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Corso di Tecnica delle Costruzioni II – Teoria delle Esercitazioni Bozza del 16/04/2011

a cura di Enzo Martinelli 1 Anno accademico 2005/06

Prima esercitazione progettuale

Progetto di un capannone industriale in

acciaio

1 Verifica di stabilità flesso-torsionale della capriata. ............. 2

2 Definizione della Rigidezza Rotazionale del collegamento

arcareccio-capriata. ..................................................... 5

3 Un esempio numerico. ................................................ 9



1 VERIFICA DI STABILITÀ FLESSO-TORSIONALE DELLA CAPRIATA.

La presenza di un sistema di controvento di falda (trasversale e longitudinale) e verticale

conferisce alla copertura un carattere di corpo rigido determinando, per conseguenza, il fatto che le

distanze reciproche tra i nodi superiori delle diverse capriate rimane invariata nella configurazione

indeformata.

Questo fatto, peraltro, rende lecita la scelta che si è fatta all’atto della verifica di stabilità delle

aste di assumere come lunghezza libera di inflessione proprio la distanza tra i due nodi ai quali esse

sono connesse. A stretto rigore, poiché l’ipotesi di impalcato rigido di cui si è detto riguarda a

stretto rigore soltanto i nodi della copertura e non quelli relativi al corrente inferiore, è necessario

verificare che il vincolo offerto dal complesso di barcarecci e controventi di falda sia valido anche

per i vincoli del corrente inferiore (tramite le aste di parete), controllando, cioè, che non si

verifichino fenomeni di instabilità flesso-torsionale della capriata nel suo complesso. Tali fenomeni

possono verificarsi a partire da un certo valore del carico applicato sulla capriata in corrispondenza

del quale può determinarsi la biforcazione dell’equilibrio rispetto alla configurazione banale

secondo la quale i nodi della capriata dovrebbero rimanere nel piano della stessa.

Figura 1: Configurazione instabile della capriata.



La valutazione del carico critico qcr che determina questo tipo di fenomeno di instabilità, si

può determinare sulla base di un approccio energetico che faccia derivare il carico critico

all’instabilità flesso-torsionale in corrispondenza di un minimo relativo dell’energia potenziale Π

dato dalla differenza tra l’energia di deformazione U (determinata sulla configurazione deformata)

ed il lavoro W prodotto dai carichi:

WU −=Π . (1)

L’energia di deformazione, o meglio la sua variazione a partire dalla configurazione di

equilibrio banale, può essere espressa in funzione della deformata fuori piano del corrente inferiore

u(z) e della rigidezza rotazionale che si oppone alla rotazione fuori piano θ(z) della capriata:

( )[ ]∫∫ ⋅⋅+⋅

⋅=

l

0

2

a

al

0

2

2

2y

dzzθi

K

2

1dz

dz

ud

2

EIU , (2)

e poiché risulta

( ) ( ) hzzu ⋅θ= , (3)

si ottiene la seguente espressione per l’energia di deformazione U

( )∫∫ ⋅

⋅⋅+⋅

⋅=

l

0

2

a

al

0

2

2

2y

dzh

zu

i

K

2

1dz

dz

ud

2

EIU . (4)

Quanto al lavoro delle forze esterne W, si può assumere che un carico uniforme e equivalete q

ottenuto come:

l

P

q

nodin

1i

i∑== ,

(5)

ottenendo la seguente espressione:

( )∫ ⋅⋅=l

0

dzzvqW . (6)

Poiché risulta:

( ) ( )h2

uh

2hcos1zv

22

=⋅θ

≅⋅θ−= , (7)

la (6) si può esprimere come segue:

( )[ ]∫ ⋅⋅=l

0

2dzzu

h2

qW . (8)

In definitiva, risulta:

( )( )

( )[ ]∫∫∫ ⋅⋅−⋅

⋅⋅+⋅

⋅=Π

l

0

2l

0

2

a

al

02

2y

dzzuh2

qdz

h

zu

i

K

2

1dz

dz

ud

2

EIu . (9)

Ipotizzando per l’espressione di u una forma sinusoidale compatibile con le condizioni di

vincolo alle estremità, si può assumere la seguente relazione:

( )

π⋅=

l

zsinuzu 0 . (10)

Sostituendo la (10) nella (9) si ottiene la seguente espressione per il funzionale energia

potenziale:

( ) ∫ ⋅π

⋅⋅

−⋅+

π⋅⋅=Π

l

0

202

a

a4

y0 dzl

zsinu

h2

q

hi

K

2

1

lEI

2

1u . (11)



Il valore del carico critico si ottiene determinando il punto di stazionarietà di P rispetto a u0

nel caso in cui u0 è non nullo (ovvero quando si verifica una biforcazione dell’equilibrio). In quelle

condizioni risulta:

0h2

q

hi

K

2

1

lEI

2

1 cr

2a

a4

0y =−⋅+

π⋅⋅ , (12)

da cui

hi

Kh

l

EIq

a

a

40

y4cr +⋅⋅π= . (13)

Il valore del carico critico qcr elastico, o corrispondentemente il momento critico rispetto Mcr,

128

lqM

2cr

cr÷

= . (14)

(la scelta del denominatore dipende dallo schema della capriata: 8 si riferisce al caso di capriata

semplicemente appoggiata in assenza di sbalzi laterali) può essere utilizzato per la determinazione

della snellezza adimensionale rispetto al fenomeno di instabilità flessotorsionale:

cr

Rk,el,xLT

M

M=λ . (15)

dove Mx,el,Rk è il valore caratteristico del momento resistente (elastico) della sezione della capriata.

Quest’ultimo, può essere semplicemente determinato come segue:

ykel,xRk,el,x fWM = . (16)

essendo evidentemente Wx,el,Rk il modulo di resistenza elastico della sezione attorno all’asse y

(quello ortogonale al piano di sollecitazione della capriata secondo quanto rappresentato nella

Figura 1).

Dette Ac,sup e Ac,inf le aree totali dei correnti superiore ed inferiore, rispettivamente, e h la distanza

tra i loro baricentri, la distanza dG del baricentro della sezione trasversale equivalente della capriata

da quello del corrente superiore può determinarsi come segue:

hAA

Ad

inf,csup,c

inf,cG ⋅

+= , (17)

il momento d’inerzia della medesima sezione rispetto all’asse x vale:

( )2Ginf,c

2Gsup,cG,x dhAdAI −⋅+⋅= , (18)

e, in definitiva, il modulo di resistenza coinvolto nella relazione (15) si determina come segue:

)dh;dmax(

IW

GG

G,xel,x

−= . (19)

La verifica di stabilità flesso-torsionale può, dunque, essere condotta secondo quanto previsto al

punto 4.2.4.1.3.2 della NTC – D.M. 14/01/2008, definendo come segue un valore di calcolo del

momento resistente:

1M

ykel,xLTRd,b

fWM

γ

χ= , (20)

e confrontando il corrispondente valore dello sforzo normale agente sui correnti della travatura

reticolare:

h

NN

Rd,bRd,b = , (21)

con il valore di calcolo NEd della sollecitazione assiale desunta dall’analisi:

Rd,bEd NN ≤ . (22)



2 DEFINIZIONE DELLA RIGIDEZZA ROTAZIONALE DEL

COLLEGAMENTO ARCARECCIO-CAPRIATA.



3 UN ESEMPIO NUMERICO

Consideriamo il caso in oggetto in cui sia il corrente inferiore che quello superiore siano

realizzati da due profili ad L 40x80x6 affiancati ad una distanza di 10 mm. Sia, inoltre h=2100 mm

la distanza tra i baricentri dei due correnti.

Il momento d’inerzia rispetto all’asse y-y (ovvero quello parallelo al piano della capriata in

Figura 1) può essere calcolato come segue:

422

yc,yc,yy mm 4157502

1084.8689759002

2

seAI2I =

+⋅+⋅=

+⋅+⋅= . (23)

Le componenti deformabili Ka,a e Ka,b imputabili alla flessibilità dell’ala dell’arcareccio ed al

suo collegamento con l’ala del corrente superiore ed il termine Kp legato alla deformabilità del

profilo possono valutarsi come segue. Ipotizzando un arcareccio costituito da un profilo IPE120 si

può, dunque, assumere:

Nmm 1055.2

2

3250

4

2

30205000

2

1

2

bd

t

2

bE

2

1K

6

2

32

2a

32c

aa,a ⋅=

−

⋅

⋅⋅=

−

⋅

⋅⋅= .

(24)

Nmm 1029.12

30

30

84205000

2

b

l

AEK 8

22c

b

bab,a ⋅=

⋅

⋅=

⋅= .

(25)

Nmm 1065.44200

31800002050003

i

EI3K 8

c

ap ⋅=

⋅⋅=⋅= .

(26)

avendo assunto un interasse tra le capriate ic=4200 mm.

Poiché una componente è assai meno rigida delle altre si ottiene una rigidezza risultate

definita come segue:

Nmm 1055.2KK 6a,aa ⋅=≈ . (27)

Il valore del carico critico rispetto all’instabilità flesso-torsionale della capriata si ottiene

dunque come segue:

( )N/mm 66.058.0089.0

21002100

1055.22100

21000

415750205000πq

6

4

4cr =+=

⋅

⋅+⋅

⋅⋅= , (28)

che corrisponde sostanzialmente ad un carico nodale pari a

kN 40.1N 1403210066.0qiP cracr ==⋅=⋅= . (29)

Supponendo che la capriata abbia una luce L=lcr=21000 mm e due sbalzi laterali di luce

lsb=4200 mm, il momento flettente nella mezzeria della trave equivalente dovuto al carico

uniformemente ripartito qcr vale:

( )kNm 11.29Nmm 1011.29

10

2100066.0

10

Lq

2

5/L

8

Lq

2

l

8

LqM

622

cr

22

cr

2sb

2

crcr =⋅=⋅=⋅≈

−⋅=

−⋅= . (30)



Il valore del modulo di resistenza può essere valutato facilmente, essendo dG=h/2 (per ovvie

ragioni di simmetria), il valore del modulo di resistenza Wx,el, definito in generale dalla (19), si può

determinare come segue: 2

c,supx,G 6 3x,el c,sup

G G

2 A (h / 2)IW A h 2 689 2100 2.89 10 mm

max(d ;h d ) h / 2

⋅ ⋅= = = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

−

e, quindi, il valore caratteristico del momento di snervamento si determina come segue: 6

x,el,Rk x,el ykM W f 795.80 10 Nmm 795.80 kNm= = ⋅ =

Pertanto, la snellezza adimensionale si determina come segue:

LT

795.805.229

29.11λ = = .

Un valore così alto della snellezza è di per sé indice di una struttura molto sensibile al

possibile fenomeno di instabilità. Pertanto, la verifica, sebbene non condotta esplicitamente, si

ritiene non soddisfatta.

Si decide, dunque, di disporre una crociera rompitratta posta nella mezzeria delle capriate, in

modo da ridurne la luce libera di inflessione rispetto al fenomeno di instabilità flesso-torsionale

lcr=L/2=10500 mm. In questo modo il carico critico elastico si determina come segue:

( )

64

cr 4

205000 415750 2.55 10q 2100 1.43 0.58 2.01 N/mm

2100 210010500

⋅ ⋅= π ⋅ ⋅ + = + =

⋅ e (31)

2 2

6cr cr

L 21000M q 2.01 88.64 10 Nmm 88.64 kNm

10 10=≈ ⋅ = ⋅ = ⋅ =

LT

795.802.996

88.64λ = = .

Assumendo la curva di instabilità “d” (Tabella 4.2.VII della NTC – D.M. 14/01/2008) come

riferimento per il parametro delle imperfezioni (α=0.76) è possibile determinare il valore di χLT

dalla relazione 4.2.51 della NTC – D.M. 14/01/2008 (avendo anche imposto per semplicità ed a

vantaggio di sicurezza 2.00,LT =λ f=1 e β=1):

( ) 2LT LT LT LT

11 0.2 6.052

2 Φ = ⋅ + α ⋅ λ − + λ =

( ) ( )LT

2 2 2 2LT LT LT

1 10,0884

6.052 6.052 2.996

χ = = =Φ + Φ − λ + −

.

In definitiva, il valore del momento resistente equivalente può determinarsi come segue:

b,Rd

0.0884 795,80M 67.02 kNm

1.05

⋅= =



cui corrisponde il seguente valore del carico assiale:

b,Rdb,Rd

M 67.02N 31.91 kN

h 2.10= = = .

Tale valore va confrontato con il valore di progetto dell’azione assiale sollecitante NEd

(ovvero il massimo in valore assoluto degli sforzi normali che si destano nei correnti superiore o

inferiore nelle varie combinazioni di carico). Dovrà evidentemente risultare

Rd,bEd NN ≤ .

Nel caso in cui ciò non avvenga, si potrà agire sull’interasse delle crociere rompitratta

riducendo lcr e, dunque, aumentando qcr e, corrispondentemente, riducendo ulteriormente LTλ .

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