Associazione Italiana per l’Analisi delle Sollecitaz ioni (AIAS) XXXVI Convegno Nazionale – 4-8 Settembre 2007

Università degli Studi di Napoli Federico II – Second a Università degli Studi di Napoli

METODOLOGIA PER IL CALCOLO DELLA CAPACITA’ DI UN PROCESSO PER PROCESSI - PRODOTTI NON GAUSSIANI

Luca Landi

Dipartimento di Ingegneria Industriale, Università degli Studi di Perugia, Via Duranti 1 – 60125, Perugia, e-mail:l.landi@unipg.it

Parole chiave: indici di capacità, processi non gaussiani, qualità ed affidabilità dei sistemi meccanici

Abstract

The main objective of this research is producing an integrated assembly of analytical and graphical methodologies in order to help the quality manager to estimate the statistically correct capability indices of a product – process [1]. The evaluation of capability indices (see after their mathematical definition) through industrial sampling [1-2] fits the real values when the prospective sampling errors are recognized and eliminated while the Gaussian hypothesis of the process is respected. So the main goal of this research is to give the analyst a complete set of methodologies for sampling errors recognition and removal. Moreover it will also supply correct estimation of capability indices when the distribution Gaussian hypothesis of the is not valid.

Sommario

La presente ricerca ha come obbiettivo lo sviluppo di un insieme coerente di metodologie grafiche e analitiche che siano in grado, in prima istanza, di aiutare il responsabile della qualità a formulare ipotesi statisticamente valide sulla variabilità di un processo – prodotto tramite gli indici di capacità del processo maggiormente utilizzati nella pratica industriale. La stima degli indici di capacità di un processo (si veda la memoria per la loro definizione analitica) tramite campionamento [1-2] risulta essere corretta qualora vengano eliminate eventuali anomalie dello stesso e rispettata l’ipotesi di distribuzione normale del processo sotto osservazione. Scopo di questa attività è quindi quello di trovare delle metodologie atte all’individuazione della non normalità del prodotto e degli eventuali difetti di campionamento anche per campioni piccoli (ad esempio errori di azzeramento o deriva nella misura) e di fornire dei metodi statisticamente corretti per il calcolo degli indici di capacità del processo anche nel caso di dati non gaussiani.

Introduzione

Il confronto tra la variabilità naturale e i limiti di specifica ha applicazioni in più parti del ciclo di vita di un prodotto anche nella stessa scelta iniziale delle specifiche di progetto.

Questa attività generale, detta analisi di capacità del processo, si esplica attraverso l'uso di strumenti come istogrammi, grafici o carte di probabilità, carte di controllo ed indici di capacità. In particolare per controllare la variabilità dei processi - prodotti sono molto utilizzati i cosiddetti indici di capacità del processo che hanno l’indubbia qualità, come tutti gli stimatori puntuali, di essere comprensibili anche a persone non esperte nel campo della statistica. Negli anni si è quindi diffuso l'utilizzo di questi indicatori anche nelle clausole dei contratti con i fornitori, ad esempio come garanzia di qualità sulla fornitura delle materie prime, semilavorati o componenti. Tuttavia spesso c'è poca conoscenza dei rischi che comporta l'utilizzo di questi indici. La stessa norma UNI ISO 3534-2 del febbraio del 2000 [3], al punto 3.2 avvisa che non esiste un accordo sulla definizione dell’indice di capacità e si limita a presentare i coefficienti tradizionali più diffusi e a ricordare che questi si basano sull’ipotesi di distribuzione normale. Il responsabile della qualità quindi non si può esimere dal verificare, nell’ottica ad esempio della stesura di una procedura di controllo in accettazione, la bontà statistica del campione da cui saranno estratti gli indici di capacità del processo. Si capisce che la stima puntuale della capacità del processo tramite i suddetti indici risulta essere azzardata senza una verifica preliminare in termini, ad esempio di bontà di adattamento alla distribuzione gaussiana del campione estratto. Nei prossimi paragrafi verranno quindi presentati gli indici di capacità del processo maggiormente utilizzati a livello industriale e le tecniche scelte per la verifica delle ipotesi di gaussianità del dato. Sarà poi presentata la metodologia sviluppata, a partire da strumenti sia grafici che analitici, che permette un rapido calcolo dei reali indici di capacità anche per processi non gaussiani.

Indici di Capacità per un Processo gaussiano

La necessità scaturite nella stima della capacità di processi industriali molto diversi tra di loro hanno portato alla definizione di una vasta gamma di indici di capacità del processo a seconda dell’ambito industriale di pertinenza [1-4]. Quelli più noti ed utilizzati sono i cosiddetti indici di capacità di processo di prima e seconda generazione. Il più noto in assoluto, atto alla stima della capacità di processi gaussiani centrati (in cui cioè la media del campione cada esattamente al centro dell’intervallo di specifica), risulta essere il cosiddetto Cp. Detto USL il limite di specifica superiore (Upper Specification Limit), LSL il limite di specifica inferiore (Lower Specification Limit), e σ la deviazione standard del processo si definisce il Cp per specifiche bilaterali come:

(1)

Per specifiche unilaterali si ha quindi, detta µ la media del processo:

, specifica superiore (2)

, specifica inferiore (3)

Per processi non centrati uno degli indici più utilizzati è in cosiddetto Cpk:

Cpk= min (Cu, Cl) (4)

( )σ6

LSLUSLCp

−=

( )σ

µ3

−= USLCU

( )σ

µ3

LSLC L

−=

Nella pratica industriale questi indici verranno poi stimati poiché sia la media che la deviazione standard del processo - prodotto non sono di solito conosciuti a priori. I due indici, nella loro semplicità, forniscono una buona indicazione, per una produzione sotto controllo, delle difettosità reale (Cpk) e potenziale (Cp) sotto l’ipotesi di gaussianità. Gli indici di capacità del processo sono quindi indicatore delle parti per milione (ppm) di non conformità (difetti) che il processo ha. Le non conformità possono essere comunque agevolmente calcolate, ad esempio per specifiche bilaterali, tramite la definizione di cumulata gaussiana (5):

1000000*2

11 2

3

3

2

−= −

+

−∫ dxppm e

xCp

Cp π

(5)

Si riesce quindi a scrivere la difettosità, che poi è la caratteristica del processo interessante per l’analista, in termini di Cp con una relazione biunivoca universalmente conosciuta:

Cp Specifiche unilaterali Specifiche bilaterali 0.25 226628 453255 0.50 66807 133614 0.60 35931 71861 0.70 17865 35729 0.80 8198 16395 0.90 3467 6934 1.00 1350 2700 1.10 484 967 1.20 159 318 1.30 48 96 1.40 14 27 1.50 4 7 1.60 1 2 1.70 0.17 0.34 1.80 0.03 0.06 2.00 0.0009 0.0018

Tabella 1 - Legame fra Cp e difettosità (ppm)

Nella prassi industriale questi indici vengono applicati in modo spesso errato, da persone che hanno soltanto delle conoscenze basilari di statistica, non tenendo conto delle ipotesi fondamentali che regolano l’applicabilità del metodo e cioè: processo sotto controllo e normalità del dato. Nel campionamento industriale è quindi una priorità prevalente l’ottenimento di semplici metodologie grafiche e analitiche che siano in grado, in prima istanza, di aiutare il responsabile della qualità a formulare inferenze statisticamente valide sulla natura e sulla “qualità” del campione osservato. Devono essere quindi prioritariamente individuate eventuali anomalie dovute ad un non corretta estrazione del campione stesso (ad esempio errori di misura) e successivamente devono essere verificate le ipotesi di distribuzione gaussiana alla base degli indici di capacità del processo. Nel momento in cui non ci sono “prove statistiche” che il dato campionato, e quindi il processo, sia gaussiano, calcolare un qualsivoglia indice di capacità di processo utilizzando le note formule (1-4) può portare a degli errori di valutazione affatto trascurabili.

Test di Ipotesi per l’adattamento dei dati, dati non gaussiani

I vari autori hanno evidenziato come, specialmente in presenza di distribuzioni asimmetriche, gli indici di capacità di processo comunemente calcolati portano a delle errate valutazioni della capacità del processo in termini delle reali ppm di difformi [5-6]. Per cercare di risolvere questa distorsione molti autori sono ricorsi alla trasformazione dei dati di partenza attraverso funzioni non lineari (essenzialmente elevazioni a potenza e logaritmi) che tendono a rendere gaussiani i dati stessi [1,7]. Per far questo però bisogna comunque realizzare una inferenza sulla distribuzione dei dati stessi, se non altro per praticare la trasformazione più consona del campione; la trasformazione stessa comunque porta comunque ad una distorsione degli indici ben evidenziata in [7]. Si ritiene quindi che una strada percorribile con successo sia quella di utilizzare principalmente una regressione (fitting) ad una data distribuzione (ad esempio gaussiana) per calcolarsi la distribuzione che meglio rappresenta il processo in oggetto. Dopo aver verificato statisticamente la bontà di adattamento del campione alla distribuzione ipotizzata (con le tecniche che verranno spiegate in seguito), si può quindi direttamente calcolare la difettosità del processo (ppm) tramite la cumulata della distribuzione nell’intervallo USL – LSL e, con i dati di tabella 1, ricavare una stima del Cpk capacità attuale del processo. Essendo infine il Cp il limite teorico del Cpk per processi centrati si può simulare velocemente uno spostamento della media del processo sulla regressione trovata per ricavare la potenzialità teorica massima del processo stesso. Risulta a parere dello scrivente, necessario introdurre brevemente le capacità inferenziali dei test di ipotesi [1,5]. L'inferenza si basa sull'utilizzazione di test, ossia di processi logico-matematici, che mediante il calcolo di probabilità specifiche, portano alla conclusione di poter respingere o meno l'ipotesi della “casualità”. La cosidetta ipotesi nulla, indicata di norma con H0, sostiene che le differenze tra gruppi, o le tendenze riscontrate, siano imputabili essenzialmente al caso, e che, quindi, con una certa probabilità (confidenza, α) si possa affermare che quei dati si distribuiscono o meno secondo un a certa distribuzione, con una media o una varianza comprese in un certo intervallo. Tecniche di inferenza molto utilizzate in passato sono quelle della statistica parametrica, che comprendono, ad esempio i noti test t di Student e il test F di Fisher-Snedecor [1]. La statistica parametrica si basa sull'ipotesi di distribuzione gaussiana, cioè nella definizione stessa del test si fa uso delle proprietà della distribuzione normale. Nel caso in cui l’ipotesi gaussiana sia rispettata questa categoria di test parametrici sono i più efficaci per il successivo conseguimento dell’adattamento (i.e. stima dei parametri media e deviazione standard) poiché utilizzano tutte le potenziali informazioni derivabili dalla distribuzione in oggetto. Nella pratica industriale però la gaussianità è difficile da dimostrare o addirittura non è rispettata affatto. In questi casi si deve ricorre alla statistica non parametrica [8]. I test non parametrici possono essere visti essenzialmente come dei test di bontà di adattamento ad una distribuzione qualsivoglia, il fitting viene valutato tramite un test sulla differenza fra il campione estratto e l’andamento ipotizzato in termini di densità di probabilità (PDF) o cumulata (CDF). A seconda del test non parametrico utilizzato, in funzione della numerosità del campione (n) e della confidenza, i vari autori hanno fornito delle tavole di valori critici che portano l’analista ad accettare o rifiutare l’ipotesi test cioè che i dati si adattino o meno alla distribuzione ipotizzata. Spesso infatti nella pratica industriale è possibile disporre solo di pochi dati, che sono assolutamente insufficienti per dimostrare a priori la normalità della distribuzione con le

tecniche parametriche in particolare, quando il processo studiato è nuovo e non è possibile citare dati di altre esperienze. I metodi non parametrici sono meno potenti dei corrispettivi parametrici in caso in cui il campione si adatti bene all’ipotesi H0 (cioè quando difficile rifiutare l’ipotesi nulla: H0 ~ gaussiana); ma quando l’ipotesi nulla è rifiutata, generalmente le conclusioni non possono essere sospettate d’invalidità. In altre parole, se il risultato del test non parametrico è che i dati si distribuiscono secondo la gaussiana possiamo essere “relativamente” certi che sia vero, mentre se il risultato è che i dati non sono distribuiti normalmente, allora possiamo essere certi che non lo siano davvero [8]. Sono stati utilizzati (ed implementati direttamente quando non disponibili) una serie di test non parametrici per la bontà d’adattamento alle distribuzioni normale, gamma e weibull [9] all’interno di Matlab:

• Lilliefors, valuta la diffferenza massima delle distanze tra le frequenze osservate e attese (PDF);

• Jaque-Bera, è basato sui momenti di terzo e quarto ordine del campione [1,8]; essendo un test asintotico è utilizzabile solo per grandi campioni;

• Kolmogorov-Smirnov, si fonda sulle distribuzioni cumulate, in questo test, il confronto tra distribuzione osservata ed attesa viene realizzato mediante il valore di massima divergenza tra le due distribuzioni cumulate (CDF).

• Anderson-Darling, anche questo test si basa sul confronto tra le curve cumulate e per di più ha la caratteristica di utilizzare i logaritmi per valutare la distanza critica del test. Questo fatto rende il test più insensibili agli errori nelle code dei campioni (errori di misura spuri ad esempio) ed è utilizzabile anche con un campione ristretto.

Per una descrizione più dettagliata dei test e per conoscere i valori critici dei test stessi in funzione della numerosità del campione e della confidenza si veda [9].

Potenza ed Errore dei Test non parametrici implementati

Il controllo di qualità su produzioni reali ha portato a considerare essenzialmente distribuzioni di tre tipi: gaussiana, gamma e weibull [1,9]. Durante la ricerca si sono quindi implementate test non parametrici atti a “riconoscere” questi tre tipi di distribuzioni molto importanti. In particolare con la gamma, al variare dei suoi parametri, si può ottenere sia una esponenziale che una buona approssimazione della gaussiana, la weibull è nota per la sua flessibilità ed è molto utile, ad esempio, per regressioni di dati approssimativamente gaussiani con dissimmetrie più o meno accentuate. Sono stati quindi implementati 7 test non parametrici indipendenti e 3 test combinati per evidenziare l’appartenenza di un certo campione ad una certa distribuzione (i.e. test di gaussianità):

1. Lillie, test gaussiano di Lilliefors 2. JB, test gaussiano di Jaque Bera 3. KSgauss, test gaussiano di Kolmogorof-Smirnoff 4. ADgauss, test gaussiano di Anderson Darling 5. KSwbl, test di Kolmogorof-Smirnoff per distribuzione di Weibull 6. ADwbl, test di Anderson Darling per distribuzione di Weibull 7. KSgamma, test di Kolmogorof-Smirnoff per distribuzione gamma 8. ANDgauss, test combinato di gauss (H1 se i 4 test di gauss rifiutano H0) 9. ORgauss, test combinato di gauss (H1se almeno 1 dei 4 test di gauss rifiuta H0) 10. ORwbl, test combinato di weibull (H1 se almeno 1 dei 2 test di weibull rifiuta H0)

Sono state eseguite moltissime simulazioni atte a riscontrare la capacità dei vari test a riconoscere le distribuzioni in esame tramite campioni 10000 elementi estratti da generatori gaussiani, weibull e gamma per confidenze e numerosità campionarie differenti. Il problema principale risulta infatti quello di ottimizzare la confidenza del test per campioni piccoli (n<100) in modo da non penalizzare troppo la potenza del test stesso cioè la capacità di riconoscere la non gaussianità. Nella figura 1 successiva viene riportata, a titolo di esempio, la potenza dei test gaussiani e gamma sviluppati nel riconoscere un campione estratto da una weibull simile ad una distribuzione gaussiana (parametri a=4000 e b=0.05 secondo la formulazione offerta da Matlab ver. 7) con media 200 e varianza 10 al variare della numerosità del campione.

Figura 1- Potenza dei test gaussiani per campionamenti da weibull in funzione della numerosità campionaria (α = 0.05).

Da questa immagine si nota che: • i test KS sono molto meno potenti rispetto agli altri e quindi saranno ignorati nelle

simulazioni seguenti; • per piccoli campioni i test più efficaci si sono dimostrati essere l’ADgauss e il JB.

Come logico il più potente è il testo combinato ORgauss ma questo da anche un maggior numero di errori a parità delle altre condizioni, praticamente doppio rispetto alla confidenza del singolo test (si veda [9] e la figura successiva).

Inoltre è’ molto importante notare come, quando i dati siano estratti da una gamma molto simile ad una gaussiana di pari parametri, la potenza dei test gaussiani risulta essere insoddisfacente anche per numerosità campionaria alta [9]. Per il test combinato ORgauss la potenza del test si assesta nell’ordine del 10%, questo a causa della differenza molto piccola fra le due distribuzioni che comunque porterà a capacità del processo pressoché equivalenti. Nella figura 2 si riportano i grafici riassuntivi della potenza ed errore dei vari test, per confidenza 0.01, 0.05 e 0.1, riscontrati utilizzando rispettivamente: 10000 campioni gaussiani a media 100 e deviazione standard 0.15 per la rilevazione dell’errore e 10000 campioni weibull (a=800, b=100) per la rilevazione della potenza dei test. Questi ultimi grafici sembrano suggerire che il giusto compromesso fra potenza del test ed errore commesso sia proprio una confidenza pari a 0.05, il test Jaque Bera per piccoli

campioni, pur essendo meno potente rispetto agli altri risulta essere meno influenzato dalla confidenza dal test stesso.

Figura 2- Potenza ed errore dei test gaussiani, compreso ORgauss, in funzione della numerosità campionaria e della confidenza

Per il test ORgauss, ottenuto solamente i tre test Lillie, JB e ADgauss con una confidenza pari a 0.05, si trova che l’errore del test stabilizzato risulta essere intorno all’ 11%. Per ulteriori informazioni sulla potenza, sulla capacità dei test in presenza di miscuglio, sugli errori degli altri test considerati e sulla indipendenza dei test si veda [9].

Metodologia sviluppata

Come risulta chiaro dalle considerazioni precedenti, la corretta stima degli indici di capacità del processo necessita di strumenti per la rapida analisi della bontà di adattamento del campione alla distribuzione gaussiana, gamma e weibull integrati da strumenti per il calcolo automatico della capacità del processo sia nel caso che l’ipotesi gaussiana sia statisticamente valida sia che il test dia risultato negativo (H1). Nella figura sottostante viene presentato il diagramma di flusso della metodologia implementata e delle sue applicazioni principali.

Figura 3- Diagramma di flusso della metodologia implementata

La fase di analisi consta essenzialmente di strumenti grafici e di calcolo utili per la verifica della bontà di adattamento e della qualità del campione estratto (box rosso fig. 3). Si prenda a titolo di esempio un test effettuato su un reale campione estratto su misure sul diametro di fori su un componente automobilistico di una nota casa automobilistica [9, pagina 90]. Il campione ha n=20 dati espressi in millimetri e risulta quindi essere di numerosità ridottissima per un qualsivoglia test . La misura ha una media nominale attesa pari a 32.8 mm e una tolleranza per i limiti di specifica di ±0.2 mm.

Test Ho Statistica calcolata Valore critico Lillie 1 0.1847 0.1740 J-Bera 0 0.8380 4.6052 Ksgauss 0 0.1847 0.2647 KSwbl 0 0.1712 0.2647 Ksgamma 0 0.1872 0.2647 Adgauss 1 0.6327 0.6310 Adwbl 0 0.5570 0.6370

Tabella 2 – Test per il campione n=20 per diametro 32.8 mm ±0.2 mm, . α=0.1

METODO QUALITATIVO (grafici PDF e CDF del best

fitting)

Dati

METODO QUANTITATIVO (test non parametrici)

ANALISI CONGIUNTA

DELLE RISPOSTE

ipotesi gaussiana?

CALCOLO DEL Cp e Cpk CON STIME

INTERVALLARI E

TEST DI KANE

Si

Weibull? [Gamma?]

No

REGRESSIONE E CALCOLO Cp e Cpk

DALLE ppm

Si

ERRORI MISURA non applicabilità

del Cp

No

Fase di analisi

Fase di calcolo

Utilizzando i test non parametrici appena introdotti con α = 0.05 non si hanno indicazioni di sorta proprio a causa dell’esiguità del campione, passando ad α = 0.1, e quindi aumentando la potenza del test (ed anche l’errore), si ottengono i risultati di tabella 2. Come si vede dai risultati ben due dei tre test gaussiani smentiscono l’ipotesi di normalità della distribuzione. Per aiutare l’analista nella decisione sono poi stati integrate delle routine che calcolano e visualizzano i serie grafici che mettono a confronto il campione in analisi con le regressioni dei dati secondo una gaussiana, gamma e weibull in termini di PDF, CDF e bontà di adattamento (si vedano rispettivamente le figure 4 5 e 6 sotto riportate per l’esempio di tabella 2).

Figura 4- Grafico PDF per il campione estratto da misura di diametro

Figura 5- Grafico CDF per il campione estratto da misura di diametro

A seconda del tipo di deviazione del campione dal comportamento gaussiano, il comportamento mesocurtico, leptocurtico e/o asimmetrico sarà più evidente nell’uno o nell’altro grafico. Dopo aver preso coscienza del migliore adattamento alla weibull per questo specifico caso il responsabile della qualità utilizzerà le funzioni appositamente sviluppate per la fase di calcolo (box blu fig. 3) per processi non gaussiani. Utilizzando la regressione scelta l’applicazione, tramite il calcolo delle ppm di difformi direttamente dalla regressione, restituisce dei valori realistici degli indici di capacità del processo. Per l’esempio precedente si ottiene quindi, con LSL=32.6 mm e USL=33.0 mm: Cpk=0.35, molto differente da quello erroneamente calcolabile sotto l’ipotesi di gaussianità che invece è 0.15. Il Cp invece è pari a 0.71, di poco inferiore al valore “gaussiano” pari a 0.77. E’ molto importate rimarcare ancora che il valore Cpk è l’indicatore della reale capacità del processo al momento del campionamento e che quindi è il valore ricercato nel campionamento in linea di produzione.

Figura 6- A sinistra grafico di bontà di adattamento per il campione di tabella 2, a destra bontà di adattamento per campione affetto da offset durante la misura

Il grafico di bontà di adattamento si è inoltre dimostrato molto utile nell’evidenziare eventuali errori di misura. Nella figura 6 a destra è stato riportato il suddetto grafico per un campione n=30 estratto da una prova di posizionamento per una macchina che stampa etichette su schede elettroniche. E’ risultato evidente come l’apparecchiatura di misura era stata riazzerata dopo 6 campioni. L’indice effettivo di capacità Cpk doveva, da contratto, essere maggiore di 1. Una volta corretto l’errore di misura l’analisi del campione ha messo in evidenza il buon adattamento dei dati ad una Weibull [9]. Questa mostra che l’indice effettivo Cpk delle ppm di difettosi vale 1.08 ed è pertanto maggiore di quello richiesto, l’indice potenziale Cp è invece pari a 1.11. Se si fosse calcolato il Cp ipotizzando la distribuzione gaussiana, si sarebbe ottenuto un valore più basso, addirittura sotto a quello minimo richiesto al processo, essendo in tal caso Cpk=0.86. Nel caso in cui il campione risulti essere distribuito secondo una gaussiana, sono state implementate altre funzioni che sono in grado di (box blu figura 3 a destra):

• stimare l’indice di capacità di processo con le formule classiche presentate precedentemente;

• calcolare la stima intervallare del Cp con la confidenza scelta; • calcolare in test di Kane per campioni gaussiani [9].

Con questo ultimo test, data una confidenza e una numerosità campionaria si riesce a formulare un test di ipotesi molto importante ai fini contrattuali e cioè dimostrare che l’indice Cp soddisfa o eccede un certo valore di riferimento Cp0 con una certa confidenza fissata. Per dimostrare che il processo è “capace” dobbiamo rifiutare H0.= Cp ≤ Cp0 (ovvero il processo non ha capacità sufficiente) tramite l’ausilio di un valore critico Ccr e due valori soglia della capacità del processo Cp(sup) e Cp(inf). Quest ultimo di solito viene posto uguale al valore contrattuale della capacità da rispettare. Il test di Kane insieme alla stima intervallare del Cp, risulta essere molto utile nelle fasi di definizione delle procedure di campionamento per un nuovo processo-prodotto. Infatti, fissando la confidenza, si possono simulare i risultati ottenibili in termini di intervallo di confidenza e Ccr di Kane in funzione della numerosità campionaria scelta e, quindi, del costo del campionamento.

Conclusioni

La pratica industriale per la stima della capacità del processo tende a minimizzare i costi dei test tramite campioni molto ridotti (n<30). E’ dimostrato che procedere nella stima della capacità del processo accettando acriticamente l’ipotesi gaussiana dei dati tende spesso a

sovrastimare l’indice di capacità reale del processo, ad esempio, nel caso di una asimmetria della distribuzione della caratteristica di qualità sotto esame. E’ stata quindi sviluppata una serie coerente di strumenti integrati grafici e quantitativi per l’analista che sono in grado di aiutare lo stesso nella verifica dell’ipotesi gaussiana dei dati anche nel caso di campioni ridottissimi. In special modo per i test non parametrici sviluppati si è riscontrato che quelli di Lilliefors, Jacque-Bera e Anderson-Darling possono risultare molto utili nel caso di distribuzioni la cui regressione porta ad un adattamento alla distribuzione di weibull come spesso avviene nella pratica industriale. Bisogna sempre tener presente il compromesso tra potenza ed errore del test, in relazione al livello di confidenza α scelto. La distribuzione gamma, teoricamente diversa dalla gaussiana, risulta nella pratica dei processi industriali praticamente sovrapposta a quest’ultima e difficilmente “riconoscibile” con pochi dati campionari.

Bibliografia

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