GLI INSIEMIPROF. WALTER PUGLIESE

INSIEME

DEFINIZIONE

UN RAGGRUPPAMENTO DI OGGETTI

RAPPRESENTA UN INSIEME IN SENSO

MATEMATICO SE ESISTE UN CRITERIO

OGGETTIVO CHE PERMETTE DI DECIDERE

UNIVOCAMENTE SE UN QUALUNQUE

OGGETTO FA PARTE O NO DEL

RAGGRUPPAMENTO

ESEMPIO 1

SONO INSIEMI I SEGUENTI

RAGGRUPPAMENTI:

• I PIANETI DEL SISTEMA SOLARE;

• I NUMERI NATURALI MAGGIORI DI

1000.

ESEMPIO 2

NON SONO INSIEMI, INVECE:

• I PROFESSORI PIÙ SEVERI;

• LE FRAZIONI MOLTO PICCOLE.

GLI ELEMENTI DI UN INSIEME

GLI OGGETTI CHE FORMANO UN INSIEME

SONO CHIAMATI ELEMENTI DELL’INSIEME.

UN INSIEME È FINITO SE CONTIENE UN

NUMERO FINITO DI ELEMENTI, IN CASO

CONTRARIO SI DICE INFINITO.

GLI INSIEMI SI INDICANO CON UNA LETTERA

MAIUSCOLA, GLI ELEMENTI DI UN INSIEME SI

INDICANO CON UNA LETTERA MINUSCOLA

ESEMPIO

L’INSIEME DEI GRANELLI DI SABBIA CONTENUTI

IN UN RECIPIENTE È UN INSIEME FINITO;

L’INSIEME DEI NUMERI NATURALI MULTIPLI DI 3

È UN INSIEME INFINITO.

GLI INSIEMI NUMERICI

PER GLI INSIEMI NUMERICI UTILIZZIAMO LE SEGUENTI LETTERE:

N INSIEME DEI NUMERI NATURALI; Z INSIEME DEI NUMERI INTERI;

P INSIEME DEI NUMERI NATURALI PARI; Q INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI;

D INSIEME DEI NUMERI NATURALI DISPARI; R INSIEME DEI NUMERI REALI.

L'INSIEME VUOTO

L'INSIEME CHE NON HA ELEMENTI SI CHIAMA

INSIEME VUOTO.

PER INDICARE L'INSIEME VUOTO SI INDICA IL

SIMBOLO ∅

ESEMPI

L’INSIEME DEI NUMERI DISPARI DIVISIBILI PER 2;

L’INSIEME DELLE CONSONANTI DELLA PAROLA

«IO»;

L’INSIEME DEI TRIANGOLI AVENTI QUATTRO

LATI.

APPARTENENZA A UN INSIEME

PER INDICARE CHE UN ELEMENTO APPARTIENE A UN INSIEME SI USA IL

SIMBOLO ∈

SI SCRIVE X∈A E SI LEGGE «X APPARTIENE AD A»

PER INDICARE CHE UN ELEMENTO NON APPARTIENE A UN INSIEME SI

USA IL SIMBOLO ∉

SI SCRIVE X∉A E SI LEGGE «X NON APPARTIENE AD A»

ESEMPIO

• 5 ∈ N SIGNIFICA 5 APPARTIENE

ALL'INSIEME DEI NUMERI NATURALI

• 0,25 ∉ N SIGNIFICA 0,25 NON

APPARTIENE ALL'INSIEME DEI NUMERI

NATURALI

LE RAPPRESENTAZIONI DI UN INSIEME

POSSIAMO DESCRIVERE GLI INSIEMI IN TRE MODI DIVERSI:

• RAPPRESENTAZIONE GRAFICA;

• RAPPRESENTAZIONE PER ELENCAZIONE;

• RAPPRESENTAZIONE MEDIANTE LA PROPRIETÀ CARATTERISTICA.

LA RAPPRESENTAZIONE GRAFICA

SI UTILIZZANO I DIAGRAMMI DI EULERO-VENN, NEI QUALI GLI ELEMENTI DEGLI INSIEMI SONO

RACCHIUSI DENTRO LINEE CHIUSE.

A B

INSIEME DEI NUMERI NATURALI MINORI DI 4. INSIEME DELLE VOCALI

.0 .1

.2. .3

.a .e. .i.o. .u

RAPPRESENTAZIONE PER ELENCAZIONE

GLI ELEMENTI VENGONO ELENCATI,

RACCHIUSI FRA PARENTESI GRAFFE E

SEPARATI DA VIRGOLE. GLI ELEMENTI NON

DEVONO ESSERE RIPETUTI E NON HA

IMPORTANZA L’ORDINE CON CUI SONO

SCRITTI.

ESEMPIO 1

LA RAPPRESENTAZIONE PER

ELENCAZIONE DELL’INSIEME DELLE

LETTERE DELLA PAROLA

«ARISTOGATTI» È:

𝐿 = 𝑎, 𝑔, 𝑖, 𝑜, 𝑟, 𝑠, 𝑡

ESEMPIO 2

SE L’INSIEME È COSTITUITO DA INFINITI

ELEMENTI, DOPO AVER ELENCATO UN

NUMERO DI ELEMENTI SUFFICIENTE A

IDENTIFICARLO, SI PUÒ RICORRERE AI

PUNTINI.

NUMERI NATURALI:

N ={0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

LA RAPPRESENTAZIONE MEDIANTE PROPRIETÀCARATTERISTICA

L’INSIEME È DEFINITO ENUNCIANDO LA

PROPRIETÀ CHE CARATTERIZZA IN MODO

OGGETTIVO E UNIVOCO OGNI SUO

ELEMENTO.

ESEMPIO:

OSSERVIAMO LA SCRITTURA

𝐼 = 𝑥 ∈ 𝑁 | 𝑥 È 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑖 3

• IL SIMBOLO | SIGNIFICA «TALE CHE»;

• LA LETTERA 𝑥 INDICA UN ELEMENTO GENERICO DELL’INSIEME;

• «È MULTIPLO DI 3» È LA PROPRIETÀ DI CUI GODE 𝑥, OSSIA OGNI

ELEMENTO DELL’INSIEME.

• LA SCRITTURA 𝐼 = {𝑥 ∈N/ 𝑥 È MULTIPLO DI 3} SI LEGGE: «𝐼 È

L’INSIEME DEI NUMERI NATURALI 𝑥 TALI CHE 𝑥 È MULTIPLO DI 3».

SOTTOINSIEME

SI DICE CHE L’INSIEME B È SOTTOINSIEME DELL’INSIEME A SE

TUTTI GLI ELEMENTI DI B APPARTENGONO ANCHE AD A.

SI SCRIVE B ⊆ A E SI LEGGE «B È SOTTOINSIEME DI A», O «B È

INCLUSO IN A», O «B È CONTENUTO IN A».

DUE INSIEMI SONO UGUALI SE SONO FORMATI DAGLI STESSI

ELEMENTI E SI SCRIVE A=B.

PER DIRE CHE «A E B NON SONO UGUALI» SCRIVIAMO

INVECE A≠B

ESEMPIO

CONSIDERIAMO A {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

E B {0, 3, 6, 9}.

L’INSIEME B È UN SOTTOINSIEME DI A E

SCRIVIAMO B ⊆A.

INCLUSIONE STRETTA

SI DICE CHE L’INSIEME B È

STRETTAMENTE INCLUSO

NELL’INSIEME A QUANDO OGNI

ELEMENTO DI B È ANCHE ELEMENTO

DI A, MA ESISTONO ELEMENTI DI A

CHE NON SONO ELEMENTI DI B.

SI SCRIVE B⊂A E SI LEGGE «B

CONTENUTO STRETTAMENTE IN A»,

OPPURE «B È INCLUSO

STRETTAMENTE IN A

ESEMPIO

ESEMPIO

P⊂N, PERCHÉ TUTTI I NUMERI

PARI SONO NATURALI, MA

ESISTONO NATURALI CHE NON

SONO PARI.

OSSERVAZIONI

SE B ⊂ A, ALLORA B ⊆ A,

MENTRE NON È VERO IL

CONTRARIO: SE B ⊆ A, NON È

DETTO CHE B ⊂ A.

È SBAGLIATO SCRIVERE 2⊂N

E {8} ∈ N

I SOTTOINSIEMI PROPRI E IMPROPRI

DATO UN INSIEME, L’INSIEME STESSO E

L’INSIEME VUOTO SONO SEMPRE SUOI

SOTTOINSIEMI E SI DICONO SOTTOINSIEMI

IMPROPRI.

OGNI SOTTOINSIEME NON VUOTO

STRETTAMENTE INCLUSO IN UN INSIEME SI

DICE SOTTOINSIEME PROPRIO DELL’INSIEME.

ESEMPIO

1. L’INSIEME A DELLE CONSONANTI DELLA

PAROLA «AIA» È UN SOTTOINSIEME

IMPROPRIO DELL’INSIEME DELLE

CONSONANTI, PERCHÉ A=∅

2. L’INSIEME DELLE VOCALI È UN

SOTTOINSIEME PROPRIO DI QUELLO DELLE

LETTERE DELL’ALFABETO.

LE OPERAZIONI CON GLI INSIEMI

INTERSEZIONE DI DUE INSIEMI

SI DICE INTERSEZIONE DI DUE INSIEMI A E B

L’INSIEME DEGLI ELEMENTI CHE

APPARTENGONO SIA AD A SIA A B.

SI SCRIVE A∩B E SI LEGGE «A INTERSEZIONE

B» O «A INTERSECATO B».

IN SIMBOLI: A∩B= 𝑥| 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∈ 𝐵

ESEMPI DI INTERSEZIONI DI DUE INSIEMI

A E B HANNO ALCUNI ELEMENTI IN

COMUNE, MA NON TUTTI: LA LORO

INTERSEZIONE È UN SOTTOINSIEME

PROPRIO SIA DI A SIA DI B.

B È SOTTOINSIEME DI A L’INTERSEZIONE È

SOTTOINSIEME IMPROPRIO DI B, POICHÉ

COINCIDE CON L.

A E B NON HANNO ELEMENTI IN COMUNE

E LA LORO INTERSEZIONE È L’INSIEME

VUOTO, CIOÈ UN SOTTOINSIEME

IMPROPRIO DI ENTRAMBI.

INSIEMI DISGIUNTI

SE DUE INSIEMI NON HANNO ELEMENTI IN

COMUNE, SI DICONO DISGIUNTI.

IN GENERALE, SULL’INTERSEZIONE POSSIAMO

AFFERMARE CHE:

SE A⊆B, ALLORA A∩B = A;

SE A E B SONO DISGIUNTI, ALLORA A∩B =∅ .

L'UNIONE DI DUE INSIEMI

SI DICE UNIONE DI DUE INSIEMI A E B L’INSIEME DEGLI ELEMENTI CHE APPARTENGONO AD A O A B.

SI SCRIVE A∪B E SI LEGGE «A UNIONE B» O «A UNITO B». IN SIMBOLI:

A∪B= 𝑥| 𝑥 ∈ 𝐴 𝑜 𝑥 ∈ 𝐵

ESEMPI DI UNIONE DI DUE INSIEMI

NELL’UNIONE CI SONO TUTTI GLI ELEMENTI DEI DUE INSIEMI E SOLTANTO ESSI. GLI ELEMENTI IN COMUNE VENGONO SCRITTI UNA SOLA

VOLTA.

LA DIFFERENZA TRA DUE INSIEMI

SI DICE DIFFERENZA TRA DUE INSIEMI A E B, CONSIDERATI NELL’ORDINE, L’INSIEME DEGLI ELEMENTIDI A CHE NON APPARTENGONO A B.

SI SCRIVE A-B E SI LEGGE «A MENO B». IN SIMBOLI: A-B= 𝑥| 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∉ 𝐵

L'INSIEME COMPLEMENTARE DI UN INSIEME

SE B⊆A, L’INSIEME

COMPLEMENTARE DI B RISPETTO

AD A È A-B

L’INSIEME COMPLEMENTARE DI B

RISPETTO AD A SI INDICA CON

ESEMPI:

1. SE A È L’INSIEME DELLE LETTERE DI

UNA PAROLA E B QUELLO DELLE

SUE CONSONANTI, È

L’INSIEME DELLE VOCALI DELLA

PAROLA.

2. IL COMPLEMENTARE DI UN

INSIEME PUÒ ESSERE VUOTO.

PER ESEMPIO, È SEM-PRE VERO

CHE

DEFINIZIONE:

PRODOTTO CARTESIANO

SI DICE PRODOTTO CARTESIANO DI DUE

INSIEMI A E B, CONSIDERATI NELL’ORDINE,

L’INSIEME DI TUTTE LE COPPIE ORDINATE IN CUI

IL PRIMO ELEMENTO APPARTIENE AD A E IL

SECONDO APPARTIENE A B.

SI SCRIVE AXB E SI LEGGE «A PER B» O «A

CARTESIANO B».

IN SIMBOLI: A×B= ( 𝑥; 𝑦)| 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑦 ∈ 𝐵

LA RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA

NELLA RAPPRESENTAZIONE

CARTESIANA (O DIAGRAMMA

CARTESIANO) DI AXB DELL'ESEMPIO

PRECEDENTE, GLI ELEMENTI DI A

SONO RAPPRESENTATI SU UNA

SEMIRETTA ORIZZONTALE, GLI

ELEMENTI DI B SU UNA SEMIRETTA

VERTICALE, GLI ELEMENTI DI AXB

SONO I NODI DELLA GRIGLIA.

ESEMPIO

CONSIDERIAMO GLI INSIEMI: A {1, 2, 3},

B {A, B}.

IN AXB CI SONO LE COPPIE: (1; A), (2; A),

(3; A), (1; B), (2; B), (3; B).

INVECE IN BXA CI SONO (A; 1), (A; 2), (A;

3), (B; 1), (B; 2), (B; 3).

QUINDI A×B≠ B×A PERCHÉ, PER ESEMPIO,

(1;A)≠(A;1)

L'INSIEME DELLE PARTI

SI CHIAMA INSIEME DELLE PARTI DI A L’INSIEME

COSTITUITO DA TUTTI I SOTTOINSIEMI DI A.

SI SCRIVE: P(A).