1/161

PROBLEMA DI

DE SAINT VENANT

16/161

[ ] [ ]2

Fq

L=

⎡ ⎤⎣ ⎦; 1 0R qS qS qA= = =

NELLA REGIONE COMPRESA TRA LE DUE ZONE DI ESTINZIONE, LA SOLUZIONE DEL PROBLEMA È ESATTA E IDENTICA PER ENTRAMBE LE CONDIZIONI DI CARICO.

q

y

z

zonadi

estinzione

zonadi

estinzione

q

R

y

zR

zona divalidità della soluzione

34/161

n = [n n 0]x yT

S 2S 1

0

τ zx

y z

G0

G1x

y

35/161

SFORZO NORMALE CENTRATO SULLA BASE 1S :

1 0zN R= ≠ 1 0z zM M= =

1 0x xT R= = 1 0x xM M= =

1 0y yT R= = 1 0y yM M= =

x

y zx

y

N

N S 1

S 0

51/161

NEL PIANO DELLA SEZIONE INDEFORMATA:

P 0w = ; P P

P P

u xv y

= .

DEFORMAZIONE OMOTETICA: LO SPOSTAMENTO AVVIENE SECONDO LA CONGIUNGENTE GP:

zx

y

C

P

y

x

Gatg

P

P

y Px P

zx

y

C

P

G

P

C*

P*

u

v P

P

atgv PuP

N>0

57/161

q

y

z

q

zona divalidità della soluzione

sezione retta σ z flusso

R

y

zR

zona di

zonadi

estinzione

zonadi

estinzione sezione retta σ z

linee diflusso

58/161

N+

Bx

y

N/A

59/161

N+

Bx

y

N/A

60/161

FLESSIONE RETTA IL SOLIDO DI DSV SI DICE SOLLECITATO A FLESSIONE RETTA (O FLESSIONE SEMPLICE) QUANDO LA DISTRIBUZIONE DI PRESSIONI SU ENTRAMBE LE BASI È EQUIVALENTE AD UNA SOLA COPPIA DI ASSE VETTORE MOMENTO PARALLELO AD UN ASSE PRINCIPALE D’INERZIA.

SULLA BASE 1S :

1 0zN R= = 1 0z zM M= =

1 0x xT R= = 1 0x xM M= ≠

1 0y yT R= = 1 0y yM M= =

77/161

x

y z

G0

G1x

y

G*1v(z)

2

22

3 22 2

11

1

dvdz

x

x

Md v

d vdzR dz

dvEI

dz

= ≅ =⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟

⎠ ⎥

−

⎝⎢⎣ ⎦

COSTANTE

78/161

x

y z

G0

G1x

y

G*1

v(z)

C

R

ARCO DI CIRCONFERENZA

80/161

x

y z

G0

G1x

y

G*1

C

R

k

81/161

⇒ A DEFORMAZIONE AVVENUTA, LA SEZIONE RETTA SI MANTIENE PIANA. INOLTRE, RESTA ORTOGONALE ALLA LINEA D’ASSE DEFORMATA:

0xzu wz x

γ ∂ ∂= + =

∂ ∂;

0yzv wz y

γ ∂ ∂= + =

∂ ∂.

82/161

x

y z

G0

G1x

y

G*1

C

R

ds

dz

dα

86/161

2 22

2 2

02

hh

xy

h hx

M ydyEI

ε ν− −

⎡ ⎤= − =⎢ ⎥

⎣ ⎦∫

0 2

02

0h

y yh

dy dyε ε−

= − ≠∫ ∫

x

y zx

y

G0

G1

Mx

M x

G≡G*

R'

0xyγ =

88/161

x

y zx

y

G0

G1

Mx

piano neutro

asse neutro

Mx

90/161 2x

zx

M hI

σ =

2x

zx

M hI

σ = −

xMB

x

y

a.v.m.a.n. h

91/161

FLESSIONE DEVIATA

LA DISTRIBUZIONE DI PRESSIONI SU ENTRAMBE LE BASI È EQUIVALENTE AD UNA SOLA COPPIA DI ASSE VETTORE MOMENTO NON PARALLELO AD UN ASSE PRINCIPALE D’INERZIA.

x

y

M

γ

94/161

z

x

y

G1

Mx

95/161

z

x

y

G1

My

98/161

RETTA BARICENTRICA DIVERSA DALL’ASSE VETTORE MOMENTO. DOVE:

tan tan x

y

II

β γ= COEFFICIENTE

ANGOLARE DELL’ASSE NEUTRO (PENDENZA RISPETTO ALL’ASSE x). tanγ : COEFFICIENTE ANGOLARE DELL’ASSE VETTORE MOMENTO (PENDENZA RISPETTO ALL’ASSE x). IL RAPPORTO x yI I INDICA COM’È RUOTATO L’ASSE NEUTRO RISPETTO ALL’ASSE VETTORE MOMENTO:

tan t n1 ax yI I β γ⇒ >>

99/161

2x xI Aρ= ; 2

y yI Aρ=

x yρ ρ>

x

y

M

a.v.m

a.n.

βγ

100/161

tan t n1 ax yI I β γ⇒ <<

x yρ ρ<

x

yM

a.v.m

a.n.β

γ

101/161

IN ENTRAMBI I CASI, L’ASSE NEUTRO È RUOTATO (RISPETTO ALL’ASSE VETTORE MOMENTO) NEL VERSO CHE LO PORTEREBBE A SOVRAPPORSI AL SEMIDIAMETRO MAGGIORE DELL’ELLISSE CENTRALE D’INERZIA.

tan t n1 ax yI I β γ⇒ ==

L’ASSE NEUTRO COINCIDE CON L’ASSE VETTORE MOMENTO

x yρ ρ= : L’ELLISSE CENTRALE D’INERZIA È UN CERCHIO.

IL CIRCOLO DI MOHR DELLO STATO INERZIALE DEGENERA IN UN PUNTO ⇒ IL MOMENTO CENTRIFUGO È NULLO PER QUALSIASI COPPIA D’ASSI BARICENTRICI ORTOGONALI

102/161

⇒ x E y NON SONO GLI UNICI ASSI CENTRALI D’INERZIA PER LA SEZIONE, MA TUTTE LE COPPIE DI D’ASSI ORTOGONALI BARICENTRICI SONO CENTRALI D’INERZIA ⇒ COMUNQUE SIA ORIENTATO L’ASSE VETTORE MOMENTO, SARÀ SEMPRE DISTESO LUNGO UNA DIREZIONE CENTRALE D’INERZIA

I xy

I = x I = y I = x' I y'

D≡D'≡D* I x

direzioni principali( )( )

D

D

,

,

x xy

y xy

I I

I I−′

103/161

⇒ SI RICADE NEL CASO DI FLESSIONE RETTA ⇒ ASSE NEUTRO E ASSE VETTORE MOMENTO COINCIDONO.

4B12x yI I= =

B

B

x

y

G

M

30°

104/161

G

M y'x'

30°

d

d

A

B

0xM M ′= > ; 4B 12x xI II′ = = = ; ( )z x xM I yσ ′ ′ ′= .

105/161

B2 3

G

M y'x'

30°

30° d

d

A

B

B/2

106/161

max

A B xz z z

x

M dI

σ σ σ ′

′

= = =

( )B 1 1 B1 3 3 12 2 43

d ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

( )max

B 3 14z

MI

σ = +

( ) ( )A 0xz

x

M Md dI I

σ ′

′

= − = <−

( ) ( )B 0xz

x

M Md dI I

σ ′

′

= + = >+

maxid z ammσ σ σ= ≤

109/161

COSTRUZIONE GRAFICA DELL’ASSE NEUTRO

x

y

M

a.v.m

a.n.

a.s.

110/161

x

y

M

a.v.m

a.n.

a.s.

111/161

DIAGRAMMA DELLE TENSIONI

x

y

M

a.v.m

a.n.

a.s.

A

B

A AA yxz

x y

MM y xI I

σ −=

Bzσ

112/161

{ }max

A Bmax ,z z zσ σ σ=

A

A Acos sin

zx y

M My xI I

γ γσ = −

B

B Bcos sin

zx y

M My xI I

γ γσ = −

CRITERIO DI VON MISES:

max

2 23id z z zσ σ τ σ= + = CRITERIO DI TRESCA:

max

2 24id z z zσ σ τ σ= + =

id ammσ σ≤

113/161

SFORZO NORMALE ECCENTRICO

x

y

zx

yN

N

S 1

S 0

G0

G1

c.d.p.H

H

118/161

ASSE NEUTRO:

H H2 20 1 0zy x

x yx yσρ ρ

= ⇒ + + =

2 2

HH

1y x

x y

yxρ ρ

+ =−−

• SE CONFRONTATA CON L’EQUAZIONE

SEGMENTARIA DELLA RETTA:

0 0

1x yx y

+ =

FORNISCE LE INTERCETTE 0x E 0y DELL’ASSE NEUTRO CON GLI ASSI:

119/161

2

0H

yxxρ

= − : INTERCETTA CON L’ASSE x

Hx 0≤> 0x⇒ 0≥

<

INTERCETTA E PROIEZIONE DEL CENTRO DI PRESSIONE SULL’ASSE x SONO DA PARTI OPPOSTE RISPETTO AL BARICENTRO.

2

0H

xyyρ

= − : INTERCETTA CON L’ASSE y

Hy 0≤> 0y⇒ 0≥

<

INTERCETTA E PROIEZIONE DEL CENTRO DI PRESSIONE SULL’ASSE y SONO DA PARTI OPPOSTE.

CENTRO DI PRESSIONE E ASSE NEUTRO SONO DA PARTI OPPOSTE.

120/161

• SE CONFRONTATA CON L’EQUAZIONE DELLA POLARE DEL CENTRO DI PRESSIONE:

2 2

HH

1y x

x y

yxρ ρ

+ =

CI DICE CHE L’ASSE NEUTRO È L’ANTIPOLARE DEL CENTRO DI PRESSIONE (IL CENTRO DI PRESSIONE È L’ANTIPOLO DELL’ASSE NEUTRO)

SE IL CENTRO DI PRESSIONE È SU UN ASSE, LA SOLLECITAZIONE È UNA TENSO O PRESSO – FLESSIONE RETTA ⇒ L’ASSE NEUTRO È PARALLELO ALL’ASSE VETTORE MOMENTO:

H 0y > ; H 0x = ⇒ 0 0y < ; 0x → ∞

121/161 xM Ne= y

1Q

Q2

e

a.n.

N/A M /I yx x

Trazione Flessioneretta

Tenso-flessioneretta

Centro dipressione

H+

122/161

H 0x > ; H 0y = ⇒ 0 0x < ; 0y → ∞

x

y

H G

a.n.

Centro dipressione

+

123/161

H . .0 ax n⇒→ → ∞ S.N. CENTRATO

x

y

HG

a.n.

Centro dipressione

+

125/161

x

y

G

Centro dipressione

H+

Hx Hx0

Hy

126/161

x

y

G

Centro dipressione

H+

Hx

Hy

Hy0

127/161

x

y

G

a.n.

Centro dipressione

H+

Hx Hx0

Hy

Hy0

129/161

x

y

a.s.

G

K

Centro dipressione

R

H+

130/161

x

y

a.s.

HG

K

Centro dipressione

R

H+a.n.

132/161

x

y

G

a.n.

Centro dipressione

H+

Hx Hx0

Hy

Hy0

A

B

133/161

{ }max

A Bmax ,z z zσ σ σ=

A H HA A2 21z

y x

N x yx yA

σρ ρ

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

B H HB B2 21z

y x

N x yx yA

σρ ρ

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

CRITERIO DI VON MISES:

max

2 23id z z zσ σ τ σ= + = CRITERIO DI TRESCA:

max

2 24id z z zσ σ τ σ= + =

id ammσ σ≤

134/161

TORSIONE SOLIDI A SEZIONE SOTTILE CHIUSA (BICONNESSA)

t h l

( ) ( )2z

zsMsb s

τ =Ω

FORMULA DI BREDT

COSTANTE LUNGO LA CORDA

l

h t

zMt

Mt

x

y x

y

136/161

( ) ( )zs zss sτ τ=

( ) ( ) ( )0

z zss

M s b s h s dsτ= ∫

sx

y

Mt

τ (s)zs

h(s)

138/161

SOLIDI A SEZIONE SOTTILE APERTA (MONOCONNESSA)

t h l LE TENSIONI TANGENZIALI VARIANO LINEARMENTE LUNGO LA CORDA, ANNULLANDOSI SULLA LINEA MEDIA

( ) ( )max

b s zzs

t

M b sJ

τ =

h tl

139/161

IL MASSIMO DELLA ( )zs sτ SI VERIFICA DOVE LA CORDA ( )b s ASSUME VALORE MASSIMO.

τ (s)zsmax

141/161

τ (s)zsmax

144/161

ELICHE CILINDRICHE

z

x

y x

y

linee isostatichedi compressione

linee isostatichedi trazione

145/161

CRITERIO DI VON MISES:

max

2 23 3id z z zσ σ τ τ= + = CRITERIO DI TRESCA:

max

2 24 2id z z zσ σ τ τ= + = SEZIONI SOTTILI CHIUSE:

maxmin2z

zM

bτ =

Ω

SEZIONI SOTTILI APERTE:

max maxz

zt

M bJ

τ =

id ammσ σ≤

146/161

TAGLIO-FLESSIONE

SULLA BASE 1S :

1 0zN R= = 1 0z zM M= =

1 0x xT R= ≠ 1 0x xM M= =

1 0y yT R= ≠ 1 0y yM M= =

x

y

S 1

T x

T y

G1

C

161/161

FUNZIONE LINEARE IN x ⇒ FUNZIONE EMISIMMETRICA ⇒ SI ANNULLA SULL’ASSE y (PER 0x = ).

x

y

B1 B2

α ατ z