta nella forma invariante di Lorentz:

P “ 2e2

3c3aµaµ

Utilizziamo ora il vettore accelerazione classico invece della quadri-accelerazione. Dallarelatività speciale (vedi lezioni del Prof. Del Zanna)1 sappiamo che:

a1‖ “ γ3a‖ a1K “ γ2aK

per cui possiamo scrivere:

P “ P 1 “ 2e2

3c3|~a1|2 “ 2e

2

3c3pa12‖ ` a12Kq

e finalmente otteniamo la formula di Larmor relativistica

P “ 2e2

3c3γ4pa2K ` γ2a2‖q (3.9)

con K e ‖ che si riferiscono alla velocità della particella.Se consideriamo l’espressione completa del campo di radiazione (2.17), trovando il vettore

di Poynting (~S “ c4π| ~E|2n̂) e integrando su una superficie sferica di raggio R centrata

sulla particella (sempre nel caso R " Rc in modo da essere al di fuori della regione diCoulomb) otteniamo comunque l’espressione relativistica della formula di Larmor anchese con molti più calcoli.

Figura 3.4: Geometria della distribuzione angolare della potenza emessa

Distribuzione angolare della potenza emessa e assorbitaNel sistema di riferimento K1, l’energia dw1 è emessa nell’angolo solido dΩ “ sin θ1dθ1dφ1

lungo la direzione che forma un angolo θ1 con la velocità (vedi figura 3.4) Utilizziamo, persemplicità di calcolo, la notazione

µ “ cos θ µ1 “ cos θ1

in modo chedΩ “ dµdφ dΩ “ dµ1dφ1

Il quadrivettore energia-impulso per la radiazione è:

Pα “´W

c, ~p¯

e la sua parte temporale si trasforma (utilizzando la parte temporale delle trasformazionidi Lorentz) come:

P 0 “ Wc“ γ

´W 1

c` ~β ¨ ~p1

¯

che nella forma differenziale è:

dW

c“ γ

´dW 1

c` ~βp1 cos θ1

¯

(3.10)

con p1 che rappresenta il momento della radiazione emessa; non possiamo più assumere chequesta sia nulla in media, perché siamo interessati alla radiazione emessa in una direzioneben precisa, per cui non stiamo considerando tutto lo spazio 4π ma una porzione benprecisa individuata dalla direzione considerata. Dunque, essendo p1 il momento dellaradiazione abbiamo:

p1 “ dW1

c

Per cui, sostituendo nella trasformazione della parte temporale del quadrivettore energiaimpulso (3.10) abbiamo:

dW “ γp1` βµ1qdW 1

che rappresenta la quantità di energia trasportata dai fotoni in una direzione ben precisa.Avevamo trovato, dall’aberrazione relativistica (3.3):

tan θ “ u1 sin θ1

γpu1 cos θ1 ` vq1vedi Appendice B

ma, parlando di fotoni, abbiamo u1 “ c, per cui:

tan θ “ sin θ1

γpcos θ1 ` vcq

usando le relazioni trigonometriche possiamo ricavare il cos θ:

cos θ “ 1?1` tan2 θ

“ 1d

1` sin2 θ1

γ2pcos θ1 ` vcq2

“ 1d

1`p1´ cos2 θ1qp1´ v2

c2q

pcos θ1 ` vcq2

“

“cos θ1 ` v

c

1` vc

cos θ1

e utilizzando la notazione scelta:

µ “ µ1 ` β

1` βµ1 Ñ dµ “dµ1

γ2p1` βµ1q2 (3.11)

Per la simmetria rotazionale attorno a ~v ho che dφ “ dφ1, per cui:

dΩ “ dΩ1

γ2p1` βµ1q2

che combinato con la trasformazione di dW implica:

dW

dΩ“ γp1` βµ

1qdW 1dΩ1

γ2p1`βµ1q2“ γ3p1` βµ1q3dW

1

dΩ1

La potenza emessa in K1 nell’unità di angolo solido dΩ1 è semplicemente:

dP 1

dΩ1“ dW

1

dΩ1dt1

come scegliere l’intervallo di tempo dt1? In K ho due possibili scelte:

- dt “ γdt1 rappresenta l’intervallo di tempo in cui l’emissione ha luogo nel sistemadi riferimento K; mi permette di valutare la Potenza emessa (Pe) in K.

- dtA “ γp1 ´ βµqdt1 rappresenta l’intervallo di tempo in cui la radiazione è ricevu-ta da un osservatore fermo in K. p1 ´ βµq è il fattore di ritardo dovuto al motodella sorgente; è semplicemente l’espressione dell’effetto Doppler che ci permette divalutare la Potenza ricevuta (Pr) in K.

Possiamo notare che:ż

dPedΩ

dΩ “ż

dPrdΩ

dΩ “ P

con P data dalla formula di Larmor relativistica. Dalla 3.11:

µ “ µ1 ` β

1` βµ1

Possiamo ricavare µ1:

µ1 “ µ´ β1´ βµ Ñ 1` βµ

1 “ 1` β µ´ β1´ βµ “

1

γ2p1´ βµq

noto ciò, possiamo valutare le due espressioni della potenza:

dPedΩ

“ dWdΩdt

“ γ3p1` βµ1q3dW 1

dΩ1γdt1“ γ2p1` βµ1q3dP

1

dΩ1“ 1γ4p1´ βµq3

dP 1

dΩ1

dPrdΩ

“ dWdΩdtA

“ γ3p1` βµ1q3dW 1

dΩ1γp1´ βµqdt1 “ γ4p1` βµ1q4dP

1

dΩ1“ 1γ4p1´ βµq4

dP 1

dΩ1

Possiamo avere delle differenze sulla parte angolare, ma mediando su tutto l’angolo solidosvaniscono.Quale espressione dovremmo usare?Pr è la potenza misurata dall’osservatore, quindi sarà la nostra prima scelta. Inoltre, afavore di Pr c’è il fatto che la trasformazione inversa può essere ottenuta invertendo levariabili del Sistema di riferimento K1 con le altre e cambiando segno a β. Per cui d’orain poi useremo P “ Pr.

Come abbiamo già notato l’aberrazione relativistica concentra l’emissione lungo la di-rezione del moto.

µ “ cos θ « 1´ θ2

2per θ „ 1

γ! 1

β “´

1´ 1γ2

¯1{2« 1´ 1

2γ2

1

γ4p1´ βµq4 «1

γ4

˜

1´´

1´ 12γ2

¯´

1´ θ2

2

¯

¸4 «

« 1

γ4

˜

1´ 1` 12γ2

` θ2

2` θ

2

4γ2

¯

¸4 «˜

2γ

1` γ2θ2

¸4 (3.12)

Quest’ultima funzione è fortemente piccata per θ “ 0 e con una scala angolare pari a 1{γ,in accordo con quanto detto prima.Nel sistema di riferimento K1 la particella è non relativistica e la sua emissione è (comevisto nella 2.19):

dP 1

dΩ1“ e

2a12

4πc3sin2 Θ1

Figura 3.5: Geometria per l’emissione dipolare da una particella istantaneamente ariposo

dove Θ1 è l’angolo tra l’accelerazione e la direzione di emissione, come abbiamo vistoprecedentemente. Avevamo anche trovato che:

~a1 “ ~a1‖ ` ~a1K ~a1‖ “ γ3~a‖ ~a1K “ γ2~aK

a12 “ a12‖ ` a12K “ γ4pγ2a2‖ ` a2Kq

per cui

dPrdΩ

“ 1γ4p1´ βµq4

dP 1

dΩ1“ e

2

4πc3γ4pγ2a2‖ ` a2Kqγ4p1´ βµq4 sin

2 Θ1

Ricaviamo cos‘

¨ la potenza ricevuta in funzione dell’angolo solido:

dPrdΩ

“ e2

4πc3pγ2a2‖ ` a2Kqp1´ βµq4 sin

2 Θ1 (3.13)

Dobbiamo ora mettere in relazione Θ1, angolo tra l’accelerazione ~a1 e la direzione del-l’emissione n̂, con θ, angolo tra la velocità della particella ~v e n̂. (I vari angoli sonoschematizzati in figura 3.5). In generale questo è un problema abbastanza complesso, percui consideriamo alcuni casi particolari:

1) ~a ‖ ~v ñ Θ1 “ θ1

µ “ µ1 ` β

1` βµ1 Ñ cos θ “cos θ1 ` β

1` β cos θ1

Figura 3.6: In K1 troviamo il diagramma di radiazione per una particella a riposo. InK la distribuzione angolare dlla radiazione emessa da una particella con accelerazioneparallela alla velocità.

da cui:

cos θ1 “ cos θ ´ β1´ β cos θ

sin2 θ1 “ sin2 Θ1 “ 1´ cos2 Θ1 “ 1´ cos2 θ ` β2 ´ 2 cos θβp1´ β cos θq2 “

“ 1` β2 cos2 θ ´�����2β cos θ ´ cos2 θ ´ β2 `�����2β cos θ

p1´ β cos θq2 “

“ p1´ βq2p1´ cos2 θq

p1´ β cos θq2

ñ sin2 θ1 “ sin2 θ

γ2p1´ βµq2

sostituendo quest’espressione in dP {dΩ in 3.13 e tenendo in considerazione che aK “0 otteniamo:

dP‖dΩ

“ e2

4πc3a2‖

sin2 θ

p1´ β cos θq6 (3.14)

Il diagramma di radiazione nei due sistemi di riferimento K e K 1 è quello riportatoin figura 3.6. Possiamo notare che il diagramma di radiazione in K’ viene distortoin K dall’aberrazione relativistica che fa s

‘

¨ che l’emissione si pieghi nella direzionedel moto.

2) ~a K ~v~a1 “ î1 prendendo î1 lungo ~a1, ~v ‖ ~k

n̂ “ sin θ1 cosφ1̂i1 ` sin θ1 sinφ1ĵ1 ` cos θ1k̂1

cos Θ1 “ n̂ ¨ ~a1

|~a1| “ n̂ ¨ î1

otteniamo:cos Θ1 “ sin θ1 cosφ1

essendo φ “ φ1

sin2 Θ1 “ 1´ cos2 Θ “ 1´ sin2 θ cos2 φ

γ2p1´ βµq2

per cui, ricordando che a‖ “ 0, dalla 3.13

dPKdΩ

“ e2a2K

4πc31

p1´ βµq4”

1´ sin2 θ cos2 φ

γ2p1´ βµq2ı

(3.15)

Figura 3.7: In K1 troviamo il diagramma di radiazione per una particella a riposo. InK la distribuzione angolare dlla radiazione emessa da una particella con accelerazioneperpendicolare alla velocità.

Per un angolo φ fissato abbiamo i diagrammi di radiazione mostrati in figura 3.7.

3) Nel limite ultra relativistico (γ " 1), p1´βµq è piccolo e di conseguenza la radiazioneè fortemente piccata nella direzione del moto. Possiamo vedere che (dalla 3.12):

1´ βµ « 1` γ2θ2

2γ2

sostituendolo nelle espressioni appena trovate:

dP‖dΩ

“16e2a2‖πc3

γ10γ2θ2

p1` γ2θ2q6

dPKdΩ

“ 4e2a2Kπc3

γ21´ 2γ2θ2 cos 2φ` γ4θ4

p1` γ2θ2q6

(3.16)

queste espressioni dipendono da θ solo attraverso il termine γθ; il picco dell’emissionesi ha quando θ „ 1{γ che è il risultato dell’aberrazione relativistica.

Intensità specificaPer concludere, vediamo come varia l’intensità specifica della radiazione dal sistema di

riferimento K1 a quello K.Prima però, troviamo come varia l’elemento di volume nello spazio delle fasi. Consideria-mo un gruppo di particelle nel sistema di riferimento comovente K1; l’elemento di volumenel quale si trovano le particelle sarà dato da d3~x1d3~p1 con:

d3~x1 “ dx1dy1dz1 (spazio)d3~p1 “ dp1xdp1ydp1z (impulso)

d3~x1 e d3~p1 sono infinitesimi, quindi le particelle hanno posizione e impulsi ben definiti,per cui, al primo ordine, la variazione di energia è nulla: dW 1 “ 0 ñ dp1o “ 0. Questoperché, valutando l’energia totale abbiamo:

W 12 “ m2oc4 ` c2|~p1|2

considerando ~p1 “ ~p1m`∆~p1 con ~p1m la quantità di moto media, abbiamo al primo ordine

W 12 “ m2oc4 ` c2p|~p1m|2 ` 2~p1m ¨∆~p1q

avendo trascurato il termine al second’ordine |∆~p1|2. Il secondo termine (~p1m∆~p1) puòessere trascurato se il volumetto considerato è molto piccolo.Assumiamo ora che l’osservatore abbia velocità β rispetto K1 e assumiamo che il motoavvenga lungo l’asse x. Consideriamo d3~x l’elemento di volume visto dall’osservatore; ilmoto è lungo l’asse x, per cui dy “ dy1, dz “ dz1 e dx “ γ´1dx1 in modo che

d3~x “ γ´1d3~x1

Consideriamo d3~p che trasforma come un quadrivettore, per cui

dp1ydp1z “ dpydpz

dpx “ γpdp1x ` βdp10q

ma finché l’energia della particella rimane la stessa nel sistema di riferimento a riposodp10 “ 0

dpx “ γdp1xd3~p “ γd3~p1

L’elemento di volume nello spazio delle fasi

dV “ d3~xd3~p “ γ´1d3~x1γd~p1 “ d3~x1d3~p1 “ dV 1

è un invariante di Lorentz!Non facendo riferimento alla massa della particella, questo è vero anche per i fotoni.Un altro invariante è il numero di fotoni nell’elemento di volume nello spazio delle fasi(essendo una quantità numerabile), e quindi di conseguenza, la densità nello spazio dellefasi è invariante, ed è definita come

f “ dNdV

essendo il rapporto di due quantità invarianti.Possiamo usare queste due invarianze per valutare come cambia l’intensità specifica dellaradiazione, passando da un sistema di riferimento all’altro.Possiamo definire l’intensità specifica della radiazione Iν , considerando una superficie dAKed un angolo solido dΩ tramite

dE “ IνdνdtdAKdΩ

ma nello stesso tempo:dE “ uνdνdV dΩ

con uν densità di energia per unità di angolo solido. Consideriamo un elemento di volumecilindrico di sezione dAK che conterrà tutti i fotoni passanti per dAK, esso sarà dV “dAKcdt per cui:

dE “ uνpΩqdνdAKcdtdΩconfrontando le due espressioni di dE abbiamo

Iν “ uνpΩqc

Sfruttiamo ora gli invarianti dV , elemento di volume nello spazio delle fasi, e f, densità difotoni con frequenza ν nello spazio delle fasi.

dE “ hνdN “ hνfdV “ hνfd3~xd3~p “ hνfdV p2dpdΩ

ma possiamo anche scrivere

dE “ uνpΩqdΩdνdV “IνcdΩdνdV

uguagliando le due espressioni:

Iνc��dΩdν��dV “ hνf��dV p2dp��dΩ

sappiamo che p “ hνc

e di conseguenza dp “ hcdν, allora

Iνc��dν “ hνf

h2ν2

c2��dν

f “ c2

h4Iνν3

essendo f un invariante di Lorentz, allora la quantitàIνν3

è un invariante di Lorentz!

Essendo ν 1 “ νγp1´ β cos θq

Iνν3“ I

1ν

ν 13“ I

1ν

ν3γ3p1´ β cos θq3

da cui otteniamo

Iν “I 1ν

γ3p1´ β cos θq3 (3.17)

con θ angolo tra la velocità e la direzione su cui misuriamo ν (ovvero la direzione dipropagazione della radiazione).

Capitolo 4Bremsstrahlung

La radiazione emessa in seguito all’iterazione di due particelle cariche, di cui una è ac-celerata nel campo Coulombiano dell’altra, è nota come emissione Bremsstrahlung o freefree.Una trattazione completa di questo tipo di emissione richiede l’elettrodinamica quanti-stica affinché venga prodotto un fotone di energia comparabile con quella della particellache lo emette (E „ mc2). Tuttavia, la trattazione classica è corretta in molti casi e laformula che si ottiene ha la forma funzionale corretta, per cui faremo inizialmente un’a-nalisi classica e introdurremo i risultati quantistici come correzioni alla formula classica,i cosiddetti fattori di Gaunt.Cominciamo, dunque, col trattare il caso classico non relativistico.L’emissione Bremsstrahlung di due cariche uguali (e-e, p-p) è zero nell’approssimazionedipolare perché

~p “ÿ

i

ei~ri “ ep~r1 ` ~r2q9e~rCM

quindi ~p è proporzionale a ~rCM che è una costante del moto. Per cui, ricordando che lapotenza emessa è data da P9|:p|2 e che, nel caso di due cariche uguali, :p “ 0, l’emissioneè debole poiché bisogna considerare i momenti di ordine superiore. Per questo motivodobbiamo prendere in considerazione due particelle diverse (e-p, p-i).L’emissione Bremsstrahlung per le collisioni elettrone-ione vede gli elettroni come i prin-cipali radiatori, infatti considerando l’accelerazione relativa abbiamo

~a “~F

m9 em

da cui possiamo dire che l’accelerazione di un elettrone è maggiore di quella dello ione(essendo mi " me); è dunque legittimo schematizzare il problema come un elettrone inmoto nel campo elettrico di uno ione statico.

4.1 Emissione di un elettrone con singola velocità

Supponiamo che gli elettroni, liberi dallo ione, si muovano con velocità tale che la lorotraiettoria dia una linea retta (o meglio, che la deflessione dovuta all’interazione con loione sia molto piccola e trascurabile). Si parla di Small Scattering Angle Regime (regimedi piccolo angolo di scattering), ed è analogo al caso di interazione debole per le dinamichestellari.

Figura 4.1: Elettrone di carica e che si muove accanto uno ione di carica Ze

Questa semplificazione non è richiesta per calcolare l’emissione, ma semplifica di moltol’analisi e fornisce un risultato nella corretta forma funzionale (la giusta correzione verràpoi data dai fattori di Gaunt).Consideriamo un elettrone di carica e che si muove accanto uno ione di carica Ze (come

in figura 4.1), il momento di dipolo dell’elettrone è:

~p “ ´e~R :~p “ ´e 9~v “ ´e~a

Sappiamo che

:~pptq “ ´ż `8

´8ω2~̂ppωqe´iωtdω

e facendo l’antitrasformata

´ω2~̂ppωq “ 12π

ż `8

´8

:~pptqeiωtdt “ ´ e2π

ż `8

´8

9~vptqeiωtdt

è facile derivare l’espressione di ~̂ppωq nel limite asintotico di basse o alte frequenze.Per prima cosa notiamo che l’elettrone interagisce con lo ione per il tempo di collisioneτ “ b{v.Quando ωτ " 1 l’esponenziale eiωt oscilla più rapidamente di quanto varia l’accelerazionee l’integrale sarà molto piccolo (o nullo); se ωτ ! 1 la funzione oscilla in tempi scalamaggiori dei tempi su cui varia l’accelerazione per cui eiωt „ 1. Possiamo dunque scrivere:

~̂ppωq „

$

’

’

&

’

’

%

e

2πω2∆~v ωτ ! 1

0 ωτ " 1(4.1)

dove ∆~v è la variazione di velocità durante la collisione.Abbiamo precedentemente trovato che l’energia totale irradiata da una particella caricaper unità di superficie e unità di banda di frequenza (2.23) è

F “ dWdA

“ cż 8

0

|Êpωq|2dω

Fω “dW

dAdω“ c|Êpωq|2 (4.2)

quindi, integrando su una superficie sferica di raggio R (distanza osservatore-carica)troviamo

dW

dω“ż

A

c|Êpωq|2dA

usando la relazione per |Êpωq| data dalla (2.22) e sviluppando l’integrale si trova

dW

dω“ż 2π

0

ż π

0

cω4

c4��R2|p̂pωq|2 sin2 θ ��R2 sin θdθdφ “

“ ω4

c3|p̂pωq|22π4

3

dW

dω“ 8π

3

ω4

c3|p̂pωq|2 (4.3)

e nel nostro caso, sostituendo l’espressione di p̂pωq (4.1)

dW

dω“

$

’

’

’

&

’

’

’

%

2�8�π

3

��ω4

c3e2

�4π�2��ω4|∆~v|2 ωτ ! 1

0 ωτ " 1

dW

dω“

$

’

’

&

’

’

%

2e2

3πc3|∆~v|2 ωτ ! 1

0 ωτ " 1

(4.4)

Dobbiamo ora stimare |∆~v|.Se ci mettiamo nel regime di urti deboli, finché la traiettoria è lineare, la variazione divelocità sarà perpendicolare ad essa (la variazione di velocità lungo la traiettoria è nullaper simmetria attorno al punto di minima distanza b).

δvK “FKδt

m

con

FK “ ´Ze2

b2 ` x2 cos θ

cos θ “ bR“ b?

b2 ` x2

assumendo che a t=0 la particella passi da x=0 abbiamo x « vt (il moto medio è rettilineouniforme) per cui:

FK “ ´Ze2

pb2 ` x2qb

pb2 ` x2q1{2 “ ´Ze2b

pb2 ` v2t2q3{2

integrando sul tempo otteniamo:

∆vK “ż `8

´8

FKme

dt “ ´ż `8

´8

Ze2

me

bdt

pb2 ` x2q3{2

Figura 4.2: flusso di elettroni con velocità fissata v attraverso la superficie dAnell’intervallo di tempo dt

utilizzando la sostituzione tanu “ vt{b, differenziando si ha du{ cos2 u “ vdt{b e l’integralediventa:

∆v “ ´ż π

2

´π2

Ze2

me

b

b3p1` tan2 uq3{2bdu

v cos2 u“

´ż π

2

´π2

Ze2

me

cosudu

bvñ

∆v “ ´2Ze2

mebv

Notiamo che la velocità perpendicolare finale è diretta verso il basso. Questo è lo stessorisultato che si trova quando si studiano le collisioni deboli delle stelle.Riprendendo la 4.4:

dW pbqdω

“

$

’

’

’

&

’

’

’

%

2e2

3πc34Z2e4

m2eb2v2

ωτ ! 1

0 ωτ " 1

essendo τ “ b{v possiamo scrivere:

dW pbqdω

“

$

’

’

’

&

’

’

’

%

8Z2e6

3πc3m2eb2v2

b ! vω

0 b " vω

(4.5)

4.2 Emissione da una popolazione di elettroni con

velocità fissata

Consideriamo l’emissione totale di un mezzo con densità ni “ #ioni{cm3 e ne “ #elettroni{cm3,e con gli elettroni che si muovono a velocità fissata v.Il numero di elettroni che fluiscono attraverso la superficie dA (vedi figura 4.2) nell’in-

tervallo di tempo dt è nedV “ nedAdtv, per cui il flusso di elettroni per unità di tempo esuperficie che interagiscono con gli ioni sono quelli contenuti in questo volume

f “ #e´

dAdt“ nev�

�dA��dt

��dA��dt“ nev

Figura 4.3: gli elettroni che fluiscono nella corona circolare sono quello con parametrod’impatto tra b e b+db

Gli elettroni con parametro d’impatto tra b e b+db sono quelli che fluiscono attraversola corona circolare con area 2πbdb. Il numero di collisioni nell’intervallo di tempo dt è

#coll “ f2πbdbdt “ nev2πbdbdt

L’energia totale irradiata nella banda di frequenza dagli elettroni che interagiscono conparametro d’impatto b nell’intervallo di tempo dt è

”dW pbqdω

ı

TOT“ #coll

”dW pbqdω

ı

single“ nev2πbdbdt

”dW pbqdω

ı

single

dove rdW pbq{dωssingle rappresenta il risultato dell’energia irradiata da una singola parti-cella che abbiamo già trovato (4.5). Possiamo ora integrare su b in modo da prendere inconsiderazione tutti i possibili parametri di impatto, e moltiplicando per nidV si prendonoin considerazione tutti gli ioni. Si ottiene cos

‘

¨ l’energia emessa da tutti gli elettroni convelocità fissata v che interagiscono con tutti gli ioni

dW

dω“ nenivdV 2πdt

ż 8

bmin

”dW pbqdω

ı

singlebdb

per b ! v{ω (valore per cui l’energia è non nulla)

dW

dωdtdV“ neniZv

ż 8

bmin

” 8Z2e6

3�π c3m2evA2bA2

ı

2�π ��bdb “

“ 16e6

3c3m2evneniZ

2

ż 8

bmin

db

b

bmin è il minimo valore del parametro di impatto che discuteremo a breve. Intanto pos-siamo notare che abbiamo un vincolo su b, perché questa relazione vale per b ! v{ω, percui dobbiamo tenere conto che b avrà un valore massimo che sarà proprio bmax “ v{ω

dW

dωdV dt“ 16e

6

3c3m2evneniZ

2 ln´bmaxbmin

¯

essendo bmax in un logaritmo, l’eventuale errore che si ha nel considerare bmax “ v{ωsarà piccolo. Notiamo che usare la forma asintotica è giustificato finché uguali intervalliin ln b contribuiscono in maniera uguale all’emissione, inoltre in molti casi l’emissione èdeterminata dal suo limite asintotico a basse frequenze.

Possiamo stimare bmin in due modi.Il primo si ha quando l’approssimazione di moto lineare non è più valida, ovvero quando∆v „ v, per cui

∆v

v“ 2Ze

2

mbv2“ 1

ñ bp1qmin “2Ze2

mv2

che è una trattazione classica semplificata.Il secondo modo prende in considerazione la meccanica quantistica ed è collegato allapossibilità di studiare la collisione in termini di orbite classiche. Dal principio di in-determinazione ∆x∆p Á h̄, se consideriamo ∆x „ b e ∆p „ mv abbiamo mbv Á h̄e

bp2qmin “

h̄

mv

quando bp1qmin " b

p2qmin possiamo utilizzare l’analisi classica e considerare b

p1qmin “ bmin. Questo

accade per

bp1qmin " b

p2qmin Ñ

2Ze2

mv2" h̄mv

Ñ v ! 2Ze2

h̄1

2mv2 ! 1

2m

4Z2e4

h̄2

ricordando che Ry “me4

2h̄2ovvero la costante di Rydberg che corrisponde all’energia di

legame tra gli elettroni e i protoni nell’atomo di idrogeno („ 13.6eV )1

2mv2 ! 4Z2Ry ñ bp1qmin " b

p2qmin

quando questa relazione è verificata (quindi l’energia cinetica è molto minore dell’energiadi legame) possiamo non considerare gli effetti quantistici. Nel caso contrario pmv2{2 "4Z2Ry o b

p1qmin ! b

p2qminq l’analisi classica non è possibile. In ogni caso il giusto ordine di

grandezza può essere ottenuto con bmin “ bp2qmin.In generale il risultato per qualsiasi regime può essere scritto come

dW pv, ωqdωdV dt

“ 16πe6

3?

3c3m2evneniZ

2gffpv, ωq (4.6)

dove gff sono i fattori di Gaunt

gffpv, ωq “?

3

πln´bmaxbmin

¯

i vari valori di gff nei differenti regimi si possono trovare in letteratura; in ogni caso essisono sempre dell’ordine di 1.

4.3 Emissione di una distribuzione termica di elet-

troni

La formula appena ricavata (4.6) è relativa ad elettroni con velocità fissata. Dobbiamoora tener conto della distribuzione di velocità degli elettroni. Nel caso di elettroni termici,

essi sono descritti dalla distribuzione Maxwelliana, la quale è

dP “ fp~vqd3~v9e´E{KTd3~v “ e´mv2

2KT d3~v

se la distribuzione di velocità è isotropa la probabilità di avere particelle a temperaturaT con velocità tra v e v+dv è

dP9v2e´mv2

2KT dv per d3~v “ 4πv2dv

Dobbiamo quindi fare una media pesata sulla distribuzione

dW pT, ωqdV dtdω

“

8ż

0

dW pv, ωqdωdV dt

dP

8ż

0

dP

tuttavia ho dei limiti sui valori che le velocità possono assumere, limite legato alla frequen-za dei fotoni emessi, infatti non posso creare un fotone con energia maggiore all’energiadell’elettrone (ricordiamo infatti che lo ione è fermo), ovvero

hν ď 12mv2

Questo limite inferiore viene denominato Photon discreteness effect ; se non ci fosse questolimite il nostro integrale tenderebbe ad infinito. In velocità questo si traduce in

v ě vmin “c

2hν

m“c

hω

πm

quindi

dW pT, ωqdV dtdω

“

ż 8

?hωπm

dW pv, ωqdωdtdV

v2e´pmv2

2KTqdv

ż 8

0

v2e´mv2

2KT dv

notiamo che il limite inferiore sulla velocità è stato applicato solo al numeratore, perchéal denominatore abbiamo bisogno della probabilità totale; è come porre

dW

dωdtdV“ 0 per v ă

c

hω

πm

il che è sensato poiché al di sotto del limite non ho emissione.Il risultato finale è

dW pT, ωqdV dtdω

“

8ż

?hωπm

16πe6

3?

3c3m2evneniZ

2gffpv, ωqv2e´pmv2

2KTqdv

8ż

0

v2e´mv2

2KT dv

dW pT, νqdV dtdν

“ 25πe6

3mc3

´ 2π

3Km

¯12T´

12Z2nenie

´ hνkT ḡff

sostituendo i valori delle costanti fisiche si trova l’emissività della radiazione di Brems-strahlung (o free free)

�ffν “25πe6

3mc3

´ 2π

3Km

¯12T´

12Z2nenie

´ hνkT ḡff “

“ 6.8 ¨ 10´38T´ 12Z2nenie´hνkT ḡff

(4.7)

con unità erg ¨ cm´3s´1Hz´1 e con ḡffpT, νq i fattori di Gaunt mediati sulla velocità. Ilfattore T´

12 ha origine dalla dipendenza dW {dV dtdω91{v e ă v2 ą 9T 12 , mentre e´ hνKt

viene dal photon discreteness effect e dalla distribuzione Maxwelliana. Avere una singolatemperatura significa assumere che sia presente equilibrio termodinamico.Una formula analitica approssimata per ḡff nei vari regimi in cui dominano gli scattering

a piccoli angoli e quelli a grandi angoli e in cui il principio di indeterminazione (U.P) èimportante nel minimo valore del parametro di impatto, è rappresentata in figura 4.4.Mentre in figura 4.5 troviamo i valori numerici del fattore di Gaunt ḡff. I valori di ḡff peru “ hν{KT " 1 non sono importanti perché lo spettro tende a zero per effetto del fattoreesponenziale e´hν{KT . Avremo che

ḡff „ 1 per u „ 1ḡff „ 1˜ 5 per 10´4 ă u ă 1

per cui una buona stima si ha prendendo ḡff „ 1. Possiamo anche notare che l’emissioneBremsstrahlung ha uno spettro piatto in un grafico log-log fino al limite hν „ KT ;questo è vero per una sorgente otticamente sottile, altrimenti bisognerebbe prendere inconsiderazione anche l’effetto di auto-assorbimento degli elettroni liberi.Per trovare la formula dell’emissione Bremsstrahlung non termica dobbiamo conoscere ladistribuzione di velocità degli elettroni sulla quale poter mediare la formula per le singolevelocità utilizzando gli appropriati fattori di Gaunt.Cerchiamo ora lo spettro totale irraggiato per unità di volume nel caso della distribuzionetermica. Dobbiamo integrare �ffν su tutte le frequenze

�ff “ż

ν

�ffνdν “dW

dV dt“´2πKT

3m

¯12 25πe6

3hmc3Z2neniḡβ “

“ 1.4 ¨ 10´27T 12Z2neniḡβ

in erg ¨cm´3s´1. ḡβ è il fattore di Gaunt mediato su tutte le frequenze e che assume valoritra 1.1˜ 1.5; assumendo che valga 1.2 si commette un errore di „ 20%

4.4 Assorbimento Bremsstrahlung

Quello che abbiamo visto fino ad ora è l’emissione della sorgente. Per trovare lo spettrototale dobbiamo tenere in considerazione gli effetti di auto assorbimento.Abbiamo trovato il coefficiente di emissione della radiazione Bremsstrahlung termica (4.7),vogliamo ora trovare il coefficiente di assorbimento e l’intensità della radiazione emessada una sorgente a temperatura T. Ricordiamo l’equazione del trasporto radiativo:

dIνds

“ ´ανIν ` jν

Figura 4.4: Approximate analytic formulae for the gaunt factor ḡffpν, T q for thermalBremsstrahlung. Here ḡff is denoted by Ḡ and the energy unit is Ry “ 13.6eV . U.P.denoted the uncertainty principle

Figura 4.5: Numerical values of the gaunt factor ḡffpν, T q. Here the frequency variableis u “ 4.8 ¨ 1011ν{T and the temperature variable is γ2 “ 1.58 ¨ 105Z2{T

con αν coefficiente di assorbimento e jν emissività; considerando la profondità otticadτν “ ανds abbiamo

dIνdτν

“ ´Iν ` Sv

dove abbiamo indicato Sν la funzione sorgente e, se la sorgente è in equilibrio termodina-mico, vale la legge di Kirchhoff

Sν “jναν“ BνpT q

dove BνpT q è la funzione di Planck per l’emissione di un corpo nero a temperatura T.Nel caso di emissione Bremsstrahlung termica possiamo scrivere

αffν “jffν

BνpT q

L’emissione free free è isotropa e jν è l’emissività per unità di angolo solido, per cui

�ffν “ 4πjffν ñ jffν “�ffν4π

possiamo cos‘

¨ risalire al coefficiente di assorbimento

αffν “jffν

BνpT q“ �

ffν

4πBνpT q“

“ 14π

25πe6

3mc3

´ 2π

3Km

¯12T´

12Z2nenie

´hν{KT ḡffehν{KT ´ 1

2hv3c2 “

“ 4e6

3mhc

´ 2π

3Km

¯12T´

12Z2neniν

´3p1´ e´hν{KT qḡff

infine

αffν “ 3.7 ¨ 108T´12Z2neniν

´3p1´ e´hν{KT qḡff (4.8)$

’

’

’

&

’

’

’

%

hν

KT" 1 ñ e´hν{KT „ 0 ñ αν9ν´3

hν

KT! 1 ñ appross. Rayleigh-Jeans ñ αν9ν´2

nell’ultimo caso

αffν “ 0.018Z2neniT 3{2ν2

ḡff

Facciamo adesso un’assunzione semplificativa: consideriamo una sorgente con temperatu-ra costante T (in realtà solo localmente posso assumere equilibrio termodinamico perchéla temperatura cambia col raggio). Essendo all’equilibrio termodinamico

Sν “ BνpT q

Se usiamo come parametro la profondità ottica dobbiamo scrivere le condizioni iniziali:τνp0q “ 0 prima della sorgente e τνp2Rq “ τν .

L’equazione del trasporto sarà:

dIνdτν

“ ´Iν ` Sν

eτνdIνdτν

` eτνIν “ Sνeτνż τnu

0

d

dτ 1νpeτ 1νIνqdτ 1ν “

ż τν

0

Sνeτ 1νdτ 1ν

eτνIνpτνq ´����* 0

Iνp0q eτνp0q “ Sνpeτν ´ 1q

Iν “ Sνp1´ e´τν q

avendo tenuto conto che Sν “ BνpT q e non dipende da τν otteniamo cos‘

¨, con τν che èla profondità ottica della sorgente

Iν “ BνpT qp1´ e´τν q

τν “ αν2R “2R

4π

�ffνBνpT q

Quando la sorgente è otticamente sottile (τν ! 1) abbiamo

1´ e´τν « τν ñ Iν „ BνpT qτν “ ����BνpT q�ffν

4π����BνpT q2R “ jffν 2R

e l’intensità della sorgente è semplicemente l’emissività moltiplicata per la dimensionedella sorgente stessa.Quando la sorgente è otticamente spessa (τν " 1) abbiamo:

1´ e´τν « 1 ñ Iν „ BνpT q

ma la condizione τν " 1 implica che hν{KT ! 1, ovvero possiamo affermare che la sor-gente è otticamente spessa nella regione di Rayleigh Jeans, mentre la dipendenza da ν´3

nel termine αν implica che αν è più grande a basse frequenze.Possiamo vedere in figura 4.6 lo spettro della sorgente con i vari contributi. La zona con

log Iν costante in realtà dipende leggermente dalla frequenza a causa dei fattori di gaunt.La condizione τν „ 1 indica la transizione da otticamente sottile a otticamente spesso.Essa corrisponde a αν2R „ 1.Per T e R fissati, aumentando ne e ni aumenta τν e di conseguenza aumenta la frequenzaa cui τν „ 1. Quando tutta la sorgente diventa completamente otticamente spessa l’emis-sione diventa quella di un corpo nero (per τν " 1 abbiamo Iν „ BνpT q). Una volta chela condizione τν " 1 è soddisfatta, stiamo osservando lo strato più esterno della sorgente,quindi aumentando ancora neni non aumenterà oltre Iν (vedi figura 4.7).

4.5 Emissione Bremsstrahlung da sorgenti astrofisi-

che

I processi di emissione che abbiamo discusso generano un “continuo”. Questo è dovuto alfatto che l’emissione da elettroni liberi è per sua natura continua. In realtà gli ioni hanno

Figura 4.6: A sinistra: vari contributi allo spettro Bremsstrahlung. A bassa frequenza,nel regime Rayleigh-Jeans, la sorgente diventa otticamente spessa. Per τν „ 1 si ha latransizione tra otticamente spesso e otticamente sottile.A destra: Intensità Bremsstrahlung per una sorgente di raggio R “ 1015cm e densitàne “ ni “ 1010cm´3 al variare della temperatura; a basse temperature la parte otticamentesottile di Iν è più grande (9T´1{2), anche se I integrato in frequenza è più piccolo (9T 1{2).Diminuendo la temperatura aumenta la frequenza per cui si ha τν „ 1 e l’emissività totaleaumenta.

Figura 4.7: Intensità Bremsstrahlung per una sorgente di raggio R “ 1015cm e tempe-ratura T “ 107K; per semplicità il fattore di Gaunt è stato posto ad uno. La densitàne “ ni varia da 1010cm´3 (curva in basso) fino a 1018cm´3 (curva in alto), aumentandodi un fattore 10 per ogni curva. Si possono notare nelle curve rosse i tre contributi, quellodi autoassorbimento (9ν2), quello piatto e quello esponenziale. Quando la densità cresce,cresce anche la profondità ottica e lo spettro tende a quello di corpo nero (curva nera).

Figura 4.8: Contributo del continuo della radiazione Bremsstrahlung termica, delle lineedi emissione, e della somma delle due componenti come funzione della temperatura in unplasma di tipo solare

molti livelli legati che sono popolati in base a regole ben definite. Le transizioni tra di essigenerano linee di emissione che vengono chiamate radiazione bound-bound. Inoltre la io-nizzazione e la ricombinazione possono produrre emissione free-bound o scalino (“edges”)di assorbimento.Nella figura 4.8 è possibile vedere che le linee di emissione e la loro importanza rispetto

all’emissione del continuo dipendono dalla temperatura.L’energia di ionizzazione del FEXXVI è circa 9 KeV; è la più alta energia di ionizzazioneche ha rilevanza astrofisica a causa dell’abbondanza degli ioni di Ferro rispetto agli ele-menti più pesanti. Inoltre per temperature più alte di KT „ 10KeV p„ 108Kq tutti gliioni sono stati “strappati” dai loro elettroni e l’emissione è puramente continua. Quandola temperatura diminuisce, si ha un aumento degli stati legati e si ha un aumento delcontributo dalle linee di emissione.

Come abbiamo detto si ha anche un contributo di absorption edges e emission edgescausato dalle transizioni free-bound dovuti alla cattura di un elettrone libero (ricombina-zione) o per ionizzazione. Questi edges appaiono nell’andamento della sezione d’urto comescalini (figura 4.9). Il numero di questi scalini dipende dalla ionizzazione degli elementi,mentre la larghezza dall’abbondanza.Analizzando lo spettro di emissione di una nube in equilibrio a temperatura T, tenendo inconsiderazione gli stati legati, ci si rende conto che è estremamente complesso finché biso-gna considerare centinaia di livelli. In nostro aiuto abbiamo un codice di foto-ionizzazionedetto CLOUDY liberamente accessibile a www.nublado.org, che è in grado di analizzarelo spettro di emissione di un gas foto-ionizzato (cioè ionizzato da una sorgente radiativa),ed è in grado anche di analizzare lo spettro di un gas in equilibrio collisionale, cioè un gascon una temperatura data T. In figura 4.10 possiamo vedere lo spettro di emissione di unplasma caldo a diverse temperature. Notiamo che per T „ 108K l’emissione di righe època, se non trascurabile.Due esempi di sorgenti astrofisiche che emettono emissione Bremsstrahlung sono le regioniHII che hanno ne „ 102´103cm´3 con T „ 104K, e i cluster di galassie con ne „ 10´3cm´3e T „ 107 ´ 108K.

Figura 4.9: Sezione d’urto effettiva del mezzo interstellare (sezione d’urto per atomo diidrogeno del mezzo interstellare)Linea continua: componente gassosaLinea tratteggiata lunga: regione HII di una stella B e di una stella OLinea tratteggiata corta: polvere

Figura 4.10: Emissività di un plasma con T “ 106K in verde e T “ 108K in rosso, ana-lizzati con CLOUDY(www.nublado.org) per un gas con Z “ 2Zd, densità nH “ 10cm´3 edensità di colonna NH “ 1021cm´2

Emissione Bremsstrahlung da un cluster di galassieI cluster di galassie sono caratterizzati dalla presenza di un gas caldo intracluster con

temperature dell’ordine di T „ 107´108K (KT „ 1´10KeV ). L’emissione è solitamenteotticamente sottile, per cui

Iν “ BνpT qp1´ e´τν q „ BνpT qτν “�ffν4πL

con L che indica la dimensione del cluster lungo la linea di vista.L’emissione è più o meno regolare, e il gas può essere considerato in equilibrio idrostatico(e con simmetria sferica). Possiamo dunque scrivere

dP

dr“ ´GMprqρ

r2

P “ ρµmH

KT

con µ massa molecolare; per puro idrogeno µ “ 1. derivando la seconda equazione

dP

dr“ KTµmH

ρ

dr` ρKµmH

dT

dr“

“ ρKTµmH

´1

ρ

dρ

dr` 1T

dT

dr

¯

´GMprqρr2

“ ρKTµmH

´1

ρ

dρ

dr` 1T

dT

dr

¯

ñ Mprq “ ´ KTr2

GµmH

”d log ρ

dr` d log T

dr

ı

ricavando ρprq e T prq dallo spettro, utilizzando un modello Bremsstrahlung, possiamoottenere Mprq.Con emissione otticamente sottile

Iν “L

4π�ffν

e troviamo

�ffν “ 6.8 ¨ 10´38Z2neniT´1{2e´hν{KT ḡfferg ¨ cm´3s´1Hz´1

Iν si misura dalle osservazioni, L si stima dalle dimensioni del cluster osservato. �ffν è noto

e in questo regime

ḡffpν, T q “?

3

πln´KT

hν

¯

con T che può essere misurato in ogni punto tramite un fit dello spettro della sorgente.Inoltre in questo caso T non è necessariamente costante ma varia col raggio, per cuil’intensità I deve essere integrata lungo la linea di vista.La brillanza superficiale a distanza a dalla centro del cluster è:

Iνpaq “1

2π

ż 8

a

�ffνprqrpr2 ´ a2q1{2dr

(4.9)

che è l’equazione di Abel, un’equazione integrale con soluzione

�νprq “4

r

d

dr

ż 8

r

Iνpaqapa2 ´ r2q1{2da

quindi dal profilo di brillanza superficiale osservata possiamo ottenere �ffν e di conseguenzaneni. Finalmente possiamo cos

‘

¨ derivare M(r) trovando, come ben sappiamo, che il 90%è dark matter.

Cooling FlowsSe la densità del gas intra-cluster è abbastanza alta, il gas può raffreddarsi in tempi

scala cosmologici. Se il gas emette radiazione perde energia e quindi si raffredda; ad altetemperature il tipico meccanismo è quello Bremsstrahlung, per cui

�ff “ dWffdtdV

“ 1.4 ¨ 10´27T 1{2neniZ2ḡff erg ¨ cm´3s´1

Se il plasma è completamente ionizzato e assumiamo che il gas