Problemi: calore -transizioni di fase1. a) Quanto calore occorre per far passare del ghiaccio di massa m = 720 g e

temperatura di -10 0C allo stato liquido alla temperatura di 15 0C ?

b) supponete di fornire al ghiaccio un calore totale di solo 210 kJ.Quali sono lo stato finale e la temperatura dell’acqua finale ?

Idea chiave:Divido il processo in 3 stadi:

stadio 1: il ghiaccio non può fondere a T inferiore al punto di congelamento.Q1 fornito innalza solo la temperatura da -10 a 0 0C:

a)

a partire a 1 g di ghiaccio

kJJCCkgKkgJTTmcQ ifghiaccio 98.1515984)]10(0)[720.0)](/(2220[)( 001 ≈=−−⋅=−=

stadio 2: finchè il ghiaccio non è tutto sciolto la temperatura non cambia:Q2 ceduto cambia lo stato della sostanza, da solido a liquido:

kJkgkgkJmLQ F 8.239)720.0)(/333(2 ===

stadio 3: calore Q3 fornito innalza ora la temperatura acqua, fino a 15 0C:

kJJCCkgKkgJTTmcQ ifacqua 25.4245252)]0(15)[720.0)](/(4190[)( 003 ≈=−⋅=−=

Calore Qtot richiesto:

kJkJQQQQtot 300)25.458.23998.15(321 ≈++=++=

b) Fornendo solo 210 kJ porto il ghiaccio al punto di congelamento (uso 15.98 kJ) e miresta Q res = 210 kJ-15.98 kJ = 194 kJ. Non mi basta per fondere TUTTO il ghiaccio.

Idea chiave: in fusione incompleta il processo termina a T = 00C con miscela di acqua e ghiaccio.

m = Qres/LF = 194 kJ/(333kJ/kg)=0.583 kg massa di ghiaccio fusamghiaccio= 720 g – 583 g = 137 g massa di ghiaccio restante

2. Un ferro di cavallo di 1.5 kg inizialmente a 600 0C è lasciato cadere in un secchio contenente 20.0 kg di acqua a 25.0 0C. Quale è la temperatura finale ?

[Trascurare il calore specifico del contenitore e assumere che solo piccola parte di acqua vaporizzi]

N.B. cacqua = 4186 J/(kg 0C)cFe = 448 J/(kg 0C)

Il trasferimento di calore procede fino a che il ferro di cavallo e l’acqua arrivano alla stessa temperatura finale T. L’energia persa dal ferro viene assorbita dall’acqua:

CCkgJkgCkgJkg

CCkgJkgCCkgJkg

cmcmCcmCcm

T

CTcmCTcm

QQ

FeFeacquaacqua

FeFeacquaacqua

acquaacquaFeFe

acquaFe

000

0000

00

00

6.29)/448)(50.1()/4186)(0.20(

)600)(/448)(50.1()0.25)(/4186)(0.20(

)600()0.25(

0)25()600(

0

=++

=

+

+=

=−+−

=+

N.B. il calore specifico dell’acqua è 10 volte quello del Fee questo riduce le variazioni di temperatura dell’acqua.

3. Un proiettile di piombo di massa 3.00 g a 30.0 0C, alla velocità di 240 m/s, colpisceun blocco di ghiaccio a 00C, rimanendovi conficcato. Quanto ghiaccio fonde ?

N.B. cacqua = 4186 J/(kg 0C)cPb = 128 J/(kg 0C)

In un sistema isolato tutta l’energia cinetica iniziale e l’energia interna del proiettile si trasformano in energia interna di fusione del ghiaccio, la cui massa si determina dal calore latente di fusione. Per raggiungere l’equilibrio termico il proiettile deve raffreddarsi a 0 0C.

f

Pbp

pghiaccio

fghiaccioPbppp

ghiacciopp

L

Tcvmm

LmTcmvm

QQK

∆+=

=∆+

=+∆

2

2

21

21

gkgkgJJJ

kgJ

CCkgJsmkgmghiaccio

294.01094.2/1033.35.114.86

/1033.3

)0.30)(/128()/240(21

)1000.3(

45

5

002

3

=×=×

+=

×

+×=

−

−

N.B. la maggior parte dell’energia proviene dall’energia cinetica del proiettile(88%), mentre l’energia interna del proiettile contribuisce solo per 12%.

4. Un adulto a riposo di dimensioni medie converte energia chimica del cibo in energia interna al tasso di 120 W, detto tasso metabolico basale. Per rimanere a temperatura costante, il corpo deve trasferire energia all’esterno con la stessa rapidità. Vi sono vari processi di espulsione di energia dal corpo:1) conduzione termica nell’aria a contato con la pelle esposta

(senza cappello si forma corrente di convezione verticale che parte dalla testa);2) radiazione elettromagnetica;3) espirazione di aria calda;4) evaporazione nella traspirazione;5) umidità emessa dall’alito [caso in questione] !!!

Supponiamo di compiere 22.0 respiri al minuto, ciascuno con un volume V=0.600 l. Assumiamo di inalare aria secca e di emettere aria a T = 37 0C, contenente vapore d’acqua con pressione p = 3.20 kPa[N.B. il vapore proviene dalla evaporazione del liquido nel corpo]Si assuma che il vapore sia un gas perfetto e che il suo calore latente di evaporazione a 37 0C sia lo stesso del suo calore latente di ebollizione a 100 0C.

Calcolare il tasso al quale si perde energia emettendo aria umida.

Cane: contrasta aumento di temperatura non con sudore ma con aumento frequenza respiratoria !!!

5. Una persona mangia a cena una quantità di cibo pari a 2000 Calorie di energia. Vuole fare un lavoro equivalente in palestra sollevando un oggetto di 50.0 kg. Quante volte deve sollevare il peso per spendere tutta questa energia ?Supporre che l’oggetto venga alzato di h=2 m ogni volta.

Idea chiave:Si vuole trasferire 2000 Calorie di energia dal corpo compiendo lavoro sul sistema oggetto-Terra.

1 Cal = 103 cal = 1kcal [unità di misura del contenuto di energia del cibo]

Calcolo il lavoro equivalente in Joule:

W = (2.00 106 cal)(4.186 J/cal) = 8.37 106 J

Il lavoro svolto quando si solleva l’oggetto di altezza h è mgh, quindi il lavoro svolto per sollevare il peso n volte è

W = n mgh = 8.37 106 J

da cui ricavo

Se si solleva il peso una volta ogni 5 secondi, il tempo impiegato è :

voltemsmkg

JmghWn 3

2

6

1054.8)2)(/8.9)(0.50(

1037.8×===

hhsssnt 123600

107.42107.425)1054.8(53

33 ≈×

=×=××=×=

Problemi: lavoro nelle trasformazioni termodinamiche

6. Un gas ideale si espande al doppio del suo volume iniziale Vi = 1 m3, in una trasformazione quasi-statica, in cui P = α V2, con α= 5.00 atm/m6, come mostrato in figura.Quanto lavoro compie il gas nell’espansione ?

Idea chiave:Il lavoro fatto dal gas nell’espansione e pari all’area sottesa dalla curva nel piano pV,valutata fra gli stati iniziale e finale:

[ ] ( )333

2

31

31

ifVV

V

V

V

Vif

VVV

dVV

pdVW

f

i

f

i

f

i

−==

=

=

∫

∫

αα

α

Sapendo che Vf = 2 Vi = 2(1.00 m3) = 2.00 m3

( )

MJJ

mmmPa

VVW ifif

18.11018.1

))00.1()00.2)((/10013.100.5(3131

6

333365

33

=×=

−××=

−= α

7. Determinare il lavoro compiuto dal un fluido nell’espansione da i ad f mostrata in figura.

Quanto lavoro è compiuto sul fluido se esso è compresso da f ad i ?

Idea chiave:Il lavoro fatto dal gas nell’espansione e pari all’area sottesa dalla curva nel piano pV,valutata fra gli stati iniziale e finale. Calcolo il lavoro come somma delle 3 aree sottese da ciascun segmento della curva spezzata.

MJJmPa

mPa

mPa

dVpdVpdVp

pdVW

V

V

V

V

V

V

V

Viff

i

0.12100.12)00.300.4)(1000.2(

)00.200.3(2

1000.21000.6

)00.100.2)(1000.6(

6

36

366

36

3

2

4

3

2

1

=×=

−×

+−

×+×

+−×=

++=

=

∫ ∫∫

∫

Il lavoro compiuto sul fluido nel percorso f → i è uguale ed opposto:

MJpdVW f

i

V

Vfi 0.12−=−= ∫

Problemi: I principio Termodinamica8. Si consideri l’apparecchio di Joule mostrato in figura. Le due masse hanno valore

mp = 1.50 kg ciascuna ed il recipiente, termicamente isolato, contiene mwater=200 gdi acqua. Quale è l’aumento di temperatura dell’acqua dopo che le masse sono scese di h = 3.00 m ?

Idea chiave:Applico il primo principio della termodinamica al sistema termicamente isolato.

mghUWW

WWQEQ

pesipalette

paletteacqua

2

00

int

=∆==

+=−=∆=

Infatti il lavoro fatto dai pesi è uguale al lavoro fatto dalle palette sull’acqua.Il lavoro di traduce in una incremento della energia termica dell’acqua.

CCJJ

CkgJkgmsmkg

cmmghT

TcmEmgh

acqua

acqua

000

2

int

105.0/837

2.88)/4186(200.0

)00.3)(/8.9(50.122

2

==×

==∆

∆=∆=

9. 1 kg di acqua liquida alla temperatura di 100 0C si trasforma in vapore alla stessa temperatura bollendo a pressione atmosferica. Il volume passa da un valore iniziale di 1.00 10-3 m3 dal liquido a 1.671 m3 di vapore.a) quanto lavoro viene compiuto dal sistema durante questo processo ?b) Quanto calore viene fornito al sistema durante il processo ?c) quale è la variazione di energia interna del sistema durante il processo di ebollizione ?

kJJmmPa

VVp

dVp

pdVW

if

V

V

V

Vif

f

i

f

i

1691069.1)1000.1671.1)(10013.1(

)(

5

3335

=×=

=⋅−×=

−=

=

=

−

∫

∫a)

Idea chiave:il sistema compie lavoro positivoin quanto il volume aumenta

b) Idea chiave:La temperatura non cambia, dato che il processo è una transizione di fase:

kJkgkgkJmLQ V 2260)00.1)(/2260( ===

c) Idea chiave:Applico la prima legge della termodinamica:

MJkJkJkJWQE 09.220901692260int =≈−=−=∆

Ho trovato una variazione di energia positiva: ciò è dovuto al lavoro interno compiuto per vincere le forze attrattive che le molecole di H2O esercitano fra loro nel liquido.

10. Due moli di elio gassoso, inizialmente a Ti = 300 K e pressione p = 0.400 atm, subisconouna compressione ISOTERMA fino alla pressione di 1.20 atm.Assumendo che il gas si comporti come un gas perfetto determinarea) il volume finale del gas;b) il lavoro compiuto sul gas;c) l’energia trasferita tramite il calore.

Idea chiave:applico equazione di stato dei gas perfettipV = nRT

ricordandomi che in una compressione isoterma il prodotto pV è costante

35 123.0

)10013.1400.0()300)(/31.8)(00.2( m

PaKKmolJmol

pnRTV

VpVp

ii

ffii

=××

⋅==

=

quindi:

33 0410.0123.020.1400.0 mmatmatmV

ppV if

if ===

a)

b) Il lavoro compiuto sul gas è:

kJKKmoleJmoli

VV

nRTdVV

nRT

dVVnRTpdV

WW

i

fV

V

V

V

V

V

gasgassul

f

i

f

i

f

i

48.5123.0

0410.0ln)300)(/31.8)(00.2(

ln1

=⋅−=

−=−=

−=−=

−=

∫

∫∫

c) Dal I principio della termodinamica:

JWQ

WQE

gas

gas

48.5

0int

−==

−==∆

11. Una mole di gas idrogeno è riscaldata PRESSIONE COSTANTE da 300 K a 420 K. Calcolare:a) energia trasferita al gas tramite il calore;b) incremento di energia interna;c) lavoro svolto sul gas.

Idea chiave:Poiché la trasformazione è a pressione costante:

TncQ p ∆=

a) Calcolo l’aumento di temperatura:

kJKmoliKmolJTncQKKT

p 46.3)120)(00.1)(/8.28(120)300420(

=⋅=∆==−=∆

b)In una qualunque trasformazione vale la relazione:

quindi

TncE V ∆=∆ int

kJKmoliKmoleJE 45.2)120)(00.1)(/4.20(int =⋅=∆

c) Dal I principio della termodinamica:

quindigasWQE −=∆ int

kJkJKjQEWW gasgassul 01.126.345.2int −=−=−∆=−=

12. Un campione di 2.00 moli di gas perfetto con γ = 1.40 si espande lentamente e ADIABATICAMENTE da pressione pi = 5.00 atm e volume Vi = 12.0 l avolume finale Vf = 30.0 l. a) Quale è la pressione finale del gas ?b) Quali sono le temperature finali ed iniziali ?c) Trovare Q, E e ∆Eint

[N.B. 1 litro = 1 l = 103 cm3 = 103 (10-2)3 m3 = 10-3 m3]

Idea chiave:In una trasformazione adiabatica

γγffii VpVp =

a) Determino la pressione finale del gas:

atmllatm

VVppf

iif 39.1

0.300.12)00.5(

40.1

=

=

=

γ

b)Determino le temperature utilizzando la legge dei gas perfetti:

KKmoleJ

mPanRVpT ii

i 365)/31.8(00.2

)100.12)(10013.100.5( 335

=⋅××

==−

KKmoleJ

mPanRVp

T fff 253

)/31.8(00.2)100.30)(10013.139.1( 335

=⋅××

==−

c) In una qualsiasi trasformazione termodinamica:

in questo caso:TncE V ∆=∆ int

RRRRc

cR

cRc

cc

V

VV

V

V

p

255.2

40.01

1

===−

=

+=+

==

γ

γ

gas biatomico

JEWWWQEQ

JKmoliKmoleJTncE

gasgassulgas

V

46600

4660)365253)(00.2)(/315.8(25

intint

int

−=∆=−=⇒−=∆=

−=−⋅=∆=∆

adiabaticaè il gas che compie lavoroinfatti Wgas > 0

13. Un campione di gas perfetto monoatomico occupa 5.00 l a pressione atmosferica e a 300 K (punto A in figura ). Esso è riscaldato a volume costante fino a 3.00 atm (punto B).

Poi si espande isotermicamente fino a 1.00 atm (punto C) e infine è compresso isobaricamente fino allo stato iniziale.

a) Quale è il numero di moli del campione ?b) Trovare la temperatura nei punti B e C ed il volume in Cc) Assumendo che il calore specifico non dipenda da T (Eint=3/2 nRT), trovare

l’energia interna nei punti A, B, C. d) Trovare Q, W e ∆Eint per le trasformazioni A→B, B → C, C → A;

e) trovare Q, W e ∆Eint per l’intero ciclo.[N.B. 1 litro = 1 l = 103 cm3 = 103 (10-2)3 m3 = 10-3 m3]

a) Calcolo il numero di moli dalla equazione di stato dei gas perfetti:

moliKKmoleJmPa

RTpVn 203.0

)300)(/315.8()1000.5)(10013.1( 335

=⋅

××==

−

b)Trovo la temperatura:

KTT

KKatmatmT

ppT

TT

pp

nRTVpnRTVp

BC

AA

BB

B

A

B

A

BBB

AAA

900

90030013

==

===

=⇒

== A→B isocora

B→C isoterma

Trovo il volume in C:

llKKV

TTV

TT

VV

nRTVpnRTVp

AA

CC

C

A

C

A

CCC

AAA

0.1500.5300900

===

=⇒

==

c) Calcolo le energie interne:

kJKKmoleJmolinRTEE

JKKmoleJmolinRTE

BCB

AA

28.2)900)(/315.8)(203.0(23

23

760)300)(/315.8)(203.0(23

23

int,int,

int,

=⋅===

=⋅==

d)Trovo Q, W e ∆Eint nei vari tratti del ciclo:

A→B [isocora]:

W=0kJkJEEE AB 52.1)760.028.2(int,int,int =−=−=∆

kJEQWQE 52.1intint =∆=⇒−=∆

B→C [isoterma]:

kJWEQ

kJllKKmoleJmoli

VVnRTdV

VnRTdV

VnRTpdVW

E

B

CV

V

V

V

V

V

C

B

C

B

C

B

67.10

67.100.50.15ln)300)(/315.8)(239.0(

ln1

0

int

int

+=+∆=

=⋅=

=====

=∆

∫∫∫

C→A [isobara]:

kJkJkJWEQ

kJmPaVVpdVppdVW

kJkJEEE

CA

V

V

V

V

CA

A

C

A

C

53.201.152.1

013.1)10)(00.1500.5(10013.1)(

52.1)28.2760.0(

int

335

int,int,int

−=−−=+∆=

−=−×=−===

−=−=−=∆

−∫∫

e) Trovo Q, W e ∆Eint per l’intero ciclo, sommando i contributi relativi ai vari tratti:

kJkJkJkJQQQQkJkJkJWWWWkJkJEEEE

CABCAB

CABCAB

CABCAB

656.053.267.152.1656.0013.167.10

52.1052.10 int,int,int,int

=−+=++==−+=++=

−+=∆+∆+∆==∆

Problemi: II principio Termodinamica15. Una macchina di Carnot oper a tra due sorgenti di temperatura T1 = 850 K e T2 = 300 K.

Ad ogni ciclo, della durata di 0.25 s, eroga 1200 J di lavoro.a) quale è il rendimento del motore ? b) quale è la potenza media del motore ?c) quanto vale il calore Q1 fornito dalla sorgente calda durante il ciclo ?d) quanto vale il calore Q2 ceduto alla sorgente fredda ?

a) In un ciclo di Carnot il rendimento dipende solo dalle temperature:

%65647.085030011

1

1

2

1

2

1

21

1

≈=−=−=

−=−

==

KK

TT

QQ

QQQ

QLη

b) La potenza è data da L/t

kWWsJ

tLP 8.44800

25.01200

====

c) Il rendimento è definito come il rapporto fra il lavoro fatto ed il calore assorbito:

JJLQQL 1855

647.01200

11

===⇒=η

η

d) Il lavoro compiuto equivale alla differenza di calore scambiato:

JJJLQQ

QQL

6551200185512

21

=−=−=

−=

16. Quanto lavoro deve compiere un frigorifero ideale di Carnot per trasformare 0.500 kg di acqua potabile a 10.0 0C in ghiaccio a -20 0C ?Si assuma che lo scomparto del frigorifero sia mantenuto a -20.0 0C e che il frigorifero ceda energia a una stanza a 20.0 0C.

N.B. cacqua = 4186 J/kg 0C calore specifico acquaLF = 333 kJ/kg calore latente di fusione

cghiaccio = 2090 J/kg 0C calore specifico ghiaccio

Per trasformare l’acqua in ghiaccio devo seguire 3 stadi:1) Raffreddamento acqua a 0 0C;2) Trasformazione in ghiaccio a 00C,3) Raffreddamento del ghiaccio a -20 0C.

calore che deve essere prelevato da sorgente freddaper trasformare acqua in ghiaccio:

JCCCkgJkg

kgkJkgCCCkgJkg

TmcmLTmc

QQQQ

ghiaccioFacqua

f

5

000

000

321

1008.2)020)(/2090)(500.0(

)/333)(500.0()100)(/4186)(500.0(

×−=

−−+

−−=

∆++∆=

++=

fc

f

fc

ff

TT

T

QQ

QWQ

svoltolavoroestrattaenergiaCOP

−==

−===

kJK

CCJT

TTQW

f

fcf 9.32

)2730.20())0.20(0.20)(1008.2( 005

=+−

−−×=

−=

17. Nel 1827 Robert Sterling inventò il “motore a Sterling”, che ha trovato fin da allora numerose applicazioni. Il carburante viene bruciato esternamente per riscaldare uno dei due cilindri della macchina. Una quantità fissa di gas inerte si muove ciclicamente fra i cilindri, espandendosi in quello caldo e comprimendosi in quello freddo, secondo il ciclo termodinamico rappresentato in figura.

Date n moli di gas perfetto monoatomico che compie un ciclo reversibile fra le isoterme a temperatura 3Ti e Ti, e due trasformazioni a volume costante, determinare

a) l’energia trasferita tramite il calore al gas, in funzione di n, R e T;b) il rendimento della macchina.

a) In un processo isotermico

quindi:

In un processo a volume costante:

quindi:

Il calore complessivo trasferito al gas è quindi:

i

fV

V

V

V VV

nRTVdVnRTpdVWQ

WQEf

i

f

i

ln

0int

====

=−=∆

∫∫

21ln

2ln

2ln32ln)3(

3

1

ii

ii

ii

ii

nRTVVnRTQ

nRTVVTnRQ

==

==

TnRQWQE ∆==−=∆23

int

)3(23

23

)3(23

23

44int,4

22int,2

ii

ii

TTnRTnREQ

TTnRTnREQ

−=∆=∆=

−=∆=∆=

2ln23321ln2ln3

4321

iiiii nRTnRTnRTnRTnRT

QQQQQ

=+−+=

+++=

b) Il rendimento della macchina è ove L = Q (trasformazione ciclica)e Qc è la somma dei contributi positivi a Q:

cQL /=η

%3.27273.0)12(ln3/2ln2)32ln3/()2ln2()/(/ 41

==+==+=+== iiic nRTnRTnRTQQQQQη

Problemi: entropia18. Una mole di azoto si trova confinata nella parte sinistra di un recipiente.

Dopo avere aperto il rubinetto il volume del gas raddoppia. Quale è la variazione di entropia per questa trasformazione irreversibile ?

[N.B. Supporre che l’azoto si comporti come un gas ideale]

Idea chiave:Determino la variazione entropica del processo irreversibile riferendola ad un altro processo reversibile che opera tra gli stessi stati termodinamici.Dato che la temperatura non cambia nell’espansione libera di un gas, utilizzo una espansione isoterma reversibile:

da cui:

Questa è anche la variazione di entropia per l’espansione libera e per qualunque altraTrasformazione tra i medesimi punti iniziali e finali.

i

fV

V

V

V VV

nRTVdVnRTpdVWQ

WQEf

i

f

i

ln

0int

====

=−=∆

∫∫

KJKmoleJmoliVV

nRTVV

nRT

TQS

i

fi

f

rev

/76.52ln)/315.8)(00.1(

lnln

+==

===∆

KJSS revirrev /76.5+=∆=∆

19. Determinare la variazione di entropia quando 0.30 kg di piombo fondono a 327 0C, assumendo per il piombo un calore latente di fusione LF= 24.5 kJ/kg.

Idea chiave:Suppongo che il processo di fusione avvenga così lentamente da poter essere considerato reversibile. In questo caso la temperatura è costante e pari a Tf=327 0C.

La quantità di calore richiesta dal processo di fusione è quindi:

a cui corrisponde una variazione di entropia:

FmLQ =

KJK

kgJkg

TmL

TQdQ

TTdQS

f

F

frev

f

rev

/25.12)273327(

)/105.24)(30.0(

1

3

=+

×=

====∆ ∫∫

20. Una mole di gas perfetto monoatomico, inizialmente alla pressione di 1.00 atm e volume 0.025 m3, viene riscaldata fino allo stato finale che ha pressione di 2.00 atm e volume 0.040 m3.

Determinare la variazione di entropia del gas.

In ogni processo termodinamico, ad ogni step infinitesimo posso applicare il I principio:

Se il processo è reversibile:

Dalla equazione di stato dei gas perfetti si ha inoltre:

da cui segue:

VdVnR

TdTnc

TdQ

VdVnRTdTncpdVdTncdWdEdQ

dWdQdE

V

VV

+=

+=+=+=

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