Rette e circonferenze

nel piano cartesiano

R. Notari

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1. Rette.

Teorema 1 Tutte e sole le rette del piano

sono descritte da equazioni della forma

ax + by + c = 0

con a, b, c ∈ R ed a, b non entrambi nulli.

Osservazione 2 Data la retta r : ax + by +

c = 0 il vettore→v = (a, b) e ortogonale alla

retta r, mentre il vettore→u= (−b, a) e paral-

lelo ad r.

Osservazione 3 Sia data la retta r : ax +

by + c = 0. Se b 6= 0, possiamo scrivere la sua

equazione come r : y = mx + q dove

m = −a

be q = −

c

b.

m e detto coefficiente angolare, mentre q e

detto coefficiente di traslazione di r.

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2. Mutua posizione di due rette.

Teorema 4 Siano date le due rette r : ax +

by + c = 0 ed s : a′x + b′y + c′ = 0, e sia data

la matrice

(A|B) =

(a ba′ b′

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ −c−c′

).

Le rette r ed s sono

1. coincidenti se r(A) = r(A|B) = 1;

2. parallele e distinte se r(A) = 1, r(A|B) =

2;

3. incidenti in un punto se r(A) = r(A|B) =

2.

Vale anche il viceversa delle precedenti con-

dizioni.

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Osservazione 5 Le rette r ed s del prece-

dente enunciato sono parallele se, e solo se,

i vettori (a, b) ed (a′, b′) sono linearmente di-

pendenti, ovvero se, e solo se, hanno lo stesso

coefficiente angolare (ovviamente, in questo

caso, assumiamo che r ed s non siano paral-

lele all’ asse y).

3. Rette ortogonali.

Proposizione 6 Siano date le due rette r :

ax + by + c = 0 ed s : a′x + b′y + c′ = 0. Esse

sono ortogonali se, e solo se, e verificata la

condizione

aa′ + bb′ = 0,

ovvero se, e solo se, i coefficienti angolari m

ed m′ verificano la condizione

mm′ + 1 = 0.

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4. Distanze.

Teorema 7 Sia dato il punto A(xA, yA) e la

retta r : ax+ by + c = 0. La distanza tra A ed

r e uguale a

d(A, r) =|axA + byA + c|√

a2 + b2.

Corollario 8 Siano date le rette parallele r

ed s. La loro distanza e uguale alla distanza

tra r ed A, dove A e un qualsiasi punto di s.

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5. Circonferenza.

Teorema 9 Tutte e sole le circonferenze del

piano sono descritte da equazioni della forma

x2 + y2 + ax + by + c = 0

dove a, b, c ∈ R sono tali che a2 + b2 − 4c >

0. Data un’ equazione del tipo precedente, il

centro della circonferenza ha coordinate(−

a

2,−

b

2

)mentre il raggio e uguale a R = 1

2

√a2 + b2 − 4c.

Osservazione 10 Se in un’ equazione del tipo

precedente capita che a2 + b2 − 4c = 0 allora

si dice che la circonferenza e degenere. Il solo

punto reale(−a

2,− b2

)verifica l’ equazione, men-

tre esistono infiniti punti a coordinate comp-

lesse che la verificano.

Se a2 + b2 − 4c < 0 allora nessun punto del

piano verifica l’ equazione, e la circonferenza

si dice circonferenza immaginaria.

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6. Mutua posizione di rette e circonferenze.

Teorema 11 Sia γ la circonferenza di centro

C(xC, yC) e raggio R, e sia r : ax + by + c = 0

una retta.

1. r e γ sono secanti se d(C, r) < R;

2. r e γ sono tangenti se d(C, r) = R;

3. r e γ sono esterne se d(C, r) > R.

Proposizione 12 Sia γ la circonferenza di cen-

tro C(xC, yC) e raggio R e sia A(xA, yA) ∈ γ.

La retta tangente a γ passante per A ha

equazione

t : (xC − xA)(x− xA) + (yC − yA)(y − yA) = 0.

Se γ e data tramite la sua equazione allora t

ha equazione

t : (2xA+a)x+(2yA+b)y+axA+byA+2c = 0.

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