1

Parte a

1. Introduzione

Le idee migliori, le avventure o gli incontri che ti ricordi per tutta la vita, ti capitano in modo del tutto casuale, quando meno te lo aspetti. E' altrettanto vero che 'chi non risica non rosica ' , se vuoi ottenere o creare qualcosa, fossero anche soltanto idee, se vuoi incontrare qualcuno, fossero soltanto persone semplici, devi darti da fare, devi pensare, decidere, scegliere, fare il primo passo. Non puoi startene tutta la vita ad aspettare incontri casuali. Seguendo il vecchio adagio latino in medio stat virtus (la virtù sta nel mezzo), la cosa migliore da fare è prendere iniziative sì, ma anche lasciare fare un po al caso, cercando di coordinare al meglio quello che ti capita, sfruttando le situazioni. In fondo quella che sto per raccontare non è gran cosa, ma emblematica per quello che andrò a spiegarvi in seguito. Mi trovavo sul treno Milano

La Spezia, diretto a Santa Margherita Ligure per qualche giorno di vacanza, seduto di fronte a una signora, sulla cinquantina. Come spesso capita, dopo che si passa un po di tempo seduti uno di fronte all altro, abbiamo scambiato qualche battuta del tipo «Va al mare anche lei?» « Sì, raggiungo mia figlia a Rapallo...» e così via. Continuando nello scambio di idee, visto che la signora mostrava un livello culturale piuttosto elevato, siamo finiti a parlare della scuola: senza farlo apposta per volermi fare pubblicità, le ho detto che avevo appena pubblicato un libro riguardante le difficoltà in matematica. «Ah sì?» ha risposto la compagna di viaggio, divenuta in seguito una entusiasta lettrice del mio libro «Da tempo non riesco a capire perché mia nipote, che frequenta la quarta elementare in una scuola privata a Milano, che pure mi sembra una bambina del tutto normale, faccia così fatica in matematica: lei me lo sa dire?». «Che argomento sta spiegando attualmente la sua maestra?» chiesi . «La divisione, con due o tre cifre decimali nel divisore» rispose lei con naturalezza. Debbo dire che, pur essendo abituato a sentirmi raccontare iniziative o abitudini deleterie a proposito dell insegnamento perpetrato da alcuni dei miei colleghi, questa la sentivo per la prima volta. Non avevo bisogno di altre descrizioni per capire la diagnosi del malessere . La mia esperienza nella scuola superiore, preceduta da una pur breve parentesi nella media inferiore, mi ha convinto che una buona parte degli studenti, finisce la terza media senza possedere capacità minime nel saper risolvere semplici problemi in cui è richiesta l applicazione delle operazioni elementari, molti hanno incertezze con le tabelline, non sanno fare calcoli a mente del tipo 12 per 5, non hanno la minima idea di che cosa siano le frazioni. Chi si ricorda qualcosa in merito alla divisione in colonna, anche soltanto quando il divisore (in numero che divide) è più grande del dividendo (quello che deve subire la divisione), creando cifre decimali nel risultato, sa che la cosa è piuttosto impegnativa, anche perché si procede in maniera mnemonica; difficilmente c è chi è consapevole di quello che sta facendo. Quella non è matematica, è calcolo automatico, che adesso si fa con la calcolatrice in un attimo. Figuriamoci se in quarta elementare ha senso imparare a fare simili divisioni! La povera nipotina, scolaretta di quarta elementare, molto probabilmente era disorientata, ma non era colpa sua. «Probabilmente sua nipote non ha difficoltà in matematica» risposi alla signora «è la maestra che ne ha!». Le spiegai come, specialmente a quel livello, fosse importante capire in cosa consiste l operazione di divisione e quando la si deve applicare. Come fosse invece del tutto stupido pretendere di far fare calcoli così laboriosi, meccanici e difficili anche per un adulto. Con i bambini è utile far capire che dividere è come spartire: un pugno di caramelle tra un gruppetto di bambini, un centinaio di libri in 20 scatole e così via. Far capire che i decimali compaiono quando la ripartizione crea dei resti che non sai dove mettere , è molto importante e non così difficile. Ad esempio quando vuoi dare 13 caramelle a 2 bambini: per non fare ingiustizie, quella che avanza la nascondi? E quando vuoi dividere 3 mele fra 4 bambini? I ragazzini obietteranno che le caramelle non si possono dividere, le mele...con fatica, con un chilo di riso sarebbe più facile.....si può arrivare

2

comunque all esigenza di trattare solo con i numeri come entità astratte; ma ciascun alunno deve arrivare a queste conclusioni da solo, a tempo debito. Molti dei problemi inventati, a volte sembrano irreali e poco frequenti, ma la necessità di renderli così campati in aria nasce proprio dal fatto che si cercano esempi facili, che non richiedono operazioni lunghe e complicate. Ci sono tuttavia problemi reali, che appaiono tali anche ai bambini, che si possono utilizzare per abituare alla matematica e far capire l uso dell operazione adeguata, compreso il senso stesso dell operazione, decimali compresi. Le idee di numero, di divisione, di frazione, di decimale, devono però nascere e formarsi a poco a poco dal basso: non vengono recepite nel senso giusto se sono calate astrattamente dall alto. Questo vale anche per altri argomenti di matematica, geometria compresa. Cosa si può fare, per evitare troppe difficoltà in matematica, comunque vi siano errori commessi dalla scuola o dagli stessi insegnanti che uno può incontrare nel corso della sua carriera scolastica? E possibile, per un alunno, mantenere la rotta (o riprenderla dopo averla persa), cercando in un modo o nell altro di capirci qualcosa? La risposta è sì: purché, prima di tutto, l interessato almeno ci provi, ci creda, ci metta un po d impegno. Con la parola impegno non intendo quello a cui genericamente fanno riferimento tutti gli insegnanti parlando coi genitori «...deve impegnarsi di più...», frase che quasi sempre cade nel vuoto, specialmente se l interessato si è già impegolato dentro a tante difficoltà, in matematica, e scolastiche in genere. Con il termine impegno intendo: atteggiamento, modo di pensare, particolare attenzione nei momenti che contano, prove ripetute per cercare di riuscire a raggiungere il risultato, non lasciarsi andare in balia degli eventi. Cominciamo a sdrammatizzare: le solite frasi di rito (che si ripetono poi da adulti, per dare giustificazioni che nessuno ha chiesto) « ...sono sempre stato negato... la matematica non fa per me» ecc, sono un modo comodo per mettersi il cuore in pace. Chi è adulto può anche, se proprio vuole, rinunciare a rimettersi in discussione. E l adolescente che è ancora in tempo a riprendere il treno, anche se è già in movimento.... specialmente perché il treno gli servirà ancora, anche se non se ne rende conto. Chi ha un minimo di voglia di riprovare a riagganciare il treno della matematica, segua allora attentamente le istruzioni, sia che esse siano elencate una dopo l altra, sia che dobbiate rintracciarle dentro le righe. Mi rivolgo specialmente alle ragazze e ai ragazzi, il cui curriculum si trova compreso nel quadriennio che va dalla seconda media alla seconda superiore: se non hanno perso del tutto l interesse per la matematica, quanto meno si ritengono incapaci di capirla, di risolvere i problemi, di strappare un 6 nel compito in classe, senza copiare da qualcun altro. La convinzione di non essere portati per la matematica , di essere una frana in mate , in moltissimi casi, è indotta da una serie di circostanze, di natura diversa, che vanno ad incidere sul curriculum scolastico, compromettendone sempre di più la riuscita, a partire proprio dalla matematica. La percentuale di coloro che, a torto o a ragione, sono o si ritengono in difficoltà con la materia, dopo le elementari, è superiore al 50 %. Vi pare possibile? La percentuale di bambini (di 5

6

7 anni) che hanno veramente difficoltà nei calcoli e nella lettura, è piccola, intorno al 5%, che può significare nessuno, uno , due per ogni classe. La matematica in questo caso può essere un indicatore del disturbo, non è certo una causa anzi, fare matematica potrebbe essere parte della cura per riprendersi. In prima superiore (dove si accumulano le difficoltà delle elementari e delle medie), anche le statistiche che accompagnano le recenti indagini OCSE

PISA, danno gli adolescenti italiani in grave svantaggio rispetto alla maggioranza dei loro colleghi europei, asiatici e americani. Visto che la percentuale di bambini che hanno dei problemi nella scuola primaria, è un numero molto basso, (nel caso citato sopra delle divisioni meccaniche sono state, con tutta probabilità indotte dalla maestra), visto che perdiamo (perdete) terreno anche rispetto al resto del mondo, vuol dire che le difficoltà non dipendono solo da voi, ma da altri fattori. Vi pare possibile che un epidemia di rincretinimento porti ad avere , alle superiori, punte dell 80% di ragazzi che hanno l insufficienza in matematica, oppure dichiarano di avere difficoltà, che al

3

Liceo Scientifico vi sia stata, nel corso dell anno 2007

08, una media italiana del 62% di debito

non colmato? In fondo , si presume che la maggior parte di coloro che alla fine della terza media ha scelto lo scientifico, era ben conscio che questa fosse la materia più praticata e impegnativa. Ora, visto che la matematica è anche logica, non è possibile che i ragazzi rimbambiscano man mano che diventano grandi. Se siete dentro quella percentuale, comunque grande, di sfigati (non è vero, lo dico per dire, lo dite voi), non disperate, anzi... Le difficoltà che avete ( paragonandovi per esempio a quei vostri compagni che sembrano

a voi

avere grande facilità a capire), hanno origini diverse, spesso sovrapposte e concatenate tra loro. A queste si aggiunge la mancata applicazione, che a sua volta è scatenata dalla difficoltà ( presunta) a capire. Decifrare le ragioni di questa situazione, che dipendono più dal sistema scolastico che non dalla materia prima non è facile, (vedi anche Elio Motella, La matematica è di tutti ). Se siete in crisi con la matematica, per esempio in prima superiore, prima ancora di studiare ogni singolo caso, le cause potrebbero essere addebitate, per un terzo agli insegnanti e alla scuola, per un terzo a voi stessi e per il resto attribuibili ad altri fattori, che chiameremo esterni . Nessuno potrà mai stabilire se questa suddivisione è corretta, almeno in modo approssimativo: tuttavia quel che serve per cercare di correre ai ripari è che i protagonisti ne siano consapevoli: ciascuno, nel suo piccolo, deve cercare di mettersi in difesa, senza lasciarsi trascinare passivamente dagli eventi, cercando sempre di reagire. Il fatalismo, dietro al quale alcuni ragazzi si nascondono, atteggiamento secondo il quale gli eventi avvengono per fatalità , senza possibilità che si possa intervenire personalmente, è da mettere al bando. Si tratta di una comoda alternativa per fannulloni, una filosofia che dovete dimenticare. Su questi argomenti, in un primo momento avevo pensato di scrivere due diversi saggi, uno diretto agli alunni e uno agli insegnanti. Fatto salvo che il contenuto può interessare anche i genitori o le persone qualsiasi che hanno già terminato la scuola, ho preferito preparare un solo testo, scritto principalmente per gli alunni (in particolare quelli dalla seconda media alla seconda superiore). Attraverso i ragazzi, maestre e professori potranno trarre (spero) utili considerazioni o semplicemente fare paragoni con gli accadimenti della propria vita scolastica di tutti i giorni. Se poi, al contrario, alcuni riferimenti o suggerimenti sono direttamente validi per gli insegnanti, è giusto che anche i discenti ne siano consapevoli.

2. Le cause delle vostre difficoltà Ecco un elenco di possibili cause che ingenerano negli alunni difficoltà che si prolungano nel tempo. Provate a verificare se appartengono (o sono appartenute) alla vostra situazione.

Cause dipendenti dagli insegnanti e dalla scuola

1

scarsa capacità didattica di alcuni degli insegnanti avuti nella vostra carriera, a partire dalle elementari (vedi anche Parte g);

2

la scuola in generale, come istituzione: quella italiana (in particolare, ma non solo quella) è superata;

3

scarsa organizzazione delle scuole che hai frequentato: malgrado quanto affermato poco sopra, ci sono dirigenti e insegnanti che, nell ambito della possibile autonomia, si danno da fare per migliorare la situazione ;

4

libri di testo non adatti alla situazione, talvolta incomprensibili; il discorso è particolarmente complicato, legato agli interessi degli editori, non è questa la sede per discuterne (o comunque non intendo farlo): basti dire che sono troppi quelli in circolazione, non tutti sono validi .Il libro di testo, per poter servire veramente, dovrebbe adattarsi all insegnante; oppure, cosa più facile

4

da realizzare ma contraria alla loro personalità, dovrebbe essere il docente che si adatta al libro di testo;

5

disagio generato nel far parte di un certo gruppo classe: in prima media o in prima superiore, alcuni alunni sono a disagio proprio perché costretti a far parte di una comunità (sempre la stessa, mentre si potrebbero organizzare corsi anche trasversali, a cui partecipano gruppi diversi); chi si trova a disagio perché c è un gruppo di sapientoni che la sanno troppo lunga, chi perché ci sono troppi casinisti che interrompono la lezione, chi non sopporta la presenza dei lecchini. Questi aspetti finiscono per far passare il problema della matematica in secondo piano.

Cause interne

1

scarsa autostima;

2

difficoltà di concentrazione;

3

vi siete rimbambiti troppo dietro tv, internet e giochi elettronici;

4

situazioni familiari disagiate o, comunque,scarsa attenzione da parte dei genitori;

5

convinzione di essere incompresi dai genitori o dagli insegnanti;

6

antipatia congenita ( talvolta ingiustificata) nei confronti dell insegnante;

7

scarsa applicazione (per esempio nel lavoro casalingo);

8

attenzione approssimativa e discontinua durante le lezioni;

9

eccessiva emotività ( per esempio in occasione della prova scritta);

L unica causa dipendente dalla matematica

caratteristiche emotive della matematica: già dalla terza elementare, i bambini dimostrano di aver sviluppato un sistema di credenze, attribuzioni e aspettative riguardo alla matematica che risulta fortemente correlato alle possibilità di successo o insuccesso nell apprendimento: la matematica costringe (di solito) a risposte precise: non rispondere (o sbagliare) equivale a insuccesso. Anche gli psicologi concordano sul fatto che gli individui agiscono in modo da promuovere una positiva autostima al fine di ottenere l approvazione degli altri. La matematica è la materia nella quale gli errori sono definitivi, il rischio di coinvolgere la propria autostima è molto elevato. Se poi ci sono in memoria intensi vissuti negativi, si sviluppano processi emotivo

motivazionali che sviluppano ansie e paure. (vedi anche Parte g)

5

Le avete lette con attenzione? Dopo essere ritornati con la mente al vostro passato scolastico, rileggete queste cause più adagio e provate a mettere le crocette, laddove vi sembra che i motivi siano proprio quelli, nel vostro caso. Quante sono in tutto? Come noterete , molte non dipendono da voi. Si fa presto a dire: «non si applica, non studia» (l insegnante spesso liquida in questo modo il problema: a furia di ripeterlo, anche l alunno finisce per credere che sia tutta colpa sua). Senza esagerare dall altra parte, ovviamente qualche colpa sarà pure anche vostra. Bisogna sottolineare il fatto che non tutte le motivazioni sopra elencate sono ascrivibili esattamente a una delle categorie, le varie cause sono spesso collegate tra loro, una dipende dall altra: insomma la situazione è complessa e capita spesso che voi ne siate vittima, spesso inconsapevole. Siete pronti a fare un tentativo (convinto) per dimostrare, soprattutto a voi stessi ma anche agli altri che potete capire e fare matematica? Continuate a leggere con attenzione, magari poche pagine al giorno, ripensando di tanto in tanto a quel che avete letto. Se riuscirete a vincere la scommessa, lo scoprirete da soli, vivendo. Quella sì che sarà una bella soddisfazione!

Parte b Ripensare oggetti matematici e non

1. Controllati da solo

Tutti quelli che seguono, numerati da 1 a 8, sono piccoli test, che ti permetteranno di fare una autodiagnosi mentale delle tue conoscenze matematiche fondamentali, senza le quali è inevitabile trovarsi in difficoltà. Certe conoscenze che credi di avere acquisito, potrebbero essere invece alquanto imprecise; viceversa, può anche capitare che tu abbia già compreso abbastanza bene certi concetti senza rendertene conto. Per tua consolazione, è stato provato che molti insegnanti di matematica (maestre elementari comprese) non hanno le idee ben chiare su alcuni degli argomenti che insegnano. Su alcuni libri di testo sono stati trovati spesso errori grossolani, a partire dalle definizioni: a parziale discolpa di queste colpe di cui sopra, bisogna dire che la matematica è sì una scienza esatta, ma il linguaggio che dobbiamo usare per spiegare le cose può favorire i tranelli, indurci all errore, può essere uno dei fattori che costringe la nostra mente a formarsi modelli sbagliati degli oggetti matematici. Le domande sono calibrate per valutare le difficoltà degli studenti dai 12 anni (seconda media) ai 16 anni (seconda superiore). Chi è studente del triennio oppure universitario, a maggior ragione si

6

dovrà preoccupare delle sue lacune, nel caso avesse ancora incertezze nel rispondere. Tra gli adulti che non vanno più a scuola, ci saranno coloro che hanno sempre odiato la matematica oppure si saranno sentiti (spesso a torto) non adatti per comprenderla. Anche loro possono provare.

Per rispondere usa un foglio a parte, poi vai a vedere risposte e commenti in fondo, nelle Soluzioni .

1 Quanto fa 11 x 8 ? (è vietato usare la penna o la calcolatrice, tempo massimo 3 secondi)

2 Sapresti spiegare a un ragazzino di quarta elementare perché cambiando l ordine dei fattori di una moltiplicazione, il risultato non cambia ?

3 Sapresti spiegare a un ragazzino di quarta elementare perché l area di un rettangolo si calcola facendo base x altezza ?

4 Quanto tempo impieghi per calcolare, a mente, (quindi senza usare carta e penna), quanto fa 12 x 13 ?

5 Conosci a memoria le tabelline, oppure hai ancora qualche lacuna, magari utilizzando le dita delle mani per arrivare al risultato?

6 Un decimetro cubo di acqua distillata pesa un chilo; quanto pesa un metro cubo della stessa acqua?

7 Moltiplicando tra loro due numeri decimali diversi, il risultato ottenuto è sempre maggiore di ciascuno dei due fattori?

8 Quanti quadratini ci sono nel riquadro qui sotto?

7

2. Ripassiamo le tabelline La famosa tavola pitagorica. Qualcuno, anche in prima superiore, per motivi vari che sarebbero troppo numerosi per analizzarli, ha qualche buco , oppure conta ancora con le dita: ad esempio, per arrivare al risultato di 7 x 4, conta, usando il pollice poi l indice, poi il medio....7...14....21....28. Altri le conoscono a memoria, ma non sanno bene il perché (o non se lo sono mai domandati) di alcuni risultati: perché questo per quello fa... Ebbene, alla fine della quinta elementare, le tabelline bisogna averle capite, assimilate bene, ma anche imparate a memoria! Intanto, tabelline o no, tutto quello che memorizzate, in matematica, deve prima essere compreso: se si impara a memoria qualche cosa che non si è capito, è facile dimenticarlo, essere quindi costretti a ricominciare daccapo; secondariamente, se un concetto, un oggetto matematico o una procedura la si è imparata solo a memoria, non potrà mai essere usata per proseguire nella costruzione del vostro sapere matematico successivo: ad esempio, se non avete capito il meccanismo della divisione, capire le frazioni sarà praticamente impossibile. La tavola pitagorica è una delle poche cose che devono essere imparate a memoria. Perché? Una volta che avete capito che 5x6 fa 30 perché si tratta di sommare sei volte 5, oppure di sommare 5 volte 6 ( le prime volte, alle elementari, siete autorizzati, anzi invitati, ad usare le dita): non dovete però andare avanti così tutta la vita! Altrimenti i tempi si allungano troppo quando siete costretti a fare speditamente certi calcoli, dovete potervi concentrare su procedure più complicate. L uso della calcolatrice sarebbe in questo caso sconsigliatissimo, perché abitua il cervello a non fare più i conti facili, come usare le stampelle per andare dal bagno alla cucina anche quando siete in perfetta forma. Bisogna insomma che i risultati (della tavola pitagorica appunto) siano evocati dal nostro cervello in uno o due secondi

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Se pensate di avere qualche lacuna in proposito, vediamo di riempirla, usando anche l astuzia. Non occorre memorizzare subito i 100 risultati, uno per uno: la mente li memorizzerà tutti col tempo, purché facciate spesso esercizi sulla tabellina medesima. La tabellina dell 1 è facilissima, basta ripetere il numero. Quella del due, non c è bisogno di memorizzarla: basta aggiungere un altra volta il numero; ad esempio 9x2: al 18 ci si arriva presto ( contrariamente a quanto detto poco fa) anche facendo 9+9. A questo punto, le prime due righe e le prime due colonne della tavola sono imparate. Dobbiamo aprire una parentesi sulla proprietà commutativa della moltiplicazione. 5 auto che portano 4 persone ciascuna, fanno viaggiare in tutto 20 persone; la stessa cosa accade se usiamo solo 4 auto, facendo salire 5 passeggeri su ogni veicolo. Se vi sono stati assegnati 12 esercizi di matematica per la prossima settimana, potete farli in 4 giorni (3 al giorno) , oppure in 3 giorni ( 4 al giorno). Non c è molto da capire. Si possono scambiare tra loro quelli che si chiamano fattori di una moltiplicazione, il prodotto ( cioè il risultato della moltiplicazione) non cambia. Ecco perché le righe coincidono, nell ordine, con le colonne. Quindi posso applicare questo criterio anche per imparare la seconda colonna. Una nota sull uso dei termini: quelli che abbiamo messo in grassetto nelle righe di testo che stanno qui sopra, sono vocaboli del linguaggio specifico della matematica. L errore che fanno alcuni insegnanti è quello di usare troppo e troppo presto questo linguaggio, impedendo a molti alunni la comprensione dei concetti, spesso perché manca il tempo di assimilare la sequenza delle parole. Ma è anche colpa vostra: se ciascun vocabolo non è stato a suo tempo compreso fino in fondo (ossia se non conoscete bene il significato di qualche parola) tutto crolla, come un castello di carte. Una delle ragioni che portano alcuni alunni ad allontanarsi dalla matematica è proprio questa lingua, troppo spesso usata a sproposito dai libri di testo e dagli insegnanti. D altro canto bisogna abituarsi, pian piano, ad usarlo: è essenziale, inequivocabile, talvolta indispensabile. Ma spesso succede come

9

con una lingua straniera difficile: se avete imparato un po di tedesco, quando sentite parlare un turista di Francoforte, non sembra così fuori dal mondo come appare quando invece non conoscete affatto la lingua. Se poi , oltre alla matematica, per i ben noti motivi, per altre o simili ragioni odiate anche il tedesco, magari non siete molto propensi a imparare nemmeno l inglese (un po meno duro, ma pur sempre una lingua straniera), «...mentre con l italiano un po mi arrangio»: allora, cari signori , ben poche resteranno le vostre possibilità future di riuscire nella scuola e poi nel lavoro, anzi rischiate che non vi caghino più nemmeno i vostri compagni, amici o possibili partner. Tornando alle tabelline: quella del 10 (ultima riga e ultima colonna) si impara in un colpo solo, ragionando sul fatto che, moltiplicare per 10 equivale ad aggiungere uno zero al numero ( 8x10 = 80; 9x10 = 90 etc.) Ora preoccupatevi invece di imparare a memoria i numeri che stanno sulla diagonale principale (segnata da una riga). Si tratta dei quadrati perfetti ( imparate anche come si chiamano!), vale a dire i risultati dei vari numeri moltiplicati per sé stessi, vi serviranno molto anche per il futuro. Inventatevi una cantilena, o qualcosa del genere. ma imparateli a memoria! A questo punto, resta da controllare se nella vostra mente c è ancora qualche lacuna tra gli altri numeri della tavola, risultati di altrettante moltiplicazioni, segnati in grassetto, nella parte in grigio. Ripeteteli a memoria1, uno per uno finché non li imparate: un po oggi, un po domani...fate questo sforzo. Quelli in campo grigio, nella parte bassa a sinistra, è inutile memorizzarli: sono uguali ai corrispondenti nella parte alta. Ad esempio: è inutile memorizzare 8x7=56; basta imparare 7x8=56, vale poi sempre la proprietà commutativa. Inutile automatizzare 4x3 = 12, basta ricordare 3x4 = 12.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 24 22

3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 36 33

4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 48 44

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 60 55

6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 72 66

7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 84 77

8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 96 88

9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 108 99

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 120 110

11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 132 121

12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 144 132

Dopo che la tavola pitagorica è stata ben assimilata, si suggerisce di allargarla , sia pure di poco: di portarla cioè fino a 12. Sarà molto utile, per il futuro, riuscire in breve tempo ad avere anche i risultati delle ultime due righe e delle ultime due colonne. Come fare senza troppo impegno mnemonico? La penultima colonna, ossia la moltiplicazione di un numero per 11, dà sempre il numero formato dalla cifra ripetuta, tranne gli ultimi due: ad esempio7x11=77; è da memorizzare 11x11=121, servirà sapere che 121 è il quadrato di 11. Per fare 12x11, basta fare 12x10=120 e aggiungere ancora una volta 12, da cui 132. Questo procedimento si suggerisce tutte le volte che bisogna moltiplicare un numero per 11. Analogamente, la moltiplicazione per 12, basterà aggiungere 2 volte 1 Pochissime saranno, nel seguito, le volte in cui vi si inviterà a ritenere a memoria

10

12. Nell ultima colonna è importante sapere il quadrato di 12 (144); è inutile memorizzare gli altri risaltati. Per fare 12x3 basta fare per 2 e aggiungere 12 ancora una volta, 12x4= 12x2x2. Infine 12x5 equivale alla metà di 12x10. Per i risultati contenuti nelle ultime 2 righe, basta copiare quelli delle ultime 2 colonne, sempre applicando la commutazione. Insomma, fare fatica sì, ma economizzarla al massimo.

Vignetta (sul libro)

3. Si chiama metacognizione

Ripartiamo insieme dalle elementari, dalla moltiplicazione tra numeri interi. Che modello mentale 2 ti sei fatto, nel tempo, di moltiplicazione? In parole povere, cosa ti suggerisce la parola moltiplicazione ? [ Soffermati con la mente a pensarci, si tratta di un processo di tipo metacognitivo: questo avviene quando il cervello riflette su se stesso, rendendosi conscio di quello che sa e non sa, di che sta facendo o non sta facendo, di cosa sta pensando o non pensando]. Sai bene quello che stai facendo quando devi calcolare 7 x 5 ? Sai che la moltiplicazione è un altro modo di fare la somma, quando la si può ripetere più volte speditamente (senza per questo fare la somma ogni volta che dovete moltiplicare!)? Come hai fatto a calcolare il numero di quadretti contenuti nel quadrato di pag. 3 ? Li hai contati tutti a uno a uno oppure hai calcolato quante file erano, ciascuna composta di ...poi hai eseguito la moltiplicazione? Conosci a memoria le tabelline senza incertezze? Ogni individuo ha avuto, nella sua carriera scolastica , un modo diverso di mettersi in testa la moltiplicazione. Senza accorgerti, ti sei costruito un disegno mentale una trama , un modello che ti permette di fare , bene o male, una moltiplicazione. Qualcuno potrebbe chiedersi: perché non cominciamo dall addizione? Diamo questa per scontata, anche se non è per niente scontato che sappiate fare addizioni un po più impegnative, tipo 113 + 210 (a mente, e senza metterli in colonna !). Tornando alla moltiplicazione: insisto sul fatto che, se c è qualche lacuna, qualche paletto malfatto sul quale poggia il modo di procedere, va in crisi tutto il sistema. Se la tua matematica poggia su basi traballanti, come una casa che si sta costruendo su fondamenta malfatte, traballanti, ogni mattone che si aggiunge è sempre più a rischio, man mano che si va avanti.

2 Daremo la spiegazione più avanti

11

4. Un gioco: il cervello legge sé stesso

Ora ti propongo un gioco: devi però seguire attentamente le istruzioni, altrimenti: 1) non ti diverti 2) non capisci quello che voglio farti capire.

Vai a pagina I del capitolo Soluzioni , nel riquadro in basso a destra, c è scritta una parola: leggila e torna qui.

Fatto? Prendi una matita o una penna, fai un disegnino (velocissimo, uno schizzo, impiegando al massimo 30 secondi) di ciò che la lettura della parola ti ha evocato alla mente. Fatto? Sarai d accordo che se ne possono fare tanti, tutti uguali e tutti diversi. Chi lo fa rosso, chi lo fa nero, chi lo fa chiuso e chi aperto, chi asciutto e chi bagnato....e così via. Ora , facendo qualche passo indietro con la tua mente, rimettiti nelle condizioni del momento in cui hai letto la parola ombrello . In altre parole, pensa a quello che avevi pensato, cioè quella stessa immagine che poi hai usato per fare il disegnino. Fatto? Il processo che stai seguendo è un processo metacognitivo: non hai usato il cervello soltanto per pensare a quell oggetto, ma per capire come hai rievocato l immagine mentale che già possiedi, nel tuo cervello, di ombrello . In realtà quello che tu possiedi è un modello mentale, la sollecitazione data dalla lettura della parola ti ha costretto a evocare un immagine: tante immagini formano il modello mentale. Tutti hanno in testa un modello di ombrello , fin dalla più tenera età. Quello che ti salta alla mente quando si dice il nome di un oggetto, non sempre è identico di volta in volta, potrebbe essere mille volte diverso per tutte le mille volte che compi questa evocazione. L importante è che corrisponda sempre inequivocabilmente all oggetto medesimo. Se invece per esempio ti dicessi ornitorinco , non è detto che ti immagini veramente un ornitorinco, mica tutti sanno come è fatto, potresti trovarti a metà strada e immaginare un animale che gli rassomiglia in parte, per esempio un pinguino, oppure un uccello un po .... rinco ...scherzo! Prendiamo un esempio più facile : se dicessi «Com è bello quel gruppo di daini» come te lo immagini? Hai il modello giusto di daino, oppure te lo confondi con capriolo, stambecco o qualche altro suo simile? Ti immagini un gruppo folto oppure no ? Una qualche immagine mentale ti passa comunque nella mente, come un flash sfuocato che dura una frazione di secondo: si tratta di vedere se il modello da cui l immagine si origina è corretto, ben costruito, ci sarà una certa immagine, altrimenti c è il nulla o qualche cosa di distorto rispetto alla realtà. Cosa c entra tutto questo discorso con l apprendimento della matematica? La nostra mente, per memorizzare ciò che i sensi (vista , udito, tatto , olfatto, gusto) percepiscono nell arco di una giornata, di più giornate....di una vita, insomma per far sì che tutto possa essere contenuto in una parte della massa cerebrale (pensa quanta roba in uno spazio così piccolo!) si organizza in modo da ridurre le immagini della vista, le parole dell udito, gli odori dell olfatto ecc... in modo che occupi poco spazio e sia rileggibile quando voglio, proprio come fa un computer. Per fare spazio, molte immagini vengono cancellate: in altre parole, dimentichiamo. Per arrivare (dove vogliamo arrivare) agli oggetti matematici, limitiamoci a trattare le parole dell udito: per esempio quando ascoltiamo l insegnante di matematica che sta parlando. Anche se non si tratta di geometria, ci si formano immagini che rimangono impresse nel cervello: numeri, lettere, oggetti matematici come frazione, potenza, divisione, passaggi algebrici ecc. Non si tratta di

12

fotografie come nel caso (più facile) dell ombrello o dei daini, ma si tratta comunque di immagini ( figure, forme, rappresentazioni ) che riproducono il concetto, giusto o sbagliato che sia. Ma, ripeto, a meno di fare geometria, sono le parole quelle che fanno scattare il dispositivo: ebbene, il nostro cervello spesso tende a tradurre i significati delle parole (o di intere frasi) in altrettante immagini.

13

Non sempre accade che il cervello costruisca immagini: la frase (ad esempio) «un buon titolo di studio favorisce l inserimento nel mondo del lavoro....» che tu stai leggendo e capendo ! non è detto che sia formata da una o più immagini: può anche essere compresa soltanto come costrutto linguistico, come sequenza di parole legate sintatticamente. Sembra tuttavia che, in matematica, sia naturale ma anche produttivo costruire modelli mentali (è il cervello che lo fa automaticamente ma....bisogna che lo strumento sia acceso .....).

Le sequenze di parole le frasi lunghe e complesse, possono essere assorbite solo a partire da una certa raggiunta maturità in poi, e solo se i vari modelli mentali sono stati ben costruiti. La frase dell insegnante (che sta spiegando alla lavagna) : «l operazione inversa della , il di un numero, in una data , è lche dobbiamo dare alla base per ottenere il numero stesso» difficilmente può essere compresa se non si hanno ben chiari tutti i concetti (e quindi i modelli) che vengono nominati, fin dall inizio, nella definizione. I quattro segnati in grassetto sono i più importanti: se uno solo di essi non è stato ben costruito mentalmente, tutta la definizione resta lettera morta . Anche se la conoscenza del funzionamento del cervello oggi ha raggiunto livelli altissimi, la ricetta per apprendere matematica senza troppa fatica non esiste ancora. Molto presuntuosamente sto cercando di fare una cosa del genere. A questo proposito esistono ancora diverse correnti di pensiero , il discorso potrebbe essere lungo e complicato, anche nell ambito nella storia della psicologia. Gli psicologi sono ancor più complicati dei matematici! Oltretutto non vanno d accordo tra di loro, nel senso che ci sono teorie diverse, talvolta contrapposte. A prescindere dagli uni e dagli altri, in questo saggio cercheremo di andare al sodo. Solo in questo e nei prossimi due paragrafi, dovremo utilizzare un linguaggio piuttosto impegnativo per il lettore più giovane.

Si consiglia di rallentare la lettura.

Finché l oggetto da pensare o ripensare è un ombrello...hai provato...le cose sono relativamente semplici. Ma se ti dico frazione (un tipico oggetto matematico) oppure equazione oppure ancora logaritmo (che fa rima con ornitorinco), le cose si possono complicare tremendamente, tutto

dipende dai singoli modelli mentali che avete di quegli oggetti matematici.

14

Se poi ti sta entrando in testa la frase ( per fare un esempio) «... per trovare il risultato della somma di 2 o più frazioni bisogna calcolare il minimo comune denominatore....» , che succede? Quanti cervelli hanno, al posto dell oggetto che rappresenta il minimo comune denominatore un buco nero? Quanti cervelli, pur avendo una giusto modello mentale di frazione, non hanno la giusta idea di che cosa sia il minimo comune denominatore, non cogliendo l interezza delle tre parole che lo definiscono ? Quanti invece non riescono a seguire in tempo tutta la frase? Le immagini mentali si susseguono, una più complicata dell altra, ma solo se sei attento (se stai pensando alla morosa il problema non si pone); la tua fatica, per richiamare di volta in volta la giusta immagine mentale dal giusto modello mentale, diventa sempre più ardua e frenetica: se qualcuno di questi modelli è latitante o troppo sfuocato (se ci fai caso, si tratta comunque sempre di immagini sfuocate) o troppo pasticciato o peggio inesistente, tutto si blocca. Analogamente ti troverai, in questo procedimento mentale, in difficoltà, anche quando starai cercando di risolvere un esercizio, un problema , magari incalzato dall insegnante che ti sta interrogando. Tornando all esempio del minimo comune denominatore, è qui che ti può servire convincerti che esistono questi meccanismi. Per aver qualche possibilità di successo devi cercare, nel minor tempo possibile, di colmare la lacuna. Se non hai capito fino in fondo cosa caspita sia questo MCD, sarà un disastro da lì in avanti. Con santa pazienza, da solo o facendoti aiutare, devi cercare di formarti un immagine corretta di questo oggetto matematico: non ci vuole molto. Per farti rendere conto, in questo caso, vado fino in fondo e ti spiego (nel riquadro) come si potrebbe ripassare il concetto di minimo comune denominatore, anche ragionando da soli.

? x:y!?

Se devo eseguire 3

2

2

1, mi sento bloccato, come se dovessi sommare le patate con le banane: o

sommo tutti i mezzi o sommo tutti i terzi : la più importante proprietà delle frazioni (e questa bisognerebbe conoscerla, altrimenti non si procede) dice che è possibile moltiplicare o dividere per uno stesso numero il numeratore e il denominatore, la frazione rimane equivalente a quella di partenza: è facile memorizzare questo modello, prova a pensare che 2 quartini di vino, sono come mezzo litro, come 5 decimi, come 3 sesti: 50 centesimi sono come mezzo euro, o no? Nel nostro caso, come possiamo cambiare le due frazioni per fare in modo che abbiano lo

stesso denominatore? La prima frazione la moltiplico, sopra e sotto, per 3, ottenendo 6

3, la

seconda la moltiplico sopra e sotto per 2, ottenendo 6

4: l addizione che devo eseguire diventa

perciò 6

7

6

4

6

3; se ti capitasse di pensare di moltiplicare per 6 la prima e per 4 la seconda, in

modo da ottenere 12 al denominatore ( 12

14

12

8

12

6), in realtà non hai fatto un errore: il

denominatore usato non è però il minimo, ma uno dei comuni denominatori delle 2 frazioni:

semplificando 12

14 otteniamo di nuovo

6

7.

15

Tornando al ragionamento di cui sopra, bisogna avere la costanza di ripensare a quello che si è appreso, anche se si crede di aver capito, di essere stati attenti, di saper fare gli esercizi. Per convincerti, ti posso confessare (ma sono sicuro di non essere il solo) di essere stato costretto, come insegnante, a costruire e ricostruire più volte i modelli mentali degli oggetti matematici, proprio perché l obbligo di doverli far capire agli alunni mi ci ha costretto. Prova a dover spiegare qualche cosa a un compagno (che per esempio ha perso una lezione e ti chiede spiegazioni): ti renderai conto più avanti di aver capito meglio le stesse cose che gli avevi spiegato, proprio perché sei stato costretto a ripensarle più volte. Diceva Einstein: « Non hai veramente capito una cosa finché non sei in grado di spiegarla a tua nonna» : puoi sostituire un tuo compagno al posto della nonna: delle frazioni, alla nonna .....non gliene po fregà de meno.

16

Parte C Le idee di Johnson Laird3 ...e altri

1. Modelli mentali e rappresentazioni proposizionali

Come abbiamo spiegato precedentemente, il problema principale dello studente è quindi di costruirsi, nel suo percorso scolastico, nel settore della matematica, significati e modelli mentali il più presto possibile giusti e coscienti, per proseguire senza particolari difficoltà. Spesso si tratta di modelli provvisori che comunque possono essere utili per continuare senza incertezze: ulteriori affinamenti successivi sono possibili senza scosse particolari. Johnson-Laird , professore universitario di origine britannica, ha insegnato in diverse università, tra cui quella di Princeton, nel New Yersey; è uno dei maggiori esperti mondiali nello studio dei processi cognitivi. Egli distingue tre tipi di costrutti: immagini, modelli mentali e rappresentazioni proposizionali. Secondo questo autore, le immagini e i modelli sono costrutti di livello superiore, che pur essendo esprimibili anche in forma proposizionale, permettono all'attività cognitiva di non lavorare con codici di livello inferiore, come le rappresentazioni proposizionali: mentre la proposizione è una frase di senso compiuto, di cui si può affermare la verità o la falsità, la rappresentazione di essa è una sorta di catena linguistica che la nostra mente costruisce per memorizzarla e ripeterla in un tempo successivo. Le espressioni linguistiche vengono trasformate in rappresentazioni proposizionali, ovvero in espressioni del linguaggio mentale: la semantica4 di quest ultimo costruisce i modelli mentali. I modelli mentali non hanno una struttura sintattica scelta in modo arbitrario, come le rappresentazioni proposizionali, poiché la struttura del modello deve essere analoga a quella del corrispondente stato di cose nel mondo, essi quindi sono analogici 5, determinati e concreti: sono analogici perché possono catturare configurazioni spaziali del mondo rappresentato e mantenere le relazioni topologiche esistenti tra gli elementi; sono determinati perché ciascuno di essi rappresenta un particolare stato dell'oggetto che definisce; sono concreti perché rappresentano entità specifiche. A prima vista i modelli mentali sembrano corrispondere alle immagini mentali; in realtà si differenziano da esse in quanto queste, rappresentando le caratteristiche percettive degli oggetti reali, corrispondono più a punti di vista sul modello che al modello stesso (l esempio dell ombrello può servire alla comprensione: quello che ti viene in mente in questo preciso momento se ti sforzi di pensare ad un ombrello è un immagine mentale, è una immagine particolare, di un concetto concreto (modello) più generale che risiede pressoché stabilmente nel tuo pensiero). Quindi le persone costruiscono modelli mentali che possono rappresentare il mondo fisico, i concetti astratti o le sequenze di eventi e questi modelli servono loro per spiegarsi gli eventi, per comprendere le esperienze e per fronteggiare le situazioni nuove. Perché un modello mentale sia funzionale, tuttavia, non è necessario che la spiegazione che fornisce del fenomeno in questione sia

3 La lettura e la comprensione di questo paragrafo sono piuttosto impegnative, ma non per i contenuti di matematica. Anche gli psicologi.... 4 Tutto ciò che riguarda i significati. 5 Di tipo non logico, non digitale, non traducibile in una procedura che possa essere eseguita da un computer: un vecchio orologio a cucù è una macchina analogica, un orologio elettronico è invece digitale.

17

esauriente, né che il modello corrisponda esattamente a ciò che rappresenta. Ogni modello risulta essere più semplice della realtà e proprio in questa caratteristica risiede la sua funzionalità. Spesso, però, i modelli mentali sono costruiti sulla base di dati non completi e questo fatto può determinarne il fallimento. Se abbiamo un modello mentale sbagliato del funzionamento di un oggetto probabilmente commetteremo errori nell'utilizzarlo. La potenza dei modelli mentali è che permettono di indovinare cosa può succedere in situazioni nuove e insolite. [ ] se il modello è sbagliato, sbagli anche tu [Donalds Norman, psicologo sperimentale]. Facciamo un esempio: che modello mentale vi siete fatti di frazione apparente? Fatto salvo che abbiate assorbito il giusto modello di frazione, sapete che sono chiamate apparenti quelle che, semplificate ai minimi termini, danno un numero intero? Se non avete memorizzato la definizione, potreste tentare di costruire un modello sbagliato, per esempio di un oggetto matematico che assomiglia a una frazione solo apparentemente , senza che vi sia chiaro il resto. Esempi di frazioni

apparenti:

;

;

.

Un altro problema consiste nel fatto che l'utilizzo dei modelli mentali implica l'impegno di una parte delle risorse cognitive: se i modelli sono troppo complessi si ha un sovraccarico cognitivo che può portare a conclusioni sbagliate. Una sorgente di modelli mentali è l osservazione (aiutata dalla conoscenza), un altra è la spiegazione da parte di qualcuno, un altra ancora è l abilità a costruire modelli personalizzati, a partire da un insieme di componenti di base oppure da modelli analoghi già in nostro possesso. Tutta la matematica si può costruire da un piccolo insieme di idee primitive, ogni procedura computazionale (sequenza logica di passi ben definita, riproducibile da un calcolatore), si può costruire a partire da un piccolo insieme di blocchetti; anche le spiegazioni più sorprendenti del mondo fisico, poggiano su fondamenta di idee basilari. Una volta che si ha la padronanza di queste idee, una spiegazione verbale di un fenomeno ci abilita a costruirne un modello.6

Tornando alle rappresentazioni proposizionali, da cui i modelli mentali sembrano differire, queste non sono altro che frasi concatenate, che il nostro cervello costruisce utilizzando solamente sequenze di parole: sembra che i nostri neuroni siano in grado di formare dei reticolati di significati che memorizziamo e poi siamo in grado di riprodurre parlando o scrivendo. Ovviamente chi è più istruito o sa esprimersi meglio, possiede anche reticolati più numerosi e più complessi. La frase (proposizione): «la nostalgia è un sentimento che si prova quando ti manca qualcosa o qualcuno che ami» e comprensibile anche a un bambino che frequenta la scuola elementare: non sembra, leggendola, che il nostro cervello faccia ricorso a modelli mentali o immagini di tipo pittorico; ne segue (se è proprio così) che comprendiamo il tutto in base ai collegamenti delle singole parole. La proposizione « più a sud, sopra il lago, i primi raggi di sole sfumavano le nebbie mattutine....», al contrario (rispetto all esempio precedente), ci costringono a richiamare alla mente diverse immagini (lago, sole, nebbia) per interpretare tutta la frase. Non mi voglio addentrare più di tanto in questo argomento difficile e per nulla risolto in modo definitivo (ci sono diverse correnti di pensiero): sembra tuttavia che la nostra mente faccia ricorso a due modi di pensare, che non sono disgiunti ma si completano a vicenda: per frasi o per immagini. In particolare, in matematica, il ricorso alle immagini (e quindi ai modelli mentali) è più necessario e frequente di quanto si possa pensare.

6 Semplificando al massimo...

18

2. Impara a controllare i tuoi atti mentali

Non è facile controllare la propria mente, i propri comportamenti, anche se un gran numero di testi di psicologia (tutti difficili da leggere e interpretare) se ne sono occupati , anche se la conoscenza del funzionamento del cervello ha raggiunto oggi livelli impensabili anche soltanto 20 anni fa. Gli autori ( psicologi, neurologi, esperti di didattica) più autorevoli hanno tracciato linee interpretative spesso diverse tra loro, anche se non in contraddizione: non sono molti, per la verità, quelli che fanno specifico riferimento all apprendimento della matematica. Questo lavoro è frutto dell assemblaggio delle esperienze accumulate in 31 anni di insegnamento con le teorie e le interpretazioni degli esperti più qualificati . Tra questi citerò specificatamente Antoine De La Garanderie (francese, vedi nota sintetica) e Johnson Laird (britannico, già citato). Quello che segue è un quadro del comportamento della tua mente, quando si trova in situazioni matematiche . Conoscere questi comportamenti, non equivale a risolvere tutti i tuoi problemi, ma

almeno ti mette sulla strada, puoi controllare meglio te stesso: non cadere in stupide scelte o rinunce, che causano spesso il cattivo andamento scolastico. La colonna di sinistra contiene tutti i possibili (secondo me) atti (gesti, atteggiamenti, operazioni) mentali; in seconda colonna la spiegazione di che cosa si intende; nella terza colonna ho scelto una

Il gesto mentale da fare non è dunque la memorizzazione del modello, ma di proiezione attraverso la quale si cerca di concretizzare una relazione, una struttura o un linguaggio che ancora non si capisce veramente. Se si riesce a fare questa proiezione, l oggetto mentale si trova rinforzato, ma continua ad esistere fuori da una concretizzazione particolare e potrà proiettarsi in altre situazioni. Il lavoro che consiste nel trovare rappresentazioni matematiche, paragonarle, farle evolvere, come luogo di produzione di un linguaggio e di un oggetto matematico, è il mezzo per sviluppare quello che è stato chiamato linguaggio matematico interno . Questo linguaggio interiore è indispensabile per dare un senso ai problemi. [Alain Taurisson, professore di matematica francese]

La questione delle immagini mentali è un tema presente da sempre nelle questioni che coinvolgono il pensiero, dal tempo dell antica Grecia ad ora, ma nel 900 ha avuto vicende alterne. la psicologia rifiutava qualunque indagine che si servisse dell introspezione e quindi per lungo tempo non si è preoccupata del tema, ma agli inizi degli anni 70 Shepard mise a punto una serie di esperimenti con i quali dimostrò definitivamente che gli uomini sono capaci di formare immagini mentali e di operare con esse. Contemporaneamente Allan Pavio dimostrava che le immagini sono in grado di migliorare le prestazioni della memoria, rispetto a una rappresentazione proposizionale dei ricordi. Si cominciò allora a pensare a due forme distinte ma ugualmente valide di rappresentazione mentale, quella proposizionale e quella per immagini, e che lo studio dell immagine mentale come effettiva modalità di funzionamento della mente umana, fosse ormai possibile. Il maggior studioso in questo campo e stato lo psicologo S. Kosslyn: I suoi studi sulle immagini mentali hanno anche precisato meglio le loro relazioni con i modelli mentali, oggetti affini ma non uguali alle immagini.

[Laura Catastini, docente universitaria]

19

possibile situazione di vita extrascolastica, in cui comunque queste capacità vengono applicate, mentre nella quarta puoi capire realmente di che tipo di lavoro mentale si tratta, quando si sta facendo matematica.

Atto (gesto) mentale

Una possibile definizione

Situazione 1 (esempio)

mentre sono al bar con gli amici

Situazione 2

mentre faccio matematica

attenzione orientamento preciso e continuo dei sensi, a cominciare da vista e udito, su un oggetto o un fatto.

guardo e ascolto l amico che mi racconta una sua avventura

seguo la spiegazione dell insegnante, guardando anche quello che sta scrivendo alla lavagna;

memorizzazione capacità della mente di riprodurre parole e forme, in modo da poterle rievocare successivamente

collego i nomi delle persone di cui il mio amico sta parlando con le loro facce , rimetto in fila i loro nomi, collego i loro gesti con esperienze che io stesso conosco; mi preparo a raccontare la storia;

molto dipende da come hai capito i concetti , anche quando studi su un libro di testo; l apprendere, in matematica, per il 90% è capire, per il 10% memorizzare: alla comprensione, la memorizzazione spesso segue automaticamente;

immaginazione capacità di evocare significati e immagini già noti o inventati al momento, per cercare di legarli ai contesti sui quali si è posta l attenzione; ( è diverso dal fantasticare )

cerco di ricreare nella mente la situazione che il mio amico sta descrivendo, inventando o rievocando contesti da lui descritti, come se fosse un film;

secondo Einstein era (ed è) più importante della conoscenza. La ricerca continua di ricostruire il giusto modello di un oggetto matematico dipende dall immaginazione. Ad esempio, l affermazione «L insieme dei numeri naturali è infinito», cosa vi fa immaginare? Se non immaginate nulla, non vi farete nessuna immagine mentale dell infinito matematico;

20

comprensione collegamento positivo con le esperienze precedenti, sentendo di possedere l oggetto di cui si parla; se per esempio ascolto una lingua che non conosco, la comprensione non avviene;

cercando di immedesimarmi nelle vicende, paragonandole a quelle che ho sperimentato, se sono un amico,cerco di provare quello che lui ha provato: in questo caso il contesto rende facile la comprensione

collegamento positivo con gli argomenti già precedentemente acquisiti: i modelli che ho già in testa si collegano con quello che sto evocando in quel momento.

Esempio: 5

3

5

4

4

3;

se capisco che posso evitare di considerare il 4 (perché prima divide e poi moltiplica), arrivo subito al risultato. Se traccio meccanicamente una righetta sui due 4, perché ricordo vagamente che si fa così , vuol dire che non c è stata comprensione; in altre parole non è chiaro il modello di frazione, né quello di semplificazione;

riflessione richiamo alla mente immagini o parole, confrontando con quello che sto percependo in quel frangente; è una pausa per fare il punto della situazione, spesso isolandosi dall esterno;

in questo caso una riflessione acuta, collegando le cose che ha detto, mi potrebbe permettere di scoprire che l amico è un contapalle, un vanitoso, oppure che è sfortunato ecc.

è un momento in cui il cervello si isola per fare il punto , per fare i collegamenti necessari alla percezione e alla comprensione. Prendere troppi appunti durante le lezioni (per esempio), distoglie da questo gesto mentale. E un momento importante quando si cerca di risolvere un problema.

percezione è l atto di catturare la sollecitazione che ti arriva dall esterno; può essere volontaria o involontaria; percepire = prendere coscienza

se sono attento, posso percepire quello che dicono gli amici, il gusto del caffè che sto bevendo, la suoneria del mio cellulare...

quando percepisco quello che sento dire dall insegnante o quello che leggo sul testo, mi stanno entrando in testa delle sollecitazioni: purtroppo potrebbero essere, anche solo in parte, sbagliate;

intuizione Un modo veloce, un lampo improvviso per arrivare da soli ad una verità non ancora provata. Sembra collegata con l immaginazione ma, mentre questa la puoi imporre a te stesso, l intuizione no;

posso (per esempio) intuire che tra Paolo e Anna c è qualcosa in più dell amicizia..

Le grandi invenzioni della matematica, nascono da grandi intuizioni; solo in un secondo tempo, una determinata congettura deve essere dimostrata, ma la dimostrazione non è mai la base di partenza; se la uso durante una spiegazione, posso anticipare il punto d arrivo;

21

congettura i sinonimi sono: ipotesi, idea, supposizione; bisogna poi sempre cercare di verificarla.

siccome oggi tocca a me pagare il conto, posso congetturare che non abbia abbastanza soldi con me: per saperlo basta guardare nel portafogli, prima di andare a pagare;

se aumento la base di un triangolo del 10% e diminuisco l altezza del 10 %, l area aumenta o diminuisce? posso congetturare che rimane la stessa, per saperlo devo fare qualche prova e poi la dimostrazione;

Vignetta, concentrazione

decisione è un atto mentale che assumo in base a una sollecitazione: potrebbe richiedere (prima di essere attuata) diversi gesti tra quelli qui menzionati;

mi sono stancato della compagnia, con una scusa decido di andarmene; i ragazzi più svegli, prendono decisioni buone in tempi brevi;

Nei quesiti a scelta multipla, ogni domanda richiede una decisione : quasi mai conviene azzardare alla cieca; per esempio, se su una risposta, l incertezza è solo tra due scelte (50% di probabilità), conviene dare una risposta, se sei indeciso tra 4 scelte diverse, conviene lasciare in bianco;

concentrazione è uno status mentale, più che un gesto; accompagna tanti altri gesti mentali e ti permette di isolarti da altri oggetti; assomiglia all attenzione, ma non richiede un richiamo dall esterno;

posso non essere attento a quel che sta dicendo Mario perché sono concentrato a guardare Paola;

è essenziale per cercare di non commettere errori quando stai svolgendo (per esempio) una espressione letterale; la concentrazione deve essere continua, per un tempo abbastanza lungo: eventuali pause devono essere mirate.

inferenza una conclusione tratta da un insieme di fatti e circostanze; assomiglia a deduzione , ma

quest ultima ha un significato che mi porta a pensare che la conclusione sia vera; anche qui ci sono scuole diverse di pensiero.

sto mangiando un dolce che ha un sapore acido e strano: potrei inferire che è vecchio, oppure che potrebbe contenere troppo limone.....

se prendo una frazione (ad

esempio 3

2, aggiungo 1 sia al

numeratore che al

denominatore, ottengo 4

3, che

è maggiore: potrei inferire che succede sempre così, per tutte le frazioni; invece, non è affatto vero.

22

ricostruzione (dei modelli mentali)

di solito avviene inconsciamente, specialmente di notte quando il nostro cervello mette in ordine automaticamente quello che abbiamo percepito durante la giornata: si aggiungono immagini al modello mentale, che già avevamo, per esempio, di ombrello o di moltiplicazione .

se continuo ad andare allo stesso bar, tutti i giorni, mi formerò immagini indelebili degli arredi, del personale ecc.

Se sei d accordo con tutto quello che hai letto fin qui, puoi fare questo gesto mentale anche consciamente . Questo ti permetterà sicuramente di migliorare le tue conoscenze complessive.

Altre note ognuna di queste attività mentali può essere conscia o inconscia, dipende anche dalla tua volontà, quella di esplorare il giardino della matematica , non di attendere passivamente che qualcuno vi faccia da balia; le attività possono essere legate, in vari modi, tra loro; i gesti mentali vengono compiuti durante le attività della giornata: quando ti lavi i denti, quando segui una lezione, quando guardi la tv, quando giochi a pallavolo, quando mandi un sms; quelli compiuti in occasione della matematica, servono ad apprenderla.

Attività (legate all apprendimento della matematica)

in cui si impiegano gli atti mentali 1

Assistere ad una spiegazione (di un argomento, di un teorema, di un procedimento per risolvere..) di un professore o di un compagno di classe.

2

Leggere (cercando di capire) definizioni, spiegazioni, passaggi matematici, teoremi. E quello che si chiama studiare : tuttavia, fino ai 16 anni, la matematica è più da fare che da studiare.

3

Cercare di risolvere esercizi di applicazione , di routine (per esempio, risolvere espressioni con le frazioni, equazioni , espressioni letterali)

4

Risolvere problemi

23

5

Ripensare, in un qualsiasi momento del giorno o della notte, a un problema, alla lezione di ieri mattina, a un dubbio dei giorni scorsi... ( «cosa c... sono le frazioni improprie? perché si chiamano così?»). Può aiutare un click su un motore di ricerca (utilizzando ricerca avanzata ) oppure consultare un buon testo?

Antoine de La Garanderie Filosofo e pedagogista, direttore di ricerca didattica dell Università di Lione. L esperto francese considera solo i primi cinque atti della lista (di cui sopra) e li chiama gesti mentali . La pratica della gestione mentale è diffusa da più di vent anni in Francia. Sembra che questa possa aiutare nel recupero delle capacità dei singoli adolescenti o piccoli gruppi.

Philiph Johnson-Laird Psicologo di origine britannica, ha insegnato in diverse università americane, ha ricevuto molte lauree ad honorem , ha scritto numerosi libri e pubblicazioni. Nella sua teoria dei modelli mentali , questi ultimi hanno una struttura corrispondente a quello che rappresentano; sovrapponendo immagini mentali una sull altra, la mente costruisce modelli, così come gli architetti fanno i modellini delle opere che si dovranno edificare. Le sue teorie permettono di evitare trappole cognitive che portano agli errori, migliorare l insegnamento di alcune discipline e costruire interfacce uomo

computer.

24

Parte D Un ripasso insolito dei soliti argomenti confusi

Dopo la terza elementare tutti (o quasi) sappiamo fare la moltiplicazione in colonna: l operazione diventa talmente automatica che tutti ci dimentichiamo, ammesso di averlo a sua volta imparato, del perché si fa così. L eccessivo automatismo, senza alcun ragionamento, spesso danneggia chi lo utilizza. Per provare se siamo stati danneggiati o addirittura l apprendimento degli automatismi è stato l unico (per colpa della maestra), basta chiedersi : sarei in grado di spiegare una semplice moltiplicazione in colonna a un bambino di terza elementare che non l ha mai eseguita? Sarei in grado di spiegare perché c è il riporto, perché poi si mette la lineetta sotto, perché si addizionano le righe ecc. ecc ? Se la risposta è negativa, questo è un blocco che rimane in testa, come un mattone isolato dal contesto complessivo della matematica, che danneggia il prosieguo nella scoperta della matematica stessa: un peso morto che ci portiamo dietro. Se poco sopra avete risposto alla domanda quanto fa 11x 8 , mettendoli in colonna, è probabile che siete affetti da questa dipendenza da automatismo. 11x8 si fa a mente, equivale a 8 volte 10 = 80, più un altra volta 8, che fa 88. Facciamo qualche passo indietro (anche se siete arrivati ai logaritmi, non vi faccia schifo tornare alle moltiplicazioni). Il metodo migliore per far capire, senza la pretesa di essere rigorosi, è partire da un esempio. Vediamo come si esegue la moltiplicazione in colonna di 276 x 4 , successivamente quella di 276x 14.

4

276

1104

Spiegazione: 276 corrisponde a 6 unità, 7 decine e 2 centinaia; moltiplicare per 4, significa quadruplicare le unità, le decine e le centinaia. 4 per 6 fa 24, ossia 4 unità e due decine ( che devo tenere come riporto, cioè in conto per dopo; 4 per 7 (decine) fa 28 decine, che aggiunte alle 2 di prima fanno 30, cioè 3 centinaia (di riporto) e 0 unità. Infine, 4 per 2 fa 8 (centinaia) , che diventano undici con le 3 precedenti: ecco perché ho ottenuto 11 centinaia: ossia un migliaio + un centinaio, 0 decine e 4 unità: 1104. Se adesso facciamo una moltiplicazione molto simile alla precedente, ma il secondo fattore è 14, comprendiamo anche qualcosa in più:

3864

14

276x

infatti ...............

672

4011

41

672 x

3 8 6 4

4 per 6 fa 24, scrivo 4 e riporto 2, 4 per 7 fa 28 e 2 .. 30, scrivo 0 e riporto 3, 4 per 2 fa 8 e 3 uguale 11.

25

differentemente dall esempio precedente, lo stesso numero, 276 lo moltiplichiamo per 14 invece che per 4. In altre parole si tratta di quadruplicare 276 e aggiungere il risultato a quello che si ottiene moltiplicandolo per dieci. Il rientro indicato dalla lineetta, serve proprio ad indicare e calcolare questa moltiplicazione per una decina. Riepilogando: 276 per 4 fa ancora 1104, dieci volte 276 fa 2760, la somma definitiva 3864. Se non avete capito bene, rileggete con più calma: riflettere su queste cose è come prendere una boccata d aria fresca quando siete un po addormentati: cercate di non restare addormentati per troppo tempo. Nulla vieta, se dovete fare parecchie moltiplicazioni con più cifre, di usare la calcolatrice. L importante è, quando ci sono calcoli semplici, tenere allenato il cervello anche a fare le moltiplicazioni.

2. Avevate capito la divisione ?

Una volta che è ben chiara in testa la moltiplicazione, nel senso spiegato nel paragrafo precedente, si tratta di andare ad individuare, se avete capito e sapete utilizzare la divisione. Dedicando 5

6 minuti al massimo, prova a rispondere a questo piccolo test (senza curiosare più avanti), poi controlla le risposte in fondo al libro (pag II)

a b c

1

L operazione di divisione è l inversa dell operazione di moltiplicazione

sì no non sempre

2

In una divisione, il divisore (il numero che divide) deve sempre essere più piccolo del dividendo (il numero che deve essere diviso).

vero falso vero soltanto per i razionali

3

0 : 134 = 0 vero falso, è 134 non si può fare

4

5,55,12:75

(è vietato l uso della penna)

vero falso, il risultato è 4

falso, il risultato è 6

5

una frazione è equivalente a una divisione vero falso non sempre

26

6

il resto della divisione tra due numeri ha senso solo nell insieme dei numeri razionali

vero falso vero, ma solo per quelli dispari

7

se a:b = c , è anche vero che a c = b vero falso è vero solo per

i numeri interi

8

quattro amici decidono di raccogliere esattamente 12 euro a testa, per acquistare 3 DVD, da vedere insieme la sera: quanto costa ciascun Dvd?

48 euro 4 euro 16 euro

Quanti errori avete fatto? 3 ? più di tre? Spiacenti, dovete rivedere quell insieme di immagini mentali che sono state evocate dallo sforzo per rispondere alle domande: in altre parole, il vostro modello mentale della divisione.

3.

Se operiamo soltanto con i numeri interi positivi (i naturali , con l aggiunta dello 0), allora la divisione ha senso solo se il dividendo è più grande del divisore; la divisione è intesa come una ripartizione: ad esempio, ho 24 figurine da regalare in parti uguali a 3 bambini, ne toccano 8 a testa ; se le figurine sono 25, i 3 bambini ne avranno sempre 8 ciascuno, ma ne avanza una, è a discrezione del lettore regalarla a qualcuno o lasciarla dove si trova. Così 52 libri, non potranno essere distribuiti equamente su scaffali che ne contengono 7: dal momento che 7x7 fa 49, ne avanzano 3 che andranno messi altrimenti. Si dice così che 52: 7 fa 7, con l avanzo di 3. Se dobbiamo invece dividere 82 euro tra quattro persone, non diciamo «20 euro a testa e i due che avanzano li mettiamo da parte»: viene più spontaneo e giusto dare 22,50 euro a ciascuno. I centesimi, che si utilizzano anche con i dollari (con la lira si era perso l uso dei centesimi, quando il suo valore era diventato molto piccolo) ci permettono di fare a meno dei resti. E possibile dividere 82 anche in cento parti uguali, malgrado che 100 sia più grande di 82. A ciascuno toccherebbero 82 centesimi di euro. Nei numeri decimali, dal momento che posso dividere l unità in 10, 100, 1000..... parti, è permesso fare quasi tutte le divisioni. Questo quasi apre una parentesi piuttosto lunga e complessa che riguarda i numeri irrazionali, che riapriremo più avanti. Qualche confusione potete averla ereditata dalle elementari, se vi hanno costretto a fare le divisioni in colonna, con tante cifre decimali, senza capire quello che stavate facendo. Con la possibilità di utilizzare la calcolatrice, non c è più la necessità di fare divisioni del tipo 16,28 : 3,45. Le cose importanti da sapere, che non si dovranno mai dimenticare (se si è capito, è facile ricordare), sono poche, ma fondamentali.

Per dividere un numero per 12, basta dividere il numero stesso per 3, poi per 2, poi ancora per 2: esempio: 336 : 12

336:3 = 112; 112:2 = 56; 56: 2 = 28.

27

Prima di tutto si tratta di capire come la divisione sia legata alla moltiplicazione: basta ragionare al contrario. Se un premio letterario di 1500 euro viene diviso fra tre vincitori ne toccano 500 a testa; posso anche dire che 1500 è il risultato di un premio complessivo, costituito da 500 euro ciascuno, da assegnare ai primi tre classificati. Sono due modi diversi di vedere la stessa cosa: se questo è compreso nel vostro modello mentale, non ci saranno più ostacoli. In secondo luogo si tratta di

capire perché è stata inventata la virgola e quindi i numeri decimali: al tempo stesso si capisce perché le divisioni si fanno in colonna, in quel modo. Partiamo da un esempio7. 15 : 4. Il 4 nel 15 ci sta 3 volte, con l avanzo di 3. Se si tratta di figurine mi devo fermare qui (sono interi, le figurine non le posso spezzare!). Se si tratta di euro o di chili di riso posso continuare. 3 euro equivalgono a 30 decimi (o trecento centesimi), ecco perché si dice (e si fa) abbasso lo zero . Adesso cerco di vedere quante volte il 4 sta nel 30 o , che fa lo stesso, 30 : 4. Ottengo 7 decimi, ma ne avanzano ancora 2 , ossia 20 centesimi. A loro volta, dividendo 20 centesimi in 4 parti, ne ottengo cinque per parte. In totale, il risultato equivale a 3 unità, 7 decimi e 5 centesimi; oppure anche a 3 unità e 75 cent. Ossia 3,75. Al matematico non importa se si tratta di euro, litri o patate fritte: lavoro con i numeri, indipendentemente da quello che rappresentano: li chiamiamo numeri decimali (oppure numeri razionali )8.

15 : 4 = 3,75 30 20

Quando nel divisore compare il 3 (o i suoi multipli) oppure il 7 (o i suoi multipli), allora possiamo incappare nei numeri periodici. Ad esempio 39 : 3 fa 13 ( nessun problema) ; invece 40 :3 = 13,3333333.... mettiamo una lineetta sopra il 3, altrimenti potremmo continuare all infinito. 3,13 : quella parte che sta dopo la virgola si chiama periodo. Il fatto che si presentino questi numeri dipende da un difetto del sistema decimale, se usassimo un sistema diverso avremmo lo stesso problema con altri numeri. Non stiamo ad approfondire ulteriormente questo argomento altrimenti.....questo....diventa un libro di testo. D altra parte, approfondire le divisioni, con dividendo e divisore contenenti una parte decimale, visto quel che ho detto all inizio del libro, significherebbe predicare bene e razzolare male. Quello che dovete raggiungere e poi mantenere è il giusto equilibrio tra gli automatismi per svolgere i calcoli, spesso necessari per non impiegare tanto tempo, e l utilizzo dei gesti mentali, primo fra tutti la riflessione.

7 Meglio seguire l esempio con carta e penna. 8 In realtà c è una distinzione sottile tra decimali e razionali: decimale si riferisce al fatto che non è un numero intero, c è una parte intera e una parte che segue la virgola; il termine razionale è riferito alla natura del numero, che si ottiene da una divisione. Anche i numeri interi sono razionali.

28

Da rifare con vignetta 4. Una bestia nera per gli studenti: le frazioni

Perché le frazioni sono tra gli oggetti più odiati dai ragazzi che hanno difficoltà in matematica? Non c è una ragione unica, possono essere diverse, anche associate tra loro; spesso però il crollo dello studente avviene quando è costretto a maneggiarle, tante per volta, senza averle capite. La prima ragione, di solito, è che l interessato non ha ben chiaro il concetto di divisione: dal momento che la frazione è una divisione, che viene trascinata nelle operazioni, come se fosse un numero (e lo è), si è spesso portati a fare confusione con concetti e operazioni già poco chiari all origine. Se poi l insegnante tira diritto e, dopo avervi spiegato le proprietà (che non riesce a farvi capire), vi obbliga ad usare le frazioni in lunghe espressioni (che non servono a nulla), in cui siete costretti a ricordare a memoria le procedure, il castello crolla. Difficilmente si arriva al risultato finale senza incorrere in qualche errore, facilmente si ottengono frustrazioni a seguito di prove di verifica negative. Se è vero che, in questi casi, aumenta la sfiducia in sé stessi, la forza di ribaltare la situazione dovete trovarla dentro di voi, anche se , ovviamente, si può essere aiutati. Ciascuno degli studenti che si trova a far parte , per esempio, di una classe di 2° media o di prima superiore (le difficoltà con le frazioni ci sono in entrambi i casi), ha una situazione mentale riguardo alle frazioni, diversa dal vicino di banco e da tutti gli altri componenti la classe. Ognuno si forma in testa un suo modello mentale di frazione: quando è costretto a lavorarci, deve fare uno sforzo mentale, per trovare la soluzione dell operazione o dell esercizio proposto. Ovviamente chi più ha accumulato incertezze e incomprensioni, più sarà in difficoltà per capire cosa deve fare, per

esempio, quando gli si propone la moltiplicazione 24

3. Certe volte è sufficiente soffermarsi a

ragionare su un esempio, anche semplice come questo, per capire un sacco di cose. Ma, ripeto, di tanto in tanto, dovete fare lo sforzo mentale di cercare di capire quello che state facendo. L effetto della torta, che tutti gli insegnanti usano o hanno usato per fare i primi esempi sulle frazioni, dura poco. Quando le cose si complicano, le torte non servono più! Bisogna che il vostro

cervello vada più a fondo. Cosa rappresenta la frazione ? Dividere una torta in 4 parti e prenderne

3: è facile a dirsi, ma limita i ragionamenti successivi. Per esempio, quanti di voi sanno che, prendendo 3 torte e dividendole in 4 parti uguali, si ottiene la stessa cosa? Non ci credete? Se vi è scomodo provare con le torte, provate con dei segmenti (bastoncini, barrette di cioccolata, foglietti di carta....)

fig. 1

Se prendo una tavoletta di cioccolato bianco, già divisa in 4 parti uguali, i tre quarti sono rappresentati dalla parte in grigio. Giusto ?

??????..................142

1

17

16

5

2

4

3

29

fig.2

Se metto in fila 3 barrette uguali alla prima, ottengo una barra lunga come quella in figura 2, costituita da 12 piccoli riquadri. Se dividiamo per quattro o , che fa lo stesso, coloriamo di grigio la quarta parte del tutto, otteniamo ancora la barretta grigia come nella figura precedente. Possiamo provare con l orologio: 3 quarti d ora, sono il tempo che corrisponde a dividere un ora in quattro parti uguali, prendendone solo 3. Oppure : se ho tre ore di tempo (180 minuti) , e le divido

in quattro parti uguali, ottengo sempre

d ora, ovvero 45 minuti. Se digerite questa

constatazione, potete anche accettare che una frazione sia equivalente a una divisione. Tre quarti vuol dire 3 diviso 4, indipendentemente da torte, orologi o litri di vino. La digestione (non delle torte, ma dei concetti), consiste nel processo di astrazione, a cui la matematica spesso ci costringe. E siccome vuol dire 3 diviso 4, vuol dire anche 0,75 , che è il numero decimale corrispondente che si ottiene dall eseguire, in colonna, 3: 4. I tre quarti della popolazione italiana corrispondono anche

al 75% (oppure ancora 100

75). Perciò possiamo affermare che divisione, frazione e percentuale sono

praticamente la stessa cosa. Quando torniamo a riferirci a situazioni concrete, usiamo il modello

che, secondo le abitudini, meglio rappresenta la situazione. Ad esempio, potremo dire

della

popolazione italiana, ma non 0,75. Possiamo dire ? dollaro, oppure 0,75 dollari: non si usa mai

dire il 75% di un dollaro, anche se in linea di principio sarebbe corretto.

Se poi dobbiamo moltiplicare, come detto sopra 24

3, molti faranno automaticamente la

semplificazione in croce del 4 col 2, ottenendo così 2

3. Ma quanti sanno perché si può fare? Quanti

hanno capito che il 3 ( a numeratore) indica una moltiplicazione, mentre il 4 indica una divisione: ancora una volta, se ho 3 euro, li divido in quattro parti (ottenendo 0,75 ) e poi raddoppio, ottenendo 1,5 euro, è come ripartire dai 3 euro e dividere solo per 2. La semplificazione incrociata mi permette di risparmiare operazioni ripetute, di andare avanti e indietro per niente.

Un altro esempio: 1010

7: è inutile dividere per 10 e poi moltiplicare di nuovo per 10, posso

lasciare il 7 così come sta. Per lo stesso motivo posso semplificare le frazioni, applicando la

proprietà invariantiva. Ad esempio: 100

85 dal momento che 85 è dato da 13x5 e 100 è dato da 20 x 5,

per quanto detto poco fa è inutile moltiplicare e dividere per uno stesso numero (5) sopra e sotto,

per cui la frazione100

85può diventare

20

17.

Attenzione! Può capitare il contrario! ( ecco dove poi ci si perde....):

quando devo sommare 20

17 e , per esempio,

100

7, sono costretto a moltiplicare ( il contrario di

quanto fatto nella semplificazione precedente), sia il numeratore che il denominatore della prima

frazione per 5, così da ottenere 100

85. Non posso sommare direttamente i ventesimi con i centesimi,

30

posso invece sommare i centesimi ai centesimi: 100

85+

100

7=

100

92. Il risultato poi, dividendo sopra e

sotto per 4, diventa 25

23.

Non andiamo avanti a spiegare tutte le operazioni, rischiando di obbligarvi a leggere un testo intero di matematica. Insistiamo sul fatto che dovete soffermarvi spesso a ragionare su quello che state facendo, anche se avete la sensazione di perdere tempo. L eccessiva meccanizzazione delle procedure vi porta a perdere il senso di quello che state facendo. Spesso serve molto di più ragionare su alcuni piccoli esercizi, fondamentali per una corretta comprensione dei concetti. Provate con quelli che seguono.

5. Miniverifica sulle frazioni

A) Quale delle due frazioni è più grande?

10

7

5

4oppure ? 5

4

10

7 sono uguali

B) La frazione 60

61 è maggiore di 1 ( 1)

oppure minore di 1 (

1 )? Prova a spiegare la risposta, solo con 5 o 6 parole.

1 1 non si può dire

C) Le seguenti frazioni sono scritte alla rinfusa: mettile in ordine, dalla più piccola alla più

grande 2

1,

30

17,

15

1,

5

4,

2

3 2

3,

30

17,

5

4,

2

1,

15

1

30

17,

15

1,

5

4,

2

3,

2

1

2

3,

5

4,

30

17,

2

1,

15

1

D) A quale numero decimale corrisponde la

frazione 5

4?

0,4 0,8 4,5

E) Le frazioni erano già conosciute dagli antichi egizi e dagli antichi cinesi.

vero falso vero, ma solo dai cinesi

31

F) In un paese montano, l 85% della popolazione supera i 60 anni. A quale frazione corrisponde?

5

8

20

17

10

85

Le spiegazioni sono in fondo, a pag. III; prima però provate a ragionare e rispondere, mettendo una crocetta in matita sulla risposta che ritenete giusta. Poi autovalutatevi, secondo questa tabella: n° errori voto 0 ottimo 1 buono 2 suff 3 insuff 4 Gravemente insuff

5 no comment

Vignetta : sistema decimale

6. L imbroglio del sistema decimale

La mia esperienza di insegnante mi ha fatto capire, sia pure con un certo ritardo, che spesso l alunno, sia che abbia o non abbia difficoltà palesi, troppo tardi arriva a capire il funzionamento del sistema decimale. Il verbo funzionare sembrerebbe usato a sproposito: eppure certi modelli che vi siete costruiti a proposito degli oggetti matematici (ognuno ha i suoi, diversi da tutti gli altri) sono meccanismi, congegni mentali che utilizzate inconsapevolmente: come tutti i congegni possono funzionare o incepparsi, invecchiare se trascurati o migliorare se vengono oleati , rinnovati, essere utilizzati spesso. Per capire e utilizzare al meglio il sistema decimale, bisogna essere consci di quello che significa. Più della metà degli alunni che ho avuto, nella mia trentennale carriera, ha scoperto in prima superiore perché l uomo usa il sistema decimale9. Molti rispondevano: «Perché è comodo». Già, ma perché è comodo? «Mah, non saprei....». La risposta è semplicissima, anche da capire: perché dieci sono le dita delle mani che abbiamo comodamente a disposizione per contare, le 5 della mano destra e le 5 della sinistra. Alcune tribù dell Africa contano ancora in base cinque ( hanno cominciato così...), altre ancora in base 20 (camminando a piedi nudi, si vedono anche le dita dei piedi, così hanno cominciato i loro antenati...). Quando ci si rende conto che si può contare anche in maniera diversa, allora meglio si capisce il sistema decimale, si comprendono i decimali, i numeri con la virgola e le benedette frazioni. Insomma , geometria a parte, si può capire gran parte degli argomenti che fanno parte dei programmi di matematica, fino alla terza media: se invece siete già arrivati al biennio delle

9 vedi Elio Motella La matematica è di tutti

32

superiori, la comprensione del funzionamento dei numeri e delle operazioni con esse, dovrebbe arrivare fino agli irrazionali10 compresi. Se ancora siete in difficoltà, dobbiamo tornare a leggere il percorso fatto dagli uomini primitivi. Niente paura, nessuna intenzione di rifare la storia a partire dall Homo Sapiens. Due cose però è giusto sottolineare: primo, ciascuno di voi costruisce, tassello dopo tassello, dentro la propria testa, quei costrutti o modelli mentali che poi vengono utilizzati nel fare matematica, con un percorso simile a quello che l umanità ha fatto nella sua storia, ovviamente con una velocità diversa; secondo, è opportuno sapere come e quando si è giunti ad utilizzare, in modo universale, il modo di contare che usiamo tutti i giorni.

Già i romani, lo sapete, usavano un sistema basato sul dieci, anche se non così evoluto come il nostro. Se mettete il vostro avambraccio destro sopra il sinistro, per formare una croce, tenendo le dita allungate, capite da dove arriva il simbolo X (dieci), mentre V (cinque) non è altro che una mano aperta stilizzata. Quel sistema, da tempo superato, è chiamato additivo: per scrivere ventisette, per esempio, i romani dovevano aggiungere a 2 volte dieci, una volta cinque e due unità, per arrivare a XXVII; al tempo di Roma, pochi eletti (e ben pagati) erano in grado di fare addizioni e moltiplicazioni. Il nostro metodo di numerazione, introdotto in Europa nel Medioevo, si basa sul fatto che dieci11 sono i simboli che usiamo per le diverse cifre, che hanno un valore a seconda della posizione (ecco perché si chiama posizionale). Quando scriviamo 27, intendiamo 2 decine e 7 unità. Procedendo nella conta, una volta arrivati a 99 ( 9 decine e 9 unità), quando scriviamo 100, intendiamo 1 centinaio (dieci decine di decine, sempre decimale è). Per indicare numeri molto grandi, usiamo le potenze del 10 (10,100, 1000......1000000): siamo perciò in grado di scrivere un numero grande quanto vogliamo (tralasciamo qui l interessante questione dell infinito). Per indicare numeri piccoli, più piccoli dell unità, possiamo pensare di dividerla in 10, 100, 1000....parti, utilizzando così quelli che chiamiamo decimali . Se parliamo di tempo, per intendere 1 secondo e 872 millesimi, scriviamo, secondo una convenzione adottata verso il diciassettesimo secolo: 1,872, che significa 1 secondo, 8 decimi, 7 centesimi e 2 millesimi. 1,2 euro, significa 1

euro e 2 decimi, si può anche scrivere 10

12: dividendo numeratore e denominatore per 2 (

semplificando così la frazione), possiamo scrivere 5

6. Quest ultima sta ad indicare la stessa quantità

di prima, sotto forma di rapporto tra due numeri più piccoli: se si esegue la divisione 6:5 ( provate, il 6 nel cinque ci sta.....), si ottiene ancora 1,2. Un discorso a parte meriterebbero le frazioni generatrici di un numero periodico, ma la trattazione è piuttosto lunga, se avete capito tutto fin qui, siete già a buon punto. Non c è bisogno di rifare tutto: bisogna entrare nel mondo della matematica ed esplorarla poco per volta, afferrando i concetti fondamentali. Se adesso cominciate a capire, a vedere quello che leggete, vuol dire che state migliorando. Ma dovete continuare a crederci. Tutto

10 vedi più avanti 11 In realtà all inizio erano 9, lo zero fu introdotto più tardi.

X Il simbolo del 10 romano proviene dal disegno di due avambracci sovrapposti, corrispondenti a 2 mani (5 + 5)

V Il dorso di una mano, stilizzato, ha dato luogo all uso del simbolo ( 5 dita)

33

questo vi aiuterà a rimanere dentro il giardino della matematica , invece di continuare a considerarla una bestia rara che siete costretti a studiare dall esterno. Per capire ancor meglio come funziona il sistema decimale, è utile imparare che si possono usare altri sistemi di calcolo, altre basi. Se l uomo avesse avuto 4 dita per mano, probabilmente sarebbe esistito un indiano, un cinese o un Fibonacci12 che avrebbe inventato un sistema in base 8, che sarebbe stato il più comodo da usare. Come funziona? Supponiamo di utilizzare solo otto simboli per rappresentare i numeri. Quelli che conoscete, tranne questi due: 8 e 9 (leggeteli girotondo e testa di donna , poi dimenticateli, provvisoriamente). Quando vi metterete a contare, per esempio i chicchi di una manciata di riso, potete procedere fino a sette (7) e scrivere 7: per dire (e intendere) otto chicchi di riso, non avendo più a disposizione il simbolo, potete dire una ottina ( una manciata da otto) e zero unità, scrivendo però 10 ( da leggere otto, oppure uno

zero); per intendere nove chicchi (una ottina e una unità) dovremo scrivere 11; 12 ( leggete 1 2) corrisponderà al vecchio dieci e così via. Il numero 77 ( 7 ottine e 7 unità, 56 + 7 = 63) corrisponderà a 63 (sessantatre). Per scrivere sessantaquattro (così si chiamava nel sistema decimale), potendo intendere 8 ottine, scrivo 80, ossia otto ottine (ottave, se preferite) e zero unità. Poi procederò come prima. Riducendo ulteriormente il numero di cifre a disposizione, si può contare in base 4. Un caso estremo? Si può contare in base 2! A questo punto ho solo due simboli a disposizione: 1 e 0. Quando inizio la conta, lo zero rimane zero, l uno rimane uno. Come farò a dire due, senza il suo simbolo? Basta intendere 1 ambo (o una duina) e 0 unità e scrivere 10; 11 sarà tre. Il quattro, corrispondente a due duine ( vi ricordate come si faceva per dieci decine) si scriverà 100.

Provate a compilare la seguente tabella: decimale binario 5 16

1010 21 129

101111 14,5 *Risposte in fondo, pag.III

Il sistema binario è scomodo perché i numeri piccoli già hanno una scrittura lunga, figuriamoci quelli grandi. Ma è la base dei calcolatori: l uno e lo zero si possono rappresentare con due soli stati fisici, corrispondenti a due stati di elettrizzazione. La miniaturizzazione ha reso possibile una facile rappresentazione di questi due stati: numeri , lettere , testi e fotografie possono corrispondere a una lunga ( per noi) ma piccola ( per la memoria di un computer), fila di bit, ciascuno dei quali è un 1 o uno 0. I bit sono riuniti in gruppi da otto, ciascuno gruppo corrisponde a un byte. Con un byte si può rappresentare una lettera , un simbolo, un numero o una sua parte.

12 Leonardo Pisano, il soprannome deriva da filius Bonaci : ha scritto Liber abaci , dove sono descritte (anche) le principali regole dell uso del sistema di numerazione. Scritto all inizio del XIII° secolo, fu un opera straordinaria per l epoca.

34

Nota: se vuoi capite cosa sono i kbyte e i megabyte, fatti un giro su internet.

7. Frazioni = razionali, radici = irrazionali

Prima di fare una capatina tra le equazioni e il calcolo letterale (quest ultimo consigliato solo a chi già frequenta le superiori), facciamo ancora un giro tra le frazioni e i numeri decimali. Non tutti sanno che c è un modo per scrivere tutte le possibili frazioni ( proprio tutte!). Sulla prima riga metto tutte quelle con numeratore 1, sulla seconda riga quelle con numeratore 2....

1

1

2

1

3

1

4

1

1

2

2

2

3

2

4

2

5

2......

1

3

2

3

3

3

4

3

4

3......

....

.....

....

Siete convinti che, con i sottintesi, ci sono proprio tutte?

( le altre le potete immaginare: si può continuare all infinito verso destra e verso il basso)

35

Molte sono equivalenti tra loro (hanno lo stesso valore), per cui sarebbero ripetute : per esempio

3

3,

2

2,

1

1... valgono tutte 1; tra di loro sono equivalenti anche ...

6

3,

4

2,

2

1

ESERCIZIO:

Con le considerazioni fatte fin qui dovresti avere ora un quadro abbastanza chiaro delle frazioni e dei numeri decimali. Si chiamano anche razionali ( dal latino ratio = ragione) tutti quei numeri che si possono scrivere sotto forma di frazione, quelli di cui abbiamo parlato fin qui. In antitesi, si chiamano irrazionali tutti quelli che non si possono metter sotto forma di frazione: ne

è un esempio la 2 . Fare la radice quadrata di un numero, corrisponde all operazione inversa rispetto all elevamento al quadrato. Prima di comprendere (o riprendere) l operazione inversa, vediamo di capire quella diretta: se scrivo 32

( si legge 2 alla terza) , intendo che devo moltiplicare 2, per sé stesso, tre volte: 2x2x2=8. L operazione è quella di potenza, il numerino in alto a destra si chiama esponente. Alcuni esempi: 10 4 = 10x10x10x10 = 10000; 7 2 = 7x7 = 49 ; 2 7 = 2x2x2x2x2x2x2 = 128 Estrarre la radice di un numero, rispetto ad un indice, significa trovare quel numero che, elevato a potenza secondo lo stesso indice, mi dà ancora il numero stesso: quindi, negli esempi precedenti: la radice quarta di 10000 è 10, la radice quadrata ( di ordine 2) di 49 è 7, la radice settima di 128 è 2. Se la radice quadrata di 49 è 7 ( perché 7 al quadrato fa 49), quanto sarà la radice quadrata di 50? Non potrà essere un numero intero ( infatti 8 al quadrato fa 64), quindi sarà un numero decimale poco più grande di 7: per trovare i decimali, ci sono 2 strade: o si utilizza un procedimento meccanico (che prevede di spostare gruppi di cifre) che forse ti hanno insegnato ma che nessuno capisce13, oppure, anche utilizzando la calcolatrice, si va per tentativi: provo ad elevare al quadrato 7,1 e scopro che è più grande di 50 (50,41) quindi vuol dire che la radice quadrata di 50 è compresa tra 7,0 e 7,1. Procedendo allo stesso modo, per trovare la cifra decimale successiva, provo ad elevare al quadrato 7,01 poi 7,02 cercando di avvicinarmi di più a 50. Scopro così che 7,08 2 è più piccolo di 50, ma 7,09 è più grande. Procedendo allo stesso modo per trovare la terza cifra decimale, scopro che qualsiasi sia il numero decimale che elevo al quadrato, non arrivo mai esattamente a 50 ( a parte gli arrotondamenti automatici eventuali che possono fare certe calcolatrici) : le cifre che costruisco man mano dopo il 7, non si ripetono secondo una legge ma

sono casuali . La più piccola e la più tipica radice su cui si può discutere è 2 , la scriviamo con nove cifre decimali: 1,414213562....Se cercassimo altre cifre decimali per avvicinarci sempre di più

al risultato, potremmo procedere all infinito. I numeri corrispondenti a 2 oppure a 50 si 13 Io stesso l ho dimenticato

Ricopia lo specchietto sul quaderno, prolungando fino all undicesima riga e all undicesima colonna. Usando evidenziatori diversi, metti assieme tutte quelle che riconosci equivalenti tra loro, oltre a quelle già dette. In questo specchietto, i numeri decimali si possono leggere quasi direttamente, tra le frazioni che hanno denominatore 10, 100, 100...e così via.

Poi ci sono quelle equivalenti: per esempio 100

75 = 0,75 e equivalente a

4

3.

36

chiamano irrazionali: essi non si possono mettere sotto forma di frazione e nemmeno sotto forma di numero decimale periodico. Pare che un affiliato della setta dei pitagorici, i seguaci di Pitagora che credevano nei numeri quasi fossero delle divinità, fu assassinato proprio perché aveva scoperto l esistenza dei numeri irrazionali, mettendo in crisi i dettami del loro credo quasi religioso. Leggenda o no, questi numeri hanno creato un certo scompiglio.

Il teorema di Pitagora ci dà un altra giustificazione dell esistenza dei numeri irrazionali. Se alcuni numeri non si possono mettere sotto forma di frazione, vuol dire anche che non sempre posso usare un segmento per misurarne un altro. In questo caso si dice che i segmenti sono incommensurabili. Esempi: supponiamo che i cateti del triangolo rettangolo a sinistra misurino 3 e 4 centimetri ,

rispettivamente: per calcolare la diagonale usiamo il teorema di Pitagora: 22 43 = 169

=

25 = 5. Tutti e tre i lati del triangolo rettangolo sono tra loro commensurabili, esiste un sottomultiplo comune , lungo un centimetro. Se invece proviamo a misurare la diagonale del quadrato di destra ( di lato 1 cm.) o , che fa lo stesso, l ipotenusa del triangolo al centro, che

corrisponde alla metà del quadrato, con il teorema di Pitagora otteniamo: 22 11 = 2 . Non riusciamo a dividere un lato in tante parti, in modo da rapportare il lato stesso alla diagonale: la misura espressa in cm. corrisponde ( in decimali) al numero 1,414213562....: in pratica il segmento (la diagonale) esiste, ma la sua misura non riusciamo a scriverla con un numero finito di cifre decimali. Si può fare anche una dimostrazione, ma a questo punto il discorso si fa difficile e troppo lungo. Questa digressione sull esistenza di numeri che non sono interi e nemmeno si possono scrivere come una frazione (quindi neppure come decimale finito) serve per capire l esistenza di altri

numeri, come possono essere 2 , 3 , 10 , che conviene scrivere proprio così, come un operazione (l estrazione di radice quadrata ) da cui derivano. Mettendo assieme i numeri razionali e quelli irrazionali, il raggruppamento ottenuto è stato chiamato . Fin qui, abbiamo parlato solo dei numeri reali positivi o, in altre parole, maggiori di zero. I loro opposti, con il segno

davanti, si chiamano

8. Il segno meno e i numeri negativi

Quante volte vi siete fatti stressare da un segno meno davanti a un numero, davanti a una o più parentesi ? Se è capitato, inutilmente vi siete fatti venire le paturnie, solo per non esservi mai soffermati su qualche semplice ragionamento. Intanto, l uso dei numeri negativi diventa utile, se non necessario, quando contiamo all indietro. Se, partendo da un traguardo qualsiasi, fate 4 passi avanti e 5 indietro, qual è la vostra posizione finale ? Supponendo che ogni passo sia lungo un metro, vi troverete a un passo indietro rispetto al traguardo: è comodo dire che vi trovate a 1. Analogamente, nei parcheggi multipiano, ci sono piani scavati sottoterra che vengono chiamati 2, -3 ecc. L esempio dei gradi di temperatura sotto zero è addirittura scontato: a proposito, lo sapevate che in alcune città della Siberia la temperatura può arrivare a

40 gradi centigradi? Lo sapevate che

37

la temperatura minima raggiungibile è di 273,14 ? Come mai ? Più un corpo è caldo (ad esempio un gas) e più gli atomi che lo costituiscono si agitano: quando si raggiunge la quiete assoluta, al di sotto non si può andare; questo limite è chiamato zero assoluto . Tornando all uso del segno meno in matematica (in fisica e in scienze in generale), esso può indicare una sottrazione, ma anche l esistenza dei numeri negativi (forse sta proprio qui una confusione che spesso si genera negli studenti). La scrittura 6-10 = - 4 va letta così: se da +6, sottraggo 10, ottengo

4: quest ultimo è un numero, che appartiene all insieme dei numeri relativi

negativi. Dapprima ipotizziamo l esistenza dei numeri naturali (quelli che usiamo alle elementari per contare), poi di quelli razionali ( vedi parte precedente), poi di quelli irrazionali. Il segno meno ci fa ipotizzare l esistenza14 dei numeri negativi: così possiamo pensare al 7 , appartenente ai

numeri interi negativi, con una sua identità e personalità , al -5

4 ( equivalente a 0,8) appartenente

all insieme dei numeri razionali negativi, a - 2 facente parte dei numeri irrazionali negativi. Sta qui la capacità di lavorare con l immaginazione: dovete accettare di costruire immagini e

modelli mentali personalizzati, per esempio della 2 , per esempio dell insieme dei numeri interi negativi ecc. Non ho usato a caso il verbo accettare : accettare l esistenza (sia pure virtuale) dei numeri negativi, vuol dire farsene una ragione (dopo la loro invenzione, l umanità ha impiegato secoli per farsene una ragione, per accettarli definitivamente); devi far lavorare alcuni dei gesti mentali più importanti (vedi parte 2), lasciandoti accompagnare, anche per pochi secondi, nel giardino della matematica . Un modello facile da assimilare, in questo caso, è quello della retta,

sulla quale penso un punto, corrispondente allo zero: a destra di esso, i numeri interi positivi, ciascuno corrispondente a un punto, a sinistra quelli negativi. Rispetto allo 0, il punto corrispondente al numero -17,5 sta, rispetto allo 0, simmetricamente dalla parte opposta rispetto a +17,5; -

sta dalla parte opposta di + , alla stessa distanza, rispetto allo 0. Un altro problema oggetto di confusione: il segno + o

davanti ad un altro segno ( separati da una parentesi). La cosiddetta regola dei segni si può imparare e anche giustificare così: dati due segni di fila, quattro sono i casi che si possono presentare:

+ (+) = + l aggiunta ( il primo +) di un guadagno ( il secondo +) è = a un guadagno + (-) = - l aggiunta (il +) di una spesa ( il -) è = a una spesa, una perdita - (+) = - la perdita di un guadagno equivale a una spesa - (-) = + la perdita (il primo -) di una spesa ( il secondo -) è come lo sconto di una tassa, equivale ad un guadagno.

Possiamo quindi pensare tutti i numeri di cui abbiamo parlato sin qui, chiamati reali (simbolo R) , sistemati su di una retta, a ciascun punto corrisponde un numero: a sinistra dello 0 stanno i negativi, a destra i positivi. Non c è numero a cui non possa corrispondere un punto, non c è punto a cui non possa corrispondere un numero.

-2 -1 0 +1 +2 +3

-2,6 - 2 +2

1 +

10

22 +

3

10

14 In realtà i numeri non esistono da nessuna parte, li abbiamo inventati noi, nella nostra testa, abbinando dei simboli, per studiare e controllare meglio i fenomeni ( quasi tutti) che comportano calcoli.

38

ESERCIZIO 23

Adesso prova tu: -1 0 +1

Sistema (con buona approssimazione) i seguenti numeri o frazioni sulla retta: (risultati a pagina III)

2

3 ;

4

5 ; 0,75 ; -

8

7 ; -0,05 ; -

10

19 ; +

8

7 ; + 3

9. Un cenno alle equazioni

Il calcolo letterale, per molti studenti, ha un aria troppo astratta perché uno se ne faccia una ragione: troppo spesso ci si chiede «perché lo devo imparare ? a cosa mi serve ? », troppe volte ci si trova costretti ad imparare a memoria senza capire. Cominciamo a spendere qualche parola per le equazioni, che tutto sommato di solito non incontrano tanta avversione da parte degli studenti: altre volte si fa di tutta l erba un fascio, per cui sembra che anche le regole per risolvere le equazioni facciano parte del calcolo letterale. In realtà c è una parte di vero: le regole spesso si rifanno a quelle del calcolo letterale: quando le equazioni non sono esse stesse letterali (es. aabaax ), spesso si applicano le stesse regole alle operazioni che coinvolgono l incognita (es:

xx 14)1(2 ). Il rigore maniacale di alcuni matematici, trasmesso agli insegnanti di matematica, la cui ragione sarebbe quella di evitare confusioni, ha fatto invece generare molte confusioni nelle teste degli alunni. Il rigore, la precisione e la completezza delle definizioni sono valide, ma solo dopo il biennio della scuola superiore. Solo allora si è abbastanza maturi per procedere nell astratto, prescindendo da riferimenti concreti; se gli argomenti fatti in precedenza sono stati sufficientemente assimilati, viene spontaneo allo studente interpretare nuove concezioni matematiche in forma astratta, prescindendo da quelli che sono i riferimenti concreti o le necessarie approssimazioni che si fanno (si devono fare , ma molti insegnanti non se ne preoccupano) prima dei 16 anni. Definizione : «Un equazione è una uguaglianza tra due espressioni che contengono una o più incognite: risolvere un equazione significa trovare il valore dell incognita (o delle incognite, se sono due o più) ». Le equazioni sono importanti procedimenti di calcolo perché servono per risolvere agevolmente molti problemi. Si pensi che le previsioni del tempo, che oggi sono spesso precise se si riferiscono a scadenza breve, si fanno inserendo dati nei computer ed elaborandoli con equazioni (naturalmente non si tratta di equazioni di 1° grado, ma di equazioni complicate chiamate differenziali). Per capire il loro funzionamento e costruirsi un modello valido di equazione conviene partire da un esempio: quale valore della x rende vera l uguaglianza 85x ? Fate mente locale....qualche tentativo...prima di continuare a leggere!

Non ci vuole molto per scoprire che x deve valere 13; in altre parole, la domanda sarebbe: da quale numero debbo sottrarre 5 per ottenere 8 ? Orbene, il ragionamenti che portano a capire tutte le regole sulle equazioni, si possono far derivare da questo semplice esempio.

39

Un altro esempio. 10-x =11. Procedete pure per tentativi, dal momento che provando a mettere al posto della x un numero positivo, mi allontano sempre più da 11, scoprite presto che x = -1, perché 10

(-1) = 11. Un terzo esempio più difficile?

732x Se non riuscite per tentativi, potete ragionare così: sottrarre 3 a sinistra è come aggiungerlo a destra,

la stessa equazione può essere scritta così ( si dice anche che la seconda equazione è equivalente alla prima): 372x ; quindi se 2x vale 10, ne segue che x = 5. Ovviamente diverso sarà risolvere

per esempio l equazione xx 534

1

2

3. Per farlo, bisogna imparare le regole da applicare, che

sono sostanzialmente due, che si comprendono con ragionamenti del tutto abbordabili. Ora però non proseguo nella spiegazione, così come è capitato e capiterà ancora, altrimenti scriverei (l ho già detto) un libro di testo. Come avrete notato, quando si comincia a trattare con le equazioni, utilizzando le x e magari anche le y, si usano anche le lettere. Fin qui non si può ancora parlare di calcolo letterale: ne riparleremo più avanti.

Parte e Una parentesi quasi......romantica

1. Il giardino della matematica

40

Una parentesi quasi romantica. Si tratta di una mia personale fissazione, che può dare una spinta in più a togliersi di dosso troppe remore nel fare matematica. Fino ai 16 anni, bisogna educare alla matematica, non trasmetterla : questo significa riuscire a portare l alunno dentro una sorta di sito, di giardino, di regno, della matematica appunto. E quello che sto cercando di fare io stesso in questo percorso: ovviamente, quello che mi manca è il contatto diretto con chi mi ascolta, mi manca il cosiddetto feed back. E un idea che dovrei suggerire ai docenti, più che ai discenti: ma se i primi saranno refrattari a questo tipo di discorso, oppure non l avranno colto, allora sono libero di invitare l alunno a comportarsi in un certo modo, indipendentemente dal professore che si trovano. Anche i docenti spesso non si accorgono, in buona fede, degli errori didattici che commettono. Per giustizia devo dire che alcuni errori sono presunti tali: quelli che per me possono essere errori, per altri possono essere decisioni o abitudini corrette e sensate, e viceversa. Come ho già ho avuto occasione di dire, il giudizio finale, cari studenti, è ancora in mano vostra. Premesso che, come ha detto lo stesso Einstein, l immaginazione ha una parte molto importante nell apprendimento, anche della matematica, si tratta in sostanza di non subire mai l insegnamento, ma di rendere attivo l apprendimento. Mi spiego meglio: l atteggiamento con cui vi ponete di fronte a una lezione, ad un esercizio da svolgere, ad un problema da risolvere, a una pagina del testo da leggere, può essere diverso da studente a studente, può variare con il vostro umore, può cambiare (caspita se cambia!) a seconda dell insegnante che avete di fronte. Qual è il vostro atteggiamento? Attesa, partecipazione, presenza attiva, presenza passiva, indifferenza, sopportazione, rifiuto? Il vostro comportamento è mutevole nell ambito di queste e altre possibilità? Ebbene, vengo al dunque: non mettetevi mai nelle condizioni di subire qualsiasi insegnamento di matematica, qualsiasi problema che vi impegna per trovare la soluzione; ponetevi nelle condizioni mentali di entrare nel giardino della matematica e cercare di scoprire quella parte, quell argomento, quella soluzione del problema che vi si sta proponendo, eventualmente dando un occhiata al contorno (ad esempio a qualche tassello che vi manca, come spiegato in precedenza). Sbagliato è subire: la matematica non è una serie di nozioni che qualcuno o qualcosa vi devono far entrare in testa, siete voi che dovete scoprirla man mano, poco per volta. Il professore spiega troppo velocemente? Niente paura! L ultima volta che siete corsi dietro a qualcuno senza riuscire a raggiungerlo, l avete pur ritrovato qualche giorno dopo. Fate una cosa del genere: quello che non siete riusciti a capire o a capire in tempo, cercate di recuperarlo in tempi brevi (una settimana) facendovi aiutare da un compagno o dall insegnante, ma scopritelo anche da soli. L immagine del giardino, da scoprire e da percorrere, non è casuale; serve anche a cercare di convincervi che, quando siete riusciti a capire determinati argomenti, ci sono anche delle soddisfazioni. Se vi arrendete tropo presto e lasciate perdere per troppo tempo, recuperare diventa sempre più difficile. E poi, signori miei, lasciatevelo dire: senza fatica, senza un po di sofferenza, non si ottengono successi! Un atteggiamento molto diffuso tra i ragazzi della scuola media e della scuola superiore, è quello di farsi giustizia da soli . Quando l insegnante, per qualche motivo, «mi sta antipatico» o «non mi

capisce» o «spiega male» o «mi ha tratta ingiustamente», mi faccio giustizia da solo. Come ? Rifiutando, snobbando ecc.....una stupida ripicca. Se sei da solo a farlo, o siete in pochi, l insegnante, ammesso che abbia dei torti, continuerà per la sua strada, finché ci saranno quei pochi che ottengono buoni risultati. Se non ti sei applicato, o almeno non hai fatto il minimo per riuscire, ti metti subito dalla parte del torto. Le decisioni che possono mettere in difficoltà il professore lavativo o incapace sono quelle che vengono prese dal consiglio di classe, o dalla classe unita, compresi quelli considerati bravi in matematica . L ideale perciò è saper controllare la materia (almeno in parte) e le tue decisioni. Insisto perché almeno ci provi: ad immaginare di entrare nel giardino della matematica ; non saranno tutte rose e fiori, ci saranno anche sentieri scoscesi, cancelli difficili da aprire, ma devi tentare di entrarci, di fare il matematico , mettendo gli occhiali giusti, quelli del matematico s intende.

MATEMLANDIA

2. Provaci !Matemlandia: terra in cui si può entrare mettendo gli occhiali del matematico (o salire sul monopattino matematico): non è pericolosa, si può esplorare senza forzature, costruendosi immagini e modelli mentali corretti della matematica.Quando l isempre grossi ostacoli: è più facile far entrare i cervelli nel mondo della matematica.

MATEMLANDIA

Provaci !

Matemlandia: terra in cui si può entrare mettendo gli occhiali del matematico (o salire sul monopattino matematico): non è pericolosa, si può esplorare senza forzature, costruendosi immagini e modelli mentali corretti della matematica.Quando l insegnante cerca di far entrare la matematica nel cervello degli alunni, trova sempre grossi ostacoli: è più facile far entrare i cervelli nel mondo della matematica.

mathgarden

Matemlandia: terra in cui si può entrare mettendo gli occhiali del matematico (o salire sul monopattino matematico): non è pericolosa, si può esplorare senza forzature, costruendosi immagini e modelli mentali corretti della matematica.

nsegnante cerca di far entrare la matematica nel cervello degli alunni, trova sempre grossi ostacoli: è più facile far entrare i cervelli nel mondo della matematica.

mathgarden

Matemlandia: terra in cui si può entrare mettendo gli occhiali del matematico (o salire sul monopattino matematico): non è pericolosa, si può esplorare senza forzature, costruendosi immagini e modelli mentali corretti della matematica.

nsegnante cerca di far entrare la matematica nel cervello degli alunni, trova sempre grossi ostacoli: è più facile far entrare i cervelli nel mondo della matematica.

41

Matemlandia: terra in cui si può entrare mettendo gli occhiali del matematico (o salire sul monopattino matematico): non è pericolosa, si può esplorare senza forzature, costruendosi immagini e modelli mentali corretti della matematica.

nsegnante cerca di far entrare la matematica nel cervello degli alunni, trova sempre grossi ostacoli: è più facile far entrare i cervelli nel mondo della matematica.

Matemlandia: terra in cui si può entrare mettendo gli occhiali del matematico (o salire sul monopattino matematico): non è pericolosa, si può esplorare senza forzature, costruendosi

nsegnante cerca di far entrare la matematica nel cervello degli alunni, trova sempre grossi ostacoli: è più facile far entrare i cervelli nel mondo della matematica.

Matemlandia: terra in cui si può entrare mettendo gli occhiali del matematico (o salire sul monopattino matematico): non è pericolosa, si può esplorare senza forzature, costruendosi

nsegnante cerca di far entrare la matematica nel cervello degli alunni, trova sempre grossi ostacoli: è più facile far entrare i cervelli nel mondo della matematica.

Matemlandia: terra in cui si può entrare mettendo gli occhiali del matematico (o salire sul monopattino matematico): non è pericolosa, si può esplorare senza forzature, costruendosi

nsegnante cerca di far entrare la matematica nel cervello degli alunni, trova sempre grossi ostacoli: è più facile far entrare i cervelli nel mondo della matematica.

Matemlandia: terra in cui si può entrare mettendo gli occhiali del matematico (o salire sul monopattino matematico): non è pericolosa, si può esplorare senza forzature, costruendosi

nsegnante cerca di far entrare la matematica nel cervello degli alunni, trova sempre grossi ostacoli: è più facile far entrare i cervelli nel mondo della matematica.

42

Se l insegnante non riesce a farlo, provaci da solo nei momenti in cui questo ti è possibile: comportati da matematico, non da studente della matematica; assumi un atteggiamento attivo, non un comportamento passivo. Accetta la matematica come un mondo da esplorare, non come una minestra da inghiottire per forza; fai lavorare l immaginazione, la curiosità, la voglia di arrivare prima degli altri