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Capitolo 16Le fluttuazioni della radiazione cosmica difondo

Lo spettro di potenza delle fluttuazioni della radiazione cosmica di fondo (CMB) e le sueproprieta di polarizzazione forniscono dei vincoli ai parametri cosmologici ed alla forma-zione delle strutture. Adesso il nostro scopo e quello di collegare i modelli di formazionedelle strutture con le tracce che lasciano sulla CMB.

Combinando le osservazioni della CMB, la struttura a grande scala delle galassie ele supernovae Ia e possibile vincolare i parametri cosmologici al meglio del 10% e conle recenti osservazioni di Planck e stato possibile raggiungere un’accuratezza del „ 1%.Questo permette di parlare di “precision cosmology” rispetto a quando le incertezze suiparametri cosmologici erano dell’ordine di un fattore „ 2.

Ovviamente la teoria deve essere piu accurata delle osservazioni e questo comportaun’analisi complessa che e ben oltre lo scopo del corso: l’analisi completa prevede lasoluzione numerica delle equazioni di Einstein della Relativita Generale, dell’equazionedi Boltzmann e delle equazioni fluide. Quest’analisi si puo fare accuratamente con codicinumerici pubblici come CMBFAST e CAMB che permettono di avere le predizioni delmodello preferito di formazione delle strutture. Nel nostro caso ci limiteremo ad un’analisisemplice per capire la fisica che e alla base dei risultati numerici.

La prima cosa importante da analizzare e lo stato di ionizzazione del gas nell’epocadella ricombinazione ovvero nell’epoca in cui l’universo ha effettuato la transizione dacompletamente ionizzato a completamente neutro.

16.1 Lo stato di ionizzazione del gas intergalattico

durante l’epoca della ricombinazione

Abbiamo trovato che per z " 1,Ω0z " 1 la profondita ottica per scattering Thomson delgas totalmente ionizzato e data dalla ??:

τ » 0.036Ωb

Ω120

hz32

ovvero per Ω0 “ 0.3, Ωb “ 0.04, h “ 0.7 si ha

τ » 1.8ˆ 10´3z32

2 Le fluttuazioni della radiazione cosmica di fondo

cioe τ » 110 per z “ 1500. Tutto quello che avviene quando il gas e ionizzato va persoperche i fotoni subiscono molti scattering e perdono “memoria” delle loro condizioni fisicheiniziali. La radiazione della CMB che vediamo proviene da piccole regioni in z in cui siha τ » 1 ovvero dalla superficie di ultimo scattering (in modo analogo alla fotosfera diuna stella).

A questo punto dobbiamo conoscere l’intervallo di redshift ∆z in cui e avvenuto l’ul-timo scattering dei fotoni poiche quello rappresenta la porzione di universo che vediamocon la CMB.

La probabilita che un fotone che osserviamo adesso abbia subito uno scattering tra ze z ` dz e data da

dP “ e´τpzqdτ

definiamo la funzione di visibilita vpzq tale che

dP “ vpzqdz “ e´τpzqdτ “ e´τpzqdτ

dzdz

ovvero si ha

vpzq “ e´τpzqdτ

dz

Il processo di ricombinazione non e istantaneo per vari motivi:

• le ricombinazioni al livello n “ 1 dell’atomo di idrogeno creano fotoni che re-ionizzano gli atomi di H appena formati:

• le ricombinazione ai livelli n ą 1 vanno a popolare il livello n “ 1 (2S o 2P ); se c’eil decadimento diretto dal livello 2P si crea un fotone Lyα che viene riassorbito po-polando nuovamente il livello n “ 1; in conclusione c’e una significativa popolazionedel livello n “ 1 da cui l’atomo di H puo essere ionizzato in quanto ci sono ancorafotoni sufficientemente energetici;

• se dal livello n ą 1 c’e una caduta diretta al livello fondamentale si genera unfotone Lyman che puo venire a sua volta riassorbito ripopolando il livello con nalto; l’atomo di H puo essere ionizzato a partire da questo livello poiche, comedetto, esistono ancora fotoni sufficientemente energetici;

• l’unico modo di decadimento che non porta ad una ionizzazione e la transizioneproibita da 2S a 1S; e una transizione di quadripolo a due fotoni la cui energiatotale e pari a quella del fotone Lyα; contrariamente al fotone Lyα la loro profonditaottica e molto piccola e quindi non interagiscono con gli atomi di H in quanto nonhanno energia sufficiente a ionizzare ne’ tantomeno a far fare la transizione tra illivello 1 ed il 2.

Quindi, il processo che determina la ricombinazione e il decadimento 2S Ñ 1S che peroha una probabilita molto piccola con A “ 8.23 s´1.

Come si vede in figura 16.1 il massimo della funzione di visibilita (che, ricordiamo,rappresenta la probabilita che il fotone abbia avuto l’ultimo scattering tra z e z ` dz) siha per zmax » 1090; la larghezza a meta altezza (ovvero quando si raggiunge il 50% delpicco) si ha per z “ 1178 ˜ 983 ovvero ∆z “ 195. Per il nostro modello di riferimentoquesti valori corrispondono a t “ 370, 000 yr pzmaxq e t “ 320, 000˜ 440, 000 yr p∆zq.

16.2 Scale fisiche e angolari delle fluttuazioni 3424 15 Fluctuations in the Cosmic Microwave Background Radiation

Fig. 15.1. a Ionisation fraction xe = Ne/NH as a function of redshift z for the WMAPconcordance values for cosmological parameters. b Visibility function v(z) = e−τ dτ/dznormalised to unity at maximum (Chluba and Sunyaev, 2006)

15.2 The Physical and Angular Scales of the Fluctuations

It is helpful to begin by listing the various scales and dimensions which will appearin the analysis which follows. For the sake of definiteness, we continue to use ourreference set of parameters: Ω0 = 0.3, ΩΛ = 0.7, ΩB = 0.05, h = 0.7. Wherenecessary, we will use the spectral index n = 1 for the initial power spectrum.The element of comoving radial distance coordinate at redshift z during the matter-dominated era is given by (7.73):

dr = c dz

H0!(1 + z)2(Ω0z + 1) − ΩΛz(z + 2)

"1/2 , (15.3)

which can be written

dr = c dz

H0!Ω0(1 + z)3 + ΩΛ

"1/2 , (15.4)

if Ω0 + ΩΛ = 1. Strictly speaking, we should also include in this formula thecontribution of the energy density of photons and neutrinos at this redshift, z = 1090,

Figura 16.1: Alto: frazione di ionizzazione xe “ NeNH in funzione del redshift peril modello cosmologico standard. Basso: funzione di visibilita normalizzata ad 1 al suomassimo.

16.2 Scale fisiche e angolari delle fluttuazioni

Vediamo adesso le varie scale spaziali che ci serviranno per l’analisi dello spettro di potenzadella CMB nel modello di riferimento caratterizzato da Ω0 “ 0.3, ΩΛ “ 0.7, Ωb “ 0.04,h “ 0.7 e, se necessario, n “ 1.

Nell’epoca dominata dalla materia, come abbiamo visto, la distanza radiale comoventee

dr “c dz

H0rp1` zq2pΩ0z ` 1q ´ ΩΛzpz ` 2qs12

che, nel caso Ω0 ` ΩΛ “ 1, possiamo scrivere

dr “c dz

H0rΩ0p1` zq3 ` ΩΛs12

in quest’espressione c’e solo il contributo della materia ma dovremmo considerare anche ineutrini e la radiazione per avere delle precisioni inferiori all’1%; infatti ricordiamoci cheρrad9 a

´4 e ρm9 a´3 per cui partendo da t “ teq in cui ρrad “ ρm “ ρeq, possiamo scrivere


che il rapporto radiazione/materia alla ricombinazione e

ρradρm

“

ˆ

arecaeq

˙´1

“zreczeq

«1500

6000“ 0.25

il contributo di neutrini e radiazione rappresenta una non piccola correzione che peropossiamo trascurare nelle nostre stime grezze.

16.2.1 Lo strato di ultimo scattering

Cerchiamo adesso lo spessore comovente dello strato di ultimo scattering (last scatteringlayer). Siamo nel caso in cui Ω0z " 1 per cui posso trascurare il termine in ΩΛ:

∆r “c∆z

H0rΩ0p1` zq3 ` ΩΛs12»

c∆z

H0z32Ω120

abbiamo visto che il picco di vpzq e per z “ 1090 e che si ha ∆z “ 195 per cui si ottiene

∆rLS “ 16.2pΩ0h2q´12

» 42 Mpc

questo e lo spessore comovente della superficie di ultimo scattering. La massa totale(materia oscura e barionica) che corrisponde a questa scala e

MDM “π

6p∆rq3ρ0 “ 6.0ˆ 1014

pΩ0h2q´12 Md “ 1.6ˆ 1015 Md

che corrisponde circa alla massa di un ammasso di galassie. Si noti come si e calcolato lamassa utilizzando una lunghezza comovente e la densita per t “ t0.

La scala comovente ∆rLS – la lunghezza propria e ∆RLS “ ∆rLSp1 ` zq – ha unadimensione angolare sulla superficie di ultimo scattering pari a

∆θLS “∆RLS

DA

“∆rLSD

“16.2pΩ0h

2q´12

rMPC

dove si e sfruttato il fatto che la distanza angolare DA “ Dp1 ` zq e che la misura didistanza D “ r per Ω0 ` ΩΛ “ 1; rMPC e la distanza comovente in Mpc. Utilizzandol’espressione per dr per ottenere rMPC corrispondente a z “ 1090 (rMPC » 1.4ˆ104 Mpc)si ottiene

∆θLS “ 18 Ω120 arcmin “ 10 arcmin

Su scale comoventi r ă ∆rLS “ 16.2pΩ0h2q´12 “ 42 Mpc all’epoca presente, ci aspet-

tiamo di avere molte fluttuazioni indipendenti lungo la linea di vista attraverso la superficiedi ultimo scattering: la sovrapposizione casuale di molte perturbazioni entro la superficiedi ultimo scattering porta al loro smorzamento di un fattore pari a N´12, dove N e ilnumero di fluttuazioni lungo la linea di vista (figura 16.2). Pertanto, le fluttuazioni suscale ∆r ă ∆rLS sono smorzate mentre di quelle su scale superiori ne vediamo solo una“fetta” nella CMB, ovvero vediamo solo la regione che corrisponde alla superficie di ultimoscattering. Ricordiamo che ∆rLS corrisponde a fluttuazioni la cui massa e dell’ordine diquella degli ammassi.

16.2 Scale fisiche e angolari delle fluttuazioni 5

Last Scattering Layer

N fluttuazioni lungo la linea di vista: smorzamento di N-1/2

Figura 16.2: Last scattering layer e lo smorzamento dovuto a N perturbazioni in essocontenute.

16.2.2 La scala del damping di Silk

Adesso vediamo la scala comovente del Damping di Silk nel caso in cui la dinamicadell’universo sia guidata dalla DM; la scala di Silk (propria) e

λS “

ˆ

1

3` c t

˙12

con ` cammino libero medio dei fotoni

` “1

σTNe

per un universo DM dominated si ha

t “

ˆ

2

3H0

˙

Ω´120 z´15

ovvero, passando a distanza comovente, si ha

λS,comov “0.867 Mpc

pΩbh2q12pΩ0h2q14“ 9.0 Mpc

Questo corrisponde ad una scala angolare sul piano del cielo pari a

∆θS “λS,comovD

“ 2.2 arcmin

Pero questa e una “sottostima” significativa perche non abbiamo considerato l’aumentorapido di ` dei fotoni non appena il processo rapido di ricombinazione inizia (con menoscattering, i fotoni diffondono piu facilmente). Questa cosa e mostrata in figura 16.3 incui si vede come, tenendo conto della ricombinazione dei fotoni, la scala del damping diSilk (k´1

d ) rapidamente si discosta dalla nostra approssimazione non appena l’idrogenocomincia a ricombinare.


426 15 Fluctuations in the Cosmic Microwave Background Radiation

of sight through the last scattering layer. Consequently, the random superposition ofthese perturbations leads to a statistical reduction in the amplitude of the observedintensity fluctuations by a factor of roughly N−1/2, where N is the number offluctuations along the line of sight.

We have already obtained the important result that, for primordial structures onscales greater than those of clusters of galaxies, we observe ‘slices’ through theseon the last scattering layer.

15.2.2 The Silk Damping Scale

Next, we evaluate the comoving damping scale for baryonic perturbations at theepoch of recombination using (12.52) and (12.56) for the case in which the dynamicsof the expansion were determined by the dark matter, t = (2/3H0)Ω

−1/20 z−1.5,

λS =! 1

3λct"1/2 = 0.867

!ΩBh2

"1/2 !Ω0h2

"1/4 = 9.0 Mpc . (15.9)

This is a significant underestimate of the damping scale at recombination since ithas not taken account of the dramatic increase in the mean free path of the photonsas the recombination process gets under way. Hu and Sugiyama present a helpfuldiagram showing the impact of reionisation upon the Silk damping length (Fig. 15.2)(Hu and Sugiyama, 1995). Formally the damping scale becomes infinite, but Hu andSugiyama convolve the damping scale with the visibility function so that the dampingscale appropriate for baryonic density perturbations remains finite.

Fig. 15.2. Evolution of the Silk damping scale for primordial density perturbations. Dashedlines: the silk damping length without taking account of recombination. Solid lines: increasein the silk damping length as the process of recombination takes place at z ≈ 1090 (Hu andSugiyama, 1995)

Figura 16.3: Evoluzione della scala del damping di Silk per le fluttuazioni primordialidi densita. Le righe tratteggiate rappresentano la scala senza tener conto della ricombina-zione. Le righe continue invece rappresentano l’effetto della ricombinazione che avvieneper z « 1090. Le tre serie di righe rappresentano modelli con diversi valori di Ωb e h.

16.2.3 L’orizzonte sonoro nello strato di ultimo scattering

L’orizzonte sonoro nello strato di ultimo scattering e

λs “ cs t

con cs velocita del suono e t eta dell’universo. L’orizzonte sonoro rappresenta la lunghezzad’onda massima su cui le onde sonore potevano aver avuto oscillazioni coerenti al momentodella ricombinazione; in pratica rappresenta il limite superiore alla λ delle onde acusticheal momento della ricombinazione poiche, data una lunghezza d’onda λ, cs t “ nλ fornisceil numero (puo essere frazionario) di oscillazioni che una data perturbazione ha avuto almomento della ricombinazione. Ovviamente per avere una oscillazione coerente si deveavere λ À λs. Abbiamo trovato la velocita del suono come

cs “c?

3

ˆ

4ρrad4ρrad ` 3ρb

˙12

“c

a

3p1`Rq

e, al momento della ricombinazione,

R “3ρb

4ρrad“

3Ωbρcc2

16σ T 40 p1` zq

“ 3.05ˆ 104 Ωbh2

p1` zq“ 0.685


con z “ 1090 e Ωb “ 0.05. Pertanto nello strato di ultimo scattering cs “ 0.445 c; sinoti inoltre che λs dipende da Ω0 e Ωb. Utilizzando t del modello matter dominated conΩ0z " 1, z " 1 si ha

λs “ cs t “c

a

3p1`Rq2 z

3H0Ω120

Si noti che cs “ 0.454 c per z “ 1090 e quasi uguale al valore relativistico che e pari a cs “c?

3 “ 0.577 c. Pertanto, dal momento dell’ingresso della perturbazione nell’orizzontealla ricombinazione si puo considerare la velocita del suono costante e pari a cs » 0.5 c.Fino ad ora non abbiamo corretto la relazione a9 t32 per tener conto della presenza delcontributo di radiazione alla densita di energia totale. Tenendo conto di questo contributosi ha t “ 370, 000 yr per z “ 1090 da cui ne consegue che

λs,comov “ 62 Mpc

come lunghezza comovente. La massa entro λs e

M “π

6λ3sΩ0ρc “ 5.1ˆ 1015 Md

In conclusione, λs “ cs t corrisponde ad una singola oscillazione tra l’entrata nell’o-rizzonte e la ricombinazione. Si noti come le perturbazioni con lunghezza d’onda λ “ λssiano quelle che, alla superficie di ultimo scattering, ritornano alla stessa ampiezza cheavevano all’entrata nell’orizzonte (in assenza di altri processi di smorzamento); quellecon λ “ λs4 raggiungono invece la massima compressione alla superficie di ultimo scat-tering e pertanto sono quelle associate al primo massimo nello spettro di potenza dellefluttuazioni.

L’origine dei picchi acustici e schematizzata in figura 16.4. λs rappresenta la massimalunghezza di coerenza sulla superficie di ultimo scattering per cui la dimensione angolaredi questo picco acustico nello spettro delle fluttuazioni e

θs «cstp1` zq

D

che nel nostro modello diventa θs » 15 arcmin “ 0.25˝. Nello sviluppo in multipoli di cuiparleremo tra poco, θs corrisponde ad un massimo a l « 250.

Nell’analisi delle fluttuazioni di temperatura della CMB, λs e una scala ben piu im-portante della lunghezza d’onda di Jeans ma e necessario tener conto di quest’ultima perla relazione di dispersione ovvero per capire se si hanno effettivamente onde sonore. Comeabbiamo visto, l’interpretazione di λJ e quella di distanza che l’onda sonora puo viaggiaredurante il tempo di collasso della perturbazione che e pari al tempo di free fall ovveroτ „ pGρq´12. Quindi, la differenza tra l’orizzonte del suono e la lunghezza di Jeans nelcaso cosmologico e che t (tempo scala dell’espansione dell’universo) e determinato dalladensita della DM, ρDM , mentre τ tempo scala delle perturbazioni barioniche dipende daρb. Le oscillazioni acustiche sono supportate dalla pressione del plasma di barioni e fotonientro le buche di potenziale piu profonde definite dalla DM. Usando la densita barionicasi ha

λJ “ cs

ˆ

π

Gρ

˙12

“c

a

3p1`Rq

ˆ

π

Gρ

˙12

“ 2.6ˆ 1022 m « 900 Mpc

allora λs ! λJ (k " kJ) per cui possiamo usare l’approssimazione di λ piccola nellarelazione di dispersione delle onde acustiche, ovvero

ω2“ c2

sk2´ 4πGρ “ c2

spk2´ k2

Jq « c2sk

2



Fig. 15.3. Origin of the first few acoustic peaks in the power spectrum of the cosmic mi-crowave background radiation. Circles: the response of the photon-baryon plasma to growingperturbations in cold dark matter potential wells (Lineweaver, 2005). Dark filled circles:maximum compression of the perturbations; white filled circles: maximum of rarefaction ofthe oscillations. zeq is the epoch of equality and ∆z is the thickness in redshift of the lastscattering layer. Many more details of this diagram are discussed in Sects. 15.4 and 15.5

The second way of thinking about the sound horizon is that it is the maximumcoherence length on the last scattering layer, and so we can work out the expectedangular scale of this acoustic peak in the perturbation spectrum,

θs ≈ cst(1 + z)D

. (15.14)

For our reference set of cosmological parameters, this angular scale is 0.23. In termsof the angular multipole l on the sky, which is introduced in the next section, thereshould be a maximum in the power spectrum at multipoles of l ≈ 250, adoptingthe relation l ≈ θ−1

s . Indeed, there is a very pronounced maximum in the powerspectrum at this multipole (Fig. 15.4), but in view of the approximations made inthis derivation, the agreement should be regarded as fortuitous.

The sound horizon is more important than the Jeans length in these studies,but the dispersion relation for baryonic perturbations during the period from theepoch of equality to the epoch of recombination is important. The interpretationof the Jeans length given in Sect. 11.3 was that it is the distance which soundwaves can travel in the free-fall collapse time of the perturbation which is of orderτ ∼ (Gϱ)−1/2. The difference between the sound horizon and the Jeans length in

Figura 16.4: Origine dei primi picchi acustici nello spettro di potenza della radiazionecosmica di fondo. I cerchi rappresentano la risposta del plasma di fotoni e barioni alleperturbazioni che crescono nelle buche di potenziale della DM; i cerchi con il riempimentonero rappresentano la massima compressione delle perturbazioni mentre i cerchi con ilriempimento bianco rappresentano la massima rarefazione delle perturbazioni. zeq e l’e-poca dell’uguaglianza materia – radiazione e ∆z e lo spessore in redshift dello strato diultimo scattering.

ovvero le oscillazioni del barioni erano pure onde acustiche al momento della ricombina-zione.

16.2.4 La scala dell’orizzonte della particella

Abbiamo trovato che la scala dell’orizzonte nel limite matter dominated e

RH “ 3 c t “2 c

H0Ω120

p1` zq´32“ 5.1ˆ 1023

pΩ0h2q´12 cm “ 2.0ˆ 1023 cm « 0.43 Mpc

ovvero, come distanza comovente,

rH “ RHp1` zq “ 470 Mpc

e, se si tien conto della densita di energia della radiazione (ovvero trec “ 370, 000 yr), rHsi riduce a 370 Mpc.

Adottando rH « 370 Mpc si ha

∆θH “rHD“ 1.5˝


e le regioni con θ ą ∆θH sulla CMB non possono essere state in contatto causale cosache, come abbiamo visto, e in apparente contrasto con i risultati di COBE, WMAP ePLANCK che hanno mostrato come l’universo sia omogeneo ed isotropo a meno di 1parte su 105. Poiche λJ « rH tutte le perturbazioni con λ ă rH sono onde acustiche sullesuperficie di ultimo scattering.

Un’altra quantita che ci sara utile e l’orizzonte per teq; con i nostri valori di riferimentoteq “ 47, 000 yr e con RH “ 2.5 c t (compromesso tra 2 e 3) abbiamo

λeq,comov » 216 Mpc

sempre da intendersi come lunghezza comovente.

16.2.5 Riassunto

Facciamo adesso un riassunto delle scale fisiche e angolari ottenute fin qui.

• Le fluttuazioni della CMB associate alle perturbazioni primordiali sono state origi-nate a z « 1090 quando l’universo era appena entrato nella fase matter-dominated.

• Le regioni con scale θ ą 1.5˝ non erano causalmente connesse, pertanto conservanole informazioni sullo spettro primordiale delle perturbazioni.

• Le regioni su scale scale 0.04˝ ă θ ă 1.5˝ forniscono molte informazioni legateall’epoca in cui radiazione « materia; su scale ă 0.1˝ ci sono oscillazioni acustichecon smorzamento dovuto al Silk Damping e allo spessore dello strato di ultimoscattering. Questa informazione e disponibile perche le perturbazioni nei barionisono strettamente accoppiate alla radiazione, ma diventano onde sonore non appenaattraversano l’orizzonte.

• La scala del Silk Damping e λS “ 9.0 Mpc corrispondente a ∆θS » 2.2 arcmin “0.04˝. Le perturbazioni adiabatiche su scale ă λS vengono completamente smorzatedalla diffusione dei fotoni.

• Lo spessore dello strato di ultimo scattering e ∆rLS “ 42 Mpc (comovente), cor-rispondente a ∆θLS » 10 arcmin “ 0.2˝; una perturbazione con quel diametroha massa Mls “ 1.6 ˆ 1015 Md (barionica e oscura). Le perturbazioni su scaleă ∆rLS subiscono lo smorzamento “statistico” ovvero vengono abbattute di un fat-tore „ N´12 con N numero di perturbazioni lungo la linea di vista nello strato diultimo scattering. Questo e solo uno smorzamento apparente, ovvero per le nostreosservazioni.

• L’orizzonte del suono e λs “ 62 Mpc corrispondente a ∆θs » 0.25˝; la massa cor-rispondente a quella scala e Ms “ 5.1 ˆ 1015 Md. L’orizzonte sonoro determina lamassima scala di λ per avere delle oscillazioni coerenti; questa e anche legata alprimo picco acustico in P pkq; per k piu piccoli (o λ piu grandi) non ci sono picchiperche le oscillazioni non sono coerenti.

• L’orizzonte della particella e rH » 370 Mpc corrispondente a θH » 1.5˝. Rap-presenta la massima lunghezza scala causalmente connessa; al disopra si hannole fluttuazioni congelate nella metrica.

Queste scale rilevanti sono anche riportate in tabella 16.1.


Scala spaziale ∆r pMpcq ∆θ

Orizzonte della particella 370 1.5˝

Orizzonte sonoro 62 0.25˝

Spessore strato u.s. 42 0.2˝

Silk Damping 9.0 0.04˝

Tabella 16.1: Scale spaziali comoventi rilevanti sulla superficie di ultimo scattering.

16.3 Lo spettro di potenza delle fluttuazioni della

CMB: descrizione statistica delle fluttuazioni di

temperatura

Da una trasformata di Fourier dell’intensita della CMB e possibile risalire allo spettrocontinuo delle fluttuazioni di temperatura della CMB. Per descrivere la distribuzionespaziale dell’intensita e quindi della temperatura si puo sfruttare il fatto che queste sonodistribuite su una superficie sferica e quindi e possibile utilizzare una decomposizione inarmoniche sferiche:

δT

Tpθ, φq “

T pθ, φq ´ T0

T0

“

8ÿ

l“0

lÿ

m“´l

almYlmpθ, φq

con

Ylmpθ, φq “

„

2l ` 1

4π

pl ´ |m|q!

pl ` |m|q!

12

ˆ Plmpcos θqeimφˆ

"

p´1qm m ě 01 m ă 0

Ylmpθ, φq e la funzione armonica sferica di grado l ed ordine m, Plmpcos θq e la funzionedi Legendre associata; θ e l’angolo polare o colatitudine (0 ď θ ď π) e φ e la longitudine(0 ď φ ă 2π). Gli indici variano come l “ 0, 1, . . . ,`8 e ´l ď m ď l (m assume 2l ` 1valori). La funzione associata di Legendre e

Plmpxq “ p1´ x2qm2d

mPlpxq

dxm

con x “ cos θ. Plpxq e il polinomio di Legendre di grado l che vale

Plpxq “ p2n n!q´1 d

n

dxn“`

x2´ 1

˘n‰

Ricordiamo che la condizione di ortogonalita per le armoniche sferiche e

ż

4π

Y ‹lmYl1m1dΩ “ δl l1δmm1

con dΩ “ sin θdθdφ e δij “ 1 se i “ j oppure δij “ 0 se i ‰ j.

16.3 Descrizione statistica delle fluttuazioni di temperatura della CMB 11

Utilizzando la condizione di ortogonalita appena vista, moltiplicando δT T per Y ‹lm eintegrando sulla sfera si ottiene

alm “

ż

4π

δT

Tpθ, φqY ‹lmdΩ

Una semplice interpretazione di questo sviluppo e la seguente: gli zeri delle parti reali eimmaginarie delle Ylmpθ, φq dividono il cielo in celle di forma approssimativamente rettan-golare con dimensione minima all’equatore pari a „ πl; pertanto ogni armonica sfericacorrisponde ad una scala angolare

θ «π

l

l e chiamato momento di multipolo.Solitamente si assume che le perturbazioni siano Gaussiane ovvero i moduli degli alm

sono estratti da una distribuzione gaussiana

P p|alm|q “1

?2πCl

exp

„

´|alm|

2

2Cl

(16.1)

mentre le fasi φ sono estratte da una distribuzione casuale uniforme tra 0 e 2π. Perturba-zioni Gaussiane sono predette dal modello inflazionario, per cui il test sulla Gaussianitadelle perturbazioni e anche un test sulla validita del modello inflazionario. Non Gaus-sianita possono essere dovute a discontinuita in T (“hot spots”, strutture lineare ecc.);tuttavia, al momento, non esistono evidenze di non Gaussianita dai dati disponibili.

L’assunzione di perturbazioni Gaussiane permette di fare varie semplificazioni: le flut-tuazioni si possono rappresentare come una sovrapposizione di onde con fase casualequindi ognuno dei p2l ` 1q coefficienti alm, per l fissato, fornisce una stima indipendentedell’ampiezza delle fluttuazioni di T associate al multipolo l. Lo spettro di potenza Cle circolarmente simmetrico attorno a ciascun punto del cielo e quindi il valore di alma

‹lm

mediato su tutto il cielo (ovvero la varianza di alm) fornisce una stima della potenzaassociata al multipolo l ovvero

Cl “ x|alm|2y “

1

2l ` 1

ÿ

m

alma‹lm

Si noti che il calcolo della varianza di alm ha senso dal momento che e estratto da unadistribuzione Gaussiana. Dal momento che le fluttuazioni sono Gaussiane possiamo quindiconcludere che i Cl forniscono una descrizione completa delle fluttuazioni di temperatura,come indicato dalla 16.1.

Un altro modo di presentare i risultati di queste analisi statistiche e quello di derivarela funzione di autocorrelazione a due punti per la distribuzione delle temperature in cieloin coordinate angolari (analoga alla ξ delle galassie):

Cpθq “

B

δT p~u1q

T

δT p~u2q

T

F

dove ~u1 e ~u2 sono versori delle direzioni 1 e 2 e la media e presa su tutto il cielo per unaseparazione angolare θ, come mostrato in figura 16.5.

Calcolando l’autocorrelazione media su tutto il cielo per ottenere Cpθq e sfruttandol’ortogonalita delle armoniche sferiche si puo dimostrare che

Cpθq “1

4π

ÿ

l

p2l ` 1qCl Plpcos θq


~u1

~u2

O

T

T(1,1)

T

T(2,2)

Figura 16.5: Geometria per il calcolo dell’autocorrelazione tra le fluttuazioni ditemperatura a distanza angolare θ.

con Cl spettro di potenza delle fluttuazioni di temperatura gia visto e pari a

Cl “ x|alm|2y “

1

2l ` 1

ÿ

m

alma‹lm

Plpcos θq e il polinomio di Legendre di ordine l. Per ottenere la relazione tra Cpθq e Cl sie anche sfruttato il teorema secondo cui

ÿ

lm

Y ‹lmp~u1qYlmp~u2q “ÿ

l

2l ` 1

4πPlpcos θq

Si noti come, con le procedure seguite e la scelta di considerare solo i Cl si perda tut-ta l’informazione sulla fase degli alm; in ogni caso se le perturbazioni sono distribuiteGaussianamente, le fasi sono numeri casuali tra 0 e 2π.

In conclusione, si puo scegliere indifferentemente di lavorare con Cpθq o Cl; nel nostrocaso utilizzeremo i Cl.

Nel presentare gli spettri di potenza si mostra comunemente non Cl ma

lpl ` 1qCl

Il motivo e che lo spettro di potenza delle fluttuazioni di temperature per uno spettrodelle perturbazioni di Harrison-Zeldovich, P pkq9 k, e

pClqHZ 91

lpl ` 1q

pertanto, nei grafici lpl` 1qCl in funzione di l, le curve orizzontali indicano la presenza diuno spettro delle perturbazioni di Harrison – Zel’dovich. In generale, e stato dimostratoche se

P pkq “ Akn

allora i Cl sono dati da

Cl “ 2nπ2AΓp3´ nqΓ

`

l ` n´12

˘

Γ2`

4´n2

˘

Γ`

l ` 5´n2

˘

16.4 Lo spettro di potenza osservato della CMB 13

con Γ funzione Gamma data da

Γpxq “

ż 8

0

tx´1e´tdt

con la proprieta cheΓpx` 1q “ Γpxq

Se abbiamo uno spettro HZ, allora n “ 1 e per la proprieta della Gamma si ha

pClqHZ “8πA

lpl ` 1q

In conclusione lpl`1qCl e indipendente da l per uno spettro di Harrison – Zel’dovich delleperturbazioni. Un altro aspetto importante per queste misure e la “Cosmic Variance”ovvero le deviazioni dal comportamenti uniforme che si hanno su tutto il cielo. La CosmicVariance comporta che si possano avere valori diversi di Cl a seconda di come si fannole misure, ovvero a seconda delle aree di cielo che si scelgono (non tutti gli esprimenti dimisura della CMB sono a tutto cielo!): in ultima analisi e questo il limite piu importanteper la precisione delle osservazioni, piu che lo stesso rumore di misura.

Come abbiamo visto prima, Cl viene ricavato dagli alm con m “ ´l, . . . , l e ciascunvalore di alm fornisce una stima indipendente di Cl. Pertanto abbiamo p2l ` 1q stimeindipendenti di Cl; a seguito di questo la precisione con cui Cl e noto a seguito dellaCosmic Variance e

σpClq

Cl«

ˆ

2

2l ` 1

˙12

quindi c’e un limite intrinseco ai bassi l dovuto alla cosmic variance, indipendentementedagli errori di misura.

16.4 Lo spettro di potenza delle fluttuazioni della

CMB: lo spettro di potenza osservato

Consideriamo lo spettro di potenza ottenuto dopo i primi 3 anni di osservazioni conWMAP (figura 16.6a). In questa figura si riportano

lpl ` 1q

2πCl vs l

Dalla figura si nota una chiara evidenza per la presenza di oscillazioni acustiche nellospettro di potenza; la curva rossa rappresenta il modello che fornisce il miglior fit dei dati.I dati (punti con barre d’errore) indicano chiaramente la presenza del primo e del secondopicco acustico (da sinistra verso destra ovvero da l piu piccoli a l piu grandi). Ricordiamoche l corrisponde ad una scala

θ «π

l

ovvero si ha che l e direttamente legato ai k delle perturbazioni come

k « l

Il primo ed il secondo picco acustico sono a l piu bassi ovvero a scale piu grandi; perrivelare la presenza del terzo picco acustico occorre combinare i dati di WMAP con quelli


15.3 The Power Spectrum of Temperature Fluctuations 435

Fig. 15.4. a The binned 3-year angular power spectrum from the WMAP experiment (blacksymbols with 1 − σ noise error bars for 2 ≤ l ≤ 1000). The grey band is the binned 1 − σ

cosmic-variance uncertainty (Hinshaw et al., 2007). The curve is the best-fit ΛCDM model forthe WMAP data alone (Spergel et al., 2007). The diamonds show the model points when binnedin the same way as the data. b The WMAP 3-year power spectrum and other measurementsof the angular power spectrum extending to larger multipole moments (Hinshaw et al., 2007).The additional data, which have been restricted to those at large multipoles, are from theBoomerang (Jones et al., 2006), Acbar (Kuo et al., 2004), CBI (Readhead et al., 2004) andVSA (Dickinson et al., 2004) experiments. In both diagrams, note the variable logarithmicscale in multipole moment along the abscissa

Figura 16.6: (a) Spettro di potenza angolare dopo tre anni di osservazioni del satelliteWMAP; le misure sono i punti con barre di errore a 1σ per 2 ď l ď 1000. La bandarossa e l’incertezza a σ dovuta alla cosmic variance. La curva rossa e il modello ΛCDMche fornisce il best fit dei dati. (b) Paragone tra i dati di WMAP e quelli di altri espe-rimenti che si estendono a l piu alti. Si noti in (a) e in (b) la scala logaritmica nellarappresentazione dei multipoli l.

16.5 L’origine delle anisotropie di temperatura della CMB 15Planck collaboration: CMB power spectra & likelihood

2 10 500

1000

2000

3000

4000

5000

6000

D [µ

K2 ]

90 18

500 1000 1500 2000 2500

Multipole moment,

1 0.2 0.1 0.07Angular scale

Figure 37. The 2013 Planck CMB temperature angular power spectrum. The error bars include cosmic variance, whose magnitudeis indicated by the green shaded area around the best fit model. The low-` values are plotted at 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.5, 11.5, 13.5, 16,19, 22.5, 27, 34.5, and 44.5.

Table 8. Constraints on the basic six-parameter CDM model using Planck data. The top section contains constraints on the sixprimary parameters included directly in the estimation process, and the bottom section contains constraints on derived parameters.

Planck Planck+WP

Parameter Best fit 68% limits Best fit 68% limits

bh2 . . . . . . . . . 0.022068 0.02207 ± 0.00033 0.022032 0.02205 ± 0.00028

ch2 . . . . . . . . . 0.12029 0.1196 ± 0.0031 0.12038 0.1199 ± 0.0027100MC . . . . . . . 1.04122 1.04132 ± 0.00068 1.04119 1.04131 ± 0.00063

. . . . . . . . . . . . 0.0925 0.097 ± 0.038 0.0925 0.089+0.0120.014

ns . . . . . . . . . . . 0.9624 0.9616 ± 0.0094 0.9619 0.9603 ± 0.0073

ln(1010As) . . . . . 3.098 3.103 ± 0.072 3.0980 3.089+0.0240.027

. . . . . . . . . . 0.6825 0.686 ± 0.020 0.6817 0.685+0.0180.016

m . . . . . . . . . . 0.3175 0.314 ± 0.020 0.3183 0.315+0.0160.018

8 . . . . . . . . . . . 0.8344 0.834 ± 0.027 0.8347 0.829 ± 0.012

zre . . . . . . . . . . . 11.35 11.4+4.02.8 11.37 11.1 ± 1.1

H0 . . . . . . . . . . 67.11 67.4 ± 1.4 67.04 67.3 ± 1.2

109As . . . . . . . . 2.215 2.23 ± 0.16 2.215 2.196+0.0510.060

mh2 . . . . . . . . . 0.14300 0.1423 ± 0.0029 0.14305 0.1426 ± 0.0025Age/Gyr . . . . . . 13.819 13.813 ± 0.058 13.8242 13.817 ± 0.048

z . . . . . . . . . . . 1090.43 1090.37 ± 0.65 1090.48 1090.43 ± 0.54100 . . . . . . . . 1.04139 1.04148 ± 0.00066 1.04136 1.04147 ± 0.00062zeq . . . . . . . . . . . 3402 3386 ± 69 3403 3391 ± 60

33

Figura 16.7: Spettro di potenza della CMB ottenuto dal Satellite Planck (dati 2013). Infigura Dl “ lpl ` 1qCl2π.

di altri esperimenti (16.6b) che coprono porzioni piccole di cielo ma con una risoluzionespaziale migliore e che quindi campionano lo spettro su l piu grandi (ovvero scale piupiccole).

La banda rossa nelle figure rappresenta l’incertezza dovuta alla varianza cosmica (1σ).Come si vede, le misure di WMAP sono cosmic variance limited fino a l „ 400; questosignifica che e inutile ottenere misure piu profonde per l ă 400 che comunque sarebberolimitate dalla variabilita intrinseca spaziale. Si noti come la varianza cosmica diventimolto grande agli l piccoli ovvero a scale θ „ 90˝; il motivo e semplice e risiede nel fattoche l’angolo giro e quindi la scala massima campionabile e 360˝; piu che andiamo a lpiccoli, piu che abbiamo un numero di misure indipendenti minore e quindi siamo piuaffetti dalla varianza.

Infine la figura 16.7 mostra lo spettro di potenza ottenuto dalle ultime osservazioni diPlanck. Gli errori di misura sono cosı piccoli ed il campionamento e su un intervallo discale cosı grandi che si riesce ad ottenere lo spettro con un ottimo segnale rumore fino aoltre l ą 2000, osservando tutti i picchi acustici che non sono stati smorzati.

16.5 L’origine delle anisotropie di temperatura della

CMB

Le fluttuazioni di temperatura della CMB sono dovute a 3 contributi principali che sonoquindi alla base della forma dello spettro delle perturbazioni:

• il contributo principale e quello delle fluttuazioni prodotte e amplificate durantela fase inflazionaria che poi evolvono e vengono smorzate secondo i processi fisici


visti fino ad ora; nel caso delle fluttuazioni adiabatiche che non subiscono un “ri-processamento” (es., effetto Meszaros, Silk Damping, Free Streaming, ecc.) si hadirettamente

ˆ

δT

T

˙

k

“1

3

δρbρb“

1

3

δρDMρDM

si e usato il pedice k per indicare le fluttuazioni di temperatura direttamente dovutealle perturbazioni con spettro di potenza P pkq al momento della ricombinazione;

• effetto Sachs Wolfe ovvero la generazione di fluttuazioni di temperatura a segui-to dell’uscita dei fotoni dalle buche di potenziale; e una combinazione di redshiftgravitazionale e di dilatazione dei tempi che risulta in

ˆ

δT

T

˙

SW

“1

3

δφ

c2

• effetto Doppler, ovvero la generazione di fluttuazioni di temperatura nello spettrodei fotoni che vengono diffusi da elettroni in moto nelle buche di potenziale:

ˆ

δT

T

˙

Dopp

“∆ν

ν“v

c

Complessivamente si haδT

T“

ˆ

δT

T

˙

k

`1

3

δφ

c2`v

c

Da queste fluttuazioni poi si ottengono i Cl ovvero lo spettro delle fluttuazioni di tempe-ratura.

Come vedremo piu in dettaglio, sulle grandi scale domina l’effetto Sachs Wolfe dallebuche di potenziale delle perturbazioni adiabatiche primordiali; sulle scale intermediesi hanno le oscillazioni acustiche di plasma, quindi l’effetto Sachs Wolfe dalle buche dipotenziale oscillanti e alla base dei picchi acustici osservati oltre, ovviamente, alcontributodovuto all’effetto Doppler; a scale piu piccole intervengono gli effetti di smorzamentostatistico ed il Silk Damping.

16.5.1 Grandi scale: l’effetto Sachs Wolfe sulle perturbazioniprimordiali

A grandi scale, θ ą 2˝, le perturbazioni nel last scattering layer sono ancora oltre l’orizzon-te di particella, pertanto sono congelate nella metrica e contengono ancora le informazionisullo spettro iniziale delle perturbazioni non ancora processato. Come si vede dalle figure16.6, 16.7 lo spettro per θ ą 2˝ e consistente con lpl ` 1qCl “ costante, ovvero quello checi aspettiamo dallo spettro di Harrison Zel’dovich.

A queste scale, l’unico effetto da considerare e l’effetto Sachs Wolfe sulle perturbazioniprimordiali.

Avevamo trovato che per le perturbazioni adiabatiche di curvatura come quelle origi-nate dall’inflazione e ancora su scala r ą rH alla ricombinazione si aveva

1

3

δρbρb“

1

3

δρDMρDM

“1

4

δρradρrad

16.5 L’origine delle anisotropie di temperatura della CMB 17

ma, dal momento che ρrad “ 4σc T 4, ne consegue che

δρradρrad

“ 4δT

T

ovvero basta considerareˆ

δT

T

˙

k

“1

3

δρbρb

Questo e il contributo alle fluttuazioni di temperatura direttamente dovuto alle fluttua-zioni di densita la cui evoluzione abbiamo studiato fino ad ora; per consistenza con lasezione precedente abbiamo utilizzato il pedice k.

I fotoni che escono da queste perturbazioni primordiali sono soggetti all’effetto Sa-chs Wolfe; la prima parte dell’effetto Sachs Wolfe e il redshift gravitazionale (nel limiteNewtoniano) a cui i fotoni sono soggetti per l’uscita dalla buca di potenziale δφ:

zgrav “∆ν

ν“δφ

c2“δT

T

ricordiamo che il redshift comporta un “raffreddamento” dei fotoni δT ă 0 e infattiδφ ă 0 (buca di potenziale piu profonda per l’aumento della densita). La seconda partedell’effetto Sachs Wolfe e la dilatazione dei tempi, sempre a seguito dell’uscita dalla bucadi potenziale;

δt

t“

∆ν

ν“δφ

c2

gli orologi nella buca di potenziale scorrono piu lentamente per cui vediamo la regionequando era piu giovane, ovvero piu calda; infatti δφ ă 0 comporta δt ă 0 cioe nella bucadi potenziale gli orologi sono in ritardo, ovvero l’universo e piu “giovane” e quindi laradiazione piu “calda”; inoltre, dal momento che a9 t23 si ha

δa

a“

2

3

δt

t

e siccome T 9 a´1

δT

T“ ´

δa

a“ ´

2

3

δt

t“ ´

2

3

δφ

c2

sommando quanto trovato otteniamo infine

δT

T“δφ

c2´

2

3

δφ

c2“

1

3

δφ

c2

Poiche δφ ă 0 il risultato netto e quello di δT ă 0 ovvero i fotoni sono piu “freddi”.Vediamo adesso qual e il valore del potenziale della perturbazione δφ. Sappiamo che

δφ „GδM

d

con d scala della perturbazione; la fluttuazione di massa e δM „ δρ d3 e la fluttuazione didensita e δρ “ ∆ˆρ con ∆ contrasto densita e ρ densita media; ma ∆ “ ∆0 a e ρ “ ρ0a

´3

per cuiδρ “ p∆0aq ˆ pρ0a

´3q “ p∆0ρ0q a

´2“ δρ0 a

´2

la dimensione della perturbazione ed “ d0a


ovvero

δφ „GδM

d“Gpδρ0 a

´2q pd30 a

3q

d0 a„ Gδρ0d

20 (16.2)

ovvero la perturbazione del potenziale gravitazionale e indipendente dell’epoca cosmi-ca fintanto che ∆ cresce come a; questo e anche il motivo per cui le perturbazionisuperhorizon congelate nella metrica crescono come a nell’epoca della materia.

Possiamo anche usare i risultati dell’analisi dello spettro di potenza fatta prima. PerP pkq9 kn si ha ∆9M´pn`3q6, ovvero

δρ09 ρ0M´pn`3q6

dato che M 9 ρ0d30 si ottiene

δφ9 δρ0 d209 d

p1ńq20 9 θp1ńq2

sfruttando il fatto che θ9 1d0. Le fluttuazioni di temperatura su grandi scale sonopertanto

δT

T“

1

3

δφ

c29 θp1ńq2

ovvero

δT

T9 θp1ńq2

e quindi, per uno spettro di Harrison Zel’dovich (n “ 1), si ha δT T “ costante ovverouno spettro di potenza piatto. Quello che si osserva ai piccoli l ovvero alle grandi scale epertanto consistente con lo spettro di Harrison Zel’dovich.

Lo spettro di potenza delle fluttuazioni di temperatura fornisce la migliore normaliz-zazione dello spettro delle perturbazioni di densita su scale molto grandi.

Per avere un’idea delle scale, θ „ 10˝ corrispondono a d „ 2400 Mpc, ovvero „ 10volte piu grandi dei piu grandi vuoti visti nella distribuzione delle galassie.

L’effetto Sachs Wolfe descritto fin qui e dovuto solo alle buche di potenziale nellostrato di ultimo scattering e si basa in modo cruciale sul fatto che il contrasto di densitacresca linearmente con a: ∆ “ ∆0a. Si ricordi inoltre che questo crescita di ∆ e esattasolo per Ω0 “ 1, ΩΛ “ 0.

Ovviamente durante il tragitto tra zrec e z “ 0 i fotoni attraverseranno altre buche dipotenziale e saranno quindi soggetti ad un blueshift/redshift gravitazionale a seconda cheentrino/escano dalla buca. Pero a z piu bassi nel modello ΛCDM (Ω0 ‰ 0, Ω0 ` ΩΛ “ 1)∆ non cresce piu come a a causa dell’effetto della dark energy, e questo determina unamodifica dell’effetto Sachs Wolfe rispetto alla semplice espressione vista prima; pertantobisogna tener conto dell’effetto Sachs Wolfe per ogni intervallo di redshift dz e si parlapertanto di effetto Sachs Wolfe integrato (Integrated Sachs Wolfe, ISW). A z piu bassic’e un altro effetto di ordine superiore da tenere in considerazione: quando un fotoneattraversa una perturbazione di densita, il blueshift (per l’entrata nella buca) ed il redshift(per l’uscita dalla buca) non si compensano piu perche nel frattempo la perturbazioneevolve temporalmente.

Tutti questi effetti sono piccoli rispetto al Sachs Wolfe sulla superficie di ultimo scatte-ring, ma devono comunque essere considerati per la precisione ottenuta dalle osservazioni.


15.8 The Polarisation of the Cosmic Microwave Background Radiation 459

by differentiation and this is the cause of the quadrupole component responsible forthe generation of the linearly polarised signal. This procedure is repeated for the latereionisation phases and accounts for the predicted linear polarisation ‘bump’ seenin the EE and TE power spectra in Fig. 15.10. Page and his colleagues point outthat these polarisation observations provide entirely independent information aboutthe optical depth for reionisation and consequently about the epoch at which it tookplace (Page et al., 2007).

15.8.4 Primordial Gravitational Waves

The considerations of Sect. 15.8.1 make it clear that gravitational waves can resultin polarisation of the cosmic microwave background radiation. Because the force ofgravity is always attractive, there are no dipole gravitational waves, only quadrupolewaves.6 As a result, gravitational waves stretch and squeeze the geometry of spacein orthogonal directions, the two independent modes of oscillation, h+ and h×,being shown in Fig. 15.11 – they are oriented at 45 with respect to one another.There is, however, an important difference between the two modes in that theyhave opposite parity on making the translation r → −r. The net result is that thepolarisation signal can be uniquely decomposed into what are known as the electricE, or gradient, component associated with h+ and a magnetic B, or curl, componentwith h×. These result in corresponding orthogonal patterns of polarisation on thesky. The importance of this decomposition is that, whereas the E components couldbe generated by either scalar or tensor perturbations, the B component is a signatureof the presence of a pure curl component.

The importance of these considerations is that they provide another potentialmeans of investigating physical processes in the very early Universe. Just as thespectrum of scalar perturbations can be associated with quantum fluctuations of the

Fig. 15.11a,b. The two orthogonal polarisation modes, h+ and h×, of gravitational radiation(Will, 2006)

6 For a simple introduction to gravitational radiation, see the review by Schutz (Schutz,2001).

Figura 16.8: Oscillazione indotta su un anello di materia nel piano del foglio da ondegravitazionali piane che si propagano perpendicolarmente al foglio: sono mostrati i duemodi indipendenti h` (sinistra) e hˆ (sinistra).

16.5.2 Le onde gravitazionali primordiali

Nel modello inflazionario lo spettro delle perturbazioni iniziali nasce dalle fluttuazioniquantistiche del campo responsabile per l’inflazione (espansione esponenziale); questospettro e predetto essere proprio lo spettro di Harrison – Zel’dovich. Lo spettro di HZsi riferisce alle perturbazioni scalari, che abbiamo analizzato fino ad ora, ma il camposcalare che da origine all’inflazione determina anche delle onde gravitazionali, ovvero leperturbazioni tensoriali della metrica (gli hij visti nella metrica ??).

Poiche la forza gravitazionale e solo attrattiva non esistono onde gravitazionali di dipo-lo ma solo di quadrupolo. Le onde gravitazionali fanno variare la metrica e quindi la geo-metria dello spazio; si puo dimostrare che le perturbazioni tensoriali (onde gravitazionali)possono essere decomposte in due “polarizzazioni” indipendenti (modi di oscillazione) inmodo analogo alle onde elettromagnetiche ed indicate con h` e hˆ. Queste corrispondonoa oscillazioni dello spazio in due direzioni a 45 gradi tra loro come mostrato in figura 16.8dove si considera l’oscillazione indotta su un anello di materia. Le onde gravitazionalideterminano quindi compressioni e rarefazioni della materia in modo analogo alle pertur-bazioni scalari. Le perturbazioni di potenziale cosı generate contribuiscono poi all’effettoSachs Wolfe sui fotoni della radiazione cosmica di fondo.

Le onde gravitazionali interagiscono con la materia tramite la loro influenza gravita-zionale di quadrupolo e portano informazioni dirette sull’universo primordiale. Pertanto,se venissero rivelate, fornirebbero una prova diretta del modello inflazionario.

Si puo dimostrare che le onde gravitazionali si comportano come particelle senza massa(o ultrarelativistiche) con equazione di stato p “ 13ε e quindi hanno γ “ cP cV “ 43.Esattamente come le perturbazioni scalari, le onde gravitazionali sono state “gonfiate”(inflated) durante l’espansione esponenziale a lunghezze d’onda λ " rH e come tali sonocongelate nella metrica e conservano il loro spettro di potenza fino all’entrata nell’orizzontein epoche molto posteriori. Quando λ „ rH entrano nell’orizzonte si ha che la loro densitadi energia ε „ a´4 e quindi, contrariamente alle perturbazioni scalari nei plasmi relativi-stici che vengono stabilizzate, le onde gravitazionali vengono smorzate adiabaticamentein modo analogo alle perturbazioni della DM.

20 Le fluttuazioni della radiazione cosmica di fondo442 15 Fluctuations in the Cosmic Microwave Background Radiation

Fig. 15.6. The predicted power spectra of fluctuations in the cosmic microwave backgroundradiation due to scalar perturbations (density perturbations; top) and tensor perturbations(gravity waves; bottom) for a tensor-to-scalar ratio r = 1 (Challinor, 2005)

upon the form of the inflationary potential (Starobinsky, 1985; Davis et al., 1992b;Crittenden et al., 1993). According to these theories, the ratio of the power spectradepends upon the spectral index of the scalar perturbations as

∆2T

∆2s

≈ 6(1 − n) , (15.41)

where ∆2T and ∆2

s are the density perturbations in the tensor and scalar modesrespectively. Peacock provides an accessible introduction to this topic (Peacock,2000). Thus, an important test of inflation is to measure the spectral index n ofthe scalar power spectrum with high precision, and this is now possible with theavailability of the 3-year WMAP data set. To summarise the findings, which aredealt with in more detail in Sect. 15.9, the best-fit value of n to all the observationaldata is n = 0.951+0.015

−0.019 , suggesting that the predicted ‘tilt’ of the power spectrummay have been observed (Spergel et al., 2007).

We can set limits to the energy density of primordial gravitational waves at thepresent epoch from the observed power spectrum of the COBE fluctuations. Aspointed out by Padmanabhan, gravitational waves at the present epoch with wave-length λ ∼ c/H0 would produce a quadrupole anisotropy in the cosmic microwavebackground radiation through the Sachs–Wolfe effect, and so the upper limit to theamplitude of these waves is the quadrupole anisotropy h ∼ ∆T/T ≈ 10−5 (Padman-abhan, 1993). Therefore, the upper limit to the energy density of these gravitationalwaves is

εG = ϱGc2 ∼ (32πG)−1 !ω2h2c2" , (15.42)

Figura 16.9: Spettro di potenza delle fluttuazioni di temperatura (lpl`1qCl) previsto perle perturbazioni scalari (di densita) e le perturbazioni tensoriali (onde gravitazionali) perun rapporto tensoriali-su-scalari pari a r “ 1.

A noi interessano le fluttuazioni di temperatura generate dalle onde gravitaziona-li. Queste determinano un redshift o un blueshift dei fotoni analoghi a quelli prodottidall’effetto Sachs-Wolfe. Lo spettro predetto dall’inflazione per le onde gravitazionali einvariante sulle scale spaziali ed e simile a n « 1 delle perturbazioni scalari. Questainvarianza di scala (tipo spettro HZ) che determina uno spettro piatto delle fluttuazionidi temperatura, si mantiene fino a scale θ Á 2˝ (corrispondente a l À 100) ovvero al di so-pra del raggio dell’orizzonte al momento della ricombinazione, come abbiamo visto per leperturbazioni scalari. Su scale piu piccole le perturbazioni sono decadute adiabaticamen-te per cui la loro ampiezza relativamente alle perturbazioni scalari (che sono stabilizzatedalla radiazione) diminuisce come

∆T

∆S

9a´4

a´3“ a´1

9 l´1

e questo andamento e valido per l Á 100. In figura 16.9 si mostra lo spettro di potenza dellefluttuazioni di temperatura (lpl ` 1qCl) previsto per le perturbazioni scalari (di densita)e le perturbazioni tensoriali (onde gravitazionali); la normalizzazione delle perturbazionitensoriali e fatta in base a r rapporto tra perturbazioni tensoriali e scalari definito come

r “ClpT q

ClpSq

e valutato a piccoli l; questo coefficiente di normalizzazione e un numero che serve ariscalare direttamente la curva rossa in figura 16.9. In effetti a grandi l, per quanto visto


prima si ha,

r “ClpT q

ClpSq9

∆2T

∆2S

9 l´2

Nel caso in figura 16.9 e stato assunto r “ 1 da cui si capisce come il contributo delleperturbazioni tensoriali (di quadrupolo) sia intrinsecamente piu piccolo di quello delle per-turbazioni scalari. Secondo alcuni modelli inflazionari r dipende dallo spettro di potenzadelle perturbazioni con

∆2T

∆2S

« 6p1´ nq (16.3)

quindi, avendo ∆2T ‰ 0, si ha che n ă 1, anche se di poco. Da misure recenti di Planck si

ottienen “ 0.9608˘ 0.0054

e questa piccola deviazione dallo spettro HZ potrebbe indicare la presenza delle pertur-bazioni tensoriali, ovvero delle onde gravitazionali generate dall’inflazione.

16.5.3 Scale angolari intermedie ed i picchi acustici

Le oscillazioni acustiche sono attese su scale intermedie

θS ă θ ă θH

con θH scala dell’orizzonte e θS scala del Damping di Silk. Le perturbazioni nel plasmaradiation-dominated diventano onde acustiche non appena entrano nel loro orizzonte.Abbiamo visto che il primo picco acustico e associato alle perturbazioni sulla scala del-l’orizzonte sonoro sulla superficie di ultimo scattering. Poiche abbiamo assunto che lepiccole perturbazioni siano Gaussiane allora la probabilita di avere un’ampiezza ∆ peruna data scala di massa M e

P p∆q “1

?2πσpMq

exp

„

´∆2

2σ2pMq

Le perturbazioni che poi collassano a formare strutture hanno ∆ ą 0 alla ricombinazione,pero il fatto che si abbia ∆ ą 0, “ 0 o ă 0 dipende dal numero di oscillazioni che com-piono tra l’entrata all’orizzonte (in cui hanno ampiezza massima) e l’arrivo alla superficiedi ultimo scattering. L’ampiezza delle perturbazioni barioniche dipende pertanto dalladifferenza di fase tra queste due epoche ovvero

δφ “ φrec ´ φ0 “

ż trec

0

dφ “

ż trec

0

kcsdt “

ż trec

0

kccsp1` zqdt

con kc vettore d’onda comovente e t “ 0 che rappresenta l’entrata della perturbazionenell’orizzonte con fase φ0; come abbiamo visto la perturbazione entra nell’orizzonte concontrasto di densita massimo (se e una compressione) poi comincia ad oscillare. Il primopicco di potenza nello spettro corrisponde alle perturbazioni per cui

ż trec

0

dφ “ π

ovvero fluttuazioni che corrispondono a onde con meta lunghezza d’onda tra l’entratanell’orizzonte e la superficie di ultimo scattering. Abbiamo visto che questo corrisponde



Fig. 15.9. Contributions of various terms to the temperature anisotropy power spectrum foradiabatic initial density perturbations. At large values of l, the contributions are, (top tobottom): total power; SW, the Sachs–Wolfe effect including the monopole anisotropy; theDoppler or dipole term; the integrated Sachs–Wolfe effect (Challinor, 2005)

As a result, the polarisation signal is expected to be much weaker than theintensity fluctuations. It is therefore a very considerable challenge to measure thepolarisation signal experimentally, but this was first achieved by the ground-basedDegree Angular Scale Interferometer (DASI) in 2002 (Leitch et al., 2002; Kovacet al., 2002). Subsequent ground-based experiments including the CBI (Readheadet al., 2004), the CAPMAP (Barkats et al., 2005) and Boomerang (Montroy et al.,2006) projects reported convincing detections of the polarised background signal.5

From space, the WMAP experiment detected a positive polarisation signal in the1-year data (Bennett et al., 2003) and this was confirmed with improved signal-to-noise ratio in the 3-year data release (Page et al., 2007). It is simplest to summarisethe results of these efforts using the 3-year WMAP polarisation data. It is againappropriate to pay tribute to the outstanding experimental and data analysis skillswhich have gone into these extremely demanding experiments. The extraction ofthe polarisation signal is particularly challenging because it has to be detected in thepresence of the polarised Galactic radio emission, which has to be removed from thesky maps to reveal the polarisation associated with the primordial perturbations.

The total intensity fluctuations which were shown in Fig. 15.3 are displayedas filled dots at the top of Fig. 15.10 and are labelled TT. The polarisation powerspectrum is labelled EE. The oscillating curve, which decreases towards small mul-

5 The reader by now will be aware of my preference to avoid acronyms but I have par-tially capitulated here: the translations are as follows: CBI = Cosmic Background Imager;CAPMAP = Cosmic Anisotropy Polarization Mapper; BOOMERanG = Balloon Observa-tions Of Millimetric Extragalactic Radiation ANisotropy and Geophysics.

Figura 16.10: Contributi principali allo spettro di potenza complessivo (curva nera).In rosso si ha il contributo delle perturbazioni di temperatura/potenziale gravitazionalesullo strato di ultimo scattering e dell’effetto Sachs Wolfe da esse generato; in verde c’eil contributo dell’effetto Sachs Wolfe integrato (dovuto a perturbazioni tra noi e lo stratodi ultimo scattering) mentre in blue c’e il contributo dovuto all’effetto Doppler.

a l « 250 e che e stato osservato in modo spettacolare gia da WMAP. Come abbiamodetto, θs, la scala dell’orizzonte sonoro sulla superficie di ultimo scattering (approssimandol’integrale) e

θs «λsp1` zq

D“

ca

3p1`Rq

2z

3H0Ω120

z

r«

cz

3H0Ω120

z

r

Sapendo che θs deve corrispondere alle perturbazioni che hanno fatto una sola oscillazionetra l’entrata nell’orizzonte e la ricombinazione, conosciamo la scala spaziale vera cst percui combinando con θs misurato dalla posizione del picco θs „ πl possiamo ottenere unastima di D sulla superficie di ultimo scattering e quindi misurare i parametri cosmologicitra cui, principalmente, Ω0.

Quindi, se k1 e il vettore d’onda che corrisponde al primo picco acustico, i massimi siavranno per oscillazioni con differenza di fase pari a nπ rispetto a k1. Pero bisogna tenerpresente che:

• se n e dispari si ha la massima compressione dell’onda che corrisponde ad un massimodi ∆ e quindi ad un minimo della variazione di potenziale ovvero ad una temperaturapiu calda;

• se n e pari si ha la massima rarefazione e quindi dei minimi di T ;

• le perturbazioni con ∆φ “ πpn`12q relativamente a k1 hanno ampiezza 0 e quindicorrispondono ai minimi dello spettro di potenza.


In conclusione, i picchi acustici corrispondono quindi a frequenze tali che

ωtrec “ nπ

(abbiamo assunto che l’entrata nell’orizzonte sia avvenuta per t “ 0) ma sappiamo che

ω2“ c2

sk2´ 4πGρ

e se λs ! λJ (che come abbiamo visto e vero alle scale in cui siamo) si ha ω2 « c2sk

2 equindi

ωtrec “ csk trec “ nπ

che, con cstrec “ λs comporta che i picchi acustici siano a

kn “nπ

λs“ nk1

con λs scala dell’orizzonte sonoro. Pertanto i picchi acustici sono equispaziati per λ ! λJ(short wave approximation). La separazione tra i picchi e, per ∆n “ 1, ∆k “ πλsche quindi fornisce un’ulteriore stima di λs e quindi di una lunghezza sulla superficie diultimo scattering. Il contributo delle oscillazioni acustiche con i picchi acustici e mostratoin figura 16.10 dalla curva rossa.

Vediamo adesso di stimare le ampiezze dei picchi acustici nello spettro di potenza;le oscillazioni acustiche avvengono in presenza delle perturbazioni di DM che continuanoa crescere ed hanno un’ampiezza maggiore delle oscillazioni acustiche. Per quanto se-gue, trascuriamo la crescita lenta delle perturbazioni di DM e la variazione di εradεm.Ricordiamo che per la crescita delle perturbazioni si ha

d2∆

dt2` 2

ˆ

9a

a

˙

d∆

dt“ ∆p4πGρ´ k2c2

sq

i termini oscillatori sono associati al plasma photon-dominated per cui

´∆k2c2s “ ´∆bk

2c2s

mentre il potenziale gravitazionale guida e quello della DM

∆4πGρ “ ∆DMρDM4πG

e, se il termine di smorzamento associato all’espansione e trascurabile, si ha

d2∆b

dt2`∆bk

2c2s “ 4πGρDM∆DM

Le fluttuazioni di temperatura sono legate alle fluttuazioni di densita barionica e, nel casodi perturbazioni scalari adiabatiche, si ha

Θ0 “δT

T“

1

3

δρbρb“

1

3∆b

questo termine e detto di “monopolo”. Si puo scrivere

d2Θ0

dt2`Θ0k

2c2s “

4

3πGp∆ρqDM


Ricordiamo che

∆φ „ ´g∆M

d„ ´

4πGd2p∆ρqDM3

“ ´4πGp∆ρqDM

3k2

e quindid2Θ0

dt2`Θ0k

2c2s “ ´

1

9k2∆φ

notare che il fattore 19 e stato inserito per tener ottenere il risultato corretto a frontedella nostra trattazione approssimata. L’equazione appena trovata e un’equazione di unmoto armonico con termine forzante ´k2∆φ9; la sua soluzione e la soluzione dell’equa-zione del moto armonico piu una soluzione particolare dell’equazione totale. La soluzioneparticolare e

Θ0 “ ´1

9

∆φ

c2s

che e indipendente dal tempo, per le assunzioni fatte fin qui. Allora se ω “ csk si ha chela soluzione completa dell’equazione e

Θ0ptq “ A cosωt`B sinωt´1

9

∆φ

c2s

dove si e preso t “ 0 per l’entrata nell’orizzonte della perturbazione. Le condizioni inizialisono Θ0p0q e 9Θ0p0q; ricordando che

cs “c

a

3p1`Rq

con R “ 3ρb4ρrad si ha

Θ0ptq “

„

Θ0p0q `1`R

3c2∆φ

cosωt`1

kcs9Θ0p0q sinωt´

1`R

3c2∆φ

Vogliamo la soluzione alla ricombinazione quindi per t “ trec; abbiamo che ωtrec “kcstrec “ kλs con λs orizzonte sonoro, quindi

Θ0ptrecq “

„

Θ0p0q `1`R

3c2∆φ

cos kλs `1

kcs9Θ0p0q sin kλs ´

1`R

3c2∆φ

queste sono le oscillazioni adiabatiche di temperatura delle onde acustiche nelle buche dipotenziale della dark matter. Poiche sono forzate non sono simmetriche rispetto a Θ0 “ 0ma sono spostate a valori positivi a causa del termine forzante negativo ´p1`Rq∆φc2.

Oltre a queste, bisogna tener conto che la materia delle perturbazioni deve essere inmoto e, a causa dell’equazione di continuita si ha,

d

dt

ˆ

δρbρb

˙

“d∆b

dt“ ´~∇ ¨ δ~v “ ´~k ¨ δ~v

Ma questo moto nelle perturbazioni causa una fluttuazione di temperatura a causa del-l’effetto Doppler tale che

Θ1 “δT

T“δv cos θ

c


queste sono le perturbazioni di “dipolo”. Partendo da

Θ0 “1

3∆b

ottengod∆b

dt“ 3 9Θ0

e posso riscrivere l’equazione di continuita come

3 9Θ0 “ ´kcΘ1ptq

allora derivo l’espressione trovata per Θ0ptq e la valuto alla ricombinazione (ωtrec “ kλs)ottenendo

Θ1ptrecq “3csc

„

Θ0p0q `1`R

3c2∆φ

sin kλs ´3 9Θ0p0q

kccos kλs

In conclusione, Θ0ptq e il contributo di monopoli a δT T che viene dalle fluttuazionidovute alle oscillazioni acustiche dei barioni; Θ1ptq e il contributo di dipolo ed e dovutoall’effetto Doppler per i moti nelle buche di potenziale delle perturbazioni che causano lostesso termine di monopoli.

Questi sono i principali effetti acustici e di redshift gravitazionale che dominano laformazione primaria delle anisotropie, In Θ0ptq ci sono termini in cos kλs che corrispondonoai modi adiabatici ovvero quelli che hanno Θ0 ą 0 all’entrata nell’orizzonte per t “ 0; itermini in sin kλs, invece, corrispondono ai modi di isocurvatura.

Concentriamoci sui modi adiabatici e trascuriamo quindi i termini in sin kλs in Θ0 equelli in cos kλs in Θ1 per cui

Θ0ptrecq “

„

Θ0p0q `1`R

3c2∆φ

cos kλs ´1`R

3c2∆φ

Θ1ptrecq “3csc

„

Θ0p0q `1`R

3c2∆φ

sin kλs

Notare come Θ1ptrecq sia piu piccolo di un fattore 3csc rispetto a Θ0ptrecq. Consideriamoadesso il redshift dei fotoni che escono dalla buca di potenziale (effetto Sachs Wolfe): seΘ0ptrecq e la perturbazione adiabatica alla ricombinazione quella “vista” dall’osservatoree

ˆ

∆T

T

˙

eff

“ Θ0ptrecq `1

3

∆φ

c2“ Θ0ptq “

„

Θ0p0q `1`R

3c2∆φ

cos kλs ´R

3c2∆φ

da notare che ∆φ e indipendente da t. Questa e la fluttuazione di temperatura efficace.Colleghiamola alla corrispondente perturbazione di Sachs Wolfe quando viene fuori dal-l’orizzonte per t “ 0. La fluttuazione di monopoli Θ0ptq deve avere una perturbazione ditemperatura per il Sachs Wolf pari a

ˆ

∆T

T

˙

eff,t“0

“1

3

∆φ

c2

per t “ 0, per cui alla fine si ottieneˆ

∆T

T

˙

eff

“1

3

∆φ

c2p1` 3Rq cos kλs ´

R

3c2∆φ


Analogamente, per il termine di dipolo si ottieneˆ

∆T

T

˙

“ Θ1ptq “cs?

3c

∆φ

c2p1` 3Rq sin kλs

Questa soluzione mette in evidenza alcune caratteristiche della soluzione completa ovveroche per R “ 3ρm4ρrad Ñ 0 si ha cs Ñ c

?3

ˆ

∆T

T

˙

eff

“1

3

∆φ

c2cos kλs

eˆ

∆T

T

˙

“1

3

∆φ

c2sin kλs

ovvero oscillazioni acustiche nel plasma radiation dominated con Θ0 e Θ1 (monopolo edipolo) che hanno la stessa ampiezza ma sono sfasate di π2.

In sostanza, quando non si puo trascurare l’inerzia dei barioni (R ą 0) si ha cheΘ0 ą Θ1. Alla massima compressione kλs “ π cos kλs, l’ampiezza delle δT T osservatee ´p1 ` 6Rq volte quella dovuta all’effetto Sachs Wolfe (∆φ3c2). Le ampiezze delleoscillazioni sono asimmetriche se R ‰ 0 e questo spiega le asimmetrie tra i monopoli parie dispari viste nello spettro.

Considerando tutti gli effetti si ottiene che

• lo spettro predetto deve essere mediato statisticamente su una distribuzione casualedi onde acustiche e integrato su tutti i k;

• si devono includere i termini doppler (dipolo) oltre al monopolo;

• le onde acustiche evolvono in un mezzo in espansione in cui cs e ∆ variano nel tempo;

• si integrano le equazioni di Boltzmann, Einstein e Eulero sullo strato di ultimoscattering

quindi, per ottenere accuratezze migliori del % e necessario fare un’integrazione numerica.In figura 16.11 si riporta lo spettro delle fluttuazioni di temperatura della radiazione

cosmica di fondo e le sue variazioni con i parametri cosmologici. Nel caso in cui 0.06 ěΩbh

2 ě 0.005 (in alto a sinistra) si noti l’aumento dell’ampiezza del primo picco acustico;nel caso in cui 0.05 ď Ω0h

2 ď 0.5 (in alto a destra) si noti l’aumento di ampiezza e lospostamento della posizione del primo picco acustico. Infine si noti lo spostamento dellospettro al variare del parametro di curvatura Ωk “ Ω0 ` ΩΛ ´ 1 in ´0.15 ď Ωk ď 0.15(basso a sinistra), e l’analoga dipendenza da ΩΛ (basso a destra).

16.5.4 Piccole scale angolari

Sulle piccole scale angolari lo smorzamento (damping) avviene principalmente per duemotivi:

• lo smorzamento statistico che si ha per λ ă λus con λus spessore dello strato diultimo scattering; posto λus “ Nλ, la perturbazione con scala λ viene smorzata diun fattore N´12;

• il damping di Silk che si nota chiaramente per l ą 500 negli spettri nelle figure 16.6e 16.7.


15.5 Intermediate Angular Scales – the Acoustic Peaks 449

Some examples of the results of detailed predictions by Challinor are shown inFig. 15.7, indicating how different features of the temperature anisotropy powerspectrum are sensitive to variations of the cosmological parameters (Challinor, 2005).It is a useful exercise to study the power spectra in Fig. 15.7 in some detail and touse the results we have established in this section to understand the dependencesupon cosmological parameters. For example, the left-hand plot of Fig. 15.7a showsclearly the strong enhancement of the first acoustic peak as the baryon densityincreases.

Fig. 15.7a,b. The dependence of the temperature-anisotropy power spectrum on differentcosmological parameters (Challinor, 2005). In these examples, scale-invariant adiabatic initialperturbations are assumed. a Top pair of diagrams: dependence on the density parameter inbaryons (left) and total matter density parameter Ω0 (right). Top to bottom at first peak: thebaryon density parameter varies linearly in the range 0.06 ≥ ΩBh2 ≥ 0.005 (left) and thematter density parameter in the range 0.05 ≤ ΩBh2 ≤ 0.5 (right). b Bottom pair of diagrams:The dependence on the curvature density parameter Ωκ (left) and the dark energy densityparameter ΩΛ (right). In both cases, the density parameters in baryons and matter were heldconstant, thus preserving the conditions on the last scattering layer. The curvature densityparameter varies (left to right) in the range −0.15 ≤ Ωκ ≤ 0.15 and the dark matter densityparameter in the range 0.9 ≥ ΩΛ ≥ 0.0

Figura 16.11: Dipendenza dello spettro di potenza delle fluttuazioni di temperatura daiparametri cosmologici. In questo esempio sono state assunte perturbazioni adiabaticheiniziali con spettro di Harrison Zeldovich. Nei diagrammi in alto si considera un varia-zione di Ωb in 0.06 ě Ωbh

2 ě 0.005 (sinistra) e Ω0 in 0.05 ď Ω0h2 ď 0.5 (destra). Nei

diagrammi in basso si considera l’effetto del parametro di curvatura (Ωk “ Ω0 ` ΩΛ ´ 1)in ´0.15 ď Ωk ď 0.15 (sinistra) e ΩΛ, 0.9 ě ΩΛ ě 9 (destra).

Un altro effetto di cui bisogna tener conto sulle piccole scale („arcmin) e l’effettoSunyaev-Zel’dovich ovvero la variazione della temperatura dei fotoni della CMB per ilpassaggio in una regione di gas caldo come quello nel mezzo intracluster degli ammassi;questo determina delle fluttuazioni che non sono legate alla crescita delle perturbazioni.In alcuni casi la diminuzione delle fluttuazioni di temperatura puo arrivare a essere del-l’ordine di ∆T T „ ´10´4. C’e un altro tipo di effetto Sunyaev-Zel’dovich dovuto al motopeculiare del gas caldo nel riferimento in cui la CMB e isotropa (ovvero il riferimento dellaCMB). Questo e cosiddetto effetto Sunyaev-Zeldovich cinematico.

Infine, ad un certo livello di sensibilita le misure dello spettro primordiale vengonolimitate dalla presenza delle sorgenti discrete che non possono piu essere rimosse percheirrisolte dallo strumento (caso confusion limited).


15.7 The Reionised Intergalactic Gas 453

Fig. 15.8. The effect of reionisation on the temperature anisotropy power spectrum. Thespectra are (top to bottom) for no reionisation, τ = 0.1 and 0.2. (Challinor, 2005)

reionised, presumably by the earliest generations of massive stars. These redshiftsare not unreasonable values, as we will discuss in more detail in Chap. 18. Theoptical depth for Thomson scattering is one of the key cosmological parameters tobe found from detailed analysis of the observed power spectrum of fluctuations inthe cosmic microwave background radiation.

The formation of early generations of objects would necessarily give rise tosignificant velocity perturbations during the reionisation epoch, resulting in Dopplershifts of the background radiation, in exactly the same way that the dipole temperatureperturbations were generated at the last scattering layer. The problem is that theseeffects are expected to be small, partly because the optical depth of the perturbationsis small, and also because the random superposition of these perturbations leads toa statistical decrease of their amplitude. There is, however, a second-order effectdiscussed by Vishniac which does not lead to the statistical cancellation of thevelocity perturbations (Vishniac, 1987). These perturbations are associated withsecond-order terms in δnev, where δne is the perturbation in the electron density andv the peculiar velocity associated with the motion of the perturbation. This effectonly becomes significant on small angular scales at which the density perturbationsare large. According to Vishniac’s calculations, in the standard cold dark matterpicture, these temperature fluctuations might amount to ∆T/T ∼ 10−5 on the scale of1 arcmin. Similar calculations have been carried out by Efstathiou with essentially thesame result (Efstathiou, 1988). These are important conclusions since it is expectedthat all primordial perturbations on these scales would have been damped out by theprocesses discussed in Sect. 15.6.1.

Figura 16.12: Smorzamento dello spettro di potenza della CMB a seguito dellareionizzazione avvenuta dopo la ricombinazione.

16.5.5 Il Lensing Gravitazionale

Le perturbazioni della radiazione cosmica di fondo vengono alterate dal lensing gravita-zionale effettuato dalle perturbazioni piu dense e compatte che si trovano tra lo strato diultimo scattering e noi.

16.5.6 La Reionizzazione

Dopo la ricombinazione ci sono epoche in cui l’universo e neutro, dette “Dark Ages”; leDark Ages hanno termine alla nascita delle prime stelle che conducono alla reionizzazionedell’universo: questo significa che c’e una profondita ottica τ finita per scattering Thomsontra noi e lo strato di ultimo scattering. L’effetto della presenza di questo τ non nullo equello di attenuare le fluttuazioni di temperatura originatesi sulla superficie di ultimoscattering si un fattore pari a

e´τ

come mostrato in figura 16.12. Considerato il redshift z a cui si ha la reionizzazione si trovache si puo ottenere τ “ 0.1 o 0.2 se z “ 10 o 20; e questo determina uno smorzamento chepuo essere misurato nello spettro di potenza delle fluttuazioni. Il parametro τ , profonditaottica per scattering Thomson tra noi e la superficie di ultimo scattering, e un parametrofondamentale per la formazione delle galassie.

16.6 La polarizzazione della CMB

La misura della polarizzazione della CMB e „ 10 volte piu difficile della misura dellefluttuazioni di temperatura sia da un punto di vista teorico che sperimentale.

16.6 La polarizzazione della CMB 29

16.6.1 Polarizzazione da parte della superficie di ultimo scatte-ring

Il meccanismo per creare la polarizzazione della CMB e sempre lo scattering Thomsondella radiazione da parte degli elettroni liberi. Lo scattering Thomson della radiazioneda parte di un elettrone libero crea una radiazione polarizzata al 100% quando l’elettronee visto perpendicolarmente alla direzione di propagazione della radiazione. Tuttavia,nel caso della radiazione cosmica di fondo, la distribuzione della radiazione e altamenteisotropa e questo porterebbe alla completa cancellazione del segnale polarizzato a seguitodell’ultimo scattering con gli elettroni. Anche nel caso di una distribuzione dipolare delcampo di radiazione si avrebbe una polarizzazione nulla per la simmetria dipolare delprocesso di scattering Thomson.

L’unico modo per avere un segnale di polarizzazione e pertanto quello di avere uncampo di radiazione che incide sugli elettroni della superficie di ultimo scattering con unaanisotropia di quadrupolo. Supponiamo di avere tale campo di radiazione incidente deltipo

I “ I0

«

1` aµ` b

ˆ

µ2´

1

3

˙

`

8ÿ

n“3

cnPn

ff

con µ “ cos θ e i Pn polinomi di Legendre. aµ e il termine di dipolo mentre il termine conb e quello di quadrupolo. Se τ e la profondita ottica per scattering Thomson, integrandosu tutti i possibili angoli di incidenza della radiazione si trova che

p “I‖ ´ IKI‖ ` IK

“ 0.1bµ2τ

poiche, nella parte di Rayleigh Jeans dello spettro gli a, b, cn sono tutti indipendenti daν. Una polarizzazione non nulla dipende pertanto dall’anisotropia di quadrupolo dellaradiazione incidente prima dell’ultimo scattering (termine con b).

La radiazione vista da un elettrone nello strato di ultimo scattering e anisotropa acausa dello spostamento Doppler associato al termine di dipolo Θ1 nell’espressione dellospettro di potenza delle fluttuazioni di temperatura: queste risultano in perturbazioni delprimo ordine del tipo ∆T T “ vc cos θ che sono a loro volta la sorgente della distribuzionequadrupolare di intensita.

Come abbiamo gia discusso, in figura 16.10 in nero e rappresentato lo spettro di po-tenza totale, in rosso il contributo dell’effetto Sachs Wolfe (monopolo), in blu il dipolo(Doppler) mentre in verde c’e il contributo dell’effetto Sachs Wolfe integrato. La com-ponente Doppler e fuori fase con il monopoli (come visto con Θ0 e Θ1); il suo spettrodecresce per l decrescente in quanto non ci sono oscillazioni coerenti per λ ą λs.

La formazione del segnale polarizzato richiede due scattering Thomson: il primo scat-tering crea il campo quadrupolare poiche gli elettroni si trovano nella materia in moto(Θ1); il secondo scattering che avviene per un campo quadrupolare da infine il segnale dipolarizzazione non nullo.

Questi due scattering avvengono entrambi nello strato di ultimo scattering. Di conse-guenza, il massimo del segnale polarizzato si ha per perturbazioni con scala λ dello stessoordine del cammino libero medio dei fotoni nello strato di ultimo scattering. E’ crucialeche questi processi avvengano solo nello strato di ultimo scattering. Se ci fossero moltialtri fenomeni di scattering la polarizzazione sarebbe cancellata, cosı come avviene primadella ricombinazione. Quindi e il fatto che i fotoni si muovono liberamente a partire dallesuperficie di ultimo scattering che determina l’esistenza di un segnale di polarizzazione.


Come conseguenza il segnale di polarizzazione e anche molto piu debole delle fluttuazionidi densita.

16.6.2 Analisi del segnale di polarizzazione

La polarizzazione della radiazione cosmica di fondo puo essere analizzata in modo analogoa quanto si fa per le fluttuazioni di temperatura viste nell’intensita totale di radiazione.Senza entrare nei dettagli, cosı come ∆T T dall’intensita totale e espansa in armonichesferiche, allo stesso modo si puo scomporre in armoniche sferiche il tensore di polarizza-zione (2 ˆ 2) costruito a partire dai parametri di Stokes Q e U , che descrivono i modidi polarizzazione lineare ortogonali: il tensore di polarizzazione e quindi scomposto indue tipi di componenti, i modi E (curl-free, a rotore nullo, analoghi come comporta-mento al vettore campo elettrico) ed i modi B (curl-free, a rotore nullo analoghi comecomportamento al vettore campo magnetico).

E’ importante notare qui che le perturbazioni scalari ed i modi h` delle onde gravita-zionali possono dare origine ai modi E, mentre solo i modi hˆ delle onde gravitazionalipossono dare origine ai modi B.

Pertanto, venendo adesso alla scomposizione in armoniche sferiche, si considera

• p∆T T qT , fluttuazioni di temperatura nella radiazione totale (T ), ovvero quelle ilcui spettro abbiamo analizzato fino ad ora;

• p∆T T qE, fluttuazioni di temperatura nei modi E della radiazione polarizzata;

• p∆T T qB, fluttuazioni di temperatura nei modi B della radiazione polarizzata.

Lo spettro di potenza si ottiene quindi a partire dalla cross correlazione dei segnalisecondo la relazione gia vista

Cpθq “

B

∆T

Tp~u1q

∆T

Tp~u2q

F

“

8ÿ

l“2

2l ` 1

4πCl Plpcos θq

Si indica quindi con CTTl lo spettro di potenza derivato dalla cross-correlazione del segnale

nell’intensita totale

CTTpθq “

Bˆ

∆T

T

˙

T

p~u1q

ˆ

∆T

T

˙

T

p~u2q

F

“

8ÿ

l“2

2l ` 1

4πCTT

l Plpcos θq

CEEl e lo spettro dalla cross correlazione dei modi E della radiazione polarizzata

CEEpθq “

Bˆ

∆T

T

˙

E

p~u1q

ˆ

∆T

T

˙

E

p~u2q

F

“

8ÿ

l“2

2l ` 1

4πCEE

l Plpcos θq

CBBl e lo spettro dalla cross correlazione dei modi B della radiazione polarizzata

CBBpθq “

Bˆ

∆T

T

˙

B

p~u1q

ˆ

∆T

T

˙

B

p~u2q

F

“

8ÿ

l“2

2l ` 1

4πCBB

l Plpcos θq

e CTEl e lo spettro dalla cross correlazione dei modi E della radiazione polarizzata con la

radiazione totale T

CTEpθq “

Bˆ

∆T

T

˙

T

p~u1q

ˆ

∆T

T

˙

E

p~u2q

F

“

8ÿ

l“2

2l ` 1

4πCTE

l Plpcos θq

16.6 La polarizzazione della CMB 31

15.8 The Polarisation of the Cosmic Microwave Background Radiation 457

Fig. 15.10. The measured power spectrum of fluctuations in the intensity and polarisationof the cosmic microwave background radiation. Plots for the total intensity, the polarisedintensity and the cross-correlation between the total intensity and the polarised intensity arelabelled TT, EE and TE respectively. The best fitting model is shown by the correspondinglines. The dashed sections of the TE curve indicates multipoles in which the polarisationsignal is anticorrelated with the total intensity. The model predictions are binned in l in thesame way as the data. The binned EE polarisation data are divided into bins of 2 ≤ l ≤ 5,6 ≤ l ≤ 49, 50 ≤ l ≤ 199, and 200 ≤ l ≤ 799. The dotted line labelled BB shows theexpected power spectrum of B-mode gravitational waves if the primordial ratio of tensorto scalar perturbations was r = ∆2

t /∆2s = 0.3. The WMAP experiment found only upper

limits to this signal, the 1σ upper limit corresponding to 0.17 µK for the weighted average ofmultipoles l = 2–10. The B-mode signal due to gravitational lensing of the E-modes is shownas a dashed line labelled BB(lens). The upturn in the polarised signal at l ≤ 10 is associatedwith polarisation originating during the reionisation era. The foreground model for galacticsynchrotron radiation plus dust emission is shown as straight dashed lines labelled EE(fore)and BB(fore) for the scalar and tensor modes respectively, both being evaluated at ν = 65GHz (Page et al., 2007)

Figura 16.13: Spettro di potenza delle fluttuazioni di temperatura per la radiazione totale(TT), per i modi E e B della radiazione polarizzata (EE e BB) e per la cross correlazionetra l’intensita totale e l’intensita della radiazione polarizzata E (TE). I dati si riferisconoall’esperimento WMAP che ha potuto determinare solo un limite superiore per i modi B(onde gravitazionali). EEpforeq e BBpforeq rappresentano una stima del segnale creatodalla polarizzazione della radiazione nel percorso tra la superficie di ultimo scattering e noi(principalmente scattering da parte dei grani di polvere nella nostra galassia). BBplensqe invece il contributo da parte del lensing gravitazionale dei fotoni della CMB da partedelle perturbazioni (ammassi, principalmente) tra la superficie di ultimo scattering e noi.

Ricordiamo che solo i modi B di polarizzazione sono prodotti unicamente dalle ondegravitazionali (modi hˆ).

In figura 16.13 si confrontano i segnali dello spettro di potenza delle fluttuazioni di Itotale (TT) con quelli ottenuti dalla polarizzazione della CMB. Lo spettro di potenza dellaradiazione polarizzata prodotto dalle fluttuazioni scalari e dalle onde gravitazionali (modih`) e scomposto nel segnale EE e BB (solo modi h`). La curva e la predizione del modellodi best fit che spiega anche lo spettro totale TT. TE e lo spettro di potenza della crosscorrelazione tra Itot e Ipol,E; poiche la Ipol,E e strettamente legata al termine di dipolo inItot, il segnale di dipolo e di polarizzazione sono piu strettamente correlati del segnale EEcon se stesso. La componente polarizzata e circa 90˝ fuori fase con il monopolo dominanteper cui lo spettro di potenza della cross-correlazione ha il doppio dei minimi rispetto a TT


o EE. Le righe tratteggiate nella TE predetta mostrano le regioni dello petto anticorrelate:il segnale anticorrelato tra l “ 60 e 200 e caratteristico delle perturbazioni primordialiadiabatiche. Per l ă 10 l’aumento del segnale polarizzato e legato alla reionizzazione delgas intergalattico a cui abbiamo accennato prima e che avviene a partire da z „ 10´ 20.

16.6.3 Onde gravitazionali primordiali

Come abbiamo visto, il segnale di polarizzazione puo essere decomposto in una compo-nente E associata alle perturbazioni scalari ed ai modi h` delle onde gravitazionali edin una componente B associata ai hˆ. Quindi, mentre le componenti di tipo E possonoessere generate sia da perturbazioni scalari che tensoriali, quelle di tipo B possono esseregenerate solo da perturbazioni tensoriali (onde gravitazionali).

Tornando alla figura 16.13BB rappresenta lo spettro di potenza del segnale polarizzatoassociato ai modi B delle onde gravitazionali (hˆ); nel caso in figura il modello e calcolatoper un rapporto primordiale r “ ∆2

T ∆2S “ 0.3. Si noti come questo sia consistente con

l’upper limit trovato da WMAP ha trovato solo un upper limit (barretta e freccia verticaleblu in figura attorno a l « 4).

BB (lens) rappresenta il segnale di tipo B associato al lensing gravitazionale dei modiE (non entriamo in dettaglio). EEpforeq e BBpforeq rappresentano il contributo diforeground alla polarizzazione dovuto alla radiazione di sincrotrone ed all’emissione dellapolvere galattica, la cui sottrazione e critica per rivelare le onde primordiali; EEpforeqinfluenza le perturbazioni scalari e tensoriali mentre BBpforeq solo quelle tensoriali.

Molto recentemente l’esperimento BICEP2 (radiotelescopio in Antartide) potrebbeessere riuscito a misurare il segnale dei modi B. BICEP2 ha osservato una regione dicielo molto piccola (´50˝ ă RA ă 50˝, ´68˝ ă DEC ă ´47˝) ottenendo il segnaledella CMB in intensita totale (T ) e nei parametri di Stokes Q e U (figura 16.14). Lemappe di polarizzazione nei modi E e B successivamente ottenuti sono riportati in figura16.15: come si nota confrontando le osservazioni (colonna di sinistra) con le predizioni delsolo lensing gravitazionale nel modello ΛCDM, e chiaramente presente del segnale B ineccesso. Questo segnale contiene sia la polarizzazione di foreground (di origine galattica)sia, eventualmente, quella dovuta alle onde gravitazionali.

Dopo aver corretto per la polarizzazione di foreground, si ottengono i risultati indicatiin figura 16.16 da cui si evince che r “ 0.20`0.07

´0.05 con r “ 0 fuori di 7σ dal best fit; leosservazioni sono ottimamente fittate con un modello ΛCDM (con lensing) in cui i modiB sono dovuti ai modi hˆ delle onde gravitazionali. Questo risultato sembra indicare chefinalmente sono state rivelate le onde gravitazionali predette dal modello inflazionario (inrealta il valore di r ottenuto molto alto rispetto a quanto atteso da gran parte dei modelliinflazionari); tuttavia non bisogna dimenticare che un punto critico di tutta l’analisi e lastima del contributo dovuto alla polarizzazione di foreground, ancora piuttosto incerto.Era pertanto necessario attendere il rilascio dei dati di polarizzazione di Planck per averela conferma o il rigetto dei risultati di BICEP2. Questi hanno poi mostrato come il segnalevisto da BICEP2 sia in realta un residuo del segnale di polarizzazione dovuta alla polveregalattica. L’analisi combinata dei dati di BICEP2 e Planck ha poi posto fine alla questionedeterminando il limite superiore a r, pari a r ă 0.12 al 95% di livello di confidenza. Inconclusione, quella che e stata indicata come la “smoking gun” del modello inflazionariodeve ancora attendere un po’ prima di essere confermata (o rigettata) definitivamente.

16.7 Determinazione dei parametri cosmologici 33 7

T signal

−70

−65

−60

−55

−50

−45T jackknife

Q signal

−70

−65

−60

−55

−50

−45Q jackknife

Right ascension [deg.]

Dec

linat

ion

[deg

.]

U signal

−50050−70

−65

−60

−55

−50

−45U jackknife

−50050

−100

0

100

−3

0

3

−3

0

3

µK

µK

µK

FIG. 1. BICEP2 T , Q, U maps. The left column shows the basic signal maps with 0.25 pixelization as output by thereduction pipeline. The right column shows di↵erence (jackknife) maps made with the first and second halves of the data set.No additional filtering other than that imposed by the instrument beam (FWHM 0.5) has been done. Note that the structureseen in the Q and U signal maps is as expected for an E-mode dominated sky.

To construct constrained Q and U sky maps which re-spect the known CDM TE correlation we start from amap of the well-measured temperature anisotropy, specif-ically the Planck needlet internal linear combination(NILC) T map [73]. We calculate the aT

`m using the syn-fast software from the healpix [74] package [75], andthen calculate sets of aE

`m using

aE`m =

CTE`

CTT`

aT`m +

qCEE

` (CTE` )2/CTT

` n`m (1)

where the C`’s are CDM spectra from CAMB [76] withcosmological parameters taken from Planck [9], and then`m are normally distributed complex random numbers.For CTT

` we use a lensed-CDM spectrum since the aT`m

from Planck NILC inherently contain lensing. We havefound the noise level in the Planck NILC maps for our re-gion of observation and multipole range to be low enoughthat it can be ignored.

Using the aE`m we generate Nside = 2048 maps using

synfast. We substitute in the aT`m from Planck 143 GHz

so that the T map more closely resembles the T sky weexpect to see with BICEP2. (This is also the map thatis used in Sec. IV F to construct deprojection templates.)Additionally, we add in noise to the T map at the levelpredicted by the noise covariance in the Planck 143 GHzmap, which allows us to simulate any deprojection resid-ual due to noise in the Planck 143 GHz map.

2. Lensing of input maps

Lensing is added to the unlensed-CDM maps usingthe lenspix [77] software [78]. We use this software togenerate lensed versions of the constrained CMB inputa`m’s described in Sec. VA 1. Input to the lensing opera-tion are deflection angle spectra that are generated withCAMB as part of the standard computation of CDMspectra. The lensing operation is performed before thebeam smoothing is applied to form the final map prod-ucts. We do not apply lensing to the 143 GHz tempera-ture aT

`m from Planck since these inherently contain lens-

Figura 16.14: Mappe di intensita della radiazione cosmica di fondo ottenute da BICEP2:intensita totale T (alto) e parametri di Stokes Q e U .

16.7 Determinazione dei parametri cosmologici

Come visto fino ad ora, dall’analisi dello spettro di potenza della CMB si possono ottenerevincoli molto importanti per molti parametri cosmologici. Tuttavia i risultati piu impor-tanti si ottengono combinando molte osservazioni indipendenti e/o di natura diversa tracui, ad esempio, le misure delle Supernovae di tipo Ia e la funzione di correlazione spazialedelle galassie.

Per far cio, e prima necessario stabilire quali sono i parametri da considerare nel calcolodei modelli e quindi dello spettro della CMB, della ξprq per le galassie, delle DLpzq perle supernovae ecc. I parametri principali utilizzati ed il loro significato sono indicati intabella 16.2, in cui si possono riconoscere tutti i parametri gia visti fin qui. In piu c’e lafrazione dei neutrini “massicci” fn (particelle la cui esistenza non e ancora stata accertata),

34 Le fluttuazioni della radiazione cosmica di fondo11

BICEP2: E signal

1.7µK

−65

−60

−55

−50

Simulation: E from lensed−ΛCDM+noise

1.7µK

Right ascension [deg.]

Dec

linat

ion

[deg

.]

BICEP2: B signal

0.3µK

−50050

−65

−60

−55

−50

Simulation: B from lensed−ΛCDM+noise

0.3µK

−50050

−1.8

0

1.8

−0.3

0

0.3

µK

µK

FIG. 3. Left: BICEP2 apodized E-mode and B-mode maps filtered to 50 < ` < 120. Right: The equivalent maps for the firstof the lensed-CDM+noise simulations. The color scale displays the E-mode scalar and B-mode pseudoscalar patterns whilethe lines display the equivalent magnitude and orientation of linear polarization. Note that excess B mode is detected overlensing+noise with high signal-to-noise ratio in the map (s/n > 2 per map mode at ` 70). (Also note that the E-mode andB-mode maps use di↵erent color and length scales.)

the observed value against the distribution of the simu-lations.

We evaluate these statistics both for the full set ofnine band powers (as in C10 and B14), and also for thelower five of these corresponding to the multipole rangeof greatest interest (20 < ` < 200). Numerical valuesare given in Table I and the distributions are plotted inFig. 4. Since we have 500 simulations the minimum ob-servable nonzero value is 0.002. Most of the TT , TE, andTB jackknifes pass, but following C10 and B14 we omitthem from formal consideration (and they are not in-cluded in the table and figure). The signal-to-noise ratioin TT is 104 so tiny di↵erences in absolute calibrationbetween the data subsets can cause jackknife failure, andthe same is true to a lesser extent for TE and TB. Evenin EE the signal-to-noise is approaching 103 (500 inthe ` 110 bin) and in fact most of the low values inthe table are in EE. However, with a maximum signal-to-noise ratio of < 10 in BB such calibration di↵erencesare not a concern. All the BB (and EB) jackknifes areseen to pass, with the 112 numbers in Table I having onegreater than 0.99, one less than 0.01 and a distributionconsistent with uniform. Note that the four test statis-tics for each spectrum and jackknife are correlated thismust be taken into account when assessing uniformity.

To form the jackknife spectra we di↵erence the mapsmade from the two halves of the data split, divide by two,and take the power spectrum. This holds the power spec-trum amplitude of a contribution which is uncorrelated in

0 0.5 10

1

2

3

4

5

6Bandpowers 1−5 χ2

0 0.5 10

1

2

3

4

5

6Bandpowers 1−9 χ2

0 0.5 10

1

2

3

4

5

6Bandpowers 1−5 χ

0 0.5 10

1

2

3

4

5

6Bandpowers 1−9 χ

FIG. 4. Distributions of the jackknife 2 and PTE valuesover the 14 tests and three spectra given in Table I. Thesedistributions are consistent with uniform.

Figura 16.15: Modi E e B del segnale polarizzato ottenuti dall’analisi dei parametridi Stokes Q e U riportati nella figura precedente; nella colonna di sinistra c’e il segnaleosservato nella colonna di destra il risultato di una simulazione nel modello ΛCDM incui e presente solo l’effetto del lensing gravitazionale con l’aggiunta di rumore (nellasimulazione non ci sono quindi onde gravitazionali). E’ chiaramente presente del segnaleB in eccesso a quanto atteso per il solo lensing gravitazionale.

22

101 102 10310−3

10−2

10−1

100

101

102

BICEP2BICEP1 Boomerang

CAPMAP

CBI

DASIQUADQUIET−QQUIET−W

WMAP

r=0.2lensin

g

Multipole

l(l+1

)ClBB

/2π

[µK2 ]

FIG. 14. BICEP2 BB auto spectra and 95% upper limitsfrom several previous experiments [2, 40, 42, 43, 47, 49–51,106]. The curves show the theory expectations for r = 0.2and lensed-CDM. The BICEP2 uncertainties include samplevariance on an r = 0.2 contribution.

on the tensor-to-scalar ratio and find r = 0.20+0.070.05 with

r = 0 ruled out at a significance of 7.0, with no fore-ground subtraction. Multiple lines of evidence suggestthat the contribution of foregrounds (which will lowerthe favored value of r) is subdominant: (i) direct pro-jection of the available foreground models using typicalmodel assumptions, (ii) lack of strong cross-correlation ofthose models against the observed sky pattern (Fig. 6),(iii) the frequency spectral index of the signal as con-strained using BICEP1 data at 100 GHz (Fig. 8), and(iv) the power spectral form of the signal and its appar-ent spatial isotropy (Figs. 3 and 10).

Subtracting the various dust models at their defaultparameter values and re-deriving the r constraint stillresults in high significance of detection. As discussedabove, one possibility that cannot be ruled out is a largerthan anticipated contribution from polarized dust. Giventhe present evidence disfavoring this, these high valuesof r are in apparent tension with previous indirect limitsbased on temperature measurements and we have dis-cussed some possible resolutions including modificationsof the initial scalar perturbation spectrum such as run-ning. However, we emphasize that we do not claim toknow what the resolution is, if one is in fact necessary.

Figure 14 shows the BICEP2 results compared to pre-vious upper limits. We have pushed into a new regime ofsensitivity, and the high-confidence detection of B-modepolarization at degree angular scales brings us to an ex-citing juncture. If the origin is in tensors, as favored bythe evidence presented above, it heralds a new era of B-mode cosmology. However, if these B modes representevidence of a high-dust foreground, it reveals the scale ofthe challenges that lie ahead.

ACKNOWLEDGMENTS

BICEP2 was supported by the U.S. National ScienceFoundation under Grants No. ANT-0742818 and ANT-1044978 (Caltech and Harvard) and ANT-0742592 andANT-1110087 (Chicago and Minnesota). The develop-ment of antenna-coupled detector technology was sup-ported by the JPL Research and Technology Develop-ment Fund and Grants No. 06-ARPA206-0040 and 10-SAT10-0017 from the NASA APRA and SAT programs.The development and testing of focal planes were sup-ported by the Gordon and Betty Moore Foundationat Caltech. Readout electronics were supported by aCanada Foundation for Innovation grant to UBC. Thereceiver development was supported in part by a grantfrom the W.M. Keck Foundation. The computations inthis paper were run on the Odyssey cluster supported bythe FAS Science Division Research Computing Group atHarvard University. The analysis e↵ort at Stanford andSLAC is partially supported by the U.S. Department ofEnergy Oce of Science. Tireless administrative sup-port was provided by Irene Coyle and Kathy Deniston.We thank the sta↵ of the U.S. Antarctic Program andin particular the South Pole Station without whose helpthis research would not have been possible. We thank allthose who have contributed past e↵orts to the BICEP–Keck Array series of experiments, including the BICEP1and Keck Array teams. We thank all those in the as-trophysics community who have contributed feedback onthe public preprint of this paper, and particularly twoanonymous referees for their detailed and constructiverecommendations. This work would not have been pos-sible without the late Andrew Lange, whom we sorelymiss.

Note added

Since we submitted this paper new information onpolarized dust emission has become available from thePlanck experiment in a series of papers [107–110]. Whilethese confirm that the modal polarization fraction of dustis 4%, there is a long tail to fractions as high as 20%(see Fig. 7 of [107]). There is also a trend to higher po-larization fractions in regions of lower total dust emission[see Fig. 18 of [107] noting that the BICEP2 field has acolumn density of (12)1020 H cm2]. We note thatthese papers restrict their analysis to regions of the skywhere “systematic uncertainties are small, and where thedust signal dominates total emission,” and that this ex-cludes 21% of the sky that includes the BICEP2 region.Thus while these papers do not o↵er definitive informa-tion on the level of dust contamination in our field, theydo suggest that it may well be higher than any of themodels considered in Sec. IX.

In addition there has been extensive discussion ofour preprint in the cosmology community. Twopreprints [111, 112] look at polarized synchrotron emis-

21

0.94 0.96 0.98 1.00

ns

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

r 0.0

02

Planck+WP+highL

Planck+WP+highL+BICEP2

FIG. 13. Indirect constraints on r from CMB temperaturespectrum measurements relax in the context of various modelextensions. Shown here is one example, following PlanckXVI [9] Fig. 23, where tensors and running of the scalar spec-tral index are added to the base CDM model. The contoursshow the resulting 68% and 95% confidence regions for r andthe scalar spectral index ns when also allowing running. Thered contours are for the “Planck+WP+highL” data combi-nation, which for this model extension gives a 95% boundr < 0.26 [9]. The blue contours add the BICEP2 constrainton r shown in the center panel of Fig. 10. See the text forfurther details.

lease [104] (and are thus identical to those shown in thatPlanck paper). We then apply importance sampling [105]to these chains using our r likelihood as shown in Fig. 10to derive the blue contours, for which the running pa-rameter constraint shifts to dns/d ln k = 0.028 ± 0.009(68%).

The point of Fig. 13 is not to endorse running as thecorrect explanation of the observed deficit of low ` TTpower. It is simply to illustrate one example of a sim-ple model extension beyond standard CDM+tensorswhich can resolve the apparent tension between previ-ous TT measurements and the direct evidence for ten-sors provided by our B-mode measurements—probablythere are others. Of course, one might also speculatethat the tension could be reduced within the standardCDM+tensors model, for example if or other param-eters were allowed to shift. We anticipate a broad rangeof possibilities will be explored.

XII. CONCLUSIONS

We have described the observations, data reduction,simulation, and power spectrum analysis of all three sea-sons of data taken by the BICEP2 experiment. The po-larization maps presented here are the deepest ever madeat degree angular scales having noise level of 87 nK-deg

in Q and U over an e↵ective area of 380 square deg.

To fully exploit this unprecedented sensitivity we haveexpanded our analysis pipeline in several ways. We haveadded an additional filtering of the time stream using atemplate temperature map (from Planck) to render theresults insensitive to temperature to polarization leak-age caused by leading order beam systematics. In addi-tion we have implemented a map purification step thateliminates ambiguous modes prior to B-mode estima-tion. These deprojection and purification steps are bothstraightforward extensions of the kinds of linear filteringoperations that are now common in CMB data analysis.

The power spectrum results are consistent with lensed-CDM with one striking exception: the detection of alarge excess in the BB spectrum in the ` range wherean inflationary gravitational wave signal is expected topeak. This excess represents a 5.2 excursion from thebase lensed-CDM model. We have conducted a wide se-lection of jackknife tests which indicate that the B-modesignal is common on the sky in all data subsets. Thesetests o↵er strong empirical evidence against a systematicorigin for the signal.

In addition, we have conducted extensive simulationsusing high fidelity per channel beam maps. These con-firm our understanding of the beam e↵ects, and that afterdeprojection of the two leading order modes, the residualis far below the level of the signal which we observe.

Having demonstrated that the signal is real and “onthe sky” we proceeded to investigate if it may be due toforeground contamination. Polarized synchrotron emis-sion from our galaxy is estimated to be negligible usinglow frequency polarized maps from WMAP. For polar-ized dust emission public maps are not yet available. Wetherefore investigate a number of commonly used modelsand one which uses information which is currently o-cially available from Planck. At default parameter valuesthese models predict auto spectrum power well below ourobserved level. However, these models are not yet wellconstrained by external public data, which cannot em-pirically exclude dust emission bright enough to explainthe entire excess signal. In the context of the DDM1model, explaining the entire excess signal would requireincreasing the predicted dust power spectrum by 6, forexample by increasing the assumed uniform polarizationfraction in our field from 5% (a typical value) to 13%.None of these models show significant cross-correlationwith our maps (although this may be interpreted simplyas due to limitations of the models).

Taking cross spectra against 100 GHz maps from BI-CEP1 we find significant correlation and set a constrainton the spectral index of the B-mode excess consistentwith CMB and disfavoring dust by 1.7. The fact thatthe BICEP1 and Keck Array maps cross correlate withBICEP2 is powerful further evidence against systematics.

An economical interpretation of the B-mode signalwhich we have detected is that it is largely due to tensormodes—the IGW template is an excellent fit to the ob-served excess. We therefore proceed to set a constraint

12

chrotron to have a power law spectrum D` /`0.6 [23], with free amplitude Async, where Async isthe amplitude at ` = 80 and at 150GHz, and scal-ing with frequency according to 3.3. In such ascenario we can vary the degree of correlation thatis assumed between the dust and synchrotron skypatterns. Figure 8 shows results for the uncorre-lated and fully correlated cases. Marginalizing overr and Ad we find Async < 0.0003 µK2 at 95% con-fidence for the uncorrelated case, and many timessmaller for the correlated. This last is because onceone has a detection of dust it e↵ectively becomesa template for the synchrotron. This synchrotronlimit is driven by the Planck 30 GHz band—we ob-tain almost identical results when adding only thisband, and a much softer limit when not including it.If we instead assume synchrotron scaling of 3.0

the limit on Async is approximately doubled for theuncorrelated case and reduced for the correlated.(Because the DS1DS2 data-split is not availablefor the Planck LFI bands we switch to Y1Y2 forthis variant analysis, and so we compare to thiscase in Fig. 8 rather than the usual fiducial case.)

• Varying lensing amplitude: in the fiducial anal-ysis the amplitude of the lensing e↵ect is heldfixed at the CDM expectation (AL = 1). Usingtheir own and other data, the Planck Collabora-tion quote a limit on the amplitude of the lens-ing e↵ect versus the CDM expectation of AL =0.99 ± 0.05 [3]. Allowing AL to float freely, andusing all nine bandpowers, we obtain the resultsshown in Fig. 9—there is only weak degeneracy be-tween AL and both r and Ad. Marginalizing over rand Ad we find AL = 1.13 ± 0.18 with a likelihoodratio between zero and peak of 31011. Using theexpression given in Sec. III B this corresponds to asmaller-than probability of 21012, equivalent toa 7.0 detection of lensing in the BB spectrum.We note this is the most significant to-date directmeasurement of lensing in B-mode polarization.

IV. LIKELIHOOD VALIDATION

A. Validation with simulations

We run the algorithm used in Sec. III B on ensembles ofsimulated realizations to check its performance. We firstconsider a model where r = 0 and Ad = 3.6 µK2, this lat-ter being close to the value favored by the data in a dust-only scenario [45]. We generate Gaussian random real-izations using the fiducial spatial power law D` / `0.42,scale these to the various frequency bands using the mod-ified blackbody law with Td = 19.6 K and d = 1.59,and add to the usual realizations of lensed-CDM+noise.Figure 10 shows some of the resulting r and Ad constraint

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

r

L/L pe

ak

Fiducial analysisY1xY2no 217GHzOnly BKxBK&BKxP3539 bandpowersInc. EE (EE/BB=2)relax βd prior

Gauss detalt. HL fid. model

FIG. 7. Likelihood results when varying the data sets usedand the model priors—see Sec III C for details.

0 0.1 0.2 0.30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

r

No Sync+Sync uncorr.+Sync 100% corr

Async @ l=80 & 150GHz [µK2]

A d @ l=

80 &

353

GH

z [µ

K2 ]

0 1 2 3 4x 10−4

0

1

2

3

4

5

6

7

FIG. 8. Likelihood results for a fit when adding the lowerfrequency bands of Planck, and extending the model to in-clude a synchrotron component. The results for two di↵er-ent assumed degrees of correlation between the dust and syn-chrotron sky patterns are compared to those for the compa-rable model without synchrotron (see text for details).

curves, with the result for the real data from Fig. 6 over-plotted. As expected, approximately 50% of the r like-lihoods peak above zero. The median 95% upper limitis r < 0.075. We find that 8% of the realizations havea ratio L0/Lpeak less than the 0.38 observed in the realdata, in agreement with the estimate in Sec. III B. Run-ning these dust-only realizations for BICEP2 only andKeck Array only, we find that the shift in the maximumlikelihood value of r seen in the real data in Fig. 6 isexceeded in about 10% of the simulations.

The above simulations assume that the dust compo-nent follows on average the fiducial D` / `0.42 spatialpower law, and fluctuates around it in a Gaussian man-ner. To obtain sample dust sky patterns that may deviatefrom this behavior in a way which better reflects reality,we take the pre-launch version of the Planck Sky Model(PSM; version 1.7.8 run in “simulation” mode) [24] eval-uated in the Planck 353 GHz band and pull out the same352 |b| > 35 partially overlapping regions used in PIP-XXX. We then scale these to the other bands and proceed

Figura 16.16: Sinistra: i punti neri con errori rappresentano lo spettro di potenza dellefluttuazioni osservato da BICEP2 nei modi B (CBB

l ); le curve rosse rappresentano il mo-dello di best fit per r “ 0.2 con il corrispondente contributo del lensing gravitazionale. Glialtri punti rappresentano gli upper limit da tutti gli altri esperimenti precedenti. Centro:contorni di confidenza (68% e 95%) per la misura del parametro r (ordinata) e ns (ascis-sa), pendenza dello spettro di potenza delle fluttuazioni primordiali (P pkq9 kns e ns “ 1nel caso dello spettro di Harrison Zel’dovich). “Planck+WP+highL” rappresenta i vincolidai dati combinati di Planck, WMAP (polarizzazione a bassi l - WP) e degli esperimentiat alto l ACT e SPT (highL). Senza i dati di BICEP2 si ha solo un limite superiore perr. Destra: distribuzione di probabilita per r dopo l’analisi combinata dei dati di BICEPcon Planck; le varie curve corrispondono a diverse possibilita seguite nell’analisi. Allafine risulta che r ă 0.12 al 95% di confidenza.

l’ampiezza dello spettro di potenza delle fluttuazioni scalari As, la pendenza dello spettrodi potenza delle fluttuazioni tensoriali nt (onde gravitazionali) e un parametro che descrive

16.7 Determinazione dei parametri cosmologici 35Parametri cosmologici• h = (H0/100 km s−1 Mpc−1)

• ωb = Ωbh2, the baryon density parameter

• ωd = Ωdh2 dark matter density parameter

• ΩΛ = dark energy density parameter

• w = dark energy equation of state, p = wρc2 (w = −1 ”prefered”)

• τ = reionisation optical depth

• ΩK = space curvature, recalling that Ωm + ΩΛ + ΩK = 1

• As = amplitude of scalar power-spectrum

• ns = scalar spectral index; ns = 1 preferred

• a = running of scalar spectral index

• r = tensor-scalar ratio

• nt = tensor spectral index

• b = bias factor

• fn = neutrino fraction Show simulations

36Tabella 16.2: Principali parametri (e loro significato) utilizzati nel calcolo dei modellicosmologici che determinano, tra gli altri, lo spettro di potenza delle fluttuazioni dellaCMB, la funzione di correlazione a due punti delle galassie, ecc.

la curvatura, rispetto ad una legge di potenza, dello spettro delle fluttuazioni scalariprimordiali:

a “dplnnsq

dpln kq(a “running of scalar spectral index”)

per cui lo spettro di potenza primordiale delle fluttuazioni scalari e

lnP pkq “ ns ln k ` apln kq2

Successivamente si stabiliscono degli intervalli in cui questi parametri possono “ra-gionevolmente” variare o sulla base della nostra intuizione fisica o sulla base di misureprecedenti. L’analisi standard quindi prevede l’utilizzo della statistica Bayesiana (ovverobasata su teorema di Bayes) in base alla quale, se Θ e l’insieme dei parametri liberi e De l’insieme dei dati osservativi, si ha

P pΘ|Dq “P pD|ΘqP pΘq

P pDq

P pΘ|Dq e la probabilita di avere il set di valori Θ dei parametri liberi date le osservazioniD; e quella che viene chiamata “posterior distribution” ed e quella che deve essere mas-simizzata nel processo di fit; P pD|Θq e la probabilita di avere il set di dati D per i valoridei parametri Θ; in pratica e la probabilita che si usa, ad esempio, per determinare il χ2.P pΘq e la probabilita di avere i valori Θ dei parametri basata sulla nostra conoscenzapregressa (come detto prima, misure precedenti o valori ragionevoli sulla ade della nostraintuizione fisica); prende il nome di “prior distribution”. La P pDq e semplicemente una


Planck Collaboration: The Planck mission

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

DT

T

[µK

2]

30 500 1000 1500 2000 2500

-60-3003060

D

TT

2 10-600-300

0300600

Fig. 9. The Planck 2015 temperature power spectrum. At multipoles ` 30 we show the maximum likelihood frequency averagedtemperature spectrum computed from the Plik cross-half-mission likelihood with foreground and other nuisance parameters deter-mined from the MCMC analysis of the base CDM cosmology. In the multipole range 2 ` 29, we plot the power spectrumestimates from the Commander component-separation algorithm computed over 94 % of the sky. The best-fit baseCDM theoreticalspectrum fitted to the Planck TT+lowP likelihood is plotted in the upper panel. Residuals with respect to this model are shown inthe lower panel. The error bars show ±1 uncertainties. From Planck Collaboration XIII (2015).

-140

-70

0

70

140

DT

E`

[µK

2]

30 500 1000 1500 2000

`

-100

10

D

TE

`

0

20

40

60

80

100

CEE

`[1

05µK

2]

30 500 1000 1500 2000

`

-404

CE

E`

Fig. 10. Frequency-averaged T E (left) and EE (right) spectra (without fitting for T–P leakage). The theoretical T E and EE spectraplotted in the upper panel of each plot are computed from the best-fit model of Fig. 9. Residuals with respect to this theoretical modelare shown in the lower panel in each plot. The error bars show ±1 errors. The green lines in the lower panels show the best-fittemperature-to-polarization leakage model, fitted separately to the T E and EE spectra. From Planck Collaboration XIII (2015).

cosmological information if we assume that the anisotropies arepurely Gaussian (and hence ignore all non-Gaussian informa-tion coming from lensing, the CIB, cross-correlations with otherprobes, etc.). Carrying out this procedure for the Planck 2013TT power spectrum data provided in Planck Collaboration XV(2014) and Planck Collaboration XVI (2014), yields the number826 000 (which includes the e↵ects of instrumental noise, cos-mic variance and masking). The 2015 TT data have increasedthis value to 1 114 000, with T E and EE adding a further 60 000

and 96 000 modes, respectively.4 From this perspective the 2015Planck data constrain approximately 55 % more modes than inthe 2013 release. Of course this is not the whole story, sincesome pieces of information are more valuable than others, andin fact Planck is able to place considerably tighter constraints onparticular parameters (e.g., reionization optical depth or certain

4Here we have used the basic (and conservative) likelihood; moremodes are e↵ectively probed by Planck if one includes larger sky frac-tions.

17

Figura 16.17: Spettro di potenza della CMB ottenuto dal Satellite Planck combinandotutti i dati fino al 2015; DTT

l “ lpl ` 1qCTTl . Nella parte inferiore sono rappresentati i

residui del best fit model, indicato con la linea rossa.

normalizzazione e non influenza i valori di best fit dei Θ. Si puo notare come la relazio-ne scritta sopra non sia altro che l’espressione del Teorema di Bayes (da cui il nome distatistica Bayesiana).

Per determinare il massimo di P pΘ|Dq nello spazio dei parametri Θ (e quindi i valoridi best fit dei parametri) si utilizza spesso la tecnica delle catene di Markov (MCMC,Monte Carlo Markov Chains) su cui non entreremo in dettaglio se non per dire che sitratta di un metodo “Montecarlo”, cioe basato sull’estrazione di numeri casuali.

In figura 16.17 e riportato lo spettro di potenza della CMB dalla data release del 2015,con il bet fit model ed i residui. In tabella 16.3 sono riportati i parametri di best fit con icontorni di confidenza al 68% ottenibili combinando i dati di Planck piu recenti disponibili(2015) con altre misure come quelle ottenute da WMAP (WP), esperimenti per misure agrandi l (highL, ovvero piccole scale spaziali) e BAO (Baryon Acoustic Oscillations, ov-vero le misure di funzione di correlazione a due punti per le galassie). “lensing” significatener conto del lensing gravitazionale tra noi e la superficie di ultimo scattering. Si pren-dano come riferimento i valori dell’ultima colonna (“TT,TE,EE+lowP+lensing+ext”).TT,TE,EE significa l’inclusione nel fit dei dati di Planck degli spettri di potenza di crosscorrelazione tra il segnale totale T e i modi E di polarizzazione di Planck. “lowP” indicasegnale di polarizzazione a piccoli l. “lensing” implica la correzione per l’effetto del len-sing gravitazionale e “ext” gli altri esperimenti “esterni”, come i dati delle SupernovaeIa, delle BAO, e degli altri esperimenti di osservazione del fondo cosmico. Ad esempio sitrova Ωbh

2 “ 0.02230 ˘ 0.00014 che, come ricordiamo, e perfettamente compatibile coni vincoli piu laschi ottenuti dall’analisi delle abbondanze primordiali; la pendenza dellospettro di potenza primordiale e ns “ 0.9667˘0.0040, vicino al valore ns “ 1 dello spettrodi Harrison Zel’dovich e consistente con l’esistenza delle onde gravitazionali. Notare anche

Planck Collaboration: Cosmological parameters

Table 4. Parameter 68 % confidence limits for the base CDM model from Planck CMB power spectra, in combination withlensing reconstruction (“lensing”) and external data (“ext,” BAO+JLA+H0). Nuisance parameters are not listed for brevity (theycan be found in the Planck Legacy Archive tables), but the last three parameters give a summary measure of the total foregroundamplitude (in µK2) at ` = 2000 for the three high-` temperature spectra used by the likelihood. In all cases the helium mass fractionused is predicted by BBN (posterior mean YP 0.2453, with theoretical uncertainties in the BBN predictions dominating over thePlanck error on bh2).

TT+lowP TT+lowP+lensing TT+lowP+lensing+ext TT,TE,EE+lowP TT,TE,EE+lowP+lensing TT,TE,EE+lowP+lensing+extParameter 68 % limits 68 % limits 68 % limits 68 % limits 68 % limits 68 % limits

bh2 . . . . . . . . . . . 0.02222 ± 0.00023 0.02226 ± 0.00023 0.02227 ± 0.00020 0.02225 ± 0.00016 0.02226 ± 0.00016 0.02230 ± 0.00014

ch2 . . . . . . . . . . . 0.1197 ± 0.0022 0.1186 ± 0.0020 0.1184 ± 0.0012 0.1198 ± 0.0015 0.1193 ± 0.0014 0.1188 ± 0.0010

100MC . . . . . . . . . 1.04085 ± 0.00047 1.04103 ± 0.00046 1.04106 ± 0.00041 1.04077 ± 0.00032 1.04087 ± 0.00032 1.04093 ± 0.00030

. . . . . . . . . . . . . 0.078 ± 0.019 0.066 ± 0.016 0.067 ± 0.013 0.079 ± 0.017 0.063 ± 0.014 0.066 ± 0.012

ln(1010As) . . . . . . . . 3.089 ± 0.036 3.062 ± 0.029 3.064 ± 0.024 3.094 ± 0.034 3.059 ± 0.025 3.064 ± 0.023

ns . . . . . . . . . . . . 0.9655 ± 0.0062 0.9677 ± 0.0060 0.9681 ± 0.0044 0.9645 ± 0.0049 0.9653 ± 0.0048 0.9667 ± 0.0040

H0 . . . . . . . . . . . . 67.31 ± 0.96 67.81 ± 0.92 67.90 ± 0.55 67.27 ± 0.66 67.51 ± 0.64 67.74 ± 0.46

. . . . . . . . . . . . 0.685 ± 0.013 0.692 ± 0.012 0.6935 ± 0.0072 0.6844 ± 0.0091 0.6879 ± 0.0087 0.6911 ± 0.0062

m . . . . . . . . . . . . 0.315 ± 0.013 0.308 ± 0.012 0.3065 ± 0.0072 0.3156 ± 0.0091 0.3121 ± 0.0087 0.3089 ± 0.0062

mh2 . . . . . . . . . . 0.1426 ± 0.0020 0.1415 ± 0.0019 0.1413 ± 0.0011 0.1427 ± 0.0014 0.1422 ± 0.0013 0.14170 ± 0.00097

mh3 . . . . . . . . . . 0.09597 ± 0.00045 0.09591 ± 0.00045 0.09593 ± 0.00045 0.09601 ± 0.00029 0.09596 ± 0.00030 0.09598 ± 0.00029

8 . . . . . . . . . . . . 0.829 ± 0.014 0.8149 ± 0.0093 0.8154 ± 0.0090 0.831 ± 0.013 0.8150 ± 0.0087 0.8159 ± 0.0086

80.5m . . . . . . . . . . 0.466 ± 0.013 0.4521 ± 0.0088 0.4514 ± 0.0066 0.4668 ± 0.0098 0.4553 ± 0.0068 0.4535 ± 0.0059

80.25m . . . . . . . . . 0.621 ± 0.013 0.6069 ± 0.0076 0.6066 ± 0.0070 0.623 ± 0.011 0.6091 ± 0.0067 0.6083 ± 0.0066

zre . . . . . . . . . . . . 9.9+1.81.6 8.8+1.7

1.4 8.9+1.31.2 10.0+1.7

1.5 8.5+1.41.2 8.8+1.2

1.1

109As . . . . . . . . . . 2.198+0.0760.085 2.139 ± 0.063 2.143 ± 0.051 2.207 ± 0.074 2.130 ± 0.053 2.142 ± 0.049

109Ase2 . . . . . . . . 1.880 ± 0.014 1.874 ± 0.013 1.873 ± 0.011 1.882 ± 0.012 1.878 ± 0.011 1.876 ± 0.011

Age/Gyr . . . . . . . . 13.813 ± 0.038 13.799 ± 0.038 13.796 ± 0.029 13.813 ± 0.026 13.807 ± 0.026 13.799 ± 0.021

z . . . . . . . . . . . . 1090.09 ± 0.42 1089.94 ± 0.42 1089.90 ± 0.30 1090.06 ± 0.30 1090.00 ± 0.29 1089.90 ± 0.23

r . . . . . . . . . . . . 144.61 ± 0.49 144.89 ± 0.44 144.93 ± 0.30 144.57 ± 0.32 144.71 ± 0.31 144.81 ± 0.24

100 . . . . . . . . . . 1.04105 ± 0.00046 1.04122 ± 0.00045 1.04126 ± 0.00041 1.04096 ± 0.00032 1.04106 ± 0.00031 1.04112 ± 0.00029

zdrag . . . . . . . . . . . 1059.57 ± 0.46 1059.57 ± 0.47 1059.60 ± 0.44 1059.65 ± 0.31 1059.62 ± 0.31 1059.68 ± 0.29

rdrag . . . . . . . . . . . 147.33 ± 0.49 147.60 ± 0.43 147.63 ± 0.32 147.27 ± 0.31 147.41 ± 0.30 147.50 ± 0.24

kD . . . . . . . . . . . . 0.14050 ± 0.00052 0.14024 ± 0.00047 0.14022 ± 0.00042 0.14059 ± 0.00032 0.14044 ± 0.00032 0.14038 ± 0.00029

zeq . . . . . . . . . . . . 3393 ± 49 3365 ± 44 3361 ± 27 3395 ± 33 3382 ± 32 3371 ± 23

keq . . . . . . . . . . . . 0.01035 ± 0.00015 0.01027 ± 0.00014 0.010258 ± 0.000083 0.01036 ± 0.00010 0.010322 ± 0.000096 0.010288 ± 0.000071

100s,eq . . . . . . . . . 0.4502 ± 0.0047 0.4529 ± 0.0044 0.4533 ± 0.0026 0.4499 ± 0.0032 0.4512 ± 0.0031 0.4523 ± 0.0023

f 1432000 . . . . . . . . . . . 29.9 ± 2.9 30.4 ± 2.9 30.3 ± 2.8 29.5 ± 2.7 30.2 ± 2.7 30.0 ± 2.7

f 1432172000 . . . . . . . . . 32.4 ± 2.1 32.8 ± 2.1 32.7 ± 2.0 32.2 ± 1.9 32.8 ± 1.9 32.6 ± 1.9

f 2172000 . . . . . . . . . . . 106.0 ± 2.0 106.3 ± 2.0 106.2 ± 2.0 105.8 ± 1.9 106.2 ± 1.9 106.1 ± 1.8

Table 5. Constraints on 1-parameter extensions to the baseCDM model for combinations of Planck power spectra, Planck lensing,and external data (BAO+JLA+H0, denoted “ext”). Note that we quote 95 % limits here.

Parameter TT TT+lensing TT+lensing+ext TT,TE,EE TT,TE,EE+lensing TT,TE,EE+lensing+ext

K . . . . . . . . . . . . . . 0.052+0.0490.055 0.005+0.016

0.017 0.0001+0.00540.0052 0.040+0.038

0.041 0.004+0.0150.015 0.0008+0.0040

0.0039m [eV] . . . . . . . . . . < 0.715 < 0.675 < 0.234 < 0.492 < 0.589 < 0.194Ne↵ . . . . . . . . . . . . . . 3.13+0.64

0.63 3.13+0.620.61 3.15+0.41

0.40 2.99+0.410.39 2.94+0.38

0.38 3.04+0.330.33

YP . . . . . . . . . . . . . . . 0.252+0.0410.042 0.251+0.040

0.039 0.251+0.0350.036 0.250+0.026

0.027 0.247+0.0260.027 0.249+0.025

0.026dns/d ln k . . . . . . . . . . 0.008+0.016

0.016 0.003+0.0150.015 0.003+0.015

0.014 0.006+0.0140.014 0.002+0.013

0.013 0.002+0.0130.013

r0.002 . . . . . . . . . . . . . < 0.103 < 0.114 < 0.114 < 0.0987 < 0.112 < 0.113w . . . . . . . . . . . . . . . 1.54+0.62

0.50 1.41+0.640.56 1.006+0.085

0.091 1.55+0.580.48 1.42+0.62

0.56 1.019+0.0750.080

31

Tabella 16.3: Valori di best fit dei parametri (2015) per combinazioni diverse delle os-servazioni di Planck con con altre misure come quelle ottenute da WMAP (WP), esperi-menti per misure a grandi l (highL, ovvero piccole scale spaziali) e BAO (Baryon AcousticOscillations, ovvero le misure di funzione di correlazione a due punti per le galassie).

i valori di Ω0 (0.3089˘ 0.0062), ΩΛ (0.6911˘ 0.0062) e H0 “ 67.74˘ 0.46 km s´1 Mpc´1;per quest’ultimo, in particolare, si ricordi che solo una ventina di anni fa, era noto a menodi un fattore 2! Questo e il significato della definizione “Cosmologia di precisione”.

Concludiamo ricordando come i modelli necessari a spiegare le osservazioni debbanoessere accurati al meglio dell’1% e pertanto sono molto complessi. Per fortuna esiste unmodello CAMB il cui codice e disponibile liberamente e puo essere scaricato a

http://camb.info

il codice CAMB e stato utilizzato, ad esempio, nell’analisi dei dati di WMAP, PLANCKe BICEP2 descritti fin qui. Esiste anche un’interfaccia web di piu semplice utilizzo al sito

http://lambda.gsfc.nasa.gov/toolbox/tb_camb_form.cfm

http://camb.info

http://lambda.gsfc.nasa.gov/toolbox/tb_camb_form.cfm

Indice

16 Le fluttuazioni della radiazione cosmica di fondo 116.1 Lo stato di ionizzazione del gas intergalattico durante l’epoca della ricom-

binazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116.2 Scale fisiche e angolari delle fluttuazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

16.2.1 Lo strato di ultimo scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.2.2 La scala del damping di Silk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.2.3 L’orizzonte sonoro nello strato di ultimo scattering . . . . . . . . . 616.2.4 La scala dell’orizzonte della particella . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.2.5 Riassunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

16.3 Descrizione statistica delle fluttuazioni di temperatura della CMB . . . . . 1016.4 Lo spettro di potenza osservato della CMB . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.5 L’origine delle anisotropie di temperatura della CMB . . . . . . . . . . . . 15

16.5.1 Grandi scale: l’effetto Sachs Wolfe sulle perturbazioni primordiali . 1616.5.2 Le onde gravitazionali primordiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1916.5.3 Scale angolari intermedie ed i picchi acustici . . . . . . . . . . . . . 2116.5.4 Piccole scale angolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2616.5.5 Il Lensing Gravitazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2816.5.6 La Reionizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

16.6 La polarizzazione della CMB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2816.6.1 Polarizzazione da parte della superficie di ultimo scattering . . . . . 2916.6.2 Analisi del segnale di polarizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3016.6.3 Onde gravitazionali primordiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

16.7 Determinazione dei parametri cosmologici . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

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