Versione 1.0 04/09/2014

Pagina 1 di 35

CALCOLO DEL NUMERO DI NUMERI PRIMI pi (x) APPLICANDO LA SERIE ARMONICA

Ing. Pier Franz Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto

Abstract:

This paper describes the prime counting function that gives the number of primes less than or equal to x through a formula without using logarithms using instead the harmonic series. Also described is a method to calculate the sum of the prime numbers and the n-th prime number plus various observations.

Versione 1.0 04/09/2014

Pagina 2 di 35

Indice:

1. NUMERO DI PRIMI MINORI O UGUALE a x: (x) APPLICANDO LA SERIA ARMONICA......................................................................................................................3 2. CALCOLO APPROSSIMATO DELLx-ESIMO NUMERO PRIMO px APPLICANDO LE SERIE ARMONICHE DEI NUMERI NATURALI E QUELLA DEI NUMERI PRIMI................................................................................................................7

2.1 CALCOLO APPROSSIMATO DELLx-ESIMO NUMERO PRIMO px APPLICANDO LA SERIA ARMONICA DEI NUMERI NATURALI...................... 10

3. APPROSSIMAZIONE PER LA SOMMA DEI NUMERI PRIMI .............................11 3.1 CALCOLO DI Sx e Sn ............................................................................................ 13

4. OSSERVAZIONI ........................................................................................................ 17 5. RIFERIMENTI ........................................................................................................... 35

Versione 1.0 04/09/2014

Pagina 3 di 35

1. NUMERO DI PRIMI MINORI O UGUALE a x: pi(x) APPLICANDO LA SERIA ARMONICA

Per ogni numero reale positivo x, si definisce la funzione:

pi(x) := numero di primi minori o uguali a x

Il teorema dei numeri primi afferma che:

pi(x) )ln(xx

Consideriamo la serie armonica Hn definita come la sommatoria infinita delle frazioni unitarie o, equivalentemente, dei reciproci dei numeri naturali:

Hn= nn1

1

=

=1+21

+31

+41

+51

+61

+

La serie armonica diverge ma possiamo ricavare delle ottime approssimazioni della somma dei primi n termini. Si ha che:

Hn= nn1

1

=

=ln(n)++O

n

1

dove la costante di Eulero Mascheroni che vale:

Versione 1.0 04/09/2014

Pagina 4 di 35

= 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082

Si ha

pi(x) xx kH

x

Il valore di kx dipende da x ed sempre un valore frazionario quindi mai irrazionale o trascendente. Ad esempio per i primi 14 valori si ha:

TAB. 1:

x Hx kx Hx kx

2 3/2 -1/2 1,500000000 -

0,500000000 3 11/6 2/6 1,833333333 0,333333333 4 25/12 1/12 2,083333333 0,083333333 5 137/60 37/60 2,283333333 0,616666667 6 49/20 9/20 2,450000000 0,450000000 7 363/140 118/140 2,592857143 0,842857143 8 761/280 201/280 2,717857143 0,717857143 9 7129/2520 1459/2520 2,828968254 0,578968254 10 7381/2520 1081/2520 2,928968254 0,428968254 11 83711/27720 22727/27720 3,019877345 0,819877345 12 86021/27720 19493/27720 3,103210678 0,703210678 13 1145993/360360 365213/360360 3,180133755 1,013467088 14 1171733/360360 330893/360360 3,251562327 0,918228993

Il valore pi basso in assoluto si ha per x=4 dove k4 = 121

= 0,083333333

I valori di kx dovrebbero essere compresi nel seguente intervallo:

Versione 1.0 04/09/2014

Pagina 5 di 35

121

= 0,083333333 kx 1,7

Se scegliamo kx = 58

= 1,6 abbiamo una formula approssimata per calcolare il

numero di numeri primi sotto una certa soglia x che va bene per x Il valore

58

=1,6 un valore dove la quantit da sottrare ad Hx un limite oscillante, ovvero il valore da sottrare ad Hx oscilla tra dei valori superiori o inferiori a 1,6 e di conseguenza il numero di primi sotto una certa soglia (x) d come risultato dei valori sotto o sopra i valori veri di (x).

In questa formula non si utilizzano pi i logaritmi e il calcolo molto pi preciso e pi facile.

pi(x) 58

xH

x per x

Versione 1.0 04/09/2014

Pagina 6 di 35

Ecco alcuni valori calcolati con questo nuovo metodo:

TAB 2:

x pi(x) Hx pi(x) calcolato 10 4 2,928968258 7,52 100 25 5,187377518 27,88 1000 168 7,485470861 169,91 10000 1,229 9,787606036 1221,36 100000 9,592 12,09014613 9532,76 1000000 78,498 14,39272672 78169,42 10000000 664,579 16,69531137 662457,35 100000000 5,761,455 18,99789641 5747821,32 1E+09 50,847,534 21,3004815 50760180,65 1E+10 455,052,511 23,60306659 454482103,98 1E+11 4,118,054,813 25,90565169 4114269441,70 1E+12 37,607,912,018 28,20823678 37582347460,19 1E+13 346,065,536,839 30,51082187 345891239053,79 1E+14 3,204,941,750,802 32,81340697 3203751519541,31 1E+15 29,844,570,422,669 35,11599206 29836503070398,70 1E+16 279,238,341,033,925 37,41857715 279184735845935,18 1E+17 2,623,557,157,654,233 39,72116225 2623214878502294,35 1E+18 24,739,954,287,740,860 42,02374734 24737934155116852,16 1E+19 234,057,667,276,344,607 44,32633243 234047703869348937,70 1E+20 2,220,819,602,560,918,840 46,62891752 2220795113619688897,19 1E+21 21,127,269,486,018,731,928 48,93150262 21127577715596302359,69 1E+22 201,467,286,689,315,906,290 51,23408771 201474439470462063218,20 1E+23 1,925,320,391,606,803,968,923 53,5366728 1925421760941143692208,17 1E+24 18,435,599,767,349,200,867,866 55,8392579 18436830419835076688982,50 1E+25 176,846,309,399,143,769,411,680 58,14184299 176860170648639834865064,41

Versione 1.0 04/09/2014

Pagina 7 di 35

2. CALCOLO APPROSSIMATO DELLx-ESIMO NUMERO PRIMO px APPLICANDO LE SERIE ARMONICHE DEI NUMERI

NATURALI E QUELLA DEI NUMERI PRIMI

Consideriamo la serie armonica dei numeri primi Pn definita come la sommatoria infinita delle frazioni unitarie o, equivalentemente, dei reciproci dei numeri primi

Pn =nn p1

1

=

=21

+31

+51

+71

+111

+

La serie armonica dei numeri primi diverge ma anche in questo caso possiamo ricavare unottima approssimazioni della somma dei reciproci dei numeri primi inferiori ad una certa soglia x. Si ha che:

Px= p

x

pprime

1 =ln ln(x)+M+o(1)

Sommiamo la serie armonica e quella armonica dei numeri primi Hx+2Px, otteniamo

x*(Hx+Px) = x*{ln(x)++O

x

1+lnln(x)+M+o(1)}=

x*{ ln(x)+ lnln(x)+0,8387128777+O

x

1+o(1)}

dove M la costante di Meissel-Mertens : M = 0,2614972128

+M=0,8387128777

Versione 1.0 04/09/2014

Pagina 8 di 35

Siccome:

px =x*{ln(x)+ lnln(x)-1+o( 2)(ln1x

)}

allora si ha:

x*(Hx+Px) = px+1,8*x

px x*{Hx+Px -1,8}

Versione 1.0 04/09/2014

Pagina 9 di 35

Ad esempio si ha:

x=2*1017 px = 8.512.677.386.048.191.063 Hx= 40,41430943 Px= 3,946295695

px 2*1017 *(40,41430943+3,946295695-1,8)=2*1017 *(42,560605125) = 8.512.121.025.000.000.000

Le prime 4 cifre sono uguali e si ha un errore dello 0,0065%

Versione 1.0 04/09/2014

Pagina 10 di 35

2.1 CALCOLO APPROSSIMATO DELLx-ESIMO NUMERO PRIMO px APPLICANDO LA SERIA ARMONICA DEI NUMERI NATURALI

Unaltra approssimazione molto valida un po meno precisa ma pi facile dove non si calcola Px ma solo Hx la seguente:

px x*{Hx+2,2}

px 2*1017 *(40,41430943+2,2) = 8.522.861.886.000.000.000

Il valore superiore a quello vero e le prime 2 cifre sono uguali. Lerrore pari allo 0,1196%.

Questo metodo di calcolo quindi meno preciso del precedente.

Versione 1.0 04/09/2014

Pagina 11 di 35

3. APPROSSIMAZIONE PER LA SOMMA DEI NUMERI PRIMI

La somma dei numeri primi da 2 fino ad x si pu calcolare col trucchetto di Gauss

Ad esempio per calcolare la somma dei primi 9 numeri primi:

2+3+5+7+11+13+17+19+23 + 23+19+17+13+11+7+5+3+2 = 25+22+22+20+22+20+22+22+25= 2*(25+22+22+20)+22

Possiamo considerare che approssimativamente si abbia:

22*9/2=99

mentre il valore esatto 100.

La formula approssimata la seguente:

Sx p

x

pprime

1 [ ]5,0)ln(2

2

x

x

Si ha anche che il valore pi piccolo rispetto al valore vero di Sx per x

p

x

pprime

1 > [ ]5,0)ln(2

2

x

x per n

Versione 1.0 04/09/2014

Pagina 12 di 35

La formula che invece da ln-esima somma di n numeri primi invece data da:

Sn k

n

k p1

1

=

=[ ]

21)ln(2 +nn

Si ha anche che il valore pi grande rispetto al valore vero di Sn per n

k

n

k p1

1

=

< [ ]

21)ln(2 +nn

per n

Versione 1.0 04/09/2014

Pagina 13 di 35

3.1 CALCOLO DI Sx e Sn

Proviamo a calcolare S(x=100) e S(n=25) rispetto ai valori veri segnati subito di seguito alle formule approssimate:

S100= p

x

pprime

1 [ ]5,0)100ln(2

1002

= 1217,97. S100=1060

S25= [ ]21)25ln(252 +

= 1318,39. S25=1060

Entrambi i valori sono superiori ai valori veri.

Versione 1.0 04/09/2014

Pagina 14 di 35

Proviamo a calcolare S(x=1000) e S(n=168)

S100= p

x

pprime

1 [ ]5,0)1000ln(2

10002

= 78030,44. S1000=76127

S168= [ ]21)168ln(1682 +

= 86421,37. S168=76127

Entrambi i valori sono ancora superiori ai valori veri.

Versione 1.0 04/09/2014

Pagina 15 di 35

Proviamo a calcolare S(x=1.000.000) e S(n=78.498)

S1000000= p

x

pprime

1 [ ]5,0)1000000ln(2

10000002

= 37.550.193.649,98. S1000000=37.550.402.023

S78498= [ ]21)78498ln(784982 +

= 37.806.029.737,73. S78498=37.550.402.023

Solo il secondo valore superiore al valore vero, mentre il primo per difetto come dimostrano le formule per n

Versione 1.0 04/09/2014

Pagina 16 di 35

Proviamo a calcolare S(x= 1.299.709) e S(n= 100.000)

S1299709= p

x

pprime

1 [ ]5,0)1299709ln(2

12997092

= 62.206.765.026,94. S1299709=62.260.698.721

S100000= [ ]21)100000ln(1000002 +

= 62.564.627.324,85. S100000= 62.260.698.721

Anche in questo caso il secondo valore superiore al valore vero, mentre il primo per difetto come dimostrano le formule per n

Versione 1.0 04/09/2014

Pagina 17 di 35

4. OSSERVAZIONI

In passato si sono fatte stime approssimative di pi (N) e delln- numero primo

con n n*ln) tramite i logaritmi, naturali ln (n)o meglio ancora integrali Li(n),

vedi il TNP e sue conseguenze. La nostra proposta invece una originale novit,

in quanto si basa sulla serie armonica, che permette di ottenere risultati altrettanto

buoni, come vedremo nelle successive tabelle, con una sorta di correzione che

diminuisce le differenze tra valore stimato e valore reale di pi(N)con N = potenze di

10. Ricordiamo che il calcolo preciso si ottiene con la funzione zeta, la funzione

scalino J(x) ecc. come da Tabella riepilogativa a pag. 359 del libro di J.

Derbyshire Lossessione dei numeri primi(Bollati Boringhieri. Rif. 2) che

riportiamo nelle note finali, insieme ad altre poche pagine interessanti riguardanti

largomento conteggio dei numeri primi , e cio pi(N).

Tutti gli altri calcoli sono solo scorciatoie pi o meno valide per ottenere valori

approssimativi di pi(N) Il nostro calcolo soltanto una di queste scorciatoie, nuova

ma efficace, poich ci permette risultati simili a quelli ottenuti con il logaritmo

integrale Li(N), risparmiandoci i complicati calcoli sui quali si basa la Tabella

riepilogativa sopra accennata. Qui di seguito facciamo un tentativo, peraltro

Versione 1.0 04/09/2014

Pagina 18 di 35

riuscito, di miglioramento del precedente calcolo con la serie armonica,

introducendo il concetto e il calcolo di un correttore medio che avvicina le

precedenti stime di pi(N) = pi(10^n) a valori non molto distanti da quelli ottenuti

tramite il logaritmo integrale Li(N), come vedremo riportando qualche tabella

presa dal Web ( Keith Devlin, La distribuzione dei numeri primi, Rif. 3.

Tentativo con c = rapporto successivo pi(N) reale e pi(N) stimato, come numero

correttore tale che pi(N) *c pi(N) reale con maggiore precisione

TABELLA 1

N = 10^n pi(N) reale b

pi(N) stimato c

c = rapporto crescente b/c

osservazioni

10 4 7.52 0,53 C cresce fino a 1,0062,poi decresce e tende a 1

100 25 27,88 0,8967 1000 168 169,91 0,9887 10000 1,229 1221,36 1,0062 100000 9,592 9532,76 1,0556 1000000 78,498 78169,42 1,0042 10000000 664,579 662457,35 1,0032 100000000 5,761,455 5747821,32 1,0023 Totale c 6, 9559

c come correttore medio per tutti i valori di c:

c medio =

Versione 1.0 04/09/2014

Pagina 19 di 35

0,8967 + 0,9887 +1,0062 + 1,0556 + 1,0042 + 1,0032 + 1,0023)/7 = 6,9559/7= 0,9937

minore di 1, quindi poco utile per la correzione, essendo il valore reale

sempre maggiore di quello calcolato a partire da 1229; quindi prendiamo solo la

media dei valori di c maggiori di 1 per calcolare c medio:

c medio = 1,0062 + 1,0556 + 1,0042 + 1,0032 + 1,0023)/5 = 1,004292

Ora, moltiplicando i valori calcolati con le serie armoniche per questo valore

medio, avremmo una nuova tabella con stime migliori di pi(N) stimato, quindi

con differenze minori con pi(N) reale. Cominciamo quindi da 1229, con c medio

maggiore di 1

TABELLA 2

pi(N) stimato con la serie armonica

a

c medio

b

Prodotto

a*b = pi(N) nuova stima c

pi(N) reale

d

Differenza intera

d c

differenza precedente

d - a

1221,36 1,004292 1226,60

1,229 3 = 1229 -1226

8= 1229 - 1221

Versione 1.0 04/09/2014

Pagina 20 di 35

9532,76

1,004292 9573,67 9,592

19

60

78169,42

1,004292 78504,92 78,498

- 6

329

662457,35

1,004292 665300,61 664,579

-721

2122

5747821,32

1,004292 5772490,96 5,761,455

-11035

13634

Come possiamo vedere, le nuove differenze, d c, sono minori della vecchie

differenze d a, e quindi questa correzione con c medio molto utile e

interessante a partire da 78169,42 (colonna a) , le nuove differenze sono

negative ma pi piccole come valore assoluto, mentre le vecchie

rimangono positive.

Dal link :

Versione 1.0 04/09/2014

Pagina 21 di 35

www.matmedia.it/biblioteca/.../la-distribuzione-dei-numeri-primi.html

Distribuzione dei numeri primi

riprendiamo la tabella con le stime di pi(N) = pi(10^n) in base a Li(N)

TABELLA 3

n p(n)

Li(n) 1000 168 172 145 178 10000 1229 1231 1086 1246 100000 9592 9588 8686 9630 1000000 78498 78534 72382 78628 10000000 664579 665138 620420 664918 100000000 5761455 5769341 5428681 5762209

Ora confrontiamo la nostra stima corretta con c medio e la stima con Li(n)

rispetto ai valori reali

TABELLA 4

Valori reali di pi(N) = pi(10^n) a

Stima con c medio

b

Li(n)

c

Differenze intere

b a

c - b

c - a

Versione 1.0 04/09/2014

Pagina 22 di 35

168 178 c a = 10

1229

1226,60

1246

-3

20

17

9592

9573,67

9630

-19

57

38

78498

78504,92

78628

6

124

130

664579

665300,61

664918

721

-382

339

5761455

5772490,96

5762209

11035

-10281

754

Versione 1.0 04/09/2014

Pagina 23 di 35

Come possiamo osservare, le differenze c b (confronto tra Li(N), c a)) e le

nostre stime con c corretto) sono paragonabili tra loro, almeno fino a 10^7, e

quindi le nostre stime sono abbastanza attendibili. Possiamo provvisoriamente

concludere che le nostre stime basate sulla serie armonica, sia pure corrette con c

medio, sono molto simili tra loro. Insomma, forse, Hn batte Li(n), o poco ci

manca.

Qui di seguito la pag. 359 con la tabella al calcolo preciso di pi (1 000 000) =78498

seguita da altre pagine dello stesso libro di Derbyshire, anchesse riguardanti il

calcolo di pi(N)

Versione 1.0 04/09/2014

Pagina 24 di 35

Versione 1.0 04/09/2014

Pagina 25 di 35

Versione 1.0 04/09/2014

Pagina 26 di 35

Versione 1.0 04/09/2014

Pagina 27 di 35

NOTA 1

Sullaccenno al conteggio dei numeri primi, a B. Riemann e alle possibili

conseguenze dellipotesi di Riemann.

Nella 4 di copertina del libro di John Derbishire, leggiamo che:

Nellagosto 1859 Bernhard Riemann, matematico giovane e ancora poco

noto, present allaccademia di Berlino un articolo intitolato Sul numero dei

Versione 1.0 04/09/2014

Pagina 28 di 35

primi minori di una certa grandezza . In quella circostanza discusse pr la

prima volta lipotesi che prende il suo nome passata alla storia come uno

di pi famosi problemi irrisolti della matematica. Dimostrare questa ipotesi

permetterebbe di trovare una formula per generare lelenco dei numeri primi,

cosa che avrebbe conseguenze fondamentali non solo per la scienza

matematica, ma anche per la fisica quantistica e per la sicurezza

informatica...

Nostro commento

Siamo daccordo per le conseguenze in matematica e fisica quantistica,

ma non per la sicurezza informatica. Abbiamo gi elenchi lunghissimi di

numeri primi, che per non aiutano affatto eventuali violazioni della

crittografia RSA basata sui numeri primi e numeri RSA come prodotti

di due numeri primi lunghi qualche centinaio di cifre. Occorrerebbero

elenchi di coppie di numeri primi, come per esempio le coppie di numeri

primi gemelli, le coppie di Goldbach o dei numeri di Sophie - Germain,

ecc. con rispettivi rapporti r = q/p di circa 1, variabile tra 1 e 2,25, e di

circa 2. Escludiamo i prodotti tra di due numeri gemelli, facilmente

fattorizzabili con lalgoritmo di Fermat a ritroso, e i prodotti di due

Versione 1.0 04/09/2014

Pagina 29 di 35

numeri di Sophie - Germain, poich ad un rapporto r di circa 2

corrisponde una percentuale di p rispetto ad n = N pari a circa il 70%

di n, e quindi anchesso facilmente fattorizzabili.

Prendiamo invece le coppie di Goldbach per un intero pari N come

somma N = p + q , disposte in due colonne, la prima con valori crescenti

di p da 3 fino ad N/2 e la seconda con valori decrescenti da N fino a N/2

Se a destra di tali coppie scriviamo i prodotti N = p*q, notiamo che i

prodotti crescono ( mentre la somma ovviamente rimane costante, N, per

tutte le coppie. I prodotti invece crescono fino al quadrato della

semisomma s, e cio fino ad s^2. I rapporti q/s invece diminuiscono fino

ad 1 (p = n = q, con q/n = n/n = 1). Ma dal 66,6% di n tali rapporti

variano da 2,25 a 1 (o pochissimo in pi per le coppie di gemelli, per es.

103/101 = 1,019...), e quindi possono riguardare i numeri RSA N,

prodotti di tali coppie di Goldbach. Questo significa che p superiore

al 67% di n ed quindi inutile cercarlo prima. Il tempo di

fattorizzazione di qualsiasi numero RSA quindi si riduce ad un terzo di

quello previsto: per esempio, se si prevedono 1000 anni per fattorizzare

un certo numero RSA, applicando questo ostro teorema, ne

basterebbero soltanto 1000/3 = 333, 33.... Non molto, ma nemmeno

Versione 1.0 04/09/2014

Pagina 30 di 35

poco. Inoltre esistono gi metodi di fattorizzazione basati sulla possibile

verit della RH, ma non in grado di violare la crittografia RSA.

Quindi la RH e il suo possibile elenco di singoli numeri primi sono

pericolosi per la crittografia RSA, come molti credono. Il pericolo caso

mai potrebbe venire da teoremi riguardanti coppie di numeri primi,

come quelle sopra accennate, i cui prodotti N=p*q come numeri RSA

potrebbero benissimo essere evitati dalle Societ crittografiche (cosa che

consigliamo nei nostri lavori) per non facilitare la loro fattorizzazione,

cosa ovviamente pericolosa per la sicurezza informatica. I prodotti delle

coppie di Goldbach possono solo ridurre di 2/3 i tempi di calcolo.

Piccolo esempio pratico per N = 60:

TABELLA 5

p

q N = p + q

(congettura di Goldbach)

N = p*q

r = q/p

percentuale di p rispetto ad n

= 1/r

7 53 60 371

Versione 1.0 04/09/2014

Pagina 31 di 35

7,57

0,36 =36%

13 47 60 611

3,61

0,52 =52%

17 43 60 731

2,52

0,62 = 62%

19 41 60 779

2,15

...68%

23 37 60 851

1,60

... 79%

29 31 60 899

Versione 1.0 04/09/2014

Pagina 32 di 35

1,068....

... 96%

29 e 31 gemelli

Ultima coppia di Goldbach per molti N multipli di 12, per es.

60 = 5*12

30 30 60 900

1

Come vediamo, il rapporto r =q/p inferiore a 2,25 2,15, da qui

comincia la zona rossa o zona RSA che comprende N = p*q e p

compreso tra il 67% di n = s^2 , in questo caso 30 = 900, con N come

possibili numeri RSA, in questo caso 779, 851, 899 e possibili p 19, 23

e 29 ; p minimo 19, circa il 68% della radice quadrata di 779

(infatti 779= 27,91 e 27,91*0,68 = 18,97 19 ) e circa il

19/0,3 = 63,33% di 30 = semisomma. E cos via.

Se si costruissero tabelle simili con numeri primi p e q di circa 300 cifre,

come nei numeri RSA di tipo RSA 2048 (che dal 2014 sostituiranno

per prudenza tutti quelli pi piccoli usati finora), occorrerebbero

Versione 1.0 04/09/2014

Pagina 33 di 35

miliardi e miliardi di righe, ma la zona rossa sarebbe sempre

compresa tra il 66,666 67% di s = semisomma (p + q)/2 con

N = p + q per la congettura di Goldbach.

Di chiaro, comunque, sulla relazione tra elenchi di coppie di numeri

primi e fattorizzazione, c ancora solo questo, che non molto; mentre

lipotesi di Riemann , con il suo supposto elenco infinito di numeri primi

singoli, non sembra entrarci affatto con una possibile violazione della

crittografia RSA, pur essendo importante per altri rami della

matematica o della fisica quantistica.

Questo per dire che, per quanto riguarda una fattorizzazione pi veloce

e in grado di preoccupare la crittografia RSA, con lipotesi di Riemann

non si ancora cavato un ragno dal buco, mentre con la ex congettura

di Goldbach, unita al nostro Teorema fondamentale della fattorizzazione

veloce (Rif. 4), abbiamo eliminato i due terzi dei tempi di calcolo per la

fattorizzazione classica (detta a forza bruta) dei numeri RSA,

eliminando i primi sue terzi dei numeri primi fino ad n = N.

Se poi utilizziamo lalgoritmo di Fermat a ritroso (N + d^2 = s^2, da cui

poi p = s d e q = s + d , il risparmi di tempo potrebbe ancora ridursi

Versione 1.0 04/09/2014

Pagina 34 di 35

ulteriormente.

Ma lipotesi di Riemann invece utilissima ne nella funzione conteggio

dei numeri primi fino ad N, e cio pi(N) = pi(10^n), oggetto di questo

lavoro basato per sulla la serie armonica Hn , con risultati vicinissimi,

come abbiamo visto, a quelli ottenuti con Li(N).

Versione 1.0 04/09/2014

Pagina 35 di 35

5. RIFERIMENTI

1)Wikipedia

2) J. Derbyshire, Lossessione dei numeri primi , Bollati Boringhieri

3) Articolo di Keith Devlin, La distribuzione dei numeri primi, sul sito di Polymath

Link

www.matmedia.it/biblioteca/.../la-distribuzione-dei-numeri-primi.html

4) Teorema fondamentale della fattorizzazione veloce (TFF), sul nostro sito

http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/