Probablità, Statistica e Processi...

Probablità, Statistica e Processi Stocastici

Franco Flandoli, Università di Pisa

Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria

Franco Flandoli, Università di Pisa ()Probablità, Statistica e Processi StocasticiCorso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria 1

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Premessa

Scopo delle seguenti simulazioni è trovare dei modelli con fortifluttuazioni ma valori compresi in un intervallo specificato.

Tali processi vengono a volte chiamati "bounded noise".

Se prendiamo una SDE facile, soggetta ad un tale moto browniano,abbiamo sì forti fluttuazioni ma ogni tanto si verificano valori anomalialti.

A titolo di esempio si simuli l’equazione

dXt = −λXtdt + σdBt , X0 = 1

con λ = 1, σ = 1 per tempi un po’lunghi, osservando la presenza di(pur rare) escursioni anomale.


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Barriere di potenziale

L’idea è usare un potenziale V (x) con barriere alte, ad esempioV (x) = x10:

2 1 0 1 2

2

4

6

8

10

x

y


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Barriere di potenziale

Oppure addirittura un potenziale V (x) con barriere infinite, ad esempioV (x) = 1

1−x 2 :

2 1 0 1 2

2

4

6

8

10

x

y


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L’equazione con potenziale

La SDE con potenziale V (x) è della forma

dXt = −V ′ (Xt ) dt + σdBt , X0 = x0.

Ad esempio, per V (x) = x10 essa è

dXt = −10X 9t dt + σdBt , X0 = x0 (1)

mentre per V (x) = 11−x 2 è

dXt = −2Xt

(1− X 2t )2 dt + σdBt , X0 = x0. (2)


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Prima domanda

ProblemSimulare alcune traiettorie dell’esempio (1), con σ = 1 e x0 = 0. Siconfronti con

dXt = −10Xtdt + σdBt .


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Seconda domanda

ProblemSimulare alcune traiettorie dell’esempio (2), con σ = 1 e x0 = 0. Eseguirela simulazione con varie ampiezze del passo temporale, controllando se ilsistema resta sempre confinato in [−1, 1] oppure supera i bordi.

Mettersi per il seguito in un caso in cui non supera i bordi.

In linea di massima, il superamento dei bordi è un artefatto numerico,dovuto alla discretizzazione temporale troppo rozza. Non corrispondead una possibilità reale di superamento.


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Premessa teorica: metodo alternativo per densitàasintotica con Monte Carlo

Nelle slide delle lezioni scorse abbiamo visto che per trovare la densitàat tempo t con Monte Carlo basta simulare tante traiettorie fino altempo t e poi fare l’istogramma dei valori trovati.

E se vogliamo la densità asintotica p∞ (x) dobbiamo far questo con tmolto elevato.

In alternativa, in base ad un teorema ergodico, si può calcolare unasola traiettoria molto lunga e farne l’istogramma.

Più precisamente, bisognerebbe escludere un tratto inziale nonstazionario, ma di solito esso è irrilevante, se la traiettoria è lunga.


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Terza domanda

ProblemOttenere un istogramma della densità asintotica p∞ (x), con Monte Carlo,per l’esempio (1) e confrontarla con quella di

dXt = −10Xtdt + σdBt .


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Quarta domanda

ProblemOttenere un istogramma della densità asintotica p∞ (x), con Monte Carlo,per l’esempio (2).

Attenzione: osservare la traiettoria prima di fare l’istogramma, edescluderla se ha superato i bordi.


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Problema

Sarebbe naturale, a questo punto, sulla base delle cose viste nel corso,calcolare la densità tramite Fokker-Planck.

Tuttavia, basta fare alcune simulazioni per accorgersi che ci sono seriproblemi di instabilità numerica, la cui risoluzione supera lepotenzialità del nostro corso.

I problemi nascono dall’ampiezza dei valori di b (x) nel termine (bp)′.Qui b (x) = −V ′ (x) che è enorme in prossimità delle barriere.Tralasciamo quindi questa parte dell’esercitazione, troppo diffi cile.


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Quinta domanda (facoltativa)

ProblemCercare di calcolare la densità con Fokker-Planck, osservando i probleminumerici che insorgono. Fare eventualmente dei tentativi correttivi.


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Sesta domanda

ProblemDeterminare in entrambi gli esempi la forma analitica della densitàasintotica p∞ (x), tracciandone poi il grafico e confrontandolo conl’istogramma asintotico.


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Complementi al corso, preparati ma non spiegati

Era previsto lo svolgimento di alcuni ulteriori argomenti, non trattati perragioni di tempo:

1 Sulle serie storiche, al termine della sesta lezione, è stato lasciato lostudio tramite fPCA, che però non è stato svolto.

2 Sul calcolo stocastico, è interessante vedere il calcolo secondoStratonovich e le sue differenze rispetto al calcolo di Itô.

3 Sulle equazioni di Fokker-Planck, può essere interessante vedereun’idea delle dimostrazioni circa il legame con le SDE ed il casoasintotico.

Vediamo 2 e 3.


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L’integrale di Stratronovich

Ruslan Leont’evich Stratonovich (un ingegnere!) ideò la seguente variantedella definizione di integrale stocastico:∫ T

0Xt ◦ dBt = lim∑

Xtn + Xtn+12

(Btn+1 − Btn ) .

Ha due difetti:

1 esiste solo per processi Xt particolari2 non c’è una formula semplice per calcolare media e varianza.

Riguardo ad 1, però, tra i processi particolari ci sono le soluzioni diequazioni differenziali stocastiche; quindi non è un grosso difetto.Riguardo a 2, bisogna sviluppare una regola per ricondursi all’integrale diItô.


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Formula di Itô-Stratronovich

Il pregio però di questa definizione è il seguente: la formula di calcolodifferenziale, detta ora formula di Itô-Stratonovich, è identica a quella delcaso classico:

TheoremSe f è derivabile due volte con continuità e Xt soddisfa

dXt = b (t,Xt ) dt + σ (t,Xt ) ◦ dBt

alloradf (Xt ) = f ′ (Xt ) ◦ dXt

nel senso che

df (Xt ) = f ′ (Xt ) b (t,Xt ) dt + f ′ (Xt ) σ (t,Xt ) ◦ dBt .

Tutti gli "integrali" in questo enunciato vanno intesi nel senso diStratonovich.


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Legame tra integrale di Stratronovich e integrale di Itô

TheoremSe Xt è un processo di Itô, cioè della forma

dXt = btdt + σt ◦ dBt

oppuredXt = btdt + σtdBt

allora ∫ T

0Xt ◦ dBt =

∫ T

0XtdBt +

12

∫ T

0σtdt.

In particolare,

E[∫ T

0Xt ◦ dBt

]=12

∫ T

0E [σt ] dt.


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Soluzione del problema dell’energia con l’integrale diStratronovich

Riprendiamo il modello

X ′t = VtdVt = −∇U (Xt ) dt + σdBt

con l’energia Et = V 2t2 + U (Xt ). Per la formula di Itô-Stratonovich

dEt = Vt ◦ dVt +∇U (Xt ) · Vtdt= −Vt · ∇U (Xt ) dt + Vtσ ◦ dBt +∇U (Xt ) · Vtdt= σVt ◦ dBt

da cui

E [Et ]− E [E0] = σE[∫ t

0Vs ◦ dBs

]=

σ

2

∫ t

0σds =

σ2

2dt.


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Relazione tra SDE e Fokker-Planck

Limitiamoci a svolgere i calcoli nel caso 1D. Sia ϕ una funzione testregolare. Vale

dϕ (Xt ) = ϕ′ (Xt ) dXt +12

ϕ′′ (Xt ) σ2 (Xt ) dt

=

[ϕ′ (Xt ) b (Xt ) +

12

ϕ′′ (Xt ) σ2 (Xt )]dt + ϕ′ (Xt ) σ (Xt ) dBt .

Quindi

ϕ (Xt )− ϕ (X0) =∫ t

0

[ϕ′ (Xs ) b (Xs ) +

12

ϕ′′ (Xs ) σ2 (Xs )]ds + int stoc

E [ϕ (Xt )]− E [ϕ (X0)] = E∫ t

0

(ϕ′ (Xs ) b (Xs ) +

12

ϕ′′ (Xs ) σ2 (Xs ))ds.


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E [ϕ (Xt )]− E [ϕ (X0)]

=∫ t

0

(E[ϕ′ (Xs ) b (Xs )

]+12E[ϕ′′ (Xs ) σ2 (Xs )

])ds

∫ϕ (x) pt (x) dx −

∫ϕ (x) p0 (x) dx

=∫ t

0

(∫ϕ′ (x) b (x) ps (x) dx +

12

∫ϕ′′ (x) σ2 (x) ps (x) dx

)ds


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∫ϕ (x) pt (x) dx −

∫ϕ (x) p0 (x) dx

=∫ t

0

(−∫

ϕ (x) (b (x) ps (x))′ dx +

12

∫ϕ (x)

(σ2 (x) ps (x)

)′′dx)ds

pt (x)− p0 (x) =∫ t

0

(− (b (x) ps (x))′ +

12

(σ2 (x) ps (x)

)′′)ds

∂p∂t=12

∂(σ2p)

∂x2− ∂ (bp)

∂x.

Abbiamo dedotto l’equazione di Fokker-Planck dalla SDE.


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Densità invariante

Deduciamo ora, da Fokker-Planck, l’equazione soddisfatta dalla densitàp∞ (x). Integriamo FP tra due estremi "grandi"

pt0+1 (x)− pt0 (x) =∫ t0+1

t0

[12

d

∑i ,j=1

∂i∂j (aijps )− div (bps )]ds.

Se t0 è molto grande, vale pt0 (x) ∼ p∞ (x), pt0+1 (x) ∼ p∞ (x),ps (x) ∼ p∞ (x) per s ∈ [t0, t0 + 1]. Quindi

p∞ (x)− p∞ (x) ∼∫ t0+1

t0

[12

d

∑i ,j=1

∂i∂j (aijp∞)− div (bp∞)

]ds

=12

d

∑i ,j=1

∂i∂j (aijp∞)− div (bp∞)

Ma p∞ (x)− p∞ (x) = 0. Quindi 12 ∑di ,j=1 ∂i∂j (aijp∞)− div (bp∞) = 0.


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