1

1

i

CM

N

i A

iA N

i

i

m r

r

m

=

=

=

Sistema di riferimento del centro di massa

- l’origine e’ istante per istante collocata nel

→ si assume

- gli assi mantengono sempre lo stesso

3m

2m

nm

5m

1m

O’

4m

z’

y’

x’

centro di massa del sistema di punti materiali

orientamento rispetto agli assi fissi

che abbia assi sempre paralleli agli assi fissi

CMAr

zcm

ycm

xcm

Oc.m.

poiche’ il centro di massa e’ un punto rappresentativo

lo utilizzeremo per definire un nuovo sistema di riferimento

S’ → sistema di riferimento

inerziale fisso

. .CMO C M

0CMA =→

dell’ intero sistema di punti materiali

in altri termini il sistema di riferimento del centro di massa non e’ in rotazione

rispetto al sistema di riferimento inerziale fisso

( )P P OT R R Aa r r a = + +

2 vPC Ra =

P PA R T Ca a a a= + +

v v vP PA R T= +

v vO PT A Rr= + dove

dove

e

➢

➢

PAr PRr= OAr+

PArPRr

oAr➢

Ptrasformazione della velocita’ e

dell’ accelerazione

v v v P CM CMP

scm scm

A A A Pr= + +

→ tutte le grandezze riferite

saranno indicate con l’apice scm

del C.M.

P CMP

scm

A Aa a a= +

Nota Bene:

un sistema inerziale

0CMAa → il sistema del centro di massain generale

invece che con il pedice R

v v v P P O PA R A A Rr= + +

0 CMA =

2 v 0A PCM

C Ra = =

( ) 0CM CM PA A Rr =

→

→

→

0CMA =se

v v vP CMP

scm

A A= +

non e’

al sistema

Teoremi di Konig

1i

n

A Ai

L L=

=

il momento angolare totale

di riferimento inerziale fisso e’

che relazione intercorre tra il momento angolare totale

rispetto al

calcolato rispetto al sistema di riferimento del

ed il momento angolare totale

del sistema

AL

rispetto

del sistema di punti

all’origine O’

1

vi i

n

A i Ai

r m=

=

i CM

scm

A i Ar r r= + v v vi CM

scm

A i A= +

C.M.

zscm

yscm

xscm

2m

im

5m

1m

z’

y’

x’

6m

3m

2Ar

6Ar

5Ar

1Ar

scm

ir

3Ar

iAr

CMAr

'O

ma e

del sistema di punti materiali

sistema inerziale

centro di massa ?

1

( ) (v v )CM CM

nscm scm

A i A i i Ai

L r r m=

= + +

1

vn

scm scm

i i ii

r m=

+1

vCM

nscm

i i Ai

r m=

+1

vCM

nscm

A i ii

r m=

+1

vCM CM

n

A i Ai

r m=

1

vi i

n

A A i Ai

L r m=

= dato che

e che

i CM

scm

A i Ar r r= +

v v vi CM

scm

A i A= +

momento angolare totale del sistema momento angolare totale del

CMALscmL

di punti materiali

di riferimento del centro di massa

rispetto alrispetto al sistema centro di massa

ma

1

v ?CM

nscm

A i ii

r m=

=1

v ?CM

nscm

i i Ai

r m=

= e

AL = +

1

vCM

nscm

i i Ai

r m=

+1

vCM

nscm

A i ii

r m=

+

sistema di riferimento inerziale fisso

1

vCM

nscm

i i Ai

m r=

1

vCM

nscm

A i ii

r m=

1

vCM

nscm

i i Ai

r m=

moltiplicando e dividendo

1

n

ii

M m=

=per

1 vCM

nscm

i ii

A

m r

MM

=

CMr 1

n

i i

i

m r

M

==

ma

1

nscm

i ii

m r

M

=

posizione del C.M.rispetto al sistema del

centro di massa stesso

1 0

nscm

i ii

m r

M

= =

1

v 0CM

nscm

i i Ai

r m=

=

1

vCM

nscm

A i ii

r m=

1

v

CM

nscm

i ii

A

m

MrM

=

AQ

M=1

vn

i

i

im

M

==

vCMma

1

vn

scm

i ii

m

M

=

quantita’ di moto del

C.M. rispetto al sistema

del centro di massa stesso

vCMA AQ M=

v 0CM

scm scmQ M= =

scmQ=

1

v 0CM

nscm

A i ii

r m=

=

primo teorema di Konig

(teorema di Konig per

il momento angolare)

CM

scm

AL L+AL =

il momento angolare totale del sistema di punti

dovuto al moto del C. M.

e del momento angolare totale

momento angolarela somma vettoriale del

rispetto al sistema di riferimento inerziale

rispetto al C. M. del sistema stesso

nel sistema inerziale

e’

dovuto al moto del sistema di punti

Secondo teorema di Konig

energia cinetica totale del

sistema di punti nel sistema

di riferimento inerziale fisso 1

21

2v

A i

n

C i Ai

E m=

=

2

1

1

2(v v )

CM

nscm

i i Ai

m=

+

1

2 2 1

22( v v v v )

CM CM

nscm scm

i i i A Ai

m=

+ +

ma

1

21

2 v

nscm

i ii

m=

= 1

2 1

2 v

CM

n

i Ai

m=

+ 1

v vn

scm

i i CMi

m=

+

2v v v=

1

1(v v v v v v v v )

2 CM CM CM CM

nscm scm scm scm

i i i A i i A A Ai

m=

+ + +

2

1

1(v v )

2 CM

nscm

i i Ai

m=

+1

1(v v ) (v v )

2 CM CM

nscm scm

i i A i Ai

m=

= + +

dato che v v vi CM

scm

A i A= +

ACE

( teorema di Konig per l’energia cinetica )

1

21

2v

nscm

i ii

m=

1

2 1

2v

CM

n

i Ai

m=

1

v vACM

nscm

i ii

m=

1

v ( v )CM

nscm

A i ii

m=

v CM

scm

A Q

energia cinetica

totale del sistema

di punti rispetto al

sistema del centro

di massa

energia cinetica di un punto

0scmQ =

e’quantita’ di moto totale

del C.M. rispetto a se stesso

massa totale

del centro di massa

→ energia cinetica del C.M.rispetto al sistema inerziale

1

2 1

2v

CM

n

A ii

m=

2 1

2v

CMAM

scmQ

1

v v 0ACM

nscm

i ii

m=

=

che si muova’

materiale di massa pari alla

2 vCMA

rispetto al sistema inerziale

con la stesssa velocita

M del sistema

di punti

ma

quindi

l’energia cinetica totale del sistema di punti rispetto al sistema inerziale

ACE = ACM

scm

C CE E+

➢ dell’energia cinetica dei punti del sistema rispetto al centro di massa

del centro di massa

secondo teorema di Konig

➢ e dell’energia cinetica

e’ uguale alla somma

rispetto al sistema inerziale

( teorema di Konig per l’energia

cinetica)

sia concentrata tutta la massa delle forze esterne

ma

e’ un punto rappresentativo

e su cui si applica la risultante

del sistema di punti

il centro di massa di un sistema di punti materiali

nel quale si puo’ pensare

per il momento angolare totale

sufficiente conoscere la quantita’ di moto

tenere anche conto del moto del sistema di punti

ossia il moto del centro di massa

rispetto al centro di massa

ma bisogna

e la risultante delle forze esterne,

rispetto al sistema inerziale,

e l’energia cinetica totale

non e’

riassumendo:

del sistema di punti

iAr

viA

iAa

vi iA i Aq m=

vi i iA A i AL r m=

2 1

2v

iAii AC mE =

im

( rispetto all’origine o rispetto

al polo fisso prescelto )

le grandezze

di un sistemaper ogni punto Pi

di massa mi ciascuno

1

n

i

i

mM=

=

1i

n

iAQ q

=

=

2

1

1

2v

i

n

i A

i

C mE=

=

1

n

i

i

LL=

=

di tutti i puntirelativamente all’insieme

si introducono

di punti materiali il sistema di punti materiali

1i

n

i A

i

m r

M

==

CMr

CMdr

dt=vCM

CMa =vCMd

dt

espresse in funzione di

CMr vCMe

iAdr

dt=

viAd

dt=

le grandezzesi introducono

costituenti

3m

2m

nm

5m

1m

O’

4m

z’

y’

x’

cmr

eE

iF I

jiFe

1

nE E

i

i

R F=

=IR

1 1

n nI I

ji ij

j ij i i j

F F= =

= +

?'Q =

?'L =

' ?CE =

vCMMQ =

S’ → sistema di riferimento

inerziale fisso

scmCML L+L =

CE = CMC

scmCE E+

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