Prima Parte: ELETTROMAGNETISMO MAXWELLIANOPrima Parte: Elettromagnetismo maxwelliano - Capitolo 1...

Prima Parte: ELETTROMAGNETISMO MAXWELLIANO

Simboli e convenzioni.- Una grandezza G presentata entro parentesi quadre indica che si stanno considerando ledimensioni della grandezza:

[G] = LaMbT c

Nell’Appendice H si trovano le dimensioni di numerose grandezze cui si fa riferimento inquesto studio.

- La notazione n• (n = numero intero) segnala un punto del testo cui viene fatto riferimentoin altra parte dello studio.

2

Prima Parte: Elettromagnetismo maxwelliano - Capitolo 1

Capitolo 1

1.1 Il significato del Teorema di Poynting

Per ricavare l’espressione del Teorema di Poynting nel vuoto si fa usualmente riferimentoalle seguenti equazioni di Maxwell nei rotori:

∇×B − 1

c

∂E

∂t= 4πı ; ∇× E +

1

c

∂B

∂t= 0 (1)

si moltiplica scalarmente la prima per E, la seconda per −B, si somma a membro a membro

E · ∇ ×B −B · ∇ × E − 1

2

∂(E2 + B2)

∂ct= 4πE · ı

e si applica una nota relazione di calcolo vettoriale (v. Appendice A, eq. (A13)) ai primidue termini a membro sinistro ottenendo cosı

−∇ · (E ×B)− 1

2

∂(E2 + B2)

∂ct= 4πE · ı

da cui, moltiplicando per −c/4π:

∇ · cE ×B

4π+

∂

∂t

E2 + B2

8π= −cE · ı (2)

Questa e l’espressione del Teorema di Poynting che piu semplicemente si puo scrivere cosı

∂we

∂t+∇ · Se = −cE · ı (3)

avendo posto

we =E2 + B2

8π; Se =

cE ×B

4π(4)

Nella (3) compaiono termini che possono essere interpretati senza difficolta. In particolareindividuiamo

- nel termine we la densita di energia elettromagnetica;- nel termine Se, detto vettore di Poynting, la densita di flusso di potenza e.m.; energia e

potenza elettromagnetiche sono riferite al campo elettromagnetico che, nella interpreta-zione piu generalmente accettata, e considerato un oggetto fisico;

- nel termine cE · ı (dove E e espresso in ues mentre ı e espresso in uem in accordo colsistema di misura doppio simmetrico di Gauss che viene adottato in questo studio) la

3


densita di potenza elettromagnetica sviluppata dalla forza di Lorentz avente densita fL

sulla corrente avente densita ı, e infatti, indicando con U il campo di velocita della carica:

fL · U = ρ(

E +Uc×B

)

· U = E · ρU = E · ıues = cE · ıuem

dove si e tenuto conto dell’eq. (H8) dell’Appendice H. L’indicazione che ı e misurata inuem verra omessa perche implicita nella scelta del sistema adottato.

Tuttavia nulla, nel modo che e stato seguito per ricavarla, ci assicura che la (3)e una legge di conservazione dell’energia e.m.. Per arrivare a questa conclusioneoccorrera applicarla a casi concreti e verificare se puo essere interpretata in questosenso.

E quello che ci proponiamo di fare negli esempi che andremo a considerare.

* * *

Consideriamo un sistema fisico costituito da una distribuzione di materia dotata di cari-ca elettrica descritta dalla densita ρ (R, t). La distribuzione e interessata da un campoelettromotore Eemtr (R, t) che fornisce l’energia necessaria per realizzare in essa una con-dizione di moto descritta dal campo U (R, t) vincendo la forza di Lorentz fLdτ alla qualeogni porzione infinitesima dτ della distribuzione dotata di carica ρdτ e soggetta a causadella presenza del campo e.m. E,B generato dal resto della distribuzione:

fLdτ = ρ(

E +Uc×B

)

dτ

Ad esempio, all’interno di una pila un campo elettromotore genera un movimento di caricheda un morsetto (che diventa negativo) all’altro (che diventa positivo) vincendo la forza delcontrocampo elettrico che si forma a causa dell’accumulo di cariche nei morsetti. (Come enoto, questo processo non dura indefinitamente ma si arresta quando fra forze del campoelettromotore e forze del controcampo elettrico si stabilisce una condizione di equilibrioche blocca il movimento delle cariche).

Notiamo, per completezza di ragionamento, che nel caso di una distribuzione di materiacarica in condizioni statiche, cioe per una distribuzione in cui e ρ = ρ(R) e U = 0 sempree ovunque, occorre pensare a un campo elettrobloccante che sia in grado di mantenere ladistribuzione in una predefinita condizione di riposo vincendo la forza elettrostatica fdτalla quale ogni porzione infinitesima di carica ρdτ e soggetta a causa della presenza delcampo E generato dal resto della distribuzione:

fdτ = ρEdτ

Ad esempio, nella bilancia di torsione usata da Coulomb per determinare sperimentalmentel’intensita della forza elettrostatica che si manifesta fra due cariche puntiformi, il campoelettrobloccante e costituito dalla forza elastica della bilancia.

Cio posto, integriamo la (3) in una porzione della sopramenzionata distribuzione aventevolume τ circondato da una superficie σ con normale n(est) rivolta verso l’esterno.

4


Applicando il Teorema di Gauss al secondo termine a membro sinistro si ottiene:

∂

∂t

∫

τ

we dτ = −c

∫

τ

E · ı dτ −∫

σ

Se · n(est)dσ (5)

o anche, introducendo n(int) = −n(est)

∂

∂t

∫

τ

we dτ = −c

∫

τ

E · ı dτ +

∫

σ

Se · n(int)dσ (6)

La (5) (o la (6)) viene usualmente interpretata nel modo seguente: 1• nel volume τ l’energiaelettromagnetica puo variare solo se vi e flusso di potenza e.m. in transito attraverso σ,e/o se vi e sviluppo di potenza e.m. sulle correnti da parte della forza di Lorentz.

Per verificare la validita di questa interpretazione applichiamo la (6) a un 2• sistema elet-tromagnetico costituito da un circuito conduttore di volume τ avente forma toroidale conpiccola sezione trasversale che potra anche essere variabile, dotato di conduttivita σ e inun tratto del quale, avente volume τemtr e compreso fra le sezioni M+ e M−, e presente uncampo elettromotore Eemtr in grado di far circolare nel circuito una corrente stazionariaavente densita ı.

Osserviamo innanzitutto che per il sistema che stiamo considerando valgono le seguentiequazioni di Maxwell

∇ · E = 4πρ

∇× E = 0

∇ ·B = 0

∇×B = 4πı

(7)

e vale la legge di Ohm:

ı = σ(cE + Eemtr) ; [σuem] = L−2T (8)

Sia nelle (7) che nella (8) i campi E,B, ρ, ı, Eemtr non variano nel tempo.

Nelle (7) si e assunto che nel sistema considerato non vi siano apprezzabili fenomeni dipolarizzazione e magnetizzazione della materia, cioe si e assunto che la suscettivita elettricae la suscettivita magnetica del circuito conduttore siano entrambe prossime a zero cosiccheε ≈ 1 e µ ≈ 1 e quindi, essendo D ≈ E e B ≈ H, nelle (7) compare ∇ ·E = 4πρ invece che∇ ·D = 4πρ e ∇×B = 4πı invece che ∇×H = 4πı.A queste ipotesi semplificative, che non limitano la validita di quanto verra dimostrato nelseguito, si fara riferimento durante l’esame dei sistemi fisici che verranno considerati inquesto studio, salvo diversa indicazione.Nel par. 2.7 i fenomeni della polarizzazione e della magnetizzazione verranno trattati peresteso e verra mostrato in che modo, e con quali limitazioni, e possibile tenerne conto nelleequazioni dell’elettromagnetismo maxwelliano.

Prima di iniziare l’operazione di verifica della validita della proposizione 1 conviene, tenendoanche conto dell’uso che ne verra fatto in seguito, approfondire il significato della legge (8).

5


Consideriamo dapprima il tratto τemtr scollegato dal resto del circuito. In τemtr il campoEemtr forza la carica elettrica a muoversi dall’estremo M−, che diventa a basso potenziale,all’estremo M+, che diventa ad alto potenziale, creando nel primo una carenza e nel secondoun accumulo di cariche e quindi uno squilibrio elettrico che da origine a un campo elettricoE le cui linee di forza partono da M+ e arrivano su M− interessando tutto lo spaziocircostante (mentre Eemtr esiste solo in τemtr). Il campo E, che in τemtr ha verso oppostoa quello di Eemtr, aumenta la sua intensita fino ad eguagliare quella di Eemtr; a questopunto il trasporto di carica elettrica da M− a M+ si blocca e all’interno di τemtr non scorrepiu corrente. Questa e dunque la successione degli stati attraverso cui τemtr passa, quandoe scollegato dal resto del circuito, a partire dall’istante in cui il campo Eemtr viene attivato.Ora colleghiamo le estremita M+ e M− con un conduttore in modo da formare un circuitochiuso. Nel linguaggio che si usa abitualmente il campo elettromotore contenuto in τemtr edetto anche generatore con morsetti M+ e M− e il resto del circuito e detto anche carico.Non appena il generatore viene collegato col carico il campo E, che e presente in tutto lospazio circostante il generatore e quindi anche nel carico, genera in questo una correnteche va da M+ a M− e che tende ad eliminare lo squilibrio elettrico da cui e stata generatacosicche l’intensita di E tende a diminuire.Poiche E tende a diminuire di intensita anche entro τemtr, il campo elettromotore Eemtr

puo riprendere il suo lavoro di trasporto di carica da M− a M+ entro τemtr in modo chelo squilibrio elettrico (e quindi anche E) tende ad essere ricostituito cosicche nel circuitoconduttore si forma una corrente permanente e stazionaria che va da M− a M+ nel trattoτemtr e da M+ a M− nel carico.

La conduttivita σ e funzione sia della densita ρ che della mobilita µ delle cariche positivae negativa presenti nel conduttore:

σ = ρ+µ+ + ρ−µ− (9)

Poiche si assume che la carica positiva possa muoversi, mentre la carica negativa rimanefissa (µ− = 0) costituendo lo “sfondo” del movimento della carica positiva, segue che σdipende dalla densita e mobilita della sola carica positiva.Poiche ci troviamo in regime stazionario, si ha

∇ · ı = 0

ovvero (v. eq. (A12) dell’Appendice A)

∇ · (σE) = σ(∇ ·E) + E · (∇σ) = 0 (10)

e supponendo che σ sia uniforme segue

∇ · E = 0

Dal confronto con la prima delle (7) si deduce che nel conduttore e ρ = 0, e questo significache in esso la carica elettrica netta e nulla, il che, tuttavia, non contrasta con la presenzanel conduttore di una corrente stazionaria.

La corrente e la potenza sviluppata nel generatore G variano in funzione della conduttivitadel carico. Se la conduttivita e elevata, la velocita con cui la carica presente nei morsetti

6


diminuisce e anch’essa elevata e questo fatto obbliga G a lavorare di piu per ricostituirla, equesto significa maggior corrente e maggior potenza sviluppata. La corrente che si formaall’interno di G viene dunque automaticamente regolata su quella che e presente nel carico.

Un generatore che nel passaggio dal funzionamento a vuoto al funzionamento sotto caricomantiene invariata l’intensita del campo Eemtr e detto ideale.In un generatore reale il campo Eemtr non rimane invariato. Assumiamo che i generatoricui faremo riferimento siano tutti ideali; questa assunzione, in vista di cio che ci proponiamodi mostrare in questo studio, non risultera essere limitante.

Proseguendo nell’indagine sul significato della (8) mostriamo che essa puo essere riscrittain funzione delle quantita che usualmente vengono misurate in un circuito come quello chestiamo studiando.Moltiplichiamo e dividiamo il termine a membro sinistro della (8) per a, area della sezionetrasversale del conduttore che potra variare da un punto a un altro dell’asse del conduttore,ottenendo:

aı

aσ= cE + Eemtr

e integriamo lungo l’asse di un tratto di conduttore che comprenda il campo elettromotore

∫ 2

1

aı

aσ· d` = c

∫ 2

1

E · d` +

∫ 2

1

Eemtr · d` (11)

dove d` e una porzione infinitesima dell’asse del conduttore e 1 e 2 sono gli estremi deltratto considerato. Ora osserviamo che, per definizione, l’intensita di corrente circolantenel conduttore, supponendo che ı sia distribuito uniformemente su a, e espressa da

I = aı · n ; [Iuem] = L1/2M1/2T−1 (12)

dove n e la normale ad a. Moltiplicando per d` si ottiene

Id` = aı · nd` = aı · d` (13)

percio, avendo I valore costante attraverso qualunque sezione a,

∫ 2

1

d`

aσI = c

∫ 2

1

E · d` +

∫ 2

1

Eemtr · d`

da cui, indicando con R12 la resistenza (espressa in uem) del tratto 1-2, con M− e M+

gli estremi del tratto, contenuto in 1-2, in cui e Eemtr 6= 0 ed essendo E derivabile dalpotenziale elettrostatico ϕ mediante la E = −∇ϕ (come consegue dalla seconda delle (7)),segue

R12I = −c

∫ 2

1

(∇ϕ) · d` +

∫ M+

M−

Eemtr · d` ; [Ruem] = LT−1

ovvero, esprimendo ϕ in uem (cϕues = ϕuem, v. eq. (H14) dell’Appendice H)

R12I = ϕ1 − ϕ2 + ε ; [ϕuem] = [εuem] = L3/2M1/2T−2 (14)

dove ε e la cosiddetta “forza elettromotrice”.

7


La (14) e la legge di Ohm espressa in funzione di ben note quantita usualmente misurabilinel tratto di circuito compreso fra i punti 1 e 2 e contenente il campo elettromotore.Se ora moltiplichiamo per I otteniamo

R12I2 = (ϕ1 − ϕ2)I + εI (15)

Estendendo la (14) a tutto il circuito e indicando con R la resistenza totale si trova, dopoaver moltiplicato per I:

RI2 = εI (16)

Questa e la ben nota legge di conservazione della potenza e.m. del circuito: la potenza εIfornita dal generatore viene dissipata in calore (effetto Joule).

La legge di conservazione (16) e espressa in funzione di I, R e ε, ma puo anche essereespressa, operando direttamente sulla (8), in funzione di ı, σ, ed Eemtr.Infatti dalla (8) ricaviamo

cE =ı

σ− Eemtr (17)

Moltiplichiamo scalarmente per ı e integriamo su tutto il volume τ interessato dalla cor-rente:

∫

τ

cE · ı dτ =

∫

τ

i2

σdτ −

∫

τ

Eemtr · ı dτ (18)

Il campo E, come gia si e osservato nel determinare la (14), e esprimibile come gradientedi un potenziale scalare che indichiamo con ϕ e quindi E = −∇ϕ percio

c

∫

τ

(∇ϕ) · ı dτ =

∫

τ

Eemtr · ı dτ −∫

τ

i2

σdτ (19)

Ma (∇ϕ) · ı = ∇ · (ϕı)− ϕ(∇ · ı) (v. Appendice A, eq. (A12)) percio il termine a membrosinistro della (19) puo essere scritto cosı:

c

∫

τ

(∇ϕ) · ı dτ = c

∫

τ

∇ · (ϕı)dτ − c

∫

τ

ϕ(∇ · ı)dτ

da cui, poiche dalla quarta delle (7) si ottiene ∇ · ı = 0:

c

∫

τ

(∇ϕ) · ı dτ = c

∫

τ

∇ · (ϕı)dτ

e quindi, per il teorema di Gauss

c

∫

τ

(∇ϕ) · ı dτ = c

∫

σ

ϕı · n(est)dσ (20)

dove σ e la superficie di τ (il simbolo σ = superficie e il simbolo σ = conduttivita sonofacilmente distinguibili in base al contesto in cui compaiono) cosicche

c

∫

τ

(∇ϕ) · ı dτ = 0 (21)

8


Segue dalla (19), indicando con τemtr il volume del tratto di conduttore nel quale il campoelettromotore e diverso da zero:

∫

τemtr

Eemtr · ıdτ =

∫

τ

i2

σdτ (22)

La (22) indica che la potenza erogata dal campo elettromotore si riversa nel circuito nelquale viene convertita in calore (effetto Joule) che, classicamente, si ritiene sia dovutoall’“attrito” che la carica subisce muovendosi all’interno della materia. Il calore pero noncresce illimitatamente ma rimane stazionario in conseguenza della dispersione termica.Si tratta dunque di un principio di conservazione: la potenza fornita dal campo elettromo-tore si conserva trasformandosi in calore.Il risultato fornito dalla (22) e in accordo con la (16), come ci aspettiamo che debbasuccedere.

Concludendo l’indagine fatta sulla legge di Ohm espressa dalla (8) possiamo affermare cheessa fornisce una descrizione della corrente stazionaria presente nel circuito e una legge diconservazione delle potenze in gioco in accordo con quanto e sperimentalmente verificabile.Cio posto, passiamo alla operazione di verifica della proposizione 1 (pag. 5).

Ritorniamo alla (6) e osserviamo che in essa, poiche ci troviamo in regime stazionario, we

e costante perche E e B non dipendono dal tempo e quindi

∂

∂t

∫

τ

we dτ = 0 (23)

Segue

c

∫

τ

E · ı dτ =

∫

σ

Se · n(int)dσ (24)

che avremmo anche potuto ricavare direttamente dalle (7) applicando la procedura usuale,cioe moltiplicando scalarmente la quarta delle (7) per E, la seconda per −B, sommando amembro a membro

E · ∇ ×B −B · ∇ × E = 4πE · ı,applicando l’eq. (A13) (v. Appendice A) al membro sinistro

∇ · (E ×B) = −4πE · ı,

moltiplicando entrambi i membri per c/4π e integrando.Esaminiamo il membro destro della (24).Uno studio qualitativo del flusso del vettore di Poynting in un circuito conduttore percorsoda corrente stazionaria e stato pubblicato su Am. J. Phys. 73 (2), February 2005, da I.Galili ed E. Goihbarg: “Energy transfer in electrical circuits: A qualitative account”.In questo studio viene messa in evidenza innanzitutto l’importanza della carica presentesulla superficie del circuito, oltre alla carica in movimento all’interno del circuito.A questa distribuzione complessiva di carica e associato il campo E che in prossimita dellasuperficie del conduttore ha due componenti: una e diretta lungo il conduttore con versouguale a quello della corrente e l’altra normalmente alla superficie di questo, con ampiezzae verso variabili lungo il circuito.

9


Il campo E e il campo B generato dalla corrente danno origine al vettore Se il cui flussoe diretto in uscita dal generatore e in ingresso nel carico dove avviene la conversione dellapotenza elettromagnetica in calore.

Ora osserviamo che il membro sinistro della (24) coincide col membro sinistro della (21)che riscriviamo piu semplicemente cosı:

c

∫

τ

E · ı dτ = 0 (25)

Ne segue che il flusso totale di Se attraverso la superficie del circuito percorso da correntestazionaria e nullo:

∫

σ

Se · n(int)dσ = 0 (26)

Questa e l’espressione del Teorema di Poynting per il circuito considerato.Sembrerebbe dunque di poter affermare che, una volta accettata la validita della (25), ilTeorema di Poynting deve essere considerato, per il circuito che stiamo esaminando, unavalida espressione della legge di conservazione dell’energia e.m.. Esso infatti, mostrandociche il flusso totale di Se attraverso la superficie σ del circuito conduttore e nullo, ci informache il flusso di Se in uscita dal generatore e uguale al flusso in ingresso nel carico doveavviene la conversione della potenza e.m. in calore.

Notiamo tuttavia che la (26) esprime una corretta legge di conservazione in forza della (25)che, per quanto si e visto, e anch’essa una legge di conservazione.Segue da cio che il significato della (24) viene ad essere piu propriamente espresso da

c

∫

τ

E · ı dτ = 0 (24a)

∫

σ

Se · n(int)dσ = 0 (24b)

cioe da un sistema di due equazioni ciascuna delle quali esprime una legge di conservazione.Sembrerebbe dunque di poter affermare che il Teorema di Poynting puo essere scisso indue equazioni ciascuna corrispondente a una diversa spiegazione del fatto che nel circuitopercorso da corrente stazionaria la potenza sviluppata dal generatore si trasforma in calore.In una spiegazione (v. eq. (24a)) si assume che il calore viene generato dall’attrito cui lacarica e soggetta durante il suo movimento nel circuito conduttore, nell’altra spiegazione(v. eq. (24b)) si assume che il calore viene generato dal flusso di Se entrante attraverso lasuperficie del conduttore.

Notiamo, per inciso, che in quest’ultimo caso la causa per cui l’energia associata al flussodel vettore di Poynting viene convertita in energia termica non puo essere l’attrito associatoal movimento della carica; infatti, se cosı fosse, occorrerebbe assumere che il movimentodella carica e causato dall’ingresso nel conduttore del flusso di Se, e questo e impossibile,perche Se esiste in conseguenza del fatto che la carica, col suo movimento, genera il campoB di cui Se e funzione e quindi Se e l’effetto, e non la causa, del movimento.

Dunque dall’operazione di verifica della proposizione 1 (pag. 5) sembrerebbe possibile ot-tenere un primo risultato: il Teorema di Poynting non e una legge di conservazione dell’e-nergia elettromagnetica del circuito che stiamo considerando, ma e una combinazione didue leggi di conservazione dell’energia.

10


Ma questa interpretazione non e accettabile.

Infatti osserviamo che, se e vero che le spiegazioni che abbiamo ottenuto a riguardo del-l’origine del calore generato nel conduttore percorso da corrente stazionaria sono due, ealtrettanto vero che il complesso delle grandezze di cui l’elettromagnetismo maxwellianosi serve per descrivere questo fenomeno, cioe i campi vettoriali E e B generati dalla di-stribuzione di carica ρ, ı e i campi we e Se funzioni di E e B, e uno solo e non si vedecome si possa, in ciascuna spiegazione, chiamare in causa solo alcune di queste grandezzeescludendone altre.Ad esempio, se ci atteniamo alla spiegazione basata sul flusso di Se, che esiste perche nelcircuito scorre una corrente, come possiamo ignorare il fatto che alla corrente e associatoun fenomeno di attrito in grado di generare a sua volta calore?Se, invece, diamo fiducia alla spiegazione basata sull’attrito cui la carica e soggetta duranteil suo movimento, come possiamo ignorare l’ingresso nel circuito di potenza elettromagne-tica sottoforma di flusso di Se, che esiste perche nel circuito scorre una corrente?

Per cercare di fare piu chiarezza su questi punti schematizziamo i fenomeni che, in accordocon le (24a) e (24b), avvengono contemporaneamente nel circuito conduttore percorso dacorrente stazionaria:

1) il generatore spende energia per rimuovere cariche dal morsetto negativo e accumularlein quello positivo e mantiene cosı fra i morsetti uno squilibrio elettrico;2) lo squilibrio origina un campo elettrico E che fa muovere la carica libera avente densitaρ presente nel circuito conduttore (il movimento e dovuto anche alla presenza di carichedislocate da E sulla superficie del conduttore, come e stato mostrato da R. W. Chabay eB.A. Sherwood in “Electric and Magnetic Interactions”, Wiley, 1995);3) la carica in movimento costituisce una corrente che la forza f = ρE mantiene stazionarialavorando contro le “forze di attrito” presenti all’interno del conduttore;4) l’energia spesa per compiere questo lavoro e convertita in energia termica; questa equantitativamente uguale (come mostra l’eq. (24a) ovvero l’eq. (22)) all’energia spesa dalgeneratore per creare fra i suoi morsetti lo squilibrio elettrico permanente di cui si parlaal punto 1), cioe per far circolare nel circuito conduttore una corrente stazionaria;5) la corrente stazionaria presente nel conduttore origina un campo magnetico B;6) ai campi E e B, cioe al campo elettromagnetico, che in accordo con l’interpretazione piudiffusa fra i fisici deve essere considerato un oggetto fisico realmente esistente, e associatoil campo stazionario Se descrittore della densita di flusso della potenza appartenente alcampo e.m.;7) il flusso di Se e diretto in uscita dal generatore e in ingresso nel carico (v. eq. (24b)) nelquale la potenza e.m. e convertita in calore; questo e quantitativamente uguale al calore dicui si parla al punto 4) e che e conseguenza dell’attrito cui la carica e soggetta durante ilsuo movimento nel conduttore; infatti consideriamo una porzione di conduttore cilindricoavente conduttivita σ, raggio R, lunghezza `, superficie laterale a e normale n rivolta versol’interno, percorso da corrente stazionaria avente densita ı sostenuta dal campo elettricoE; si ha

cE =ı

σ; B = 2πı ×R

dove R e il vettore avente modulo R uscente dall’asse del cilindro in direzione normaleall’asse; il prodotto E × B ha direzione normale alla superficie del conduttore e verso

11


entrante nel conduttore cosicche il flusso di Se entrante nel conduttore e espresso da

Φ =c

4π

∫

a

E ×B · nda =1

4π

∫

a

ı

σ× (2πı ×R) · nda =

i2

σπR2`

e si vede che e uguale al calore generato internamente al conduttore e dovuto alla presenzadi corrente elettrica.

Poiche tutti questi fenomeni avvengono contemporaneamente, occorre concludere che ilgeneratore deve:

- lavorare per mantenere fra i suoi morsetti lo squilibrio di carica elettrica cui e associatoun campo elettrico che, facendo muovere la carica, genera una corrente stazionaria,

- fornire l’energia elettromagnetica associata al flusso del vettore di Poynting in uscita dalgeneratore,

e anche che queste energie si trasformano entrambe e in ugual misura, anche se con modalitadiverse, in energia termica.Si tratta evidentemente di una conclusione inaccettabile che ci obbliga a respingere l’ipotesidella separabilita della (24) in due equazioni, perche tale ipotesi comporta un raddoppiosia dell’energia emessa dal generatore che di quella trasformata in calore.

* * *

Riassumendo: il Teorema di Poynting applicato a un circuito percorso da corrente sta-zionaria si scompone in due equazioni ciascuna delle quali esprime una valida legge diconservazione dell’energia elettromagnetica del circuito; una legge e espressa in funzionedi E e ı, l’altra in funzione del vettore di Poynting.Tuttavia, poiche il vettore di Poynting e funzione dei campi E e B che sono generati dauna unica distribuzione di carica/corrente (quella presente nel circuito), le due equazionidescrivono altrettanti fenomeni di generazione/dissipazione di potenza e.m. che avvengonocontemporaneamente nel medesimo circuito.Riprendiamo questa ultima argomentazione considerandola da un altro punto di vista.Ci chiediamo: e possibile assumere che le due modalita di generazione del calore corrispon-dano non a due fenomeni fisici presenti contemporaneamente nel circuito, ma a due modidiversi di descrivere uno e un solo fenomeno di generazione di calore e che quindi ognimodo debba essere scelto in alternativa all’altro?No, perche il campo e.m. e un oggetto fisico, presente in entrambe le descrizioni, al qualee possibile associare la grandezza Se che permette di descrivere la generazione di calorenel circuito conduttore dovuta al flusso entrante di Se, contemporanea alla generazione dicalore interna al circuito conduttore e dovuta alla corrente in esso circolante.Si tratta quindi non di due possibili descrizioni di un solo fenomeno, ma di due descrizioniciascuna associata a un ben preciso fenomeno.Dunque occorre concludere che il generatore deve fornire al circuito doppia potenza e.m.che viene a sua volta trasformata in doppio calore.

Questa e ovviamente una conclusione inaccettabile.

In definitiva, l’operazione di verifica della validita della interpretazione del Teorema diPoynting proposta nel punto 1 (pag. 5), operazione effettuata applicando la (6) a un ele-mentare circuito elettrico percorso da corrente stazionaria con conseguente riduzione della

12


(6) alla (24), ci mette a disposizione il seguente notevole risultato: non e possibile conside-rare il T. di P. come una legge di conservazione dell’energia e.m. del circuito considerato(come assume la proposizione 1 (pag. 5)) e non e neppure possibile considerare il T. di P.come una combinazione di due leggi di conservazione.

Ci chiediamo allora: 3• quale e il significato della (6)?

Osserviamo innanzitutto che, da un punto di vista formale, il procedimento matematicoche ci ha permesso di ottenere la (6), di cui la (24) e un caso particolare, e ineccepibile,percio 4• dobbiamo guardare alla (6) come a un espressione formalmente affidabile, anchese non sappiamo quale e il suo significato fisico.La fiducia nella validita della (6) si basa, ovviamente, sulla convinzione che le equazioni diMaxwell siano quanto di meglio abbiamo a disposizione per descrivere le forze elettroma-gnetiche.Nelle argomentazioni che seguiranno manterremo questa convinzione come un punto fermo.Cio posto, 5• cercheremo di chiarire il significato del Teorema di Poynting esaminandoaltri sistemi elettromagnetici con l’intento di verificare se anche per essi, e in che modo, ilTeorema di Poynting fornisce risultati inaccettabili.

Applichiamo la (6) allo studio di un 6• condensatore collegato a un generatore G che lo stacaricando, cioe a un condensatore avente le armature collegate a un generatore in grado ditrasferire carica elettrica da una armatura all’altra vincendo il controcampo elettrico chesi forma fra esse a causa dello squilibrio elettrico provocato dal trasporto delle cariche.Assumiamo che questo circuito possa essere considerato un sistema elettroquasistatico, cioeun sistema per il quale valgono le seguenti equazioni di Maxwell:

∇ ·E = 4πρ

∇×E ≈ 0

∇ ·B = 0

∇×B − 1

c

∂E

∂t= 4πı

(27)

Supporre che sia ∇× E ≈ 0 significa supporre che nel processo di carica del condensatoreil fenomeno dell’autoinduzione magnetica sia di importanza trascurabile.Vale anche la seguente legge di Ohm

ı = σ(

Eemtr + cE)

(28)

dove σ e la conduttivita dei conduttori che collegano il condensatore col generatore G,E e il campo elettrico presente nel circuito di carica e Eemtr e il campo elettromotorerappresentativo di G. La corrente avente densita ı, che inizia a scorrere nei conduttoriche collegano il condensatore con G a partire dall’istante t = 0 in cui G viene attivato, efunzione del tempo, cosı come lo sono il campo elettrico E e il campo magnetico B.

Prima di iniziare l’operazione di verifica della validita della proposizione 1 (pag. 5) conviene,tenendo anche conto dell’uso che ne verra fatto in seguito, indagare sul significato dellalegge di Ohm espressa dalla (28).

13


Osserviamo innanzitutto che, quando G e scollegato, e presente nel morsetto M+ caricapositiva e nel morsetto M− una uguale quantita di carica negativa; il campo elettrico Eassociato a questa distribuzione di carica ha linee di forza che partono da M+ e arrivanosu M− interessando tutto lo spazio circostante e quindi anche l’interno di G la cui attivitaviene bloccata proprio da E che ha modulo uguale al modulo di Eemtr e segno opposto equindi all’interno di G e ı = 0.Quando G viene collegato col condensatore attraverso il circuito di carica, il campo Epresente all’interno del circuito inizia a spostare la carica da una armatura all’altra creandouna corrente: si carica positivamente l’armatura in cui la carica entra e negativamentel’armatura da cui la carica esce.Contemporaneamente la carica presente nei morsetti di G tende a diminuire, e tende quindia diminuire anche l’intensita del campo elettrico all’interno di G, il che permette a G dilavorare per ricostituire la carica iniziale che a sua volta tende a ricostituire il valore inizialedel campo.Dunque durante il processo di carica del condensatore l’intensita del campo dovuto allacarica presente nei morsetti tende a mantenere un valore indipendente dal valore dellacorrente, tuttavia, poiche sulle armature continua ad accumularsi carica elettrica, si generaun controcampo che tende ad opporsi al movimento della carica e che cresce di intensitacausando una progressiva diminuzione del campo elettrico totale E (= campo elettricodovuto alla carica presente nei morsetti + controcampo) presente nel circuito di carica equindi una progressiva diminuzione della corrente fino al suo annullamento. Al termine delprocesso di carica sia il campo elettrico totale E che la corrente ı sono nulli all’interno delcircuito di carica e il blocco del movimento della carica, che non viene piu allontanata daimorsetti, blocca anche G.Il processo di carica e cosı completato.

Proseguendo l’indagine sul significato della (28) mostriamo che essa puo essere riscritta infunzione delle quantita che usualmente vengono misurate in un circuito come quello chestiamo considerando. Dalla (28) si ricava

Eemtr + cE =ı

σ

Integriamo questa relazione lungo la curva che costituisce l’asse del percorso della correntedi carica partendo dall’armatura a− del condensatore e arrivando sull’armatura a+:

a+∫

a−

Eemtr · d` + c

a+∫

a−

E · d` =

a+∫

a−

ı

σ· d` (29)

ovvero, indicando con a la sezione trasversale dei conduttori del circuito di carica e con Il’intensita della corrente di carica ed essendo aı · d` = Id` (v. eq. (13))

a+∫

a−

Eemtr · d` + c

a+∫

a−

E · d` =

a+∫

a−

aı

aσ· d` = I

a+∫

a−

d`

aσ

Con riferimento a grandezze gia introdotte in precedenza (v. eq. (14)) possiamo scrivere

ε + c

a+∫

a−

E · d` = RI

14


dove R e la resistenza del circuito di carica.Introduciamo, in accordo con la seconda delle (27), il potenziale scalare ϕ tale che

E = −∇ϕ (30)

e percio la legge di Ohm diviene

ε− c

a+∫

a−

∇ϕ · d` = RI

da cuiε− c

(

ϕ(a+)− ϕ(a−))

= RI (31)

La differenza di potenziale ϕ(a+) − ϕ(a−), che e nulla all’inizio del processo di carica,assume un valore via via crescente fino ad uguagliare ε: a quel punto e I = 0 e il processodi carica e terminato.

Ora osserviamo che la quantita ϕ(a+) − ϕ(a−), che e stata definita con riferimento alpercorso della corrente di carica, puo anche essere definita, in virtu della seconda delle(27), seguendo un percorso che attraversa lo spazio (vuoto) compreso fra le armature. Perottenere ϕ(a+) e ϕ(a−) osserviamo che dalla prima delle (27) e dalla (30) si ricava

∇ · ∇ϕ = −4πρ

Integriamo questa equazione nello spazio τ compreso fra le armature del condensatoretenendo presente che τ e stato assunto vuoto e quindi privo di carica sia di polarizzazionesia libera, e quindi ρ = 0. Cariche elettriche sono pero presenti sulla superficie dellearmature con densita superficiale ρσ che, nel processo di carica del condensatore, dipendedal tempo ed e funzione crescente di questo.Si tratta allora, tenuto conto della (A23), di integrare la seguente equazione di Laplace

∇2ϕ = 0 (32)

Assumiamo che le armature del condensatore siano piane e parallele, che abbiano ciascunauna superficie avente area S e si trovino a distanza d l’una dall’altra.Assumiamo anche che gli effetti di bordo delle armature siano trascurabili, che il campoelettrico nello spazio compreso fra le armature non riceva contributi dalla carica presentenei morsetti e quindi che le linee del campo E che escono dall’armatura positiva arrivinotutte sull’armatura negativa mantenendosi parallele fra loro e perpendicolari alle armature.Ne segue che le superfici ϕ = cost., che sono perpendicolari alle linee di campo, devonoessere parallele alle armature, percio ϕ dipende da una unica coordinata rettilinea z chescegliamo crescente dalla armatura positiva a quella negativa. L’equazione di Laplacediviene allora:

d2ϕ

dz2= 0

da cuiϕ(z) = Az + B ; A,B = costanti (33)

15


La condizione al contorno che occorre imporre per determinare A si ricava, come e noto,applicando il Teorema di Gauss alla prima equazione delle (27) dopo averla integrata inun cilindretto avente le basi 4σ parallele alle armature, avente altezza che viene fattatendere a zero e collocato in modo da intercettare su una armatura, supponiamo quellacarica positivamente, la carica ρσ4σ. Si ottiene cosı

Ez(z)|z=a+ = 4πρσ (34)

e quindi

−dϕ

dz

∣

∣

∣

z=a+

= 4πρσ

da cuiA = −4πρσ

e quindi, se Q = Sρσ e la carica totale sull’armatura positiva:

A = −4πQ

S; [Ques] = L3/2M1/2T−1

e percio

ϕ(z) = −4πQ

Sz + B ; [ϕues] = L1/2M1/2T−1 (35)

Notiamo che ϕ(z) e una retta avente coefficiente angolare negativo e dipendente dal tempoperche Q = Q(t). Nell’istante t = 0 in cui il generatore viene attivato, la carica Q presentesulle armature e nulla, percio il coefficiente angolare e nullo, cosı come lo e il campo Enello spazio compreso fra le armature. Al crescere del tempo la retta assume una pendenza(negativa) sempre piu accentuata fino a che il campo elettrico corrispondente non raggiungeil suo valore massimo.Dall’espressione di ϕ(z) si ricava:

ϕ(a+)− ϕ(a−) = −4πQ

S(a+ − a−) = −4πQ

S(−d) =

4πQd

S(36)

e percio la (31) diviene

ε− c4πd

SQ = RI (37)

La quantita

C =S

4πd; [Cues] =

[Ques]

[ϕues]= L

16


e la capacita del condensatore. La (37) diviene

ε− cQ

C= RI

Esprimendo Q e C in uem (Ques = cQuem; Cues = c2Cuem in accordo con le (H8) e (H17)dell’Appendice H) si puo riscrivere quest’ultima equazione nel modo seguente:

ε− Q

C= RI (38)

dove tutte le grandezze sono espresse in uem, e in particolare

[Quem] = L1/2M1/2 ; [Cuem] = L−1T 2

L’equazione (38) descrive il processo di carica del condensatore in funzione della f.e.m. ε

del generatore, della carica Q che si va accumulando sulle armature del condensatore edella corrente I che percorre il circuito di carica.Poiche I = dQ/dt, possiamo scrivere:

ε− Q(t)

C= R

dQ(t)

dt(39)

o anche1

RC=

1

εC −Q(t)

dQ

dt

Integriamo da 0 a t (l’istante t = 0 e quello in cui viene attivato il generatore):

1

RC

∫ t

0

dt =

∫ t

0

dQ

εC −Q= −

∫ t

0

d(εC −Q)

εC −Q

Seguet

RC= − ln

εC −Q(t)

εC −Q(0)

Supponendo che la carica iniziale Q(0) del condensatore sia nulla segue

e− t

RC =εC −Q(t)

εC

ovvero

Q(t) = εC(

1− e− t

RC)

; [RuemCuem] = T (40)

Questa e la carica accumulata nel condensatore al tempo t. Al termine del processo dicarica (teoricamente il processo di carica termina per t→∞) si ha Q = εC , il che mostrache la differenza di potenziale Q/C fra le armature uguaglia la f.e.m. del generatore.La corrente vale:

I(t) =dQ

dt=

ε

Re− t

RC (41)

17


Moltiplicando la (38) per I otteniamo una equazione di bilancio della potenza e.m. ingioco nel processo di carica del condensatore

εI − Q

CI = RI2 (42)

Dalla legge di Ohm espressa dalla (28), moltiplicata scalarmente per ı

i2

σ= cE · ı + Eemtr · ı,

otteniamo la corrispondente della (42)

Eemtr · ı− (−cE · ı) =i2

σ(43)

dove Eemtr · ı e la densita di potenza uscente dal generatore, −cE · ı e la densita di potenzaassorbita dal processo di carica e i2/σ e la densita di potenza uscente dal circuito di caricadel condensatore sottoforma di calore.La (42) si puo scrivere cosı

εI − 1

2C

dQ2

dt= RI (44)

Integrando rispetto al tempo si ottiene:

∫ t

0

εIdt− 1

2C

∫ t

0

dQ2

dtdt = R

∫ t

0

I2dt

ovvero∫ t

0

εIdt− 1

2C

∫ t

0

dQ2 = R

∫ t

0

I2dt

Questa equazione, avendo posto

WG =

∫ t

0

εIdt = ε2C

(

1− e− t

RC)

(45)

WQ =1

2C

∫ t

0

dQ2 =Q2

2C=

ε2C

2

(

1− e− t

RC)2

; Q(0) = 0 (46)

WJ =

∫ t

0

RI2dt =ε2C

2

(

1− e− 2t

RC)

(47)

puo piu semplicemente essere scritta cosı:

WG = WQ + WJ (48)

ed esprime la legge di conservazione delle energie: l’energia WG fornita dal generatore euguale all’energia WQ associata all’accumulo di carica nelle armature del condensatore piul’energia WJ convertita in calore per effetto Joule.

18


Ora supponiamo che la forza elettromotrice ε di G, che fino ad ora abbiamo assuntocostante, vari sinusoidalmente nel tempo.

Il condensatore sara allora soggetto a processi di carica alternati, durante i quali ciascunadelle sue armature diventera in successione positiva o negativa rispetto all’altra.

In dettaglio, sia ε(t) = ε0 sin ωt e, avendo indicato le armature con le notazioni a1 e a2,supponiamo che in t = 0 a1 sia all’inizio di una fase di accumulo di carica e a2 all’inizio diuna fase di rimozione di carica. Al crescere di ε la carica in a1 aumenta e in a2 diminuiscefino a che ε raggiunge il valore massimo positivo ε0 in corrispondenza del quale l’energiafornita da G e accumulata nel condensatore vale WQ = ε

20C/2.

A questo punto ε comincia a diminuire e l’energia WQ viene progressivamente restituitaal generatore. Quando ε si annulla la restituzione ha termine e inizia un nuovo processodi carica in cui la carica diminuisce in a1 e aumenta in a2 fino a che la ε del generatoreraggiunge il suo valore minimo negativo −ε0, avendo fornito al condensatore l’energiaWQ = ε

20C/2.

Il sistema prosegue in questo modo alternando quarti di periodo T = 2π/ω in cui il gene-ratore fornisce energia (fasi di carica del condensatore) a quarti di periodo in cui questagli viene restituita (fasi di scarica del condensatore).

In tutte le fasi vi e perdita di energia WJ dovuta ad effetto Joule ed il generatore devefornire l’energia necessaria a compensare la perdita.

In ogni quarto di periodo di carica si ha quindi:

WG −WQ −WJ = 0 (49)

mentre in ogni quarto di periodo di scarica si ha

WQ −WG −WJ = 0 (50)

Notiamo che la descrizione che abbiamo dato del fenomeno e basata sull’assunzione che ωabbia un valore cosı basso da permettere l’approssimazione introdotta nella seconda delle(27) (autoinduzione magnetica trascurabile).

Da un punto di vista quantitativo, se ε = ε0 cos ωt la (39) diviene

RdQ

dt+

Q

C= ε0 cos ωt

ovvero, essendo I = dQ/dt:

RI +1

C

∫ t

0

Idτ = ε0 cos ωt

Introduciamo i fasori E ←→ ε e I ←→ I descrittivi del regime stazionario del circuito (equindi escludiamo lo studio del regime transitorio):

RI +1

jωCI = E

19


da cui

I(ω) =E

R− j 1ωC

= ER + j 1

ωC

R2 + 1ω2C2

=E

√

R2 + 1ω2C2

R√

R2 + 1ω2C2

+ j1

ωC√

R2 + 1ω2C2

=E

√

R2 + 1ω2C2

(cos ϕ + j sin ϕ)

e ancora

I(ω) =ωCE√

1 + ω2R2C2ejϕ =

ωCε0√1 + ω2R2C2

ej(ωt+ϕ) ; tanϕ =1

ωRC

e infine

I(t) =ωCε0√

1 + ω2R2C2cos(ωt + ϕ) = I0 cos(ωt + ϕ)

La potenza istantanea in gioco nel circuito vale

εI =ωCε

20√

1 + ω2R2C2cos ωt cos(ωt + ϕ)

=ωCε

20√

1 + ω2R2C2(cos2 ωt cos ϕ− cos ωt sin ωt sinϕ)

=ωCε

20√

1 + ω2R2C2

(

cos2 ωtωRC√

1 + ω2R2C2− cos ωt sin ωt

1√1 + ω2R2C2

)

ovvero

εI = RI20 cos2 ωt− I2

0

2ωCsin 2ωt

Il primo termine a membro destro rappresenta il calore prodotto per effetto Joule nelcircuito di carica del condensatore, il secondo la potenza palleggiata fra generatore e con-densatore.

Concludendo l’indagine fatta sulla legge di Ohm espressa dalla (28) possiamo affermare cheessa fornisce una descrizione del processo di carica/scarica del condensatore e una legge diconservazione delle energie in gioco in accordo con quanto e sperimentalmente verificabile.

Veniamo ora al Teorema di Poynting che ricaviamo dalle (27) servendoci della procedurausuale:

∂

∂t

∫

E2

8πdτ +

∫

∇ · Sedτ = −c

∫

E · ıdτ (51)

Prima di iniziare a commentarlo cerchiamo di immaginare quale possa essere l’andamentodel campo del vettore Se nel sistema elettromagnetico costituito dal condensatore in fasedi carica che abbiamo studiato servendoci della legge di Ohm.Faremo riferimento alle considerazioni svolte su questo campo vettoriale nel caso del cir-cuito percorso da corrente stazionaria.Anche ora abbiamo flusso di Se avente verso in uscita dal generatore e, guidato dai con-duttori del circuito di carica, diretto verso lo spazio compreso fra le armature.

20


Il flusso di Se, che ha una componente parallela e una perpendicolare alla superficie deiconduttori di collegamento, entra parzialmente nei conduttori rendendo cosı conto dell’ef-fetto Joule che e osservabile in essi. Il flusso che non e assorbito e convertito in calore entranello spazio τ compreso fra le armature. Poiche in questo spazio e ı = 0, il Teorema diPoynting assume la forma seguente

∂

∂t

∫

τ

E2

8πdτ =

∫

σ


dove σ e la superficie di τ .Ci proponiamo di verificare la validita di questa relazione.Assumiamo che il condensatore sia piano, abbia armature circolari con raggio r e distanti dl’una dall’altra. In τ il vettore E e diretto normalmente alle armature con verso dall’arma-tura positiva a quella negativa; il vettore B e diretto tangenzialmente alla superficie lateraledel cilindro C di altezza d e volume τ che ha come basi le armature del condensatore, enormale a E e ha verso definito dalla regola del cavatappi (riferita ad E).Consideriamo in τ l’ultima delle (27) che riscriviamo ponendo in essa ı = 0 perche τ evuoto:

∇×B − 1

c

∂E

∂t= 0

Calcoliamo il flusso di ∇ ×B attraverso la superficie a di una sezione trasversale retta Sdi C avente normale n:

∫

a

∇×B · nda =1

c

∫

a

∂E

∂t· nda

Applichiamo al membro sinistro il Teorema di Stokes:

∮

`

B · d` =1

c

∫

a

∂E

∂t· nda (53)

L’integrale di linea e calcolato lungo il bordo circolare ` della sezione S e il verso di d` elegato a quello di n dalla regola del cavatappi.Il modulo di B e costante lungo ` e il modulo di ∂E/∂t non varia da punto a punto di a e

i versi di B e d` a membro sinistro e i versi di ∂E∂t e n a membro destro sono, per entrambe

le coppie, o concordi o discordi, percio dalla (53) si ricava

2πrB =1

c

∂E

∂tπr2

da cui

B =1

2c

∂E

∂tr (54)

Il vettore di Poynting, tenuto conto della direzione dei vettori E e B, risulta essere direttoperpendicolarmente alla superficie laterale del cilindro C e verso l’interno di questo (cioe

Se = S(int)

e ) e ha modulo

|S(int)

e | = c

4πEB =

c

4πE

1

2c

∂E

∂tr =

1

8πE

∂E

∂tr =

1

8π

1

2

∂E2

∂tr (55)

21


Ora osserviamo che il prodotto scalare che compare nell’integrale a membro destro della

(52) e positivo perche Se = S(int)

e e n(int) hanno verso concorde percio il flusso di S(int)

e

entrante nello spazio compreso fra le armature del condensatore attraverso la superficielaterale σ del cilindro e espresso da:

∫

σ

S(int)

e · n(int)dσ =1

8π

1

2

∂E2

∂tr · 2πrd =

∂

∂t

E2

8ππr2d =

∂WE

∂t(56)

e si vede che coincide con la variazione temporale dell’energia WE (v. eq. (198)) presentenel condensatore (πr2d e il volume di C).Dunque la (52) risulta essere una valida espressione della legge di conservazione dell’ener-gia del sistema elettroquasistatico costituito dallo spazio compreso fra le armature di uncondensatore in fase di carica. L’energia contenuta in tale spazio non si forma dal nulla,ma viene incrementata dal flusso di Se che sta entrando.Ovviamente l’incremento di WE non prosegue indefinitamente, ma termina col terminaredel processo di carica del condensatore.

Il Teorema di Poynting sembrerebbe dunque descrivere correttamente il bilancio delle po-tenze in gioco nel sistema fisico costituito dal condensatore in fase di carica, tuttaviaosserviamo che in τ i campi E e B di cui Se e funzione esistono perche nelle armature epresente carica elettrica e perche la quantita di carica sta variando nel tempo.Cio significa che, mentre il flusso di Se sta accumulando energia WE nello spazio fra learmature, vi e carica elettrica Q che a sua volta si sta accumulando nelle armature a spesedi una energia WQ = Q2/2C fornita dal generatore. Tale energia e uguale a WE dato che

WE =E2

8ππr2d =

(

ϕ(a+)− ϕ(a−))2

8πd2πr2d =

Q2

8πdC2πr2 =

Q2

2C= WQ (57)

Riassumiamo, per maggior chiarezza, i fenomeni che avvengono contemporaneamente nelcircuito di carica del condensatore a partire dall’istante in cui il generatore viene attivato:

1) il generatore G spende energia per rimuovere cariche da una armatura, quella collegatacol morsetto negativo, e accumularle sull’altra, quella collegata col morsetto positivo, ecrea cosı fra le armature uno squilibrio elettrico;2) al trasporto di carica nel circuito di carica del condensatore corrisponde una correnteche da luogo a effetto Joule;3) l’energia fornita dal generatore si deve intendere localizzata, al netto di quella dissipataper effetto Joule, nelle armature del condensatore perche in esse si va accumulando caricaelettrica;4) il campo elettrico E associato allo squilibrio elettrico che si e creato nel condensatore epresente nello spazio τ compreso fra le armature e variabile e crescente nel tempo;5) il campo variabile E da origine in τ a un campo magnetico B;6) i campi E e B originano il campo Se che descrive il flusso della potenza posseduta dalcampo elettromagnetico; sottolineiamo che Se esiste in τ perche sulle armature e presenteuno squilibrio elettrico variabile nel tempo e a tale squilibrio e associata l’energia indicatanel punto 3);7) il flusso di Se entra in τ e seguita ad entrare fino al termine del processo di carica delcondensatore. Al termine del processo di carica l’energia accumulata in τ dal flusso di Se

e uguale a quella associata allo squilibrio elettrico creato dal generatore fra le armature.

22


Quindi si ha nel condensatore un doppio accumulo di energia: quello associato allo spo-stamento di cariche dall’una all’altra armatura (attraverso il circuito di carica) e quellodovuto al flusso di Se entrante nello spazio τ compreso fra le armature.Inoltre, poiche il flusso di Se entra nel circuito di carica, si ha anche, in questo, una doppiadissipazione di energia in calore: quella dovuta alla presenza di corrente e quella dovuta alflusso di Se entrante.

Passiamo a considerare un altro sistema elettromagnetico.

Applichiamo la (6) allo studio di 7• un induttore costituito da un avvolgimento cilindrico diN spire, avente lunghezza l, raggio r e collegato con un generatore G che lo sta caricando,cioe a un induttore collegato con un generatore in grado di far scorrere in esso carica elettri-ca vincendo il controcampo elettrico che si forma nell’induttore a causa dell’autoinduzionemagnetica. All’interno dell’induttore non e presente alcun mezzo materiale.

Assumiamo che l’induttore possa essere considerato un sistema magnetoquasistazionario,cioe un sistema per il quale valgono le seguenti equazioni di Maxwell:

∇ · E = 4πρ

∇× E = −1

c

∂B

∂t

∇ ·B = 0

∇×B ≈ 4πı

(58)

Supporre che sia ∇× B ≈ 4πı significa supporre che nel processo di carica dell’induttore

il termine 1c

∂E∂t , corrispondente alla corrente (cosiddetta) di spostamento, sia trascurabile.

Vale anche la seguente legge di Ohm

ı = σ(

Eemtr + cE)

(59)

dove σ e la conduttivita dell’induttore, E e il campo elettrico presente nel circuito di caricae Eemtr e il campo elettromotore rappresentativo di G. La corrente avente densita ı, cheinizia a scorrere a partire dall’istante t = 0 in cui il generatore viene attivato, e funzionedel tempo, cosı come lo sono il campo elettrico E e il campo magnetico B.

Prima di iniziare l’operazione di verifica della validita della proposizione 1 (pag. 5) conviene,tenendo anche conto dell’uso che ne verra fatto in seguito, approfondire il significato della(59).

Osserviamo innanzitutto che, quando G e scollegato, la carica elettrica accumulata neimorsetti a seguito dell’azione elettromotrice di G genera un campo elettrico E che ha lineedi forza in uscita dal morsetto positivo e in ingresso sul morsetto negativo e che interessanotutto lo spazio circostante e quindi anche l’interno di G la cui attivita viene bloccata proprioda E che ha modulo uguale al modulo di Eemtr e segno opposto, e quindi e ı = 0.Quando G viene collegato con l’induttore attraverso il circuito di carica il campo E tende afar scorrere in esso una corrente avente densita ımax dipendente solo dalla conduttivita delcircuito di carica, ma, a causa del fenomeno dell’autoinduzione, si genera un controcampo

23


elettrico che tende a opporsi al movimento della carica causando una diminuzione dellacorrente.L’intensita del controcampo e proporzionale alla velocita di variazione della corrente equindi a massima quando G viene attivato, dato che in quell’istante la densita della correntetende a passare dal valore zero al valore ımax.Il controcampo tende ad attenuare il campo elettrico dovuto alla carica presente nei morset-ti, ma alla diminuzione di questo corrisponde un aumento della attivita di G, che tende adaumentare la corrente che pero questa volta si incrementa partendo da un valore superiorea zero e quindi la sua tendenza a variare e minore, percio il controcampo ha intensita mi-nore, ecc. fino a che, al termine di una sequenza di incrementi di corrente progressivamenteminori, viene raggiunto il valore ımax.

Dalla legge di Ohm si ricava

Eemtr + cE =ı

σ

Integriamo questa relazione lungo la curva ` che costituisce l’asse del percorso della correntedi carica:

∮

Eemtr · d` + c

∮

E · d` =

∮

ı

σ· d` (60)

Con riferimento a grandezze gia introdotte in precedenza possiamo scrivere

ε + c

∮

E · d` = RI

dove R e la resistenza del circuito di carica dell’induttore.Applichiamo il Teorema di Stokes (v. eq. (A31)):

ε + c

∫

σ

∇× E · ndσ = RI

dove σ e una superficie regolare che si appoggia al contorno di una sezione trasversale rettadell’induttore e teniamo conto della seconda delle (58)

ε− ∂

∂t

∫

σ

B · ndσ = RI

Notiamo che σ e una superficie qualunque perche, in virtu della terza delle equazioni(58), il flusso di B attraverso una superficie che si appoggi a una curva semplice chiusa econservativo. Ponendo

Φ =

∫

σ

B · ndσ (61)

si puo scrivere

ε− ∂Φ

∂t= RI (62)

Dalla legge di Ampere, cioe dalla versione integrale della quarta delle equazioni (58), sappia-mo che all’interno dell’induttore il modulo del campo B, che ha direzione parallela all’assedell’induttore, vale, se l r e se si trascurano gli effetti di estremita dell’induttore:

B = 4πN

lI (63)

24


Il modulo di B e pressocche nullo all’esterno dell’induttore.

Una singola spira, che supponiamo sia assimilabile a un circuito anulare, genera il flussoseguente

Φ1 = πr2B = 4π2r2 N

lI

Poiche l’induttore e composto di N spire il flusso concatenato di B e

Φ = N · Φ1 = 4π2r2 N2

lI (64)

La quantita costante

L = 4π2r2 N2

l

e l’induttanza dell’induttore. SegueΦ = LI (65)

e otteniamo cosı l’equazione di carica dell’induttore (grandezze espresse in uem)

ε− LdIdt

= RI ; [Luem] =[Φuem]

[Iuem]= L (66)

ovvero

ε−RI = LdIdt

da cui1

L=

1

ε−RIdIdt

Integriamo da 0 a t (l’istante t = 0 e quello in cui viene attivato il generatore):

1

L

∫ t

0

dt =

∫ t

0

1

ε−RI dI = − 1

R

∫ t

0

1

ε−RI d(ε−RI)

Segue1

Lt = − 1

Rlog

ε−RI(t)ε−RI(0)

25


Supponendo che sia I(0) = 0 segue

e−Rt

L =ε−RI

ε

e quindi

I(t) =ε

R

(

1− e−Rt

L)

;

[

Ruem

Luem

]

= T−1 (67)

Questa e l’equazione della corrente di carica dell’induttore. Al termine del processo dicarica, che teoricamente richiede un tempo infinito, la corrente assume il suo valore massimoI = ε/R.La d.d.p. ai capi dell’induttore vale

V(t) = LdIdt

= εe−Rt

L (68)

Notiamo che al termine della carica dell’induttore si ha V = 0 in accordo col fatto chela caduta di potenziale di ε si ha lungo i conduttori di collegamento del generatore conl’induttore (circuito di carica).L’energia magnetica accumulata nell’induttore e

WI(t) =

∫ t

0

IVdt =

∫ t

0

ILdIdt

dt =1

2L

∫ t

0

dI2 =LI2

2=

1

2L

ε2

R2

(

1− e−Rt

L)2

(69)

L’energia dissipata nel resistore per effetto Joule vale

WJ (t) =

∫ t

0

RI2dt =ε2

R

∫ t

0

(

1− e−Rt

L)2

dt (70)

L’energia fornita dal generatore e espressa da

WG(t) =

∫ t

0

εIdt =ε2

R

∫ t

0

(

1− e−Rt

L)

dt = WI(t) + WJ (t) (71)

e quindi vale la seguente legge di conservazione dell’energia:

WG −WI −WJ = 0 (72)

Ora supponiamo che la forza elettromotrice ε di G, che fino ad ora abbiamo assuntocostante, vari sinusoidalmente nel tempo.L’induttore sara allora soggetto a processi di carica alternati, durante i quali la polaritaNord-Sud cambiera in funzione della fase della forza elettromotrice.In dettaglio, sia ε(t) = ε0 sinωt e, avendo indicato i poli dell’induttore con le notazioni p1 ep2, supponiamo che in t = 0 p1 sia il polo Nord e p2 il polo Sud. Al crescere della correnteaumenta l’energia WI = LI2/2 dell’induttore fino a che la corrente, raggiunto il suo valoremassimo, inizia a diminuire e l’energia WI inizia ad essere restituita al generatore G. Al

26


termine del semiperiodo T/2 = π/ω l’energia WI e stata del tutto restituita a G e iniziaun processo di carica dell’induttore in verso opposto cosicche p1 diviene il polo Sud e p2 ilpolo Nord.Si alternano cosı quarti di periodo in cui il generatore fornisce energia (fasi di carica dell’in-duttore) a quarti di periodo in cui questa gli viene restituita (fasi di scarica dell’induttore).

Da un punto di vista quantitativo, se ε = ε0 cos ωt la (66) diviene

LdIdt

+ RI = ε0 cos ωt

Introduciamo i fasori E ←→ ε e I ←→ I descrittivi del regime stazionario del circuito:

jωLI + RI = E

da cui

I(ω) =E

R + jωL= E

R− jωL

R2 + ω2L2=

E√R2 + ω2L2

R√R2 + ω2L2

− jωL√

R2 + ω2L2

=E√

R2 + ω2L2(cos ϕ− j sinϕ)

e ancora

I(ω) =E√

R2 + ω2L2e−jϕ ; tanϕ = −ωL

R

e infineI(ω) =

ε0√R2 + ω2L2

ej(ωt−ϕ)

percio

I(t) =ε0√

R2 + ω2L2cos(ωt − ϕ) = I0 cos(ωt − ϕ) ; cos ϕ =

R√R2 + ω2L2

La potenza istantanea in gioco nel circuito vale

εI = ε0 cos ωtI0 cos(ωt− ϕ)

=ε20√

R2 + ω2L2cos ωt cos(ωt− ϕ)

=ε20√

R2 + ω2L2

cos2 ωt cos ϕ + cos ωt sin ωt sinϕ

=Rε

20

R2 + ω2L2cos2 ωt +

ωLε20

R2 + ω2L2sinωt cos ωt

= RI20 cos2 ωt +

ωLI20

2sin 2ωt

Il primo termine a membro destro rappresenta il calore prodotto per effetto Joule, il secondola potenza palleggiata fra generatore e induttore.

27


Dunque la legge di Ohm fornisce una descrizione del processo di carica/scarica dell’indut-tore e una legge di conservazione delle energie in gioco in accordo con quanto e sperimen-talmente verificabile.

Veniamo ora al Teorema di Poynting che ricaviamo dalle (58) servendoci della procedurausuale:

∂

∂t

∫

B2

8πdτ +

∫

∇ · Sedτ = −c

∫

E · ıdτ (73)

Prima di iniziare a commentarlo cerchiamo di immaginare come possa essere l’andamentodel campo vettoriale Se nel sistema e.m. costituito dall’induttore in fase di carica cheabbiamo studiato servendoci della legge di Ohm.Faremo riferimento alle considerazioni svolte su questo campo vettoriale nel caso del cir-cuito percorso da corrente stazionaria.Anche ora abbiamo flusso di Se che esce dal generatore e che, guidato dai conduttori delcircuito di carica, e diretto verso lo spazio interno all’induttore. Il flusso di Se, che ha unacomponente parallela e una perpendicolare alla superficie dei conduttori di collegamento,entra parzialmente nei conduttori rendendo cosı conto dell’effetto Joule che e osservabilein essi. Il flusso che non e assorbito e convertito in calore raggiunge lo spazio internoall’induttore. Poiche in questo spazio non vi sono correnti, il Teorema di Poynting diviene

∂

∂t

∫

τ

B2

8πdτ =

∫

σ


dove τ e lo spazio interno all’induttore e σ e la superficie di τ .In τ il vettore B e diretto parallelamente all’asse longitudinale dell’induttore con versodefinito dalla regola del cavatappi (riferita alla corrente circolante nel solenoide); il vettoreE rappresentativo del campo controelettromotore generato dalla variazione nel tempo diB e diretto tangenzialmente alla superficie dell’induttore, e normale a B e ha verso definitodalla regola del cavatappi (riferita a B) e dalla legge di Lenz.Consideriamo in τ la seconda delle (58):

∇× E = −1

c

∂B

∂t

Calcoliamo il flusso di ∇× E attraverso una sezione trasversale retta S dell’induttore:

∫

a

∇× E · nda = −1

c

∫

a

∂B

∂t· nda

dove n e la normale a S e a e l’area di S.Applichiamo al membro sinistro il Teorema di Stokes:

∮

`

E · d` = −1

c

∫

a

∂B

∂t· nda (75)

L’integrale di linea e calcolato lungo il bordo circolare ` della sezione S e il verso di d` elegato a quello di n dalla regola del cavatappi.

28


Ora il modulo di E e costante lungo ` e il modulo di ∂B/∂t non varia da punto a punto

di a e, se i versi di E e d` a membro sinistro sono concordi, i versi di ∂B∂t e n a membro

destro sono discordi (e viceversa), percio dalla (75) si ricava

2πrE =1

c

∂B

∂tπr2

da cui

E =1

2c

∂B

∂tr (76)

Il vettore di Poynting, tenuto conto della direzione dei vettori E e B, risulta essere direttoperpendicolarmente alla superficie laterale dell’induttore e verso l’interno di questo (cioe

Se = S(int)

e ) e ha modulo

|S(int)

e | = c

4πEB =

c

4π

1

2c

∂B

∂trB =

1

8πB

∂B

∂tr =

1

8π

1

2

∂B2

∂tr (77)

Ora osserviamo che il prodotto scalare che compare nell’integrale a membro destro della

(74) e positivo perche S(int)

e e n(int) hanno verso concorde percio il flusso di S(int)

e entrantenell’induttore e espresso da:

∫

σ

S(int)

e · n(int)dσ =1

8π

1

2

∂B2

∂tr · 2πrl =

∂

∂t

B2

8ππr2l =

∂WM

∂t(78)

e si vede che coincide con la variazione temporale dell’energia WM (v. eq. (218)) presentenell’induttore (πr2l e il volume dell’induttore).Dunque la (74) risulta essere una valida espressione della legge di conservazione dell’ener-gia del sistema magnetoquasistazionario costituito dallo spazio interno a un induttore infase di carica. L’energia contenuta nell’induttore non si forma dal nulla, ma viene incre-mentata dal flusso di Se che sta entrando. Ovviamente l’incremento di WM non prosegueindefinitamente, ma termina col terminare del processo di carica dell’induttore.

Il Teorema di Poynting sembrerebbe dunque descrivere correttamente il bilancio delle po-tenze in gioco nell’induttore, tuttavia osserviamo che i campi E e B di cui Se e funzioneesistono perche nell’induttore esiste carica elettrica in movimento.Cio significa che, mentre l’energia WM viene incrementata dal flusso di Se entrante nel-l’induttore, alla formazione di corrente elettrica e associata la generazione di una energiaWI uguale a quella prodotta dal flusso di Se, dato che

WM =B2

8ππr2l =

(4πN)2

8πl2I2πr2l =

4

8

4π2r2N2

lI2 =

1

2LI2 = WI (79)

Schematizziamo, per maggior chiarezza, i fenomeni che avvengono contemporaneamentenell’induttore a partire dall’istante t = 0 in cui il generatore viene attivato:

1) il generatore spende energia per rimuovere cariche dal morsetto negativo e accumularlein quello positivo e crea cosı nello spazio τ compreso fra i morsetti uno squilibrio elettrico;2) lo squilibrio origina un campo elettrico E che mette in movimento la carica liberapresente nel circuito di carica dell’induttore generando una corrente elettrica (il movimento

29


della carica e dovuto anche a cariche che E disloca sulla superficie dell’induttore e deiconduttori che lo collegano al generatore);3) la corrente da origine nello spazio τ interno all’induttore a un campo magnetico B varia-bile, crescente nel tempo e diretto lungo l’asse longitudinale dell’induttore; esternamenteall’induttore il campo B e trascurabile;4) l’energia fornita dal generatore si deve intendere localizzata, al netto di quella dissipataper effetto Joule, nell’induttore perche in esso si va formando una corrente;5) il campo variabile B da origine a un campo elettrico E che tende a contrastare ilmovimento delle cariche nell’induttore;6) i campi E e B originano il campo Se; sottolineiamo che Se esiste in τ perche nell’indut-tore e presente corrente variabile nel tempo;7) il flusso di Se entra nel circuito di carica e in τ ; il flusso di Se seguita ad entrare fino ache la corrente di carica non raggiunge il suo valore massimo, dopo di che rimane costante,cosicche il campo di induzione E si annulla e di conseguenza Se = 0.

Si ha quindi un doppio accumulo di energia: quello dovuto al fatto che nell’induttore si staformando una corrente e quello dovuto al flusso di Se entrante nell’induttore.Si ha anche, nel circuito di carica, una doppia dissipazione di energia in calore: quelladovuta alla presenza di corrente e quella dovuta al flusso di Se entrante.

Passiamo a considerare un altro sistema elettromagnetico.

Applichiamo la (6) allo studio di un condensatore inizialmente carico che si scarica su uninduttore cui e collegato mediante conduttori aventi conduttivita σ.

In ogni punto di questo sistema fisico valgono le equazioni di Maxwell nella loro forma piugenerale, ma assumeremo che valgano le (27) in un intorno del condensatore e le (58) inun intorno dell’induttore. Assumeremo inoltre che valga la seguente legge di Ohm:

ı = σc(EC + E) (80)

dove EC e il campo elettrico associato alla carica del condensatore.Integriamo questa equazione lungo l’asse del percorso della corrente partendo dall’armaturacarica positivamente e arrivando sull’armatura carica negativamente:

a−∫

a+

ı

σ· d` = c

a−∫

a+

EC · d` + c

a−∫

a+

E · d` (81)

30


Tenendo conto del fatto che EC = −∇ϕ (v. la seconda equazione delle (27)) si puo scrivere:

a−∫

a+

ı

σ· d` = c

(

ϕ(a+)− ϕ(a−))

+ c

a−∫

a+

E · d`

da cui per il teorema di Stokes, indicando con σ una superficie che si appoggi al contornodi una sezione trasversale retta dell’induttore (ovviamente non si deve confondere σ =superficie con σ = conduttivita)

a−∫

a+

ı

σ· d` = c

(

ϕ(a+)− ϕ(a−))

+ c

∫

σ

∇× E · ndσ

dove n e la normale a σ con verso definito dal verso di percorrenza di `, e infine, tenendoconto della seconda equazione delle (58) ed esprimendo ϕ in uem:

a−∫

a+

ı

σ· d` = ϕ(a+)− ϕ(a−)− ∂

∂t

∫

σ

B · ndσ (82)

Ricordando definizioni introdotte in precedenza (v. eq. (61) e (65)) e ponendo 4ϕ =ϕ(a+)− ϕ(a−) otteniamo

RI = 4ϕ− LdIdt

; 4ϕ =Q

C(83)

dove R e la resistenza dei conduttori di collegamento, Q e la carica del condensatore, C lasua capacita e L l’induttanza dell’induttore.Ora osserviamo che

I = −dQ

dt(84)

dove il segno meno e dovuto al fatto che per I > 0 la quantita di carica Q presentesull’armatura positiva del condensatore diminuisce. Segue

d2Q

dt2+

R

L

dQ

dt+

Q

LC= 0 (85)

Come e noto, la carica Q(t) soluzione di questa equazione differenziale lineare omogenea acoefficienti costanti, che ha equazione caratteristica

λ2 +R

Lλ +

1

LC= 0 ; λ = − R

2L± 1

2L

√

R2 − 4L

C,

ha un andamento temporale che dipende dalla relazione esistente fra R,L e C .Omettiamo di trattare per intero il problema e limitiamoci a considerare il caso in cui eR < 2

√

L/C. Allora Q(t) ha andamento oscillante smorzato e tendente a zero per t→∞.In particolare, a partire dall’istante t = 0 in cui il condensatore inizia a scaricarsi, nel-l’induttore comincia a scorrere una corrente che, a causa del fenomeno dell’autoinduzione

31


magnetica, raggiunge il suo valore massimo Imax non immediatamente ma, partendo dalvalore zero, dopo un tempo funzione della costante L/R. Contemporaneamente l’energiaWQ = Q2/2C contenuta nel condensatore comincia a trasferirsi nell’induttore dove viene

accumulata fino a raggiungere, dopo un quarto di periodo T = 2π/√

1LC − R2

4L2 , il valore

WI = LI2max/2 minore di WQ, a causa delle perdite lungo i conduttori dovute ad effetto

Joule.A questo punto inizia il processo inverso, cioe la scarica dell’induttore sul condensatorenel quale la differenza di potenziale fra le armature si e annullata, cosı come la carica.Nel condensatore si accumula carica avente segno opposto a quello presente in t = 0 e unvalore massimo in T/2 minore (in modulo) di quello in t = 0 a causa delle perdite dovuteall’effetto Joule.Cosı, fra scambi reciproci di quantita via via decrescenti di energia fra il condensatoree l’induttore, si stabilisce un regime di oscillazioni di carica e corrente aventi ampiezzatendente a zero.Al termine del processo tutta l’energia iniziale WQ = Q2/2C viene convertita in calore.

Veniamo ora al Teorema di Poynting.Mentre nel circuito avvengono fra il condensatore e l’induttore scambi di energia associatialla presenza della carica Q e della corrente I, nell’intorno del circuito si stabilisce un flussodi potenza elettromagnetica, guidata dai conduttori di collegamento, che e in ingresso nelcondensatore e in uscita dall’induttore, o viceversa.L’energia corrispondente si accumula alternativamente o nello spazio compreso fra le ar-mature del condensatore o nell’interno dell’induttore.Parte del flusso entra nei conduttori di collegamento e viene convertita in calore, percio adogni scambio l’energia diminuisce cosicche dopo un certo numero (teoricamente infinito)di cicli viene convertita tutta in calore.Termina cosı il processo di carica/scarica.

Possiamo anche studiare il circuito RLC considerandolo alimentato non dal processo discarica del condensatore ma da un generatore avente f.e.m. ε = ε0 cos ωt inserito nelcircuito.

In questo caso si ha (grandezze espresse in uem)

ε = RI + LdIdt

+Q

C(86)

32


ovvero, essendo Q =∫ t

0Idt

ε = RI + LdIdt

+1

C

∫ t

0

Idt (87)

Introduciamo i fasori E ←→ ε ed I ←→ I descrittivi del regime stazionario del circuito (equindi escludiamo lo studio del regime transitorio):

E = RI + jωLI +1

jωCI

da cui

I(ω) =E

R + j(ωL− 1ωC

)=

ωLE

ωLR + j ω

L(ωL− 1

ωC)

=ωLE

ωRL + j(ω2 − 1

LC )

e quindi

I(ω) =ωE

L

ωRL− j(ω2 − 1

LC)

ω2R2

L2 + (ω2 − 1LC )2

ovvero

I(ω) =ωE/L

√

ω2R2

L2 + (ω2 − 1LC )2

ejδ ; tan δ = −ω2 − 1LC

ωR/L=

1LC − ω2

ωR/L

e infine

I(t) =ωε0/L

√

ω2R2

L2 + (ω2 − 1LC )2

cos(ωt + δ) (88)

Se ω > 1/√

LC si ha δ < 0 e percio I e in ritardo rispetto a ε; il circuito e dunque di tipoinduttivo; se ω 1/

√LC la d.d.p. ai capi del condensatore tende a zero.

Se ω < 1/√

LC si ha δ > 0 e percio I e in anticipo rispetto a ε; il circuito e dunque di tipocapacitivo; se ω 1/

√LC la d.d.p. ai capi dell’induttore tende a zero.

Se ω = 1/√

LC, cioe in condizioni di risonanza, si ha δ = 0 e

I(t) =ε0

Rcos ωt =

ε

R

e si puo cosı constatare che I e in fase con ε perche il circuito e diventato puramenteresistivo.In condizioni di risonanza il condensatore e l’induttore forniscono ciascuno all’altro, alter-nativamente, le energie

WQ =Q2

2C; WI =

1

2LI2 (89)

associate rispettivamente alla carica accumulatasi nel condensatore e alla corrente formatasinell’induttore senza ricevere alcun contributo dal generatore che interviene solamente percompensare le perdite per effetto Joule.

Ma, in ogni caso, associato alla distribuzione di carica/corrente vi e anche il campo elet-tromagnetico che:

33


1) e un oggetto fisico realmente esistente e dotato di variabili dinamiche come l’energia;2) deve la sua esistenza alla distribuzione di carica/corrente.Dunque il generatore, oltre a compiere lavoro per spostare cariche, formare correnti ecompensare le perdite per effetto Joule, deve anche fornire la potenza associata al flussodi Se. In altre parole: il flusso di potenza presente nello spazio in cui si trova il circuitoappartiene al campo elettromagnetico, oggetto fisico realmente esistente che deve la suaesistenza alla presenza di cariche e correnti elettriche le quali peraltro possiedono, a lorovolta, energie che esistono indipendentemente dalla presenza del flusso di Se.Le proprieta energetiche del circuito RLC sono dunque associate sia al campo Se che allacarica/corrente. Entrambe le energie sono originate dalla medesima sorgente ed entrambevengono trasformate in calore.

E una situazione che riguarda tutti i circuiti finora considerati ed e evidentemente inac-cettabile. Per uscirne occorre assumere che i concetti di “carica/corrente” e “campo e.m.inteso come oggetto fisico dotato di variabili dinamiche” siano mutuamente esclusivi, ecioe:

- 8• se descriviamo i fenomeni e.m. servendoci dei concetti di carica/corrente non possiamointrodurre le variabili dinamiche del campo e.m., il che equivale ad affermare che il campoe.m. generato dal sistema di cariche/correnti deve essere considerato non un oggetto fisico,ma uno strumento matematico;- se descriviamo i fenomeni e.m. servendoci delle variabili dinamiche del campo e.m.,che dunque consideriamo un oggetto fisico, non possiamo introdurre i concetti di cari-ca/corrente; ma allora, il campo elettromagnetico da che cosa e generato? forse esistesenza essere stato generato da cariche/correnti? ma se questo e vero, che cosa significanole equazioni di Maxwell che stabiliscono relazioni fra ρ, ı ed E,B?

Termina qui, con queste riflessioni e domande che mettono in evidenza alcune non tra-scurabili complicazioni interpretative dell’elettromagnetismo maxwelliano, il programmadi studio avviato nel punto 5 (pag. 13).

* * *

Dall’esame dei sistemi elettromagnetici che abbiamo considerato ricaviamo conferma diconclusioni alle quali eravamo gia pervenuti dopo aver studiato il circuito percorso dacorrente stazionaria esaminato nel punto 2 (pag. 5):

• il Teorema di Poynting non puo essere considerato una equazione di conservazionedell’energia elettromagnetica;

• non sappiamo quale possa essere il suo significato fisico;

• i concetti di “carica/corrente” e “campo e.m. inteso come oggetto fisico dotato divariabili dinamiche” sono mutuamente esclusivi percio i campi E e B che compaiononelle equazioni di Maxwell e nella espressione della forza di Lorentz devono essereconsiderati strumenti matematici;

e siamo indotti a porre una inevitabile domanda:

9• esiste nella teoria elettromagnetica di Maxwell una legge di conservazione dell’energiadi una qualsivoglia distribuzione di materia dotata di massa e carica elettrica e in unaarbitraria condizione di moto?

34


Sospendiamo temporaneamente l’indagine che stiamo conducendo sul Teorema di Poyntingper affrontare il problema posto da quest’ultima domanda.

* * *10• E data una distribuzione di materia dotata di densita di massa ρm in un campo divelocita U . Consideriamo la porzione di materia contenuta in un volume τ circondato dauna superficie σ; la normale n alla superficie e rivolta verso l’interno e quindi n = n(int).In τ e presente un campo di forze di volume aventi densita f e su σ sono presenti forzedi superficie σ (n); la materia e in uno stato di deformazione elastica descritta dal campotensoriale e dovuta a uno stato di tensione elastica descritta dal campo tensoriale σ.Indichiamo con wm la densita di energia meccanica presente in τ espressa dalla sommadelle densita di energia cinetica e di energia potenziale di deformazione elastica wD dellamateria:

wm =1

2ρmU2 + wD (90)

Dalla Appendice D (v. eq. (D12)) ricaviamo

wD = −1

2σ : e (91)

e quindi la densita di energia meccanica totale wm e espressa da

wm =1

2ρmU2 − 1

2σ : e (92)

della quale ora ci interessa determinare la derivata rispetto al tempo.Il calcolo e sviluppato nella Appendice E dalla quale ricaviamo (v. eq. (E4))

∂wm

∂t= −∇ · Sm + f · U (93)

dove Sm = σ · U e la densita di flusso di potenza meccanica.

La (93) esprime la legge di conservazione dell’energia meccanica totale (cioe ci-netica + potenziale elastica) di un corpo elastico continuo e isotropo immerso inun campo di forze di volume aventi densita f .

Scrivendo∂

∂t

∫

τ

wm dτ = −∫

τ

∇ · Sm dτ +

∫

τ

f · U dτ

e applicando il Teorema di Gauss (con n = n(int)) si ottiene

∂

∂t

∫

τ

wm dτ =

∫

σ

Sm · n(int)dσ +

∫

τ

f · U dτ (94)

Il significato della (94) si legge chiaramente: l’energia meccanica puo variare in τ solo sevi e flusso di potenza in transito attraverso la superficie σ o sviluppo di potenza da partedi forze di volume.

35


In particolare, in assenza di forze di volume si ha

∂

∂t

∫

τ

wm dτ =

∫

σ

Sm · n(int)dσ (95)

Se il flusso di potenza e entrante (cioe se Sm ha verso concorde con quello di n(int) cosiccheil loro prodotto scalare e positivo) i due membri dell’equazione hanno ugual segno perciol’energia aumenta, se e uscente (cioe se Sm ha verso discorde da quello di n(int) cosicche illoro prodotto scalare e negativo) i due membri dell’equazione hanno segni opposti perciol’energia diminuisce.

11• Ora assumiamo che la materia descritta nel punto 10 (pag. 35) sia immersa in un campoelettromagnetico E,B e che in essa sia presente carica elettrica libera (cioe non dovutaa polarizzazione) avente densita ρL (R, t) in modo che la f che compare nella (93) sia ladensita di forza di Lorentz

fL = ρL(

E +Uc×B

)

(96a)

Fra i campi E e B e la distribuzione di carica esistono legami descritti dalle equazioni diMaxwell

∇×H − 1

c

∂D

∂t= 4πıL

∇ ·D = 4πρL

∇ ·B = 0

∇× E +1

c

∂B

∂t= 0

;D = εE

B = µH(96b)

dove ıL e la densita di corrente libera (cioe non dovuta ne a magnetizzazione ne a polariz-zazione variabile nel tempo) e dove ε e µ sono rispettivamente la permittivita elettrica (ocostante dielettrica) e la permeabilita magnetica della materia considerata.Notiamo che l’apice L viene usualmente omesso perche implicitamente segnalato dalla pre-senza dei campi D e H (o dalla presenza dei termini che descrivono lo stato di polarizza-zione e magnetizzazione della materia se si sceglie di scrivere le equazioni di Maxwell senzaintrodurre i campi D e H (v. par. 2.7).

L’insieme delle equazioni (96) e in grado di descrivere la forza e.m. fLdτ esercitata da unadata distribuzione di carica su una carica infinitesima ρdτ in movimento con velocita U .Conviene, per maggior chiarezza, ribadire cio che si e gia detto nel punto 8 (pag. 34) cioeche i campi E,B,D,H sono strumenti matematici e non oggetti fisici; cio significa che alcampo elettromagnetico non e possibile associare alcuna variabile dinamica.Conviene anche notare che 12• nell’espressione della forza di Lorentz i campi E e B, nel puntoin cui si trova la carica ρdτ che nell’istante t si sta muovendo con velocita U , dipendono datutta la distribuzione di carica in movimento, ma non da ρdτ ; in altre parole E e B sonoesterni a ρdτ .Per chiarire meglio questo punto mostriamo, ad esempio, che il campo statico E in unpunto arbitrario (ma prefissato) R1 non dipende da ρ(R1)dτ .Scriviamo innanzitutto l’espressione del campo E in R1:

E(R1) =

∫

τ

ρ(ξ)∇ξ

(

1

r

)

dτ ; r = |R1 − ξ|

36


Eseguiamo l’integrazione dapprima su tutto lo spazio τ in cui e contenuta la carica elettricaavente densita ρ ad eccezione di una piccola sfera centrata in R1 e avente raggio ε chefaremo tendere a zero. Indichiamo con τε il volume della sfera. Poiche in τ − τε e semprer 6= 0, l’integrale e certamente convergente.Notiamo che, se ρ e ovunque definita entro la sfera, vi sara un numero k tale che |ρmax| = kcosicche:

∣

∣

∣

∣

∫

τε

ρ∇ξ

(1

r

)

dτ

∣

∣

∣

∣

≤∣

∣

∣

∣

∫

τε

k∇ξ

(1

r

)

dτ

∣

∣

∣

∣

Ma ricordando la (A23) si puo scrivere

k

∫

τε

∇ξ

(1

r

)

dτ = k

∫

σε

1

εndσε

D’altra parte si puo porre dσε = ε2dΩ, dove dΩ e l’angolo solido sotto cui da R1 si vededσε, percio si ottiene

∣

∣

∣

∣

∫

τε

∇ξ

(1

r

)

dτ

∣

∣

∣

∣

≤ k

∫ 4π

0

1

εnε2dΩ = k

∫ 4π

0

εndΩ (97)

Al tendere di ε a zero l’integrale a ultimo membro si annulla percio l’integrale che esprimeE(R1) converge. In definitiva la convergenza e dovuta al fatto che in tale integrale dτtende a zero come r3, mentre r/r3 tende a infinito come 1/r2 .Come conseguenza di quanto si e detto la carica ρ(R1)dτ contenuta nel volume dτ centratoin R1 non da nessun contributo all’integrale

∫

τρ(ξ)∇ξ

(

1r

)

dτ anche se lo spazio τ al quale

l’integrale e esteso comprende ρ(R1)dτ , e quindi E(R1) e indipendente da ρ(R1)dτ .

Piu in generale, quando si calcola la forza di Lorentz agente sulla particella avente caricainfinitesima ρdτ e in movimento con velocita U (R, t), i campi E e B agenti in R all’istantet su ρ (R, t)dτ sono esterni a ρ (R, t)dτ , nel senso che non sono dovuti a ρ (R, t)dτ .

Conviene anche notare che 13• l’espressione della forza di Lorentz rimane invariata passandoda un regime statico/stazionario, in cui E e B non dipendono dal tempo, a un regimedinamico, quello descritto dalle (96b).Cambiano ovviamente le espressioni di E e B, che diventano funzioni del punto e deltempo invece che solo del punto, ma la fL rimane invariata in forma, il che significa chequando si passa da un regime all’altro la fL non riceve contributi diversi da quelli dovutiall’interazione fra la distribuzione di carica/corrente e il campo elettromagnetico.Per renderci meglio conto dell’importanza di questo punto conviene considerare due par-ticelle puntiformi dotate di carica q(1) e q(2) entrambe a riposo nel sistema di coordinate

cui le loro posizioni sono riferite e collocate nei punti R(1)e R(2)

.Per questo sistema fisico (e anche per un sistema di correnti stazionarie filiformi) vale,come e noto, il Principio di azione e reazione e quindi la forza esercitata da q(1) su q(2) euguale in modulo e direzione e opposta in verso a quella esercitata da q(2) su q(1).

Tuttavia, se le due particelle sono in moto arbitrario, q(1) con velocita U (1)e q(2) con

velocita U (2), il Principio non vale piu. Infatti la forza esercitata sulla carica 2 dalla carica

1 vale (Legge di Coulomb + Legge di Ampere/Laplace):

F (2,1)= q(1)q(2) r

|r|3 +q(2)

cU (2) ×

(

q(1)

cU (1) × r

|r|3)

; r = R(2) −R(1)

37


Questa espressione, dato che (v. eq. (A8))

a × (b× c) = ε : (a(ε : (bc))) = εijkaj(εklmblcm)ıi = εijkεklmajblcmıi = εkijεklmajblcmıi

e quindi (v. eq. (A7))

a × (b× c) = (δilδjm − δimδjl)ajblcmıi = (ajbicj − ajbjci)ıi = b(a · c)− (b · a)c, (98)

puo essere riscritta cosı(

a = U (2)/c, b = U (1)

/c, c = r/|r3|)

:

F (2,1)= q(1)q(2)

r

|r|3 +U (1)

c

U (2)

c· r

|r|3 −U (1)

c· U

(2)

c

r

|r|3

Se ora scambiamo fra loro gli indici 1 e 2 e poniamo −r in luogo di r otteniamo la forza

esercitata sulla carica 1 dalla carica 2

F (1,2)= −q(1)q(2)

r

|r|3 +U (2)

c

U (1)

c· r

|r|3 −U (1)

c· U

(2)

c

r

|r|3

e si vede che, in generale, e F (1,2) 6= −F(2,1)percio il Principio di azione e reazione non e

verificato.Per far sı che il Principio valga anche in regime dinamico si assume che l’azione di unaparticella sull’altra venga mediata dal campo e.m., che viene considerato un oggetto fisicorealmente esistente e quindi dotato di variabili dinamiche come energia e quantita di motola cui variazione temporale corrisponde a una forza che, agendo da mediatore fra le dueparticelle, salva il Principio di azione e reazione.Queste considerazioni possono essere ripetute anche con riferimento a una distribuzionedi carica elettrica che eserciti su una particella di prova dotata di carica ρdτ la forza diLorentz fLdτ .Ora pero osserviamo che nella espressione della fL compare solamente l’intensita E,B delcampo e.m., mentre la variazione temporale della sua quantita di moto, che pure dovrebbein qualche modo manifestarsi nella fL quando si passa dal regime statico a quello dinamico,non si rende evidente.Ci troviamo dunque di fronte alla seguente contraddizione: quando in una distribuzione dimateria elettricamente carica si passa dal regime statico/stazionario al regime dinamico,per salvare la validita del Principio di azione e reazione dovrebbe in qualche modo rendersiesplicita, nella espressione della fL, la variazione temporale della quantita di moto dell’og-getto fisico campo e.m., ma nella fL non compare alcun termine che possa essere messo inrelazione con tale variazione temporale.

Sembrerebbe quindi di dover concludere che, se si descrive un sistema e.m. servendosidei concetti di carica/corrente, il concetto di campo e.m. inteso come oggetto fisico deveessere escluso. E una ripresa dell’ipotesi di incompatibilita di questi due concetti che eragia stata avanzata nel punto 8 (pag. 34): se si introducono i concetti di carica/corrente, ilcampo e.m. deve essere considerato un oggetto matematico.Ma allora, come si puo salvare il Principio di azione e reazione?

Non siamo in grado, per ora, di rispondere a questa domanda.

38


Torniamo, al termine della digressione iniziata a partire dal punto 12 (pag. 36), alla leggedi conservazione dell’energia. Tenendo conto della (96a) la (93) diviene

∂wm

∂t= −∇ · Sm + fL · U = −∇ · Sm + ρ

(

E +Uc×B

)

· U

ovvero∂wm

∂t= −∇ · Sm + E · ρU

Ma ρU = ıues = cıuem (v. eq. (H8)) cosicche omettendo di indicare, come di consueto, cheı e espressa in uem, si ottiene

∂wm

∂t= −∇ · Sm + cE · ı (99)

Questa e la legge di conservazione dell’energia di una distribuzione di materia inun campo di velocita U , avente densita di massa ρm, in stato di tensione meccanicadescritta dal campo tensoriale σ, immersa in un campo elettromagnetico E,B edotata di carica elettrica avente densita ρ.

Essa mostra nell’ultimo termine a membro destro il lavoro per unita di tempo compiutodalla forza di Lorentz sulla materia elettricamente carica.Riscrivendola cosı

∂

∂t

∫

τ

wm dτ = −∫

σ

Sm · n(est)dσ + c

∫

τ

E · ı dτ (100)

essa mostra che l’energia meccanica del sistema contenuto nel volume τ circondato dallasuperficie σ puo variare solo se vi e sviluppo di potenza elettrica entro τ e/o flusso dipotenza meccanica attraverso σ.

Conviene ribadire cio che e gia stato notato nel punto 12 (pag. 36): nel prodotto scalarefL · U = cE · ı si intende che il campo E e esterno a ı, cioe si intende che la carica ρdτ , conla sua presenza in R, t e il suo movimento, non da contributo al campo E (R, t) che agiscesu di essa.Questo e cio che succede, ad esempio, nel sistema e.m. descritto in 2 (pag. 5) (circuitoresistivo percorso da corrente stazionaria), ma non in quello descritto in 6 (pag. 13) (caricadi un condensatore) o in 7 (pag. 23) (carica di un induttore).Infatti in questi due ultimi sistemi il campo elettrico totale presente nel circuito di caricae la somma di una componente indipendente da ı e di una componente dipendente da ı:solo la prima puo comparire nell’espressione della forza di Lorentz.Ne segue che la potenza espressa da cE·ı e associata alla sola componente di E indipendenteda ı; la potenza associata alla componente dipendente da ı deve comparire separatamente.

Esempi.

• Un motore elettrico e un dispositivo in grado di convertire energia elettrica in energiameccanica.Consideriamo un motore elettrico in corrente continua. Un generatore G fornisce all’indotto(o rotore) la corrente che, interagendo col campo magnetico costante dello statore ed avendoil verso di scorrimento opportunamente commutato, mette l’indotto in rotazione.

39


Assumiamo che il motore possieda caratteristiche elettromagnetiche tali da poter essereconsiderato un sistema magnetoquasistazionario, come usualmente succede. Ne segue cheil suo funzionamento e governato dalle equazioni di Maxwell del sistema (58).In condizioni di funzionamento a regime la velocita di rotazione e costante. Ne segue cheanche l’energia cinetica di rotazione dell’indotto e costante. Se si assume che questo non siasoggetto a tensioni meccaniche, l’integrale di superficie che compare nella (100) si annullamentre wm viene ad essere espressa dalla sola densita di energia cinetica di rotazione chee costante, percio la (100) diventa:

0 = c

∫

τ

E · ı dτ (101)

Per il motore che stiamo considerando si ha

ı = σ(

c(E + Ecemtr) + Eemtr

)

(102)

dove ı e la densita di corrente di indotto, σ e la conduttivita dell’avvolgimento di indotto,Eemtr e il campo elettromotore associato a G, E e il campo elettrico originato dallo squi-librio di carica presente ai morsetti di G, Ecemtr e il campo controelettromotore generatonell’avvolgimento di indotto dalla rotazione di questo nel campo magnetico costante dellostatore. Segue:

cE =ı

σ− Eemtr − cEcemtr

da cui

cE · ı =i2

σ− Eemtr · ı− cEcemtr · ı (103)

Integrando sul volume τ interessato dalla corrente di indotto e tenendo conto della (101)si ottiene:

0 =

∫

τ

i2

σdτ −

∫

τ

Eemtr · ı dτ − c

∫

τ

Ecemtr · ı dτ

ovvero

−c

∫

τ

Ecemtr · ı dτ =

∫

τ


τ

i2

σdτ (104)

Il termine a membro sinistro, come e noto, vale (trascurando gli attriti) la potenza meccani-ca uscente, cioe la potenza utile prelevabile dall’albero motore; tale potenza ha l’espressioneseguente:

Putile = KωΦI ; [K] = adimensionale (105)

dove K e una costante di proporzionalita che dipende dalla geometria degli avvolgimenti,ω e la velocita angolare del rotore, Φ e il flusso magnetico di statore e I e la intensita dicorrente di rotore.A membro destro della (104) compaiono la potenza entrante fornita dal generatore e lapotenza perduta per effetto Joule. Si puo cosı scrivere:

Putile = εI −RI2 (106)

dove ε e la forza elettromotrice del generatore e R e la resistenza di indotto.

40


Questa equazione mostra che la potenza elettrica convertita in potenza meccanica (potenzautile) e la potenza fornita dal generatore meno la potenza dissipata in calore, come ciaspettiamo che debba succedere.In condizioni di funzionamento a vuoto la velocita dell’indotto aumenta fino a che la forzacontroelettromotrice generata per induzione nell’avvolgimento di indotto non uguaglia laforza elettromotrice del generatore. A questo punto non scorre piu alcuna corrente, l’in-dotto (trascurando gli attriti e perdite magnetiche varie) mantiene costante la sua velocitadi rotazione e quindi si ha:

∂

∂t

∫

τ

wm dτ = 0

il che significa che, a regime, l’energia cinetica del motore e costante e il generatore nonfornisce alcuna potenza elettrica convertibile in potenza meccanica.

• Ora ci interessa applicare la (100) al circuito anulare percorso da corrente stazionariadescritto nel punto 2 (pag. 5) assumendo che questo sistema fisico sia fermo nel sistema dicoordinate cui e riferito e non sia soggetto a tensione meccanica. Si ha allora

c

∫

τ

E · ı dτ = 0 (107)

dove τ e lo spazio interessato dalla corrente.Questa e la legge di conservazione dell’energia elettromagnetica del sistema. Notiamo chee uguale alla (21) ovvero alla (22) che qui riscriviamo:

∫

τemtr

Eemtr · ıdτ =

∫

τ

i2

σdτ

Questa relazione mostra che la potenza erogata dal generatore viene interamente conse-gnata al conduttore nel quale peraltro non cresce illimitatamente perche viene dissipata incalore (effetto Joule).

• Applichiamo la (100), assumendo che sia wm = 0 e Sm = 0, a un condensatore cheun generatore G sta caricando, cioe a un condensatore avente le armature collegate aun generatore in grado di trasferire carica elettrica da una armatura all’altra vincendo ilcontrocampo elettrico EC che si forma nel condensatore a causa dello squilibrio elettricoprovocato dall’accumulo della carica nelle armature. L’intensita del controcampo, le cuilinee di forza interessano tutto lo spazio circostante le armature, cresce fino a bloccare ilmovimento della carica e ha cosı termine l’operazione di carica del condensatore.Per questo sistema elettromagnetico vale la relazione

ı = σ(

c(E + EC) + Eemtr

)

(108)

dove E e il campo elettrico dovuto alla carica presente nei morsetti del generatore.Segue

cE · ı =i2

σ− Eemtr · ı− cEC · ı

mentre la (100) diviene

c

∫

τ

E · ı dτ = 0

41


percio

−c

∫

τ

EC · ı dτ =

∫

τ


τ

i2

σdτ (109)

L’equazione di conservazione dell’energia di questo sistema elettromagnetico puo dunqueessere scritta cosı:

[energia assorbita dal processo di carica] =

= [energia fornita da G]− [energia dissipata per effetto Joule]

come ci aspettiamo che debba essere (v. eq. (42)).

• Applichiamo la (100) a una antenna dipolare (antenna trasmittente) ferma nel sistema dicoordinate cui e riferita, non soggetta a tensioni meccaniche e alimentata da un generatoreG.Il generatore fornisce l’energia necessaria per realizzare nella distribuzione di carica con-tenuta nell’antenna una predefinita condizione di moto descritta dal campo di velocitaU (R, t), ad esempio un moto oscillatorio sinusoidale, vincendo la forza di Lorentz allaquale ogni porzione infinitesima di carica e soggetta a causa della presenza del campo e-lettromagnetico, funzione del punto e del tempo, generato dal resto della distribuzione. Sitratta, come e noto, di un campo assai piu complicato di quello descritto dalle (7) o dalle(27) o dalle (58), perche e governato dal sistema completo delle equazioni di Maxwell, incui compaiono la legge dell’induzione magnetica, la legge di Lenz e la legge di Amperemodificata per tener conto del fatto che un campo magnetico puo essere generato da uncampo elettrico variabile nel tempo.Il generatore deve inoltre fornire l’energia necessaria per compensare le perdite per effettoJoule.Entriamo piu in dettaglio nella descrizione (qualitativa) del funzionamento dell’antenna.Il generatore fa oscillare la carica contenuta nell’antenna causandone l’accumulo alternati-vamente nell’una o nell’altra estremita. Questo fatto genera un campo elettrico E variabilenel tempo e avente linee di forza che vanno dall’una estremita dell’antenna all’altra e uncampo magnetico B, anch’esso variabile nel tempo, dovuto alla corrente che si forma acausa del movimento della carica.Ora supponiamo che la frequenza di G sia bassa (possiamo immaginarla prossima a zero,con la carica che si muove in modo infinitamente lento): in questo caso i campi E e Bvariano mantenendosi in accordo con le alternanze del generatore quale che sia la lorodistanza dall’antenna.Se la frequenza aumenta, poiche la velocita di propagazione del campo e.m. e finita,l’accordo con le alternanze del generatore potra avvenire in un intorno dell’antenna, al dila del quale le linee di campo di E e B, invece di essere originate dalla carica che si muovenell’antenna, si richiudono su se stesse dando origine a un fenomeno di autoalimentazionedei campi. Si crea cosı il fenomeno della propagazione del campo e.m. a distanza illimitatadall’antenna.Il bilancio energetico dell’antenna dipolare alimentata da G puo essere impostato riferendo-si al circuito equivalente di questo sistema elettromagnetico che, come e noto, e costituitoda un generatore reale (cioe un generatore ideale avente forza elettromotrice V con in serieuna appropriata impedenza ZG = RG + jXG) che alimenta con la corrente I una impe-denza di carico ZA = RA + jXA rappresentativa dell’antenna. La potenza fornita da G

42


comprende una componente reattiva espressa dalla parte immaginaria di V I∗, cioe (valormedio quadratico)

Preatt =1

2=V I∗ ; I =

V

ZG + ZA(110)

rappresentativa della potenza elettromagnetica “palleggiata” fra generatore e antenna, cioedella potenza che viene consegnata dal generatore all’antenna e restituita da questa algeneratore, e una componente attiva espressa dalla parte reale di V I∗, cioe (valor medioquadratico)

Patt =1

2<V I∗ (111)

Si ottiene

Patt =1

2<

VV ∗

(ZG + ZA)∗

=1

2|V |2<ZG+ <ZA

|ZG + ZA|2

=1

2|V |2 RG

|ZG + ZA|2+

1

2|V |2 RA

|ZG + ZA|2(112)

= Pr.i. + Pr.a. (113)

Il primo termine a membro destro rappresenta la potenza Pr.i. perduta per effetto Joulenella resistenza interna di G, il secondo rappresenta la potenza Pr.a. perduta per effettoJoule nell’antenna. Per rendercene meglio conto assumiamo che l’antenna sia adattata,cioe che sia

ZA = Z∗

G → RA = RG ; XA = −XG (114)

Allora, essendo ZG + ZA = ZG + Z∗

G = 2RG segue

Patt =1

2|V |2 RG

4R2G

+1

2|V |2 RG

4R2G

=|V |24RG

(115)

e si vede che la potenza attiva fornita dal generatore serve a compensare le perdite pereffetto Joule sia nel generatore che nell’antenna. Nessuna potenza e richiesta al generatoreper far muovere la carica nell’antenna, perche il movimento oscillatorio della carica siautosostiene grazie alla condizione di adattamento, o risonanza, dell’antenna.

A distanza dall’antenna trasmittente, in un’altra antenna (antenna ricevente) la caricaelettrica viene messa in movimento oscillatorio dai campi E e B irradiati dall’antennatrasmittente e presenti nella antenna ricevente alla quale tali campi, dopo essersi propa-gati con velocita c (nel vuoto), sono pervenuti con un ritardo temporale e una ampiezzadipendenti dalla distanza fra le due antenne.

Notiamo che le (96), nella loro qualita di equazioni capaci di fornire il corretto valore delcampo e.m. nell’antenna ricevente, non mettono in giuoco altri concetti, e neppure ciobbligano a fare intervenire altri fenomeni fisici, oltre a quelli di cui si e ora detto.Quello che fisicamente succede nello spazio compreso fra le due antenne quando il campoe.m. si propaga dall’antenna trasmittente a quella ricevente rimane imprecisato, ma nonabbiamo bisogno di conoscerlo perche tutto cio che occorre sapere per il calcolo del campoe.m. nell’antenna ricevente e il modulo, la direzione e il verso dei campi E e B, e le (96)forniscono proprio questo.

43


Tutte queste considerazioni mettono in chiara evidenza il carattere di “programma di cal-colo” delle (96), che, conviene sottolinearlo, “funzionano” senza aver bisogno dell’appoggiodi altri concetti fisici, in particolare del “flusso di potenza elettromagnetica ΦSe

” che neitrattati di elettromagnetismo viene usualmente inserito nel contesto dello studio delle an-tenne trasmittenti, assumendo che sia irraggiato da una antenna perche questa e sede dicariche in moto accelerato.Il flusso ΦSe

e la potenza fornita da G all’antenna al netto della potenza Pr.a. perduta pereffetto Joule e viene definito introducendo il concetto di “resistenza di radiazione” Rrad,una resistenza fittizia posta idealmente a carico del generatore e in grado di dissipare lamedesima potenza che si assume venga irraggiata allontanandosi illimitatamente, cosicchesi puo scrivere

ΦSe=

1

2Rrad|I|2 (116)

Ora pero osserviamo che la (116) mette in relazione la corrente con la variabile dinami-ca ΦSe

del campo elettromagnetico, e questo contrasta con quanto sappiamo dal punto8 (pag. 34) dove e stato affermato che i concetti di carica/corrente e campo e.m. inteso co-me oggetto fisico devono essere considerati mutuamente esclusivi e percio nella descrizionebasata sui concetti di carica/campo in cui ora ci troviamo cio che si allontana dall’antennae il campo e.m. che, non essendo un oggetto fisico, non puo portare con se alcun flusso dipotenza.Dunque nella descrizione del fenomeno basata sulle (96) dall’antenna trasmittente non escealcun flusso di potenza.Ma allora la (116) e priva di significato fisico?La risposta a questa domanda verra data piu avanti.

Un discorso simile su ΦSeriguarda l’antenna ricevente: dovremmo forse assumere che essa

e interessata contemporaneamente sia dai campi oscillanti E e B, che creano una correnteelettrica, cioe il segnale disponibile all’uscita dell’antenna, sia dal flusso di potenza e.m.proveniente dall’antenna trasmittente?

* * *

Concludiamo qui l’esame di sistemi e.m. che abbiamo fatto a verifica dell’equazione diconservazione espressa dalla (100).L’applicazione di questa equazione ha fornito risultati soddisfacenti e ha messo in evidenzaquanto segue:- e possibile scrivere una equazione di conservazione dell’energia e.m. di un sistema fisicosenza introdurre il vettore di Poynting;- nei sistemi in cui abbiamo verificato che l’eq. (100) e correttamente applicabile le cari-che e le correnti interagiscono senza che fra loro venga scambiato alcunche di fisicamenterilevante, in particolare non viene scambiato flusso di potenza e.m..Sembrerebbe dunque di poter concludere che nella legge di conservazione dell’energia mec-canica ed elettromagnetica di un sistema fisico il vettore di Poynting non ha ruolo, ma oramostreremo che tale legge puo essere espressa in un modo del tutto diverso.

Ricaviamo dalla prima delle (96b) l’espressione di ı

ı =1

4π

(

∇×H − ∂D

∂t

)

44


e sostituiamola nella (99)

cE · 1

4π

(

∇×H − ∂D

∂t

)

=∂wm

∂t+∇ · Sm

Ma si ha (v. Appendice A, eq. (A13))

E · (∇×H) = H · (∇× E)−∇ · (E ×H) (117)

percioc

4π

H · (∇× E)−∇ · (E ×H)− 1

cE · ∂D

∂t

=∂wm

∂t+∇ · Sm

Questa espressione si puo ancora modificare tenendo presente l’ultima delle (96b):

c

4π

−1

cH · ∂B

∂t−∇ · (E ×H)− 1

cE · ∂D

∂t

=∂wm

∂t+∇ · Sm

ovvero, essendo B = µH e D = εE:

1

4π

−µH · ∂H

∂t− c∇ · (E ×H)− εE · ∂E

∂t

=∂wm

∂t+∇ · Sm

da cui1

4π

− ∂

∂t

E ·D + H ·B2

− c∇ · (E ×H)

=∂wm

∂t+∇ · Sm

Ora osserviamo che le espressioni

we =1

8π(E ·D + H ·B) ; Se =

cE ×H

4π(118)

sono le corrispondenti delle (4) per una distribuzione di materia lineare, omogenea e isotro-pa immersa in un campo e.m. e dotata di costante dielettrica ε e permeabilita magneticaµ. Possiamo dunque scrivere

∂(wm + we)

∂t+∇ · (Sm + Se) = 0 (119)

Con riferimento a un volume τ circondato da una superficie σ con normale rivolta versol’interno si ha, applicando il Teorema di Gauss:

∫

τ

∂(wm + we)

∂tdτ −

∫

σ

(Sm + Se) · n(int)dσ = 0 (120)

Questa equazione ha la forma tipica di una legge di conservazione. Cio che si conserva nelvolume τ e la somma dell’energia meccanica della distribuzione di materia e dell’energiaelettromagnetica contenuta in τ , a patto che non vi sia flusso di potenza meccanica opotenza e.m. in entrata o uscita attraverso la superficie σ di τ .Possiamo cosı affermare che

45


la (119) e la legge di conservazione dell’energia meccanica ed elettromagnetica diuna distribuzione di materia in un campo di velocita U , avente densita di massaρm, in stato di tensione meccanica descritta dal campo tensoriale σ e immersa inuno spazio in stato di energizzazione elettromagnetica descritta dal campo scalarewe.

Quello che nella (119) vi e di diverso dalla (99) e la descrizione del sistema elettromagneticoal quale la (119) si deve considerare riferita. Abbiamo ancora in un volume τ circondatodalla superficie σ una distribuzione di materia in un campo di velocita U , ma non si trattadi materia elettricamente carica perche in essa non sono presenti ne cariche ne correntielettriche.Lo stato di “elettrizzazione” di questo sistema fisico e connesso non con la presenza dicariche e correnti elettriche, ma con la presenza di energia e.m. avente densita we e diflusso di potenza e.m. avente densita Se nello spazio in cui la materia e immersa.

Sospendiamo a questo punto ogni altro commento sulla (120) per spiegare, nella digressioneche segue, come sia possibile descrivere i fenomeni elettromagnetici senza introdurre carichee/o correnti.

* * *

Innanzitutto una precisazione.Quando diciamo che nella distribuzione di materia cui e riferita la (119) non sono presenticorrenti elettriche intendiamo non che queste esistono esternamente al volume τ che stia-mo considerando (come si e fatto, ad esempio, nel sistema e.m. commentato nel punto1 (pag. 5)), ma che non esistono in alcun luogo. In altre parole la quantita ı e assente in τnon perche τ e stato scelto di proposito privo di correnti, ma e assente perche e stata so-stituita in ogni punto dello spazio dalla sua espressione ricavata dall’equazione di Maxwellnel rotore di B.Cio premesso, ci poniamo domande.14• Se non vi sono ne cariche ne correnti, da che cosa sono definiti i campi E e B?

Essi sono calcolabili a partire dal seguente sistema di equazioni

(∇ ·D)E +(

∇×H − 1

c

∂D

∂t

)

×B = 4πfEM

∇ ·B = 0

∇× E +1

c

∂B

∂t= 0

(121)

dove D = εE e B = µH (equazioni costitutive).La prima equazione e la forza di Lorentz nella quale ρ e ı sono stati sostituiti dalle loroespressioni ricavate dalle corrispondenti equazioni di Maxwell e fL e stata chiamata fEM

per indicare che non si tratta di una forza dovuta all’interazione della carica elettrica colcampo e.m. (e pero e fL ≡ fEM ). Le ultime due equazioni (che sono evidentemente lealtre due equazioni di Maxwell) esprimono relazioni che i campi E e B devono soddisfare.Si tratta di 6 equazioni indipendenti (tre con termine noto fEM , una nella divergenza diB e due nel rotore di E, due sole perche la divergenza del rotore di un vettore e semprenulla) in 6 incognite (le componenti di E e B alle quali le componenti dei vettori D e Hsono legate dalle equazioni costitutive).

46


• Come possono esistere forze elettromagnetiche se non vi sono ne cariche ne correnti?

Per rispondere a questa domanda cominciamo col considerare l’equazione (D7) (v. Ap-pendice D) della meccanica newtoniana per una distribuzione di materia uguale a quelladefinita in 10 (pag. 34) e 11 (pag. 35) e supponiamo che f sia la densita di forza di Lorentz

ρm∂U∂t

= −∇ · σ + ρE + ı×B (122)

Ora sostituiamo in luogo di ρ e ı le loro espressioni ricavate dalle equazioni di Maxwell:

ρm∂U∂t

= −∇ · σ +1

4π(∇ ·D)E +

1

4π

(

∇×H − 1

c

∂D

∂t

)

×B

= −∇ · σ +1

4π

E(∇ ·D) + (∇×H)×B − 1

c

∂D

∂t×B

Ma1

c

∂D

∂t×B =

1

c

∂D ×B

∂t−D × 1

c

∂B

∂t=

1

c

∂D ×B

∂t+ D × (∇×E)

percio

ρm∂U∂t

= −∇ · σ +1

4π

E(∇ ·D) + (∇×H)×B − 1

c

∂D ×B

∂t+ (∇×E)×D

E ancora (v. Appendice A, eq. (A14))

(∇×H)×B = −∇(H ·B) + H × (∇×B) + B · (∇H) + H · (∇B)

= −∇(H ·B)− (∇× µH)×H + µH · (∇H) + H · (∇B) (123)

(∇× E)×D = −∇(E ·D) + E × (∇×D) + D · (∇E) + E · (∇D)

= −∇(E ·D)− (∇× εE)× E + D · (∇E)− E · (∇(εE) (124)

cosicche, assumendo ε e µ costanti, si puo scrivere

(∇×H)×B = −∇(H ·B)− (∇×H)×B + H · (∇B) + H · (∇B)

(∇× E)×D = −∇(E ·D)− (∇× E)×D + D · (∇E) + D · (∇E)

e quindi

(∇×H)×B = −1

2∇(H ·B) + H · (∇B) ; (∇× E)×D = −1

2∇(E ·D) + D · (∇E)

percio

ρm∂U∂t

= −∇ · σ+

+1

4π

E(∇ ·D)− 1

2∇(H ·B) + H · (∇B)− 1

c

∂D ×B

∂t− 1

2∇(E ·D) + D · (∇E)

47


Ma (v. Appendice A, eq. (A17))

E(∇ ·D) + D · (∇E) = ∇ · (D E) = ∇ · (E D)

H · (∇B) = ∇ · (H B)−B(∇ ·H) = ∇ · (H B)−H(∇ ·B) = ∇ · (H B)

percio

ρm∂U∂t

= −∇ · σ +1

4π

∇ · (E D + H B)− 1

2∇(E ·D + H ·B)− 1

c

∂D ×B

∂t

Ma ∇ = ∇ · δ (v. Appendice A, eq. (A16)), percio

∇(E ·D + H ·B) = ∇ · δ(E ·D + H ·B)

da cui

ρm∂U∂t

= −∇ · σ +1

4π∇ ·

(

E D + H B − 1

2δ(E ·D + H ·B)

)

− ∂

∂t

D ×B

4πc

e infine

ρm∂U∂t

= −∇ · σ +∇ · T − ∂pe

∂t(125)

avendo posto

T =1

4π

(

E D + H B − 1

2δ(E ·D + H ·B)

)

=1

4π(E D + H B)− δwe

pe =D ×B

4πc

(126)

dove we e la densita di energia e.m.. Notiamo che

[T ] =forza

superficie=

energia

volume; [pe] =

quantita di moto

volume

La (125) e l’equazione della meccanica newtoniana per una distribuzione di materia sog-getta a uno stato di tensione meccanica descritto da σ e immersa in uno spazio elettro-

magneticamente caratterizzato dal tensore T e dal vettore densita di quantita di motoelettromagnetica pe, ma privo di cariche e correnti.

Nella (125) la forza elettromagnetica e dovuta a una combinazione di T e pe espressa dagliultimi due termini a membro destro della (125).Confrontando (122) con (125) e semplificando si ottiene:

ρE + ı×B = ∇ · T − ∂pe

∂t(127)

Questa relazione mette in evidenza i due diversi modi di esprimere la forza elettromagneticaagente sulla particella avente massa ρmdτ : a membro sinistro la forza deriva dall’intera-zione carica/campo, a membro destro deriva da uno stato descrivibile come una sorta ditensione/energizzazione dello spazio in cui la particella si trova.

48


Per fissare le idee, quando si strofina una bacchetta di ebanite con un panno di lana e la siavvicina a una bacchetta di vetro, anch’essa strofinata con un panno di lana, si nota chele due bacchette si attraggono e si puo pensare che, a seguito dello strofinio:1) cariche elettriche sono state trasferite dal panno sulla bacchetta di vetro e dalla bacchettadi ebanite al panno, cosicche le bacchette diventano entrambe elettricamente attive edesercitano forze di attrazione una sull’altra;oppure che2) nello spazio circostante le due bacchette viene generato uno “stato di energizzazione”che da origine alle forze che possono essere osservate.Si tratta di due diversi modi di descrivere le forze elettriche.

Conviene anche notare che, mentre la forza di Lorentz espressa dal membro sinistro della(127) non cambia forma nel passaggio dal regime dinamico al regime statico/stazionario(v. punto 13 (pag. 37)), la forza espressa dal membro destro perde, in regime statico/stazio-nario, il termine corrispondente alla variazione temporale della quantita di moto e.m..

• A che cosa sono riferite le variabili dinamiche T , pe, we?

- Secondo un’opinione che in passato e stata largamente diffusa:

1) l’oggetto fisico cui appartengono le variabili dinamiche citate e l’etere, corpo elasti-co continuo dotato di proprieta tali da rendere conto della grande varieta dei fenomenielettromagnetici conosciuti;2) il campo e.m. e un oggetto matematico di cui ci si serve per definire le variabili dina-miche.

Tuttavia l’evidenza fornita dall’esperimento di Michelson-Morley ha permesso di escludereche l’etere possa essere considerato un corpo elastico classicamente inteso.

- Secondo un’opinione che attualmente e largamente diffusa:

1) l’oggetto fisico cui appartengono le variabili dinamiche citate e il campo elettromagne-tico;2) il campo e.m. di cui le variabili dinamiche sono funzione e generato dalla distribuzionedi cariche e correnti (notiamo pero che puo propagarsi autosostenendosi).

Osserviamo tuttavia che nell’espressione della forza di Lorentz (membro sinistro della(127)) e esplicitamente presente il campo e.m. ma non compare, in regime dinamico,alcun termine corrispondente alla variazione temporale della quantita di moto del campo,che pure dovrebbe in qualche modo manifestarsi quando E e B variano nel tempo.Se assumiamo che il punto 1) sia valido, come si spiega questa invarianza in forma dellaforza di Lorentz nel passaggio dal regime statico/stazionario al regime dinamico?Ma non e tutto qui.Infatti se il campo e.m. e un oggetto fisico, allora un sistema fisico in cui e presente materiaelettricamente carica possiede doppia energia: quella associata alla distribuzione di caricae quella associata all’oggetto fisico campo e.m..Dunque l’opinione sopramenzionata da luogo a serie difficolta interpretative.

- Secondo l’opinione che viene proposta in questo studio:

49


1) l’oggetto fisico cui appartengono le variabili dinamiche citate e il sistema fotoni/vuotoelettromagnetico (sistema FVe.m.); e un oggetto relativistico-quantistico che in elettroma-gnetismo maxwelliano si presta, per alcune delle sue caratteristiche, ad essere interpretatocome se fosse un corpo elastico classico, un corpo, beninteso, non realmente esistente di cuipero l’elettromagnetismo maxwelliano ha bisogno per dare sostegno alla modellizzazionedi alcuni aspetti del sistema fotoni/vuoto;2) il campo e.m. e un oggetto matematico di cui ci si serve per definire le variabili dina-miche.

L’oggetto fisico FVe.m. e relativistico perche una qualunque relazione che leghi fra lorovariabili dinamiche ad esso appartenenti e che sia valida nel sistema di coordinate S in cuisi trova chi la sta verificando, ad esempio la seguente relazione che lega densita di energiae momento di un’onda elettromagnetica piana in un mezzo omogeneo e isotropo

we = c|pe|,

si trasforma, in un sistema di coordinate S ′ in moto rettilineo e uniforme rispetto a S,nella

w′

e = c|p′e|dove w′

e e p′e sono legati a we e pe dalle trasformazioni di Lorentz (come la Relativitaristretta richiede).Inoltre il sistema FVe.m. e quantistico perche puo essere descritto in modo soddisfacentesolo nell’ambiente dell’elettrodinamica quantistica.

Conviene, per chiarire meglio questo punto, introdurre la seguente breve digressione.

15• L’elettromagnetismo nella sua presentazione piu recente, l’elettrodinamica quantistica,e quella parte della Fisica che studia i fenomeni che avvengono perche esiste un tipo parti-colare di materia, che chiameremo materia elettronica, che puo eccitare il vuoto (l’intensitadell’eccitazione e misurata dalla “costante di accoppiamento”) creando o annichilando inesso fotoni reali e virtuali.I fotoni sono dunque uno stato del vuoto prodotto dall’azione eccitante di quella particolaremateria, la materia elettronica, che e in grado di accoppiarsi col vuoto con una determinatacostante di accoppiamento.Ne segue che la locuzione “la materia elettronica puo emettere/annichilare un fotone” deveessere intesa in questo senso: la materia elettronica puo eccitare il vuoto elettromagneticoche, a seguito dell’eccitazione, da origine a un fotone o annichila un fotone; il fenomenodella eccitazione del vuoto da parte della materia elettronica non e, allo stato attualedelle conoscenze della Fisica, ulteriormente precisabile, e, del resto, la natura dello stessovuoto non e precisabile all’infuori della descrizione, riferita a uno spazio astratto, chene da l’elettrodinamica quantistica; il vuoto non puo essere considerato un oggetto fisicoclassicamente inteso; in particolare, il vuoto non puo essere concepito come un corpoomnipervasivo rispetto al quale un ordinario oggetto materiale puo muoversi; un ordinariooggetto materiale puo muoversi rispetto a un altro oggetto materiale, ma la sua condizionedi moto rispetto al vuoto e indefinita; per contro, la luce ci appare essere dotata di unaben definita condizione di moto nel vuoto.Di questi fatti Einstein, nella sua Teoria della Relativita speciale, ha potuto dare unadescrizione assai precisa, ma la spiegazione classico/intuitiva di come possano avvenirenon e disponibile cosı come, del resto, non lo e per altri fenomeni.

50


Ad esempio e incomprensibile anche il modo in cui un fascio di particelle quantistichelanciate da una sorgente passa attraverso uno schermo dotato di due aperture, che indivi-duiamo chiamandole A e B.

Le particelle si muovono spostandosi dal semispazio a monte dello schermo al semispazioa valle, ma e falso affermare che ciascuna, seguendo la traiettoria che per essa prevede laMeccanica classica, passa o attraverso A o attraverso B perche, come e noto, la distri-buzione delle particelle che a valle dello schermo vanno a impattare su una superficie ingrado di intercettarle e di rendere visibili i punti di impatto non e in accordo con questaassunzione.

Di questo fenomeno in palese contraddizione con la Meccanica classica la Meccanica quan-tistica ha trovato il modo di fornire piu descrizioni, tutte assai precise, ma la spiegazioneintuitiva di come possa avvenire non e disponibile.

Cio posto, le forze elettromagnetiche che si esercitano fra porzioni di materia elettronicasono dovute a scambi di fotoni.

I concetti di base dell’elettromagnetismo moderno sono dunque:

1) la materia elettronica

2) il vuoto elettromagnetico

3) i fotoni

e servendosi di essi l’elettrodinamica quantistica riesce a descrivere, anche se talvolta soloin linea di principio, tutti i fenomeni elettromagnetici che conosciamo.

L’elettromagnetismo maxwelliano riesce invece a descriverne solo una parte. In particolaresi interessa:

(i) alle forze elettromagnetiche, che vengono descritte in due modi alternativi:

- assumendo che il sistema FVe.m. si comporti, almeno per qualcuno dei suoi aspetti,come un corpo elastico continuo in stato di energizzazione; a tale stato sono dovute leforze che si esercitano fra le porzioni di materia elettronica che, pur essendo all’originedi tutta la fenomenologia elettromagnetica, diventano, una volta introdotto il corpoelastico, oggetti fisici elettricamente inattivi su cui si osserva agire la forza e.m. daquesto generata;

oppure

- assumendo che i corpi siano dotati di una proprieta, detta “carica elettrica”, invirtu della quale essi possono agire “a distanza”, cioe senza l’intermediazione dialcunche (neppure del vuoto di cui al punto 2)), su altri corpi anch’essi dotati dicarica elettrica. Il concetto di carica elettrica deve essere tenuto separato da quello dimateria elettronica. Infatti la carica elettrica e un oggetto matematico introdotto perimpostare, in ambiente classico, una modalita di studio delle forze elettromagnetiche,mentre la materia elettronica e uno dei due agenti fisici (l’altro e il vuoto e.m.) aiquali e dovuta la creazione dei fotoni reali e virtuali, cioe il fenomeno fisico chesta alla base dell’elettrodinamica quantistica. La carica elettrica non interagisce colvuoto; essa puo interagire solo con un’altra carica elettrica e l’interazione e del tipo“a distanza” percio non da origine ad alcun fotone. Se assumessimo che dia originea fotoni violeremmo la condizione di incompatibilita dei concetti di “carica” e di“campo e.m. inteso come oggetto fisico dotato di variabili dinamiche” che e statamessa in evidenza nel punto 8 (pag. 34).

La materia elettronica non e un costituente dell’elettromagnetismo maxwelliano.

51


Infatti in questo troviamo o un programma di calcolo basato sull’idea di “caricaelettrica che agisce a distanza”, e quindi viene ignorato lo scambio di fotoni cheassicura il rispetto del Principio di azione e reazione, o una descrizione classica del solosistema FVe.m. il cui stato di energizzazione viene assunto come un dato di partenza,e quindi viene ignorato il fenomeno che da origine ai fotoni, cioe l’eccitazione delvuoto da parte della materia elettronica;

(ii) ai fenomeni luminosi (con esclusione dei fenomeni microscopici di interazione fra lucee materia).

Lo strumento matematico di cui ci si serve per descrivere i fenomeni elettromagnetici euna coppia di campi vettoriali reali: il campo elettrico E e il campo magnetico B.Mediante questi si puo descrivere sia le apparenti proprieta di corpo elastico possedute dalsistema FVe.m. (se si assume di descrivere le forze e.m. basandosi sul concetto di corpoelastico continuo), sia l’azione a distanza, e in particolare la velocita finita di propaga-zione di questa (se si assume di descrivere le forze e.m. basandosi sul concetto di caricaelettrica/azione a distanza).C’e da notare che entrambi i concetti che l’elettromagnetismo maxwelliano usa per descri-vere le forze e.m., cioe il concetto di corpo elastico continuo in stato di energizzazione equello di carica/azione-a-distanza, sono solo parzialmente soddisfacenti: il primo percheorigina ben noti conflitti quando lo si usa per studiare alcune fondamentali proprieta delfenomeno della propagazione della luce, che in realta si propaga non in un corpo elasti-co classicamente inteso, ma in quel corpo quantistico-relativistico che abbiamo chiamato“vuoto elettromagnetico”, il secondo perche, considerato in combinazione con la velocitafinita di propagazione dell’azione a distanza, causa violazione del Principio newtoniano del-l’azione/reazione; tuttavia, se ignoriamo questa violazione e assumiamo che il complessodelle (96a) e (96b) non sia null’altro che un programma di calcolo, mettiamo a disposizionedell’indagine fisica sui fenomeni e.m. uno strumento assai efficace e in grado di fornireanalisi accurate di una grande quantita di fenomeni.

Storicamente e nato prima il concetto di carica elettrica e di azione a distanza fra corpielettricamente carichi, poi quello di etere, corpo elastico in grado di veicolare la forzaelettrica, poi, soprattutto a seguito della relativita einsteiniana, quello di campo e.m.fisicamente esistente sostitutivo dell’etere e infine, a seguito della fisica quantistica, quellodi vuoto elettromagnetico e degli associati concetti elencati in 1), 2) e 3).Notiamo che al complesso dei concetti carica/campo/azione-a-distanza non corrispondealcunche di fisicamente rilevante.In particolare non corrisponde ad alcunche di fisicamente esistente l’idea di carica elettrica,dato che i fenomeni elettromagnetici sono dovuti esclusivamente al vuoto e alla materiain grado di eccitarlo. Nell’ambiente dell’elettrodinamica quantistica, alla carica elettricacorrisponde la ampiezza di probabilita che la materia elettronica ecciti il vuoto generan-do/annichilando un fotone.Tuttavia l’idea e risultata essere di enorme importanza nello studio dei fenomeni elettricimacroscopici, che e stato reso praticamente possibile proprio a seguito dell’introduzionedel concetto di carica elettrica.

Dunque la carica e il campo e.m. sono concetti matematici che, insieme con la locuzione“azione a distanza”, sono stati introdotti per descrivere le forze e.m..Per contro, al complesso delle variabili dinamiche introdotte per descrivere il “corpo ela-stico” al cui stato di energizzazione sono dovute le forze e.m. corrisponde il vuoto di cui

52


al punto 2), cioe corrisponde quella che, allo stato attuale delle nostre conoscenze, vieneconsiderata una realta fisica la cui natura e, peraltro, ancora largamente imprecisata.

Da quanto si e detto segue che 16• l’elettromagnetismo maxwelliano dovrebbe essere pre-sentato partendo dalla modellizzazione classica dell’oggetto fisico costituito dal sistemaFVe.m.. La modellizzazione e basata sulle (121) e (126) che costituiscono quella che potrem-mo chiamare brevemente la descrizione dei fenomeni e.m. basata sul sistema FVe.m..Cio posto, si dovrebbe notare che la prima delle (121) puo essere semplificata introducendoil campo scalare ρ detto “densita di carica elettrica” e il campo vettoriale ı detto “densitadi corrente elettrica” definiti rispettivamente da

∇ ·D = 4πρ

∇×H − 1

c

∂D

∂t= 4πı

e si ottiene cosı la assai piu trattabile espressione

ρE + ı×B = fL ; fL ≡ fEM

nella quale ρ e ı devono essere intesi come “proprieta” dei corpi su cui si osserva agire laforza e.m..Cosı nel descrivere la forza e.m. agente su un corpo siamo passati da considerazioni cheattribuiscono proprieta al mezzo in cui si trova il corpo costituito di materia elettronica(ma assunto elettricamente inattivo) che subisce la forza a considerazioni che attribuisconoproprieta al corpo elettricamente attivo perche “caricato“ elettricamente che subisce unaforza a distanza esercitata da altri corpi anch’essi elettricamente caricati e che possiamosinteticamente connotare con la locuzione descrizione dei fenomeni e.m. basata sui concettidi carica/campo.Se nello studio di un fenomeno e.m. ci si riferisce a questa descrizione, allora ρ ed ı sono idati di partenza ai quali le equazioni

∇ ·D = 4πρ

∇×H − 1

c

∂D

∂t= 4πı

∇ ·B = 0

∇×B = −1

c

∂E

∂t

;D = εE

B = µH

permettono di associare il campo E,B; questo, interagendo con ρdτ e ıdτ , genera la forza diLorentz fLdτ il cui calcolo e lo scopo della descrizione basata sui concetti di carica/campo.Notiamo che nella fLdτ cio che agisce su ρ (R, t)dτ e il resto della distribuzione di cari-ca/corrente e l’azione e del tipo “a distanza” perche il campo e.m. non puo essere cheuno strumento matematico; in particolare, in regime dinamico, il campo e.m. permette didescrivere il ritardo con cui l’azione si manifesta.

Dunque, ecco quale e il significato delle equazioni di Maxwell: esse permettono di passaredalla descrizione dei fenomeni e.m. basata sul sistema FVe.m. alla descrizione basata sui

53


concetti di carica/campo, cosicche il modo “naturale” di presentare l’elettromagnetismodovrebbe essere basato sulla seguente progressione di concetti:

1) le forze elettromagnetiche sono dovute allo scambio di fotoni generati dall’eccitazionedel vuoto prodotta dalla materia elettronica;2) i campi E e B permettono di descrivere fenomenologicamente il sistema fotoni/vuotomodellizzandolo come se fosse un corpo elastico dotato di uno stato di tensione tale darendere ragione delle forze elettromagnetiche;3) le equazioni di Maxwell permettono di introdurre i concetti di carica/corrente mediantei quali diviene possibile descrivere la forza esercitantesi fra corpi elettricamente carichibasandosi sull’idea di azione a distanza con velocita di propagazione finita e ignorando ilsistema fotoni/vuoto e.m.;4) la forza dotata di velocita di propagazione finita che agisce su un corpo elettricamentecarico e la forza di Lorentz.

Dunque una volta introdotti i concetti di carica/corrente occorre abbandonare concetticome la densita di flusso di potenza e.m. Se, o la densita di energia e.m. we, o la densitadi momento pe perche non si saprebbe a che cosa riferirli.In altre parole, la descrizione basata sui concetti di carica/campo stravolge la “fisicita”della descrizione basata sul sistema FVe.m. dalla quale peraltro vengono presi a prestitogli oggetti matematici E e B, che tuttavia vengono destinati ad un uso nuovo, cioe nonalla definizione delle variabili dinamiche elettromagnetiche ma al calcolo della forza diLorentz, che e una forza a distanza (e infatti non contiene alcun termine interpretabilecome variazione temporale di pe (v. punto 13 (pag. 37))) cosicche la descrizione basata suiconcetti di carica/campo non puo essere considerata altro che una effective theory, cioe unprogramma di calcolo.A questa ultima considerazione si deve fare riferimento anche trattando dell’effetto Joule.Infatti, se la carica e uno strumento matematico, come e possibile che, scorrendo in unconduttore, generi calore per attrito?Il fatto e che l’entita fisica che, muovendosi in un conduttore, da origine a fenomeni di“attrito” e quindi genera calore non e la carica elettrica, ma e la materia elettronica.Tuttavia, servendoci del concetto di carica elettrica in movimento (cioe servendoci delconcetto di corrente elettrica) possiamo fornire di questo fenomeno una descrizione quan-titativa soddisfacente e trova cosı ulteriore conferma l’affermazione che la descrizione deifenomeni e.m. basata sui concetti di carica/campo e un efficiente programma di calcolo,cioe e una effective theory.

Le equazioni di Maxwell permettono anche di definire il percorso inverso, cioe permettonodi passare dalla descrizione dei fenomeni e.m. basata sui concetti di carica/campo alladescrizione basata sul sistema FVe.m., ed e cosı che storicamente l’elettromagnetismo ma-xwelliano si e sviluppato: e stato il concetto di carica elettrica che ha generato quello dicampo e.m., ed e stato il concetto di campo che ha generato quello di variabili dinamichedi campo, ed e in conseguenza della quantizzazione di queste variabili che e stato possibiledescrivere la struttura discreta dell’energia e della quantita di moto e.m..

Termina qui la digressione iniziata nel punto 15 (pag. 50).Riprendiamo la presentazione dell’elettromagnetismo maxwelliano considerato privo di ca-riche e correnti.

54


• Come si studia un sistema elettromagnetico senza riferirsi a cariche e/o correnti?

Consideriamo, come esempio elementare, un circuito costituito da un generatore che, inregime stazionario, alimenta un carico resistivo mediante conduttori di collegamento chesupponiamo dotati di resistivita trascurabile, cioe aventi conduttivita σ →∞.

Fissiamo la nostra attenzione sul generatore.Questo, che nella descrizione dei fenomeni e.m. basata sui concetti di carica/campo e undispositivo dotato di un campo elettromotore che genera un campo elettrico in grado dimuovere la carica elettrica contenuta nel circuito su cui il generatore e chiuso, diventa oraun dispositivo in grado di generare un flusso di potenza e.m. diretto verso l’esterno, mentrei conduttori di collegamento diventano elementi in grado di orientare il flusso del vettoredi Poynting verso il carico.

Vale la pena di sottolineare che l’oggetto fisico “generatore” e uno solo, cioe non abbiamoa che fare con due generatori diversi, uno in grado di muovere la carica elettrica e l’altroin grado di generare flusso di potenza elettromagnetica.Il generatore e unico: cio che e duplice e la modalita in cui il suo funzionamento puo essereinterpretato, ed e compito di chi intende farne uso decidere quale modalita scegliere.Se assumiamo che generi flusso di potenza e.m. dobbiamo escludere che nel sistema fisicodi cui il generatore fa parte siano presenti cariche elettriche ferme o in movimento.Risulta quindi evidente che nell’elettromagnetismo maxwelliano la carica elettrica e unostrumento matematico che possiamo, a nostra scelta, assumere che sia o non sia presentenei sistemi di corpi in cui si manifestano le forze elettromagnetiche (ad esempio, nelleconsiderazioni fatte a partire dal punto 14 (pag. 46) abbiamo assunto che la carica elettricasia assente).

Nel loro interno i conduttori, poiche ora non vi sono ne cariche ne correnti (e pero c’emateria elettronica (v. punto 15 (pag. 50)) e anche altra materia elettricamente neutra),non conducono alcunche; essi servono a guidare il flusso del vettore di P., che e in uscitadal generatore, in modo che si presenti in ingresso al carico.

Si parlera percio di conduttori di carica elettrica se stiamo studiando il circuito servendocidella descrizione basata sui concetti di carica/campo, mentre si parlera di conduttori diflusso del vettore di Poynting se stiamo studiando il circuito servendoci della descrizionebasata sul concetto di spazio energizzato.A seconda della direzione del v. di P. rispetto alla superficie del conduttore si avra in questomaggiore o minore ingresso di potenza e.m. e conseguentemente una maggiore o minoregenerazione di calore per effetto Joule. Se la direzione di Se e normale alla superficie delconduttore, l’assorbimento e totale. Se la direzione e parallela, l’assorbimento e nullo. Ingenerale sara presente sia una componente parallela di Se sia una componente normale.Le corrispondenze qualitative fra conduttori di carica, che sono caratterizzati dalla loroconduttivita, e conduttori di flusso, che sono caratterizzati dalla loro assorbitivita, sonoespresse da

conduttori di carica elettrica conduttori di flusso del vettore di P.

alta conduttivita bassa assorbitivita (Se ≈ ‖ alla superf. del conduttore)

bassa conduttivita alta assorbitivita (Se ≈ ⊥ alla superf. del conduttore)

55


Infatti se, ad esempio, la conduttivita e alta, il campo elettrico sulla superficie del condut-tore ha direzione quasi normale alla superficie e quindi il vettore di Poynting ha direzionequasi parallela ad essa percio l’assorbitivita e bassa.

Un generatore di flusso di Se e definito, oltre che dalle ampiezze dei campi E e B, anchedalle loro direzioni. Esistono “morsetti” rispetto ai quali e definita la direzione e il versodel campo E e da questo, poiche Se e diretto verso l’esterno, deriva la direzione del campoB.Una volta definiti i concetti di generatori di flusso e di conduttori di flusso la descrizionedel circuito interessato da flusso stazionario e immediata.Consideriamo, ad esempio, il caso in cui il carico e collegato col generatore mediante con-duttori di flusso ad assorbimento nullo: il vettore densita di flusso Se, in accordo conl’andamento del campo elettrico e magnetico, e diretto in uscita dal generatore e paralle-lamente ai conduttori ad assorbimento nullo (conduttori perfetti) che collegano la batteriacol carico e, ruotando opportunamente, si presenta al carico dotato di una componentenormale alla quale e dovuto l’assorbimento di potenza e.m. e la conseguente generazionedi calore.

Questa descrizione riprende le argomentazioni dell’articolo di I. Galili ed E. Goihbarg giacitato (pag. 9).Occorre pero notare che nei disegni che corredano l’articolo, e che riproducono il circuitoelementare (batteria+carico resistivo) preso in considerazione, viene piu volte indicata lapresenza di corrente elettrica insieme col flusso del vettore di Poynting, come se queste dueentita fossero simultaneamente presenti nel circuito.Ma e impossibile che lo siano, perche il flusso del v. di P. e entrante nel carico cosiccheassumere che corrente elettrica e flusso del v. di P. siano entrambi presenti conduce al“raddoppio” della potenza generata e dissipata.Tuttavia nell’articolo si ragiona ignorando questo problema, cioe si ragiona come se il v. diP. esistesse perche esiste una corrente, ma questo equivale a far convergere due descrizionidiverse in una sola ottenendo un risultato fisicamente impossibile.Se si intende prendere in considerazione la descrizione che si basa sui concetti di cari-ca/campo e alla quale si riferiscono le (96) non si puo introdurre il vettore di Poyntingperche questo richiede l’eliminazione dalle (96) della densita di corrente ı; viceversa: sesi intende riferirsi alla descrizione basata sul vettore di Poynting non si puo introdurre ladescrizione basata sui concetti di carica/campo perche se il generatore produce flusso delvettore di Poynting non puo far scorrere corrente elettrica.

Completiamo la descrizione dei materiali interessati dal flusso del vettore di Poyntingnotando che un materiale non assorbitore e caratterizzato dalla velocita con cui il vettoredi Poynting si propaga in esso. Sulla superficie di separazione fra due materiali dotati divelocita diversa si osservano i ben noti fenomeni di riflessione e rifrazione.

Presentiamo nella tabella seguente una sintesi delle due descrizioni dei fenomeni elettroma-gnetici che abbiamo finora discusso, cioe la descrizione basata sui concetti di carica/campoe la descrizione basata sulla modellizzazione del sistema FVe.m. (notiamo che si tratta digrandezze espresse sottoforma di densita o volumiche o superficiali):

56


carica/campo FVe.m.

tensore degli sforzi T= 14π

E D+H B−12 δwe

forza fL=ρE+ı×B fEM=∇·T−∂∂t

D×B4πc

momento pe= D×B

4πc

momento angolare l=R×pe

energia we=E·D+H·B8π

potenza cE·ı

vettore di Poynting Se= cE×H4π

Tab. 1

Come esempio di applicazione di questo duplice modo di presentare l’elettromagnetismomaxwelliano consideriamo il fenomeno per cui la materia elettronica (v. punto 15 (pag. 50))puo generare fotoni eccitando il vuoto.

In particolare un elettrone in movimento puo generare fotoni reali.Come viene descritto questo fenomeno dall’elettromagnetismo maxwelliano presentato co-me mostra la Tab. 1?Innanzitutto, il fatto che l’elettrone sia costituito di materia elettronica in grado di generarefotoni eccitando il vuoto non viene preso in considerazione in nessuna delle due descrizioni.

Cio premesso, nella descrizione basata sui concetti di carica/campo l’elettrone viene con-siderato dotato di carica, che indichiamo con e, generatrice non di fotoni, ma di un campoe.m. che si propaga allontanandosi dall’elettrone e che puo esercitare su una carica di provala forza di Lorentz.

Occorre tuttavia ricordare che la carica di prova deve essere cosı piccola da non turbare ilcampo in cui e collocata, mentre in questo caso e quantitativamente uguale alla carica e

generatrice del campo, perche una carica elettrica piu piccola di quella dell’elettrone none disponibile.

Questo fatto evidentemente pone un limite alla validita della descrizione basata sui concettidi carica/campo.

Nella descrizione basata sul sistema FVe.m. viene introdotto uno stato di energizzazionedello spazio circostante l’elettrone nella forma di flusso del vettore di Poynting uscente dauna superficie chiusa che circondi il punto corrispondente alla posizione dell’elettrone.

Queste sono le considerazioni che l’elettromagnetismo maxwelliano, presentato come mo-stra la Tab. 1, ci consente di fare a proposito di questo sistema fisico.Tuttavia il modo usuale in cui esso viene studiato non fa riferimento ne all’una ne all’altradelle due descrizioni sopradette, ma a una mescolanza di entrambe.

Invece di introdurre una sorgente di flusso di potenza e.m. in modo indipendente dallacarica elettrica, si fa uso dei campi E e B associati alla carica e dell’elettrone per definire il

57


vettore Se il cui flusso uscente da una superficie chiusa che circondi l’elettrone in movimentoe espresso, come e noto, dalla formula di Larmor, valida per velocita piccole rispetto a c:

ΦSe=

2

3

e2

c3A2

(128)

dove A e l’accelerazione dell’elettrone.In altre parole gli oggetti matematici E e B ottenuti nella descrizione carica/campo vengo-no usati nella descrizione FVe.m. per definire una sorgente puntiforme di flusso del vettoredi Poynting, il che e ovviamente lecito purche questa modalita d’uso venga intesa comeuno strumento di calcolo e non per affermare che il flusso del vettore Se, formalmentecalcolabile a partire dai campi E e B espressi in funzione della carica e, e originato dallacarica in movimento perche i concetti di carica elettrica e di variabili dinamiche del campoe.m. inteso come oggetto fisico (Se e una di queste variabili) sono mutuamente esclusivi.Il flusso di Se e originato non dalla carica in movimento, ma dalla materia elettronica inmovimento, e la materia elettronica, come si e gia evidenziato (v. punto 15 (pag. 50)), nonha a che fare con la carica elettrica perche la carica elettrica e uno strumento matematico,mentre la materia elettronica e un componente della realta fisica.Per di piu, la materia elettronica non fa parte dell’elettromagnetismo maxwelliano. Nonne fa parte perche:1) nell’ambito della descrizione basata sui concetti di carica/campo la carica agisce adistanza, e quindi in questo ambito l’azione elettromagnetica non chiama in causa il vuoto,mentre la materia elettronica interagisce col vuoto; si puo dire che la carica elettrica e unostrumento matematico che permette di descrivere l’azione elettromagnetica senza tenerconto dell’esistenza della materia elettronica e della sua capacita di interagire col vuoto;ecco perche la descrizione dei fenomeni e.m. basata sui concetti di carica/campo puo esseredefinita una effective theory, cioe un “programma di calcolo basato sul concetto di azionea distanza ritardata”, che e una locuzione convenzionale usata per segnalare che si starinunciando a “spiegare” le forze elettromagnetiche e che interessa solamente mettersi incondizione di poterle calcolare;2) nell’ambito della descrizione basata sul sistema FVe.m. e lo stato di tensione/energizza-zione di quel corpo fittizio che chiamiamo etere che e all’origine del flusso di potenzae.m., mentre la materia elettronica, che pure e la causa dell’energizzazione, non compareesplicitamente.

Per chiarire meglio il significato di queste considerazioni esaminiamo il sistema fisico costi-tuito dall’atomo di idrogeno in stato stazionario nella descrizione che se ne da in meccanicaquantistica.Nell’atomo di idrogeno in stato stazionario c’e materia elettronica in movimento accelerato(l’elettrone in moto attorno al nucleo) che non emette fotoni reali; c’e pero scambio difotoni virtuali fra l’elettrone e il protone che costituisce il nucleo.Perche non vengono emessi fotoni reali? Allo stato attuale delle conoscenze della Fisica unaspiegazione di questo fatto non e disponibile, tuttavia, poiche la materia elettronica di cuil’elettrone e costituito non emette fotoni reali, diviene possibile considerare l’elettrone noncome una porzione di materia elettronica, ma come una particella dotata di carica elettrica,cioe diviene possibile studiare il sistema elettrone/protone facendo uso della descrizionedei fenomeni e.m. basata sui concetti maxwelliani di carica/campo, o meglio, sui concettimaxwelliani di carica/potenziale, che si puo considerare una evoluzione, anch’essa basata

58


sull’azione a distanza, della descrizione basata sui concetti di carica/campo e alla quale sifara cenno nel par. 2.5.Dunque il fatto che l’elettrone dell’atomo di idrogeno in stato stazionario, nel suo stato diparticella elettricamente carica, non emette flusso di potenza e.m. e in completo accordocon l’elettromagnetismo maxwelliano.Quello che rimane inspiegato e: perche l’elettrone, che e costituito di materia elettronica, sicomporta, quando si trova nell’atomo di idrogeno in stato stazionario, come una particellaelettricamente carica?E anche: perche l’elettrone, quando “salta” da un livello energetico dell’atomo a un altrosi trasforma da particella carica a porzione di materia elettronica e quindi e in grado diemettere o assorbire fotoni reali?

Con queste considerazioni termina la digressione iniziata a partire dal punto 14 (pag. 46)per spiegare come sia possibile descrivere i fenomeni elettromagnetici senza introdurrecariche o correnti.

* * *

Ritorniamo alla (120) e integriamola in un volume τ circondato da una superficie σ:

∂

∂t

∫

τ

(wm + we)dτ =

∫

σ

(Sm + Se) · n(int)dσ (129)

• Applichiamo questa relazione al circuito conduttore percorso da corrente stazionariaconsiderato nel punto 2 (pag. 5) supponendo che si trovi a riposo e non in stato di tensionemeccanica cosicche wm = 0 e Sm = 0. Poiche we e costante si ottiene

∫

σ

S(int)

e · n(int)dσ = 0

uguale alla (24b), della cui interpretazione ci siamo gia occupati. L’interpretazione eintegralmente applicabile anche ora; la differenza sta nel fatto che il flusso di potenza e.m.esiste non perche esiste una distribuzione di carica/corrente, ma perche viene prodotto daun generatore di flusso di potenza e.m. che non fa circolare carica elettrica.

• Applichiamo la (129), supponendo wm = 0 e Sm = 0, a un condensatore in fase di carica.Teniamo presente che il circuito di carica e costituito da un generatore Gϕ di flusso delvettore di Poynting collegato alle armature del condensatore mediante due conduttori diflusso del v. di P.. La (129) diviene:

∂

∂t

∫

τ

we dτ =

∫

σ


relazione che gia sappiamo deve essere considerata valida avendola studiata nel punto6 (pag. 13). Tuttavia ora il campo Se e generato non da carica elettrica in movimento nelcircuito di carica del condensatore, ma dal generatore di flusso Gϕ.• Applichiamo la (129) a un’antenna dipolare trasmittente supponendo wm = 0 e Sm = 0.Un generatore di flusso del vettore di Poynting fa alternativamente uscire ed entrare po-tenza e.m. con direzione determinata dall’orientamento del dipolo.

59


Se l’alternanza di ingresso/uscita del flusso avvenisse a frequenza prossima a zero, nessunapotenza elettromagnetica si allontanerebbe dall’antenna.Se pero l’alternanza avviene a frequenza elevata (radiofrequenza), il flusso si trovera adavere, in prossimita dell’antenna, una fase opposta a quella che ha a distanza, perche, acausa della velocita finita di propagazione, occorre tempo per permettere alla variazione difase di raggiungere punti distanti. Ne segue che, a distanza dall’antenna, i campi E e B sialimentano vicendevolmente , cioe non sono piu sostenuti dal generatore, e si allontananoillimitatamente.

Notiamo che per descrivere il flusso del vettore Se associato all’antenna possiamo servircidei campi E e B definiti in funzione della distribuzione di carica/corrente cui si riferisce ladescrizione dell’antenna basata sui concetti di carica/campo.Deriva da questo l’equazione (116) che e il risultato dell’uso, nella descrizione dei fenomenie.m. basata sul sistema FVe.m., del concetto di corrente elettrica che e proprio della descri-zione dei fenomeni e.m. basata sui concetti di carica/campo, un uso che e evidentementelecito purche non se ne deduca che il flusso di Se e originato dalla carica in movimento,perche i concetti di carica elettrica e di variabili dinamiche del campo e.m. inteso comeoggetto fisico sono mutuamente esclusivi.Questa e la risposta alla domanda posta commentando l’equazione (116).

* * *

Termina qui la lunga digressione, iniziata nel punto 9 (pag. 34), nel corso della quale si eaffrontato il problema della ricerca di una legge di conservazione dell’energia per i sistemielettromagnetici.Alla domanda: esiste nella teoria elettromagnetica di Maxwell una legge di conservazionedell’energia? pensiamo di poter rispondere che ne esistono due equivalenti espresse dalleequazioni (99) e (119) per ricavare le quali abbiamo dovuto introdurre altrettanti modidi presentare l’elettromagnetismo maxwelliano in luogo dell’unica presentazione cui gene-ralmente ci si riferisce in letteratura fisica, modi che riprenderemo, per approfondirli, nelCapitolo 2 di questo studio.

Ora ritorniamo al problema principale di questo Capitolo 1, cioe: quale e il significato delTeorema di Poynting?, per proporre una soluzione che basiamo sulle seguenti assunzioni:

1) i fenomeni elettromagnetici vengono descritti dall’elettromagnetismo maxwelliano fa-cendo ricorso (v. Tab. 1) o alla “descrizione basata sui concetti di carica/campo” o alla“descrizione basata sul sistema FVe.m.” (espressione abbreviata sostitutiva di “descrizionebasata sulla modellizzazione classica del sistema fisico fotoni-vuoto”);

2) a ogni descrizione e associata una legge di conservazione dell’energia e.m. e cioe: lalegge (99) e associata alla descrizione basata sui concetti di carica/campo, la legge (119) eassociata alla descrizione basata sul sistema FVe.m..

Cio premesso, confrontiamo le equazioni (99) e (119). Ricaviamo dalla (119) l’espressione∂wm

∂t +∇ · Sm, cioe∂wm

∂t+∇ · Sm = −∂we

∂t−∇ · Se

e sostituiamola nella (99).

Otteniamo cosı l’equazione (3), cioe l’espressione del Teorema di Poynting, chequindi non e una legge di conservazione dell’energia e.m., ma e una equazione

60


generata dal confronto di due leggi di conservazione dell’energia di un sistemae.m. che devono essere considerate equivalenti.

Per renderci meglio conto del significato di questa proposizione e in particolare del si-gnificato di “leggi di conservazione equivalenti” riprendiamo in considerazione la (127) echiediamoci: questa e forse una equazione che stabilisce l’uguaglianza di due forze elettro-magnetiche simultaneamente presenti nella distribuzione di materia?Ovviamente no, perche siamo in presenza non di due forze elettromagnetiche di diversanatura, ma di due diverse espressioni di una unica forza elettromagnetica, quella che esperimentalmente osservabile.Queste due espressioni sono equivalenti per costruzione percio la (127) e una relazione che,dal punto di vista della Fisica, non e altro che una identita.In definitiva, nessuno penserebbe che

fL = ρE + ı×B

e

fEM = ∇ · T − ∂pe

∂t

sono due forze distinte simultaneamente presenti nella distribuzione di materia.Eppure un errore interpretativo di tipo simile viene abitualmente fatto nel caso del Teoremadi Poynting che, se decidiamo di ignorare il procedimento fisicamente poco significativo a-dottato all’inizio di questa Prima Parte e a cui peraltro si fa usualmente ricorso, e ricavabileconfrontando fra loro le leggi di conservazione (99) e (119)

∂wm

∂t+∇ · Sm = cE · ı ;

∂wm

∂t+∇ · Sm = −∂we

∂t−∇ · Se

i cui membri sinistri sono uguali e i cui membri destri sono equivalenti per costruzione.Il confronto da origine all’equazione (3)

cE · ı = −∂we

∂t−∇ · Se (132)

la quale quindi non puo essere considerata altro che quello che semplicemente e, cioe ilrisultato del confronto di due leggi di conservazione dell’energia e.m. che sono equivalenti:qui sta la soluzione del problema dei “raddoppi” di cui si e parlato in precedenza studiandoalcuni circuiti elettrici.Cio che dal punto di vista della Fisica l’equazione (132) esprime non e altro che una identita,cosı come e una identita la (127).

Considerare la (132) una equazione di conservazione dell’energia e.m. equivalea considerare la (127) una equazione di equilibrio fra forze di natura diversasimultaneamente presenti nella distribuzione di materia considerata.

Questo errore interpretativo sta alla base del non-funzionamento del T. di P. quando losi applica a sistemi elettromagnetici reali e ha potuto essere messo in luce nel presentestudio perche la espressione del T. di P. e stata ricavata non da manipolazioni matematichefisicamente poco trasparenti, ma confrontando due leggi di conservazione, la (99) e la (119),

61


che sono dotate di chiaro significato fisico e che possono essere applicate, singolarmente, acasi concreti fornendo risultati soddisfacenti.

Questo e il significato del Teorema di Poynting, un teorema formalmente ineccepibile(v. punto 4 (pag. 13)) ma che, da un punto di vista pratico/operativo, e di scarso inte-resse e che, comunque, non e una legge di conservazione dell’energia elettromagnetica.

Osserviamo che al termine dello studio del circuito percorso da corrente stazionaria (v. pun-to 2 (pag. 5)) avevamo concluso che il Teorema di Poynting non puo essere considerato neuna legge di conservazione ne la combinazione di due leggi di conservazione.Ora possiamo precisare che il T. di P. e una combinazione di due leggi di conservazione,che pero sono riferite non a una unica descrizione dei fenomeni e.m. (come si assumevanello studio citato), ma a due descrizioni diverse e quindi ciascuna descrizione ha una sualegge di conservazione: il T. di P. ci dice che le due leggi sono equivalenti.

Notiamo anche che nelle correnti applicazioni delle equazioni di Maxwell allo studio deifenomeni e.m. il problema derivante dall’uso simultaneo dei concetti di carica/campo edelle variabili dinamiche del campo e.m., che viene considerato un oggetto fisico, non vienealla luce non perche non esiste, ma perche viene ignorato.Quando, ad esempio, si studia un circuito percorso da corrente stazionaria (v. punto2 (pag. 5)) si prende in considerazione il calore generato dalla sola corrente ignorandoquello generato dall’ingresso, attraverso la superficie del circuito, di energia dovuta al flus-so del vettore di Poynting, energia che non puo non essere presente, perche il campo e.m.e considerato un oggetto fisico e percio e dotato di energia.Eppure, nonostante venga ignorata, la quantita di calore generato nel circuito conduttorein conseguenza dell’ingresso del flusso del vettore di Poynting non e trascurabile, dato chee uguale a quella generata dalla presenza della corrente, cosicche omettere di considerarlaequivale a studiare il circuito come se il campo e.m. non fosse un oggetto fisico, salvo poiconsiderarlo, ad esempio nello studio della propagazione delle onde e.m., un oggetto fisicosulla base dell’opinione largamente diffusa e consolidata che l’etere non esiste e percio nonsi saprebbe a che cosa altro attribuire le variabili dinamiche elettromagnetiche.Queste considerazioni possono essere ripetute per qualunque sistema elettromagnetico,come si e visto nel corso di questo Capitolo 1 in cui sono stati esaminati diversi esempi,e in tutti e stata evidenziata la contraddizione citata, contraddizione che rende arduoil percorso di comprensione della teoria e.m. maxwelliana cosı come viene usualmentepresentata, e rende altresı non ben definito, a livello interpretativo, il suo legame conl’elettromagnetismo moderno (elettrodinamica quantistica).Per dipanare l’intricata matassa occorre:1) considerare il campo e.m. un oggetto matematico;2) introdurre due descrizioni dei fenomeni e.m. in luogo dell’unica cui si fa abitualmenteriferimento, in modo da tenere separati i concetti di carica/campo dal sistema FVe.m.;3) in una descrizione, quella basata sui concetti di carica/campo, occorre riportare alla lucel’idea di azione a distanza (con velocita di propagazione finita) e rinunciare al Principio diazione e reazione;4) nell’altra descrizione, quella basata sul sistema FVe.m., occorre riportare alla luce ilconcetto di etere, che pero e da considerarsi un corpo fittizio avente lo scopo di modellizzareclassicamente alcune proprieta del vuoto e.m. quantistico.

62


Azione a distanza (ritardata) ed etere: due concetti di cui, dopo l’avvento della RelativitaSpeciale, si e cercato di liberarsi perche fisicamente non definibili in modo soddisfacen-te, ma dei quali l’elettromagnetismo maxwelliano, se si vuole mantenerlo comprensibile einternamente coerente, non puo fare a meno.E da sottolineare in particolare: • l’utilita del concetto di carica elettrica agente a distanzaperche ha permesso una drastica semplificazione dello studio dei fenomeni elettromagne-tici macroscopici che sarebbe praticamente impossibile affrontare basandosi sul fenomenoelementare che realmente avviene, cioe lo scambio di fotoni; • la rilevanza del concetto dietere, oggetto cui si deve ricorrere una volta che si e privato di fisicita il campo elettroma-gnetico e non si vuole mettere in gioco il complesso degli oggetti e dei concetti chiarificatoriintrodotti dall’elettrodinamica quantistica nello studio dei fenomeni e.m..

Per cio che riguarda il legame fra elettromagnetismo maxwelliano ed elettrodinamica quan-tistica, la descrizione dei fenomeni elettromagnetici basata sul sistema FVe.m.consente unpassaggio agevole, quanto meno a livello intuitivo, verso quest’ultima perche implica, comesi e detto, l’esistenza di un oggetto fisico mediatore delle forze elettromagnetiche che nonpuo essere il campo e.m. e che deve essere considerato il precursore classico del vuotoelettromagnetico, e fornisce le variabili dinamiche elettromagnetiche che, opportunamentequantizzate, permettono il passaggio all’ambiente quantistico.

* * *

Potra forse essere utile commentare ulteriormente i concetti di azione a distanza ed etere.

L’idea di azione “a distanza” non e diversa dall’idea di azione “per magia”: in elettroma-gnetismo maxwelliano una particella elettricamente carica esercita su un’altra particellaanch’essa elettricamente carica una forza la cui natura rimane imprecisabile perche non eassimilabile ad alcuna delle forze per contatto di cui abbiamo vasta esperienza. Dunque,se decidiamo di fare uso di questo concetto dobbiamo intendere che si tratta solo di unacomoda astrazione su cui si puo fondare un programma di calcolo che e in grado di fornirela forza che si esercita fra particelle cariche ma che non puo dare indicazioni sulla naturadella forza.

Invece all’etere corrisponde qualcosa di fisicamente esistente, anche se questo qualcosa none un corpo ordinario, ed e proprio questo che l’elettromagnetismo maxwelliano pone inevidenza, cioe il fatto che questo corpo, dotato di proprieta incomprensibili dal punto divista della Meccanica classica, deve costituire qualcosa di realmente esistente cui possonoessere associati energia e quantita di moto, anche se le modalita in cui la sua esistenza simanifesta sono difficilmente precisabili in ambito classico.

63


CONCLUSIONI

Riassumiamo brevemente la conclusioni che possono essere ricavate finora mettendole aconfronto con le posizioni che compaiono nei piu diffusi trattati di elettromagnetismo ma-xwelliano.Ecco quello che si assume usualmente:1) il Teorema di Poynting esprime una legge di conservazione dell’energia e.m.;2) il campo e.m. e un oggetto fisico, e quindi viene ritenuto dotato di variabili dinamichecome l’energia e la quantita di moto;3) il campo e.m. e originato dalla carica elettrica, che viene considerata un fluido continuo,approssimazione di una distribuzione di cariche discrete, gli elettroni.

Si fa inoltre uso di una unica descrizione dei fenomeni e.m., cioe quella basata sull’idea cheil campo e.m. sia un oggetto fisico generato dalla carica elettrica.Se tutte queste assunzioni vengono ritenute valide si incontrano difficolta a spiegare:

1) il significato del Teorema di Poynting;2) la ragione per cui l’espressione della forza di Lorentz per un regime statico/stazionarioe uguale all’espressione della forza di Lorentz per un regime dinamico.

Ecco quello che si assume in questo studio: il T. di P. non e una legge di conservazionedell’energia e.m. ma e una equazione generata dal confronto di due leggi di conservazioneequivalenti corrispondenti a due possibili descrizioni delle forze e.m., entrambe basatesull’assunzione che il campo e.m. non e un oggetto fisico ma e un oggetto matematicoe quindi e privo di energia e di quantita di moto.

In una descrizione, quella basata sui concetti di carica/campo, si afferma che i corpi sonosoggetti ad azione e.m. quando sono elettricamente carichi, e che le forze si esercitano adistanza fra le cariche di cui i corpi sono dotati.Questa descrizione vale sia in regime statico che in regime dinamico.In regime dinamico le equazioni di campo descrivono la modalita di propagazione dell’azio-ne a distanza. In particolare viene messo in evidenza il fatto che esiste una velocita finitadi propagazione, che l’esperienza mostra essere uguale a c (nel vuoto).In questa descrizione le forze e.m. non obbediscono al Principio di azione e reazione. Equindi evidentemente una descrizione incompleta, anche se in grado di fornire previsioni inaccordo con le risultanze sperimentali; e un buon programma di calcolo (effective theory)che si fonda sulle equazioni di Maxwell e sull’espressione della forza di Lorentz.

Nell’altra descrizione, quella basata sulla modellizzazione classica del sistema quantistico

fotoni/vuoto, si attribuisce a questo sistema alcune proprieta, indicate con we, Se, pe, T ,che in meccanica classica sono caratteristiche dei corpi elastici continui.Si tratta di un modello di comodo che non deve far credere all’esistenza del corpo elastico.Le forze e.m. che compaiono in questa descrizione obbediscono al Principio di azione ereazione.

64


Capitolo 2

A partire dal punto 16 (pag. 52) e stata proposta una presentazione dell’e.m. maxwellianoche potremmo definire logica, perche (andando a ritroso nel tempo storico) inquadra questadisciplina come una approssimazione, valida non in ogni circostanza, della piu generaleteoria dell’Elettrodinamica quantistica.In questo Capitolo 2 verra proposta un’altra presentazione dell’e.m. maxwelliano, una pre-sentazione che potremmo definire storica perche basata sullo sviluppo storico dei concettisu cui esso si fonda.Dunque inizieremo facendo riferimento alle leggi di Coulomb e di Ampere/Laplace.La presentazione seguira lo schema proposto nella Tab. 1 (pag. 57) nella quale e stataevidenziata la diversita fra la descrizione dei fenomeni e.m. basata sui concetti di cari-ca/campo e la descrizione basata sul sistema FVe.m..Per rendere chiara la diversita conviene riprendere in esame la fenomenologia elettroma-gnetica classica di base, cioe i fenomeni elettrostatici, quelli magnetostazionari, l’elettrodi-namica e infine la legge di conservazione dell’energia elettromagnetica.

65


2.1 Fenomeni elettrostatici

Per descrivere i fenomeni elettrostatici consideriamo due diversi modi.Uno e il modo di Coulomb: la forza che una particella puntiforme dotata di carica elettricaq(1), in quiete in un sistema di riferimento rispetto al quale ha posizione ξ, esercita adistanza nel vuoto su un’altra particella puntiforme dotata di carica elettrica q(2), anch’essain quiete e avente posizione R, e espressa dalla legge di Coulomb

FE = q(1)q(2) r

|r|3 ; r = R− ξ (133)

L’esperienza mostra che FE puo essere sia attrattiva che repulsiva e di questo fatto si tieneconto nella (133) assumendo che la carica elettrica possa essere sia positiva che negativae che r sia diretto da q(1) a q(2) percio la forza esercitata da q(1) su q(2) e attrattiva se ledue cariche hanno segno opposto e repulsiva se hanno ugual segno.

Passando a un caso piu generale, le cariche puntiformi q(k) collocate in ξ(k)

agiscono adistanza sulla carica puntiforme q collocata in R esercitando su di essa la forza:

FE = q∑

k

q(k) r(k)

r(k)3= −q

∑

k

q(k)∇R

(

1

r(k)

)

; r(k) = |R − ξ(k)| (134)

La (134) mostra che per le forze elettrostatiche vale il Principio di sovrapposizione deglieffetti: la forza totale agente su q si ottiene sommando vettorialmente le singole forze cheogni carica q(k) eserciterebbe su q in assenza delle altre.

L’altro modo e quello di Maxwell/Faraday: non ci sono cariche; le forze sono descritte

introducendo un campo tensoriale T E, grandezza in grado di riprodurre, in ambiente clas-sico, alcune delle azioni che in elettrodinamica quantistica vengono attribuite allo scambiodi fotoni in una distribuzione di materia elettronica (v. punto 15 (pag. 50)).

Cio posto, la forza agente sulla particella in R e, secondo Maxwell:

FE =

∫

σ

TE · ndσ (135)

dove TE , formalmente simile al tensore degli sforzi definito nella ordinaria meccanica deicorpi continui, descrive lo “stato di tensione” di un corpo fittizio, l’etere, che in elettroma-gnetismo classico viene considerato il mediatore della forza agente sulla particella e doveσ e una superficie che racchiude la particella.Notiamo che le (134) e (135) rappresentano non due forze distinte (e peraltro uguali inmodulo, direzione e verso) agenti entrambe sulla particella considerata, ma due diverse,e alternative, descrizioni di un’unica forza. Mettiamo in evidenza questo fatto servendocidell’identita seguente

−q∑

k

q(k)∇R

(

1

r(k)

)

≡∫

σ

TE · ndσ (136)

66


Dunque il segno di identita, in luogo di quello di uguaglianza, sta a indicare che la forzacoulombiana e la forza maxwelliana sono due interpretazioni diverse di una unica forza,quella che sperimentalmente si osserva agire sulla particella considerata, e non le espressionidi due forze (uguali in modulo, direzione e verso) entrambe agenti sulla particella.

Ora si tratta di determinare TE facendo uso della (136).

Premettiamo alcune considerazioni che esponiamo in forma di passi preliminari alla solu-zione del problema.

− Come primo passo definiamo la densita di carica elettrica

ρ =dq

dτ; [ρues] =

[caricaues]

[volume]= L−3/2M1/2T−1

e assumiamo che la distribuzione delle cariche cui fa riferimento la (134) sia descritta daρ = ρ(R).− Secondo passo: esprimiamo, in accordo con la (134), la forza di Coulomb che vieneesercitata a distanza dal resto della distribuzione sulla carica infinitesima dq = ρ(R)dτ

dFE(R) = −ρ(R)dτ

∫

ρ(ξ)∇R

(1

r

)

dτ ; r = |R − ξ| (137)

− Terzo passo: evidenziamo nella (137) la seguente quantita vettoriale nota come campoelettrico

E(R) = −∫

ρ(ξ)∇R

(1

r

)

dτ ; [Eues] = L−1/2M1/2T−1 (138)

Notiamo che E(R), essendo espresso dal prodotto dello scalare ρ, del vettore polare∇R

(

1r

)

e dello scalare dτ (che e il modulo di una quantita pseudoscalare, cioe dτ = |dξa ·dξb×dξc|),e un vettore polare, cioe cambia segno per una riflessione degli assi spaziali (v. sezione 5dell’Appendice A).

Nessun significato fisico viene attribuito alla posizione (138) che ci permette di scrivere la(137) nel modo seguente

fE = ρE (139)

avendo introdotto la densita volumica di forza fE = dFE/dτ .Dopo i tre passi di cui si e detto la (136) puo essere riscritta in questo modo (con riferimentoa un volumetto dτ circondato da una superficie dσ)

ρEdτ ≡ TE · ndσ

ovvero, per il Teorema di Gauss

ρE ≡ TE · ∇ (140)

Per risolvere questa equazione differenziale nell’incognita TE trasformiamo il suo membrosinistro in modo che ne risulti la divergenza di un tensore di secondo ordine.A questo fine osserviamo che applicando alla (138) gli operatori div = ∇· e rot = ∇× siottiene (v. eq. (A28))

∇R · E(R) = −∇R ·∫

ρ(ξ)∇R

(1

r

)

dτ = −∫

ρ(ξ)∇2R

(1

r

)

dτ = 4πρ(R)

67


∇R × E(R) = −∇R ×∫

ρ(ξ)∇R

(1

r

)

dτ = −∫

ρ(ξ)∇R ×∇R

(1

r

)

dτ = 0

dove si e tenuto conto della (A25), e quindi

∇ · E = 4πρ

∇× E = 0(141)

Ricavando ρ dalla prima delle (141) e inserendolo nella (140) si ottiene

1

4πE(∇ · E) ≡ TE · ∇

Tenendo presente la (A18) si ottiene

1

4π

(E E) · ∇ − (E∇) · E

≡ TE · ∇ (142)

Ma ricordando la (A15) e ponendo in essa a = E si puo scrivere E · (∇E) = 12∇(E · E)−

E × (∇× E) da cui tenendo conto della seconda delle (141) si ottiene

E · (∇E) =1

2∇(E ·E)

Sostituendo nella (142) (si noti che E · (∇E) = (E∇) · E) si ottiene

1

4π

(E E) · ∇ − 1

2∇(E · E)

≡ TE · ∇

Ma ∇(E · E) = (E · E)∇ = (E2)∇ = (E2δ) · ∇ (v. eq. (A16)) percio

1

4π

(

E E − 1

2δE2

)

· ∇ ≡ TE · ∇

e quindi

TE =1

4π

(

E E − 1

2δE2

)

(143)

Questa e una possibile espressione del tensore TE che ci eravamo proposti di determinare.E una espressione valida perche si puo constatare che, data una distribuzione di particel-le cariche, la forza coulombiana agente su una particella risulta essere uguale alla forzacalcolata con la (135).

Notiamo che TE e simmetrico e quindi TE · ∇ = ∇ · TE .

In definitiva la descrizione coulombiana ha prodotto l’espressione (139) della densita diforza elettrostatica

fE = ρE azione a distanza (144)

e possiamo percio, piu incisivamente, chiamarla descrizione basata sui concetti dicarica/campo, mentre la descrizione maxwelliana ha prodotto quest’altra espressione

fE = ∇ · TE azione mediata (145)

68


e possiamo percio chiamarla descrizione basata sul sistema FVe.m..Nella (144) il campo E e un oggetto matematico che viene introdotto per calcolare la forzaesercitata a distanza su ρdτ dal resto della distribuzione di carica. Conviene sottolinearlo:la forza esercitata dalla distribuzione su ρdτ e di tipo coulombiano, cioe a distanza, ma percalcolarla ci serviamo dell’oggetto matematico E definito in tutti i punti in cui ρdτ puotrovarsi.Il campo E e un oggetto di comodo che, una volta associato a una data distribuzione dicarica, rende facile e immediato il calcolo della forza elettrostatica agente a distanza su unapiccola carica di prova, quale che sia il punto in cui la si colloca. Un modo per raffigurarseloe pensare ad esso come a una distribuzione di linee di campo, ausilio geometrico cui talvoltasi fa ricorso per farsi un’idea rapida dell’andamento del campo fE.Alle linee di campo non corrisponde peraltro alcuna realta fisica. Corrisponde invece

qualcosa di fisico a T E, anche se il sistema FVe.m. e un oggetto che la Fisica classica riescea descrivere solo approssimativamente e parzialmente.

Il tensore TE e espresso in funzione di E che, nella descrizione dei fenomeni elettrostaticibasata sul sistema FVe.m., viene determinato risolvendo l’equazione

fE =1

4πE(∇ · E)

con il vincolo ∇× E = 0.

2.2 Legge di conservazione della carica elettrica

Consideriamo una distribuzione di carica elettrica avente densita funzione del punto e deltempo ed espressa percio da ρ = ρ (R, t).L’esperienza mostra che la carica contenuta in un qualsivoglia volume τ circondato da unasuperficie σ si conserva nel tempo, intendendo con cio che essa puo variare solo se vi ecarica che entra o esce attraverso σ. Risulta quindi

d

dt

∫

τ

ρ (R, t)dτ = 0 (146)

che e simile alla (C16) percio per analogia con la (C20) si puo scrivere:

∫

τ

∂ρ

∂tdτ +

∫

σ

ρU · ndσ = 0

ovvero, ponendo ı = ρU (e dunque ı e un vettore polare come lo e U = ∂R/∂t):

∫

τ

∂ρ

∂tdτ +

∫

σ

ı · ndσ = 0

e quindi∫

τ

∂ρ

∂tdτ = −

∫

σ

ı · ndσ (147)

69


La (147) mostra che se ρ diminuisce (aumenta) e perche vi e flusso uscente (entrante)attraverso σ. In altre parole la (147) ci dice che una carica non puo scomparire da unvolume qualsiasi se non uscendo attraverso la superficie che circonda il volume, oppurenon puo apparire se non entrando attraverso la superficie che circonda il volume.

* * *

Nella (147) ρ e ı si devono intendere espressi entrambi in uem o entrambi in ues. Poicheabbiamo convenuto di misurare ρ in unita elettrostatiche e ı in unita elettromagnetiche,riscriviamo la (147) ponendo (v. eq. (H8) dell’Appendice H)- ρues/c in luogo di ρuem se la (147) e espressa in uem- cıuem in luogo di ıues se la (147) e espressa in uese omettendo, per semplicita, di indicare le unita di misura (sulle quali, in forza dellaconvenzione adottata, non possono sorgere dubbi) cosicche si ottiene infine:

1

c

∫

τ

∂ρ

∂tdτ +

∫

σ

ı · ndσ = 0

Questa, tenendo presente il teorema di Gauss (v. eq. (A28)), puo anche essere scritta cosı:

1

c

∫

τ

∂ρ

∂tdτ +

∫

τ

∇ · ı dτ = 0

ovvero∫

τ

(

1

c

∂ρ

∂t+∇ · ı

)

dτ = 0

Essendo τ arbitrario dovra essere

∇ · ı = −1

c

∂ρ

∂t(148)

che rappresenta il Principio di conservazione della carica elettrica in forma puntuale. Essaesprime il fatto che le sorgenti o i pozzi del campo vettoriale ı si trovano nei punti in cuisi ha variazione temporale di carica.Se ∂ρ/∂t = 0 si ha

∇ · ı = 0 (149)

che e la condizione di stazionarieta della corrente.

2.3 Fenomeni magnetostazionari

Assumendo che siano note le proprieta elettriche fondamentali che l’elettromagnetismomaxwelliano attribuisce ai conduttori (nei quali le cariche fisse vengono assunte negativee quelle mobili positive) ci interesseremo alle interazioni che si osservano esistere fra loroquando sono percorsi da corrente stazionaria.Per descriverle consideriamo due diversi modi.Uno e il modo di Ampere/Laplace: un circuito conduttore filiforme, chiuso, rigido, percorso

da corrente di conduzione stazionaria avente intensita I(1) e in quiete in un sistema diriferimento rispetto al quale vengono misurate le posizioni dei suoi punti esercita nel vuoto

70


su un circuito simile, anch’esso in quiete e percorso da corrente stazionaria I(2), una forzaespressa da

FM = I(1)I(2)

∮

1

∮

2

d`(2) ×

(

d`(1) × r

|r|3)

(150)

dove r = R− ξ e il vettore posizione dell’elemento di circuito d`(2)

rispetto all’elemento di

circuito d`(1)

, mentre i versi di scorrimento delle correnti sono quelli di d`(1)

e d`(2)

.La forza e attrattiva o repulsiva a seconda dell’orientamento relativo dei due circuiti, e, perun dato orientamento, a seconda del verso di scorrimento delle due correnti. Ad esempio,due conduttori filiformi rettilinei paralleli si attirano se sono percorsi da correnti aventiversi di scorrimento uguali e si respingono se i versi sono opposti; due conduttori filiformicircolari e giacenti su piani paralleli si attirano se sono percorsi da correnti aventi ugualiversi di scorrimento e si respingono se i versi sono opposti.La (150) e l’espressione della “Legge di Laplace” detta anche “Legge di Ampere”.Passando a considerare un caso piu generale, i circuiti filiformi percorsi dalle correntistazionarie I(k) agiscono a distanza sul circuito filiforme percorso dalla corrente stazionariaI esercitando su di esso la forza:

FM = −I∮

d`×∑

k

I(k)

∮

k

d`(k) ×∇R

(

1

r(k)

)

(151)

La (151) mostra che per le forze magnetostazionarie vale il Principio di sovrapposizionedegli effetti.

L’altro modo e quello di Maxwell/Faraday: non ci sono correnti; i generatori che nelladescrizione precedente facevano circolare correnti stazionarie ora pongono lo spazio circo-stante in uno stato di tensione, classicamente attribuito all’etere, in grado di dare origine

a forze ponderomotrici esprimibili come flusso di un tensore, il tensore magnetico TM :

FM =

∫

σ

TM · ndσ (152)

Si procede come nel caso delle forze elettrostatiche.Si considerano le equazioni (151) e (152) legate da una relazione di identita

−I∮

d`×∑

k

I(k)

∮

k

d`(k) ×∇R

(

1

r(k)

)

≡∫

σ

TM · ndσ (153)

e si cerca, sulla base di questa, di determinare TM .A questo fine si considera dapprima una distribuzione continua di conduttori filiformipercorsi da corrente stazionaria dI(ξ) e si esprime la forza di Ampere/Laplace che il restodella distribuzione esercita a distanza sull’elemento dI(R)d`R:

dFM = −dI(R)d`R ×∫

σ

dI(ξ)

∮

d`ξ ×∇R

(1

r

)

; r = |R − ξ|

Ora osserviamo che, per definizione, l’intensita della corrente che passa attraverso unasuperficie σ trasportando carica elettrica avente densita ρ e espressa da

I =

∫

σ

ρuemU · ndσ

71


dove U e la velocita del trasporto e n e la normale a dσ.Ponendo ı = ρuemU segue

I =

∫

σ

ı · ndσ ; [ıuem] =[intensita di correnteuem]

[superficie]= L−3/2M1/2T−1

e quindidI = ı · ndσ

Moltiplichiamo per d`, elemento infinitesimo di linea di corrente:

dId` = (ı · n)d`dσ

Ma (v. eq. (98))n× (d`× ı) = d`(n · ı)− (d` · n)ı

e d` e parallelo a ı percio n× (d`× ı) = 0 e dunque

d`(n · ı) = (d` · n)ı

cosicchedId` = ı(d` · n)dσ = ıdτ

e quindi

dFM = −ı(R)dτ ×∫

ı(ξ)×∇R

(1

r

)

dτ

Infine si evidenzia la seguente quantita vettoriale nota come campo magnetico

B(R) = −∫

ı(ξ)×∇R

(1

r

)

dτ ; r = |R − ξ| ; [Buem] = L−1/2M1/2T−1 (154)

Notiamo che B(R), essendo espresso dal prodotto vettoriale di due vettori polari, cioe ı e

∇R

(

1r

)

a loro volta moltiplicati per lo scalare dτ , e un vettore assiale, cioe non cambia

segno per una riflessione degli assi spaziali (v. sezione 5 dell’Appendice A).

Nessun significato fisico viene attribuito alla posizione (154).L’identita (153) viene cosı ad essere espressa da

ı(R)×B(R) ≡ TM · ∇ (155)

che e la corrispondente della (140).Il problema che ci poniamo e trasformare il membro sinistro della (155) in modo che diventiesprimibile in termini di quello destro. A questo fine osserviamo che dalla (154), tenendoconto della (A13), si ricava

∇R ·B = −∇R ·∫

ı(ξ)×∇R

(1

r

)

dτ

= −∫

∇R ·(

ı(ξ)×∇R

(1

r

))

dτ

= −∫

∇R

(1

r

)

· ∇R × ı(ξ)− ı(ξ) · ∇R ×∇R

(1

r

)

dτ

72


Il primo termine dell’integrando e nullo perche in esso compare la derivata di ı(ξ) rispettoa R, mentre il secondo e nullo per la (A25) percio

∇R ·B = 0

Ancora dalla (154), tenendo conto della (A19), si ottiene

∇R ×B = −∇R ×∫

ı(ξ)×∇R

(1

r

)

dτ

= −∫

∇R ×(

ı(ξ)×∇R

(1

r

)

)

dτ

= −∫

τ

∇R

(1

r

)

·[

∇Rı(ξ)]

−∇R

(1

r

)[

∇R · ı(ξ)]

+

− ı(ξ) ·[

∇R∇R

(1

r

)]

+ ı(ξ)[

∇R · ∇R

(1

r

)]

dτ

Il primo e il secondo termine dell’integrando sono nulli perche in essi compare la derivatadi ı(ξ) rispetto a R, percio

∇R ×B =

∫

τ

[

∇R∇R

(1

r

)]

· ı(ξ)dτ −∫

τ

ı(ξ)∇2R

1

rdτ

ovvero, per la (A28)

∇R ×B =

∫

τ

[

∇R∇R

(1

r

)]

· ı(ξ)dτ + 4π

∫

τ

ı(ξ)δ(|R − ξ|)dτ

e quindi

∇R ×B = 4πı(R) +

∫

τ

ı(ξ) ·[

∇R∇R

(1

r

)]

dτ (156)

La (156), ricordando che ∇R∇R

(

1r

)

= −∇ξ∇R

(

1r

)

, si puo scrivere cosı:

∇R ×B = 4πı(R)−∫

τ

ı(ξ) ·[

∇ξ∇R

(1

r

)]

dτ

Ricordando la (A17) si puo scrivere:

∇R ×B = 4πı(R)−∫

τ

∇ξ ·[

ı(ξ)∇R

(1

r

)]

dτ +

∫

τ

[

∇ξ · ı(ξ)]

∇R

(1

r

)

dτ


∇R ×B = 4πı(R)−∫

σ

n ·[

ı(ξ)∇R

(1

r

)]

dσ +

∫

τ

[

∇ξ · ı(ξ)]

∇R

(1

r

)

dτ

Se si sceglie σ in modo che su di essa sia ı(ξ) = 0 segue

∇R ×B = 4πı(R) +

∫

τ

[

∇ξ · ı(ξ)]

∇R

(1

r

)

dτ (157)

73


In quest’ultimo integrale si deve porre, per l’ipotesi della stazionarieta della corrente(v. eq. (149)):

∇ξ · ı(ξ) = 0 (158)

percio rimane

∇R ×B = 4πı(R) (159)

In definitiva si ha

∇ ·B = 0

∇×B = 4πı(160)

Ora ricaviamo ı dalla seconda delle (160) e lo introduciamo nella (155):

1

4π(∇×B)×B ≡ T M · ∇

Ma ricordando la (A15) e ponendo in essa a = B si ottiene ∇(B ·B) = −2(∇×B)×B +2B · (∇B) e quindi

1

4π

B · (∇B)− 1

2∇(B ·B)

≡ TM · ∇

Tenendo conto della (A18) (si noti che B · (∇B) = (B∇) ·B) e della (A16) si ottiene poi

1

4π

(B B) · ∇ −B(∇ ·B)− 1

2(δB2) · ∇

≡ TM · ∇

Tenendo presente la prima delle (160) si ha

1

4π

(

B B − 1

2δB2

)

· ∇ ≡ TM · ∇

e quindi

TM =1

4π

(

B B − 1

2δB2

)

(161)

Questa e l’espressione del tensore TM che ci eravamo proposti di determinare. Notiamo

che TM e simmetrico e percio TM · ∇ = ∇ · TM .

In definitiva:

• Descrizione basata sui concetti di carica/campo

fM = ı×B azione a distanza (162)

Il campo B, non diversamente dal campo E, e un oggetto matematico cui non corrispondealcunche di fisico.

• Descrizione basata sul sistema FVe.m.

Poiche TM e simmetrico si puo scrivere

fM = ∇ · TM azione mediata

74


Il tensore TM e funzione di B che, in questa descrizione, puo essere determinato risolvendol’equazione

fM =1

4π(∇×B)×B

con il vincolo ∇ ·B = 0.

* * *

Volendo riassumere quello che abbiamo finora esposto in questo Capitolo 2 possiamo direche abbiamo presentato una trattazione dei fenomeni elettrostatici e magnetostazionariricorrendo a due descrizioni, quella basata sui concetti di carica/campo e quella basata sulsistema FVe.m..In entrambe il campo (elettrico o magnetico) viene considerato un oggetto matematicoausiliario.L’introduzione di queste due descrizioni e il fatto che il campo non venga considerato unarealta fisica non sembrano essere, per ora, modifiche necessarie o vantaggiose dell’unicadescrizione considerata nelle presentazioni usuali dell’elettromagnetismo maxwelliano nellequali il campo e.m. e considerato un oggetto fisico, e tuttavia vedremo che la preparazionedi questo duplice scenario statico/stazionario spianera la via a una trattazione dei feno-meni dinamici basata sulla medesima duplice descrizione e questo risultera costituire unvantaggio sostanziale perche e proprio da questa nuova trattazione che scaturira la rispostaalla domanda: quale e il significato del Teorema di Poynting?

75


2.4 Elettrodinamica

• Descrizione basata sui concetti di carica/campoDalle equazioni (141) e (160) valide in regime statico-stazionario

∇ · E = 4πρ

∇× E = 0

∇ ·B = 0

∇×B = 4πı

E = E(R) ; B = B(R)

ρ = ρ(R) ; ı = ı(R), (163)

tenendo conto del fenomeno dell’induzione magnetica e della legge di conservazione dellacarica si passa, nel modo che fra poco mostreremo, alle equazioni di Maxwell valide inregime dinamico

∇ · E = 4πρ

∇× E = −1

c

∂B

∂t

∇ ·B = 0

∇×B = 4πı +1

c

∂E

∂t

E = E (R, t) ; B = B (R, t)

ρ = ρ (R, t) ; ı = ı (R, t)(164)

Notiamo, per inciso, come nelle (164) le proprieta trasformazionali di E (vettore polare)e B (vettore assiale) si combinano per mantenere invariata la forma delle equazioni peruna riflessione spaziale (v. sezione 5 dell’Appendice A). Nella prima equazione abbiamo amembro sinistro il prodotto scalare di due vettori polari in accordo con lo scalare a membrodestro; nella seconda abbiamo a membro sinistro il prodotto vettoriale di due vettori polariin accordo col vettore assiale a membro destro; nella quarta equazione abbiamo il prodottovettoriale di un vettore polare per un vettore assiale in accordo coi vettori polari a membrodestro.

Affianchiamo al sistema di equazioni dell’elettrodinamica maxwelliana l’espressione delladensita di forza di Lorentz:

fL = ρE + ı×B (165)

mentre la forza di Lorentz agente su una piccola carica q e espressa da (v. eq. (H8) del-l’Appendice H)

FL = quesE + quemU ×B = quesE +ques

cU ×B = ques(E +

Uc×B)

Notiamo che nel passaggio dalle (163) alle (164) le equazioni ∇ · E = 4πρ e ∇ · B = 0rimangono invariate. Cio e dovuto al fatto che sia in regime statico che dinamico lesorgenti/pozzi del campo E sono sempre e solo le cariche elettriche, mentre il campo Bnon ha mai ne sorgenti ne pozzi.Mutano invece le equazioni ∇×E = 0 e ∇×B = 4πı perche in regime dinamico il campoelettrico acquisisce vortici (che in regime statico non aveva) nei punti in cui B varia nel

76


tempo, mentre il campo magnetico, che gia possedeva vortici in regime stazionario neipunti in cui ı e diversa da zero, ne acquisisce altri nei punti in cui E varia nel tempo.

Vediamo in dettaglio come si ottiene la estensione al regime dinamico della ∇× E = 0.E dato un campo B (R, t). Consideriamo una linea chiusa ` che abbracci linee del campo.Il flusso di B attraverso una superficie σ avente contorno ` e espresso da:

Φ =

∫

σ

B · ndσ

dove, fissato un verso di percorrenza su `, il verso di n viene fissato dalla regola del cavatap-pi. A quale superficie, fra tutte quelle che possiamo immaginare appoggiate al contorno`, ci stiamo riferendo? A qualunque (purche si appoggi al contorno `) perche, in virtudell’equazione ∇ ·B = 0, il flusso di B attraverso σ e conservativo.L’esperienza mostra che ogni volta che Φ varia nel tempo viene generata una forza elet-tromotrice ε misurabile alle estremita di un conduttore che abbracci le linee del campomagnetico B. Se il conduttore e disposto lungo il contorno ` si ha

ε = −dΦ

dt= − d

dt

∫

σ

B · ndσ

Questa relazione esprime la Legge dell’induzione magnetica. Il verso della f.e.m. dipendedal senso della variazione di Φ ed e regolato dalla Legge di Lenz: la f.e.m. indotta ha versotale che la corrente generata produce un campo magnetico che si oppone alla variazione diflusso che ha originato la f.e.m..Calcoliamo la derivata a membro destro. Dall’Appendice C (v. eq. (C35)) ricaviamo:

ε = −∫

σ

∂B

∂t+ U (∇ ·B) +∇× (B × U)

· ndσ

dove U e la velocita dell’elemento di superficie dσ che si trova in R nell’istante t e n elegato al verso di percorrenza di ` dalla regola del cavatappi. Poiche e sempre ∇ · B = 0segue

ε = −∫

σ

∂B

∂t+∇× (B × U)

· ndσ

Ora consideriamo la ε. Essa e nota col nome “forza elettromotrice”, ma e una denominazio-ne impropria perche ε ha le dimensioni di un potenziale elettromagnetico scalare espressoin uem, cioe [ε] = [ϕuem] (v. Appendice H).Maxwell si rese conto del fatto che la ε deve esistere come circuitazione di un campo elettricoE caratterizzato da linee di forza chiuse su se stesse sia internamente che esternamenteal conduttore (perche la componente tangenziale di E, passando dall’interno all’esterno,non subisce discontinuita) e quindi deve esistere indipendentemente dalla presenza delconduttore che ha il solo scopo di rendere praticamente possibile l’operazione di misuradella ε, e percio si puo scrivere:

ε ≡ ϕuem =

∮

Euem · d` = c

∮

Eues · d` = −∫

σ

∂B

∂t+∇× (B × U)

· ndσ (166)

77


dove d` e un elemento del contorno ` della superficie σ e dove si e tenuto conto dell’eq. (H11)dell’Appendice H.Ora supponiamo che la superficie sia ferma nel sistema di coordinate al quale e riferita. Siha allora U = 0 e quindi omettendo, come di consueto, di indicare che E e espresso in ues,si ottiene

c

∮

E · d` = −∫

σ

∂B

∂t· ndσ

Ricordando la (A31) possiamo scrivere

∫

σ

∇× E +1

c

∂B

∂t

· ndσ = 0

da cui la seconda delle (164).

Ora supponiamo che la superficie si stia muovendo nel sistema di riferimento S al quale eriferita. Occorre allora riscrivere la (166) in questo modo

c

∮

E′ · d` = −

∫

σ

∂B

∂t+∇× (B ×U )

· ndσ

dove E′

e il campo elettrico cosı come lo misura un osservatore S ′ solidale con la superficiein movimento.(Notiamo, per inciso, che un osservatore e, per definizione, chi si serve di un sistema dicoordinate e di una distribuzione di orologi per individuare punti dello spazio e istanti ditempo.)Ma si puo scrivere:

c

∮

E′ · d` = −

∫

σ

∂B

∂t· ndσ +

∫

σ

∇× (U ×B) · ndσ

= −∫

σ

∂B

∂t· ndσ +

∮

U ×B · d`

da cui

c

∮

(E′ − U

c×B) · d` = −

∫

σ

∂B

∂t· ndσ

Ora osserviamo che l’integrando dell’integrale a membro sinistro vale, per velocita U piccolerispetto a c, il campo elettrico E misurato da S. Infatti una carica q in movimento con

velocita U rispetto a S e soggetta alla forza q(E + U

c ×B) misurata da S e alla forza qE′

misurata da S ′ solidale con la carica. Essendo

qE′

= q(E +Uc×B)

segue

E′ − U

c×B = E

78


percio

c

∮

E · d` = −∫

σ

∂B

∂t· ndσ

da cui la seconda delle (164).

Infine, per completare i commenti sulla (166), consideriamo il caso in cui B non dipendedal tempo, cosicche

c

∮

E · d` = −∫

σ

∇× (B × U) · ndσ

da cui (v. eq. (A31))

ε =

∮

U ×B · d`

Questa equazione descrive il fenomeno per cui in un circuito conduttore, ciascun tratto d`del quale si muove con velocita U in un campo magnetico B costante nel tempo, si generauna forza elettromotrice ε.

Per cio che riguarda l’estensione al regime dinamico dell’equazione ∇×B = 4πı, il modoseguito da Maxwell per ottenerla merita una particolare attenzione.Ricordiamo che, per qualsiasi vettore a esiste il vincolo ∇·∇×a = 0 (v. eq. (A26)), percionel caso di B si ha

∇ · ∇×B = 4π∇ · ı = 0

Questa condizione e certamente verificata in regime stazionario, ma non lo e in regimedinamico perche, come sappiamo dalla (148), in tali condizioni non e ∇ · ı = 0 ma e∇· ı = − 1

c∂ρ∂t 6= 0. Per uscire da questa contraddizione sembrerebbe non vi sia altro da fare

se non ridefinire B modificando il suo legame con la corrente, cioe modificando la (154).Tuttavia Maxwell osservo che una possibile soluzione del problema sta nel modificare ∇ · ıinvece che B: la modifica consiste nell’aggiungere a ı una quantita ı′ tale che in regimedinamico risulti

∇ · (ı + ı′) = 0 (167)

cosicche l’equazione nel rotore di B diviene

∇×B = 4π(ı + ı′)

Si tratta ora di ricavare ı′. A questo fine osserviamo che dalla (167) si ricava:

∇ · ı = −∇ · ı′

e dalla equazione di conservazione della carica

∇ · ı = −1

c

∂ρ

∂t

cosicche si puo scrivere

∇ · ı′ =1

c

∂ρ

∂t(168)

79


Per risolvere questa equazione differenziale nell’incognita ı′ trasformiamo il membro destroin modo che ne risulti la divergenza di un vettore. Se ricordiamo la ∇ · E = 4πρ, si puoscrivere:

∇ · ı′ =1

4πc

∂

∂t∇ · E

ovvero

∇ · ı′ = ∇ ·(

1

4πc

∂E

∂t

)

da cui

ı′ =1

4πc

∂E

∂t

Questa e la soluzione della (168). L’equazione nel rotore di B diviene quindi

∇×B = 4πı +1

c

∂E

∂t

Osserviamo che in regime stazionario essa si riduce alla ∇×B = 4πı e inoltre

∇ · ∇ ×B = 4π∇ · ı +1

c

∂

∂t∇ · E

da cui (v. eq. (148))

∇ ·∇ ×B = 4π(

∇ · ı +1

c

∂ρ

∂t

)

= 0

come deve essere (v. eq. (A26)).

Riprendiamo le considerazioni sulle equazioni di Maxwell.

La validita della assunzione (167) deve ovviamente essere sottoposta a verifica sperimentale.Vediamo come.Nel vuoto privo di cariche (ρ = 0) e di correnti (ı = 0) si ha

∇× E = −1

c

∂B

∂t; ∇×B =

1

c

∂E

∂t

da cui

∇×∇×E = −1

c

∂∇×B

∂t= −1

c

∂

∂t

1

c

∂E

∂t= − 1

c2

∂2E

∂t2

Ma (v. eq. (A24)) si ha ∇×∇× E = ∇(∇ · E)−∇2E percio

∇(∇ · E)−∇2E = − 1

c2

∂2E

∂t2

e poiche ci siamo messi in condizioni in cui e ∇ · E = 0 segue

∇2E =1

c2

∂2E

∂t2

80


e analogamente si trova

∇2B =1

c2

∂2B

∂t2

Queste due equazioni descrivono la propagazione di E e B nello spazio con velocita c.Dunque l’assunzione della validita della (167) combinata con l’equazione di conservazionedella carica elettrica ha una conseguenza sperimentalmente verificabile, cioe la propagazio-ne nello spazio delle azioni elettromagnetiche con velocita c (nel vuoto).Ebbene questo fenomeno fu osservato per la prima volta da H. Hertz nel 1887 e rappresentauna conferma della validita delle assunzioni che stanno alla base della teoria maxwelliana.Non ci addentreremo ulteriormente nell’analisi dei fenomeni connessi con la propagazionedelle onde e.m.: ci limitiamo ad osservare che, nella descrizione in cui ci troviamo, nulla difisico si propaga nello spazio; si propagano solo gli oggetti matematici E e B.

Consideriamo l’espressione della densita della forza di Lorentz:

fL = ρE + ı×B (169)

L’insieme delle (164) e (169) permette, note ρ = ρ (R, t) e ı = ı (R, t), di determinare fL.Notiamo che la densita della forza di Lorentz e la somma della densita della forza elettricafE e della densita della forza magnetica fM definite rispettivamente in regime statico estazionario (v. eq. (144) e (162)).Dunque nel passaggio dal regime statico/stazionario al regime dinamico mutano le equa-zioni dei campi, che ora dipendono anche dal tempo, ma l’espressione della densita dellaforza di Lorentz rimane invariata in forma. In particolare non emergono in essa terminiinterpretabili come variazioni temporali di quantita di moto elettromagnetica.Sembra quindi lecito affermare che i campi E,B trasportano non energia e quantita dimoto ma solo se stessi, e questo fatto ci obbliga a concludere che, nell’ambito della de-scrizione basata sui concetti di carica/campo in cui ci ora troviamo, il Principio di azionee reazione non e applicabile all’Elettrodinamica. Infatti l’azione di ogni carica su ognialtra, e la conseguente reazione, sono ritardate dal fatto che la velocita di propagazionedei campi E e B e finita, cosicche l’uguaglianza istantanea di azione e reazione risultaessere impossibile. Tuttavia, se si studia un fenomeno elettromagnetico servendosi delladescrizione basata sui concetti di carica/campo, si ottengono risultati in buon accordo conle risultanze sperimentali cosicche l’Elettrodinamica classica, nella descrizione in cui ora citroviamo, deve essere considerata un programma di calcolo, ovvero, in accordo con quantosi e detto nella Introduzione, una effective theory.

Cio posto, consideriamo una distribuzione continua di materia caratterizzata da caricaavente densita ρ e massa avente densita ρm e nella quale si stia propagando una pertur-bazione meccanica. L’equazione della meccanica newtoniana per questo corpo continuoe

ρmdUdt

= ρE + ı×B +∇ · σ (170)

dove σ e il tensore degli ordinari sforzi meccanici.


Non ci sono ne cariche ne correnti elettriche.

81


Compaiono invece la densita di quantita di moto e.m. pe e il tensore degli sforzi e.m. T(v. eq. (126)). Queste due quantita vengono introdotte per analogia con le corrispondentiriferite a un ordinario corpo elastico continuo. Cio non significa che il sistema FVe.m. eun corpo elastico continuo ma che, descrivendolo come se fosse lecito attribuirgli alcunecaratteristiche meccaniche tipiche di questo, si ottiene un insieme di relazioni congruenti ein grado di produrre previsioni verificabili sperimentalmente.L’equazione della meccanica newtoniana per un corpo continuo in presenza del sistemaFVe.m. e (v. eq. (125))

∂pe

∂t+ ρm

dUdt

= −∇ · σ +∇ · T (171)

Dal confronto della (170) con la (171) segue

ρE + ı×B ≡ ∇ · T − ∂pe

∂t(172)

Notiamo il segno di identita: esso serve ad indicare che i due membri corrispondono a dueinterpretazioni diverse di un’unica forza, quella che sperimentalmente si osserva agire sulladistribuzione di materia carica in movimento, e non alla espressione di due forze (uguali inmodulo, direzione e verso) entrambe agenti sulla distribuzione.

Per determinare T e pe si procede in modo simile a quello che ci ha permesso di ottenerela (126).Poiche ora stiamo considerando materia in cui la polarizzazione e la magnetizzazione sonotrascurabili, si ha:

T = TE + TM =1

4π

(

E E + B B − 1

2δ(E2 + B2)

)

; pe =E ×B

4πc(173)

[T ] =forza

superficie=

energia

volume; [pe] =

momento

volume(174)

Poiche si usa presentare le componenti di un tensore di secondo ordine disponendole comegli elementi di una matrice quadrata, si ha:

T =1

4π

E21 + B2

1 −E2 + B2

2E1E2 + B1B2 E1E3 + B1B3

E2E1 + B2B1 E22 + B2

2 −E2 + B2

2E2E3 + B2B3

E3E1 + B3B1 E3E2 + B3B2 E23 + B2

3 −E2 + B2

2

(175)

Abbiamo cosı ottenuto le quantita T e pe che ci eravamo proposti di determinare.

Notiamo che T = TE + TM , cioe il tensore degli sforzi risulta essere uguale alla somma

del tensore elettrico TE e del tensore magnetico TM che rimangono invariati in forma nelpassaggio dal regime statico/stazionario al regime dinamico.La particella dotata di massa ρmdτ subisce la forza

fEM = ∇ · T − ∂pe

∂t(176)

82


alternativa alla forza di Lorentz espressa dalla (169).Notiamo che questa fEM , a differenza della (169), muta di forma nel passare dal regi-me dinamico a quello statico/stazionario in accordo col fatto che il sistema FVe.m. puotrasportare quantita di moto.La (172) diviene

fL ≡ fEM (177)

Il tensore T e il vettore pe sono funzioni di E e B che in questa descrizione possono esseredeterminati risolvendo l’equazione seguente

fEM =1

4π

E(∇ · E) + (∇×B)×B − 1

c

∂E

∂t×B

(178)

con i vincoli ∇ ·B = 0 e ∇× E + 1c

∂B∂t

= 0.

83


2.5 Energia elettromagnetica

2.5.1 Regime elettrostatico

Una particella puntiforme 1 dotata di carica q(1) e ferma nella posizione R(1). Una parti-

cella puntiforme 2 dotata di carica q(2) e collocata nella posizione R.Supponiamo che la particella 2, per effetto della forza coulombiana esercitata da 1 o di altreforze, si sposti di una quantita dR molto lentamente in modo da non fare entrare in giocoaltre forze elettromagnetiche oltre a quella elettrostatica e che durante lo spostamento ilsistema costituito dalle due particelle rimanga in equilibrio.In queste ipotesi il lavoro infinitesimo compiuto sulla particella 2 a seguito dello sposta-mento dR di questa e uguale a quello della forza coulombiana (v. eq. (133)) cambiata disegno:

dWQ = −FE · dR = −q(1)q(2) R−R(1)

|R −R(1)|3· dR (179)

Questa e la variazione che l’energia del sistema delle due particelle cariche subisce passando

dalla configurazione in cui le particelle sono a distanza |R − R(1)| alla configurazione in

cui le particelle sono a distanza |R+ dR−R(1)|.

Ad esempio, se le due cariche hanno ugual segno e se dR ha una componente avente

direzione e verso uguali a quelli di R−R(1)(cioe se la particella 2 si allontana dalla 1 per

effetto della forza coulombiana di repulsione), allora l’energia diminuisce (dWQ < 0). Se

invece dR ha una componente avente direzione uguale e verso opposto a R − R(1)(cioe

se la particella 2 si avvicina alla 1 per effetto di forze in grado di contrastare la forzacoulombiana di repulsione), allora l’energia aumenta (dWQ > 0).

Piu in generale si dice che l’energia elettrostatica del sistema delle due particelle nella

configurazione C in cui q(1) e in R(1)e q(2) e in R(2)

e variata di WQ rispetto all’energiache le due particelle avevano in una arbitraria ma prefissata configurazione iniziale C0 sevale WQ il lavoro compiuto dalla forza coulombiana o da altre forze per far passare ilsistema da C0 a C molto lentamente e in condizioni di equilibrio.Sembrerebbe che questa definizione sia incompleta, perche non viene descritto come il si-stema passa da C0 a C, cioe non viene indicata la successione delle configurazioni intermedieattraverso le quali il sistema passa per andare da C0 a C, ma, come fra poco mostreremo,questa precisazione non e necessaria.Si usa assumere una configurazione C0 in cui la posizione di una particella, ad esempio la 1,e uguale alla posizione che la 1 ha nella configurazione C e la posizioneR dell’altra particellae infinitamente lontana dalla 1, cioe R → ∞, e si assume anche che nella configurazioneC0 cosı definita il valore WQ sia nullo.Una volta fissati questi riferimenti e queste assunzioni si usa dire, piu brevemente, che

l’energia del sistema delle due particelle, una dotata di carica q(1) e posizione R(1)e l’altra

dotata di carica q(2) e posizione R(2), ha il valore WQ(C) che ora calcoleremo e che, quin-

di, si deve intendere definito come variazione dell’energia del sistema rispetto all’energiaWQ(C0) di quella prefissata configurazione di riferimento che e stata indicata con C0.

84


Per calcolare WQ(C) occorre integrare la (179) da +∞ a R(2). Ma la (179) puo essere

scritta cosı (v. eq. (A27) dell’Appendice A):

dWQ = q(1)q(2)∇R

1

|R −R(1)|· dR

e, come e noto, l’integrale del gradiente di una funzione calcolato lungo una linea congiun-gente due punti e conservativo, cioe rimane invariato quale che sia la linea congiungente i

due punti cosicche l’integrale di linea da +∞ a R(2)dipende solo da C0 e C (e per questo

che non occorre specificare le configurazioni intermedie attraverso le quali il sistema passaper andare da C0 a C) e quindi e possibile e conveniente sceglierne una che semplifichi i

calcoli, come la retta passante per R(2)e contenente il vettore FE :

C∫

C0

dWQ = WQ(C)−WQ(C0) = WQ(C) = −R

(2)∫

∞

FE ·dR = q(1)q(2)

∞∫

R(2)

R−R(1)

|R −R(1)|3·d(R−R(1)

)

Poniamo R −R(1)= X, vettore posizione di un punto corrente da q(1) a +∞ sulla linea

(retta) di integrazione (v. fig.); poniamo anche r = |R(2) − R(1)| e osserviamo che per

R = R(2)si ha X = r e che X ·dX = XdX cosicche omettendo, per semplicita, di indicare

che WQ e riferita alla configurazione C si puo scrivere

WQ = q(1)q(2)

∫

∞

r

dX

X2= q(1)q(2)

[

− 1

X

]∞

r

e in definitiva

WQ =q(1)q(2)

r; r = |R(2) −R(1)| (180)

Questa e l’espressione coulombiana dell’energia elettrostatica del sistema costituito dalle

particelle elettricamente cariche 1 e 2 collocate rispettivamente nelle posizioni R(1)e R(2)

.

85


Notiamo che WQ e positiva (il che significa che l’energia e.s. del sistema e aumentata di WQ

rispetto all’energia della configurazione di riferimento) se le due cariche hanno ugual segno(le forze esterne hanno lavorato contro la forza coulombiana di repulsione) ed e negativa(il che significa che l’energia e.s. del sistema e diminuita di WQ rispetto all’energia dellaconfigurazione di riferimento) se hanno segno opposto (il lavoro e stato compiuto dallaforza coulombiana di attrazione).

Nel caso di un sistema costituito da 3 particelle, poiche vale il Principio di sovrapposizionedegli effetti (v. par. 2.1), si ha:

WQ =q(1)q(2)

r12+

q(1)q(3)

r13+

q(2)q(3)

r23

essendo rkl = |R(k) −R(l)|.Notiamo che WQ rimane invariata se si scambiano fra loro gli indici all’interno di ciascuntermine percio e lecito scrivere

WQ =1

2

(

q(1)q(2)

r12+

q(1)q(3)

r13+

q(2)q(3)

r23+

q(2)q(1)

r21+

q(3)q(1)

r31+

q(3)q(2)

r32

)

e diviene cosı possibile introdurre il simbolo di sommatoria:

WQ =1

2

∑

k,l=1,2,3

q(k)q(l)

rkl; k 6= l

L’estensione a un numero qualunque di particelle non richiede modifiche:

WQ =1

2

∑

k,l

q(k)q(l)

rkl; k, l = 1, 2, 3, . . . ; k 6= l (181)

* * *

• Descrizione basata sui concetti di carica/campoL’energia elettrostatica puo essere espressa anche in funzione dei concetti di carica/campo.Consideriamo a questo fine una distribuzione di cariche elettriche in equilibrio staticosotto l’azione di una opportuna distribuzione di forze esterne e trasformiamo il contestodi studio fisico-matematico coulombiano in quello maxwelliano introducendo la densita dicarica elettrica ρ, facendo riferimento a cariche infinitesime dq = ρdτ e introducendo ilconcetto di campo elettrico E oltre che una distribuzione continua di forze esterne aventidensita fest..Spostiamo queste ultime (e quindi anche le cariche infinitesime dq alle quali le fest.dτ sonoapplicate) di una quantita infinitesima dR, che nel caso piu generale e una funzione diR, ottenendo un’altra distribuzione di cariche elettriche ancora in equilibrio. Supponiamoche la modifica sia lenta, in modo da non dover considerare altre forze oltre a quelleelettrostatiche.In queste ipotesi il lavoro infinitesimo compiuto sulla distribuzione di cariche dalle forzeesterne e uguale a quello delle forze coulombiane cambiato di segno, cioe:

dWρ,E =

∫

τ

fest. · dR dτ = −∫

τ

ρE · dRdτ (182)

86


Questa e l’espressione del lavoro infinitesimo totale effettuato dalla forza ρEdτ che si espostata dalla posizione R alla posizione R + dR. Il lavoro e totale perche e la sommadei lavori infinitesimi effettuati da ρEdτ in tutti i punti del volume spaziale contenente ladistribuzione di carica che stiamo considerando.

• Descrizione basata sui concetti di carica/potenzialeFacciamo riferimento a una nuova descrizione che puo essere vista come una evoluzione delladescrizione basata sui concetti di carica/campo e che chiameremo ”descrizione basata suiconcetti di carica/potenziale”.In essa il campo elettrostatico E viene espresso in funzione di una quantita scalare ϕ, dettapotenziale elettrostatico, legata al campo E dalla relazione

E = −∇ϕ ; [ϕues] = L1/2M1/2T−1 (183)

Osserviamo che ∇ ·E = −∇ · ∇ϕ ovvero

∇2ϕ = −4πρ (184)

Integrando in tutto lo spazio fisico la (184), che e nota come equazione di Poisson, si ottiene(v. eq. (F14))

ϕ(R) =

∫

ρ(ξ)

rdτ ; r = |R − ξ| (185)

Tenendo presente la (183) si puo scrivere la (182) nel modo seguente

dWϕ =

∫

τ

ρ∇ϕ · dRdτ

Ma per la (A12) si ha:

(ρdR) · ∇ϕ = ∇ · (ϕ(ρdR))− ϕ∇ · (ρdR) (186)

Segue, applicando il Teorema di Gauss:

dWϕ =

∫

σ

ϕρdR · ndσ −∫

τ

ϕ∇ · (ρdR)dτ

Supponendo che ρ sia contenuta tutta entro σ rimane

dWϕ = −∫

τ

ϕ∇ · (ρdR)dτ

Ma per la (A12) si ha

dWϕ = −∫

τ

ϕ(

∇ρ · dR+ ρ(∇ · dR))

dτ (187)

Ora notiamo che la densita di carica ρ in un punto R in un intorno infinitesimo del qualee contenuta la carica dq = ρdτ varia, a seguito dello spostamento dR, sia perche varia lacarica dq a volume dτ costante e sia perche varia il volume dτ a carica dq costante.

87


Indichiamo queste due variazioni con dρv e dρc e osserviamo che, se il volume rimanecostante, si puo scrivere

ρ(R+ dR) = ρ(R) +∇ρ · dRovvero

ρ(R) = ρ(R+ dR)−∇ρ · dRe quindi la variazione di densita di carica a volume costante nel punto R vale

dρv = ρ(R)− ρ(R+ dR) = −∇ρ · dR

Se invece imponiamo che sia la carica a rimanere costante si ha

d(dq) = d(ρdτ ) = dρdτ + ρd(dτ ) = 0

da cuidρdτ = −ρd(dτ )

Ricordando l’espressione (B5) di d(dτ ) (v. Appendice B) otteniamo la variazione di densitadi carica a carica costante nel punto R

dρc = −ρ(∇ · dR)

Seguedρ = dρv + dρc = −(∇ρ · dR+ ρ(∇ · dR)) (188)

cosicche la (187) diviene

dWϕ =

∫

τ

ϕdρ dτ (189)

Integriamo questa espressione:

∫ ρ

0

dWϕ =

∫

τ

ρ∫

0

ϕdρdτ (190)

Supponendo che sia Wϕ = 0 quando ρ = 0 si ha

Wϕ =

∫

τ

ρ∫

0

ϕdρdτ (191)

Per effettuare l’integrazione a membro destro occorre conoscere come ϕ dipende da ρ.Iniziamo dal caso in cui ϕ e associato a una distribuzione di cariche (che non ci interessaspecificare) esterne a quelle che abbiamo considerato finora e quindi non dipende da ρ. Siparla allora di energia elettrostatica di interazione W int.

ϕ fra il potenziale esterno ϕe e ladistribuzione ρ e quindi la (191) diviene

W int.ϕ =

∫

τ

ϕe

ρ∫

0

dρ dτ (192)

88


da cui

W int.ϕ =

∫

τ

ϕeρ dτ (193)

Consideriamo ora il caso in cui ϕ e associato alla distribuzione ρ. Ricordando la (185) sipuo scrivere la (191) nel modo seguente:

Wϕ =

∫

τ

ρ∫

0

∫

τ ′

ρ′

rdτ ′dρdτ =

∫

τ

∫

τ ′

ρ∫

0

ρ′dρ

rdτ ′dτ ; r = |R − ξ

′|

Ma questa espressione rimane invariata se si scambiano le grandezze accentate con lecorrispondenti non accentate percio si puo scrivere

Wϕ =1

2

∫

τ

∫

τ ′

ρ∫

0

ρ′dρ

rdτ ′dτ +

∫

τ ′

∫

τ

ρ′

∫

0

ρdρ′

rdτdτ ′

da cui

Wϕ =1

2

∫

τ

∫

τ ′

ρ,ρ′

∫

0

d(ρρ′)dτ ′dτ

r=

1

2

∫

τ

∫

τ ′

ρρ′

rdτ ′dτ (194)

e quindi

Wϕ =1

2

∫

τ

ρ

∫

τ ′

ρ′

rdτ ′dτ

e infine, per la (185):

Wϕ =1

2

∫

τ

ρϕ dτ (195)

Abbiamo cosı ottenuto, basandoci sui concetti di carica/potenziale, l’espressione dell’ener-gia elettrostatica di una distribuzione di cariche in equilibrio aventi densita ρ(R) immersein un potenziale ϕ(ρ).


Nella descrizione dei fenomeni elettrostatici basata sul sistema FVe.m. si considera, in luogodella (182), la

dWE = −∫

τ

(TE · ∇) · dRdτ (196)

oppure si puo considerare la (190) sostituendo in essa la prima delle (164):

dWE =1

4π

∫

τ

ϕd(∇ · E)dτ =1

4π

∫

τ

ϕ∇ · (dE)dτ

Ma (v. eq. (A12))

∇ · (ϕdE) = ϕ∇ · dE + dE · ∇ϕ = ϕ∇ · dE − E · dE

89


percio

dWE =1

4π

∫

τ

∇ · (ϕdE)dτ +1

4π

∫

τ

E · dE dτ (197)


dWE =1

4π

∫

σ

ϕdE · ndσ +1

4π

∫

τ

E · dE dτ

da cui, trascurando l’integrale di superficie:

dWE =1

4π

∫

τ

E · dEdτ =1

4π

∫

τ

dE2

2dτ

Ora integriamo da 0 a E assumendo che WE si annulli quando il campo elettrico e nullo:

WE =1

8π

∫

τ

∫ E

0

dE2

dτ

e infine

WE =1

8π

∫

τ

E2 dτ (198)

Questa e l’espressione dell’energia elettrostatica nella descrizione dei fenomeni elettrostaticibasata sul sistema FVe.m.. La corrispondente densita di energia e

wE =E2

8π; [wE] = L−1MT−2 =

L2MT−2

L3=

energia

volume(199)

Notiamo che la densita di energia elettrostatica non dipende linearmente dal campo Epercio l’energia di un sistema di campi sovrapposti non e uguale alla somma delle energiedei singoli campi.Si puo dunque scrivere:

Wϕ =1

2

∫

τ

ρϕ dτ =1

8π

∫

τ

E2 dτ = WE (200)

Possiamo cosı arrivare alla seguente conclusione: nella descrizione coulombiana l’energiaelettrostatica di un sistema di particelle cariche (v. eq. (181)) e localizzata nelle particelle;nella descrizione basata sul sistema FVe.m.e localizzata nel sistema FVe.m.; infine, se ci sibasa sui concetti di carica/potenziale, si ottiene la (195).

2.5.2 Regime magnetostazionario

L’energia magnetostazionaria di un sistema di conduttori filiformi percorsi da correntestazionaria e espressa da

WI =1

2

∑

k,l

IkIl

∮ ∮

d`k · d`l

rkl; k, l = 1, 2, 3, . . . ; k 6= l (201)

che e di tipo simile alla (181).

90


• Descrizione basata sui concetti di corrente/campo

L’energia magnetostazionaria puo essere espressa anche in funzione dei concetti di corren-te/campo. Consideriamo a questo fine una distribuzione di conduttori filiformi percorsi dacorrenti elettriche in equilibrio sotto l’azione di una opportuna distribuzione di forze ester-ne e trasformiamo il contesto di studio fisico-matematico amperiano in quello maxwellianointroducendo la densita di corrente ı, facendo riferimento a correnti infinitesime ıdτ = dId`e introducendo il campo magnetico B oltre che una distribuzione continua di forze esterneaventi densita fest..Spostiamo queste ultime (e quindi anche le correnti infinitesime ıdτ alle quali le fest.dτsono applicate) di una quantita infinitesima dR, che nel caso piu generale e una funzionedi R, ottenendo un’altra distribuzione di correnti ancora in equilibrio. Supponiamo che lamodifica sia lenta, in modo da non dover considerare altre forze oltre a quelle magnetosta-zionarie.Il lavoro infinitesimo compiuto sulla distribuzione di correnti dalle forze esterne e espressoda

dWi,B =

∫

τ

ı×B · dRdτ (202)

Questa e l’espressione del lavoro infinitesimo totale effettuato dalla forza ı ×Bdτ che si espostata dalla posizione R alla posizione R+ dR. Il lavoro e totale perche e la somma deilavori infinitesimi effettuati da ı × Bdτ in tutti i punti del volume spaziale contenente ladistribuzione di correnti che stiamo considerando.

• Descrizione basata sui concetti di corrente/potenzialeIn questa descrizione si fa uso del concetto di potenziale vettore, campo vettoriale che vieneindicato con A(R). Esso e legato al campo B dalla relazione

B = ∇× A ; [Auem] = L1/2M1/2T−1 (203)

Osserviamo che (v. eq. (A24) e (163)) ∇×B = ∇×∇×A = ∇(∇ ·A)−∇2A = 4πı percio

∇(∇ ·A)−∇2A = 4πı

Assumendo ∇ · A = 0 e integrando questa equazione in tutto lo spazio fisico si ottiene(v. eq. (F37))

A(R) =

∫

τ

ı(ξ)

rdτ ; r = |R − ξ| ; ∇ ·A = 0 (204)

Inseriamo la (203) nella (202)

dWA =

∫

τ

ı× (∇× A) · dR dτ =

∫

τ

dR · ı × (∇× A)dτ

e teniamo conto (v. Appendice A, sezione 4, Tensore di Levi-Civita) del fatto che dR · ı×(∇× A) = (∇× A) · dR× ı percio

dWA =

∫

τ

(∇×A) · dR× ı dτ =

∫

τ

dR× ı · (∇× A)dτ

91


Ma (v. eq. (A13))

dR× ı · (∇× A) = ∇ ·

A× (dR× ı)

+ A · ∇ × (dR× ı)

percio

dWA =

∫

τ

∇ ·

A× (dR× ı)

dτ +

∫

τ

A · ∇ × (dR× ı)dτ

e, per il Teorema di Gauss:

dWA =

∫

σ

A × (dR× ı) · ndσ +

∫

τ

A · ∇ × (dR× ı)dτ (205)

Trascurando l’integrale di superficie rimane

dWA =

∫

τ

A · ∇ × (dR× ı)dτ

Tenendo conto della (A19) (v. Appendice A) segue

dWA =

∫

τ

A ·

ı · ∇(dR)− ı(∇ · dR)− dR · (∇ı) + dR(∇ · ı)

dτ

e per l’ipotesi della stazionarieta della corrente e ∇ · ı = 0 (v. eq. (149)), percio

dWA =

∫

τ

A ·

ı · ∇(dR)− ı(∇ · dR)− dR · (∇ı)

dτ (206)

Ora osserviamo che la densita di corrente ı in un punto R in cui e centrata una areola dσattraverso la quale passa la corrente dI = ı · dσ varia, a seguito dello spostamento dR,sia perche varia la corrente dI ad area dσ costante e sia perche varia l’area dσ a correntedI costante. Indichiamo queste due variazioni con dıa e dıc e osserviamo che, se l’area dσrimane costante, si puo scrivere:

ı(R + dR) = ı(R) + (ı∇) · dR

ovveroı(R) = ı(R + dR)− (ı∇) · dR

e quindi la variazione di densita di corrente ad area costante nel punto R vale

dıa = ı(R)− ı(R + dR) = −(ı∇) · dR = −dR · (∇ı) (207)

Ora invece imponiamo che sia la corrente dI a rimanere costante. Se poniamo ı = iu, doveu e un versore nella direzione di ı, si ha

d(dI) = d(ı · dσ) = d(iu · dσ) = d(idσu) = didσu + id(dσu) = 0

Se ora assumiamo che dσ sia un parallelogramma costruito sui vettori dRa e dRb, cioe che

dσ = dRa × dRb,

92


allora si ha

dσu = u · dRa × dRb = ε.:

udRadRb

che e un prodotto misto e quindi varia, a seguito di uno spostamento dR, come un elementodi volume. Si ha cosı (v. eq. (B5)):

d(dσu) = (∇ · dR)dσu

e percio

di + i(∇ · dR) = 0

ovvero

udi = −ui(∇ · dR) = −ı(∇ · dR)

Questa e la variazione del modulo della densita di corrente ı a corrente costante.Occorre anche tener conto della variazione della direzione della densita di corrente a corren-te costante. La variazione di u si ricava tenendo presente la procedura che nell’AppendiceB ha permesso di ottenere

dR′

m = dRm +(

(dR)∇)

· dRm

nella quale ora poniamo dRm = u cosicche

u′ − u = u · ∇(dR)

percio, moltiplicando per i:

i(u′ − u) = iu · ∇(dR) = ı · ∇(dR)

Questa e la variazione della direzione della densita di corrente ı a corrente costante.La somma della variazione sia del modulo che della direzione della densita di corrente acorrente costante vale dunque:

dıc = udi + i(u′ − u) = −ı(∇ · dR) + ı · ∇(dR) (208)

e infine, sommando le (207) e (208)

dı = dıa + dıc = −dR · (∇ı)− ı(∇ · dR) + ı · ∇(dR) (209)

percio la (206) diviene

dWA =

∫

τ

A · dı dτ (210)

Integriamo questa espressione:

∫ ı

0

dWA =

∫

τ

ı∫

0

A · dıdτ

93


Supponendo che sia WA = 0 quando ı = 0 si ha:

WA =

∫

τ

ı∫

0

A · dıdτ (211)

Per effettuare l’integrazione a membro destro occorre conoscere come A dipende da ı.

Iniziamo dal caso in cui A e associato a una distribuzione di correnti (che non ci interessaspecificare) esterne a quelle che abbiamo considerato finora e quindi non dipende da ı. Siparla allora di energia magnetostazionaria di interazione W int.

A fra il potenziale esterno Ae

e la distribuzione ı e quindi la (211) diviene

W int.A =

∫

τ

ı∫

0

dı ·Aedτ

da cui

W int.A =

∫

τ

ı ·Aedτ (212)

Consideriamo ora il caso in cui A e associato alla distribuzione ı. Tenendo presente la(204) si puo scrivere la (211) nel modo seguente:

WA =

∫

τ

ı∫

0

∫

τ ′

ı′

rdτ ′ · dıdτ =

∫

τ

∫

τ ′

ı∫

0

ı′

r· dıdτ ′dτ

Ma questa espressione rimane invariata se si scambiano fra loro le grandezze accentate conle corrispondenti non accentate percio si puo scrivere

WA =1

2

∫

τ

∫

τ ′

ı∫

0

ı′ · dı

rdτ ′dτ +

∫

τ ′

∫

τ

ı′∫

0

ı · dı′

rdτdτ ′

da cui

WA =1

2

∫

τ

∫

τ ′

ı · ı′ dτ ′dτ

r(213)

Questa espressione puo essere scritta cosı

WA =1

2

∫

τ

ı ·∫

τ ′

ı′

rdτ ′dτ

e infine, per la (204):

WA =1

2

∫

τ

ı ·Adτ (214)

Abbiamo cosı ottenuto, basandoci sui concetti di corrente/potenziale, l’espressione dell’e-nergia magnetostazionaria di una distribuzione di correnti in equilibrio aventi densita ı(R)immerse in un potenziale A(ı).

94



Nella descrizione dell’energia magnetostatica basata sul sistema FVe.m.si considera la

dWM =

∫

τ

(TM · ∇) · ds dτ (215)

oppure si puo considerare la (210) sostituendo in essa la quarta delle (163):

dWM =1

4π

∫

τ

A · d(∇×B)dτ =1

4π

∫

τ

A · (∇× dB)dτ

Ma (v. eq. (A13))∇ · (A × dB) = dB · (∇× A)−A · (∇× dB)

percio

dWM = − 1

4π

∫

τ

∇ · (A × dB)dτ +

∫

τ

dB · (∇×A)dτ (216)

e per il teorema di Gauss

dWM = − 1

4π

∫

σ

A × dB · ndσ +

∫

τ

B · dB dτ

da cui, trascurando l’integrale di superficie:

WM =1

4π

∫

τ

∫ B

0

B · dBdτ =1

4π

∫

τ

∫ B

0

dB ·B

2dτ (217)

e infine

WM =1

8π

∫

τ

B2 dτ (218)

Questa e l’espressione dell’energia magnetostatica nella descrizione dei fenomeni magneto-statici basata sul sistema FVe.m.. La corrispondente densita di energia e

wM =B2

8π; [wM ] = L−1MT−2 =

L2MT−2

L3=

energia

volume(219)

Si puo dunque scrivere:

WA =1

2

∫

τ

ı ·Adτ =1

8π

∫

τ

B2 dτ = WM (220)

Possiamo cosı arrivare alla seguente conclusione: nella descrizione laplaciana/amperianadei fenomeni magnetostazionari l’energia di un sistema di correnti (v. eq. (201)) e loca-lizzata nelle correnti; nella descrizione basata sul sistema FVe.m.e localizzata nel sistemaFVe.m.; infine, se ci si basa sui concetti di corrente/potenziale, si ottiene la (214).

95


2.6 Legge di conservazione dell’energia

• Descrizione basata sui concetti di carica/campoData una distribuzione di materia elettricamente carica e in movimento in un campo e.m.E, B determiniamo la potenza sviluppata sulle cariche dalle forze del campo:

fEM · U = ρ(

E +Uc×B

)

· U = E · ıues = cE · ı (221)

L’equazione di conservazione dell’energia totale (cioe dell’energia cinetica e dell’energiapotenziale di deformazione della materia + l’energia delle cariche) e espressa dalla (99) chequi riscriviamo

∂wm

∂t+∇ · Sm = cE · ı (222)

e che si legge cosı: l’incremento nel tempo di energia meccanica ∂wm/∂t nell’intorno di unpunto e di un istante di tempo e dovuto all’ingresso di flusso di potenza meccanica Sm eal fatto che si ha sviluppo locale di potenza elettromagnetica cE · ı.


Non ci sono ne cariche ne correnti.L’equazione di conservazione dell’energia totale (cioe dell’energia cinetica e dell’energiapotenziale di deformazione della materia + l’energia del sistema FVe.m.) e espressa dalla(119) che qui riscriviamo

0 =∂(wm + we)

∂t+∇ · (Sm + Se) (223)

e che si legge cosı: l’incremento nel tempo di energia meccanica e di energia del sistemaFVe.m.espresso nell’intorno di un punto e di un istante di tempo da ∂(wm+we)/∂t e dovutoall’ingresso di flusso di potenza meccanica Sm e di flusso di potenza del sistema FVe.m.Se.

Ancora una volta abbiamo due descrizioni diverse di un medesimo fenomeno (cioe la con-servazione dell’energia totale) che possono essere messe a confronto.Come sappiamo dal cap. 1 di questa Prima Parte, il confronto fra le (222) e (223) fornisceil Teorema di Poynting

−cE · ı ≡ ∂we

∂t+∇ · Se (224)

che pero e presentato non come una equazione di bilancio relativa a una unica descrizionedei fenomeni e.m., ma come una identita di due equazioni di bilancio relative a duedescrizioni diverse e alternative, quella basata sui concetti di carica/campo e quella basatasul sistema FVe.m..

Questa e la soluzione del problema sollevato dalla interpretazione del Teorema di Poyntinggia ampiamente dibattuta nel cap. 1 di questa Prima Parte.

Notiamo che la (224) puo essere scritta anche usando il segno di uguaglianza in luogo diquello di identita e quindi le operazioni presentate all’inizio della Prima Parte di questostudio che vengono usualmente eseguite per ottenere l’espressione del Teorema di Poyntingsono evidentemente lecite, ma si tratta di un’uguaglianza fra due descrizioni diverse, e non

96


una equazione di bilancio energetico relativa a una unica descrizione. Dunque non e ilTeorema di Poynting che genera incongruenze ma la sua interpretazione, che e usualmentebasata su una commistione di due punti di vista contrastanti: l’azione a distanza e l’azionemediata, che vengono fatte convergere su un’unica descrizione, quella basata sull’idea cheil campo e.m. sia un oggetto fisico.

* * *

Terminiamo questo paragrafo 2.6 fornendo una espressione dell’energia elettromagneticaW in regime dinamico e nella descrizione basata sui concetti di carica/potenziale (unaespressione di W in regime dinamico e nella descrizione basata sul sistema FVe.m.e statadata con la (4) nel vuoto e con la (118) in un dielettrico).In regime dinamico l’espressione dell’energia elettromagnetica non si ricava sommando le(195) e (214)

W = WE + WM =1

2

∫

τ

(ρϕ + ı ·A)dτ (225)

perche questa vale solo in condizioni di staticita/stazionarieta (v. eq. (183) e (149)).In condizioni dinamiche occorre modificarla nel modo che ora mostreremo. Innanzituttoin regime dinamico si ha:

E = −∇ϕ− 1

c

∂A

∂t; B = ∇× A (226)

percio dalla (4)

W =1

8π

∫

τ

(E · E + B ·B)dτ

=1

8π

∫

τ

E · (−∇ϕ− 1

c

∂A

∂t) + B · (∇× A)

dτ

=1

8π

∫

τ

(−E · ∇ϕ + B · (∇× A))− 1

cE · ∂A

∂t

dτ

(227)

Se ora ricordiamo le (A12) e (A13) possiamo scrivere:

W =1

8π

∫

τ

−∇ · (ϕE) + ϕ(∇ ·E) +∇ · (A ×B) + A · (∇×B)− 1

cE · ∂A

∂t

dτ

=1

8π

∫

σ

−ϕE + A ×B

· ndσ +1

8π

∫

τ

ϕ(∇ · E) + A · (∇×B)− 1

cE · ∂A

∂t

dτ

(228)Tenendo presenti le equazioni di Maxwell si ottiene infine

W =1

8π

∫

σ

−ϕE + A×B

· ndσ +1

2

∫

τ

ρϕ + ı ·A +1

4πc

(

A · ∂E

∂t− E · ∂A

∂t

)

dτ

(229)Se i campi o i potenziali si annullano su σ l’integrale di superficie si annulla e rimane cosı:

W =1

2

∫

τ

(ρϕ + ı ·A)dτ +1

8πc

∫

τ

(

A · ∂E

∂t− E · ∂A

∂t

)

dτ (230)

che si riduce alla (225) se A ed E non dipendono dal tempo.

* * *

97


2.7 L’azione del campo elettromagnetico sulla materia

Ci proponiamo di studiare l’azione del campo elettromagnetico sui corpi materiali.

Tenendo presente quanto si e detto in questa Capitolo 2, cio significa che dovremmo inte-ressarci a studiare come il campo agisce sulle particelle cariche fisse e mobili presenti nellamateria.

Senonche, anche ammettendo che questo programma sia realizzabile nell’ambito delle te-orie fisiche classiche su cui questo studio si basa, vi e da osservare che le cariche e lecorrenti presenti nella materia non sono accessibili da parte degli strumenti di misura,cosicche la teoria maxwelliana non potrebbe essere confrontata con alcun dato derivabiledall’esperienza.

Cio che interessa ottenere e quindi una teoria che descriva l’azione del campo sulla materiasenza prendere in considerazione la struttura microscopica di quest’ultima, e che forniscaprevisioni confrontabili con rilevamenti macroscopici effettuati in laboratorio.

Si tratta percio di effettuare uno studio tipicamente fenomenologico.

Nei capitoli che seguono vedremo che esso puo essere sviluppato senza molte difficolta,anche se i risultati che puo fornire hanno validita limitata. Infatti uno studio rigoroso del-l’azione del campo elettromagnetico sulla materia puo essere sviluppato solo nell’ambitodella meccanica quantistica, e tuttavia un gran numero di fenomeni puo essere descrit-to efficacemente e in modo relativamente semplice facendo ricorso all’elettromagnetismoclassico, il che giustifica il perdurare dell’esistenza di questo metodo.

2.7.1 L’azione del campo elettrico sui dielettrici

E noto che esistono corpi, detti conduttori, in cui la carica elettrica, sotto l’azione di uncampo elettrico, puo muoversi liberamente e su distanze macroscopiche permettendo cosıla formazione di correnti elettriche.

A differenza dei conduttori, gli isolanti, o dielettrici, sono corpi nei quali gli elettroni nonpossono abbandonare gli atomi ai quali appartengono. Quindi in un dielettrico posto inun campo elettrico non si possono generare correnti elettriche unidirezionali permanenti.Si manifestano pero altri fenomeni, che ora ci proponiamo di descrivere.

Cominciamo con l’osservare che un dielettrico in condizioni normali e, come ogni altro corpomateriale, elettricamente neutro. Quando pero esso e posto in un campo elettrico, le carichepositive tendono a spostarsi (di quantita microscopiche) nel verso del campo, mentre quellenegative tendono a spostarsi in senso opposto. Quindi, se in assenza di campo elettricoi centri delle due distribuzioni di carica coincidono, in presenza di un campo si separano,cosicche ogni atomo si comporta come un dipolo elettrico e viene percio caratterizzato daun momento di dipolo P .

Si suole dire che, per effetto di un campo elettrico, si ha “polarizzazione” del dielettrico.

Poiche in ogni volume anche molto piccolo vi e un numero enorme di atomi, si puo pensareche in un isolante vi sia una distribuzione continua di dipoli elettrici e si puo cosı definireuna densita volumica di momento dipolare elettrico p detta anche intensita di polarizzazio-ne.

L’intensita di polarizzazione dipende evidentemente dal campo elettrico E in cui il dielet-trico e posto. Tale dipendenza, come possiamo facilmente immaginare, deve essere assaicomplicata.

98


Tuttavia spesso si riesce a spiegare in modo soddisfacente le proprieta sperimentali deidielettrici isotropi assumendo che p sia legato a E da una legge del tipo

p = χEE (231)

dove χE e uno scalare adimensionale detto suscettivita elettrica del dielettrico. Nel caso didielettrici non isotropi occorre definire la suscettivita non come uno scalare ma come untensore di secondo ordine, cosicche

p = χE · E ;

px

py

pz

=

χExx χE

xy χExz

χEyx χE

yy χEyz

χEzx χE

zy χEzz

Ex

Ey

Ez

(232)

In prima approssimazione χE o χE

possono essere assunti indipendenti da E. In realtaessi dipendono, in generale, sia dalla ampiezza di E sia dalla sua velocita di variazione neltempo, e, per i materiali disomogenei, anche dal punto, percio

χE = χE(

R, E,∂E

∂t

)

(233)

Riepilogando, le due ipotesi che stanno alla base dello studio dell’azione del campo elettricosui dielettrici sono le seguenti:

a) un isolante posto in un campo elettrico reagisce polarizzandosi, cioe creando nel suointerno una distribuzione di dipoli;

b) i dipoli sono inaccessibili alla misura. Si ammette tuttavia che essi abbiano densita dimomento di dipolo p legata al campo elettrico dalla (231) o dalla (232).

Ora vedremo in che modo, basandosi su di esse, e possibile descrivere le proprieta elettrichedei dielettrici senza prendere in considerazione la loro struttura microscopica.Sappiamo dall’eq. (G8) dell’Appendice G che il potenziale statico ϕDE generato da unadistribuzione di dipoli elettrici aventi densita volumica di momento dipolare p e:

ϕDE(R) = −∫

τ

p(ξ) · ∇R

(1

r

)

dτ ; r = |R − ξ| (234)

La (234) si puo anche scrivere cosı (v. eq. (A27)):

ϕDE(R) =

∫

τ

p(ξ) · ∇ξ

(1

r

)

dτ (235)

Ma si ha (v. eq. (A12)):

∇ξ ·(p

r

)

= p · ∇ξ

(1

r

)

+1

r∇ξ · p (236)

percio

ϕDE(R) =

∫

τ

−1

r∇ξ · p +∇ξ ·

(p

r

)

dτ (237)

99


Applicando il teorema di Gauss si ottiene

ϕDE(R) =

∫

τ

−∇ξ · pr

dτ +

∫

σ

p · nr

dσ (238)

dove n e la normale rivolta verso l’esterno del dielettrico.Ora consideriamo la (F13) dell’Appendice F e poniamo in essa pσ(ξ) = 0. Se confrontiamola (238) con la (F13) cosı modificata che qui riscriviamo

ϕ(R) =

∫

τ

ρ(ξ)

rdτ +

∫

σ

ρσ(ξ)

rdσ

vediamo che il potenziale generato dalla polarizzazione del dielettrico e quello che si avrebbese in τ , invece che una distribuzione volumica di dipoli elettrici, vi fosse una distribuzionedi carica avente densita volumica

ρPE = −∇ · p ; [ρPE ] = [ρues] (239)

e su σ una distribuzione di carica avente densita superficiale

ρPEσ = p · n ; [ρPE

σ ] = [ρσues] (240)

Abbiamo cosı potuto descrivere le proprieta elettriche del dielettrico soggetto al campo Esenza prendere in considerazione la sua struttura microscopica, come ci eravamo propostidi ottenere.

Notiamo che ∇ · p e diversa da zero solo nei punti in cui vi e una polarizzazione nonuniforme.Notiamo anche che nel dielettrico, oltre alla distribuzione di cariche di polarizzazione aventidensita ρPE e ρPE

σ e dovute alla presenza di un campo elettrico polarizzante, potra ingenerale essere presente anche una distribuzione di carica libera con densita ρL, cioe unadistribuzione di carica accessibile e non dovuta al fenomeno della polarizzazione; l’apice L

e gia stato usato per indicare questo tipo di carica (v. eq. (96a) e (96b)).

Esempio

Consideriamo un condensatore piano fra le cui armature, poste a distanza d, vi sia il vuoto.Fra la carica QL presente sulle armature e la differenza di potenziale 4ϕ0 fra le armaturedel condensatore esiste la ben nota relazione:

QL = C04ϕ0 (241)

dove C0 e la capacita del condensatore.Fra le armature e presente un campo elettrico avente modulo E = 4ϕ0/d e direzioneperpendicolare alle armature (supponiamo trascurabili gli effetti di bordo).Supponiamo ora che nello spazio fra le armature si trovi inserito un dielettrico privo dicariche libere, isotropo, lineare e omogeneo che abbia proprieta di polarizzazione espresseda p = χEE.Tenuto conto delle caratteristiche di questo materiale possiamo porre ∇ · p = 0, e quindiρPE = 0, mentre pero si manifesta una carica elettrica superficiale avente densita ρPE

σ =

100


χEE · n in corrispondenza delle superfici del dielettrico affacciate alle armature. La caricaelettrica superficiale, in accordo col segno di E ·n (n e rivolta verso l’esterno del dielettrico),e negativa sulla superficie del dielettrico affacciata all’armatura carica positivamente ed epositiva sulla superficie del dielettrico affacciata all’armatura carica negativamente.Ne segue che la carica ±ρPE

σ , vincolata al dielettrico, da origine a un campo antagonistache produce una diminuzione del campo elettrico iniziale e una conseguente diminuzione di4ϕ0 (mentre QL rimane costante perche il condensatore e isolato) cosicche si puo scrivere

QL = C4(ϕ0 − ϕ)

Segue

C =QL

4(ϕ0 − ϕ)

La capacita del condensatore in presenza del dielettrico subisce quindi un aumento.

Se il condensatore e collegato con un generatore G che mantiene fra le sue armature una dif-ferenza di potenziale costante, la presenza di un dielettrico produce un aumento4QL dellacarica sulle armature, perche il fenomeno della polarizzazione richiama cariche elettrichedal generatore, e percio

QL +4QL = C4ϕ0

da cui

C =QL +4QL

4ϕ0

e ancora si osserva un aumento della capacita C del condensatore.

* * *

In regime dinamico si ha ρPE = ρPE (R, t). Assumiamo che valga la seguente legge diconservazione simile alla (148):

∇ · ıPE = −1

c

∂ρPE

∂t(242)

Dunque ıPE e la densita volumica di corrente di polarizzazione.

Ora osserviamo che la (242) puo essere scritta cosı:

∇ · ıPE =1

c

∂∇ · p∂t

(243)

ovvero

∇ · ıPE =1

c∇ · ∂p

∂t

Ne risulta quindi che

ıPE =1

c

∂p

∂t; [ıPE

uem] = L−3/2M1/2T−1 (244)

Questa relazione esprime la densita volumica della corrente di polarizzazione in funzionedella densita volumica di momento dipolare elettrico p.

101


2.7.2 L’azione del campo magnetico sulla materia

Ora prenderemo in considerazione le correnti microscopiche stazionarie generate nei corpimateriali dal moto degli elettroni attorno ai nuclei. Ad ogni orbita elettronica risulta essereassociato un momento di dipolo magnetico.In assenza di un campo magnetico esterno il momento di dipolo magnetico totale in uncorpo materiale e nullo perche e il risultante di un numero enorme di momenti aventiorientazione qualsiasi.In presenza di un campo magnetico si manifestano nei corpi materiali fenomeni che possonoessere approssimativamente descritti ammettendo che le frequenze angolari del moto deglielettroni subiscano un aumento, e che il conseguente incremento del valor medio dellacorrente (associata ad ogni orbita) dia origine a un momento dipolare m per unita divolume detto anche intensita di magnetizzazione.La quantita m dipende dal campo magnetico B in modo certamente non facile da descrivere,tuttavia si constata sperimentalmente che la

m = χMB (245)

dove χM puo dipendere da B, e anche da ∂B∂t

, fornisce, per certi intervalli di variabilita di

B, risultati soddisfacenti.χM , detta suscettivita magnetica, e uno scalare (o un tensore, nel caso di corpi anisotro-pi) adimensionale, ed e una quantita negativa, il che significa che il verso del momentomagnetico e opposto a quello di B.Il fenomeno descritto dalla (245) e comune a tutti i corpi, ed e detto diamagnetismo.In alcuni corpi tuttavia questo effetto viene mascherato da un altro fenomeno, detto para-magnetismo, che e dovuto a un momento magnetico residuo posseduto dai loro atomi.Quando questi corpi si trovano soggetti a un campo magnetico il vettore m subisce unaprecessione attorno alla direzione del campo. Anche in questo caso e possibile esprimerem in funzione di B mediante la (245), dove pero ora χM e positivo e minore di 1.Infine vi sono corpi naturalmente costituiti di porzioni, dette “domini di Weiss”, dotatidi magnetismo spontaneo. I domini, che possono avere dimensioni variabili da 10−6cmad alcuni centimetri, hanno, in assenza di campo magnetico, direzioni di magnetizzazionecasuali, cosicche la magnetizzazione totale e nulla.In presenza di un campo magnetico si ha un riassestamento meccanico, in talune sostanzedi natura quasi-plastica, dei domini, che tendono sia ad assumere una direzione di magne-tizzazione parallela a quella del campo, sia ad accorparsi formando domini di dimensionimaggiori. Questo riallineamento si realizza talvolta attraverso una successione di scattidovuti ad attriti fra dominio e dominio e a stress interni del materiale: il rumore prodottoda tali scatti, opportunamente amplificato, e udibile (effetto Barkhausen).Il fenomeno che abbiamo descritto e detto ferromagnetismo.La χM delle sostanze ferromagnetiche e di diversi ordini di grandezza maggiore di quelladelle sostanze dia- e paramagnetiche e dipende, oltre che dall’ampiezza di B e dalla suavelocita di variazione nel tempo, anche dagli stati di magnetizzazione attraverso cui lasostanza ferromagnetica e passata.Le sostanze ferromagnetiche sono suddivisibili in due gruppi in funzione della diversa naturadell’allineamento dei domini di Weiss. In presenza di un campo magnetico alcune, comeil ferro dolce, acquistano magnetizzazione e la perdono se il campo si annulla; altre, comel’acciaio temprato, conservano (talvolta solo in parte, oppure per un tempo limitato) la

102


magnetizzazione anche quando il campo magnetico viene annullato; alcune lo conservanocosı a lungo da meritare il nome di magneti permanenti.Il campo magnetico di un magnete permanente ha proprieta del tutto simili a quello gene-rato da conduttori percorsi da corrente stazionaria. Ad esempio un magnete permanente informa di barretta cilindrica con linee di campo magnetico disposte lungo l’asse longitudi-nale e identico al campo magnetico generato a un solenoide avente le medesime dimensionie percorso da corrente stazionaria avente adeguata intensita. Questo fatto rende i ma-gneti permanenti particolarmente utili e giustifica il loro vasto impiego nelle applicazionitecniche.

* * *

Una volta introdotta la grandezza intensita di magnetizzazione m si puo descrivere le pro-prieta magnetiche dei corpi senza che vi sia bisogno di accedere alla struttura microscopicadei costituenti della materia.Infatti dall’eq. (G19) dell’Appendice G sappiamo che il potenziale vettore stazionario gene-rato da una distribuzione di dipoli magnetici avente densita di momento dipolare magneticom e

ADM (R) = −∫

τ

m×∇R

(1

r

)

dτ =

∫

τ

m×∇ξ

(1

r

)

dτ (246)

Ma si ha (v. eq. (A21)):

∇ξ ×(m

r

)

= ∇ξ

(1

r

)

×m +1

r∇ξ ×m = −m×∇ξ

(1

r

)

+∇ξ ×m

r

da cui

m×∇ξ

(1

r

)

=∇ξ ×m

r−∇ξ ×

(m

r

)

percio

ADM(R) =

∫

τ

∇ξ ×m

r−∇ξ ×

(m

r

)

dτ (247)

Ma ricordando la (A35) si puo scrivere∫

τ

∇ξ ×(m

r

)

dτ =

∫

σ

n×m

rdσ (248)

dove n e la normale a σ rivolta verso l’esterno, percio la (247) diviene

ADM (R) =

∫

τ

∇ξ ×m

rdτ +

∫

σ

−n×m

rdσ (249)

Ora consideriamo la (F36) dell’Appendice F e poniamo in essa A(ξ) = 0 e quindi anchemσ = 0. Se confrontiamo la (249) con la (F36) cosı modificata che qui riscriviamo

A(R) =

∫

τ

ı(ξ)

rdτ +

∫

σ

ıσr

dσ

vediamo che la quantita ∇ × m puo essere interpretata come una densita volumica dicorrente, il che significa che il potenziale vettore generato dalla distribuzione di dipoli ma-gnetici originati dalle correnti elettroniche elementari della materia e quello che si avrebbese nel volume τ vi fossero correnti elettriche aventi densita ∇×m. Si usa quindi porre

ıPM = ∇×m ; [ıPM ] = [ıuem] (250)

103


La quantita ıPM e detta densita volumica di corrente di magnetizzazione.Inoltre la quantita n×m, ancora dal confronto con la (F36), puo essere interpretata comedensita superficiale di corrente. Si pone percio (v. eq. (F35))

ıPMσ = −n×m ; [ıPM

σ ] = [ıσuem] (251)

Esempio

Consideriamo un solenoide di lunghezza 4` e costituito di N spire percorse da correnteIL. Nel suo interno, che supponiamo sia vuoto, esiste un campo magnetico (pressocche)uniforme B = 4πNIL/4` in direzione dell’asse longitudinale. Tra il flusso di B all’internodel solenoide e la corrente vi e la ben nota relazione:

Φ0 = L0IL

dove L0 e l’induttanza del solenoide.Supponiamo ora che nel solenoide si trovi inserito materiale ferromagnetico isotropo, linearee omogeneo che abbia caratteristiche di magnetizzazione espresse da m = χMB.Poiche il materiale ferromagnetico e omogeneo possiamo assumere che la magnetizzazionesia uniforme, percio ∇×m = 0, mentre pero sulla superficie del materiale si manifesta unacorrente avente densita ıPM

σ = −n × χMB. Tale corrente, vincolata al materiale e quindiinaccessibile, produce un incremento del flusso iniziale Φ0 (mentre IL rimane invariata) esi puo cosı scrivere:

Φ = Φ0 + Φf = LIL

dove Φf e il flusso prodotto dal materiale ferromagnetico. Segue:

L =Φ0 + Φf

IL

L’induttanza del sistema e quindi aumentata.

2.7.3 Le equazioni di Maxwell nei mezzi materiali

Riepiloghiamo innanzitutto le grandezze che abbiamo introdotto per descrivere il compor-tamento della materia soggetta a un campo elettromagnetico esterno.Il comportamento di un corpo isolante avente volume τ e superficie σ, dotato di suscettivitaelettrica χE e immerso in un campo elettrico E puo essere descritto assegnando in τ unadistribuzione di cariche aventi densita volumica ρPE = −∇ · p e su σ una distribuzioneavente densita superficiale ρPE

σ = p · n, dove p e legato ad E dalle relazioni (231) o (232).Se E e variabile nel tempo, occorre assegnare entro τ una corrente di polarizzazione elettricaavente densita volumica ıPE = 1

c∂p∂t .

Il comportamento di un corpo dotato di suscettivita magnetica χM e immerso in un campomagnetico esterno B puo essere descritto assegnando nel campo una densita volumica dicorrente di magnetizzazione ıPM = ∇ × m e, sulla superficie del corpo, una densita dicorrente superficiale ıPM

σ = n×m, dove m e legato al campo magnetico B dalla relazione(245).

104


In definitiva, se facciamo riferimento a ρPE , ρPEσ , ıPE , ıPM , ıPM

σ possiamo studiare il com-portamento di un corpo materiale immerso in un campo elettromagnetico senza occuparcidella sua struttura interna.Abbiamo cosı ottenuto la descrizione fenomenologica che desideravamo. Occorre tuttavianotare che essa e basata sulle relazioni

p = χEE ; m = χMB ; [pues] = [muem] (252)

che sono valide nei limiti cui si e accennato in precedenza.

* * *

Cio posto se vogliamo scrivere le equazioni di Maxwell per un corpo materiale immerso inun campo elettromagnetico dobbiamo esprimere la densita volumica di carica come

ρ = ρL + ρPE (253)

mettendo cosı in evidenza la densita di carica “vincolata” o “inaccessibile” ρPE , oltre chela densita di carica “libera” ρL, che nelle equazioni (164), valide nel vuoto, e stata indicatacon ρ e che, in generale, potra essere presente nel corpo insieme con quella vincolata.Tenendo presente la (239) si puo scrivere

ρ = ρL −∇ · p (254)

Per cio che riguarda la carica superficiale si puo scrivere

ρσ = ρLσ + ρPEσ (255)

Tenendo presente la (240) si ottiene

ρσ = ρLσ + p · n (256)

* * *

La densita volumica di corrente viene espressa da

ı = ı L + ıPE + ıPM (257)

ovvero, ricordando le (244) e (250)

ı = ı L +1

c

∂p

∂t+∇×m (258)

Risulta cosı che la corrente in grado di generare un campo magnetico non e solamente lacorrente libera ı L (quella che nelle (164), valide nel vuoto, e stata indicata con ı), ma eanche la corrente di polarizzazione elettrica ıPE e la corrente di magnetizzazione ıPM .Infine la densita superficiale di corrente si scrive

ıσ = ı Lσ + ıPMσ (259)

105


ovvero ricordando la (251)

ıσ = ı Lσ − n×m (260)

Le equazioni di Maxwell diventano quindi

∇ · E = 4π(ρL −∇ · p)

∇× E +1

c

∂B

∂t= 0

∇ ·B = 0

∇×B − 1

c

∂E

∂t= 4π

(

ı L +1

c

∂p

∂t+∇×m

)

(261)

con

p = χEE (262)

m = χMB (263)

Notiamo che l’apice L puo essere omesso nelle (261) perche implicitamente segnalato dallapresenza dei termini di polarizzazione e magnetizzazione.La legge di conservazione della carica (v. eq. (148)) diviene, tenendo conto delle (258) e(254)

∇ ·(

ı L +1

c

∂p

∂t+∇×m

)

+1

c

∂

∂t

(

ρL −∇ · p)

= 0

da cui

∇ · ı L +1

c

∂ρL

∂t= 0

e ritroviamo cosı la (148).Osserviamo anche che

∇ · ∇ ×B =1

c

∂∇ · E∂t

+ 4π(

∇ · ı L +1

c

∂∇ · p∂t

+∇ · ∇ ×m)

=1

c

∂∇ · E∂t

+ 4π∇ · ı L +4π

c

∂∇ · p∂t

Tenendo presente la legge di conservazione della carica si puo scrivere:

∇ · ∇×B =1

c

∂∇ ·E∂t

− 4π

c

(

∂ρL

∂t− ∂∇ · p

∂t

)

=1

c

∂

∂t

∇ · E − 4π(ρL −∇ · p)

e per la prima delle (261) si ha infine

∇ · ∇ ×B = 0

in accordo col fatto che la divergenza del rotore di un vettore e identicamente nulla.

* * *

106


Osserviamo che la prima e la quarta delle (261) si possono anche scrivere cosı:

∇ · (E + 4πp) = 4πρL

∇× (B − 4πm)− 1

c

∂

∂t(E + 4πp) = 4πı L

Questa scrittura suggerisce l’introduzione di due nuovi campi vettoriali

H = B − 4πm ; D = E + 4πp

Ricordando poi le (262) e (263) si dovrebbe scrivere

H = B − 4πχMB ; D = E + 4πχEE

tuttavia per ragioni storiche (legate all’idea originaria, mutuata dall’elettrostatica, che lesorgenti del campo magnetico siano cariche magnetiche, e non dipoli, come correntementesi assume) si usa esprimere m in funzione del campo H invece che di B

m = χMH

percioH = B − 4πχMH

e quindi, ponendoµ = 1 + 4πχM ; [µ] = adimensionale (264)

ε = 1 + 4πχE ; [ε] = adimensionale (265)

si ottieneB = µH (266)

D = εE (267)

La quantita ε e detta costante dielettrica o permittivita elettrica, mentre µ e detta perme-abilita magnetica.

I valori di µ, se si escludono le sostanze ferromagnetiche, sono tutti assai prossimi a 1.In definitiva le equazioni di Maxwell si possono anche scrivere cosı:

∇ ·D = 4πρL

∇× E +1

c

∂B

∂t= 0

∇ ·B = 0

∇×H − 1

c

∂D

∂t= 4πı L

(268)

conD = εE (269)

B = µH (270)

107


Queste ultime due, dette equazioni costitutive, sono indispensabili per rendere calcolabili ivettori E,B,H,D che compaiono nelle precedenti quattro.Nel vuoto, essendo ε = µ = 1, le (268) coincidono con le equazioni (164).La prima delle (268) mostra che le sorgenti del vettore D sono le cariche libere.In termini di linee di flusso cio significa che le linee del campo D partono da o arrivanosu cariche libere. Ricordiamo che, invece, le linee del campo E partono da o arrivano sucariche qualsivoglia, libere o di polarizzazione (v. la prima equazione delle (261)).L’ultima delle (268) mostra che il campo H ha punti di vorticita non nulla dove vi e densitanon nulla di correnti libere, e anche dove D varia nel tempo.Notiamo che

∇ ·H = ∇ · Bµ

= µ(∇ ·B) + B · (∇µ) = B · (∇µ)

Quindi in un materiale immerso in un campo magnetico e caratterizzato da permeabilitamagnetica µ variabile da punto a punto la divergenza di H puo non essere nulla (mentree sempre nulla la divergenza di B).

Osserviamo infine che l’introduzione dei vettori H e D non e indispensabile, dato che le(261), (262) e (263) forniscono una descrizione dei fenomeni elettromagnetici nei mezzimateriali altrettanto completa che le (268), (269) e (270). Introducendoli si ottiene unaformulazione delle equazioni piu compatta: a fronte di questo vantaggio vi e una minorefacilita di interpretazione fisica delle equazioni stesse.

* * *

Termina qui la presentazione storica dell’elettromagnetismo maxwelliano alla quale ci siamointeressati a partire dall’inizio del Capitolo 2 di questo studio.

108


CONCLUSIONI

L’elettromagnetismo moderno afferma che le forze e.m. che si esercitano fra porzioni di ma-teria elettronica sono dovute allo scambio di fotoni generati dall’interazione della materiaelettronica col vuoto e.m..

L’elettromagnetismo maxwelliano descrive le forze e.m. seguendo l’una o l’altra di questedue vie alternative:

1) assume che porzioni di materia elettronica sono soggette a forze non perche si scam-biano fotoni, ma perche sono “elettricamente cariche”. Le cariche elettriche agiscono “adistanza”. In regime statico/stazionario il concetto di “azione a distanza” non e ulterior-mente precisabile, in regime dinamico l’azione a distanza e caratterizzata da propagazionea velocita finita;

oppure

2) simula lo scambio di fotoni (che e dovuto alla presenza di materia elettronica e che el’origine della forza e.m.) introducendo un corpo elastico dotato di uno stato di tensionetale da riprodurre le forze che si osservano manifestarsi fra porzioni di materia elettronica.Il corpo elastico viene descritto come se fosse un oggetto fisico realmente esistente, cioedotato di variabili dinamiche come l’energia e la quantita di moto, e senza fare alcunriferimento alla materia elettronica. Una volta introdotto il corpo elastico, le porzioni dimateria elettronica, che pure stanno all’origine di tutta la fenomenologia elettromagnetica,diventano oggetti fisici inattivi su cui si osserva agire la forza e.m. generata dalla tensionedel corpo elastico.

Dunque l’elettromagnetismo moderno tratta di:

- materia elettronica

- fotoni

- vuoto e.m.

mentre l’elettromagnetismo maxwelliano tratta di:

- carica elettrica

- azione a distanza;

(ignorando l’esistenza della materia elettronica e dei fotoni

generati dall’interazione fra materia elettronica e vuoto)

oppure di:

- corpo elastico

- azione mediata;

(ignorando l’esistenza della materia elettronica e descrivendo

classicamente le conseguenze dell’esistenza dei fotoni generati

dall’interazione fra materia elettronica e vuoto)

* * *

109


Come gia si e notato (v. punto 15 (pag. 50)), occorre tenere ben presente che sia la caricaelettrica che il corpo elastico sono concetti di comodo, e non realta fisiche.In particolare il corpo elastico, al cui stato di tensione e dovuta la forza e.m., non e unoggetto localizzabile nello spazio come lo e un ordinario oggetto fisico classico, basti pensareche si trova ad essere solidale con qualunque sistema inerziale.Avere creduto che sia un oggetto fisico classico ha causato, nella seconda meta del 1800,difficolta e conclusioni contraddittorie in chi tentava di riferirsi ad esso per spiegare leproprieta del fenomeno della propagazione della luce.Quello che si puo dire in proposito e che il sistema fotoni/vuoto elettromagnetico, al qualela moderna Fisica ritiene siano dovute le azioni elettromagnetiche, puo, per alcune dellesue caratteristiche, essere descritto come se fosse un corpo elastico classico continuo.

Il corpo elastico non e, del resto, l’unico concetto di comodo dotato di insoddisfacente defi-nizione fisica che e presente nell’elettromagnetismo: ad esempio, i diagrammi di Feynmannon rappresentano la traiettoria di alcuna particella perche sono simboli grafici ausiliari as-sociabili ad ampiezze di probabilita, e tuttavia riesce molto utile, nello studio dei fenomenie.m. (e non solo), considerarli traiettorie: e proprio su questa idea che si fonda l’efficaciaoperativa del metodo grafico di Feynman.Altro esempio: i positoni non sono negatoni che si muovono a ritroso nel tempo, ma riesceutile considerarli cosı.Nel prendere in considerazione tutti questi concetti di comodo, cioe il corpo elastico, idiagrammi di Feynman e i positoni che si muovono a ritroso nel tempo, deve essere tenutopresente che allargare il loro campo di azione per descrivere una fenomenologia piu vastadi quella per la quale sono stati creati puo dare origine a complicazioni e contraddizioni.

* * *

Conviene infine ribadire e sottolineare un punto di importanza basilare dell’elettromagneti-smo maxwelliano: e la presenza della carica elettrica, strumento matematico che permettedi ignorare lo scenario fisico reale in cui avvengono i fenomeni elettromagnetici, cioe ilvuoto e i fotoni generati dalla materia elettronica (sistema FVe.m.).La carica consente di semplificare lo studio dei fenomeni e.m. rimuovendo il sistema FVe.m.

e sostituendolo con una azione a distanza alla quale l’introduzione dello strumento matema-tico “campo e.m.” permette di associare, in regime dinamico, una velocita di propagazionefinita.Si ottiene come conseguenza una semplificazione della descrizione dei fenomeni elettroma-gnetici che, oltre ad aver favorito (a livello macroscopico) la loro comprensione, ha datol’avvio allo sviluppo di innumerevoli applicazioni tecniche.

110


Presentiamo sinteticamente le tre descrizioni dell’elettromagnetismo maxwelliano alle qua-li in questo lavoro si e accordato fiducia, cioe la descrizione basata sui concetti di cari-ca/campo, la descrizione basata sui concetti di carica/potenziale e la descrizione basatasul sistema FVe.m.:

carica/campo carica/potenziale sistema FVe.m.

tensore degli sforzi T= 14π

E E+B B−12 δ(E2+B2)

forza fL=ρE+ı×B fL=−ρ(∇ϕ+ ∂A∂ct

)+ı×(∇×A) fEM =∇·T−∂∂t

E×B4πc

momento pe=E×B

4πc

momento angolare l=R×pe

energia W= 12

∫

(ρϕ+ı·A)dτ+ we= E2+B2

8π+ 1

8πc

∫ (

A·∂E

∂t−E·

∂A

∂t

)

dτ

potenza cE·ı

vettore di Poynting Se= cE×B4π

111

Prima Parte: ELETTROMAGNETISMO MAXWELLIANOPrima Parte: Elettromagnetismo maxwelliano - Capitolo 1...

Documents

Transcript of Prima Parte: ELETTROMAGNETISMO MAXWELLIANOPrima Parte: Elettromagnetismo maxwelliano - Capitolo 1...