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Infiniti e Infinitesimi

Def. Una funzione f(x) si dice infinitesima per x x0 (o

per x ) , x0 punto di accumulazione per il dominio di

f(x), se:

0)(lim0

xfxx

)0)(lim (

xfoppurex

Infiniti e Infinitesimi

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Esempi.

y=ex è un infinitesimo per 𝑥 → −∞

y=lnx è un infinitesimo per 𝑥 → 1

y= sinx è un infinitesimo per 𝑥 → 0 (𝑚𝑎 𝑎𝑛𝑐𝑕𝑒 𝑝𝑒𝑟 𝑥 → 𝜋, 2𝜋 𝑒𝑡𝑐. )

y= ln(1+x) è un infinitesimo per 𝑥 →0

Infiniti e Infinitesimi

Infiniti e Infinitesimi

Def. Una funzione f(x) si dice infinita per x x0

(o per x ), x0 punto di accumulazione per il dominio

di f(x), (o per x ) se:

)(lim0

xfxx

))(lim (

xfoppurex

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Infiniti e Infinitesimi

Esempi

y=ex è un infinito per 𝑥 → +∞

y=lnx è un infinito per 𝑥 → 0+

y=𝑥2 + 𝑥 è 𝑢𝑛 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 𝑥 → ∞

Infiniti e Infinitesimi

Def.: Ordine di infinitesimo

Siano f(x) e g(x) infinitesimi per x x0 (o per x ),

con g(x) 0. Se R+ e R, 0 tale che

)(

)(lim

0 xg

xf

xx

Allora, si dice che per x x0, (o per x ), f(x) è un

infinitesimo di ordine rispetto all’infinitesimo

campione g(x).

)(

)(lim

xg

xfo

x

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Infiniti e Infinitesimi

Esempi.

y=sinx è un infinitesimo per 𝑥 → 0 𝑑𝑖 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑒 1 𝑟𝑖𝑠𝑝𝑒𝑡𝑡𝑜 𝑎𝑙𝑙′𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑔 𝑥 = 𝑥

Infatti lim𝑥→0

𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑥𝛼 =1 solo se 𝛼 = 1

𝑦 = 𝑡𝑔2𝑥 è un infinitesimo di ordine 2 rispetto ad x,

per 𝑥 → 0

ord(1-cosx)=2 rispetto ad x per 𝑥 → 0

Infiniti e Infinitesimi

Def.: Ordine di infinito

Siano f(x) e g(x) infiniti per x x0 ( o per x ), con

g(x) 0.

Se R+ e R, 0 tale che

)(

)(lim

0 xg

xf

xx

Allora, si dice che per x x0, (o per x ), f(x) è un

infinito di ordine rispetto all’infinito campione g(x).

)(

)(lim

xg

xfo

x

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Esempi

ord(√𝑥) = 1

2 𝑟𝑖𝑠𝑝𝑒𝑡𝑡𝑜 𝑎𝑑 𝑥 per 𝑥 → +∞

𝑜𝑟𝑑1

𝑠𝑖𝑛𝑥=1 rispetto a

1

𝑥 per 𝑥 → 0

𝑜𝑟𝑑1

𝑒𝑥 − 1= 1 𝑟𝑖𝑠𝑝𝑒𝑡𝑡𝑜 𝑎

1

𝑥 per 𝑥 → 0

Infiniti e Infinitesimi

CONFRONTO TRA INFINITESIMI

ntabilinon confrof e gesistenon

ord(g)ord(f)

ord(g)ord(f)

ord(g)ord(f)

xg

xf

xx

,

0

0

)(

)(lim

0

Stesso risultato se f(x) e g(x) sono infinitesime per x

Siano f(x) e g(x) infinitesime per x x0,

Infiniti e Infinitesimi

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Infiniti e Infinitesimi

Utilizzando il confronto tra infinitesimi nel calcolo di limiti

del tipo

lim𝑥→𝑥0

𝑓1+𝑓2

𝑔1+𝑔2,

dove 𝑓1, 𝑓2, 𝑔1, 𝑔2 sono funzioni infinitesime per 𝑥 → 𝑥0,

si possono trascurare gli infinitesimi di ordine maggiore

(analogo discorso per funzioni infinitesime 𝑥 → ∞)

Es.

lim𝑥→0

𝑥2 + 𝑥3 + 2𝑡𝑔𝑥

𝑒𝑥 − 1 2 + 𝑠𝑖𝑛𝑥=

lim𝑥→0

2𝑡𝑔𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑥=2

CONFRONTO TRA INFINITI

ntabilinon confrof e gesistenon

ord(g)ord(f)

ord(g)ord(f)

ord(g)ord(f)

xg

xf

xx

,

0

0

)(

)(lim

0

Stesso risultato se f(x) e g(x) sono infinite per x

Siano f(x) e g(x) infiniti per x x0,

Infiniti e Infinitesimi

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Infiniti e Infinitesimi

Utilizzando il confronto tra infiniti nel calcolo di limiti del

tipo

lim𝑥→𝑥0

𝑓1+𝑓2

𝑔1+𝑔2,

dove 𝑓1, 𝑓2, 𝑔1, 𝑔2 sono funzioni infinite per 𝑥 → 𝑥0,

si possono trascurare gli infiniti di ordine minore

(analogo discorso per funzioni infinite 𝑥 → ∞)

xxx

xxx

x 312

3lim

2

32

Infiniti e Infinitesimi

Esercizio.

Calcolare il limite xxx

xxx

x 312

3lim

2

32

Si ha:

.2

1

2lim

3

3

x

x

x

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Infiniti e Infinitesimi

Def.

Si dice che due funzioni f, g sono asintotiche per x x0

se

e si scrive 𝑓~𝑔 𝑝𝑒𝑟 𝑥 → 𝑥0

Es.

sinx ~x per 𝑥 → 0

ln(1+x) ~x per 𝑥 → 0

ex-1~x per 𝑥 → 0

1)(

)(lim

0

xg

xf

xx

Infiniti e Infinitesimi

Gerarchia degli infiniti

Per 𝑥 → +∞ 𝑠𝑖 𝑕𝑎

Non sempre è possibile calcolare l’ordine di infinito (o di

infinitesimo) rispetto alla funzione campione usuale.

Es

1, ,0, ,log baconbxx x

a

1 ,0 ,lim

ax

a x

x

1 ,0, ,0

loglim

a

x

xa

x

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Infiniti e Infinitesimi

Regole aritmetiche

Siano f(x)=o(𝑥𝛼) (si legge «o piccolo di»)

e g(x)=o(𝑥𝛽)

due funzioni infinitesime di ordine superiore rispettivamente

ad 𝛼 𝑒 𝑎 𝛽 𝑝𝑒𝑟 𝑥 → 0

Allora si ha

cf(x)= o(𝑥𝛼),

Rc

)()( xoxfx

)()()( xoxgxf

),min( ),()()( xoxgxf

Infiniti e Infinitesimi

Regole aritmetiche

Siano f(x) e g(x) due funzioni infinite di ordine

rispettivamente 𝛼 𝑒 𝛽 Allora si ha

),,max()()( xgxford

,)()( xgxford

.)( xford