Prof. Graziani IvanIstituto Comprensivo di Santa Sofi a (FC)

Pitag’ORA et LABORA

25° Convegno NazionaleIncontri con la Matematica

Castel San Pietro Terme – 6 novembre 2011

Per rispetto …Perché spesso, per come viene presentato, viene

“odiato” forse più della stessa matematica … (Come dice anche Umberto Eco nelle sue “Interviste impossibili”, edite da Bompiani nel 1975: “… mi chiedo se per molti altri che ci ascoltano il suo nome non evochi soltanto memorie ingrate: la tavola pitagorica, il teorema di Pitagora …”)

Perché in molti casi ci sono eccessi di “pitagorismi” concentrati nel secondo anno di scuola secondaria di I grado.

Perché Pitagora non è solo il suo famoso Teorema.

Perché Pitagora è Pitagora!

Perché Pitagora?

Perché la didattica laboratoriale e l’insegnamento cooperativo sono due valide metodologie per rendere più accattivante l’apprendimento e, soprattutto, maggiormente concorrenziale nei confronti degli altri stimoli mediatici che raggiungono i nostri studenti.

Perché se “faccio imparo”.Perché Pitagora si presta molto bene ad attività di

vario genere anche trasversali alle diverse discipline della nostra scuola.

Perché “il laboratorio di matematica rende più divertente apprendere, perfino la geometria ...” (Irene III Primaria)

Perché LABORA?

Un nostro intento è stato anche quello di presentare alcune attività collegate a Pitagora e alla sua Scuola nei diversi ordini di scuola di un Istituto Comprensivo.

Pitagora, quindi, non solo alle “medie” ma fin dalla Scuola d’Infanzia.

Pitagora, per questo motivo, non solo legato al suo Teorema, ma alle tante altre attività collegabili ai numeri, all’aritmogeometria, ai solidi e ad altre “conseguenze” imputabili alla Scuola di Pitagora.

E’ stata importante anche la contestualizzazione storica; a tutti i livelli i ragazzi si sono stupiti che Pitagora fosse vissuto “tanto tempo fa”.

Un ulteriore aspetto: la verticalità

Le scuole e le classi che abbiamo “frequentato” sono state: La Scuola dell’Infanzia “Sacro Cuore” di Cusercoli, con i

bambini di 5 anni. La Scuola Primaria “De Amicis” di Cusercoli, con i

bambini delle classi seconda e quarta. La Scuola Primaria “De Amicis” di Santa Sofia, con i

bambini della classe terza. La Scuola Secondaria di I grado “Galileo Galilei” di Santa

Sofia con i ragazzi delle classi prima e terza. La Scuola Secondaria di I grado “Don Milani”, con i

ragazzi delle classi prima e terza a Civitella di Romagna e della prima e seconda a Cusercoli.

Un doveroso ringraziamento va, oltre che ai bambini, alle colleghe delle scuole partecipanti e alla cara collega Stefania che, grazie anche al suo status quiescente, mi ha “supportato” in alcuni incontri in classe.

Gli “attori” principali

Alla Scuola dell’Infanzia abbiamo iniziato insieme alla maestra a chiedere ai 12 bambini di 5 anni cos’era secondo loro la matematica e che cosa fa un matematico, ottenendo varie risposte alcune delle quali un po’ spiazzanti, tipo “il matematico lavora in banca” o la “matematica serve per scrivere” …

La Scuola dell’Infanzia

Dopo aver chiarito qualche dubbio dei bambini, siamo passati a raccontare un po’ la storia di Pitagora e della sua Scuola, mostrando anche l’immagine del “bel” signore che faceva il “matematico”.

Abbiamo quindi chiesto loro quali numeri e quali figure geometriche conoscevano, aiutandoci anche con le forme che ci ha dato la maestra.

Dopo abbiamo affrontato, come attività-gioco, i numeri figurati, utilizzando della pasta colorata (i “ditalini”) per costruire numeri triangolari e quadrati aiutandosi anche con le forme triangolari e quadrate..

I bambini hanno realizzato con relativa facilità i diversi numeri fino a 10 per i “triangolari” e fino a 9 per i “quadrati”. Alcuni di loro hanno provato a spingersi oltre, soprattutto con i numeri triangolari.

Hanno apprezzato il loro primo incontro con i numeri di Pitagora.

Hanno incollato la pasta su fogli bianchi con la colla vinilica, tanto cara al “Mucciaccia di Art Attack”.

E alla fine dell’attività hanno incollato i loro lavori più significativi su un cartellone, con la maestra, per ricordare la giornata dedicata ai numeri figurati.

Per il livello di scuola è un approccio più che soddisfacente.

Nella classe seconda della scuola Primaria di Cusercoli, composta da 14 bambini abbiamo ripercorso alcuni aspetti della storia della scuola pitagorica, soffermandoci brevemente sul simbolo della Scuola e sul loro celebre motto “tutto è numero”.

La Scuola Primaria

Abbiamo poi introdotto l’aritmogeometria e i numeri figurati, partendo da quelli triangolari, soffermandoci sulle particolarità che osservavano i bambini e provando a generalizzare.

Siamo poi passati ai numeri quadrati e abbiamo chiesto ai bambini cosa notassero di particolare.

Si sono alternate osservazioni particolarmente acute sulle similitudini tra i due sistemi e altre un po’ più bizzarre, legate all’età dei “nostri scolari”, come quella di Nicola che ha detto che “i numeri triangolari sono il tetto di quelli quadrati”.

Irene e Andrea hanno notato che il numero di triangolini realizzati nei numeri triangolari è uguale ai numeri quadrati.Riccardo e Gianluca hanno notato che il numero di quadratini dei numeri quadrati è uguale al numero quadrato precedente.

Nella seconda parte dell’incontro abbiamo consegnato ad ogni bambino 8 triangolini rettangoli quadrettati con dimensioni 3,4 e 5 e tre quadrati quadrettati con lati di 3, 4 e 5.

Abbiamo poi chiesto ai bambini di provare a costruire con quei pezzetti, suddivisi in due gruppi (uno con i 2 quadrati di lato 3 e 4 e quattro dei triangolini e l’altro con il quadrato di lato 5 e i restanti quattro triangolini), due quadrati “grandi” uguali.

Andrea e Irene sono stati molto veloci e in meno di 3 minuti hanno composto i due quadrati.

Con qualche minuto in più, anche tutti gli altri bambini sono riusciti a costruire le due figure richieste.

Abbiamo quindi chiesto se notavano qualcosa di particolare che avessero in comune le due figure appena costruite.

Tutti i bambini hanno osservato che entrambi i quadrati avevano al loro interno 4 triangoli.

Poi Irene ha detto che “i due quadrati più piccoli sono grandi quanto quello più grande”. Riccardo, invece, ha detto: “Occupano lo stesso spazio”. E, non avendo loro fatto ancora le aree, questo ci basta …

Cambiando classe e anche scuola siamo andati a Santa Sofia in una classe terza della scuola Primaria, composta da 17 bambini.

Siamo partiti anche in questo caso da un po’ di storia su Pitagora e sulle sua scuola, sul periodo storico, sul simbolo e sul motto.

Per la costruzione del simbolo siamo partiti dal pentagono e dalle sue diagonali, concetto che i bambini ancora non avevano appreso, ma sono stati subito bravi a fare.

Anche lo studente non italiano, da poco nel nostro Paese.

Poi siamo passati come di consueto ai numeri figurati. I bambini sono stati bravi e hanno fatto presto a capire i

numeri triangolari, così siamo passati subito a quelli quadrati, chiedendo loro cosa notassero di particolare.

Ilaria ha notato le differenze tra i numeri e li ha collegati indicando quanto doveva “aggiungere ai numeri per ottenere il numero successivo”.

Matteo ha notato che per i numeri triangolari si può fare questa sequenza:

1 + 0 = 1, 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 3 = 6, 1 + 2 + 3 + 4 = 10 “ … e così via”.

Sofia è stata particolarmente brava ed è arrivata con i numeri triangolari fino a 120 (15° numero triangolare).

Tutti i bambini sono arrivati a fare la sequenza dei numeri quadrati fino a 100 (10° numero quadrato).

Martina ha osservato che i numeri quadrati sono il prodotto di “un numero per se stesso”.

Ilaria ha detto che “il numero dei triangolini è uguale ai numeri quadrati”.

Siamo quindi passati alla costruzione dei quadrati con gli 8 triangolini rettangoli e i 3 quadrati coi lati di 3, 4 e 5 unità.

La più veloce è stata Martina che ha impiegato circa 3 minuti a costruire entrambi i quadrati.

Matteo ha notato subito che i due quadrati sono uguali

Sofia ha detto: “se tolgo i 4 triangoli per parte mi rimangono 1 quadratone e due quadratini che sono uguali”.

Francesco ha detto che “ è come la proprietà invariantiva …”.

Tutti hanno detto che si sono divertiti e Francesca ha aggiunto che “le è piaciuto Pitagora, bellissima la sua storia che è vissuto 2600 anni fa …”

Tornando a Cusercoli siamo stati nella 4a classe Primaria, con 18 bambini, e abbiamo parlato della Scuola di Pitagora, anche in modo critico e contestualizzando un po’ di più storicamente.

Avendo i bambini già affrontato le potenze e le superfici, abbiamo potuto alzare un po’ il tiro sia nella storia che nelle attività.

La nostra storia del simbolo della scuola è potuta partire dal pentagono e dalle sue diagonali. Il motto “tutto è numero” è stato affrontato con bambini che conoscevano già le frazioni e le potenze e quindi abbiamo parlato anche dei “problemi” arrecati dalla radice di 2 e di Ippaso da Metaponto.

Nell’attività sui numeri figurati sono state fatte osservazioni più consapevoli sulle similitudini tra numeri triangolari e quadrati …

… seppure in modi diversi …

Anche dalla ricostruzione dei due quadrati uguali con i triangoli rettangoli e i tre quadrati, sono emerse delle osservazioni interessanti e Letizia ha osservato che il triangolo aveva i tre lati che coincidevano con i lati dei tre quadrati.

A quel punto abbiamo estratto dal “cilindro” altri triangoli rettangoli con diversi quadrati chiedendo ai bambini di associare ai triangoli i quadrati corrispondenti.

Abbiamo poi chiesto di osservare i numeri dei quadratini all’interno delle diverse figure e di dirci cosa ci fosse di particolare.

Alessia e Enrico hanno scritto i numeri dei quadratini sulle terne di quadrati corrispondenti ai lati dei triangoli rettangoli.

Arturo, Federico e Luca hanno poi costatato che “la somma dei due numeri che corrispondono ai quadrati più piccoli” di ogni terna “dà come risultato il numero del quadrato più grande”.

Letizia ha notato che “le aree dei due quadrati più piccoli è uguale al quadrato più grande”.

Pitagora potrebbe anche essere moderatamente soddisfatto …

Anche i bambini lo erano …

Per le tre classi della Scuola Secondari di I grado distinguiamo le attività svolte nel primo e nel secondo quadrimestre.

Infatti le attività collegabili a Pitagora e alla sua Scuola sono molteplici e sono relativi ai vari periodi dell’anno e alle altre tematiche svolte normalmente.

Per la classe prima, quindi, le attività del primo quadrimestre sono svolte in parte con i ragazzi della Scuola Secondaria di Civitella di Romagna e di Santa Sofia, mentre quelle relative al secondo quadrimestre sono state svolte nella sezione di Cusercoli della Scuola Secondaria di Civitella di Romagna.

Per la classe seconda solo alla Scuola Secondaria di Cusercoli.

Per la classe terza nel primo quadrimestre a Santa Sofia e nel secondo a Civitella di Romagna.

La Secondaria di I grado

Primo quadrimestre:

La prima attività svolta nella classe 1a è stata quella relativa ai numeri figurati, effettuata nel primo periodo dell’anno scolastico, insieme ai numeri naturali.

Siamo sempre partiti dalla storia di Pitagora, dal periodo in cui è vissuto, dalla sua Scuola e dal suo simbolo, che ci ha fatto fare un’ulteriore attività sui segmenti.

Da alcune immagini del passato abbiamo anche potuto scoprire sia gli interessi sia l’importanza del grande Pitagora.

I numeri figurati sia triangolari che quadrati sono stati costruiti insieme ai ragazzi, sia sui quaderni che sulla lavagna LIM. I ragazzi dovevano poi trovare quali fossero le analogie tra i due tipi di numeri e le particolarità sia dei numeri triangolari che di quelli quadrati.

Giorgia e Vittoria hanno scritto che “da un numero triangolare al successivo si aggiunge un pallino in più del precedente”:

Rocco ha scritto che “il numero quadrato è uguale ai triangolini dei numeri triangolari”:

Riccardo ha scritto che “i numeri quadrati sono quelli che posso esprimere come prodotto di due numeri uguali, cioè come quadrato di un numero.

Anche Alice, Robert e Pietro hanno detto che “i numeri quadrati sono sempre il quadrato di un numero”.

Ettore, Guido e Pietro L. hanno detto che “da un numero quadrato al successivo si aggiungono sempre due pallini in più rispetto a quanto aggiunto al precedente”.

Rocco ha aggiunto che la differenza tra due numeri quadrati successivi è sempre un numero dispari e questo accade anche per la somma di due numeri quadrati successivi”.

Es.: 9 – 4 = 5 36 – 25 = 11 9 + 16 = 25 36 + 49 = 85

Alessandro ha detto che “il numero di triangolini e di quadratini che si formano nei due tipi di numeri sono uguali”

Abbiamo poi osservato che i numeri quadrati sono quelli della “diagonale” della tavola pitagorica, realizzata con Excel.

Questo è, invece, il lavoro di un gruppo della 1a “media” di Civitella.

Il simbolo della Scuola di Pitagora lo abbiamo analizzato dal punto di vista della geometria con Geogebra partendo dal pentagono regolare.

Da questo siamo arrivati al rapporto aureo e al rettangolo aureo che i ragazzi hanno cercato in vari oggetti e riscontrato nelle carte di credito, nelle carte sim e in altri oggetti di casa, tra i quali anche un tavolo.

Il passaggio dal pentagono al rettangolo aureo è stato poi visto dai ragazzi nel cartone animato della Disney “Paperino nel mondo della Matemagica” del 1959 (!).

Nel secondo quadrimestre con i ragazzi della Scuola Secondaria di Cusercoli, insieme alle frazioni, abbiamo fatto un’attività che rientrava in un laboratorio denominato “Fra azioni e frazioni”. Insieme all’insegnante di Musica abbiamo ripercorso il rapporto tra “Pitagora, frazioni e musica”.

I ragazzi hanno potuto osservare i rapporti tra le lunghezze delle corde e il suono prodotto e anche i valori delle relative vibrazioni.

Anche con un’arpa ...

Quando era il momento di “affrontare” i divisori abbiamo raccontato ai ragazzi la storia in cui un giorno fu chiesto a Pitagora: "Chi è un amico?“. Ed egli rispose: "Colui che è l'altro me stesso.“

Pitagora portò come esempio i numeri 220 e 284. Sono due numeri amici perché ciascuno di essi è uguale alla somma dei divisori propri dell'altro, specificando che un divisore proprio di un numero è un divisore minore del numero stesso.

I divisori di 220 sono 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,1101 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

I divisori di 284 sono 1,2,4,71,1421 + 2 + 4 +71 + 142 = 220

Siccome non è facile per ragazzi di prima “media” trovare da soli altri numeri amici, in quanto 220 e 284 sono i due più piccoli tra questi, abbiamo allora chiesto quali tra queste coppie fossero numeri amici:

1100 e 1420; 1.184 e 1.210; 1540 e 1988; 2.620 e 2.924

Questa è stata la risposta di un gruppo, utilizzando Excel.

Nella classe seconda della secondaria di I grado, consueto “Regno di Pitagora” e di vari “pitagorismi”, abbiamo affrontato diverse attività legate al celebre teorema e non solo.

Siamo partiti dalla storia del Teorema di Pitagora e da un francobollo greco: Dal semplice conteggio del numero degli

scacchi delle tre scacchiere del francobollo, abbiamo chiesto ai ragazzi cosa notassero.

Marco e Nicolò hanno notato che il triangolo rettangolo non era “disegnato correttamente” (abitudinari!).

E’ stato spiegato il significato della parola ipotenusa e che il “consueto” disegno è fatto in quel modo solo perché è più semplice rappresentare l’angolo retto

Comunque tutti hanno trovato, chi prima chi dopo, la relazione di somma tra i due quadrati più piccoli e quello più grande.

Da qui siamo passati al disegno con carta, anche millimetrata, e matita.

Per generalizzare la relazione siamo andati al computer e abbiamo cercato di verificare il teorema con Geogebra.

Abbiamo anche provato a generalizzarlo con altri poligoni regolari e anche con il cerchio.

Siamo poi passati alle diverse dimostrazioni su carta e con modelli.

Un’ulteriore attività è stata fatta con i ragazzi in tre fasi:

1. È stato assegnato un lavoro da svolgere al computer con il software Geogebra, che consisteva nel fare un’ulteriore costruzione su un triangolo rettangolo con i tre quadrati costruiti sui cateti e ipotenusa.

2. La costruzione realizzata era dopo da stampare e ritagliare, per poi ricostruire una nuova figura (un quadrato) su cui ragionare.

3. In classe abbiamo lavorato a gruppi, cercando di spiegare e dimostrare geometricamente cosa era stato fatto, utilizzando le conoscenze relative alle proprietà delle rette parallele e alla similitudine tra i triangoli e tra altre figure.

Altre attività svolte nella classe seconda della Scuola Secondaria di I grado di Cusercoli sono state:

1. Un’attività sulle terne pitagoriche dove i ragazzi, divisi in gruppi, dovevano trovare una formula per ricavare delle terne partendo dalla misura di un cateto, sia con il numero pari che con quello dispari.

2. Una dimostrazione del Teorema di Pitagora effettuata con il Tangram, già utilizzato anche con le frazioni di cui questa dimostrazione ne risente.

3. Un passaggio effettuato con Geogebra dal Teorema di Pitagora ai Teoremi di Euclide, anche in modo dinamico.

4. Un’attività svolta insieme al dott. Michele Canducci nell’ambito del “Progetto Tanzania” dell‘Akap (Associazione Karibuni Assistenza alle Popolazioni) con l’obiettivo di realizzare alcuni laboratori didattici nella scuola di Guandumehy (Tanzania). In tale contesto, la classe è stata inserita per effettuare una sperimentazione sulla validità dei materiali e dei metodi didattici da “esportare” nei laboratori effettuati nel mese di luglio 2011 in Tanzania.

Anche per quanto riguarda le attività per la Classe terza della scuola secondaria di I grado distinguiamo quelle svolte nel primo da quelle svolte nel secondo quadrimestre.

Nel primo quadrimestre, abbiamo incontrato Pitagora in un’attività di approccio al linguaggio algebrico legata ai numeri figurati e svolta con i ragazzi della classe 3° di Civitella di Romagna.

L’abbiamo chiamata “Numeri figurati e inizio di algebra”.

E’ stata fatta un’attività con gruppi di 4-5 ragazzi, ai quali è stato consegnato un compito svolgibile anche con l’ausilio del computer.

Il compito consisteva nel trovare una formula per determinare l'ennesimo numero figurato (triangolare, quadrato, pentagonale, esagonale e rettangolare) in funzione della posizione occupata.

I lavori più significativi sono venuti da due gruppi che nel tempo assegnato di 2 ore hanno trovato le formule di tutti i numeri richiesti.

Un gruppo ha anche esteso il compito effettuando con Geogebra una rappresentazione grafica dei numeri figurati, verificando tra essi la presenza di due rami di parabola.

Un’altra attività è stata quella relativa ai solidi siamo partiti da scatole da rompere fino ad arrivare ai solidi regolari, e in particolare al pentagono, tanto caro a Pitagora, e dal dodecaedro.

Per costruire i solidi regolari con i ragazzi della classe 3° di Santa Sofia è stato fatto un laboratorio utilizzando scatole e modelli tipo polydron ® e geofix ® per evidenziare sviluppi e proprietà dei solidi.

Anche in questo caso abbiamo usato Pitagora per entrare in modo diverso tra i solidi.

Da questi siamo poi passati ad un’attività laboratoriale sullo sviluppo del dodecaedro e sui consueti sviluppi del cubo con gli esamini.

Un’ulteriore attività è stata proposta agli appassionati della geometria al computer, assegnando il compito di effettuale un’altra cosa cara al nostro Pitagora e cioè quella di circoscrivere un pentagono regolare con un decagono regolare.

… e complimenti a Chaofeng!

Al termine di un percorso triennale sulla Storia della Matematica nell’Istituto Comprensivo di Castrocaro Terme le docenti Stefania Neri di matematica e Serena Laghi di lettere hanno ripercorso, insieme ai ragazzi della classe terza, la “traumatica scoperta dei numeri irrazionali” che sconvolse l’intera Scuola Pitagorica attraverso una rappresentazione teatrale dal titolo “Processo Matematico”.

In tale spettacolo veniva narrata la storia di Ippaso di Metaponto e della scoperta dei numeri irrazionali, attraverso la della radice di 2, e del conseguente tragico epilogo della vita del pitagorico Ippaso che aveva diffuso la notizia al di fuori della Scuola, fatto assolutamente proibito dallo stesso Pitagora ai suoi allievi.

Un vero e proprio giallo che è particolarmente piaciuto ai ragazzi per mettere il “povero” Pitagora alla “forca”.

Un godimento degli studenti che si spera abbia portato loro altrettanto apprendimento.

Nel secondo quadrimestre, un particolare impiego del Teorema di Pitagora si ritrova nella geometria analitica svolta nelle classi terze.

Più precisamente si ritrova nella formula per il calcolo della distanza tra due punti. Molto spesso, applicando la consueta formula con coordinate di segno negativo, capita che si attribuiscano ai segmenti delle erronee misurazioni, legate ai consueti errori di segno.

Per evitare che ciò accada, suggerisco agli studenti più inclini agli errori di questo tipo di verificare con i “cateti immaginari” del segmento ipotenusa se la formula sia stata applicata correttamente e permettere quindi un’autovalutazione sull’esattezza del proprio operato.

Es.: se devo trovare la lunghezza del segmento AB con A(2; - 1) e B(-2;3)

Si ha che diventa

22BABA yyxx 7,53216163122 22

Per i nostri “distratti” fanciulli dovrebbe essere facile vedere che i due cateti immaginari misurano 4 unità e che quindi il risultato ottenuto è corretto anche per Pitagora.Contrariamente a :O ancor peggio :

4161603122 22 24403122 22

Un curioso approfondimento effettuabile con Pitagora è quello relativo ai frattali.

Noi siamo partiti dalla realizzazione dell’albero di Pitagora, che non è rigorosamente un frattale, ma, se costruito con certosina pazienza per mezzo di Geogebra, dopo una necessaria bozza cartacea, fa un certo effetto scenico.

Partendo da quest’opera, realizzata “in casa”, i ragazzi hanno fatto ricerche sulle forme frattali in natura e si è letteralmente aperto un mondo …

… e con queste vi saluto!