UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PISA

FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI

CORSO DI LAUREA IN FISICA

POSSIBILITÀ DI RIVELAZIONE DIBACKGROUND STOCASTICI

SQUEEZED DI ONDEGRAVITAZIONALITESI DI LAUREA TRIENNALE

Presentata da:

VENIERO LENZI

Relatore:

Dott.

GIANCARLO CELLA

Controrelatore:

Prof.

KENICHI KONISHI

Anno Accademico 2010 – 2011

A Leonardo

Indice

1 Richiami Generali 31.1 Le equazioni di Einstein e l’equazione d’onda gravitazionale . . . . . . . . 3

1.1.1 Le equazioni di Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Linearizzazione delle equazioni di Einstein . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3 Trasformazioni di Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.4 L’equazione d’onda gravitazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.5 Polarizzazioni dell’onda gravitazionale. . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Il modello cosmologico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 Il Principio Cosmologico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2 La metrica di Friedmann-Robertson-Walker . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.3 Il modello inflazionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Quantizzazione del campo gravitazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.1 Un campo scalare reale nella metrica FRW piatta . . . . . . . . . . 13

1.3.2 Espansione in modi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.3 Quantizzazione del campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.4 Trasformazioni di Bogolubov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Il Background Stocastico di Onde Gravitazionali 192.1 Caratterizzazione del fondo stocastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Tecnica osservativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.1 Correlazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.2 Correlazione ottimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 Origini del Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4 Squeezing del Fondo Stocastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

i

2.4.1 Definizioni di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4.2 Squeezing e amplificazione adiabatica . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Osservabilità di un fondo stocastico squeezed: 333.1 Osservabilità nel sistema comovente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Osservabilità in un sistema in moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.1 Trasformazione di un’onda piana gravitazionale. . . . . . . . . . . 343.2.2 Trasformazione della funzione di correlazione . . . . . . . . . . . . 37

3.2.2.1 Parte Stazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.2.2 Parte non stazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

ii

Introduzione

L’esistenza delle onde gravitazionali è una delle previsioni più interessanti della RelativitàGenerale. Sebbene ad oggi non ci sia alcuna osservazione diretta, la loro rivelazione ci potràfornire informazioni preziose sulla dinamica di alcuni tra i più violenti fenomeni astrofisiciquali collisioni di buchi neri, supernovae, coalescenze di stelle binarie.Inoltre, si ipotizza l’esistenza di un fondo di radiazione gravitazionale generato nelle primefasi di vita dell’universo, con delle caratteristiche che lo rendono del tutto analogo allaradiazione di fondo a microonde: si tratta di una sovrapposizione di onde gravitazionali de-scrivibili stocasticamente, di cui si suppone almeno in prima approssimazione la staziona-rietà, l’isotropia e una distribuzione di probabilità di tipo gaussiano. Poterlo osservare sig-nificherebbe ottenere dati sull’universo primordiale a partire dai quali si potrebbero ottenereconferme o smentite dei vari modelli cosmologici attuali.

In questa tesi ci occuperemo di quest’ultimo aspetto. Assumeremo un modello sempli-ficato di universo governato da una metrica di Friedman-Robertson-Walker piatta (FRW),la cui evoluzione è descritta dal modello inflazionario. In questo modello la radiazionedi fondo è generata dall’amplificazione parametrica dell’energia di punto zero del campogravitazionale dovuta alla rapidissima espansione dell’universo nella fase detta di De Sitter.Il fondo di radiazione che ne deriva è di tipo squeezed, il che comporta che il relativo pro-cesso stocastico non è stazionario. Verifichermo infine se la non-stazionarietà produca deglieffetti osservabili tramite la correlazione incrociata dei segnali provenienti da un network diinterferometri.

La letteratura a riguardo afferma la non osservabilità degli effetti dello squeezing, tut-tavia nei testi si considera sempre l’osservatore (ossia il network di interferometri) in quieterispetto al sistema di riferimento comovente. Nel nostro lavoro quest’ipotesi cadrà e con-sidereremo un osservatore in moto rispetto a tale sistema, considerando il moto proprio delnostro sistema solare. Vedremo che sorgono degli effetti di ordine β nella funzione di cor-

1

relazione, tuttavia questi saranno tipicamente depressi di un fattore proporzionale all’etàdell’universo rendendoli perciò talmente piccoli da diventare inosservabili.

La tesi è strutturata come segue.Nel Capitolo 1 introdurremo tutte le nozioni e il formalismo necessario per una corretta

trattazione del problema, cioè scriveremo l’equazione d’onda gravitazionale e discuteremobrevemente le proprietà delle onde gravitazionali. Si tratterà brevemente la metrica cos-mologica di FRW e descriveremo il modello inflazonario, dopodiché introdurremo alcuniconcetti di teoria dei campi, necessari sia per una descrizione appropriata del meccanismodi generazione del fondo stocastico che per la descrizione del fenomeno dello squeezing.

Nel Capitolo 2 descriveremo il fondo stocastico e ne caratterizziamo le proprietà. Studier-emo le tecniche osservative del fondo stocastico. Qui verrà impostato il problema del-l’osservabilità dello squeezing.

Nel Capitolo 3 esporremo la parte originale del lavoro. Vedremo quali effetti ha sul fon-do il cambio di sistema di riferimento e se ciò può comportare una maggiore osservabilitàdello squeezing, effettuando poi una stima con gli ultimi dati disponibili.

Dove non altrimenti specificato, è da intendersi c = 1. Seguiremo la convenzione percui gli indici greci indicano tutte e 4 le componenti spaziotemporali, quelli latini soltanto lecomponenti spaziali.

2

Capitolo 1

Richiami Generali

1.1 Le equazioni di Einstein e l’equazione d’onda gravi-tazionale

In questa sezione, a partire dalle Equazioni di Einstein si fanno i passi necessari per ri-cavare l’equazione d’onda gravitazionale, dopodiché si studiano le proprietà delle ondegravitazionali piane.

1.1.1 Le equazioni di Einstein

La Relatività Generale è la teoria che descrive il campo gravitazionale. Pubblicata da Ein-stein nel 1916 nasce come estensione della relatività ristretta ai sistemi di riferimento noninerziali. La sua pecularità è quella di essere una teoria geometrica poiché in essa una qual-siasi distribuzione di masse comporta un’alterazione della metrica spaziotemporale, influen-zando così qualsiasi fenomeno fisico. Prima di procedere, precisiamo che nella seguentetrattazione è data per nota la teoria della relatività ristretta, di cui possiamo trovare unaesposizione esauriente in [1]. Secondo quest’ultima, che non si preoccupa di descrivereil campo gravitazionale, lo spaziotempo è una varietà a quattro dimensioni munita di una

3

metrica rappresentata in opportune coordinate dal tensore metrico di Minkowski:

ηµν =

−1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

In relatività generale invece il tensore metrico gµν è legato direttamente alla distribuzionelocale di massa ed energia dalle equazioni di Einstein:

Rµν −1

2gµνR = 8πGTµν (1.1)

Queste sono un insieme di 10 equazioni differenziali (tante quanto le componenti indipen-denti di un 4-tensore di rango 2 simmetrico) del secondo ordine nelle componenti di gµν inquanto il tensore di Ricci Rµν si ottiene contraendo il primo e il terzo indice del tensore diRiemann, definito come

Rαβµν = Γαβν,µ − Γαβµ,ν + ΓαλµΓλβν − ΓαλνΓ

λβµ (1.2)

a partire dalla connessione metrica

Γµνρ =1

2gµλ (gλν,ρ + gλρ,ν − gνρ,λ) (1.3)

ossia Rµν = Rαµαν . Lo scalare di Ricci R è ottenuto contraendo il tensore di Ricci, R =

Rµµ. Nella (1.1)Tµν è il tensore energia-impulso ed è il termine di sorgente.

1.1.2 Linearizzazione delle equazioni di Einstein

Il tensore di Riemann descrive completamente la curvatura dello spaziotempo.Se Rα

µνρ = 0 si trova che scegliendo opportune coordinate vale gµν = ηµν . Consideri-amo una regione di spazio in cui il campo gravitazionale è debole. In questo caso possiamodecomporre la metrica in un termine costante di Minkowski e un termine che descrive leperturbazioni

gµν = ηµν + hµν (1.4)

4

con |hµν | 1 (condizione di piccole perturbazioni). Osserviamo che in questo contesto letrasformazioni di Lorentz agiscono su hµν come se fosse un qualsiasi tensore sullo spaziodi Minkowski.

Se inseriamo la metrica (1.4) nelle (1.1), quest’ultime assumono la seguente forma:

hµν + ηµνh,αβ

αβ − h ,α

µα ,ν − h,α

να ,µ = −16πGTµν (1.5)

dove abbiamo definito il tensore a traccia invertita hµν = hµν− 12h ottenuto sottraendo metà

della traccia h ≡ hµµ ad hµν stesso. L’operatore denota il d’Alembertiano o operatored’onda: = (−∂tt +∇2).

Per poter ottenere una equazione d’onda a partire dalla (1.5) dobbiamo introdurre un’im-portante classe di trasformazioni di coordinate, le trasformazioni di Gauge.

1.1.3 Trasformazioni di Gauge

Consideriamo una trasformazione di coordinate del tipo

x′µ = xµ + ξµ(xν) (1.6)

dove ξµ è funzione della posizione. Applicando la regola generale per la trasformazione diun tensore troviamo per la metrica g′αβ nelle nuove coordinate

gµν =∂x′α

∂xµ∂x′β

∂xνg′αβ =

(δαµ + ξα,µ

) (δβν + ξβ,ν

)g′αβ (1.7)

Se le componenti sono tali che∣∣ξµ,ν∣∣ 1 allora la metrica (1.4) viene trasformata nel

seguente modo, dove stiamo tenendo soltanto i termini al primo ordine nelle quantità pic-cole:

g′µν = gµν − ξµ,ν − ξν,µ (1.8)

L’effetto di questo cambio di coordinate è quello di modificare la parte di metrica relativaalle piccole perturbazioni come

h′µν = hµν − ξµ,ν − ξν,µ (1.9)

5

Per quanto riguarda hµν avremo

h′µν = hµν − ξµ,ν − ξν,µ + ηµνξα,α (1.10)

Le condizioni∣∣ξµ,ν∣∣ 1 fanno sì che la perturbazione alla metrica trasformata sia

ancora piccola, perciò il sistema di riferimento trasformato è ancora un buon sistema diriferimento.

1.1.4 L’equazione d’onda gravitazionale

L’Equazione (1.5) assume una forma particolarmente semplice se richiediamo cheh νµν, = 0. Quando questa condizione risulta soddisfatta si usa dire che siamo in gauge

di Lorentz. Grazie alle trasformazioni (1.9) possiamo sempre riportare un hµν genericoin gauge di Lorentz: infatti la condizione che deve soddisfare ξµ, ottenuta applicando ladivergenza alla (1.10) e imponendo la condizione di Lorentz sul trace reverse trasformato è:

ξµ = hµν,ν (1.11)

Questa può essere vista come un’equazione d’onda non omogenea per la quale si può sem-pre trovare una soluzione a patto che gli hµν,ν siano funzioni abbastanza regolari. Il vettoreξµ così determinato non è unico in quanto possiamo sommargli un qualsiasi vettore ξ′µ chesia soluzione dell’equazione d’onda omogenea senza con ciò uscire dalla gauge di Lorentz.Vedremo che questa arbitrarietà ci tornerà utile a breve.

Dopo questo cambio di coordinate le Equazioni (1.5) assumono la forma di vere eproprie equazioni d’onda, siamo così giunti alle equazioni d’onda gravitazionale:

hµν = −16πGTµν (1.12)

Adesso studieremo le soluzioni di quest’equazione nel vuoto, cioè per Tµν = 0, perdeterminare le proprietà delle onde gravitazionali.

L’arbitrarietà nella scelta di ξµ ci permette di semplificare ulteriormente la forma dellasoluzione: scegliamo infatti un vettore ξ′µ soluzione dell’equazione d’onda omogenea da

6

aggiungere a ξµ tale che sia

ξ′ ,µµ =1

2h (1.13)

ξ′µ,0 − ξ′0,µ = hµ0 (1.14)

Dalla (1.13) segue che il campo hµν trasformato ha traccia nulla (e quindi hµν = hµν),dalla (1.14) otteniamo hµ0 = 0.

Grazie a questa ulteriore trasformazione ci siamo riportati nella cosiddetta gauge trasver-sa a traccia nulla (gauge TT). Visto che abbiamo a che fare con una equazione d’onda,ci conviene studiarne le proprietà usando una soluzione test che descriva un’onda pianamonocromatica

hµν(xµ) = Aµνe

ikµxµ (1.15)

dove kµ è il 4-vettore d’onda, la cui parte spaziale è data dal vettore d’onda classico k e laparte temporale è la frequenza angolare ω dell’onda. Si osserva che l’equazione (1.12) nelvuoto è verificata soltanto se kµkµ = 0, cioè se il 4-vettore d’onda ha norma nulla. Questosignifica che ω2 = |k|2, ossia siamo in presenza di onde non dispersive la cui velocità dipropagazione è pari a c = 1. Inoltre la condizione di Lorentz implica

kνAµν = 0 (1.16)

Le due condizioni (1.13) e (1.14) ci dicono che le onde gravitazionali risultano trasverserispetto alla direzione di propagazione e la traccia di Aµν è nulla. Per un’onda pianamonocromatica che si propaga lungo l’asse z kµ = (ω, 0, 0, k) e la soluzione risulta:

h(TT )µν (xµ) =

0 0 0 0

0 hxx hxy 0

0 hxy −hxx 0

0 0 0 0

eikµxµ

(1.17)

1.1.5 Polarizzazioni dell’onda gravitazionale.

Notiamo che in gauge TT il tensore hµν presenta due sole componenti indipendenti. Difatti,le onde gravitazionali presentano due sole polarizzazioni e ogni polarizzazione genericapuò essere decomposta in una combinazione delle due polarizzazioni di base.

7

Nel caso studiato di un’onda piana che si propaga lungo l’asse z i due tensori “base” dipolarizzazione possono essere scelti nella forma

ε×µν =

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 0 0 0

(1.18)

ε+µν =

0 0 0 0

0 1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 0

(1.19)

e l’onda gravitazionale può essere espressa come

hµν(xµ) =

(h+ε

+µν + h×ε

×µν

)eikµx

µ

(1.20)

Nel caso generale in cui l’onda ha una direzione di propagazione generica indicatadal versore n utilizzando le coordinate sferiche possiamo introdurre una terna di versoriortonormali

n, θ, φ

e definire i tensori di polarizzazione come:

ε+ab(n) = (θaθb − φaφb) (1.21)

ε×ab(n) = (θaφb + θbφa) (1.22)

ovviamente la decomposizione (1.20) si generalizza immediatamente

hµν(xµ) =

(h+ε

+µν(n) + h×ε

×µν(n)

)eikµx

µ

(1.23)

E’ importante sottolineare una proprietà dei tensori di polarizzazione che ci torneràutile in seguito. Poiché avremo a che fare con funzioni di correlazione tra due segnali nonpolarizzati, incontreremo forme del tipo∑

A

εAab(n)εAcd(n) (1.24)

8

Possiamo introdurre il proiettore che proietta un vettore sullo spazio trasverso rispetto ad n

Pab(n) = δab − nanb (1.25)

e tenendo conto delle definizioni (1.21) e (1.22) e del fatto che

δab = nanb + θaθb + φaφb (1.26)

possiamo verificare direttamente che∑A

εAab(n)εAcd(−n) =∑A

εAab(n)εAcd(n) = PacPbd + PadPbc − PabPcd ≡ Pabcd(n) (1.27)

Pabcd risulta simmetrico per scambi di indici del tipo a→ b, c→ d e ab→ cd. Se lo si con-trae con un tensore di rango 2, quest’ultimo viene proiettato nello spazio trasverso rispettoad n. Inoltre, poiché abbiamo ottenuto Pabcd a partire dai tensori di polarizzazione, Questoproiettore seleziona soltanto la parte simmetrica del tensore. Esistono generalizzazioni diPabcd(n) che fanno cadere questa restrizione1 tuttavia per i nostri scopi la forma (1.27) è piùche sufficiente.

1.2 Il modello cosmologico

In questa sezione introduciamo la metrica cosmologica che useremo nel nostro lavoro,la metrica di Friedmann-Robertson-Walker spazialmente piatta. Vengono poi discusse lecoordinate conformi e si definisce il fattore di scala, dopodiché esponiamo un modelloinflazionario semplificato con le sue transizioni e tracciamo l’evoluzione del fattore di scala.

1.2.1 Il Principio Cosmologico

Lo studio dell’universo nel suo insieme, della sua composizione e struttura nonché della suaevoluzione, necessita dell’impianto teorico della Relatività Generale. Infatti, considerandouna regione di raggio R che contiene una massa M , possiamo affermare che la teoria New-toniana della gravità non è più valida se il rapporto M/R diventa significativo. Nonostante

1Il tensore Λabcd che troviamo in [2] (Equazione (1.36) della Sezione 1.2) ad esempio proietta un tensoregenerale a due indici nel sottospazio dei tensori trasversi a traccia nulla.

9

l’universo abbia una densità di massa media stimata in ρ = 10−26 kg/m3 bisogna tenerconto che la regione osservativamente accessibile ha un raggio di circa 10 Gpc e il rappor-to M/R si approssima all’unità già per R = 6 Gpc. Questo significa che gli effetti sullacurvatura spaziotemporale dovuti alla massa non sono trascurabili su scala cosmologica.

Inoltre, per scale di distanze superiori ai 100 Mpc l’universo ci appare omogeneo eisotropo; questo dato osservativo è alla base del principio cosmologico che afferma l’o-mogeneità e l’isotropia dell’universo in ogni suo punto ed in ogni suo istante. Il principiocosmologico si applica anche nelle regioni di universo che sono fuori dal nostro orizzonteo non sono osservativamente accessibili. Viste le scale di distanze in gioco e il principiocosmologico, in cosmologia si approssima la distribuzione di materia nell’universo comeun fluido omogeneo e uniforme, si parla di “fluido cosmologico”.

Un ulteriore fatto osservativo che non possiamo trascurare è l’espansione dell’universo.Le galassie che possiamo osservare ci appaiono tutte in allontanamento rispetto alla nostraposizione con una velocità v direttamente proporzionale alla loro distanza d secondo lalegge di Hubble:

v = Hd (1.28)

H prende il nome di costante di Hubble e vale H = h0 × 100 km s−1 Mpc−1, dove laquantità adimensionale h0, 0.55 < h0 < 0.65, è detta parametro di Hubble e tiene contodell’incertezza sperimentale sulla misura della costante di Hubble. La legge di Hubble èuna legge che, in accordo con il principio cosmologico, si suppone valida localmente inogni punto dell’universo e in ogni istante di tempo, anche se in generale il valore dellacostante di Hubble non è costante: si avrà H = H(t).

1.2.2 La metrica di Friedmann-Robertson-Walker

La legge di Hubble ci suggerisce una scelta di coordinate conveniente: possiamo infatticonsiderare tutte le galassie con coordinate spaziali fissate che “scalano” con l’espansionedell’universo; questo sistema di riiferimento si dice comovente. Si avrà una metrica deltipo:

ds2 = −dt2 + a2(t)γabdxadxb (1.29)

10

in cui la parte spaziale della metrica dipende dal tempo solo tramite il fattore di scala a(t)

che parametrizza l’espansione. Il fattore di scala è legato alla costante di Hubble da

H(t) =a(t)

a(t)(1.30)

La metrica più generale, espressa in coordinate comoventi, che rispetta il principiocosmologico è quella di Friedmann-Roberson-Walker (FRW):

ds2 = −dt2 + a2(t)

(dr2

1− κr2+ r2dΩ

)(1.31)

qui κ è un parametro che a seconda del suo valore caratterizza la geometria delle ipersu-perfici a t costante. Scegliendo κ = 0 vediamo che la parte spaziale della metrica è di tipoeuclideo; si avrà una metrica di FRW spazialmente piatta:

ds2 = −dt2 + a2(t)(dr2 + r2dΩ

)(1.32)

A questo punto possiamo introdurre una nuova coordinata temporale η, detta tempoconforme, tale che sia

ds2 = a2(η)(−dη2 + dr2 + r2dΩ

)(1.33)

o, equivalentemente

ds2 = a2(η)ηµνdxµdxν (1.34)

La scelta del tempo conforme rende la forma della metrica molto semplice: risulta essere ilprodotto della metrica di Minkowsky per un fattore di scala globale. Il tempo conforme η èlegato a t secondo la relazione

dt

a(t)= dη (1.35)

Le coordinate comoventi con questa scelta di coordinata temporale si dicono conformi. Unadistanza spaziale espressa in coordinate conformi non è una distanza fisica; per ottenerequest’ultima bisogna moltiplicare la distanza conforme per il fattore di scala.

Prima di procedere introduciamo una quantità molto usata in cosmologia, ossia il red-shift della radiazione dovuto all’espansione dell’universo: per un fotone emesso al tempo t

11

e ricevuto al tempo presente t0 si ha

z(t) =a(t0)

a(t)− 1 (1.36)

1.2.3 Il modello inflazionario

I modelli inflazionari sono una classe di modelli cosmologici che prevedono un’espansioneesponenziale o quasi esponenziale nei primi istanti di vita dell’universo. Noi assumiamo unmodello inflazionario caratterizzato da tre fasi evolutive principali:

• Una fase iniziale detta di De Sitter (fase DS) valida per −∞ < η < η1 con η1 < 0 incui il fattore di scala è dato da

a(η) = − 1

Hη(1.37)

Si tratta della fase inflazionaria propriamente detta.

• Una fase intermedia in cui la densità di energia dovuta alla radiazione è dominante(fase RD, da Radiation Dominated), valida per tempi conformi η1 < η < ηeq. Pera(η) si ha:

a(η) =

(1

Hη21

)(η − 2η1) (1.38)

• Una fase “attuale” in cui la densità di energia dovuuta alla materia domina quelladovuta alla radiazione (MD, Matter Dominated), valida per tempi conformiηeq < η < η0, dove η0 è il tempo presente. Stalvolta il fattore di scala è:

a(η) =(η + ηeq − 4η1)2

4Hη21 (ηeq − 2η1)

(1.39)

Per semplificare il nostro modello assumiamo che le transizioni tra le diverse fasi sianoistantanee. In seguito vedremo come i fattori di scala entrano in gioco nel meccanismo diamplificazione adiabatica (Sezione 2.3).

12

1.3 Quantizzazione del campo gravitazionale

In questa sezione vediamo com’è possibile quantizzare il campo gravitazionale (si intendeovviamente il campo di onde gravitazionali, per brevità lo indicheremo sempre come il cam-po gravitazionale), un passo necessario se vogliamo trattare convenientemente il fenomenodello squeezing e quello dell’amplificazione adiabatica dell’energia di punto zero. Poichésiamo interessati soltanto alle onde gravitazionali e siamo sempre nell’approssimazione dis-cussa intorno all’Equazione (1.4), tratteremo il campo gravitazionale come un campo clas-sico che vive in uno spaziotempo di fondo curvo e in evoluzione senza alterarne le proprietàprincipali.

Il campo gravitazionale, come visto nella Sezione 1.1, è un campo tensoriale, tuttaviapossiamo trattarlo alla stregua di un campo scalare, ovvero ognuna delle componenti +, ×del campo gravitazionale si comporta come un campo scalare2.

1.3.1 Un campo scalare reale nella metrica FRW piatta

Nella metrica (1.34) e in coordinate conformi l’equazione dinamica per un campo scalarereale φ(η,x) privo di massa risulta essere3

φ+ 2a

aφ−4φ = 0 (1.40)

E’ conveniente riscrivere quest’ultima equazione in funzione del campo ausiliarioχ = a(η)φ. Indicando con f ′ la derivata di una funzione f rispetto al tempo conformeotteniamo

χ′′ −4χ− a′′

aχ = 0 (1.41)

A questo punto ci conviene scrivere l’espansione di Fourier del campo χ(η,x):

χ(x, η) =

∫d3k

(2π)32

χk(η) exp (ikx) (1.42)

2Si veda in proposito [3], Sezione 9.13Una derivazione rigorosa dell’Equazione (1.40), specializzata qui per un campo privo di massa, si trova

in [4], Capitolo 6.

13

In funzione dei modi complessi χk l’equazione del moto per i campi assume una formaparticolarmente semplice:

χ′′k + ω2k(η)χk = 0 (1.43)

dove

ω2k =

(k2 − a′′

a

)(1.44)

In virtù del principio di sovrapposizione, valido per le soluzioni della (1.43), i modi conmomenti diversi sono indipendenti tra loro e non vengono mescolati, e l’evoluzione di unmodo dipende solo da k = |k|. Questa è una conseguenza dell’omogeneità e dell’isotropia.

1.3.2 Espansione in modi

L’equazione (1.43) è equivalente a quella un oscillatore armonico con frequenza dipendentedal tempo, del tipo x+ω2(t)x = 0. Quest’ultima ha due soluzioni reali indipendenti x1(t) ex2(t). Si definisce Wronskiano dell’equazione l’espressioneW [x1, x2] ≡ x1x2 − x2x1, che si dimostra essere non nullo e indipendente dal tempose e solo se le due soluzioni sono indipendenti.

Si definiscono funzioni modali la combinazione:

v(t) = x1(t) + ix2(t) (1.45)

ed il suo complesso coniugato v∗(t). Notiamo che

Im (vv∗) =1

2iW [v, v∗] = −W [x1, x2] 6= 0

In particolare, si sceglieranno le funzioni modali in modo tale che

Im (vv∗) = 1 (1.46)

Tornando ai modi del campo χk(η) vediamo che questi possono essere scritti nella forma

χk(η) =1√2

[a−k v

∗k(η) + a+

−kvk(η)]

(1.47)

14

dove le a−k e a+−k sono costanti di integrazione che dipendono soltanto da k. Il fatto che il

campo χ(η,x) sia reale implica cheχ∗k = χ−k da cui

a+k = (a−k )∗ (1.48)

Si giunge infine alla decomposizione in modi per il campo χ(η,x) come

χ(η,x) =

∫d3k

(2π)32

1√2

[a−k v

∗k(η)eikx + a+

k vk(η)e−ikx]

(1.49)

1.3.3 Quantizzazione del campo

A partire dalla (1.49) possiamo ottenere rapidamente la quantizzazione del campo χ(η,x)

sostituendo alle costanti di integrazione a±k degli operatori a±k che soddisfino le regole dicommutazione degli operatori di creazione e distruzione. Risulta in effetti che a±k sod-disfano il commutatore canonico soltanto se vale la relazione di normalizzazione (1.46).Lo stato fondamentale del sistema viene postulato come autostato di tutti gli operatori didistruzione con autovalore 0:

a−k |0〉 = 0 ∀k (1.50)

Questo stato viene spesso indicato come stato di vuoto. Una base per lo spazio di Hilbertdel sistema è costituito dagli stati eccitati del tipo

|nk1 , nk2 , · · · 〉 =1√

nk1 !nk2 ! ...

[(a+k1

)nk1(a+k2

)nk2 · · ·]|0〉 (1.51)

Un generico stato quantistico |ψ〉 del sistema sarà una sovrapposizione di stati eccitati,

|ψ〉 =∑

nk1,nk2

.

Cnk1,nk2··· |nk1 , nk2 , · · · 〉 (1.52)

15

1.3.4 Trasformazioni di Bogolubov

Poiché la scelta delle funzioni modali non è unica, possiamo scegliere un altro set disoluzioni uk(η) che saranno legate alle vk(η) da una relazione del tipo

u∗k(η) = αkvk(η) + βkv∗k(η) (1.53)

dove αk e βk sono coefficienti indipendenti da η caratterizzati dalla relazione

|αk|2 − |βk|2 = 1 (1.54)

E evidente che, nonostante il sistema fisico descritto sia lo stesso, funzioni modali diverseportano a operatori di creazione-distruzione diversi tra loro. Se, ad esempio, alle vk(η) sonoassociati gli operatori a±k , alle uk(η) sono associati dei b±k . Confrontando le due coppiedi operatori si ottengono le seguenti relazioni, che prendono il nome di trasformazioni di

Bogolubov:

b−k = αka−k − βka

+−k (1.55)

b+k = α∗ka

+k − β

∗k a−−k (1.56)

I coefficienti αk e βk prendono il nome di coefficienti di Bogolubov, la cui forma esplicitapuò essere calcolata mettendo a sistema la (1.53) con la sua derivata.

Le trasformazioni di Bogolubov ci permettono quindi di passare da una rappresen-tazione in termini di particelle “a“ ad una in termini di particelle “b”: è chiaro che adoperatori diversi corrispondono stati di vuoto diversi e in generale uno stato di vuoto per leparticelle “a” non lo sarà per quelle di tipo “b”. Difatti, la relazione tra gli stati di vuoto “a”e “b” é: ∣∣

(b)0⟩

=∏k

1

|αk|12

eβk2αk

a+k a+−k∣∣(a)0⟩

(1.57)

Se definiamo l’operatore numero di particelle relativo alle particelle “b” N (b)k = b+

k b−k

possiamo calcolarne il valore di aspettazione nello stato di vuoto relativo alle particelle di

16

tipo “a”:

⟨(a)0∣∣ N (b)

k

∣∣(a)0⟩

=⟨

(a)0∣∣ (α∗ka+

k − β∗k a−−k) (αka

−k − βka

+−k) ∣∣

(a)0⟩

= |βk|2δ3(0) (1.58)

Vediamo dall’ultima formula che il numero di particelle “b” presenti nello stato di vuo-to delle particelle “a” dipende dal modulo quadro di β. Le trasformazioni di Bogolubovsaranno utilizzate nella Sezione 2.3 per illustrare l’origine del fondo stocastico di onde grav-itazionali, scegliendo un set (a) di mode functions nell’universo prima dell’inizio della faseDS e un altro set (b) nell’universo presente. Calcolando esplicitamente la trasformazionevedremo come lo stato fondamentale primordiale abbia dato origine, nel presente, a numeridi occupazione eccezionalmente grandi, giustificando così la presenza di un fondo stocas-tico. Inoltre vedemo anche che le trasformazioni di Bogolubov sono strettamente collegateallo squeezing.

17

18

Capitolo 2

Il Background Stocastico di OndeGravitazionali

2.1 Caratterizzazione del fondo stocastico

Un fondo stocastico di onde gravitazionali è un particolare tipo di radiazione gravitazionaleche è possibile descrivere solo in termini probabilistici. Nei modelli più semplici si as-sumono anche le seguenti proprietà:

Isotropia: Il fondo stocastico appare lo stesso in ogni direzione del cielo. Ciò ci permettedi escludere fin da subito possibili fondi di origine astrofisica, generati ad esempiodalla sovrapposizione incoerente delle emissioni di un gran numero di sistemi bina-ri di nane bianche coalescenti [5]. Nonostante il principio cosmologico, difatti, ladistribuzione di stelle risulta fortemente anisotropa a livello locale perciò ci aspet-teremmo un fondo più intenso lungo la Via Lattea, dove le stelle sono più dense,rispetto ad altre direzioni. Inoltre, il fondo risulta non polarizzato.

Gaussianità: La radiazione gravitazionale è completamente descritta dalla funzione dicorrelazione del secondo ordine

⟨hµν (x1, t1)h∗ρσ (x2, t2)

⟩(2.1)

In altre parole i valori hµν (x, t) in ciascun punto dello spazio-tempo sono descritti dauna distribuzione Gaussiana multivariata.

19

Stazionarietà: La statistica del fondo stocastico è invariante per traslazioni dell’origine deitempi, in altre parole la correlazione (2.1) dipende dai tempi solo tramite la differenzat1 − t2. Vedremo in seguito che quest’ipotesi cadrà per via dello squeezing.

Una quantità molto utile per descrivere il fondo stocastico è la sua densità di energia,normalizzata rispetto alla densità critica ρc =

3H20

8πG, per unità logaritmica di frequenza:

ΩGW (f) =1

ρc

dρGWd log f

(2.2)

Alternativamente, possiamo legare ΩGW (f) ai numeri di occupazioni delle celle nello spaziodelle fasi (per una determinata frequenza)nf :

ΩGW (f) =1

ρc16π2f 4nf (2.3)

Il fondo stocastico si esprime solitamente in termini della sua espansione in onde piane

hab(t,x) =∑A

∫dn

∫dfhA(f, n)e2πif(t−nx)εAab(n) (2.4)

dove n indica la direzione di osservazione per cui vale la relazione n = k/ |k|, A assume idue valori possibili per le polarizzazioni e per le ampiezze dei modi si hahA(f, n) = h∗A(−f, n). Le proprietà del fondo stocastico sono contenute all’interno dellafunzione di correlazione delle ampiezze dei modi, che per un modello isotropo e stazionariosi può scrivere nella forma⟨

hA(f, n)∗hB(f ′, m)⟩

= 2δABδ(n− m)δ(f − f ′)Sh(f) (2.5)

La quantità Sh(f) che compare è la densità spettrale del background stocastico. Essa èlegata alla (2.2) dalla relazione

Sh(f) =4π2

3H20

f−3ΩGW (f) (2.6)

20

2.2 Tecnica osservativa

Ci aspettiamo che il fondo stocastico, quando osservato, produca un segnale di molto infe-riore al rumore intrinseco del rivelatore, generalmente un interferometro. Per questo motivola strategia migliore di rivelazione consiste nel correlare i segnali provenienti da due o piùinterferometri.

2.2.1 Correlazione

Indichiamo il segnale totale di un interferometro con si(t) = hi(t) + ni(t), dove abbiamodistinto la parte hi(t) dovuta al fondo osservato e la parte ni(t) dovuta al rumore strumen-tale. Saremo nella situazione in cui si(t) ni(t). inoltre assumeremo che i rumori di dueinterferometri siano scorrelati tra di loro e col segnale, cioè

〈ninj〉 ∝ δij i 6= j (2.7)

〈nihj〉 = 0 ∀i, j (2.8)

Definendo il tensore del rivelatoreDab = (XaXb−Y aY b), dove X , Y sono versori orientatilungo i bracci dell’interferometro, risulta:

si(t) = Dabhab(t,x) =∑A

∫dn

∫dfhA(f, n)e2πif(t−nx)FA(n) (2.9)

dove abbiamo usato l’espansione (2.4) e abbiamo introdotto le detector pattern functions

FA(n) = DabεAab(n). La trasformata di Fourier di si(t) è:

si(f) =∑A

∫dn hA(f, n)e−2πif nxFA(n) (2.10)

A questo punto consideriamo la correlazione tra due segnali provenienti da interferometridiversi separati da 4x, ognuno dei quali opera per un tempo di osservazione T . Abbiamoun’espressione generale del tipo

S12 =

∫ T/2

−T/2dt

∫ T/2

−T/2dt′S1(t)S2(t′)Q(t− t′) (2.11)

21

dove Q(t) è una opportuna funzione che si può scegliere in modo da ottimizzare il rap-porto segnale rumore. Riscrivendo questa espressione in termini di trasformate di Fourierotteniamo

S12 =

∫ +∞

−∞df

∫ +∞

−∞df ′δT (f − f ′) S1

∗(f)S2(f ′)Q(f ′) (2.12)

doveδT (f) =

sin πfT

πf(2.13)

tende alla delta di Dirac per T → ∞. Prendendo la media sull’ensemble di S12 e poiutilizzando di nuovo l’espansione (2.4) e la (2.5) possiamo determinare il contributo a 〈S12〉dovuto al fondo stocastico:

〈S12〉 =

∫ +∞

−∞df

∫ +∞

−∞df ′δT (f − f ′) 〈s1

∗(f)s2(f ′)〉 Q(f ′)

= T

∫ +∞

−∞dfΓ(f)Sh(f)Q(f) (2.14)

dove abbiamo introdotto la quantità

Γ(f) =

∫dn

4π

[∑A

FA1 (n)FA

2 (n)

]e2πif n4x (2.15)

che tiene conto della separazione degli interferometri, nonché della loro orientazione. Con-viene rinormalizzare Γ(f) dividendola per la quantità F12 =

∑A F

A1 (n)FA

2 (n) calcolata nelcaso di interferometri perfettamente allineati. Otteniamo così la overlap reduction function:

γ(f) =Γ(f)

F12

(2.16)

Alcuni esempi, calcolati per gli interferometri LIGO e VIRGO, sono riportati in Figura 2.1.

Qualitativamente, ci si aspetta che γ(f) descriva la coerenza tra i segnali stocastici.Questa può ridursi sia perché i rivelatori non sono allineati, sia perché trovandosi in po-sizioni diverse misurano i diversi modi con un diverso sfasamento. Il secondo effetto èrappresentato esattamente dal fattore di fase nella (2.15). Da questa espressione ci si at-tende che la coerenza diminuisca all’aumentare della frequenza, a partire da una frequenzadi taglio determinata dalla condizione λGW = c/f < d, dove d è la distanza tra i rivelatori.

22

Figura 2.1: La overlap reduction function calcolata per alcune coppie di detector attual-mente in attività. Nel dettaglio, L e H si riferiscono ai due interferometri dell’esperimentoLIGO, V a VIRGO e G a GEO600 [6].

23

Questo è quanto in effetti si osserva.

2.2.2 Correlazione ottimale

Adesso dobbiamo calcolare la forma esplicita per la funzione filtro Q(f). Per farlo occorreintrodurre prima lo scarto quadratico medio di S12 che risulta essere, posta S(i)

n (f) la densitàspettrale del rumore strumentale dell’interferometro i-esimo,

⟨S2

12

⟩− 〈S12〉2 '

T

4

∫ +∞

−∞df∣∣∣Q(f)

∣∣∣2 S(1)n (f)S(2)

n (f) (2.17)

e successivamente il rapporto segnale rumore (SNR):

SNR2 =〈S12〉√

〈S212〉 − 〈S12〉2

(2.18)

La funzione filtro ottimale è quella che massimizza il rapporto segnale rumore. Il suocalcolo è immediato se introduciamo un prodotto scalare

(A(f), B(f)) =

∫ +∞

−∞A∗(f)B(f)S(1)

n (f)S(2)n (f) (2.19)

Il rapporto SNR risulta essere una forma del tipo (Q(f),A(f))(Q(f),Q(f))

che è massima per

Q(f) = A(f), ossia (k0 è una costante arbitraria di normalizzazione):

Q(f) =k0γ(f)Sh(f)

S(1)n (f)S

(2)n (f)

(2.20)

L’interpretazione qualitativa di questo risultato è chiara: il filtro è scelto in modo da pesaremaggiormente tra le diverse frequenze quelle alle quali lo spettro del segnale e la coerenzaè massima, mentre deprime quelle alle quali il rumore dei due interferometri è grande.

Da quello che abbiamo finora scritto vediamo che il rapporto SNR cresce come la radicequarta del tempo T di osservazione.

24

2.3 Origini del Background

Come anticipato nella sezione (1.3.4), assumiamo che il GWSB abbia avuto origine daun fenomeno di amplificazione parametrica dell’energia di punto zero del campo gravi-tazionale presente nello stato iniziale.

Per cominciare, ci occorre un espressione del campo gravitazionale quantizzato. Tenen-do conto delle due polarizzazioni, otterremo per hab la seguente espansione, con riferimentoalle quantità definite nella Sezione 1.3.2:

hab(η,x) =√

8πG∑A

∫d3k

(2π)3√k

1

a(η)

[a−k v

∗k(η)eikx + a+

k vk(η)e−ikx]

(2.21)

dove il fattore a(η) al denominatore proviene dal fatto che la decomposizione in modi èvalida per il campo ausiliario definito nella Sezione 1.3.1. Questa espansione è valida perogni valore di η, supponiamo però che sia possibile scegliere i modi vk(η) in modo tale cheper η → −∞ valga

vk(η) =eikη√k

(2.22)

Questo sarà possibile se, sempre per η → −∞, a′′/a → 0. In questo caso possiamo in-terpretare le a±k come operatori di creazione e distruzione per particelle di energia ~k. Ilrelativo stato di vuoto sarà anche lo stato di minima energia, cioè quello privo di parti-celle. Ad un’epoca generica vk(η) conterrà in generale termini di frequenza sia positiva chenegativa.

Supponiamo adesso che sia possibile scrivere uno sviluppo in modi diverso, del tipo

hab(η,x) =√

8πG∑A

∫d3k

(2π)3√k

1

a(η)

[A−k z

∗k(η) exp (ikx) + A+

k zk(η) exp (−ikx)]

(2.23)in modo tale che valga almeno approssimativamente

zk(η) ' eikη√k

(2.24)

per valori di η corrispondenti all’epoca presente. Di nuovo, questo sarà possibile se a′′/a

25

k2 per η = η0 e per i k di interesse. Il vuoto collegato agli operatori A±k sarà nuovamente lostato di minima energia, privo di particelle.

La relazione tra gli a±k e gli A±k è data dalle trasformazioni di Bogolubov (1.55) e (1.56).Ora, se il sistema per η → −∞ era nello stato |ψ〉 lavorando in rappresentazione diHeisenberg avremo un numero di particelle di impulso ~k per η → −∞ dato da

Nk(−∞) =⟨ψ∣∣a+

k a−k

∣∣ψ⟩ (2.25)

Il numero di particelle per η → η0 sarà analogamente

Nk(η0) =⟨ψ∣∣∣A+

k A−k

∣∣∣ψ⟩ (2.26)

dato che in rappresentazione di Heisenberg lo stato non cambia nel tempo. In particolare se|ψ〉 =

∣∣(a)0⟩

avremo Nk(−∞) = 0 ma, in generale, Nk(η0) > 0.

In altre parole ci sarà stata creazione di “particelle”: possiamo affermare che il campoesterno responsabile dell’inflazione ha trasferito energia al sistema amplificandolo.

Dal calcolo dettagliato segue che non tutti i modi saranno amplificati in ugual misura.In particolare per i modi la cui frequenza angolare soddisfa la relazione ω4T 1, dove∆T è una scala temporale tipica della transizione considerata, l’evoluzione dell’universopotrà essere considerata adiabatica. Come noto i numeri di occupazione non cambieran-no, e l’amplificazione sarà assente. Ci aspettiamo quindi una frequenza angolare di tagliodell’ordine ωc ' ∆T−1.

Per calcolare la ΩGW (f) si risolve la (1.43) per le funzioni modali nelle diverse fasievolutive; dopodiché si calcolano i coefficienti di Bobolubov per la transizione DS → RD

e RD →MD (cfr Sezione 1.2.3) per poter calcolare i numeri di occupazione con la (1.58)e infine, grazie alla (2.3), la densità ΩGW (f). Il risultato finale è uno spettro del tipo:

ΩGW (f) =

10−13(feqf

)2 (H

10−4MPl

)2

f0 < f < feq

10−13(

H10−4MPl

)2

feq < f < fc(2.27)

Dove MPl =√

~c8πG∼ 4×10−9 kg è la massa di Planck. Modi di frequenza minore di f0 =

3×10−18 Hz non sono osservabili, dato che il loro periodo è maggiore dell’età dell’universo.La frequenza feq = 10−16 Hz separa modi che sono stati amplificati in modo significativo

26

solo attraverso la transizione DS → RD (f > feq) da quelli che sono stati amplificatianche dalla transizione RD → MD (f < feq) Infinefc = ωc

2π' 109 Hz è la frequenza

di taglio discussa precedentemente. Questo risultato è rappresentato in Figura 2.2, dove èconfrontato con la sensibilità dei rivelatori attuali (prima generazione) e di quelli advanced(seconda generazione). Come si vede non ci sono prospettive di rivelazione immediataper questo tipo di fondo stocastico, e sarà necessario attendere un esperimento di terzagenerazione.

h20ΩGW

f (Hz)

10−2

10−4

10−6

10−8

10−10

10−12

10−14

10−1810−1410−1010−6 102 10610−2 1010

f0

feqfc

(II)

(I)

Figura 2.2: Le predizioni per il fondo stocastico generato dal meccanismo di amplificazioneparametrica descritte dall’Equazione (2.27). Sono indicate le tre scale di frequenza f0, feq efc. Lo spettro è confrontato con la sensibilità raggiungibile con un anno di misure utilizzan-do due interferometri di prima generazione quali LIGO e VIRGO (I) e due interferometridi seconda generazione quali LIGO advanced e VIRGO advanced (II), questi ultimi appenaentrati in fase di costruzione. [6]

27

2.4 Squeezing del Fondo Stocastico

Adesso, preso il meccanismo di amplificazione parametrica dell’energia di punto zero comesorgente del fondo stocastico di onde gravitazionali, occorre evidenziare la natura squeezeddel fondo che ne risulta. Per farlo, prima poniamo le definizioni relative allo squeezing,dopodiché mostriamo il legame tra questo fenomeno e l’amplificazione.

2.4.1 Definizioni di base

Uno stato coerente |α〉 è definito come autostato dell’operatore di distruzione a, ossia

a |α〉 = α |α〉 (2.28)

Osserviamo che lo stato fondamentale |0〉 è uno stato coerente, per come lo abbiamo in-trodotto nella Sezione 1.3.3. Ogni stato coerente |α〉 può essere ottenuto a partire dallostato fondamentale mediante l’operatore unitario di traslazione D(α):

D(α) = exp(αa† − α∗a

)(2.29)

e risulta dunque

|α〉 = D(α) |0〉 (2.30)

Solitamente l’operatore a può essere espresso mediante due operatori X1, X2 che rispet-tano le regole di commutazione della posizione e impulso e per i quali vale il principio diindeterminazione4X14X2 ≥ 1:

a =X1 + iX2

2(2.31)

Gli stati coerenti sono quelli che minimizzano questa indeterminazione, ossia4X14X2 = 1, ed inoltre ∆X1 = ∆X2. Il principio di indeterminazione non proibiscel’esistenza di stati per i quali, ad esempio, ∆X1 < 1, purché ∆X2 ≥ (∆X1)−1. Questi statisono detti “squeezed”. Una classe particolare può essere costruita come generalizzazione

28

degli stati coerenti tramite l’operatore unitario di Squeezing [7]

S(ε) = exp

(1

2ε∗a2 − 1

2εa†2

)(2.32)

Ponendo ε = r exp (2iφ) l’operatore S(ε) gode delle seguenti proprietà:

S†(ε)aS(ε) = a cosh r − a† exp (−2iφ) sinh r (2.33)

S†(ε)a†S(ε) = a† cosh r − a exp (−2iφ) sinh r (2.34)

S†(ε)(Y1 + iY2

)S(ε) = Y1 exp (r) + iY2(−r) (2.35)

dove nella (2.35) Y1 + iY2 =(X1 + iX2

)exp (−iφ). Il parametro φ si chiama angolo di

squeezing, mentre il parametro r è detto parametro di squeezing. Il loro significato fisicoè chiaro non appena si calcola la varianza di Y1, Y2. Le variabili coniugate trasformatedall’operatore di squeezing hanno varianze rispettivamente exp(r) e exp(−r). Nello spaziodelle fasi, dove prima dello squeezing uno stato coerente si rappresenta con un cerchio diarea minima, avremo ora un ellisse, sempre di area minima, il cui asse maggiore risultaruotato di un angolo φ rispetto alle vecchie variabili coniugate.

2.4.2 Squeezing e amplificazione adiabatica

Lo stato squeezed introdotto nella sezione precedente è il più semplice da descrivere. Nu-merose generalizzazioni sono possibili, una particolarmente importante è quella di uno statosqueezed a due modi, che si può definire come

|α1α2〉 ≡ D1(α1)D2(α2)S12(g) |0〉 (2.36)

dove Di(αi) è l’operatore di traslazione (2.29) relativo all’operatore ai e

S12(g) = exp(g∗b1b2 − gb†1b

†2

)(2.37)

29

è un operatore di squeezing generalizzato. Possiamo fattorizzare l’operatore utilizzandol’identità

exp[θ(e−2iφb1b2 − e2iφb†1b

†2

)]= exp

(−b†1b

†2eiφ tanh θ

)× exp

[−(a1a

†1 + a†2a2

)log cosh θ

]× exp

(b1b2e

−iφ tanh θ)

(2.38)

Se adesso consideriamo la trasformazione di Bogolubov inversa possiamo riscrivere larelazione (1.57) nella forma

∣∣(a)0⟩

=∏k

1√|αk|

exp

(− βk

2α∗kb+k b

+−k

) ∣∣(b)0⟩

(2.39)

che ci permette di vedere che nello stato finale troveremo coppie di particelle “b” di im-pulso opposto. Dato che l’operatore agisce sullo stato di vuoto possiamo scrivere in modoequivalente

∣∣(a)0⟩

=∏k

[exp

(−βkα∗kb+k b

+−k

)exp

[−(bkb†k + b†−kb−k

)log |αk|

]exp

(β∗kαkbkb−k

)]1/2 ∣∣(b)0⟩

(2.40)e confrontando con la (2.38) troviamo infine

∣∣(a)0⟩

=∏k

exp

[θk2

(e−iφk bkb−k − eiφk b†kb

†−k

)] ∣∣(b)0⟩

(2.41)

dove tanh θk = |βk/αk| e φk = arg (βk/α∗k). Vediamo quindi che dal punto di vista delle

particelle “b” lo stato del sistema si trova in una condizione di squeezing, e che i modicorrispondenti a k e −k sono correlati tra di loro.

Il fenomeno dello squeezing e il fenomeno dell’amplificazione parametrica sono dunquestrettamente collegati: l’amplificazione parametrica viene descritta dalle trasformazioni diBogolubov che sono direttamente riconducibili a operatori di squeezing, come abbiamoappena visto. Il fatto che il campo gravitazionale sia reale fa valere la relazione (1.48), ilche significa che lo squeezing genera coppie di particelle (gravitoni) con momento opposto,che per questo motivo conserveranno una correlazione.

30

In altri termini, se consideriamo modi di momento opposto, osserviamo che la lorofase relativa è ben determinata e vale π, mentre le loro ampiezze risultano molto incerte.Avremo quindi a che fare con un fondo stocastico costituito da onde stazionarie che proprioper questo non risulta più invariante per traslazioni temporali. Prima di procedere oltre,occorre un’altra osservazione importante.

Il meccanismo di amplificazione descritto nelle Sezioni precedenti si applica in lineadi principio non solo al campo gravitazionale ma a tutti i campi presenti nell’Universo almomento dell’inflazione.

Occorre però fare due precisazioni.

1. Una caratteristica importante del campo gravitazionale è la debolezza della sua in-terazione con la materia. Per questa ragione le caratteristiche del fondo stocasticogenerato dal meccanismo di amplificazione parametrica nei primi istanti dell’univer-so può essere osservato all’epoca presente. Questo non sarà vero in genere per campidi altro tipo.

2. Il campo elettromagnetico fa eccezione: le equazioni di Maxwell sono invarianti sottotrasformazioni conformi. Di conseguenza la metrica considerata, che differisce daquella di Minkowsky per il solo fattore a(η), non può generare alcuna amplificazionein questo caso.

31

32

Capitolo 3

Osservabilità di un fondo stocasticosqueezed:

3.1 Osservabilità nel sistema comovente

Nei Capitolo precedente abbiamo caratterizzato le proprietà di un fondo stocastico di ondegravitazionali e in particolare nella Sezione 2.4 abbiamo dimostrato come questo sia ditipo squeezed. Lo squeezing si ripercuote in particolare sulla funzione di correlazione deimodi (2.5), modificandola come segue [8]:⟨hA,n(f1)hB,m(f2)∗

⟩= δAB

[Q(|f1|)δ (f1 − f2) δ2 (n, m) + P (|f1|) δ (f1 + f2) δ2 (n,−m)

](3.1)

Dove le Q (|f1|) e P (|f1|) sono funzioni della frequenza dipendenti dal modello e da nonconfondere con la densità spettrale 2.6. Il termine proporzionale a P (|f1|) descrive glieffetti di non stazionarietà indotti dallo squeezing. Nel nostro modello semplificato abbiamo

Q (|f1|) = P (|f1|) =ρcΩGW (f1)

4π2 |f1|3(3.2)

Rispetto al caso di segnale puramente stazionario, la 3.1 origina nella funzione di cor-relazione temporale C(t, t′) dei segnali di due interferometri termini non stazionari deltipo

cos [2πf(t+ t′ + 4T0)] (3.3)

33

dove T0 indica l’età dell’universo e f la frequenza osservata. Come esposto in [9] quest’ul-timo termine darebbe luogo ad un rapporto SNR2 che cresce più rapidamente della radicedel tempo di ossevazione. In [8], tuttavia, si dimostra come ogni traccia dello squeezingvenga cancellata: per un tempo di osservazione di un anno, ossia Tobs = 108s, si può ot-tenere una risoluzione massima in frequenza di ∆f = 10−8 Hz. Dato che il contributo nonstazionario alla funzione di correlazione del segnale osservato alla frequenza fobs sarà deltipo

sfobs(t, t′) =

∫ fobs+12

∆f

fobs− 12

∆f

g(f) cos [2πf(t+ t′ + 4T0)] df (3.4)

avremo nell’intervallo di integrazione 4T0∆f = 4To/Tobs ∼ 1010 oscillazioni del coseno,che renderanno del tutto trascurabile il risultato. Questo sarà vero per qualunque durataragionevole della misura.

Per quanto detto, quindi, non possiamo effettuare alcuna misura diretta che ci permettadi discernere tra un fondo stazionario e un fondo squeezed, almeno nel sistema comovente.Il nostro obbiettivo è capire cosa succede in un sistema di riferimento che sia in moto rispet-to a quello comovente, calcolare la forma esplicita della funzione di correlazione e studiarei possibili effetti che permettano eventualmente una migliore osservabilità del segnale.

3.2 Osservabilità in un sistema in moto

In questa sezione applicheremo una trasformazione di Lorentz sul fondo stocastico di ondegravitazionali. L’idea è quella di considerare il moto proprio del nostro sistema solarerispetto alle stelle circostanti v ∼ 102 km/s corrispondente a β ∼ 10−4. Trascureremoogni correzione di ordine O(β2). Per come abbiamo costruito il nuovo sistema diriferimento risulta che i rivelatori e le quantità ad essi associate, vale a dire i vettori chene indicano la posizione e i detector tensor, sono in quiete rispetto all’osservatore.

3.2.1 Trasformazione di un’onda piana gravitazionale.

Per prima cosa occorre studiare gli effetti di un Boost su un’onda gravitazionale piana.Consideriamo un’onda piana in arrivo da una direzione generica n nella forma (1.23). Sceltauna terna di versori cartesiani possiamo ipotizzare senza perdita di generalità che il boost

34

sia lungo la direzione z. Applicando le leggi di trasformazione per un tensore di rango dueavremo che nel nuovo sistema le componenti di h′µν sono:

h′00 = γ2(h00 + β2h33 + 2βh30

)= γ2β3h33

h′33 = γ2(h33 + β2h00 + 2βh30

)= γ2h33

h′03 = γ2(h03 + β2h03 + βh00 + βh33

)= γ2βh33

h′0i = γ (h0i + βh3i) = γβh3i

h′3i = γ (h3i + βh0i) = γh3i

h′ij = hij

A seguito della traformazione le condizioni di trasversalità e traccia nulla sono conservateperché covarianti ma osserviamo che in h′µν compaiono delle componenti temporali e diconseguenza non siamo più in gauge TT. Per ripristinare quest’ultima condizione occorreuna trasformazione di gauge (cfr. Sezione 1.1.3) con uno ξµ di componenti

ξ0 =β2γ2

2ik′0h33 (3.5)

ξi =βγ

2ik′20(2h3ik

′0 − βγk′ih33) (3.6)

ξ3 =2k′0 − βk′3

2ik′20βγ2h33 (3.7)

Il tensore h′′µν , dove il doppio apice indica che prima abbiamo effettuato il boost e poiriproiettato in gauge TT, risulta:

h′′33 = γ2 (1− βn′3)2h33 (3.8)

h′′3i = γ (1− βn′3) (h3i − βγn′ih33) (3.9)

h′′ij = hij − βγ(h3in

′j + n′ih3j − βγn′in′jh33

)(3.10)

Queste regole di trasformazione sono valide anche per i tensori di polarizzazione.

Adesso occorre verificare se il boost comporti effetti di mescolamento delle polariz-zazioni o modifichi l’ampiezza delle onde gravitazionali. A tal fine, Consideriamo un’onda

35

piana nel sistema di partenza con polarizzazione definita:

hAµν (xα) = hAεAµν(n) eikαx

α

(3.11)

Dopo la trasformazione avremo:

hA′′µν (xα (x′′)) = hAεA′′µν (n) eikαx

α(x′′) (3.12)

Il tensore di polarizzazione εA′′µν (n), le cui componenti sono date dalle (3.8), (3.9) e (3.10),dovrà essere una combinazione lineare dei tensori di polarizzazione εAµν(n

′), cioè quellidefiniti nel sistema di riferimento trasformato a partire dalle (1.21) e (1.22). Perpoter calcolare i coefficienti, che determineranno anche la variazione dell’ampiezzadell’onda, introduciamo un prodotto scalare nello spazio dei tensori di polarizzazione, defini-to come: (

εA, εB)≡ 1

2Tr[(εA)+εB]

=1

2εAabε

Bab (3.13)

Svolgendo i calcoli si scopre che1

(εA′′µν (n), εB(n′)

)= δAB (3.14)

ossia il boost non modifica le ampiezze e le polarizzazioni dell’onda gravitazionale. Gliunici effetti del boost riguardano la direzione di propagazione dell’onda e la sua frequenza.Considerando come trasforma il versore n osserviamo un effetto di aberrazione (i terminipiù a destra sono sviluppi al primo ordine in β):

n′i =ni

γ (1− βn3)∼ ni + βnin3 (3.15)

n′3 =n3 − β1− βn3

∼ n3 + β(n2

3 − 1)

(3.16)

1Questo risultato si riduce alla constatazione che la base per i tensori di polarizzazione definita dalleEquazioni (1.21) e (1.22) ha un buon comportamento sotto trasformazioni di Lorentz.

36

Questa regola può essere espressa in forma compatta introducendo

v =

n1n3

n2n3

n23 − 1

grazie al quale risulta

n′ = n + βv (3.17)

Dalla regola di trasformazione del 4-vettore d’onda ricaviamo il noto effetto Doppler:

k′0 = γ (1− βn3) k0 ∼ (1− βn3) k0 (3.18)

Per quanto riguarda l’argomento dell’esponenziale nella (3.12), possiamo trascuraretutti gli effetti dovuti alla trasformazione di gauge e porre senza problemi xα + ξα ∼ xα.Infatti dalle Equazioni (3.5), (3.6) e (3.7) deduciamo che le componenti di ξµ sono dellostesso ordine di hµν . Di conseguenza, uno sviluppo dell’esponenziale darebbe origine adelle correzioni dovute alla trasformazione di gauge di ordine (hµν)

2 che sono trascurabilipoiché siamo in ipotesi di piccole perturbazioni (cfr Sezione 1.1.2).

3.2.2 Trasformazione della funzione di correlazione

Adesso siamo in grado di trasformare la funzione di correlazione (3.1). Possiamo esprimerenel sistema in moto l’espansione del fondo stocastico (2.4) come:

h′ab(f′,x′) =

∑A

∫d2n′hA (f, n) e2πif ′n′xεAab(n

′) (3.19)

La funzione di correlazioni tra i modi sarà data da:⟨h′A(f ′1, n

′)hB(f ′2, m′)∗⟩

= δABQ(∣∣∣∣ f1

1− βn3

∣∣∣∣) δ( f1

1− βn3

− f2

1− βm3

)δ2 (n, m)

+ δABP(∣∣∣∣ f1

1− βn3

∣∣∣∣) δ( f1

1− βn3

+f2

1− βm3

)δ2 (n,−m)

(3.20)

37

Conoscendo la (3.1) possiamo calcolare la funzione di correlazione. Conviene trattareseparatamente la parte stazionaria e la parte squeezed. Per comodità conviene mantenere levariabili di integrazione del sistema comovente ed esprimere in funzione di queste tutte levariabili trasformate. Ricordiamo che gli argomenti dei vari esponenziali che comparirannosono invarianti di Lorentz.

3.2.2.1 Parte Stazionaria

Calcoliamo la funzione di correlazione tenendo conto soltanto del termine proporzionale aQ (|f |) nella (3.20). Si ottiene, tenendo conto della presenza della δ(n, m)e trasformandola variabile di integrazione2:

⟨h′ab(f

′1,x1)h′cd(f

′2,x2)∗

⟩Q

=∑A

∫d2n

(1− βn3)Q(∣∣∣∣ f1

1− βn3

∣∣∣∣) δ (f1 − f2)

× e2πif1n(x1−x2)εAab(n′)εAcd(n

′) (3.21)

conviene sviluppare al primo ordine in β la Q(∣∣∣ f1

1−βn3

∣∣∣) e il fattore 1 − βn3 che compareal denominatore:⟨

h′ab(f′1,x1)h′cd(f

′2,x2)∗

⟩Q

=∑A

∫d2n (1 + βn3)

[Q (f1) + βn3f

∂

∂fQ (f1)

]× δ (f1 − f2) e2πif1n(x1−x2)εAab(n

′)εAcd(n′) (3.22)

Sviluppando poi i prodotti che compaiono all’interno dell’integrale ci accorgiamo chequesto consta di due parti: una equivalente alla correlazione della parte stazionaria delsegnale nel sistema comovente e un’altra proporzionale a β, dovuta al boost3:

C ′ (f ′1, f′2)Q = C (f1, f2)Q + β

[Q (f1) + f

∂

∂fQ (f1)

] ∫d2nn3δ (f1 − f2)

× e2πif1n(x1−x2)Pabcd(n) (3.23)

2d2n′ = d2n(1−βn3)

come si dimostra passando in coordinate polari e tenendo conto che dφ′ = dφ perchétrasverso rispetto alla direzione del boost.

3Per le proprietà (3.14) abbiamo sostituito senza problemi la quantità∑A ε

Aab(n

′)εAcd(n′) con∑

A εAab(n)εAcd(n) e poi sostituito con Pabcd, definito dalla (1.27). Questo passaggio, come vedremo, non

sarà lecito nel caso non stazionario (senza trascurare effetti in β).

38

La parte proporzionale a β continua a contenere un fattore δ(f1−f2), in altre parole un boostnon introduce non stazionarietà in un fondo stazionario. Il calcolo esplicito ci fornirebbeuna funzione di correlazione che è qualitativamente identica rispetto a quella che troverem-mo nel sistema comovente. Per questo motivo non ci aspettiamo effetti significativi dallaparte stazionaria della funzione di correlazione e possiamo quindi tralasciarne il calcoloesplicito4.

Vedremo, nella sezione successiva, che un effetto interessante nasce della parte nonstazionaria della funzione di correlazione. Il relativo calcolo sarà svolto nel dettaglio e letecniche ivi sviluppate potranno essere applicate anche alla (3.23).

3.2.2.2 Parte non stazionaria

Tenendo conto soltanto del termine proporzionale a P(f) nella (3.20) la quantità da calco-lare è:

C ′ (f ′1, f′2)P =

∑A

∫dn

(1− βn3)

dm

(1− βn3)P(∣∣∣∣ f1

1− βn3

∣∣∣∣)× δ

(f1

1− βn3

+f2

1− βm3

)δ2 (n,−m)

× e2πif1n′x1−2πif2m′x2εAab(n′)εAcd(m

′) (3.24)

Integrando in m e tenendo conto della (3.17) si ottiene :

C ′ (f ′1, f′2)P =

∑A

∫dn

(1− βn3)(1 + βn3)P(∣∣∣∣ f1

1− βn3

∣∣∣∣)× δ

(f1

1− βn3

+f2

1 + βn3

)eind+2πiβvs

× εAab(n + βv)εAcd(−n + βv) (3.25)

4Esistono effetti qualitativi non legati alla statistica temporale legati al boost. In particolare un modelloisotropo visto da un sistema in moto non appare tale, e la overlap reduction function è modificata a causa delfattore n3 che appare nell’integrando dell’Equazione (3.23).

39

dove abbiamo definito

2π (f1x1 + f2x2) ≡ d = dd (3.26)

2π (f1x1 − f2x2) ≡ s = ss (3.27)

Riesprimiamo la delta di Dirac che compare nella (3.25):

δ

(f1

1− βn3

+f2

1 + βn3

)= δ (f1 + f2 + βn3 (f1 − f2)) +O

(β2)

(3.28)

Nella delta compare un termine proporzionale a β. A differenza del caso stazionario, dovela sua struttura non era modificata a parte un fattore moltiplicativo globale, qui la deltaacquista una struttura in frequenza significativamente diversa, che ci aspettiamo origini unacorrelazione non riducibile ai casi già analizzati. Dal momento che integriamo in dn, ladelta (3.28) si comporterà come una delta in n3. Avremo

δ (f1 + f2 + βn3 (f1 − f2)) =1

β (f1 − f2)δ

(n3 +

f1 + f2

β (f1 − f2)

)(3.29)

Utilizzando la (3.29) e definendo n3 ≡ − f1+f2β(f1−f2)

si ottiene:

C ′ (f ′1, f′2)P =

2πein3d3

β(f1 − f2)eiβvsP

(2f 2

1

f1 − f2

)χ−1,1 (n3)

×∑A

eAab(n + βv)eAcd(−n + βv)ei(n1d1+n2d2)

dove abbiamo tenuto conto del fatto che n3 è vincolato tra −1 e 1 dalla funzione caratteris-tica χ−1,1(n3)

χ−1,1(n3) =

1 −1 ≤ − (f1+f2)β(f1−f2)

≤ 1

0 altrove(3.30)

La funzione caratteristica (3.30) risulta diversa da zero per tutte le frequenze f2 compresetra le rette di pendenza − (1+β)

1−β e − (1−β)1+β

, ossia in una piccola striscia lungo la bisettrice delsecondo e quarto quadrante nello spazio f1 × f2 (vedere Figura 3.1).

Tornando al calcolo di (3.25), possiamo trascurare le correzioni in β negli argomenti deitensori di polarizzazione in modo da sostituire la loro combinazione con Pabcd. Quest’ultimo

40

va poi espresso in termini degli ni grazie alla definizione (1.25):

Pabcd(n) = δacδbd + δadδbc − δabδcd− δacnbnd − δbdnanc − δadnbnc − δbcnand+ δabncnd + δcdnanb + nanbncnd (3.31)

Tenendo conto che n3 è fissato e che

niein1d1+in2d2 = −i ∂

∂diein1d1+in2d2 (3.32)

Pabcd si può esprimere come un operatore differenziale e quindi portarlo fuori dall’integralesulle direzioni, che è noto:∫

dn1dn2ein1d1+in2d2 =

∫dφe√

1−n23

√d21+d22 cosφ = J0(σd) (3.33)

J0(σd) è la funzione di Bessel di ordine 0 e abbiamo posto σ =√

1− n23 e d =

√d2

1 + d22.

In definitiva risulta:

C ′ (f ′1, f′2)P =

ein3d3+iβvs

β (f1 − f2)P(

2f 21

f1 − f2

)χ−1,1(n3)Pabcd

(∂

∂d1

,∂

∂d2

, n3

)J0(σd) (3.34)

La (3.34) può essere calcolata esplicitamente computando tutte le derivate dovute a Pabcd, ma non è una funzione di cui si può calcolare analiticamente l’integrale nelle frequenze.Possiamo comunque stimare il suo comportamento generale e capire se questa correlazionepuò dare adito ad una migliore osservabilità del fondo stocastico.

Per andare avanti, effettuiamo un cambio di variabili:

a =t1 + t2

2

b =t1 − t2

2p = f1 + f2

q = f1 − f2 (3.35)

41

in modo che la funzione di correlazione espressa in a, b risulti

C ′(a, b)P = 2

∫ ∫dpdqχ−1,1(n3)P

((p+ q) 2

2q

)ein3d3+iβvs

βq

× Pabcd

(∂

∂d1

,∂

∂d2

, n3

)J0(σd)ei(qa+pb) (3.36)

a e b sono rispettivamente la somma e la differenza dei tempi di osservazione. Nel nostrosistema di riferimento questi sono misurati a partire dai primi istanti di vita dell’universo,perciò avremo a = t1+t2

2∼ T0 ∼ 1018 s e b = t1−t2

2∼ 108 s per un esperimento della durata

di un anno. Poiché in a compare l’età del’universo T0, essa incorpora la non stazionarietàcercata.

Ora occorre tener presente che la sensibilità degli interferometri è ristretta a una finestradi frequenze compresa tra fmin = 10 Hz e fmax = 104 Hz. Questo fatto limita l’estensionedegli integrali in p, q che compaiono nella (3.36). a dei valori pmin < p < pmax e qmin <q < qmax. Il dominio effettivo di integrazione sarà dato dall’intersezione della regioneappena descritta con quella consentita dalla (3.30), ed è rappresentata in Figura 3.1.

p

q

q

qi

qf

Figura 3.1: Grafico nello spazio (p,q) : In celeste le regioni permesse dalla sensibilità degliinterfermetri, mentre in violetto si hanno le regioni permesse dalla(3.30). La sovrappo-sizione delle due aree determina il dominio di integrazione. La linea tratteggiata indica ilsegmento su cui integreremo.

42

Analizzando la (3.34) vediamo che la parte legata alla non stazionarietà, ossia quel-la nella somma dei tempi a, è coniugata alla variabile q. Possiamo quindi integrare in qla (3.34) per determinare l’influenza della non-stazionarietà sulla funzione di correlazione.Gli estremi di integrazione sono indicati sempre in Figura 3.1 e valgono

qi = 2fmin + p

qf = 2fmax − p (p < 2βfmin)

qi =p

β

qf = 2fmax − p (p > 2βfmin) (3.37)

La funzione integranda risulta:

Ip=p0 =

∫ qf

qi

dqP(

(p0 + q) 2

2q

)ein3d3+iβvs

βqPabcd

(∂

∂d1

,∂

∂d2

, n3

)J0(σd)ei(qa+pb) (3.38)

La caratteristica più significativa di questo integrale è che l’integrando consiste in una fun-zione regolare moltiplicata per il termine exp (iqa). Come abbiamo visto a ∼ T0, e quindiquest’ultimo oscillerà molto rapidamente nell’intervallo di integrazione, deprimendo forte-mente il risultato. Il comportamento asintotico sarà dominato dagli estremi di integrazionee potremo scrivere, integrando per parti,

Ip=p0 ∼1

iaP(

(p0 + q) 2

2q

)ein3d3+iβvs

βqPabcd

(∂

∂d1

,∂

∂d2

, n3

)J0(σd)eipb+iqa

∣∣∣∣qfqi

+O

(1

a2

)(3.39)

e trascurando i termini di fase e la dipendenza di P dalle frequenze avremo

Ip=p0 ≈1

βaP(

1

qf− 1

qi

)≈ 1

βfminaP (3.40)

dove fmin è la più piccola frequenza di osservazione e P un valore tipico di P sempreall’interno della finesta di sensibilità dell’apparato sperimentale. Vediamo chiaramente cheil contributo legato allo squeezing è soppresso rispetto a quello stazionario di un fattore

1

βfmina=

1

10−4 × 10 Hz× 1018 s∼ 10−15

43

3.3 Conclusioni

Il primo fatto che possiamo osservare dalla (3.40) è che compare un fattore (βfmina)−1,peculiare del termine non stazionario. Sebbene il fattore β compaia al denominatore questinon è sufficiente a far sorgere un effetto rilevante ai fini dell’osservabilità. Il terminein a vale all’incirca 10−18s e deprime fortemente il modulo della (3.40). In altri termi-ni lo squeezing dà un contributo alla funzione di correlazione che è 10−15 volte la partestazionaria.

Si potrebbe essere tentati di evitare questo problema misurando direttamente la C ′(p, q)per frequenze ben determinate, tuttavia dobbiamo tener conto che la risoluzione massi-ma in frequenza ottenibile da un esperimento realistico ∆fmax = T−1

obs = 10−8 Hz. Ognimisura dovrebbe essere mediata (in frequenza) in questo intervallo. Dalla (3.36) vediamoche dovremo mediare un esponenziale del tipo eiqa che persino alla risoluzione massima infrequenza compie 1010 oscillazioni cancellando praticamente ogni traccia di non stazionar-ietà. Infine, nella (3.40) non compaiono dipendenze temporali che potrebbero far crescereil rapporto SNR più rapidamente della radice quarta del tempo di osservazione.

In definitiva l’unico esperimento in grado di determinare se il fondo stocastico di ondegravitazionali è squeezed oppure no dovrebbe avere una durata paragonabile all’età dell’u-niverso, così da ottenere una risoluzione in frequenza tale da non cancellare la non staziona-rietà del fondo stesso. Essendo quest’ipotesi irrealizzabile, per lo meno con il tipo di esper-imenti che stiamo considerando, concludiamo che non si può realizzare alcun esperimentoche sia in grado di riconoscere lo squeezing in un fondo stocastico di onde gravitazionali.

In questo lavoro ci siamo limitati, per ragioni di tempi, a dare una prima stima delrisultato. Potrebbe essere interessante scendere nel dettaglio proiettando la correlazione tracampi calcolata su dei detector tensor associati a rivelatori reali. Questi si muovono a causadella rotazione e rivoluzione terrestre, e si generano effetti di modulazione che andrebberotenuti in conto.

44

Ringraziamenti

Un sentito ringraziamento va innanzitutto al mio relatore che mi ha assistito con moltapazienza e disponibilità durante tutte le fasi della stesura di questo lavoro. Desidero poiringraziare i miei genitori, Paola e Gianluca, per avermi sempre sostenuto e per essersi fatticarico dei miei studi. Infine tutti coloro, troppi per stare in qualche riga, con i quali hocondiviso una parte del cammino.

45

46

Appendice

Riportiamo qua i dettagli dei calcoli della Sezione 3.2.2.2. Per quanto riguarda Pabcd, itermini che dobbiamo calcolare, tenendo conto delle simmetrie, sono5:

P3333 = P 233 =

(1− n2

3

)2

Pi333 = Pi3P33 = −nin3

(1− n2

3

)Pij33 = 2Pi3Pj3 − PijP33 = −δij(1− n2

3) + ninj(1− n23)

Pi3j3 = PijP33 =(1− n2

3

)(δij − ninj)

Pijk3 = PikPj3 + Pi3Pjk − PijPk3 = n3 [δik − δik − δjk + ninknj]

Pijkl = PikPjl + PilPjk − PijPkl = δikδjl + δilδjk − δijδkl − ninkδjl − δiknjnl +

− ninlδjk − δilnjnk + ninjδkl + δijnknl + ninknjnl

Come visto, gli ni si traducono in derivate della funzione di Bessel J0(σd):

5Qui e più avanti nel testo i, j, k, l = 1, 2.

47

niJ0 (σd) = −i ∂∂di

J0 (σd)

= −iJ ′0 (σd)σTi

ninjJ0 (σd) = −[J ′′0 (σd)σ2TiTj + J ′0 (σd)σTij

]ninjnkJ0 (σd) = i

[J ′′′0 (σd)σ3TiTjTk + J ′′0 (σd)σ2TijTk

]+ i

[J ′′0 (σd)σ2TikTj + J ′′0 (σd)σ2TiTjk + J ′0 (σd)σTijk

]ninjnknlJ0 (σd) = J ′′′′0 (σd)σ4TiTjTkTl

+ J ′′′0 (σd)σ3 (TilTjTk + TiTjlTk + TiTjTkl + TijTkTl + TikTjTl + TiTjkTl)

+ J ′′0 (σd)σ2 (TijlTk + TiklTj + TilTjk + TijTkl + TikTjl + TiTjkl + TijkTl)

+ J ′0 (σd)σTijkl

Dove i vari tensori T che compaiono sono dati da:

Ti =did

Tij =∂

∂djTi =

δijd− didj

d3

Tijk =∂

∂dkTij = 3

didjdkd5

− 1

d3(δijdk + δikdj + diδjk)

Tijkl =∂

∂dlTijk = 3

δildjdk + diδjldk + didjδkl + δijdkdl + δikdjdl + didlδjkd5

− 1

d3(δijδkl + δikδjl + δilδjk)− 15

didjdkdld7

Le funzioni di Bessel di un ordine abitrario possono essere ridotte a combinazioni di fun-zioni di Bessel di ordine 0 e 1 grazie alle seguenti identità:

J−n(x) = (−1)nJn(x)2α

xJα(x) = Jα+1(x) + Jα−1(x)

2J ′α(x) = Jα−1(x)− Jα+1(x)

48

con le quali si ottiene:

J ′0(x) = −J1(x)

J ′′0 (x) =1

2(J2(x)− J0(x)) =

1

xJ1(x)− J0(x)

J ′′′0 (x) =3

4J1(x)− 1

4J3(x) =

1

xJ0(x) +

(1− 2

x2

)J1(x)

J ′′′′0 (x) =3

8J0(x)− 4J2(x) + J4(x) =

(1− 3

x2

)(J0(x)− 2

xJ1(x)

)

49

50

Bibliografia

[1] Lev D. Landau; Evenij M. Lifšits, Fisica Teorica II Teoria dei campi, EditoriRiuniti University Press 2010.

[2] Michele Maggiore, Gravitational waves. Volume 1: theory and experiments,Oxford University Press, 2007

[3] M. Maggiore; “Gravitational wawes experiments and early universecosmology”; Physics Reports 331 (2000) 283

[4] Viatcheslav Mukhanov; Sergei Winitzki, Introduction to quantum effects ingravity, Cambridge University Press 2007367

[5] T. Regimbau, “The astrophysical gravitational wave stochastic background”.Res. Astron. Astrophys. 11 (2011).

[6] Informazioni aggiornate sui rivelatori attuali di onde gravitazionali pos-sono essere reperite nei siti dei relativi esperimenti:http://www.virgo.infn.it(VIRGO), http://www.ligo.caltech.edu (LIGO), http://www.geo600.uni-hannover.de (GEO600), http://tamago.mtk.nao.ac.jp (TAMA).

[7] D.F. Walls; Gerard J. Milburn, Quantum Optics, Springer 2008

[8] Bruce Allen, Éanna É. Flanagan, Maria Alessandra Papa; “Is the squeezing ofrelic gravitational waves produced by inflation detectable?”; Physical ReviewD, volume 61, 024024

[9] Leonid P. Grishchuck; “On the detectability of relic (squeezed) gravitationalwaves”; arXiv:gr-qc/9903079v1

51