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Politecnico di Milano – Dipartimento di Meccanica – Sezione di Misure e Tecniche Sperimentali

Laboratorio n. 2Laboratorio n. 2

a.a. 2004-2005

Incertezza di misuraIncertezza di misura

Corso di Misure Meccaniche e Termiche A (Prof. A. Cigada, Ing. A. Basso, Ing. M. Lurati)

Sito di Misure: http://misure.mecc.polimi.it

Prof. Alfredo Cigada 02-2399.8487 [email protected]

Ing. Alessandro Basso 02-2399.8488 [email protected]

Ing. Massimiliano Lurati 02-2399.8448 [email protected]

http://misure.mecc.polimi.it/

http://misure.mecc.polimi.it/

mailto:[email protected]





Effetti sistematici ed effetti aleatori:

Il risultato di una misurazione costituirà solo una stima del misurando.



a) Parametro, associato al risultato di una misurazione, che caratterizza la dispersione dei valori ragionevolmente attribuibili al misurando. [UNI ENV 13005, B. 2.18]

b) Intorno limitato del valore di un parametro, corrispondente agli elementi della fascia di valore assegnatagli come misura. [UNI 4546, 2.3.]

c) Stima caratterizzante il campo di valori entro cui cade il vero valore del misurando. [V.I.M., 3.09]

d) Risultato della stima che determina l’ampiezza del campo entro il quale il valore vero di un misurando deve trovarsi, generalmente con una determinata probabilità [UNI EN 30012-1,3,7]

L’incertezza nelle norme:



• Le definizioni “a” e “b” sono sostanzialmente equivalenti

• Le definizioni “c” e “d” sono sostanzialmente equivalenti

•Noi seguiremo l’impostazione delle norme UNI 4546 e UNI ENV 13005 (“b” e “a” rispettivamente => approccio dell’incertezza).



La misura è un’informazione che comprende:

• Numero

• Incertezza

• Unità di misura

Definizione di misura: UNI 4546

E’ OBBLIGATORIO esprimere l’incertezza della misura



Informazione corretta:

• 10.0 0.1 m

• 10.05 0.02 m

Informazione NON corretta:

• 10.0 0.01 m

• 10.00 0.1 m



Tipologie di incertezza:

• Incertezza strumentale e di lettura

• Imperfetta definizione del modello

• Mutazione dell’ambiente della misura

• Incertezza intrinseca

L’unica tipologia idealmente ineliminabile è l’incertezza intrinseca



Categorie di incertezza:

• Categoria A: la sua valutazione è condotta mediante elaborazione statistica di risultati ottenuti da misurazioni ripetute nelle medesime condizioni

• Categoria B: la sua valutazione è condotta mediante metodi diversi dall’elaborazione statistica di risultati ottenuti da misurazioni ripetute nelle medesime condizioni



La suddivisione fra incertezze A e B riflette solo il modo di trattare i contributi delle incertezze e non la loro natura.

• Categoria A: stima a posteriori (rispetto alle misurazioni)

• Categoria B: stima a priori (rispetto alle misurazioni)



Tipologie di incertezza:

• Incertezza tipo = Scarto tipo (radice quadrata della varianza della distribuzione statistica scelta)

• Incertezza estesa = Scarto tipo * Fattore di copertura: per incrementare il livello di confidenza della misura

• Incertezza combinata standard: determinata mediante la legge di propagazione delle incertezze



Incertezza di categoria A:

Hp: osservazioni indipendenti

kq

n

kk

qn

q1

1

statisticaepopolaziondella

mediadellastimalaèq

Si assume una distribuzione probabilistica gaussiana



La VARIANZA SPERIMENTALE sLa VARIANZA SPERIMENTALE s22

è la STIMA della VARIANZA è la STIMA della VARIANZA 22

1

2

12

n

qqqs

n

kk

k



L’ INCERTEZZA TIPO S è PARI A:L’ INCERTEZZA TIPO S è PARI A:

nkqs

qs)(

)(



E LA MISURA A:E LA MISURA A:

)(qsq

media incertezza tipo o scarto tipo della media



Criterio di Chauvenet

Suggerisce l’esclusione di dati sperimentali “palesemente errati”:

• in una serie di n dati sperimentali, devono essere scartati quei valori che presentino uno scostamento dal valore medio, caratterizzato da una probabilità di verificarsi inferiore a 1/(2n).



Incertezza di categoria B:

Si assume una distribuzione probabilistica uniforme (rettangolare)

-a/2 +a/2

Xi

A

1)( Axprob i



• per la scelta di per la scelta di aa : valore : valore realisticorealistico e non e non semplicemente prudenziale.semplicemente prudenziale.

• la scelta di a può provenire da considerazioni la scelta di a può provenire da considerazioni su:su:

• risoluzionerisoluzione

• dati di misurazione precedentidati di misurazione precedenti

• esperienza o conoscenza generale dello esperienza o conoscenza generale dello strumentostrumento

• specifiche tecnichespecifiche tecniche

• dati forniti da certificati di taraturadati forniti da certificati di taratura

• incertezze di riferimento prese da manualiincertezze di riferimento prese da manuali



Esempio risoluzione dello strumento:

-a/2 +a/2

Xi

Risoluzione strumento = a



IL IL VALORE ATTESOVALORE ATTESO Xi Xi è il è il

VALORE NOMINALEVALORE NOMINALE

LA LA VARIANZAVARIANZA ASSOCIATA E’: ASSOCIATA E’:

12/22 axu i

LO SCARTO TIPO E’:LO SCARTO TIPO E’:

32/axu i



LEGGE della PROPAGAZIONE LEGGE della PROPAGAZIONE

delle INCERTEZZEdelle INCERTEZZE

COME STIMARE L’INCERTEZZA COME STIMARE L’INCERTEZZA

di UNA MISURA di UNA MISURA

FUNZIONE DI n PARAMETRIFUNZIONE DI n PARAMETRI

a partire dalle incertezze di questia partire dalle incertezze di questi



iN

i ic xu

xf

yu 22

1

y = f(X1,X2,… XN)

SINGOLE INCERTEZZE

STANDARD (tipo A o B)INCERTEZZA COMBINATA STANDARD

Hp: GRANDEZZE Hp: GRANDEZZE INCORRELATEINCORRELATE



ESEMPIO: CALCOLO DELL’AREA DI UN RETTANGOLO

DATI: LUNGHEZZA l=50 mm uc(l)=1 mm

LARGHEZZA b=35 mm uc(b)=0.5 mm

AREA = b * l = 1750 mm2

bl

A

lb

A

22222 53)()()( mmlubbulAu ccc

Misura: Area = 1750 53 mm2



INCERTEZZA ESTESA : INCERTEZZA ESTESA :

Definisce un intervallo di misura caratterizzato dal Definisce un intervallo di misura caratterizzato dal livello di confidenza desideratolivello di confidenza desiderato

x

)(qskS k: fattore di copertura



Hp: distribuzione gaussiana

05.0)(00.10 qsq

X = 10.00 ± 1.000 * 0.05 m (LC 68%)

X = 10.00 ± 1.960 * 0.05 = 10.00 ± 0.10 m (LC 95%)

X = 10.00 ± 2.576 * 0.05 = 10.00 ± 0.13 m (LC 99%)



Il legame fra fattore di copertura e livello di confidenza dipende dalla distribuzione probabilistica considerata:

NB: i valori della gaussiana coincidono con la t-Student per

n



Incertezza composta: fattori di copertura

Eq. Di Welch – Satterthwaite:

n

i i

i

toteff xs

yS

1

4

4

)(

)(

v : gradi di libertà

s: incertezza tipo

NB:

• Incertezza tipo A: v = n-1

• Incertezza tipo B: v =

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