Potenziale Elettrico - Strutturamontag/didattica/veterinaria/... · 2008-01-17 ·...
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La forza di Coulomb è conservativa (forza fondamentale).
!
L = "#U =Ui "UfE` quindi possibile parlare di energia potenziale
!
U "( ) = 0 # L("$r r ) = %U(
r r )
Energia potenziale di una carica q in un punto dello spazioindividuato da r in cui esiste un campo E≠0 : lavoro delleforze del campo per portare q dall’infinito ad r.Come da F si e` definito E analogamente da ΔU si passa alla differenza di Potenziale:
( ) ( )( )q
rUrV
q
UVVV if =
!="=!q
!
O
r[ ] V
C
JV ==
!
"V = #LEL
q
- (lavoro forze elettriche)+(lavoro forze esterne)
Potenziale Elettrico
Grandezza fisica scalare
2
per 2 cariche puntiformi.
1q
2q
r
en. potenziale di q2 nel campo di q1en. potenziale di q1 nel campo di q2en. potenziale del sistema q1, q2
!
U(r r ) = q
1V2
r r 2( ) = q
2V1
r r 1( )
r
qV
04
1)(
!"=r
rIl potenziale generato da una carica puntiforme q a distanza r è
U(r) = !r F "d
r r
#
r
$ = !kq1q2
dr
r2
#
r
$ =1
4%&0
q1q2
r
Il potenziale nel punto occupato da q2 (dovuto a q1) è
!
V1(r r 1) =
U
q2
=1
4"#0
q1
r
Potenziale Elettrico
Come per il campo elettrico la d.d.p è definita in tutti i punti dello spazio, dipendedalle cariche elettriche presenti e può essere calcolato con il P. di sovrapposizione.
3
Con più cariche puntiformi: principio di sovrapposizione.
1q
2q
3q
V1= V
12+V
13= V
1k
k
!
r
qqkU 21=
r
mmGU
G
21!=
Campo elettrico Campo gravitazionale
vF
Se V è il potenziale generato dalle altre cariche nella posizione di q, l’energia potenziale di q è qVU =
vFG
Potenziale Elettrico
Con il vantaggio rispetto alcampo elettrico che stiamosommando delle grandezzescalari
4
!V = "
r F
q# d
r s =
i
f
$ "r E # d
r s
i
f
$(L’integrale NON dipende dal percorso)
Potenziale Elettrico
In generale vale quindi:
Il potenziale in un campo uniforme
A Bl VA-VB=-El•cos180o=ElL’energia potenziale ΔU=qΔV di unacarica + aumenta quando questa simuove contro il campo
Per una carica - la sua energia potenzialeaumenta quando si muove nella stessadirezione del campo
!V = "r E # !
r r
E=ΔV/l
!
E[ ] =V
m
!
Ex = "dV
dx
Ey = "dV
dy
Ez = "dV
dz
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Potenziale di un dipolo elettrico.
V = V+ + V! =q
4"#0
1
r+!1
r!
$
% & '
( ) r+
rd <<Se 2
0
cos
4
1
r
pV
!
"#=
Potenziale di un anello uniformemente carico.
r
dqdV
04
1
!"=dq = λds
r costante
( )220
4
1
Rz
qV
+=
!"
P
r-d
θ
Potenziale Elettrico
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Regioni di potenziale costante: � linee in 2D� superfici in 3D
V1
V2
V3
E ortogonale alla superficie equipotenzialeSuperfici equipot. ortogonali alle linee di forza.
!
r E " d
r r = #dV = 0 se dr appartiene ad una superficie equipotenziale
linee di forza
sup. equipotenziali
Potenziale Elettrico
Campo uniforme
sup. equipotenziali
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Elettrostatica.Conduttori elettrici in equilibrio
Conduttore: cariche libere di muoversi (metalli o soluzioni ioniche)In equilibrio: F = qE = 0Entro un conduttore in equilibrio: E = 0
dV Densità di carica: ρ=dq/dV=0 entro conduttoreIn elettrostatica il volume interno e` equipotenzialeVi=cost
dq=0
Un conduttore in equilibrio è equipotenziale.
AB
!VAB= "
r E # d
r s =
A
B
$ 0
Linee di forza ortogonali alla superficie.Carica: solo sulla superficie.
Forze di superficie: lavoro di estrazione delle cariche (elettroni).
Dati due punti qualsiasi A e B sullasuperficie del conduttore:
Vs=cost
Ve-Vi=Lest/q
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Elettrostatica dei conduttori
Cariche superficiali, ma le linee di forza NON si chiudono sul conduttore(Perché è equipotenziale)
NO
Cavità in un conduttoreCariche sulla superficie interna?
NO: VA=VB
SI: in presenza di cariche nel volume interno
A
B
B A
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Elettrostatica nei conduttori
Sfera conduttrice isolata (dens. carica uniforme):
Campo elettrico sulla superficie di un conduttore:
E ortogonale (V costante)
!
E ="
#0
R
2
04
1
r
qE
!"=
0=E
E
r R
r
qV
04
1
!"=
R
qV
04!"
=
V
r
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Conduttori in equilibrio elettrostatico
Induzione elettrostatica (Forza attrattiva su q).
Conduttore isolato:qTOT=cost=0
Conduttore a V costante (V=0)
Nota: messa a terra/massa.
Schermaggio elettrostatico
Il campo esternonon modificaquello interno e viceversa.
Riferimento pratico V=0.
++ +- - --
q++ +- -
EqEind
-- -- ---- -- -+
++
++
- ---+
++
+q
q’
+
--- ---
V=0
EqEindq
In equilibrio nel conduttore E=0 : il campo E generato da q è neutralizzato dal campo dellecariche indotte (ridistribuzione della carica nel conduttore)
+
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Alcune esempi:
1. Un atomo con un momento di dipolo p=8.45x10-30Cm è in un campo elettricouniforme E=104NC-1. Se l’angolo tra p ed E è 30o calcolare:
a) il modulo del momento agente sul dipolo
b) l’energia potenziale
τ=pxE |τ|=pEsen30o= 8.45x10-30x 104 x0.5 =4.22x10-26 Nm
U=-p·E=-pEcos30o= -8.45x10-30x 104 x0.866=-7.32x10-26 J
2. Un atomo di He si trova momentaneamente nella seguente configurazione
° °°0.1nm 0.1nm
nucleo elettroneelettrone
Calcolare:
• il campo elettrico e il potenziale nella posizione in cui si troval’elettrone di sinistra e dovuto al nucleo e dall’altro elettrone
• il lavoro richiesto per rimuovere uno dei due elettroni
• l’energia potenziale totale del sistema costituito dalle tre cariche
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2. Mantenete le vostre mani parallele ad una ad una e ad una distanza di 10 cm;
• stimare il numero totale di elettroni in ogni mano
• stimare la forza repulsiva totale tra tutti gli elettroni di una mano su tutti quellidell’altra
• perche` nella realta` non si esperienta alcuna forza repulsiva
• stimate di quanto la carica del protone dovrebbe differire dalla caricadell’elettrone senza che cio` produca alcuna forza appprezzabile tra le due mani
3. Un piano isolante viene caricato uniformemente con una densita` superficialedi carica σ=+2.5x10-6 C/m2. Una carica q=5µC è posta con velocita` nulla nelpunto A ad una distanza d=20cm dal piano. Calcolare:
•Il campo elettrico generato dal piano uniformemente carico
•La forza che agisce sulla carica q
•Il lavoro fatto dalla forza elettrica per portare la carica q nel punto B ad unadistanza dal piano d’=30cm
•La velocita` della carica quando transita per B sapendo che la sua massa valem=1g
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Carica puntiforme
⊥ al piano
Piano infinito unif. caricoσ=densita` sup. di car.[C/m2]
Dipolo ⊥ all’asse
Dipolo // all’asseMomento di dipolo p=qd [Cm]
PotenzialeCampo Elettricosistema
!
r E = k
q
r2
ˆ r
!
V (r) = kq
r
V (") = 0
!
Ex = kp(2y
2" x
2)
(x2
+ y2)5 / 2
!
Ey = k3pxy
(x2
+ y2)5 / 2
!
V = kpcos"
r2
!
r E =
"
2#o
!
V (d) = "#
2$o
d
V (0) = 0
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Sfera unif. Caricaρ=densita` di carica [C/m3]Carica totale
Cilindro di raggio R unif. caricoρ=densita` di carica [C/m3]
Superficie sferica unif. caricaσ=densita` superf, di carica[C/m2]Carica totale
PotenzialeCampo Elettricosistema
!
r E =
"
3#o
r r
r E =
"
3#o
R3
r2
ˆ r
!
V (r) ="
2#o
R2 $
r2
3
%
& '
(
) *
V (r) ="
3#o
R3
r
%
& '
(
) *
V (+) = 0
!
Q =4
3"R3#
!
r " R
r > R
!
r E = 0
r E =
"
#o
R2
r2
ˆ r
!
r " R
r > R
!
Q = 4"R2#
!
V (r) ="
#o
R
V (r) ="
#o
R2
r
$
% &
'
( )
V (*) = 0
!
r E =
"
2#$o
r r
r E =
"
2#$o
R2
r
ˆ r
!
r " R
r > R
!
V (r) = "#
4$%o
R21+
r
R
&
' (
)
* + 2&
' ( (
)
* + +
V (r) = "#
2$%o
R2
+ lnr
R
&
' (
)
* +
,
- .
/
0 1
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Bioelettricita`
In particolare nelle cellule nervose esiste una differenza di potenziale tral’interno e l’esterno della cellula, all’interno è di -85mV rispetto all’esterno. Unimpulso nervoso consiste in una variazione di questo potenziale che si propagalungo una fibra nervosa, (assone).vedi lez19_bis