1

Teoremi

Altri esercizi

http://www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica/mfo1_16.htm

2

Sovrapposizione degli effetti

Per un sistema fisico lineare, per il quale cioè causa ed

effetto sono in relazione lineare, si può affermare che l’effetto

complessivo dovuto a più cause è uguale alla somma degli

effetti che ciascuna causa determina singolarmente.

La corrente in un lato della rete dovuta all’azione di n

elementi attivi è la somma algebrica delle correnti circolanti

nello stesso lato dovute agli elementi attivi agenti

separatamente.

La differenza di potenziale tra due punti delle rete è la

somma algebrica delle differenza di potenziale tra gli stessi

punti dovute agli elementi attivi agenti separatamente.

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N.B. Quando si considera agente nella rete un solo generatore,

i generatori di tensione devono essere in cortocircuito (E=0)

i generatori di corrente devono essere aperti (I=0)

8 W 6V 3A

8 W 3A

8 W 6V

V

V1 V2

4 W

4 W 4 W

VV 884

8431

VV 2

84

462

VVVV 1021

NON VALE PER LE POTENZE

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Teorema di Thevenin

Data una rete accessibile da 2 morsetti, formata da generatori e

resistori lineari, dal punto di vista esterno, è equivalente ad un

generatore ideale di tensione VTh con in serie una resistenza RTh

VTh

RTh

Rete attiva

lineare RTh Resistenza relativa alla

stessa rete disattivata

Vth tensione a vuoto ai

morsetti A e B

+ A

- B

+ A

- B

I

V

Per ipotesi il bipolo è comandato in corrente: ad ogni valore della corrente I

corrisponde uno e un solo valore della tensione V

VAB= Vth +RThI

I

V

5

I

Rete

attiva

lineare

A

B

Cerco la relazione VAB/I imponendo il valore

della corrente ai terminali mediante un

generatore indipendente di corrente I e

calcolando la tensione.

Per il principio di sovrapp. degli effetti

VAB= V’AB+ V’’AB

1) V’AB tensione misurata quando I=0 (tensione

A VUOTO)

2) V’’AB tensione misurata quando i generatori

interni sono disattivati

V’’AB =ReqI

Rete

attiva

1)

A

B

I

Rete

disattivata

Req

2)

A

B

V’AB= VAB(0)

Tensione a vuoto

V’’AB

Dimostrazione

I

A

B

Req

+

-

6

VTh=VAB(0)

RTh= Req

VAB= VTh +RThI

VTh

RTh

A

B

I

VAB= V’AB+ V’’AB= VAB(0)+ReqI

7 7

Trasformazione di generatori indipendenti

I

V Vg

R

V Ig

I

Un generatore di tensione con un resistore in serie è

equivalente ad un generatore di corrente con una resistenza in

parallelo.

LKT Vg+RI –V = 0

V = Vg +RI

LKC Ig –V/R + I = 0

V = RIg + RI

R

Le relazioni coincidono se Vg =RIg

In tal caso i 2 bipoli sono equivalenti dal punto di vista esterno

8

Teorema di Norton

Data una rete accessibile da 2 morsetti, formata da generatori e

resistori lineari, dal punto di vista esterno, è equivalente ad un

generatore ideale di corrente IN con in parallelo una

conduttanza GN

IN

GN

Rete attiva

lineare GN Conduttanza relativa

alla stessa rete disattivata

IN corrente di cortocircuito

tra i morsetti A e B

A

B

A

B

Per ipotesi il bipolo è comandato in tensione: ad ogni valore della

tensioneV corrisponde uno e un solo valore della correnteI

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E Rete attiva

lineare

A

B

Per il principio di sovrapp. degli

effetti

I= I’+ I’’

I’ corrente misurata quando E=0

I’’ corrente misurata quando i

generatori interni sono disattivati

I’’=-GABE

Rete attiva

A

B

E Rete

Disattivata

GAB

A

B

I’= ICC

Corrente di cortocircuito

I’’

Dimostrazione (non in programma)

E

A I’’

B

GAB

I

I’

10

IN GN

I = ICC – GAB E tronco

IN

GN

I

I = IN – GN VAB

A

B

I= I’+ I’’=ICC - GABE

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Osservazioni

Un generatore reale di energia può essere

schematizzato indifferentemente come generatore di

tensione (Thevenin) o di corrente (Norton).

VTh

RTh

IN GN R

R

I

V

I

V IN =VTh/ RTh

GN=1/ RTh

Equivalente di Norton

A

A

B

B

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Teorema di Millmann

E1 E2 E3 Ei En

R1 R2 R3 Ri Rn

A

B

i

i

i

ii

ABG

EG

V

Caso limite di rete con due soli nodi

Il valore della d.d.p esistente tra i 2 nodi di una rete binodale è

quello espresso dal baricentro delle conduttanze

caratterizzanti ciascun lato esistente tra i 2 nodi, considerando

le conduttanze in posizione diversa per effetto delle tensioni

dei generatori ideali in serie alle conduttanze stesse.

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E1 E2 E3 Ei En

R1 R2 R3 Ri Rn

A

B

i

i

i

ii

ABG

EG

V

G1 E1G1 Gn EnGn i

iG i

iiGE

A

B

A

B

Equivalente di Norton

per ciascun ramo

Dimostrazione