PROBABILITÀ

Corsi Abilitanti Speciali Classe 59A

III semestre - 3

ESERCIZI!

Siano date due urne contenenti palline colorate: la prima contiene due palline bianche e tre nere, mentre la seconda tre bianche e quattro nere. Una pallina a caso viene presa dalla prima urna e messa nella seconda e solo in seguito viene estratta una pallina dalla seconda urna e se ne osserva il colore. Qual è la probabilità che sia nera?

ESERCIZIO 1

Si lancia una moneta due volte.

Calcolare la probabilità che:

a)Escano due teste

b)Esca almeno una croce

c) Non escano croci

d)Esca una testa e una croce

e)Esca prima una testa e poi una croce

ESERCIZIO 2

Sia dato un mazzo di 40 carte. Calcolare la probabilità di estrarre unasso alla seconda estrazione ( senzareimbussolamento).

ESERCIZIO 3

Calcolare ora la probabilità di estrarre un

asso alla terza estrazione, poi alla quarta ……. ecc

In un sacchetto ci sono 5 palline, 3 rosse e 2 blu.

Paolo vince 4 euro se esce una pallina rossa, Giovanni 5 euro se esce blu.

Il gioco è equo?

In caso negativo, quanto dovrebbe vincere Giovanni perché il gioco sia equo?

ESERCIZIO 4

In una classe di 30 alunni, tutti sportivi, 20 praticano il calcio e 15 la pallavolo.

Quanti alunni praticano entrambi gli sport?

Qual è la probabilità, scegliendo un alunno, che pratichi il calcio?

Qual è la probabilità che pratichi il calcio, sapendo che gioca a pallavolo?

ESERCIZIO 5

PallavoloCalcio

n.alunni = 28

17

3

12

P(calcio) = 15/28

P(calcio\pallavolo) = 3/20 = p(CP)/p(P)

Siano dati due eventi A e B in uno spazio di probabilità e sia p(B) >0.

Si dice probabilità di A supposto che si verifichi B (o prob. di A condizionata a B):

)(

)()\(

Bp

BApBAp

Cosa comporta il possedere

un’informazione in più?

Una famiglia ha due figli.

Qual è la probabilità che siano entrambe femmine?

Qual è la probabilità che siano entrambe femmine sapendo che una è femmina?

Qual è la probabilità, sapendo che la prima è femmina, che il figlio successivo sia femmina?

ESERCIZIO 6

{FF; FM; MF; MM}

F

F F

M

M M

1/2 1/2

1/2 1/2 1/2 1/2Spazio eventi elementari

Grafo ad albero

P1 =1/4

P2= 1/3

P3= 1/2

In una popolazione il 40% delle persone fuma. Il 25% dei fumatori è affetto da una malattia respiratoria cronica, così come il 7% dei non fumatori.

Determinare la probabilità che una persona scelta a caso sia affetta dalla malattia.

ESERCIZIO 7

In un gruppo di 100 neonati 51 sono maschi, 68 hanno gli occhi chiari e 38 hanno entrambe le caratteristiche.

Determinare la probabilità che:

a)Un neonato sia maschio se ha gli occhi chiari

b) Un neonato abbia gli occhi chiari se è maschio

ESERCIZIO 8

Un’urna contiene 10 palline, di cui 6 bianche e 4 rosse.

Qual è la probabilità di estrarre una pallina rossa?

Estraggo una pallina e la metto in tasca senza guardarla. Ne estraggo una seconda e vedo che è rossa.

Qual è la probabilità che la pallina che ho in tasca sia rossa?

ESERCIZIO 9

Due eventi A e B si dicono indipendenti se il verificarsi di uno non modifica la probabilità che si verifichi l’altro.

p(AB) = p(A) p(B) 

EVENTI INDIPENDENTI

In una popolazione nordica un bambino ha la probabilità di nascere con i capelli biondi è del 60%, mentre quella di raggiungere una statura inferiore a 170 cm è del 35%.

Le due caratteristiche non sono correlate.

Qual è la probabilità per un bambino di quel Paese di avere i capelli biondi e una statura inferiore a 170 cm?

ESERCIZIO 10

Estraggo una pallina da un’urna che ne contiene 10 B, 15 R, 25 N, poi, dopo averla rimessa nell’urna, ne estraggo un’altra.

Qual è la probabilità di estrarre due palline rosse?

E se l’estrazione fosse senza reimbussolamento?

ESERCIZIO 11

Estraggo una pallina da un’urna che ne contiene 10 B, 15 R, 25 N, poi, dopo averla rimessa nell’urna, ne estraggo un’altra.

Qual è la probabilità di estrarre due palline rosse?

E se l’estrazione fosse senza reimbussolamento?

ESERCIZIO 11

L’APPROCCIO ASSIOMATICO

ESPERIMENTO - processo qualunque di cui non possiamo conoscere il risultato, ma del quale ci sono noti gli esiti possibili, che chiamiamo casi elementari.

: spazio dei casi elementari (insieme che ha come elementi i casi elementari).

L’ambiente

• Ogni sottoinsieme di è detto evento.

• Ogni caso elementare è anche un evento

• è l’evento impossibile

• è l’evento certo

È QUELLO DELLA TEORIA DEGLI INSIEMI

Il linguaggio

Dati due eventi A e B, si indicherà:

•  con AB l’evento corrispondente al verificarsi di A o di B ( cioè se si verifica almeno uno dei due eventi)

• con AB l’evento corrispondente al verificarsi di A e di B ( cioè se si verificano entrambi gli eventi)

• con Ac l’evento corrispondente al non verificarsi di A ( evento contrario ad A)

• con A - B l’evento corrispondente al verificarsi di A e al non verificarsi di B (A - B = ABc)

EVENTI INCOMPATIBILI - la loro intersezione è l’insieme vuoto (non possono verificarsi contemporaneamente)

Il linguaggio

EVENTI INDIPENDENTI- il verificarsi di uno non modifica la probabilità del verificarsi dell’altro

N.B. Due eventi indipendenti possono essere compatibili

Due eventi incompatibili sono sempre dipendenti

può essere anche un insieme costituito da infiniti elementi

L’approccio assiomatico

Tutti gli eventi sono sottoinsiemi di , ma non è necessario che tutti i sottoinsiemi dello spazio dei casi elementari siano eventi.

L’approccio assiomatico

Ad ogni esperimento è possibile associare una coppia (; F ), dove

-   è l’insieme dei casi elementari ( casi possibili)

-  F è una famiglia (-algebra) di sottoinsiemi di che contiene tutti gli eventi a cui siamo interessati.

Es. Nel lancio di un dado, F può essere costituita dagli eventi:“esce un numero pari” e “ esce un numero dispari”

L’approccio assiomatico

La terna (; F; p ) è detto spazio di probabilità.

Def. : Misura di probabilità su (; F ) è una funzione da R nell’intervallo [0;1], che soddisfa le seguenti proprietà

a) p( ) = 1

b) Se A e B sono elementi disgiunti di F, allora p(AB) = p(A) + p(B)

c) se A1, A2, .....,An, ........ è una collezione di elementi disgiunti di F,

allora proprietà di additività infinita

11

)(i

ii

i ApAp

L’approccio assiomatico

La probabilità costituisce un caso particolare di misura in (; F ) ed è espressa da un numero reale appartenente all’intervallo [0;1] .

Una misura è una funzione : F[0;+) tale che ()=0 , e valga la proprietà di additività.

Esercizio – Dimostrare le seguenti proprietà:

a)    p() = 0;

b)    p(Ac) = 1 – p(A)

corollario: p()=1-p()=1-1=0

L’approccio assiomatico

N.B. Gli eventi che non possono accadere hanno probabilità 0, ma non vale il viceversa; cioè non è vero che un evento con probabilità 0 non può accadere.

Esercizio – Dimostrare:

p(AB) = p(A) + p(B) – p(AB)

L’approccio assiomatico

Se è un insieme finito di cardinalità n, F è l’insieme delle parti di e

p(A) = A F,

si ritrova la definizione classica di probabilità.

n

AC )(