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Teorema di

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Matematica di Base - Ingegneria UNIUD

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La cartina a fianco mostra

i centri matematici

dell’antichità classica con i

relativi matematici

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Pitagora - VI sec. a.C. Matematico e filosofo greco. Secondo la tradizione nacque a Samo, intorno

al 580 a.C. (Magna Grecia) e fu discepolo di Anassimandro e di Ferecide.

Dopo aver viaggiato in Persia, Creta, Egitto, ritornato a Samo, ripartì per l'Italia (531), dove a Crotone, una cittadina delle coste della Calabria, fondò la scuola dei pitagorici.

Elementi leggendari circondarono ben presto la sua figura tanto che parecchie opere a lui attribuite sono di epoca posteriore.

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Il Teorema di Pitagora tratta dell’“equivalenza” più

classica riferita al triangolo rettangolo

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Enunciato e terne pitagoriche “L’area del quadrato che

ha per lato l’ipotenusa di un triangolo rettangolo è uguale alla somma delle aree dei due quadrati che hanno per lati i cateti dello stesso triangolo”.

Questa proprietà vale per qualsiasi triangolo rettangolo.

3

4 5

Analogamente vale per la terna (5,12,13) 25+144=1695


Il teorema di Pitagora in formule...

da cui si ricavano anche:

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Applicazioni del teorema di Pitagora

In gran parte delle figure piane si può ricavare un triangolo rettangolo tracciando opportunamente altezze, diagonali, apotemi, raggi, ecc.

È ovvio che tutte le volte in cui ciò accade, sarà possibile applicare, al triangolo rettangolo ricavato, il teorema di Pitagora.

seguono alcuni casi fra i più rappresentativi

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Triangolo isoscele ed equilateroSe in un qualsiasi

triangolo si traccia l’altezza relativa ad uno dei lati, si ottengono due triangoli rettangoli a ciascuno dei quali è possibile applicare le formule relative al teorema di Pitagora.

h

l

h

l

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quadrato e triangolo rettangolo isoscele Se in un quadrato viene

tracciata una diagonale, si ottiene un triangolo rettangolo isoscele. Gli angoli acuti di tale triangolo misurano 45°.

Il cateto e l’ipotenusa di tale triangolo rettangolo, come del resto il lato e la diagonale del quadrato, stanno in una particolare relazione:

i

c

c

l

dl

45°

45°

A

B C

D

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Triangolo rett. con angoli di 30° e 60°

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo isoscele CHB si ricava la seguente relazione:

BA

C

H

l

h

l/2

l30°

60°

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Triangolo equilatero

è facile dimostrare che la superficie di un triangolo equilatero è data da: A B

C

Hb

h

Poiché risulta che

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S(ABC ) =12b ⋅h =

12 ⋅

23 =

2

43


Rombo

Se in un rombo vengono tracciate le due diagonali, si ottengono quattro triangoli rettangoli congruenti. Vale:

l

d12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

+d22

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

= 2

12


Trapezio rettangolo

Se in un trapezio rettangolo si traccia l’altezza, si ottiene un triangolo rettangolo.

Se in un trapezio rettangolo si traccia una diagonale, si ottiene ancora un triangolo rettangolo.

l

h

d

h

b1

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Trapezio isoscele Se in un trapezio isoscele

viene tracciata un’altezza, si ottiene un triangolo rettangolo.

Se in un trapezio isoscele si tracciano un’altezza ed una diagonale, si ottiene un ulteriore triangolo rettangolo.

h l

h

d

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Approfondimenti

1. Dimostrazione del teorema di Pitagora secondo la scuola pitagorica

2. Teoremi di Euclide 3. Dimostrazione del teorema di Pitagora alla luce

dei teoremi di Euclide4. Generalizzazione del Teorema di PITAGORA5. Varianti sull’enunciato del teorema di

PITAGORA

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Teorema di PITAGORA - VI° sec. a.C.

“In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa é equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti”.

Il teorema viene dimostrato nella scuola pitagorica nel VI° sec. a.C. seguendo lo schema di figura.

Segue la dimostrazione che giustifica l’equivalenza.

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Teorema di PITAGORA - VI° sec. a.C.

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Teorema di Pitagora “inverso”

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Teorema di Pitagora

Nella figura accanto prende corpo graficamente il teorema di Pitagora così come si è soliti enunciarlo e quindi dimostrarlo. Ossia:

a

c

b

A B

C

b2

a2

c2

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Variante al teor. di Pitagora

Sostituendo i quadrati con i triangoli equilateri, il teorema vale ancora. Infatti …

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Variante al teor. di Pitagora

Sostituendo i quadrati con i semicerchi, il teorema vale ancora.

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Variante al teor. di Pitagora Ma anche sostituendo i

quadrati con i semicerchi dai quali vengono sottratti i rispettivi triangoli rettangoli isosceli inscritti, il teorema vale ancora. Infatti:

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π8a2 −

a2

4=

π8b2 −

b2

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

π8c2 −

c2

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π8−14

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟a2 =

π8−14

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟b2 +

π8−14

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟c2

a2 = b2 + c2


Tr. di Pitagora generalizzatoVI° sec. a.C.

Ma la scuola pitagorica dimostrò che il teorema vale anche per i triangoli non rettangoli!

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Lo stesso vale ancora nel

Tr. di Pitagora generalizzatoVI° sec. a.C.

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PITAGORISMO

Con il termine “Pitagorismo” si chiamano le dottrine filosofiche e scientifiche elaborate dalla scuola pitagorica e i principi etico-religiosi su cui era fondata.

Il “Pitagorismo” rappresenta anche il sodalizio etico-religioso e politico, più che filosofico, in cui prevaleva assoluta l'autorità del maestro, ossia di Pitagora.

La scuola pitagorica elevò la matematica a scienza teorica e considerò il numero, in quanto esprime il rapporto oggettivo e l'ordine dei fenomeni, essenza delle cose, dando all'universo una concezione matematica e armonica.

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PITAGORISMO

Sono da attribuirsi inoltre ai pitagorici la distinzione dei numeri in pari e dispari, la fondazione della geometria razionale, importanti ricerche musicali.

Nel campo etico-religiso Pitagora accolse la dottrina, d'origine orfica, della preesistenza dell'anima al corpo e della metempsicosi.

Principali rappresentanti del pitagorismo antico furono: Archippo, Liside, Filolao e Cebete.

Il “Pitagorismo” si estinse alla fine del secolo quarto a. C. per risorgere poi nel neopitagorismo.

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NEOPITAGORISMO

Il termine “neopitagorismo” si attribuisce al movimento filosofico-religioso sorto in Alessandria nel primo secolo avanti Cristo ad opera, forse, di Nigidio Figulo. Fu caratterizzato dalla tendenza a conciliare elementi e credenze orientali con il pensiero dei filosofi greci, soprattutto di Pitagora, cui furono attribuite in questo periodo opere apocrife (ossia attribuitegli falsamente).

Principali rappresentanti del “neopitagorismo” sono: Apollonio di Tiana, Moderato di Gades, Nicomaco di Gerasa, Numenio di Apamea e in parte anche lo Pseudo-Ermete Trismegisto.

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Esercizi1. Cos’è una terna pitagorica? Fare almeno un

esempio.2. Calcolare l’area del quadrato di cui una

diagonale misura 15 cm.3. .

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Terminologia Triangolo rettangolo, cateti, ipotenusa, altezza

relativa all’ipotenusa, proiezione di un cateto sull’ipotenusa

equivalenza area della superficie congruenza

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Bibliografia

Storia della Matematica di CARL B. BOYER - Isedi Enciclopedia Garzanti Scientifica tecnica Enciclopedia De Agostini, vol. 2 Il metodo della geometria 2 , Melzi -Tonolini, Minerva Italica …

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