PitagorismoIl numero contro l'errore

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IndiceVociPremessa Scuola pitagorica Pitagora 1 2 10 15 15 17 19 21 22 23 27 29 32 43 44 46 51 75 75 82 84 85 85 87 91 92 93 93 95 95

Matematica e misticismoTetraktys Numero perfetto Numero triangolare Numero pentagonale Numero esagonale Numero poligonale Numero tetraedrico Quadrato perfetto Teorema di Pitagora Ippaso di Metaponto Incommensurabilit Radice quadrata di 2 Sezione aurea

MusicaRapporto tra musica e matematica Scala pitagorica Temperamento naturale

AstronomiaFilolao Archita Antiterra Iceta di Siracusa (filosofo) Ecfanto di Siracusa Callippo di Cizico

AnatomiaAlcmeone di Crotone

NoteFonti e autori delle voci Fonti, licenze e autori delle immagini 99 101

Licenze della voceLicenza 103

Premessa

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Premessa

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Scuola pitagoricaLa scuola pitagorica, appartenente al periodo presocratico, fu fondata da Pitagora a Crotone intorno al 530 a.C., sull'esempio delle comunit orfiche e delle sette religiose d'Egitto e di Babilonia, terre che, secondo la tradizione, egli avrebbe conosciuto in occasione dei suoi precedenti viaggi di studio. La scuola di Crotone eredit dal suo fondatore la dimensione misterica ma anche l'interesse per la matematica, l'astronomia, la musica e la filosofia.

Setta mistica, scientifica, aristocraticaL'originalit della scuola consisteva infatti nel presentarsi come setta mistica-religiosa, comunit scientifica ed insieme partito politico aristocratico che sotto questa veste govern direttamente in alcune citt dell'Italia meridionale. La coincidenza dei tre diversi aspetti della scuola pitagorica si spiega con il fatto che l'aspetto mistico nasceva Pitagorici celebrano il sorgere del sole di Fyodor Bronnikov (1827-1902) dalla convinzione che la scienza libera dall'errore che era considerato una colpa e quindi, attraverso il sapere, ci si liberava dal peccato dell'ignoranza, ci si purificava e ci avvicinava a Dio, l'unico che possiede tutta intera la verit: infatti l'uomo "filosofo" (da (filin), amare e (sofa), sapienza), pu solo amare il sapere, desiderarlo ma mai possederlo del tutto.[1] Infine la partecipazione alla scuola, riservata a spiriti eletti, implicava che gli iniziati che la frequentavano avessero disponibilit di tempo e denaro per trascurare ogni attivit remunerativa e dedicarsi interamente a complessi studi: da qui il carattere aristocratico del potere politico che i pitagorici ebbero fino a quando non furono sostituiti dai regimi democratici.

Scuola pitagorica

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Si dice che Pitagora avesse interpellato a Delfi l'Oracolo del Dio Apollo che gli aveva predestinato la citt di Crotone come sede della sua scuola che quindi nasceva per volont del dio. Crotone si presentava adatta poich era gi una citt dove si era sviluppata una cultura scientifica-medica e dove Pitagora grazie al suo sapere,riusc a guadagnarsi i favori del popolo che govern per molto tempo. La scuola, che poteva essere frequentata anche dalle donne[2], offriva due tipi di lezione: una pubblica e una privata. Durante quella pubblica, seguita dalla gente comune, il maestro spiegava nel modo pi semplice possibile, cos che fosse comprensibile a tutti, la base della sua filosofia basata sui numeri. Quella privata era invece di pi alto livello e veniva seguita prevalentemente da eletti iniziati agli studi matematici. Pitagora infatti aveva diviso i suoi discepoli, in due gruppi: I matematici (mathematikoi), ovvero la cerchia pi stretta dei seguaci, i quali vivevano all'interno della scuola, si erano spogliati di ogni bene materiale e non mangiavano carne ed erano obbligati al celibato. I "matematici" erano gli unici ammessi direttamente alle lezioni di Pitagora con cui potevano interloquire. A loro era imposto l'obbligo del segreto, in modo che gli insegnamenti impartiti all'interno della scuola non diventassero di pubblico dominio; Gli acusmatici (akusmatikoi), ovvero la cerchia pi esterna dei seguaci,ai quali non era richiesto di vivere in comune, o di privarsi delle propriet e di essere vegetariani, avevano l'obbligo di seguire in silenzio le lezioni del maestro. Il carattere religioso dogmatico dell'insegnamento confermato dal fatto che la parola del maestro non poteva essere messa in discussione: a chi obiettava si rispondeva: auts epha (l'ipse dixit latino), l'ha detto proprio lui e quindi era una verit indiscutibile. Nelle sue lezioni, che si tenevano nella "Casa delle Muse", un imponente tempio all'interno delle mura cittadine, in marmo bianco, circondato da giardini e portici, Pitagora ribadiva spesso il concetto che la medicina fosse salute e armonia, invece la malattia disarmonia. Quindi lobiettivo principale della medicina pitagorica era di ristabilire larmonia tra il proprio corpo e luniverso. Poich i pitagorici erano sostenitori delle teorie orfiche dellimmortalit dellanima e della metempsicosi, ritenevano che per mantenerla pura e incontaminata occorresse svolgere delle pratiche ascetiche, sia spirituali che fisiche. Tra queste, solitarie passeggiate mattutine e serali, cura del corpo ed esercizi quali corsa, lotta, ginnastica e diete costituite da cibi semplici e che abolivano anche lassunzione di vino. celeberrima l'idiosincrasia di Pitagora e della sua Scuola per le fave: non solo si guardavano bene dal mangiarne, ma evitavano accuratamente ogni tipo di contatto con questa pianta. Secondo la leggenda, Pitagora stesso, in fuga dagli scherani di Cilone di Crotone, prefer farsi raggiungere ed uccidere piuttosto che mettersi in salvo attraverso un campo di fave.[3]

Moneta romana raffigurante Pitagora

Scuola pitagorica

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L'aritmogeometriaTra le pratiche per la purificazione del corpo e dell'anima i pitagorici privilegiavano la musica che li port a scoprire il rapporto numerico alla base dell'altezza dei suoni che, secondo la leggenda, Pitagora trov riempiendo con dellacqua unanfora che percossa emanava una nota, poi togliendo una parte ben definita dell'acqua, otteneva unaltra nota maggiore di un'ottava. probabile che proprio da queste esperienze musicali nacque nei pitagorici l'interesse per l'aritmetica concepita come una teoria dei numeri interi che essi ritenevano non un'entit astratta bens concreta; i numeri venivano visti come grandezze spaziali, aventi una stessa estensione e forma ed erano infatti rappresentati geometricamente e spazialmente (l'uno era il punto, il due la linea, il tre la superficie, il quattro il solido.) Pitagora formul inoltre l'importante teoria della tetraktys.[4] Etimologicamente il termine significherebbe "numero triangolare". Per i Pitagorici la tetraktys consisteva in una disposizione geometrica che esprimeva un numero o un numero espresso da una disposizione geometrica. Essa era rappresentata come un triangolo alla cui base erano quattro punti che decrescevano fino alla punta; la somma di tutti i punti era dieci,il numero perfetto composto dalla somma dei primi 4 numeri (1+2+3+4=10), che combinati tra loro definivano le quattro specie di enti geometrici: il punto, la linea, la superficie, il solido. La tetraktys aveva un carattere sacro e i pitagorici giuravano su di Tetraktys essa. Era inoltre il modello teorico della loro visione dell'universo, cio un mondo non dominato dal caos delle forze oscure, ma da numeri, armonia, rapporti numerici.[5] Questa matematica pitagorica che stata definita un"aritmogeometria" agevol la concezione del numero come arch, principio primo di tutte le cose. Fino ad allora i filosofi naturalisti avevano identificato la sostanza attribuendole delle qualit: queste per, dipendendo dalla sensibilit, erano mutevoli e mettevano in discussione la caratteristica essenziale della sostanza: la sua immutabilit. I pitagorici ritenevano di superare questa difficolt evidenziando che se vero che i principi originari mutano qualitativamente essi per conservano la quantit che misurabile e quindi traducibile in numeri, vero ultimo fondamento della realt. Affermava Filolao: Tutte le cose che si conoscono hanno numero; senza questo nulla sarebbe possibile pensare n conoscere.[6]

Scuola pitagorica

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Contributi alla matematicaLa chiarificazione della natura dei numeri si pose come domanda imprescindibile a Pitagora e ai suoi seguaci. Essi si interrogarono sulle propriet dei numeri pari e dispari, dei numeri triangolari e dei numeri perfetti e lasciarono un'eredit duratura a coloro che si sarebbero occupati di matematica. Secondo il mito, ai pitagorici si devono le seguenti scoperte: che la somma degli angoli interni di un triangolo pari a due angoli retti. Pi in generale, nel caso di un poligono di n lati la somma degli angoli interni uguale a 2n-4 angoli retti; che in un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'ipotenusa equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti, ossia l'enunciato (ma non la dimostrazione) del teorema noto come teorema di Pitagora[7][8]; la soluzione geometrica di alcune equazioni algebriche; la scoperta dei numeri irrazionali; la costruzione dei solidi regolari. Secondo i pitagorici esiste una coppia di principi. LUno, o principio limitante La Diade, o principio di illimitazione Tutti i numeri risultano da questi due principi: dal principio limitante si hanno i numeri dispari, da quello illimitato i numeri pari. Una rappresentazione grafica di questi principi la seguente. I numeri pari, cos disposti, fanno pensare ad un'"apertura": lasciando passare qualcosa che li attraversi danno l'idea dell'illimitatezza, e dunque erano considerati imperfetti, poich solo ci che limitato compiuto, non manca di nulla e quindi perfetto.Il teorema di Pitagora

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Al contrario i numeri dispari sono chiusi, limitati, e dunque perfetti.

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Poich i numeri si dividono in pari e impari, e poich i numeri rappresentano il mondo, l'opposizione tra i numeri si riflette in tutte le cose. La divisione tra i numeri porta quindi ad una visione dualistica del mondo, e la suddivisione della realt in categorie antitetiche. Sono state individuate 10 coppie di opposti, conosciuti come opposti pitagorici: 1. bene e male 2. limite ed illimite 3. dispari e pari 4. rettangolo e quadrangolo 5. retta e curva

Scuola pitagorica 6. luce e tenebre 7. maschio e femmina 8. uno e molteplice 9. movimento e stasi 10. destra e sinistra Numeri importanti 1, o Monade. Indica l'Uno, il principio primo. Considerato un numero n pari n dispari, ma pari-mpari. Geometricamente rappresenta il punto. 2, o Diade. Femminile, indefinito e illimitato. Rappresenta l'opinione (sempre duplice) e, geometricamente, la linea. 3, o Triade. Maschile, definito e limitato. Geometricamente rappresenta il piano. 4, o Tetrade. Rappresenta la giustizia, in quanto divisibile equamente da entrambe le parti. Geometricamente rappresenta una figura solida. 5, o Pentade. Rappresenta vita e potere. La stella iscritta nel pentagono era il simbolo dei pitagorici. 10, o Decade. Numero perfetto. Infatti secondo la loro concezione astronomica 10 erano i pianeti e questo numero veniva rappresentato con il tetraktys: il triangolo equilatero di lato 4 sul quale veniva fatto il giuramento di adesione alla scuola.Il pentagramma: i pitagorici usarono questo simbolo come un segno segreto per riconoscersi tra di loro. Rappresenta la pentade, il numero cinque

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Questo simbolo del triangolo ebbe un influsso importante persino nell'iconografia paleocristiana dove la stessa figura verr rappresentata con un occhio al centro. Inoltre il 10 "contiene" l'intero universo poich dato dalla somma di 1+2+3+4 in cui l'1 rappresenta il punto geometrico, 2 sono i punti necessari per individuare la linea, 3 sono i punti necessari per individuare un piano e 4 per individuare un solido.

Monade

Diade

Triade

Tetrade

Pentade

Decade

Scuola pitagorica Numeri figurati e geometria I Pitagorici basavano anche la geometria sulla teoria dei numeri interi. Le figure geometriche erano infatti da essi concepite come formate da un insieme discreto di punti, indivisibili ma dotati di una certa grandezza. Esistevano quindi strette relazioni tra i numeri e le forme realizzabili con il corrispondente numero di punti. Un residuo delle concezioni pitagoriche ancora nella nostra terminologia quando parliamo di numeri quadrati: il 25, ad esempio era considerato quadrato perch disponendo 25 punti in 5 file di 5 si poteva realizzare la forma di un quadrato. I pitagorici non si limitavano per ai numeri quadrati. Consideravano anche i numeri triangolari (ottenuti sommando interi consecutivi a partire da 1; erano cio triangolari i numeri 1, 3, 6, 10, 15, ...), i numeri gnomoni, ossia i numeri dispari (con i quali si poteva formare una figura costituita da due bracci eguali ortogonali collegati da un punto), numeri poligonali e cos via. Tra i vari numeri e le figure corrispondenti, sussistevano relazioni allo stesso tempo aritmetiche e geometriche: ad esempio sommando due numeri triangolari consecutivi si ottiene un quadrato; sottraendo da un quadrato il quadrato immediatamente minore si ottiene uno gnomone; sommando un certo numero di gnomoni consecutivi a partire da 1 si ottiene un quadrato. Tutta la matematica pitagorica entr in crisi in seguito alla scoperta di grandezze incommensurabili. Tale scoperta, avvenuta all'interno della scuola e attribuita in genere a Ippaso di Metaponto, impediva infatti di considerare tutte le grandezze come multiple della stessa grandezza punto.

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La sferaLa scuola aveva una profonda venerazione verso la sfera. Questo solido era la rappresentazione materiale dell'Armonia. Ci era dovuto all'osservazione della caratteristica della sfera: tutti i punti sono equidistanti dal centro, che rappresenta il fulcro, e con la stessa "forza" tengono insieme la sfera.

AnatomiaI pitagorici rivoluzionarono la concezione dell'anatomia umana. Introdussero con Alcmeone di Crotone la teoria encefalocentrica che indicava il cervello come organo centrale delle sensazioni. Furono infatti i primi a dare importanza a questo organo poich prima, gi con gli egizi, era diffusa l'idea che attribuiva tutte le funzioni vitali al cuore. Inoltre affermarono che tutte le parti del corpo fossero unite da una sovrannaturale armonia, la quale componeva l'anima.

Astronomia, armonia e misticismoL'avanzata astronomia pitagorica stata attribuita a Filolao di Crotone e Iceta di Siracusa i quali pensavano che al centro dell'universo vi fosse un immenso fuoco, chiamato Hestia: chiara la similitudine con il sole che i pitagorici si raffiguravano come una enorme lente che rifletteva il fuoco e dava calore a tutti gli altri pianeti che giravano attorno ad esso. Il primo dei pianeti ruotanti l'Anti-Terra, poi la Terra, che non immobile al centro dell'universo ma un semplice pianeta, poi il Sole, la Luna, cinque pianeti e infine il cielo delle stelle fisse. L'idea del'esistenza dell'Anti-Terra probabilmente nasceva con la necessit di spiegare le eclissi ed anche, come sostiene Aristotele[9], per far arrivare a dieci, il numero sacro, segno della tetrakis, dell'armonia universale, i pianeti ruotanti intorno al fuoco centrale. Keplero per il suo eliocentrismo si rifece, e ne diede testimonianza, alla teoria cosmologica pitagorica che per primo concep l'universo come un cosmo[10] un insieme razionalmente ordinato che rispondeva anche ad esigenze mistiche religiose. I pianeti compiono movimenti armonici secondo precisi rapporti matematici e dunque generano un suono sublime e raffinato. L'uomo sente queste armonie celestiali ma non riesce a percepirle chiaramente, in quanto immerso in esse

Scuola pitagorica fin dalla nascita. Secondo Alcmeone anche l'anima umana immortale, poich della stessa natura del Sole, della Luna e degli astri e, come questi si genera dall'armonia musicale di quegli elementi opposti di cui parler Simmia, il discepolo di Filolao, nel Fedone platonico. Il divino l'anima del mondo e l'etica nasce dall'armonia che nella giustizia rappresentata da un quadrato che risulta dal prodotto dell'uguale con l'uguale. L'anima immortale dell'uomo, attraverso successive reincarnazioni, si ricongiunger all'anima del mondo, alla divinit ma per questo fine il pitagorico dovr esercitarsi alla contemplazione misterica, derivata dall'orfismo, basata sulla sublime armonia del numero. La vita contemplativa (bos theoretiks) per la prima volta assumeva nel mondo greco un'importanza primaria.

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La crisi della scuola pitagoricaLa scoperta, tenuta segreta, delle grandezze incommensurabili, come ad esempio l'incommensurabilit della diagonale con il lato del quadrato, caus la crisi di tutte quelle credenze basate sull'aritmogeometria, sulla convinzione che la geometria trattasse di grandezze discontinue come l'aritmetica. La leggenda narra che Ippaso di Metaponto avesse rivelato questa segreta difficolt, confermata dal fatto che l'aritmogeometria non riusciva a risolvere i paradossi del continuo e dell'infinito che per es. erano alla base delle argomentazioni di Zenone di Elea. La matematica e la geometria si divisero e divennero autonome. La crisi della scuola si originava anche da motivi politici: i pitagorici sostenitori dei regimi aristocratici che governavano in numerose citt della Magna Grecia furono travolti dalla rivoluzione democratica del 450 a.C. e furono costretti a cercare rifugio in Grecia dove fondarono la comunit pitagorica di Fleio o si stabilirono a Taranto dove con Archita rimasero fino alla met del IV secolo a.C. A Siracusa operarono Ecfanto e Iceta, a Tebe Filolao, Simmia e Cebete, a Locri Timeo.[11]

Note[1] Anche sulla prima definizione di se stesso come filosofo (come stato riferito da Cicerone e Diogene Laerzio) attribuita a Pitagora, cio come "colui che ama il sapere", sono stati recentemente avanzati fondati dubbi da Riedweg Christoph, in Pitagora. Vita, dottrina e influenza, Editore: Vita e Pensiero 2007 (http:/ / books. google. it/ books?id=eWc6-RU0oh8C& dq=Riedweg+ Christoph+ ,in+ Pitagora. + Vita,+ dottrina+ e+ influenza,& printsec=frontcover& source=bl& ots=SvNzGTi0mr& sig=eWEonq9SDU_-cwffK5J6roQo1fk& hl=it& ei=GJ-rSfi_BZH__QbWptXzDw& sa=X& oi=book_result& resnum=2& ct=result#PPA156,M1) [2] La tradizione vuole che le donne pitagoriche pi famose fossero 17 (in Greek women: Mathematicians and Philosophers. (http:/ / www. mlahanas. de/ Greeks/ WomenPhilosopher. htm) Fonte primaria: Giamblico) Fra queste si ricorda Timica, moglie di Millia di Crotone.

La comunit pitagorica ha in parte innovato le tradizioni del mondo classico greco, affermando che la donna ha il riconoscimento di un proprio mondo interiore. Pitagora, infatti, rendeva edotte le sue allieve sulle questioni filosofiche da lui trattate poich le riteneva dotate di ottima intuizione e di spirito contemplativo. Non ader dunque allo stereotipo della donna incolta e subalterna, relegata alle occupazioni domestiche. Pitagora stesso, narra Aristosseno, apprese gran parte delle dottrine morali ed i segreti dell'ascesi e della theurgia da Temistoclea, sacerdotessa di Delfi. Clemente Alessandrino nelle sue Stromata attesta l'eccellenza delle donne pitagoriche.[3] A proposito di questo divieto pitagorico di cibarsi di fave, Giovanni Sole nel libro Pitagora e il tab delle fave, Rubettino editore, ne d un'interpretazione fisica e una spirituale. La prima collegata al favismo che secondo studi medici era diffuso proprio nella zona del crotonese (Op.cit. pagg.90 e sgg.), mentre la seconda fa riferimento a credenze antiche, messe in luce da Levi Strauss, secondo cui le fave erano considerate connesse al mondo dei morti, della decomposizione e dell'impurit (Op.cit. pagg.142 e sgg.) dalle quali il filosofo si deve tenere lontano. [4] Cfr.Aristotele, Metafisica XIII. [5] Aristotele, Metafisica, 985b-986a.

Scuola pitagorica[6] Diels-Kranz, 44 B 11; (EN): frammento 4 (http:/ / books. google. ie/ books?id=ASijqFryr5IC& pg=PA104#v=onepage& q=& f=false). [7] Diogene Laerzio ci informa che Pitagora sacrific un'ecatombe quando scopr il celebre teorema geometrico che porta il suo nome. Sembra tuttavia un'informazione non corretta, in quanto Pitagora era vegetariano e amava gli animali. Molti secoli dopo, l'epigrammista Filippo Pananti (q:Filippo Pananti) trasse dal lontano episodio la seguente morale:

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Allorquando Pitagora trov Il suo gran teorema, Cento bovi immol. Dopo quel giorno trema De' buoi la razza, se si fa Strada al giorno una nuova verit.[8] L'enunciato del teorema era tuttavia conosciuto da babilonesi e indiani prima di Pitagora, e si trova descritto anche nel Sulvasutra [9] Commento alla Metafisica di Aristotele e testo integrale di Aristotele di Tommaso d'Aquino, (trad. di Lorenzo Perotto), Edizioni Studio Domenicano, 2004 p.797 [10] La parola ksmos nella lingua greca nasce in ambito militare per designare l'esercito schierato ordinatamente per la battaglia (in Sesto Empirico, Adv. Math. IX 26) [11] Di questi scrive Platone ma alcuni storici della filosofia ne negano l'esistenza.

Bibliografia Vincenzo Capparelli, Il messaggio di Pitagora: il pitagorismo nel tempo (http://books.google.it/ books?id=10rmhtk9c5wC&printsec=frontcover&vq=aristotele&source=gbs_summary_r&cad=0), Edizioni Studio Tesi, 1990, ISBN 88-272-0588-8 Giorgio Manganelli; Cortellessa A. (cur.), La favola pitagorica, Adelphi 2005, ISBN 88-459-1947-1 Simone Notargiacomo, Mediet e proporzione, Lampi di Stampa, Milano 2009, ISBN 978-88-488-0935-1 (http:// www.lampidistampa.it/index.php?p=catalogo&id=1299) Giamblico, La vita pitagorica, con testo greco a fronte, Rizzoli ISBN 88-17-16825-4 Giamblico, Summa pitagorica, Bompiani 2006, ISBN 88-452-5592-1

Voci correlate Pitagora Scuola pitagorica reggina Neopitagorismo

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Pitagora

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PitagoraPitagora[1] (Samo, c. 570 a.C. Metaponto, c. 495 a.C.) stato un matematico, legislatore e filosofo greco antico secondo quanto tramandato dalla tradizione.

Dettaglio dalla Scuola d'Atene (1511) di Raffaello Sanzio raffigurante Pitagora

Storia e leggendaQuanto Pitagora comunicava ai discepoli pi stretti, nessuno in grado di riportare con sicurezza: in effetti presso di loro, il silenzio era osservato con grande cura.(Porfirio )[2]

La figura storica di Pitagora, messa in discussione da diversi studiosi, si mescola alla leggenda narrata nelle numerose Vite di Pitagora, composte nel periodo del tardo neoplatonismo e del neopitagorismo dove il filosofo viene presentato come figlio del dio Apollo. Secondo la leggenda, il nome stesso di Pitagora risalirebbe etimologicamente ad una parola che trova il suo significato in "annunciatore del Pizio", e cio di Apollo. Si riteneva infatti che egli, autore di miracoli e profeta, guaritore e mago, fosse figlio del dio stesso. quasi impossibile distinguere, nell'insieme di dottrine e frammenti a noi pervenuti, non solo ci che sicuramente appartiene al pensiero di Pitagora ma neppure, nonostante i tentativi di John Burnet [3], di separare il pensiero del primo pitagorismo da quello successivo. Anche Aristotele, che possiamo considerare il primo storico della filosofia, nella difficolt evidente di identificare la dottrina del maestro, parla genericamente de i cosiddetti pitagorici [4].

Pitagora

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Cenni biograficiLa vita di Pitagora avvolta nel mistero. Di lui sappiamo pochissimo e la maggior parte delle testimonianze che lo riguardano sono di epoca pi tarda. Alcuni autori antichi o suoi contemporanei come Senofane, Eraclito ed Erodoto ci danno testimonianze tali da far pensare alla effettiva esistenza storica di Pitagora pur se inserita nella tradizione leggendaria[6]. Secondo queste fonti Pitagora nacque nell'isola di Samo nella prima met del VI secolo a.C. dove fu scolaro di Ferecide e Anassimandro subendone l'influenza nel suo pensiero. Da Samo Pitagora si trasfer nella Magna Grecia dove fond a Crotone, all'incirca nel 530 a.C., la sua scuola. Dei suoi presunti viaggi in Egitto e a Babilonia, narrati dalla tradizione dossografica, non vi sono fonti certe e sono ritenuti, almeno in parte, leggendari.La Testa del Filosofo, parte di una statua bronzea custodita al Museo nazionale della Magna Grecia di Reggio Calabria, un probabile [5] ritratto di Pitagora

Sulla sua morte i resoconti dei biografi non coincidono: essendo scoppiata una rivolta dei democratici contro il partito aristocratico pitagorico, la casa dove si erano riuniti gli esponenti pi importanti della setta fu incendiata. Si salvarono solo Archippo e Liside che si rifugi a Tebe. Secondo una versione, Pitagora prima della sommossa si era gi ritirato a Metaponto dove era morto. Secondo altri invece era casualmente assente alla riunione nella casa incendiata e quindi riusc a salvarsi fuggendo prima a Locri, quindi a Taranto e da l a Metaponto dove mor.[7] Quasi sicuramente Pitagora non lasci nulla di scritto e quindi le opere attribuitegli i Tre libri e i Versi aurei vanno ascritte piuttosto ad autori sconosciuti che li scrissero in epoca cristiana o di poco antecedente. Giamblico (Siria, 245 325) fondatore di una nota scuola neoplatonica ad Apamea, in Siria, attesta invece[8] che i primi libri a contenuto pitagorico pubblicati erano opera di Filolao.

Limitazioni alimentariL'astensione dalle faveUna versione della morte di Pitagora collegata alla nota idiosincrasia del filosofo e della sua Scuola per le fave: non solo si guardavano bene dal mangiarne, ma evitavano accuratamente ogni tipo di contatto con questa pianta. Secondo la leggenda, Pitagora stesso, in fuga dagli scherani di Cilone di Crotone, prefer farsi raggiungere ed uccidere piuttosto che mettersi in salvo attraverso un campo di fave.[9] A proposito di questo divieto pitagorico di cibarsi di fave, Giovanni Sole nel libro Pitagora e il tab delle fave (Rubettino editore) ne d un'interpretazione fisica e una spirituale. La prima collegata al favismo che secondo studi medici era diffuso proprio nella zona del crotonese [10], mentre la seconda fa riferimento a credenze antiche, messeBusto marmoreo romano di Pitagora

Pitagora in luce da Levi Strauss, secondo cui le fave erano considerate connesse al mondo dei morti, della decomposizione e dell'impurit (op. cit., pp. 142 e sgg.) dalle quali il filosofo si deve tenere lontano.

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Il vegetarismoPitagora tradizionalmente considerato l'iniziatore del vegetarismo in Occidente grazie ad alcuni versi delle Metamorfosi di Ovidio, che lo descrivono come il primo degli antichi a scagliarsi contro l'abitudine di cibarsi di animali, reputata dal filosofo un'inutile causa di stragi, dato che gi la terra offre piante e frutti sufficienti a nutrirsi senza spargimenti di sangue; Ovidio lega inoltre il vegetarismo di Pitagora alla credenza nella metempsicosi, secondo cui negli animali non vi un'anima diversa da quella degli esseri umani.[11]

Il pensieroPochi sono gli elementi certi della dottrina pitagorica, tra questi quello della metempsicosi su cui tutte le fonti sono concordi[12] e tra le prime Senofane che la critica aspramente[13]. Derivato dall'orfismo, nella dottrina pitagorica vi dunque un sicuro aspetto religioso, il quale sosteneva la trasmigrazione delle anime che, per una colpa originaria, erano costrette, come espiazione, ad incarnarsi in corpi umani o bestiali sino alla finale purificazione (catarsi). La novit del pensiero di Pitagora rispetto all'orfismo rappresentato dalla considerazione della scienza come strumento di purificazione nel senso che l'ignoranza ritenuta una colpa da cui ci si libera con il sapere. Questa particolarit della dottrina ritenuta dagli studiosi sicuramente appartenente a Pitagora che viene tradizionalmente definito, a partire da Eraclito, come Euclide e Pitagora, ovvero la Geometria e l'Aritmetica, polymaths (erudito). In che consistesse la sua erudizione per [14] formella del Campanile di Giotto, Luca della Robbia, mancano notizie certe . Si sa che nella sua scuola vigeva una 1437-1439, Firenze distinzione tra i discepoli: vi erano gli acusmatici, gli ascoltatori obbligati a seguire le lezioni in silenzio e i mathematici che potevano interloquire con il maestro e ai quali erano rivelate le parti pi profonde della scienza. Da questa distinzione, dopo la morte di Pitagora ne segu una contesa tra le due fazioni di discepoli che si attribuivano l'eredit filosofica del maestro. quasi certo che l'insegnamento (mthema) pitagorico avesse un aspetto mistico-religioso consistente in un addottrinamento dogmatico, secondo il noto motto della scuola o ipse dixit (lo ha detto lui), e un contenuto che molto probabilmente riguardava gli opposti ed i numeri (in quanto principi cosmologici), da intendersi per, come hanno osservato vari autori, tra cui Edouard Schur e Ren Gunon, in un senso non solo quantitativo, ma anche qualitativo e simbolico.[15] Riguardo alle elaborazioni scientifiche attribuite a Pitagora, gli storici della filosofia non sono in grado di averne certezza. Le dottrine astronomiche sono sicuramente state elaborate dai suoi discepoli nella seconda met del V secolo a.C. Il teorema, per cui il filosofo famoso, era gi noto agli antichi Babilonesi ma alcune testimonianze, tra cui Proclo riferiscono che Pitagora ne avrebbe intuito la validit mentre si deve a lui avere indicato come sostanza primigenia (arch) l'armonia determinata dal rapporto tra i numeri e gli accordi musicali.

Pitagora

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Note[1] Il nome deriverebbe, secondo una probabile etimologia, dal greco - Pythagras -, da - pith - = persuadere + agor - = piazza, lett.colui che persuade la piazza [2] DK 14 A 8a; in Pitagora, Versi aurei. Seguiti dalle vite di Porfirio e Fazio, da testi pitagorici e da lettere di donne pitagoriche, a cura di S. Fumagalli, Mimesis, Milano, 1996, p. 72. [3] J. Burnet, Antica filosofia greca pp.37 e sgg. [4] Aristotele, Metafisica, 985b [5] Il ritratto bronzeo avrebbe fatto parte parte dell'arredo urbano di Reggio Calabria proprio durante il periodo pitagorico vissuto dalla citt quando, finita la tirannide, il potere politico pass nelle mani dell'aristocrazia che a partire dal 455 a.C. ospit gli esuli pitagorici scacciati da Crotone favorendo la nascita della scuola pitagorica reggina; dunque la statua di Pitagora sarebbe divenuta parte del bottino di guerra che Dionisio I di Siracusa us per pagare i soldati dopo la presa di Reggio avvenuta nel 386 a.C., caricato sulla nave che affond nei mari dello Stretto proprio in quel periodo - "Il ritratto di Pitagora di Samo" a cura del prof. Daniele Castrizio dell'universit di Messina (http:/ / www. youtube. com/ watch?v=k-c_JhvLYRc) [6] Enciclopedia Treccani in voce corrispondente [7] Cfr. Cioffi et alii, I filosofi e le idee, Vol. I, Ed. Bruno Mondadori 2004 p. 46. [8] Christoph Riedweg in Pitagora: vita, dottrina e influenza, Vita e Pensiero, 2007 cita Giamblico in Vita di Pitagora, p. 199 [9] Cfr. Diogene Laerzio, Vite dei filosofi, VIII, I. [10] Christoph Riedweg, op. cit., pp. 90 e sgg. [11] Cfr. Erica Joy Mannucci, La cena di Pitagora. Storia del vegetarianismo dall'antica Grecia a Internet, Carocci editore, Roma, 2008, pp. 15-19. Ovidio cita ad esempio queste parole di Pitagora: Smettetela, uomini, di profanare i vostri corpi con cibi empi! Ci sono le messi, ci sono alberi stracarichi di frutti, ci sono turgidi grappoli d'uva sulle viti! Ci sono erbe dolci e tenere [...]. La terra nella sua generosit vi propone in abbondanza blandi cibi e vi offre banchetti senza stragi e sangue [...]. Che enorme delitto ingurgitare viscere altrui nelle proprie, far ingrassare il proprio corpo ingordo a spese di altri corpi, e vivere, noi animali, della morte di altri animali! Ti par possibile che tra tanto ben di dio che produce la terra, ottima tra le madri, a te non piaccia masticare altro coi tuoi denti crudeli che carne ferita, riportando in voga le abitudini dei Ciclopi? (da Le metamorfosi, libro XV, 72-93, citato in Erica Joy Mannucci, op. cit. , p. 16) Diogene Laerzio sostiene inoltre che Pitagora fosse solito mangiare pane e miele al mattino e verdure crude la sera; in pi implorava i pescatori affinch ributtassero in mare quello che avevano appena pescato. (Cfr. AA.VV., La grande cucina | Vegetariana, RCS, Milano, 2005, p. 142. ISSN 1824-5692) [12] Enciclopedia Garzanti di filosofia, Milano 1981 p.705 [13] Diels-Kranz, 21, B, 7 [14] Anche sulla prima definizione di se stesso come filosofo (come stato riferito da Cicerone e Diogene Laerzio) attribuita a Pitagora come "colui che ama il sapere", ma non lo possiede in quanto solo il dio sapiente del tutto, sono stati recentemente avanzate nuove prove a conferma della tradizione da Riedweg Christoph, in Pitagora. Vita, dottrina e influenza, Editore: Vita e Pensiero 2007 (http:/ / books. google. it/ books?id=eWc6-RU0oh8C& dq=Riedweg+ Christoph+ ,in+ Pitagora. + Vita,+ dottrina+ e+ influenza,& printsec=frontcover& source=bl& ots=SvNzGTi0mr& sig=eWEonq9SDU_-cwffK5J6roQo1fk& hl=it& ei=GJ-rSfi_BZH__QbWptXzDw& sa=X& oi=book_result& resnum=2& ct=result#PPA156,M1) [15] Paolo Scroccaro, Pitagora:la dottrina dei numeri e degli opposti (http:/ / www. filosofiatv. org/ news_files2/ 15_pitagora. doc)

Bibliografia Lucio Lombardo Radice , La matematica da Pitagora a Newton , Edizione Muzzio, Roma, 2003 Ferguson Kitty, La musica di Pitagora. La nascita del pensiero scientifico, Editore: Longanesi 2009 Riedweg Christoph , Pitagora. Vita, dottrina e influenza, Editore: Vita e Pensiero 2007 Joost-Gaugier Christiane L., Pitagora e il suo influsso sul pensiero e sull'arte, Editore Arkeios, 2008 Fucarino Carmelo, "Pitagora e il vegetarianesimo", Editore: Giannone A. 1982 Rostagni Augusto, "Il verbo di Pitagora", Editore: Il Basilisco 1982 M. Timpanaro Cardini, "Pitagorici, Testimonianze e frammenti", 3 volumi, Editore: La Nuova Italia, 1969 Centrone Bruno, Introduzione a I pitagorici, Roma-Bari, Laterza, 1996.

Pitagora

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Voci correlate Teano Terna pitagorica Teorema di Pitagora

Altri progetti Wikimedia Commons contiene file multimediali: http://commons.wikimedia.org/wiki/ Category:Pythagoras Wikiquote contiene citazioni: http://it.wikiquote.org/wiki/Pitagora

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Matematica e misticismoTetraktysPer i pitagorici, la tetrakts (dal greco antico , pi comunemente translitterato come tetraktys ma anche con tetraktis, tetractys, tetractis) rappresentava la successione aritmetica dei primi quattro numeri naturali (o pi precisamente numeri interi positivi), un quartetto che geometricamente si poteva disporre nella forma di un triangolo equilatero di lato quattro,[1] ossia in modo da formare una piramide che sintetizza il rapporto fondamentale fra le prime quattro cifre e la decade: 1+2+3+4=10.[2] A dimostrazione dell'importanza che il simbolo aveva per Pitagora [c. 575 a.C. - c. 495 a.C.], la scuola portava questo nome e i suoi discepoli prestavano giuramento sulla tetraktys.[2]

Rappresentazione della tetraktys.

Altre caratteristicheA sua volta il dieci rimanda all'Unit poich 10=1+0=1.[2] Inoltre nella decade "sono contenuti egualmente il pari (quattro pari: 2, 4, 6, 8) e il dispari (quattro dispari: 3, 5, 7, 9), senza che predomini una parte". Inoltre risultano uguali i numeri primi e non composti (2, 3, 5, 7) e i numeri secondi e composti (4, 6, 8, 9). Ancora essa "possiede uguali i multipli e sottomultipli: infatti ha tre sottomultipli fino al cinque (2, 3, 5) e tre multipli di questi, da sei a dieci (6, 8, 9)". Infine, "nel dieci ci sono tutti i rapporti numerici, quello dell'uguale, del meno-pi e di tutti i tipi di numero, i numeri lineari, i quadrati, i cubi. Infatti l'uno equivale al punto, il due alla linea, il tre al triangolo, il quattro alla piramide".[3] Forse nata cos la teorizzazione del "sistema decimale" (si pensi alla tavola pitagorica),[4] tuttavia per quanto riguarda la Grecia e non per l'intera storia della civilt e della matematica, che attesta la preesistenza di tale intuizione rispetto ai Pitagorici. Secondo Luciano De Crescenzo, in questo modo con la matematica greca pare che anche fra i numeri esistesse un'aristocrazia: c'erano quelli nobili e quelli plebei.[5]

SimbolismoA ogni livello della tetraktys corrisponde uno dei quattro elementi,[2] i principi cosmogonici identificati secondo i filosofi della natura presocratici.1 livello. Il punto superiore: l'Unit fondamentale, la compiutezza, la totalit, il Fuoco 2 livello. I due punti: la dualit, gli opposti complementari, il femminile e il maschile, l'Aria 3 livello. I tre punti: la misura dello spazio e del tempo, la dinamica della vita, la creazione, l'Acqua 4 livello. I quattro punti: la materialit, gli elementi strutturali, la Terra

Tetraktys Tale corrispondenza simbolica attribuita a Filolao (470 a.C. - 390 a.C.), un pitagorico della seconda generazione che avrebbe fatto coincidere i quattro elementi con i primi quattro solidi platonici (terra=cubo, fuoco=piramide, aria=ottaedro, acqua=icosaedro).[6][7] In quest'identificazione dovettero giocare un ruolo notevole anche analogie sensibili: il cubo d l'idea della solidit della terra, la piramide delle lingue di fuoco, ecc.

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Ulteriori sviluppiL'intuizione pitagorica stata recuperata negli ambiti pi svariati: nella cabala,[8] nella filosofia cinese,[9] nella massoneria,[10] nell'esoterismo e nella teosofia.[11]

Note[1] Piergiorgio Odifreddi, Le menzogne di Ulisse. L'avventura della logica da Parmenide ad Amartya Sen, Milano, Longanesi, 2004, p. 47. ISBN 8830420441; ISBN 9788830420441. Riedito da: Milano, TEA, 2009. ISBN 8850211910; ISBN 9788850211913. [2] Corinne Morel, Dizionario dei simboli, dei miti e delle credenze, Firenze, Giunti Editore, 2006, p. 836. ISBN 8809040716; ISBN 9788809040717. [3] Stefano Martini, Storia del pensiero filosofico. La filosofia arcaica (http:/ / www. liceotitolivio. it/ adv. php?fp=SOSEZ017& fn=0000000008), 2008, p. 9. URL consultato il 19-11-2011. [4] S. Martini, op. cit., p. 10. [5] L. De Crescenzo, Storia della filosofia greca. I presocratici, Milano, Mondadori, 1983, p. 77. Disponibile online (http:/ / books. google. it/ books?cd=3& id=CM8DAQAAIAAJ& dq=De+ Crescenzo+ "Storia+ della+ filosofia+ greca"& q="pare+ che+ anche+ fra+ i+ numeri+ esistesse+ un'aristocrazia:+ c'erano+ quelli+ nobili+ e+ quelli+ plebei"#search_anchor) su google.books.it. [6] Francesco Attardi, Viaggio intorno al Flauto magico, Lucca, LIM (LibreriaMusicaleItaliana), 2006, p. 336. ISBN 8870964507; ISBN 9788870964509. Anteprima disponibile (http:/ / books. google. it/ books?id=aXh6GNhU0-8C& pg=PT354#v=onepage& q=& f=false) su books.google.it. [7] La fonte principale resta il Diels-Kranz. Su Filolao: (EN) frammenti 1-23 (http:/ / books. google. ie/ books?id=ASijqFryr5IC& pg=PA104#v=onepage& q=& f=false) (pp. 104-8), in particolare il frammento 12. [8] Nicola Ubaldo, Atlante illustrato di filosofia, Firenze, Giunti Editore, pp. 60-1, 2000. ISBN 8844009277; ISBN 9788844009274. Nuova ed.: 2005. ISBN 8809041925; ISBN 9788809041929. Anteprima disponibile (http:/ / books. google. it/ books?id=0SmsUO9GS94C& pg=PA60#v=onepage& q=& f=false) su books.google.it. [9] (EN) Youlan Feng, Yu-lan Fung, Derk Bodde, History of Chinese Philosophy. Volume 2: The Period of Classical Learning from the Second Century B.C. to the Twentieth Century A.D, Princeton University Press, 2 ed. 1983, p. 94. ISBN 0691020221; ISBN 9780691020228. Anteprima disponibile (http:/ / books. google. it/ books?id=g9BaYTXCIiYC& pg=PA94#v=onepage& q=& f=false) su books.google.it. [10] Angelo Sebastiani, La luce massonica, Volume 5, Roma, Hermes Edizioni, 1995, p. 78. ISBN 887938015X; ISBN 9788879380157. Anteprima disponibile (http:/ / books. google. it/ books?id=ieE4CHLVJyEC& pg=PA78& #v=onepage& q=& f=false) su books.google.it. [11] (EN)Raghavan Narasimhan Iyer, The dawning of wisdom. Essays on walking the path, Theosophy Trust Books, 2007, p. 23. ISBN 097932050X; ISBN 9780979320507. Anteprima disponibile (http:/ / books. google. it/ books?id=RHttvQpA9rwC& pg=PT41#v=onepage& q=& f=false) su books.google.it.

Voci correlate Elementi (filosofia) Pitagora Scuola pitagorica

Collegamenti esterni Il numero 666 e la tetraktis di Pitagora (http://www.esonet.org/articoli/articoli/studi-sullantico-egitto/ il-numero-666-e-la-tetraktis-di-pitagora)

Numero perfetto

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Numero perfettoUn numero si dice perfetto quando uguale alla somma dei suoi divisori propri. Ad esempio, il numero 28, divisibile per 1, 2, 4, 7, 14 un numero perfetto (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14): lo stesso per 6 che divisibile per 1, 2 e 3. 6=1+2+3 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 I numeri perfetti furono inizialmente studiati dai pitagorici. Un teorema enunciato da Pitagora e dimostrato da Euclide rivel che se 2n+1 - 1 un numero primo, allora 2n (2n+1 - 1) perfetto. Successivamente Eulero dimostr che tutti i numeri perfetti pari devono essere di tale forma. Esempio: 6 = 21 (22 - 1) Da questo risulta che ogni numero perfetto pari necessariamente: un numero triangolare, visto che si pu scrivere

un numero esagonale, visto che si pu scrivere

I primi 10 numeri perfetti sono: 6 28 496 8128 33 550 336 (8 cifre) 8 589 869 056 (10 cifre) 137 438 691 328 (12 cifre) 2 305 843 008 139 952 128 (19 cifre) 2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176 (37 cifre) 191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216 (54 cifre)

L'undicesimo numero perfetto composto da 65 cifre, il dodicesimo da 77 e il tredicesimo da ben 314 cifre. Si conoscono[1] solo 47 primi di Mersenne, e quindi 47 numeri perfetti[2]. Il pi grande tra questi 243,112,608 (243,112,6091), formato in base 10 da 25.956.377 cifre. I primi 39 numeri perfetti sono sicuramente esprimibili come 2n(2n+1 - 1) con: n+1 = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917 (Sequenza A000043 dell'OEIS). Si conoscono altri 8 numeri perfetti maggiori, con n+1 = 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609. Tuttavia non si ancora verificato se ve ne sono altri in mezzo. Non si sa se i numeri perfetti continuino all'infinito n se esistono numeri perfetti dispari, per tutti i numeri perfetti pari terminano con 6 oppure con 8. Infatti da 2n (2n+1 - 1) si ha che: 2n pari e termina 2, 4, 8, 6;

Numero perfetto (2n+1 - 1) dispari e termina per 3, 7, 5, 1. Il valore '5' va scartato in quanto cadrebbe l'ipotesi di primalit, quindi le coppie che rimangono sono (2,3), (4,7) e (6,1), i cui prodotti danno i numeri 6 ed 8, finali di ogni numero perfetto Se la somma dei divisori maggiore del numero, esso si dice abbondante, se risulta minore, verr chiamato difettivo. Bench esistano infiniti numeri lievemente difettivi, cio difettivi solo per un'unit, ad esempio 4, i cui divisori sono 1 e 2, la cui somma uguale a 3, nessuno ancora riuscito a trovare numeri lievemente abbondanti. Pi in generale, i numeri lievemente difettivi sono uguali a: 2n 2n+1

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Note[1] Fino a giugno 2009. [2] GIMPS Home (http:/ / www. mersenne. org/ )

Bibliografia Kevin Hare (2005): New techniques for bounds on the total number of prime factors of an odd perfect number. Preprint disponibile nella pagina web (http://www.math.uwaterloo.ca/~kghare/Preprints/) dell'autore.

Voci correlate Numero semi-perfetto Numero primo di Mersenne Numeri amicabili Numero abbondante Numero lievemente abbondante Numero lievemente difettivo

Collegamenti esterni Perfect, amicable and sociable numbers (http://djm.cc/amicable.html) di David Moews Perfect numbers - History and Theory (http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/ Perfect_numbers.html) in MacTutor Perfect Number (http://mathworld.wolfram.com/PerfectNumber.html) in MathWorld Sequence A000396 (http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA. cgi?Anum=A000396) della On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

Numero triangolare

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Numero triangolareIn matematica, un numero triangolare un numero poligonale rappresentabile in forma di triangolo, ovvero, preso un insieme con una cardinalit (quantit di elementi) pari al numero in oggetto, possibile disporre i suoi elementi su una griglia regolare, in modo da formare un triangolo rettangolo isoscele o un triangolo equilatero, come nella figura sotto.1 3 6 10

Formula di GaussL'n-esimo numero triangolare si pu ottenere con la formula di Gauss

Osservando che ciascuna riga del triangolo costituita da un numero di elementi pari all'indice della riga, e contiene quindi un elemento in pi della riga precedente, si verifica facilmente che la formula corrisponde a quella della somma dei primi termini della progressione aritmetica di ragione 1. possibile ottenere anche una giustificazione geometrica della formula: avvicinando all'n-esimo triangolo un triangolo uguale, si ottiene un rettangolo di lati e , che formato da punti, il doppio di quelli del triangolo. L'n-esimo numero triangolare corrisponde al numero di possibili coppie non ordinate estratte da un insieme di elementi.

Elenco di numeri triangolariI primi numeri triangolari sono: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431, 1485, 1540, 1596, 1653, 1711, 1770, 1830, 1891, 1953, 2016, 2080, 2145, 2211, 2278, 2346, 2415, 2485, 2556, 2628, 2701, 2775, 2850, 2926, 3003, 3081, 3160, 3240 ecc.

Relazioni con altri numeri figurati La somma di due numeri triangolari successivi un numero quadrato: ; esistono infiniti numeri triangolari che sono anche numeri quadrati; ogni numero naturale si pu scrivere come somma di al massimo tre numeri triangolari (eventualmente ripetuti, come in ; questa propriet fu scoperta da Gauss nel 1796, ed un caso particolare del teorema di Fermat sui numeri poligonali; la somma dei primi numeri triangolari pari all'n-esimo numero tetraedrico; l'n-esimo numero pentagonale un terzo del numero triangolare per ; ogni altro numero triangolare un numero esagonale;

Numero triangolare la differenza tra l'n-esimo numero m-gonale e l'n-esimo numero (m+1)-gonale uguale all'(n-1)-esimo numero triangolare.

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Altre propriet (somma di numeri triangolari); (prodotto di numeri triangolari); tutti i numeri perfetti sono triangolari; i reciproci dei numeri triangolari formano la serie di Mengoli moltiplicata per 2; la loro somma vale pertanto 2; il quadrato dell'n-esimo numero triangolare uguale alla somma dei primi cubi: .

Test per i numeri triangolariPer stabilire se il numero triangolare si pu calcolare l'espressione:

Se,

intero, allora

l'm-esimo numero triangolare, altrimenti

non triangolare.

Voci correlate Numero poligonale Numero triangolare centrato

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Collegamenti esterni I numeri triangolari [1] in OEIS, l'enciclopedia delle successioni numeriche

Note[1] http:/ / www. research. att. com/ ~njas/ sequences/ A000217

Numero pentagonale

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Numero pentagonaleUn numero pentagonale un numero poligonale che rappresenta un pentagono. Il numero pentagonale per n pu essere calcolato con la formula:

L'n-esimo numero pentagonale un terzo del (3n - 1)-esimo numero triangolare. I primi numeri pentagonali sono: 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001 (sequenza A000326 [1] dell'OEIS) I numeri pentagonali hanno un ruolo importante nella teoria delle partizioni di Eulero, come mostrato nel suo teorema dei numeri pentagonali.

Una rappresentazione visiva dei primi sei numeri pentagonali

I numeri pentagonali generalizzati si possono ottenere dalla stessa formula inserendo valori di n nella sequenza 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, ... ottenendo: 0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, ... (sequenza A001318 [2] dell'OEIS) Se di questa sequenza di numeri si calcolano le differenze avremo la seguente sequenza: 1, 3, 2, 5, 3, 7, 4, 9, 5, 11, 6, 13, 7, 15, 8, 17, 9, 19, 10, 21, 11, 23, 12, 25, 13, 27, 14, 29, 15, 31, 16, 33, 17, 35, 18, 37, 19, 39, 20, 41, 21, 43, 22, 45, 23, 47, 24, 49, 25, 51, 26, ... (sequenza A026741 [3] dell'OEIS) Quest'ultima sequenza composta alternativamente dalle differenze dei numeri naturali 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ... e dalle differenze dei numeri dispari 1, 3, 5, 7, 9, 11 ,13, 15, 17, ...

Test per i numeri pentagonali possibile controllare se un intero positivo x sia o meno un numero pentagonale (non generalizzato) calcolando

Se n un numero naturale, allora x l'n-esimo numero pentagonale. Viceversa, se n non un numero naturale, allora x non pentagonale.

Numero pentagonale

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Altri progetti Wikimedia Commons contiene file multimediali: http://commons.wikimedia.org/wiki/ Category:Pentagonal numbers

Collegamenti esterni Leonard Euler: On the remarkable properties of the pentagonal numbers [4]

Note[1] [2] [3] [4] http:/ / oeis. org/ A000326 http:/ / oeis. org/ A001318 http:/ / oeis. org/ A026741 http:/ / arxiv. org/ abs/ math/ 0505373

Numero esagonaleUn numero esagonale un numero poligonale che rappresenta un esagono. Il numero esagonale per n pu essere calcolato con la formula

I primi 30 numeri esagonali sono: 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946, 1035, 1128, 1225, 1326, 1431, 1540, 1653, 1770 Ogni numero esagonale anche un numero triangolare, ma non tutti i numeri triangolari sono anche esagonali. Come nel caso dei numeri triangolari, la radice digitale in base dieci di un numero esagonale pu essere solo 1, 3, 6 o 9. Ogni intero maggiore di 1791 pu essere espresso come somma di non pi di quattro numeri esagonali, come provato da Adrien-Marie Legendre nel 1830. I numeri esagonali non devono essere confusi con i numeri esagonali centrati.

Numero poligonale

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Numero poligonaleIn matematica, un numero poligonale un numero figurato che pu essere disposto a raffigurare un poligono regolare.

IntroduzioneGli antichi matematici scoprirono che alcuni numeri potevano essere raffigurati in determinati modi quando rappresentati da semi o sassolini. Il numero 10, ad esempio, pu formare un triangolo:

ed quindi un numero triangolare, ma non pu formare un quadrato, al contrario del numero 9, che per l'appunto un numero quadrato (o quadrato perfetto)

Alcuni numeri, come 36, che possono essere rappresentati sia come quadrati che come triangoli, prendono il nome di numeri quadrati triangolari:

In modo analogo sono definiti i numeri pentagonali, esagonali, e, in generale, s-gonali. In questi casi, per, il diagramma che si ottiene non pi altamente compatto, come nei casi di poligoni con tre o quattro lati. Indicando con ln-esimo numero s-gonale, si definisce in generale e qualunque sia s, ovvero il secondo numero della serie dei numeri s-gonali pari al numero dei vertici (o dei lati) del poligono. I successivi numeri s-gonali si ottengono prolungando di un punto due lati consecutivi del poligono e aggiungendo poi i restanti lati (tutti delle stessa lunghezza) fra questi. Nei seguenti schemi, il passaggio da un numero al successivo, indicato con pallini rossi.

Numeri triangolari

Ln-esimo numero triangolare T(n) si ottiene sommando fra loro i primi n numeri naturali:

Numero poligonale

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(formula di Gauss). I numeri triangolari possono essere ottenuti in modo ricorsivo: per (ricordando che

Numeri quadrati

Ln-esimo numero quadrato Q(n) si ottiene sommando fra loro i primi n numeri dispari: . I numeri quadrati possono essere ottenuti in modo ricorsivo: per Vale lidentit ( )

ovvero ogni quadrato perfetto pu essere ottenuto sommando due numeri triangolari consecutivi. Luguaglianza pu essere facilmente dimostrata tramite la formula di Gauss. Lo stesso risultato pu essere dedotto dalla figura seguente in cui il quadrato stato diviso in due triangoli, uno di lato pari a quello del quadrato (contiene la diagonale), e laltro col lato pi corto di uno.

Numeri pentagonali

Ln-esimo numero pentagonale

si ottiene costruendo un nuovo pentagono partendo dal precedente,

aggiungendo un punto a due lati adiacenti e costruendo ex novo gli altri tre lati, e contando tutti i punti, vecchi e nuovi. In pratica si ottiene sommando a i tre nuovi lati di punti per un totale di punti:

Numero poligonale

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Sviluppando allindietro, sostituendo ogni numero pentagonale in funzione del precedente:

Che equivalente alla:

Dalla

con semplici passaggi si ottiene:

Ovvero qualunque numero pentagonale si pu esprimere in funzione di numeri triangolari.

Numeri esagonali

Con ragionamenti analoghi a quelli effettuati sopra si ottengono le identit:

Formule generaliSe s il numero di lati di un poligono, la formula per l'n-esimo numero s-gonale si ottiene aggiungendo al precedente numero s-gonale lati lunghi , per un totale di punti, ovvero

Si dimostra facilmente che ci equivale a

Generalizzando le formule ottenute per i numeri pentagonali ed esagonali, si ottengono anche le seguenti identit

e quindi

Numero poligonale

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Siccome , allora

Tabella dei primi numeri s-gonaliQuando possibile, nella tabella, le formule generatrici sono state semplificate.Nome Triangolare Quadrato Pentagonale Esagonale Ettagonale Ottagonale Ennagonale Decagonale 11-gonale 12-gonale 13-gonale 14-gonale 15-gonale 16-gonale 17-gonale 18-gonale 19-gonale 20-gonale 21-gonale 22-gonale 23-gonale 24-gonale 25-gonale 26-gonale 27-gonale 28-gonale 29-gonale 30-gonale Formula n(n + 1) n2 n(3n - 1) n(2n - 1) n(5n - 3) n(3n - 2) n(7n - 5) n(4n - 3) n(9n - 7) n(5n - 4) n(11n - 9) n(6n - 5) n(13n - 11) n(7n - 6) n(15n - 13) n(8n - 7) n(17n - 15) n(9n - 8) n(19n - 17) n(10n - 9) n(21n - 19) n(11n - 10) n(23n - 21) n(12n - 11) n(25n - 23) n(13n - 12) n(27n - 25) n(14n - 13) n=1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 3 6 9 4 10 16 22 28 34 40 46 52 58 5 15 25 35 45 55 65 6 21 36 51 66 7 28 49 70 8 36 64 92 9 45 81 117 153 189 225 261 297 333 369 405 441 477 513 549 585 621 657 693 729 765 10 55 100 145 190 235 280 325 370 415 460 505 550 595 640 685 730 775 11 66 121 176 231 286 341 396 451 506 561 616 671 726 781 12 78 144 210 276 342 408 474 540 606 672 738 804 13 91 169 247 325 403 481 559 637 715 793 871 949

5 12 6 15 7 18 8 21 9 24

91 120

81 112 148 96 133 176

75 111 154 204 85 126 175 232 95 141 196 260

1 10 27 1 11 30 1 12 33 1 13 36 1 14 39 1 15 42 1 16 45 1 17 48

64 105 156 217 288 70 115 171 238 316 76 125 186 259 344 82 135 201 280 372 88 145 216 301 400 94 155 231 322 428

870 1027 936 1105

836 1002 1183 891 1068 1261 946 1134 1339

1 18 51 100 165 246 343 456 1 19 54 106 175 261 364 484 1 20 57 112 185 276 385 512 1 21 60 118 195 291 406 540 1 22 63 124 205 306 427 568 1 23 66 130 215 321 448 596 1 24 69 136 225 336 469 624 1 25 72 142 235 351 490 652 1 26 75 148 245 366 511 680 1 27 78 154 255 381 532 708 1 28 81 160 265 396 553 736 1 29 84 166 275 411 574 764

820 1001 1200 1417 865 1056 1266 1495 910 1111 1332 1573 955 1166 1398 1651

801 1000 1221 1464 1729 837 1045 1276 1530 1807 873 1090 1331 1596 1885 909 1135 1386 1662 1963 945 1180 1441 1728 2041 981 1225 1496 1794 2119

1 30 87 172 285 426 595 792 1017 1270 1551 1860 2197

Numero poligonale

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Formula inversaPer un dato numero s-gonale x, possibile trovare n mediante la formula:

Bibliografia I numeri poligonali su MathWorld [1]

Voci correlate Numero figurato Numero poligonale centrato Numero poligonale centrale Numero piramidale Numero tetraedrico Quadrato perfetto

Note[1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ PolygonalNumber. html

Numero tetraedricoUn numero tetraedrico, o numero piramidale triangolare, un numero figurato che rappresenta una piramide con una base triangolare (un tetraedro). L'n-esimo numero tetraedrico la somma dei primi n numeri triangolari. I primi numeri tetraedrici sono: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969 (Sequenza A000292 dell'OEIS) La formula per calcolare l'n-esimo numero tetraedrico Piramide di spigolo 5 contenente 35 sfere. Ogni livello rappresenta uno dei primi cinque numeri triangolari.

I numeri tetraedrici sono presenti anche nel triangolo di Tartaglia: sono la quarta diagonale da sinistra (o da destra: il triangolo simmetrico). Tutti i numeri tetraedrici sono pari, eccetto i Tn per i quali (vedi aritmetica modulare).

La somma dei reciproci dei numeri tetraedrici 3/2: il risultato pu essere trovato usando le serie telescopiche.

Inoltre la somma dei primi quattro numeri tetraedrici il quinto di questi numeri. La congettura di Pollock asserisce che ogni numero naturale pu essere rappresentato come la somma di cinque numeri tetraedrici.

Numero tetraedrico

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Rapporti con gli altri numeri figuratiA.J. Meyl dimostr nel 1878 che esistono solo tre numeri tetraedrici che sono anche quadrati perfetti:

L'unico numero tetraedrico che anche un numero piramidale quadrato 1 (dimostrato da Beukers nel 1988); 1 anche l'unico tetraedrico che un cubo perfetto. Esistono solo cinque numeri che sono contemporaneamente tetraedrici e triangolari:

(dove Tn rappresenta l'n-esimo numero tetraedrico e tn rappresenta l'n-esimo numero triangolare)

Collegamenti esterni (EN) Eric W. Weisstein, I numeri tetraedrici [1] su MathWorld. (EN) M. Rip, Sulla relazione tra sommatorie doppie e numeri tetraedrici [2]

Note[1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ http:/ / mathworld. wolfram. com/ TetrahedralNumber. html. html [2] http:/ / vixra. org/ abs/ 1103. 0031|

Quadrato perfetto

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Quadrato perfettoIn matematica un quadrato perfetto o numero quadrato un numero intero che pu essere espresso come il quadrato di un altro numero intero, ovvero un numero la cui radice quadrata principale anch'essa un numero intero. Ad esempio, 9 un quadrato perfetto in quanto pu essere scritto come 3 3. Un numero un quadrato perfetto, quando, scomposto, presenta tutti esponenti pari. Talora da questi numeri si esclude lo zero, cio per quadrato perfetto si intende un intero positivo che il quadrato di un altro intero positivo.

EsempiI primi 50 quadrati perfetti[1] sono: 02 = 0 12 = 1 22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25 62 = 36 72 = 49 82 = 64 92 = 81 102 = 100 112 = 121 122 = 144 132 = 169 142 = 196 152 = 225 162 = 256 172 = 289 182 = 324 192 = 361 202 = 400 212 = 441 222 = 484 232 = 529 242 = 576 252 = 625 262 = 676 272 = 729 282 = 784

Quadrato perfetto 292 = 841 302 = 900 312 = 961 322 = 1024 332 = 1089 342 = 1156 352 = 1225 362 = 1296 372 = 1369 382 = 1444 392 = 1521 402 = 1600 412 = 1681 422 = 1764 432 = 1849 442 = 1936 452 = 2025 462 = 2116 472 = 2209 482 = 2304 492 = 2401 502 = 2500

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ProprietUn numero m un quadrato perfetto se e solo se possibile disporre m punti a formare un quadrato, per questo l'elevamento alla seconda potenza chiamato anche elevamento al quadrato.1 4 9

16

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La formula dell'n-esimo quadrato perfetto n2. Si osserva inoltre che la successione delle differenze fra due quadrati perfetti consecutivi la successione dei numeri dispari positivi: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, ..., 2n - 1 ,2n + 1 , ...

Quadrato perfetto L'n-esimo quadrato perfetto perci equivalente alla somma dei primi n numeri dispari, come si pu vedere dalle figure sopra, dove un quadrato viene ottenuto dal precedente aggiungendo un numero dispari di punti. Ad esempio: 52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9. L'n-esimo quadrato perfetto pu essere calcolato dai precedenti due nel seguente modo: n2 = 2 (n-1)2 - (n-2)2 + 2 Ad esempio: 62 = 252 - 42 + 2 = 225 - 16 + 2 = 50 - 16 + 2 = 36 Un quadrato perfetto equivale anche alla somma di due numeri triangolari consecutivi. La somma di due numeri quadrati consecutivi un numero quadrato centrato. Ogni numero quadrato dispari anche un numero ottagonale centrato. Il teorema dei quattro quadrati dice che ogni intero positivo pu essere scritto come somma di 4 quadrati perfetti o meno. 3 quadrati perfetti non sono sufficienti per i numeri nella forma 4m(8h + 7). Un intero positivo pu essere scritto come somma di due quadrati se e solo se la sua fattorizzazione non contiene potenze dispari di numeri primi nella forma 4k+3. Questo risultato generalizzato nel problema di Waring. Un intero positivo che non ha come divisore nessun quadrato perfetto ad eccezione di 1 si chiama privo di quadrati. Poich il prodotto di due numeri negativi positivo, cos come quello di due numeri positivi, nessun numero quadrato negativo. Ci ha conseguenze importanti. Ne deriva, in particolare, che non si possa estrarre la radice quadrata di un numero negativo all'interno dei numeri reali. Questo lascia una lacuna nell'insieme dei reali che i matematici hanno riempito creando i numeri immaginari, a cominciare da i, che per convenzione la radice quadrata di -1. L'elevamento a quadrato utile in statistica nella determinazione della deviazione standard di un campione dalla sua media. Per ogni dato viene fatta la differenza con la media ed il risultato elevato al quadrato. La media della serie di numeri trovata (ognuno dei quali positivo o nullo) la varianza, e la sua radice quadrata la deviazione standard in finanza, la volatilit. Un modo per trovare il quadrato di un numero n quello di prendere due numeri che abbiano n per media, moltiplicarli fra loro e sommare il quadrato dello scostamento dalla media. Ad esempio: 212 = 20 22 + 12 = 441 Questo funziona come conseguenza dell'identit: (x-y)(x+y)=x2y2 conosciuta come differenza di quadrati.

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Quadrati perfetti razionaliLa definizione di quadrato perfetto pu essere estesa all'ambito dei numeri razionali. Si introduce cos il concetto di quadrato perfetto razionale, cio un numero razionale non negativo esprimibile come frazione che in forma ridotta ha come numeratore e come denominatore due quadrati perfetti, il secondo dei quali diverso da 0. Per esempio 4/9 = 2/3 2/3. I quadrati perfetti razionali sono i soli numeri razionali non negativi la cui radice quadratica principale anch'essa un numero razionale (non negativo); le radici quadrate di tutti gli altri numeri razionali sono numeri irrazionali, cio non si possono esprimere come frazioni.

Quadrato perfetto

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Voci correlate Numero triangolare Numero poligonale Numero quadrato triangolare Identit dei quattro quadrati di Eulero Numero automorfo Quadrato (algebra)

Note[1] (Sequenza A00290 dell'OEIS)

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Teorema di PitagoraIl teorema di Pitagora un teorema della geometria euclidea che stabilisce una relazione fondamentale tra i lati di un triangolo rettangolo ed una versione limitata ad essi del Teorema di Carnot.

In un triangolo rettangolo la somma delle aree dei due quadrati costruiti sui cateti (blu e rosso) equivalente all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa (viola).

Teorema di Pitagora

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OrigineQuello che modernamente conosciamo come teorema di Pitagora viene solitamente attribuito al filosofo e matematico Pitagora. In realt il suo enunciato (ma non la sua dimostrazione) era gi noto[1] ai babilonesi, ed era conosciuto anche in Cina e forse in India. La dimostrazione del teorema invece con ogni probabilit successiva a Pitagora.

EnunciatoIn un triangolo rettangolo, l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa equivalente alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti.

Visualizzazione del caso del triangolo (3,4,5) contenuta nel testo cinese Chou Pei Suan Ching (scritto tra il 200 a.C. e il 200 d.C.)

Dato un triangolo rettangolo di lati a, b e c, ed indicando con c la sua ipotenusa e con a e b i suoi cateti, il teorema espresso dall'equazione:

o, in alternativa, risolvendolo per c:

Da cui si ricavano i rispettivi cateti:

e

Teorema di Pitagora

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Se la terna

costituita da numeri interi essa si chiama terna pitagorica.

Inversamente, ogni triangolo in cui i tre lati verificano questa propriet rettangolo: questo teorema, con la sua dimostrazione, appare negli Elementi immediatamente dopo il teorema di Pitagora stesso.

DimostrazioniLa dimostrazione classica del teorema di Pitagora completa il primo libro degli Elementi di Euclide, e ne costituisce il filo conduttore. Dato che richiede il postulato delle parallele, esso non vale nelle geometrie non-euclidee e nella geometria neutrale. Nel testo di Euclide la dimostrazione del teorema immediatamente preceduta dalla dimostrazione della costruibilit dei quadrati. L'esistenza stessa dei quadrati dipende infatti dal postulato delle parallele e viene meno nelle geometrie non euclidee. Questo aspetto del problema in genere trascurato nella didattica contemporanea, che tende spesso ad assumere come ovvia l'esistenza dei quadrati. La dimostrazione del teorema di Pitagora consiste nel riempire uno stesso quadrato di lato uguale alla somma dei cateti prima con Animazione di una dimostrazione quattro copie del triangolo rettangolo pi il quadrato costruito sull'ipotenusa e poi con quattro copie del triangolo rettangolo pi i quadrati costruiti sui cateti, come in figura. Essendo il teorema uno dei pi noti della storia della matematica, ne esistono moltissime dimostrazioni, in totale alcune centinaia, opera di matematici, astronomi, agenti di cambio, per esempio un presidente americano James A. Garfield e Leonardo da Vinci. Questo numero cos alto accomuna il teorema di Pitagora a quello della reciprocit quadratica, per questo teorema sono state classificate dallo scienziato americano Elisha Scott Loomis 371 differenti dimostrazioni, che sono state pubblicate nel 1927 nel suo libro The Pythagorean Proposition.

Teorema di Pitagora

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Dimostrazione di Abu'l-WafaLa dimostrazione attribuita al matematico e astronomo persiano Abu'l-Wafa verso la fine del X secolo d.C.[2][3] e riscoperta dall'agente di cambio Henry Perigal (trovata nel 1835-1840[4], pubblicata nel 1872 e successivamente nel 1891[5]) si basa sulla scomposizione del quadrato costruito sul cateto maggiore, in giallo nell'immagine: tagliandolo infatti con due rette passanti per il suo centro, una perpendicolare ed una parallela all'ipotenusa, si pu ricomporre in maniera da incorporare l'altro quadrato, e formando il quadrato sull'ipotenusa, come nella figura. Questo procedimento legato al problema della trisezione del quadrato.

Dimostrazione di Abu'l-Wafa' i Perigal

Dimostrazione di AiryEsiste anche una dimostrazione in forma poetica, dell'astronomo Sir George Airy, in inglese: "I am, as you can see, a + b - ab When two triangles on me stand, Square of hypothenuse is plann'd But if I stand on them instead The squares of both sides are read." di cui una traduzione letterale "Come potete vedere, sono a + b - ab Quando ci sono due triangoli sopra di me rappresentato il quadrato dell'ipotenusa Ma se invece sto io sopra di loro Si leggono i quadrati dei due lati"

Dimostrazione di Airy

I versi si riferiscono alla parte bianca: i primi due triangoli sono quelli rossi, i secondi quelli blu. Sia quella di Perigal che quest'ultima sono interessanti, in quanto sono puramente geometriche, ossia non richiedono alcuna definizione di operazioni aritmetiche, ma solo congruenze di aree e di segmenti.

Teorema di Pitagora

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Quadrati concentrici di PomiDimostrazione geometrica basata su due quadrati concentrici, di lati rispettivamente pari all'ipotenusa (c) e alla somma dei due cateti (a+b). Come si vede dalla figura, tolti i 4 triangoli rettangoli (in giallo di area ) al quadrato pi grande, che corrisponde all'area , si ottiene il quadrato pi piccolo, rappresentato in bianco, che equivale invece all'area . Quindi da cui risolvendo si ottiene : Questa dimostrazione ha il vantaggio di avere una rappresentazione visiva semplice e diretta, che non richiede lo spostamento e sovrapposizione di forme come le altre dimostrazioni geometriche formulate.Dimostrazione con quadrati concentrici

Dimostrazione di GarfieldUn'altra dimostrazione geometrica particolarmente significativa, in quanto nella costruzione non compare alcun quadrato, fu trovata nel 1876 da Garfield, che in seguito divenne il ventesimo Presidente degli Stati Uniti d'America. Allora nell'esercito, Garfield comment il suo risultato: "Questo qualcosa su cui i due rami del parlamento potranno essere d'accordo". La dimostrazione la seguente: consideriamo una copia del triangolo rettangolo in questione, ruotata di 90 gradi in modo da allineare i due cateti differenti (nella figura a lato il rosso ed il blu). Si uniscono poi gli estremi delle ipotenuse, e si ottiene un trapezio. Uguagliando l'area del trapezio alla somma di quelle dei tre triangoli retti, si dimostra il teorema. In formule, detto a il cateto rosso, b il blu e c l'ipotenusa, e ricordando la potenza del binomioDimostrazione di Garfield

Teorema di Pitagora

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Una apparente dimostrazione con i numeri complessiUna (apparente) dimostrazione puramente algebrica fa uso dei numeri complessi e della formula di Eulero: siano a, b i cateti e c l'ipotenusa. Se i cateti sono allineati sugli assi, abbiamo

Consideriamo ora il complesso coniugato di

:

Moltiplicando tra loro otteniamo

In realt si tratta di una dimostrazione apparente, poich il risultato supposto implicitamente nell'uso dell'identit . Se infatti si sostituisce all'esponenziale immaginario la sua definizione, l'identit si rivela essere: , ossia e l'ultima ben nota identit non altro che una possibile formulazione dell'enunciato del teorema di Pitagora. (Se invece l'esponenziale immaginario definito attraverso la somma della sua serie di Taylor, allora il problema diviene quello di dimostrare la relazione , dove a, b e c sono le misure di cateti e ipotenusa di un triangolo rettangolo: problema la cui soluzione di nuovo non pi semplice di una delle dimostrazioni precedenti del teorema di Pitagora).

Con i teoremi di EuclideUn'altra dimostrazione utilizza il primo teorema di Euclide. Si traccia l'altezza sull'ipotenusa, di lunghezza . Questa spezza l'ipotenusa in due segmenti, di lunghezza e . Il teorema di Euclide fornisce le relazioni

da cui

e quindi

Con i teoremi dell'Incerchio

Dimostrazione con Euclide

Un'altra dimostrazione pu essere ottenuta attraverso alcuni teoremi legati alla circonferenza inscritta ad un triangolo e tramite qualche semplice passaggio algebrico.

Teorema di Pitagora

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Lemma 1: Tenendo conto del teorema delle tangenti si pu dedurre dalla figura precedente che la distanza tra un vertice ed il punto di tangenza di uno dei due lati di cui estremo con l'incerchio uguale alla differenza tra il semiperimetro ed il lato opposto a quel vertice. Infatti ogni lato composto da due di questi tre segmenti, inoltre questi segmenti sono uguali a due a due (quelli adiacenti, sempre per il teorema delle tangenti) e la somma di tutti e sei uguale al perimetro; perci la somma di tutti e tre i segmenti di lunghezza distinta uguale al semiperimetro ed ognuno di questi quindi il semiperimetro meno la somma degli altri due, quindi il lato opposto al vertice a cui appartiene. Lemma 2: Nel caso particolare di un triangolo rettangolo il raggio della circonferenza inscritta uguale al segmento che va dal vertice dell'angolo retto al punto di tangenza con l'incerchio. Ci perch, considerando il quadrilatero avente come vertici il vertice dell'angolo retto, i punti di tangenza sui cateti e l'incentro, si vedrebbe che ha tre angoli retti(quindi anche il quarto) e cio che un rettangolo; ma anche che ha due lati consecutivi congruenti(ancora una volta per il teorema delle tangenti), perci un rettangolo con le dimensioni congruenti, ovvero un quadrato e quindi per definizione ogni suo lato congruente a tutti gli altri. Questo implica il lemma che volevamo dimostrare. Lemma 3: Sia il semiperimetro, il raggio della circonferenza inscritta e l'area del triangolo in questione(non necessariamente rettangolo, ma tale nella parte seguente della nostra dimostrazione); si ha la formula: . Questo si pu verificare considerando i tre triangoli aventi come altezza Ri e come base ed esso relativa uno dei tre lati e constatando che A uguale alla somma delle aree di quei tre triangoli; quindi, chiamando i tre lati: Dimostrazione algebrica: Siano detto fin ora abbiamo: a questo punto, usando il prodotto notevole "somma per diferenza" otteniamo: adesso, tramite "quadrato di un binomio" otteniamo: semplificando i denominatori: segue: e i cateti e . l'ipotenusa del nostro triangolo rettangolo. in base a quanto , e

e da qui, come ultimo passaggio: che corrisponde appunto all'enunciato del teorema di pitagora.

Teorema di Pitagora

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InversoVale anche l'inverso del Teorema di Pitagora (proposizione 48 del primo libro degli Elementi di Euclide): "Se in un triangolo di lati a, b e c vale la relazione , allora il triangolo rettangolo". Dimostrazione. Sia T un triangolo di lati a, b e c tale che . Consideriamo un secondo triangolo

rettangolo T' che abbia i cateti pari ad a e b ( sempre possibile costruire un triangolo rettangolo dati i due cateti). Per il Teorema di Pitagora (diretto) l'ipotenusa del triangolo T' sar pari a , ossia sar uguale al lato c del triangolo T. I due triangoli T e T' risulteranno dunque congruenti per il terzo criterio di congruenza, avendo tutti e tre i lati ordinatamente uguali. Ma allora anche il triangolo T sar rettangolo (CVD). Un corollario del teorema di Pitagora consente di determinare se un triangolo sia o meno rettangolo, acutangolo o ottusangolo. Laddove c scelto come ipotenusa, il lato pi lungo dei tre, e a + b > c (altrimenti non avremo un triangolo), valgono le seguenti relazioni: se se se , allora il triangolo rettangolo , allora il triangolo acutangolo , allora il triangolo ottusangolo

Applicazioni pratiche dell'enunciato inversoL'enunciato inverso fornisce anche un semplicissimo sistema per costruire un angolo retto (o per controllare la quadratura di un angolo gi esistente) in situazioni pratiche, come la topografia o l'agrimensura. A titolo di esempio, con una fune di lunghezza pari alla somma di una terna pitagorica (diciamo 12, somma di 5, 4 e 3, in una qualche unit di misura) sarebbe sufficiente disporre le due porzioni minori della corda (quelle di misura 4 e 3) ad un certo angolo fra loro; se gli estremi della fune, disposta infine in forma triangolare, si chiudono, si sapr che l'angolo compreso fra le due porzioni minori della corda (a questo punto i due cateti) certamente retto.

GeneralizzazioniIl teorema di Pitagora pu essere generalizzato in vari modi. Solitamente, una generalizzazione una relazione che si applica a tutti i triangoli, e che applicata ai triangoli rettangoli risulta essere equivalente al teorema di Pitagora.

Teorema del cosenoLa generalizzazione pi importante del teorema di Pitagora forse il teorema del coseno, che si applica ad un triangolo qualsiasi (non necessariamente retto). In un triangolo con vertici e angoli indicati come in figura, vale l'uguaglianza:

Nel caso in cui

sia retto, vale

e quindi l'enunciato

equivalente al teorema di Pitagora. Il termine aggiuntivo pu essere interpretato come il prodotto scalare dei vettori e .Un triangolo qualsiasi.

Teorema di Pitagora

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Teorema dei seniIl teorema dei seni mette in relazione le lunghezze dei lati di un triangolo e i seni degli angoli opposti. Anche questa relazione si applica a qualsiasi triangolo e, nel caso in cui questo sia rettangolo, pu essere ritenuta equivalente al teorema di Pitagora (bench in modo meno immediato rispetto al teorema del coseno). Il teorema dei seni asserisce che in un triangolo qualsiasi, con le notazioni come in figura, valgono le relazioni seguenti:

Elevando al quadrato:

Sommando i termini si ottiene:

Il teorema dei seni mette in relazione lunghezze dei lati e angoli opposti.

Quando

un angolo retto, si ottiene

e quindi

Si ottiene quindi in questo caso il teorema di Pitagora

Generalizzazione che non fa uso di trigonometria possibile estendere il teorema di Pitagora ad un triangolo qualsiasi senza fare uso di funzioni trigonometriche quali il seno ed il coseno. Dato un triangolo come in figura, si tracciano due segmenti che collegano il vertice con due punti e contenuti nel segmento opposto (oppure in un suo prolungamento), in modo tale che gli angoli e siano entrambi uguali all'angolo punti e Vale la relazione seguente: del verticeGeneralizzazione del teorema di Pitagora.

. La figura mostra un caso in cui l'angolo

ottuso: se acuto, i due .

sono in ordine inverso (il primo a destra e il secondo a sinistra) e possono uscire dal segmento

Quando

un angolo retto, i punti

e

coincidono e si ottiene il teorema di Pitagora

La relazione generale pu essere dimostrata sfruttando la similitudine fra i triangoli porta alle relazioni

,

e

, che

Teorema di Pitagora

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Si ottiene quindi

Sommando le due eguaglianze si ottiene la relazione iniziale.

Leggenda di Pitagora e delle piastrelleUna leggenda racconta che Pitagora abbia formulato il suo teorema mentre stava aspettando un'udienza da Policrate. Seduto in un grande salone del palazzo di Samo, Pitagora si mise ad osservare le piastrelle quadrate del pavimento, si pensa che ne abbia vista una rotta perfettamente su di una diagonale, cos da formare due triangoli rettangoli uguali, ma oltre ad essere 2 triangoli rettangoli erano anche isosceli, avendo i due lati uguali. Pitagora immagin un quadrato costruito sulla diagonale di rottura della piastrella, un quadrato avente come lati le diagonali delle piastrelle circostanti. La dimostrazione la seguente: l'area di ciascuna delle piastrelle adiacenti ai cateti era di: 2 mezze piastrelle (=1 piastrella); la somma delle due aree era quindi di: 4 mezze piastrelle (=2 piastrelle); l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa (diagonale della piastrella) era di: 4 mezze piastrelle.[6]Rappresentazione grafica del teorema.

Note[1] Viene a volte affermato che il teorema di Pitagora fosse noto agli antichi Egizi. Carl B. Boyer esclude questa ipotesi, basandosi sull'assenza del teorema dai papiri matematici rinvenuti. Si veda l'opera di Boyer citata in bibliografia, a pag. 20 dell'edizione italiana. [2] (EN) Alpay zdural (1995). Omar Khayyam, Mathematicians, and conversazioni with Artisans. Journal of the Society of Architectural Vol. 54, No. 1, Mar., 1995 (http:/ / www. jstor. org/ pss/ 991025) [3] (EN) Alpay zdural, Mathematics and Arts: Connections between Theory and Practice in the Medieval Islamic World, Historia Mathematica, Volume 27, Issue 2, May 2000, Pages 171-201 (http:/ / www. sciencedirect. com/ science/ article/ pii/ S0315086099922747). [4] (EN) Vedi appendice di L. J. Rogers' 1897 publication. Biography of Henry Perigal: On certain Regular Polygons in Modular Network. Proceedings London Mathematical Society. Volume s1-29, Appendix pp. 732-735. (http:/ / plms. oxfordjournals. org/ cgi/ reprint/ s1-29/ 1/ 706) [5] (EN) Geometric Dissections and Transpositions (http:/ / en. wikisource. org/ wiki/ Geometric_Dissections_and_Transpositions) [6] Leggenda di Pitagora e delle piastrelle di Policrate (http:/ / utenti. quipo. it/ base5/ pitagora/ pit_piastrelle. htm)

Teorema di Pitagora

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Bibliografia Carl B. Boyer, Storia della matematica, Mondadori, Milano, 1990. ISBN 978-88-04-33431-6 Gino Loria, Le scienze esatte nell'antica Grecia, 2^ ed, Milano 1914

Voci correlate Geometria Aritmogeometria Numero Radice quadrata Trigonometria Ipotenusa Teorema di Carnot Identit di Parseval

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Collegamenti esterni (EN) 54 dimostrazioni del teorema di Pitagora (http://www.faculty.umb.edu/gary_zabel/Courses/Phil 281b/ Philosophy of Magic/Arcana/Neoplatonism/Pythagoras/index.shtml.html) alcune animazioni grafiche di differenti dimostrazioni del teorema di Pitagora (http://demonstrations.wolfram. com/search.html?query=pythagorean theorem) Animazione della dimostrazione di Euclide (http://www.walter-fendt.de/m14i/pyththeorem_i.htm)

Ippaso di Metaponto

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Ippaso di MetapontoIppaso di Metaponto (greco: , Ippasos Metapontinos; ... ...) stato un filosofo e matematico greco antico. considerato la personalit pi rilevante della scuola pitagorica antica dopo il fondatore.

Dati biograficiPoco noto della vita di Ippaso; anche la provenienza da Metaponto, che gli viene generalmente attribuita, non affatto certa. Giamblico in un luogo lo dice di Metaponto o di Crotone, mentre nel catalogo dei pitagorici lo elenca tra quelli di Sibari. Secondo lo stesso Giamblico (La vita pitagorica, 257) Ippaso avrebbe partecipato allo scontro che oppose due fazioni dei Pitagorici dopo la distruzione di Sibari (avvenuta nel 510 a.C.) ad opera dei Crotoniati, schierandosi dalla parte dei democratici. La tradizione lo dice morto in un naufragio.

Scoperte matematiche e loro divulgazioneGiamblico gli attribuisce la descrizione del dodecaedro regolare e la dimostrazione della sua iscrivibilit in una sfera, aggiungendo che, avendo divulgato queste nozioni all'esterno della scuola, contrariamente alle prescrizioni di Pitagora, per la sua empiet mor in un naufragio. Poich la stessa colpa e la stessa punizione viene anche attribuita da Giamblico al pitagorico che aveva divulgato la scoperta dell'incommensurabilit, si suppone generalmente che Ippaso avesse divulgato, e forse scoperto, anche l'esistenza di grandezze incommensurabili. Kurt von Fritz ha sostenuto l'ipotesi che la scoperta potesse essere in relazione con la costruzione del pentagono regolare e del dodecaedro basato su questa figura: Ippaso si sarebbe imbattuto nel primo rapporto tra grandezze incommensurabili studiando la sezione aurea che appare nella costruzione di entrambe le figure. La maggioranza degli studiosi ritiene tuttavia pi probabile che il primo caso dimostrato di incommensurabilit sia stato quello tra lato e diagonale di un quadrato.[1]

Teoria musicale e altre dottrineA Ippaso o alla sua scuola anche attribuita (tra gli altri da Boezio e Teone di Smirne) la scoperta che gli accordi musicali fossero basati su semplici rapporti numerici: una nozione che svolse un importante ruolo nella scuola pitagorica e che altri autori attribuiscono allo stesso Pitagora. Vari autori (tra i quali Aristotele nella Metafisica) associano Ippaso ad Eraclito attribuendo ad entrambi la dottrina che privilegia il fuoco come principio. Secondo il lessico Suida Eraclito sarebbe stato scolaro di Ippaso. Secondo pi fonti Ippaso sarebbe stato il capo degli acusmatici.

OpereDiogene Laerzio riferisce due diverse opinioni sulle eventuali opere di Ippaso: secondo alcuni non avrebbe lasciato nulla di scritto, mentre altri gli avrebbero attribuito un Discorso mistico, che sarebbe stato composto in opposizione al caposcuola Pitagora.

Note[1] Uno dei principali argomenti a sostegno di questa opinione la constatazione che Platone e Aristotele parlano della scoperta del'incommensurabilit sempre in relazione al caso del lato e della diagonale del quadrato. La questione accennata in Heath, p. 155. e discussa esaurientamente in Knorr, capitolo II.

Ippaso di Metaponto

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BibliografiaFonti primarie H. Diels and W. Kranz, Die Fragmente der Vorsokratiker, vol. 2, 6th edn. Berlin: Weidmann, 1952 (repr. 1966), pp. 107-110. Maria Timpanaro Cardini (a cura di), Pitagorici. Testimonianze e frammenti. Firenze, La Nuova Italia, 1958, Fascicolo primo, pp. 78-105. Fonti secondarie Kurt von Fritz: Die Entdeckung der Inkommensurabilitt durch Hippasos von Metapont. In: Grundprobleme der Geschichte der antiken Wissenschaft. Berlin/New York: de Gruyter, 1971, 544-575. Thomas Heath, A History of Greek Mathematics, vol. I, cap. 5, New York, Dover, 1981. ISBN 0-486-24073-8 Wilbur R. Knorr, The Evolution of the Euclidean Elements. A study of the Theory of Incommensurable Magnitudes and Its Significance for Early Greek Geometry, Kluwer Academic Publishers, ISBN 9027-70509-7.

IncommensurabilitDue grandezze ed si dicono fra loro commensurabili se esiste fra loro un sottomultiplo comune, ossia se e per i quali: esistono due opportuni numeri naturali

Il valore di queste frazioni il sottomultiplo comune alle grandezze

ed

. Di conseguenza quando due

grandezze sono commensurabili possibile esprimere la misura della prima grandezza rispetto alla seconda utilizzando un numero razionale, cio possibile scrivere

Al contrario, due coppie di grandezze si dicono incommensurabili quando non hanno alcun sottomultiplo comune, ovvero non esiste alcuna frazione in grado di esprimer