POLITECNICO DI BARI

Parametri primari delle linee elettriche di trasporto dellenergia

1. Le linee elettriche aeree1.1 Tipi di linee

Con il termine linea elettrica si definisce un sistema elettrico avente lo scopo di collegare tra loro due sezioni di una rete elettrica, trasferendo la potenza dal punto di origine a quello di arrivo.

La linea pu funzionare nei due sensi e quindi il punto di alimentazione pu essere posto a una qualsiasi delle estremit.

Caratteristiche principali di una linea elettrica sono:

il numero di conduttori;

il sistema di isolamento fra conduttore attivo e conduttore attivo;

il sistema di isolamento fra conduttore attivo e la massa;

il tipo di posa.

Le linee elettriche servono quindi alla trasmissione e alla distribuzione dellenergia elettrica. Si dividono in due grandi classi:

linee aeree;

linee in cavo.

Le linee aeree sono costituite da conduttori nudi (non isolati), posati in aria e fissati su sostegni di vario tipo (pali, mensole, ecc.) con lintermediario di elementi isolanti (isolatori); lisolamento fra i conduttori assicurato dallaria, lisolamento fra i conduttori e la terra assicurato dagli isolatori.

Le linee in cavo, invece, impiegano cavi elettrici con conduttori isolati fra loro e verso massa mediante appositi materiali isolanti (gomma, carta impregnata, olio, ecc.) e posati in vario modo (canaline, tubazioni, ecc.).

1.2 Tipi di conduttori nelle linee aeree

Sono riportati in seguito dati sulle caratteristiche dei conduttori nudi unificati o di notevole impiego:

fili cilindrici di rame, lega di rame, alluminio, lega di alluminio, acciaio zincato, acciaio rivestito di rame;

corde piene o spiroidali monometalliche, formate da fili cilindrici di egual diametro degli stessi materiali sopraelencati;

corde piene spiroidali bimetalliche formate da unanima di filo (o corda composta da fili di acciaio zincato) e da un mantello ad uno o pi strati formato da fili di alluminio o lega di alluminio per conduttori.

FIGURA 1.2

Per corde spiroidali si intende il conduttore formato da 3 e pi fili cilindrici disposti in uno o pi strati concentrici.

Di seguito si fa riferimento ai conduttori nudi impiegati nelle linee aeree:

1) conduttori di rame e di leghe di rame;2) conduttori di acciaio rivestiti di rame;3) conduttori omogenei, bimetallici e speciali di alluminio e sue leghe;

1.2a Conduttori di rame e di leghe di rame (tipo HH Siemens, Anaconda, ecc.)Si accenna a tali conduttori per le applicazioni avute in Italia e nel resto nel mondo. Tuttavia, il costo attuale del rame, e le possibilit offerte dai conduttori tipo alluminio (alluminio-acciaio, lega di alluminio, eventualmente di tipo ingrossato) in Italia ed Europa, hanno annullato limpiego di tali conduttori. Luso di essi deriv dalla necessit per elevatissime tensioni di avere un diametro notevole del conduttore (ad evitare le perdite per effetto corona), pur volendosi in certi casi mantenere una sezione conduttiva limitata.

I due tipi affermatisi di conduttori tubolari sono:

il conduttore settorale HH presenta in confronto agli altri la possibilit di un maggiore diametro per una data sezione. Esso formato da segmenti circolari tra loro collegati a cerniera e montati a spirale. Viene prodotto nelle lunghezze notevoli richieste per le linee di trasmissione e presenta una certa flessibilit dovuta alla possibilit dei segmenti di scorrimento longitudinale. Presenta, per la sua superficie liscia e per gli incastri a spigoli arrotondati, basse perdite per effetto corona. Il suo costo piuttosto elevato in quanto la costruzione affidata a macchinari specialissimi.

FIGURA 1.2a

il tipo Anaconda formato da un mantello a semplice, o doppio strato di fili tondi di rame cordati ad elica sopra unarmatura interna fissata da un nastro con sezione a doppio T avvolta a spirale (ovvero su di unarmatura a spirale di filo tondo di bronzo o sagomato, o in modi diversi in altri tipi).1.2b Conduttori di acciaio rivestiti di rame (fili di Copperweld, Staku, Cu-Fer, ecc.)Si tratta di fili o corde formate da fili bimetallici costituiti da unanima in acciaio ad alta resistenza, con uno strato protettivo esterno di rame: la preparazione dei lingotti bimetallici di partenza e la lavorazione sono condotte in modo da determinare una notevole ancoratura del rame sullacciaio. A secondo del tipo di lavorazione eseguito si attribuisce il nome al conduttore. Nel procedimento pi impiegato (Copperweld) si centra una billetta dacciaio in una forma cilindrica di grafite, e nello spazio anulare tra la billetta (mantenuta a conveniente temperatura) e linterno della forma si cola rame fuso. Il lingotto copperweld viene poi trasformato in vergella con laminazione a caldo e quindi trafilato a freddo sino al diametro del filo desiderato.

Secondo altri procedimenti si forma la vergella laminando a temperatura opportuna tubi di rame su billette cilindriche di acciaio (Staku) ovvero si effettua il deposito di rame per immersione del lingotto di acciaio (o anche per galvanostegia) sempre per procedendo poi a trafilatura sino ad ottenere il diametro voluto di filo e rendendo lo strato di rame non poroso.

Con riferimento ai conduttori Copperweld si trovano sul mercato essenzialmente due tipi di conduttore ad alta resistenza meccanica caratterizzati dalla loro conducibilit elettrica 30 e 40%, ed un tipo ad altissima resistenza meccanica di conducibilit 30%.Lespressione conducibilit 30 o 40% vuol dire conducibilit uguale al 30 o 40% di quella di un conduttore di tutto rame ricotto avente la stessa sezione di filo acciaio-rame.

I fili di acciaio rivestiti di rame presentano un carico di rottura che varia da 75 a 125 ; la caratteristica di essi quindi una grande resistenza meccanica (da due a due volte e mezzo quella di un filo di egual diametro di rame trafilato) con una conducibilit che il 30(40% di quella del filo di rame, e rispetto ad un filo di acciaio di egual diametro si ha una resistenza meccanica di poco inferiore ed una conducibilit circa tripla. Alle alte frequenze, a causa delleffetto pellicolare la conducibilit dielettrica poco diversa da quella dei fili di rame dello stesso diametro.In italia tali conduttori hanno sinora applicazioni notevoli nei fili telefonici, in sostituzione di quelli di acciaio e di quelli di bronzo (rispetto a questi ultimi anche per la minor facilit di furti) ed in alcune linee di trasporto di energia nei trefoli di guardia (per avere una corda di guardia di maggiore conducibilit, maggior resistenza alla corrosione rispetto alla corda normale di acciaio zincato).

Limpiego di fili rivestiti di rame pure preconizzato per linee rurali, specie di montagna, linee speciali con campate molto lunghe e particolari grande campate di attraversamento.

I fili copperweld trovano pure un conveniente impiego nei tiranti metallici (per la maggior protezione contro la corrosione rispetto ai fili di acciaio) e per le messe a terra, sia per i conduttori di collegamenti, sia per i dispersori, sia per conduttori di contrappeso che per reti da sotterrare.

1.2c Conduttori omogenei, bimetallici e speciali di alluminio e sue leghe

Rispetto al rame (metallo conduttore tradizionale), lalluminio ha una conducibili pari al 61% ed una densit poco pi di 1/3 (2,7 contro 8,9); cio a pari resistenza elettrica il conduttore di alluminio pesa la met circa del conduttore di rame. Se ne deduce che il conduttore di alluminio diventa economicamente conveniente quando il suo prezzo per unit di peso inferiore al doppio di quello del conduttore di rame e negli ultimi anni il costo al kilogrammo del rame molto maggiore dellalluminio. Si vede allora la grande convenienza economica dei conduttori tipo alluminio convenienza che sussiste anche quando si consideri il lieve aumento di costo per tener conto dellanima in acciaio (conduttori in alluminio-acciaio) e della leggermente maggiore resistivit della lega (conduttori in lega di alluminio). Tecnicamente i conduttori tipo alluminio non sono inferiori ai conduttori di rame, per quasi tutte le applicazioni di metallo tradizionale. I conduttori di alluminio puro, a pari conducibilit dei conduttori di rame, hanno resistenza alla trazione inferiore (circa il 77%), e sono quindi poco indicati per linee aeree esterne e piccole campate, o per sezioni piuttosto grandi. Hanno perci notevole impiego nelle linee interne degli stabilimenti e complessi industriali, nelle sottostazioni elettriche e nei conduttori di collegamento. Per linee di distribuzione e per media tensione, assai spesso di piccola sezione e con campate variabili (talvolta assai lunghe), sono preferiti sia i conduttori omogenei di lega alluminio (Aldrey 14) che a parit di conducibilit con i conduttori di rame hanno una resistenza alla trazione del 55% maggiore, che i conduttori alluminio-acciaio di solito nella formazione (6+1) fili.In Italia godono per preferenza i conduttori omogenei in confronto ai bimetallici, anche per la maggior facilit di esecuzione dei giunti, delle derivazioni e dei collegamenti. I conduttori alluminio-acciaio sono impiegati per la quasi totalit nelle linee di trasporto e di interconnessione; limitatamente alle tensioni oltre i 100kV si utilizzano corde bimetalliche alluminio-acciaio. Queste sono composte da unanima in corda di acciaio, avente essenzialmente funzione di resistenza meccanica, e da un mantello esterno costituito da pi strati di trefoli di alluminio isolati fra loro, avvolti a spirale su tale supporto e svolgenti la funzione elettrica.

FIGURA 1.2cI conduttori bimetallici in lega di alluminio-acciaio permettono, a parit di rapporto fra le sezioni di alluminio e quelle di acciaio, di ottenere una resistenza alla rottura per trazione dal 32 al 40% superiore; sono soprattutto utilizzati per grandi attraversamenti o dove si vuole che il conduttore abbia una riserva di resistenza meccanica di sicurezza, in caso di sovraccarichi eccezionali di neve o ghiaccio.Se tecnicamente i conduttori di tipo alluminio non sono inferiori a quelli di rame, in zone soggette a fumi solforosi o nelle zone dei soffioni boraciferi di Larderello il rame si corrode rapidamente, convengono, quindi, conduttori di alluminio puro o in lega di alluminio ad evitare corrosione dellanima di acciaio dei conduttori bimetallici. Questi ultimi possono essere portati a sopportare regolare servizio senza difficolt anche in atmosfere aggressive (fumi industriali, umidit salina ed elevata temperatura) e ci mediante opportuna ingrassatura eseguita in fabbricazione dellanima di acciaio, e se necessario anche del mantello di alluminio.In italia i conduttori di alluminio sono stati poco impiegati per le linee di distribuzione a media e bassa tensione con molte derivazioni, per la maggior difficolt rispetto al rame dei morsetti di derivazione e dei raccordi.Per le piccole linee, ai prezzi attuali di rame e alluminio, si ha per questultimo sempre una notevole economia.

Per le linee ad altissima tensione il diametro dei conduttori viene scelto in relazione alla perdite per effetto corona. Pi che il valore assoluto di dette perdite interessa linizio degli effluvi ed i disturbi che possono essere dati (qualora la linea attraversi zone ricche di abitazioni) agli apparecchi riceventi radio e televisivi (in particolare per le trasmissioni radio ad onde medie, assai meno sensibili i disturbi sulle onde corte). Si ricorre per tanto in questi casi a conduttori ingrossati, ovvero conduttori di alluminio acciaio dilatati. Tali conduttori devono avere le seguenti caratteristiche:

comportarsi meccanicamente in modo non diverso dai conduttori pieni che devono sostituire, anche in clima difficile;

avere una durata di servizio non diversa dai conduttori pieni che sostituiscono; avere un costo inferiore al conduttore pieno, per compensare le maggiori perdite (per la minor sezione conduttiva e la maggior caduta di tensione) e giustificare la convenienza dimpiego del conduttore ingrossato;

presentare facilit di messa in opera e buona adattabilit alla morsettiera occorrente.

Tempo fa si avuto un certo impiego dei conduttori di rame con mantello tubolare del tipo Anaconda; ma i conduttori cavi di rame sono stati detronizzati dai conduttori in alluminio-acciaio in relazione ai loro prezzi relativi.Per i conduttori alluminio-acciaio, numerosi tentativi di eseguire conduttori cavi non hanno avuto notevole risultato, ritenendo preferibile adottare una soluzione compatta senza cavit evitando spazi vuoti in cui possa stagnare acqua o condensarsi umidit atmosferica o salsedine che pu compromettere lintegrit dellanima in acciaio alla quale affidata, in gran parte, la resistenza meccanica del conduttore.

La soluzione Alcoa di cordare sullanima di acciaio degli spaghi di carta (o di juta) impregnati con oli adatti, con intercalato qualche filo di alluminio per occupare spazio e dare conveniente supporto radiale agli strati esterni del mantello di fili di alluminio.

La convenienza dimpiego di un conduttore ingrossato, essendo questo a parit di peso per ovvie ragioni, pi costoso di un conduttore di tipo normale, pu essere limitata, o giustificata da ragioni particolari. I conduttori, a qualunque tipo appartengano, vengono forniti dalle trafilerie in rotoli o matasse quando sono di piccole sezioni; avvolti su bobine quando sono di sezione maggiore.

Per ragioni pratiche di trasporto non mai possibile eccedere un certo peso e quindi una determinata lunghezza di conduttori o, come si dice, pezzatura.

Come conseguenza necessario giuntare le varie pezzature per formare la lunghezza desiderata e tale giunzione deve assicurare oltre che la continuit elettrica anche la necessaria resistenza meccanica.

1.3 Rappresentazione a quadripolo della linea elettrica

Si pu rappresentare una linea elettrica come un quadripolo, alimentato da un lato e collegato al carico (o nodo di carico) dal lato di uscita.

FIGURA 1.3aNel caso di trasferimento di potenza in corrente alternata, ed rappresentano i valori complessi della tensione di fase ; per linee trifasi il circuito equivalente di fig. 1.3 relativo ad una fase.Dalla partenza allarrivo della linea i verifica una variazione di tensione sulla linea, col risultato di avere .

Tale variazione di tensione dovuta a diversi fattori:

una resistenza di linea che, attraversata dalla corrente , comporta una caduta di tensione , in fase con la corrente;

una reattanza induttiva di linea che, attraversata dalla corrente , comporta una caduta di tensione , in anticipo di 90 rispetto alla corrente.

Nel caso di linee in corrente continua, essendo , si ha e ; leffetto dellinduttanza in tal caso nullo.

I parametri e sono detti parametri longitudinali o serie.

FIGURA 1.3bLa variazione totale di tensione da monte a valle data da:

Anche per le correnti e si verifica una variazione di corrente dalla partenza allarrivo, imputabile a due cause: una suscettanza capacitiva che, sottoposta alla tensione , determina una corrente derivata , in anticipo di 90 rispetto alla tensione;

una conduttanza che, sottoposta alla tensione , attraversata dalla corrente derivata in fase con la tensione.

Nel caso di linee in corrente continua, essendo , si ha e ; leffetto della suscettanza in tal caso nullo.

I parametri e sono detti parametri trasversali o derivati o ancora parametri parallelo.

FIGURA 1.3cLa corrente derivata totale data da:

1.4 Schemi alla sequenza diretta, inversa e omopolareCiascun componente statico, come la linea elettrica, di una rete trifase di produzione, trasmissione e distribuzione di energia elettrica pu essere rappresentato mediante un quadripolo trifase a due porte, come mostrato in figura:

FIGURA 1.4Si osservano 3 tensioni in ingresso (differenze di potenziale tra ciascun conduttore di fase in ingresso ed il riferimento), 3 tensioni in uscita (differenze di potenziale tra ciascun conduttore di fase in uscita ed il riferimento), 1 tensione VPR-QR pari alla differenza di potenziale tra le terre locali RP ed RQ, 3 correnti in ingresso e 3 correnti in uscita. La corrente nel quarto conduttore invece una corrente di ritorno pari alla somma delle correnti nei tre conduttori di fase. Si individuano in totale 6 correnti indipendenti e 7 tensioni indipendenti. In realt, per identificare il componente bastano solo 6 tensioni, in quanto la differenza di potenziale VPR VQR su grandi distanze non di alcuna importanza. Infatti, per una linea elettrica, interessano solo le differenze di potenziale tra ciascun conduttore di fase e la terra assunta localmente come riferimento.

In condizioni di regime sinusoidale, la trasformazione che permette il passaggio dai vettori dello stato alluscita ai vettori dello stato allingresso :

dove VP, IP, VQ, IQ sono vettori colonna a 3 righe delle grandezze di fase nei punti P e Q, mentre A, B, C e D sono matrici complesse quadrate del 3 ordine e sono dette matrici di trasduzione. In particolare, A e D sono matrici di numeri puri, mentre B una matrice di impedenze e C di ammettenze.

Si pu facilmente dimostrare che condizione necessaria e sufficiente affinch ad un regime simmetrico (compreso lomopolare) nelle tensioni e nelle correnti in Q corrisponda un regime simmetrico dello stesso tipo in P, che le matrici A, B, C e D siano a simmetria ciclica. Ad esempio la matrice A ha la seguente struttura:

Questa propriet traduce sul modello matematico la condizione fisica che ciascun componente della rete sia costruito simmetricamente nelle tre fasi.

In realt, i componenti passivi di una rete elettrica di potenza che siano simmetricamente costruiti nelle tre fasi, soddisfano, eccezion fatta per i trasformatori a rapporto complesso, alla condizione pi restrittiva di possedere le matrici A,B,C e D a simmetria totale. Quindi la struttura della matrice A diviene:

essendo

Se il regime in Q caratterizzato da terne di tensioni e correnti simmetriche, si ricava, esplicitando le relazioni del quadripolo, che:

Dalla prima equazione risulta:

Considerando che e si ottiene:

cio:

e poich si ha che , e quindi:

cio:

In modo del tutto analogo si ricava:

Le equazioni:

sono dette equazioni di trasduzione di un quadripolo monofase equivalente e rappresentano una delle fasi del componente trifase originario, tenuto conto dellinfluenza delle altre due fasi.

Per le fasi b e c si ottengono relazioni identiche, cambiando il pedice che individua la fase. Ad esempio:

E, ricordando che e , si ottiene:

In definitiva, una volta ottenute le grandezze in P relative alla fase a, quelle relative alle fasi b e c possono essere ottenute direttamente da quelle della fase a, per lappartenenza delle tensioni e delle correnti in P a terne simmetriche (moltiplicando quindi per ( ed (2) . Si pu quindi osservare che, in condizioni di funzionamento a regime sinusoidale e di simmetria delle grandezze elettriche di fase, lanalisi di un componente costruttivamente simmetrico pu essere condotta riferendosi ad un solo schema monofase equivalente. Si conclude che la rete nel suo complesso, costituita di componenti che singolarmente soddisfano alla condizione di simmetria costruttiva, pu essere studiata su una base monofase (e non trifase). Una tale condizione verificata quando la rete in esercizio normale, o quando sia affetta da un guasto simmetrico rispetto alle tre fasi, come nel caso di corto circuito trifase simmetrico.

La riduzione ad una rete monofase equivalente non pi possibile, invece, allorch intervenga nella rete una causa dissimmetrizzante. Il comportamento di ciascun componente, in tal caso, non pi descrivibile con un solo schema monofase equivalente ed occorrono invece, in generale, tre schemi monofasi equivalenti diversi, uno per ogni fase, caratteristici del componente considerato e della particolare condizione dissimmetrica di esercizio. La stretta dipendenza di tali schemi equivalenti dalla condizione di esercizio nullifica lutilit della loro introduzione. In questi casi si va allora alla ricerca di trasformazioni di coordinate da applicare al sistema delle tensioni ed al sistema delle correnti di fase tali che, nel nuovo riferimento, il modello di un componente sia scomponibile in 3 schemi disaccoppiati, uno alla sequenza diretta, uno alla sequenza inversa, ed uno alla sequenza omopolare, non collegati galvanicamente, n accoppiati elettromagneticamente tra loro in nessun punto, tranne che in corrispondenza del componente che sia costruttivamente non simmetrico.

Essendo inoltre, la linea un componente statico, gli schemi alla sequenza diretta ed inversa sono uguali tra loro, mentre diversa la rappresentazione della rete alla sequenza omopolare.

2. Determinazione delle costanti fondamentale delle linee elettriche aeree2.1 Parametri primari delle linee elettriche

I parametri primari delle linee elettriche che permettono di avere un equivalente di una conduttura elettrica di trasporto dellenergia, riferiti allunit di lunghezza, sono:

la resistenza; la si indica con r e la si misura in [(/km];

linduttanza di servizio; l [H/Km];

la capacit di servizio; c [F/Km];

la conduttanza di dispersione; g [S/Km].

Un elemento di linea di lunghezza infinitesima dx pu essere schematizzato con il quadripolo elementare equivalente rappresentato in fig. 2.1.

FIGURA 2.1

Si vuole determinare analiticamente tali parametri alla sequenza diretta, alla sequenza inversa ed alla sequenza omopolare, ricordando che gli equivalenti alla sequenza diretta ed alla sequenza inversa sono uguali, avendo a che fare con un componente passivo, mentre si esegue unanalisi specifica per i parametri alla sequenza omopolare.

I metodi di calcolo usati sono secondo i casi, pi o meno esatti; ci per non ne inficia la validit pratica non essendo necessario un rigore matematico nella determinazione delle costanti fondamentali.

2.2 Resistenza alla sequenza diretta ed alla sequenza inversa

La resistenza rappresenta lopposizione del materiale conduttore al passaggio della corrente elettrica, per unit di lunghezza in km:

(1)

dove:

( la resistivit del materiale formante il conduttore espressa in , variabile con la temperatura e calcolata a quella effettiva di funzionamento (determinata dalla temperatura ambiente e dal sovrariscaldamento dovuto al carico);

S la sezione del conduttore in :

nel caso di conduttore cordato omogeneo S rappresenta la somma delle sezioni dei fili che lo costituiscono;

per conduttore bi-metallico (ad es. alluminio-acciaio), i costruttori forniscono la sezione del conduttore omogeneo di rame elettricamente equivalente in ;

nel conduttore a fascio dove la sezione delliesimo subconduttore.

K un fattore correttivo adimensionale maggiore di 1, esso incrementa la resistenza rispetto al valore dato da . Per conduttori di materiale non magnetico aventi le sezioni usate normalmente nelle linee di trasmissione ed alle frequenze industriali, :

K = 1,01 per conduttori massicci cilindrici;

K = 1,02(1,06 per conduttori a corda passando dalle piccole alle grandi sezioni.

I fenomeni che contribuiscono alla determinazione di K sono i seguenti:

a) giunti e le morse di ammarro, pur se realizzati a regola darte, producono sempre degli aumenti locali di resistenza;

b) la lunghezza effettiva del conduttore maggiore di quella teorica, cio di quella misurata tra sostegno e sostegno a causa della configurazione del conduttore che non posto in opera perfettamente dritto, ma si dispone secondo un arco di catenaria. Laumento della resistenza al massimo dell1%;

c) la variazione della temperatura comporta la variazione della lunghezza della linea per dilatazione termica (4% per ogni grado);

d) la maggior parte di conduttori per linee elettriche formata da corde. I trefoli costituenti la corda, ad eccezione di quello assiale, hanno una lunghezza effettiva maggiore di quella del conduttore e ci fa aumentare la resistenza delle corde rispetto a quella dei conduttori massicci di egual sezione. Leffetto di cordatura incide cos con qualche frazione di % su K;

e) la sezione globale dei singoli trefoli di sezione elementare, componenti la corda, minore della sezione globale della corda, in quanto fra un trefolo e laltro c dello spazio;

f) Effetto solenoidale per linee aeree realizzate con corde alluminio-acciaio si visto come si considera sezione che partecipa attivamente al trasferimento di energia solo quella del mantello di alluminio. I trefoli di alluminio sono avvolti a spirale attorno allanima di acciaio, per formare un unico conduttore di resistenza meccanica sufficiente. Vi pu essere un aumento della resistenza in quanto, percorsi da una corrente alternata, si comportano come un lungo solenoide, creando un flusso variabile longitudinale (assiale) nellanima di acciaio; si generano cos perdite per isteresi nellacciaio e perdite per correnti parassite nellacciaio e nellalluminio che determinano un incremento della resistenza apparente del conduttore. Tale fenomeno consistente nei conduttori con un solo strato di trefoli di alluminio, ed trascurabile in quelli con un doppio strato di trefoli di alluminio, avvolti uno in senso orario ed uno in senso antiorario in modo da indurre nellanima di acciaio un flusso risultante quasi nullo. Nelle corde a tre strati di alluminio tale fenomeno, pur essendo ancora presente, di piccola entit.

FIGURA 2.2ag) i conduttori in generale sono interessati dalleffetto pelle. La corrente, infatti, tende a circolare sulla superficie del conduttore, quindi si distribuisce in modo non uniforme lungo nella sezione, con conseguente riduzione della sezione utile effettivamente attraversata dalla corrente. Ci provoca un incremento della resistenza apparente del conduttore. Il fenomeno si verifica solo in regime sinusoidale ed pi evidente con il crescere della frequenza. Non solo, ma concause del suo aumento sono il modulo della corrente e il raggio del conduttore. Entrando nello specifico, data la sezione longitudinale di un conduttore cilindrico percorso dalla corrente alternata I e scelti i due percorsi come in figura 2.2b, si ha che il flusso, dovuto alla corrente I, variabile sinusoidalmente, concatenato con il percorso 1 e con il percorso 2, genera f.e.m. indotte per la legge di Faraday e nascono per la legge di Lenz delle correnti parassite, tali da opporsi alla causa che le ha generate. Esse hanno quindi il verso indicato in figura, e, combinandosi con la corrente principale, danno luogo ad una distribuzione disuniforme della densit di corrente, con un addensamento di corrente sulla superficie esterna del conduttore. Quindi a parit di corrente totale, si ha un aumento della potenza dissipata per effetto Joule. Riassumendo, leffetto pelle provoca un aumento della resistenza apparente in corrente alternata di un conduttore rispetto alla resistenza che si misurerebbe sullo stesso conduttore in corrente continua. Per frequenze non molto elevate, nei manuali sono riportati, tabulati o diagrammati, i valori del rapporto fra resistenza in corrente alternata e resistenza in corrente continua, in funzione della quantit m definita da:

(2)

dove:

f la frequenza in Hertz;

(r la permeabilit relativa del materiale formante il conduttore: ; Rcc la resistenza in corrente continua di un metro di conduttore.

Alle frequenze industriali (50 Hertz), e per sezioni di conduttori minori di 250(300 mm2, leffetto pelle trascurabile.

FIGURA 2.2bSperimentalmente stato rilevato che leffetto pelle per le corde di poco maggiore rispetto ai conduttori massicci. A frequenze elevatissime si suppone che la corrente sia uniformemente distribuita in uno strato superficiale di spessore ( detto spessore di penetrazione che dato dalla espressione:

(3)

dove:

( la permeabilit del conduttore;

( la conduttivit del conduttore;

f la frequenza di esercizio.

FIGURA 2.2cLe equazioni di Maxwell permettono di studiare la distribuzione della corrente, delle perdite, della resistenza equivalente e della reattanza equivalente del conduttore cilindrico.

Si ricavano la resistenza e la reattanza equivalente per unit di lunghezza in funzione del parametro con R raggio del conduttore:

Le due funzioni hanno il seguente andamento:

FIGURA 2.2dLo spessore di penetrazione ( nel rame a 20C alla frequenza di 50 Hz : .

Leffetto pelle di notevole importanza alle alte frequenze (( f ( ( (), per conduttori di elevata sezione.

Alle alte frequenze per rendere meno significativo leffetto pelle si usano conduttori sottili (o cavi), isolati fra loro e spiralati, in modo che tutti i conduttori elementari assumano in media le stesse posizioni nella sezione trasversale.

h) La corrente nella sezione del conduttore non ha una distribuzione uniforme sia per leffetto pelle gi considerato, sia a causa dei flussi prodotti dalle correnti circolanti nei conduttori vicini, dando origine al fenomeno detto effetto di prossimit. Si produce, quindi, un aumento della resistenza apparente, tanto pi grande, quanto pi i conduttori sono vicini.

Pi precisamente si analizzano due casi:

in due conduttori vicini percorsi da correnti equiverse, il flusso variabile dovuto alla corrente sinusoidale che attraversa il primo conduttore, concatenato dal percorso 2 del secondo conduttore, genera una f.e.m. indotta per la legge di Faraday, e nascono per la legge di Lenz delle correnti indotte che si oppongono alla causa generatrice aventi il verso indicato in figura. Il discorso analogo considerando il flusso variabile dovuto alla corrente sinusoidale che attraversa il secondo conduttore e che si concatena con il percorso 1 del primo conduttore. Leffetto finale una riduzione di corrente sulle parti affacciate ed un addensamento di corrente nelle parti lontane dei due conduttori.

FIGURA 2.2e in due conduttori vicini percorsi da correnti opposte, la corrente si addensa sulle parti affacciate. Leffetto praticamente nullo per conduttori di una linea abbastanza lontani luno dallaltro. Nelle linee industriali, per i conduttori massicci, leffetto di prossimit molto piccolo e per le corde addirittura trascurabile. Pertanto un fenomeno trascurabile. Nei conduttori in acciaio, un calcolo esatto della resistenza non pu essere eseguito a causa della variazione della permeabilit, e si preferisce determinarla con prove sperimentali. I costruttori per danno usualmente i dati relativi ai conduttori da loro prodotti.

FIGURA 2.2fLa determinazione della resistenza dei conduttori di linea, non esige una grande precisione, anzi in talune circostanze essendo di una unit inferiore alla reattanza trascurabile.

La resistenza varia notevolmente anche in funzione della temperatura e quindi con le condizioni di carico e di ambiente.

Pi precisamente, la resistivit del materiale, varia in funzione della temperatura secondo la formula:

dove (0 la resistivit a 0C ed ( il coefficiente di variazione della resistivit con la temperatura a partire da 0C.

(

dove:

(1 e (2 rappresentano la resistivit del materiale alle temperature (in C) rispettivamente T1 e T2;

un coefficiente costante per ogni materiale e vale 234,5 per il rame ricotto, 241,5 per il rame crudo e 228,1 per lalluminio.

Si vede che per unescursione termica di 40C (possibile nel passare dal funzionamento a vuoto a quello a pieno carico, o dallinverno allestate), si ha una variazione della resistivit di circa il 18%, molto maggiore degli aumenti dovuti al fattore correttivo k della formula (1), che al massimo arrivano al 6(7%.

2.2a Resistenza di una linea monofase

In una linea monofase a due conduttori, la resistenza di linea per unit di lunghezza data evidentemente dal doppio del valore della formula (1).

2.2b Resistenza di una linea trifase

Nelle linee trifasi, materialmente simmetriche, la resistenza per unit di lunghezza di linea in sequenza diretta o in sequenza inversa data proprio dalla formula (1) perch non c ritorno nel neutro.

In Italia, in AT e MT sono impiegate reti trifasi a tre fili (quindi assente il conduttore di neutro), in quanto la somma delle correnti nei tre conduttori di fase zero nelle normali condizioni di esercizio; in condizioni dissimmetriche, invece, nascono correnti omopolari il cui ritorno avviene attraverso il terreno ed il conduttore di guardia.

Negli Stati Uniti dAmerica la distribuzione in MT e vengono impiegati di regola, i conduttori di neutro, posti accuratamente a terra e sistemati al di sotto dei conduttori di fase.

2.3 Induttanza di servizio alla sequenza diretta e alla sequenza inversa

Per calcolare linduttanza delle linee aeree, si considerano i conduttori paralleli tra loro, formati da materiale non magnetico ed immersi in un mezzo uniforme non magnetico; inoltre si trascura la capacit e non si tiene conto della presenza del terreno.

2.3a Coefficiente di mutua induzione tra due conduttori

Il coefficiente di mutua induzione, M12, tra due circuiti, immersi in un mezzo di permeabilit (, dato dallintegrale di Neumann:

dove:

ds1 e ds2 rappresentano rispettivamente la lunghezza di un elemento del 1 e del 2 circuito; d12 rappresenta la distanza tra i due elementini; ( langolo formato dalle loro direzioni.

Quindi ha senso parlare solo di mutua induzione fra due circuiti e non fra due conduttori.

Si forza il teorema di Neumann, considerando due conduttori e immaginandoli facenti parte di due circuiti i cui conduttori di ritorno siano talmente lontani dai conduttori in esame, da non influenzare apprezzabilmente il campo magnetico prodotto dalle correnti circolanti in essi. Sul tratto continuo del conduttore 1 (figura 2.3a), solo la parte continua del conduttore 2 fa sentire i suoi effetti e viceversa. Quindi si considera solo il tratto in cui i conduttori sono paralleli, e tali segmenti di conduttori risultano mutuamente accoppiati.

FIGURA 2.3a

Di conseguenza, il coefficiente di mutua induzione M12, tra 2 conduttori paralleli (( = 0) e filiformi, di lunghezza l, dato sempre dallintegrale di Neumann, con lunica differenza che gli integrali non sono estesi a circuiti chiusi (integrali curvilinei) ma solo al tratto di parallelismo fra i due conduttori (integrali lineari).

Pi precisamente ds1 e ds2 si sostituiscono dx1 e dx2:

Risolvendo lintegrale si ottiene:

Nella realt le linee sono molto lunghe, quindi D12 trascurabile rispetto ad l.

La mutua induttanza tra due conduttori filiformi ed omogenei :

(4)

Per i conduttori immersi in aria, ( = (0 e

EMBED Equation.3 , di conseguenza:

e si misura in [H] se l espressa in [m].

Tali risultati si sono ottenuti, considerando che i conduttori fossero filiformi, nei quali il flusso interno trascurabile.

Nella realt lipotesi non vera, in quanto i conduttori sono massicci ed in ogni caso con flusso interno non nullo.

Si ipotizza quindi che i due conduttori massicci con sezioni di area A1 e A2, siano suddivisi in tanti filetti elementari, paralleli, ciascuno di sezione trascurabile e che le correnti che attraversano i conduttori massicci di partenza si distribuiscano uniformemente allinterno di essi, trascurando le cause di disuniforme distribuzione.

Si ha che la mutua induttanza tra due conduttori massicci :

EMBED Equation.3 (.

La relazione analoga a quella relativa ai conduttori filiformi soltanto che alla distanza tra i conduttori si sostituisce D12.

La grandezza D12 detta distanza media geometrica tra le aree delle sezioni dei conduttori; essa la media geometrica di tutte le distanze tra gli elementi delle infinite coppie di fili in cui si possono immaginare scomposti i due conduttori.

In definitiva rappresenta la distanza a cui si dovrebbero porre due conduttori filiformi, perfettamente equivalenti, ai fini della mutua induzione, ai due conduttori massicci considerati.

2.3b Coefficiente di autoinduzione di un conduttore

Non ha un vero significato fisico parlare di autoinduzione di un conduttore avulso da un circuito.

Tuttavia si definisce come coefficiente di autoinduzione L di un conduttore massiccio e con il filo di ritorno a distanza infinita, la media delle mutue induzioni delle coppie di conduttori elementari, paralleli, lunghi l, in cui si pu immaginare scomposto il dato conduttore, quando si fa tendere allinfinito il numero di queste coppie di conduttori elementari.

Secondo questa definizione, il coefficiente di autoinduzione L, di un conduttore lungo l, con sezione di area A :

(6)

Se il conduttore poi immerso in aria si ha:

[H]

con l e D11 espressi in m e dove la grandezza D11 detta raggio medio geometrico della sezione; essa la media geometrica delle distanze tra i due elementi delle infinite coppie di conduttori filiformi e paralleli, in cui si immagina scomposto il conduttore massiccio dato e rappresenta il raggio di un conduttore tubolare, di spessore trascurabile, perfettamente equivalente al conduttore massiccio in esame, ai fini dellautoinduzione e con flusso interno al conduttore tubolare nullo.

Quindi il flusso interno al conduttore massiccio viene trasferito allesterno del conduttore equivalente, nello spazio tra il conduttore tubolare e la circonferenza esterna del conduttore massiccio che quindi ha raggio minore di quello del conduttore massiccio reale.

In particolare:

Conduttori di forma cilindrica, costituiti da un cerchio pieno di raggio R:

. Conduttore costituito da trefoli spiralizzati, il valore di D11 riportato in tabelle, e dipende dalle caratteristiche del conduttore. Conduttore a fascio, come noto, formato da n subconduttori uguali disposti simmetricamente su una circonferenza di diametro D. Il suo raggio medio geometrico D11, chiamando Dss il raggio medio geometrico di ciascun subconduttore, :

.

Osservando che sempre maggiore di Dss, si ricava che il raggio medio geometrico di un conduttore a fascio pi grande del raggio medio geometrico di un conduttore unico con sezione di uguale area. Con riferimento alla (6), il coefficiente di autoinduzione di un conduttore a fascio minore del coefficiente di autoinduzione di un conduttore unico di uguale sezione.

Quando le correnti non sono distribuite uniformemente nelle sezioni, le distanze medie geometriche da usare non sono quelle riferite ad elementi di uguale area, come fatto precedentemente, ma quelle di elementi di uguale corrente. Ci significa che necessario conoscere la legge di distribuzione delle correnti nelle sezioni.

I fenomeni che influiscono sul valore dellinduttanza, sono gli stessi che influenzano la resistenza. Ovvero:a) effetto solenoidale : nel calcolare il raggio medio geometrico e quindi il coefficiente di autoinduzione della corda, i trefoli si immaginano non spiralati attorno allanima centrale, ma paralleli allasse centrale. Linduttanza cos calcolata dovrebbe essere maggiore per tener conto del fatto che i trefoli in realt sono avvolti e non paralleli. Infatti, ogni strato di trefoli spiralizzati si comporta come un lungo solenoide che produce un flusso longitudinale, ma poich gli strati di trefoli, avvolti in senso opposto, sono solitamente pi di uno, il flusso longitudinale netto molto piccolo e quindi laumento dinduttanza dovuto alla spiralizzazione dei trefoli pu considerarsi trascurabile. Quindi questo fenomeno notevole nelle corde con un solo strato di trefoli ed quasi nullo nelle corde con tre strati di trefoli;

b) effetto pelle : leffetto pelle produce una diminuzione dellinduttanza poich riduce il flusso interno al conduttore. Per alle frequenze industriali per sezioni di conduttori minori di 300 mm, questo effetto praticamente trascurabile. Per frequenze non molto elevate, il rapporto tabulato o diagrammato in funzione della quantit m definita dalla (2). Si rilevato sperimentalmente che per le corde coincide praticamente con quello per conduttori massicci di egual sezione netta.

Alle frequenze elevatissime infine, per calcolare linduttanza, il conduttore considerato come un tubo di spessore uguale al valore dato dalla (3) e di raggio uguale a quello del conduttore.

c) effetto di prossimit : leffetto di prossimit produce anchesso una diminuzione dellinduttanza; tale diminuzione per molto piccola per i conduttori massicci cilindrici ed addirittura trascurabile per le corde. Perci generalmente non si tiene conto di tale effetto.Nel calcolo delle distanze medie geometriche relative a corde alluminio-acciaio, generalmente si considerano solo i trefoli di alluminio, ricavando poi, da prove sperimentali sulle corde, il piccolo fattore di correzione dovuto alla presenza dei trefoli dacciaio.

Anche linduttanza dei conduttori in acciaio non pu essere calcolata con sufficiente esattezza ed quindi preferibile determinarla con prove sperimentali. Usualmente i costruttori forniscono i risultati di queste prove per i conduttori da essi prodotti.

Determinato il modo per calcolare il coefficiente di autoinduzione di un conduttore ed il coefficiente di mutua induzione tra due conduttori, si pu ora calcolare linduttanza delle linee aeree.

2.3c Linea monofase a due conduttori

Si consideri una linea monofase formata da due conduttori paralleli identici, uno di andata ed uno di ritorno (linea bifilare), aventi ciascuno un raggio medio geometrico D11 e distanza fra i rispettivi assi pari a D12, (praticamente coincidente con la distanza media geometrica mutua tra i due conduttori).

Le correnti circolanti nei due conduttori sono e , tali che .

FIGURA 2.3cSi pu calcolare linduttanza del quadripolo equivalente in 2 modi diversi:

1) se L il coefficiente di autoinduzione di ciascun conduttore (L1 = L2 = L) ed M il coefficiente di mutua induzione tra i due conduttori (M12 = M), il flusso totale che si concatena con il conduttore 1 dato da:

dove:

Leq detta induttanza di servizio (locuzione di gergo che fa riferimento al servizio normale) ed linduttanza totale equivalente del solo conduttore 1, alla sequenza diretta e inversa. Di uguale valore quella del conduttore 2. Per cui linduttanza totale equivalente della linea :

Quindi possibile rappresentare la linea monofase come una linea monofilare di autoinduttanza pari a 2 Leq.

2) lenergia elettromagnetica E, associata al campo magnetico prodotto dalle correnti circolanti nella linea :

Essendo i due conduttori identici, risulta essere L1 = L2 = L e, posto M12 = M, si ottiene:

Per cui si ricava che:

Tale induttanza totale pu immaginarsi divisa in parti uguali tra i 2 conduttori, per cui linduttanza totale equivalente di ogni conduttore appartenente alla linea

Sostituendo ad L ed M le espressioni fornite dalla (4) e dalla (6) si ottiene:

Questa formula accettabile nel caso in cui i conduttori siano immersi in mezzi a ( costante. Nellipotesi che essi siano immersi in aria si ricava:

con l espressa in metri.

Pertanto linduttanza totale equivalente di ogni conduttore per unit di lunghezza (Km) :

Passando ai logaritmi decimali si ha:

(8)

La (8) pu scriversi anche nella forma:

Indicando il primo termine con La ed il secondo con Ld si ricava che:

(9)

Si rileva che La rappresenta quella parte dellinduttanza totale equivalente del conduttore dovuta al flusso situato nello spazio compreso tra lasse del conduttore ed una distanza unitaria da esso, o fra una distanza dallasse del conduttore pari a D11 e la distanza unitaria essendo nullo il flusso interno a D11.

Ld rappresenta quella parte dellinduttanza totale equivalente del conduttore dovuta al flusso esistente nello spazio compreso tra una distanza unitaria dallasse del conduttore e lasse del secondo conduttore. Quindi, mentre Ld dipende soltanto dalla distanza tra i due conduttori di linea e non da come essi sono fatti, La dipende soltanto dal tipo di conduttore (circolare, a corda, trapezoidale, ecc.) e quindi dal suo raggio medio geometrico.

Ad una data frequenza f, la reattanza totale equivalente per unit di lunghezza del conduttore :

avendo posto:

e

(10)

Ad una data frequenza, le Xa possono essere tabellate in funzione del tipo di conduttore (raggio medio geometrico) e le Xd in funzione delle distanze tra i due conduttori. Si tenga presente che la somma di Xa e Xd algebrica, e quindi, per distanze tra i due conduttori inferiori allunit di misura adottata, Xd si sottrae ad Xa. Naturalmente la reattanza Xt della linea per unit di lunghezza :

2.3d Linea trifase materialmente simmetricaSi consideri una linea trifase a tre fili materialmente simmetrica, cio costituita da tre conduttori:

a) uguali tra loro (nel materiale e nella sezione);

b) disposti simmetricamente ai vertici di un triangolo equilatero di lato D.

Si sta trascurando la presenza di ogni altro conduttore che non sia quello di linea, cio non si sta tenendo conto della terra e del conduttore di guardia.

Quindi non si considerano i parametri trasversali.

La condizione uguaglianza di sezione e materiale dei conduttori (a) permette di ritenere le autoinduzioni uguali, cio L1 = L2 = L3 = L.

Mentre la condizione di posa simmetrica (b) permette di ritenere uguali le mutue induzioni, cio M12 = M23 = M31 = M.

Se si indicano con le correnti circolanti nei tre conduttori, aventi lo stesso modulo e sfasate di 120, ovvero formanti un sistema simmetrico, in ogni istante vale la relazione:

Linduttanza totale equivalente Leq del conduttore il rapporto tra il flusso totale concatenato col conduttore 1 e la corrente circolante in esso.

Il flusso totale concatenato col conduttore 1 :

Quindi risulta:

[H]

La stessa espressione varr per linduttanza del conduttore 2 e per quella del conduttore 3.

Di conseguenza, linduttanza totale equivalente di un conduttore di una linea trifase materialmente simmetrica uguale allinduttanza di un identico conduttore di una linea bifilare, considerando come distanza la D, ovvero il lato del triangolo equilatero ai cui vertici sono situati i conduttori della linea trifase (D12 = D).

Quindi se la linea bifilare ed Leq il valore di induttanza calcolato, facendo lo schema unifilare occorre mettere sullunico filo tutta linduttanza Lt = 2Leq.

Se la linea trifase, Leq linduttanza di un conduttore alla sequenza diretta o alla sequenza inversa (discorso analogo a quello fatto per la resistenza).

Per analogia con la (8), linduttanza totale equivalente Leq per unit di lunghezza del conduttore risulta essere:

oppure, ricordando la (9):

dove La e Ld sono date da:

e presentano lo stesso significato che hanno per la linea bifilare.

Ad una data frequenza f, le reattanze per unit di lunghezza che la linea presenta ad un sistema di correnti di sequenza diretta, X1, e ad un sistema di correnti di sequenza inversa, X2, sono pertanto:

dove Xa e Xd sono sempre definite dalla (10).

2.3e Linea trifase non materialmente simmetrica - Trasposizione dei conduttori

Si analizzi ora una linea trifase non materialmente simmetrica, dove i tre conduttori sono sempre di uguale sezione e materiale, per non sono posati ai vertici di un triangolo equilatero.

Nella pratica, sono posati quasi sempre in un piano verticale o orizzontale; non c quindi simmetria.

Avendo trascurato nel caso precedente linfluenza dei conduttori con la terra e con le funi di guardia, le condizioni di posa considerate, sono utili per tener conto anche di questi disturbi, oltre che della mancata condizione di posa simmetrica consistente nel porre i tre conduttori ai vertici di un triangolo equilatero.

Il flusso totale che si concatena con un conduttore, quindi, differente da conduttore a conduttore; pertanto risulta essere M12 ( M23 ( M13.

Per rendere questo flusso globalmente uguale per i tre conduttori, si procede quasi sempre alla cosiddetta trasposizione: si divide la lunghezza della linea in tre o multipli di tre parti uguali e per ogni tratto si cambia la disposizione dei conduttori, in modo che ciascun conduttore venga ad assumere lungo la linea tutte le tre possibili posizioni (figura 2.12).

FIGURA 2.3e

Con la trasposizione la linea resta in ogni tratto materialmente disimmetrica, ma diviene globalmente simmetrica.

Si considera ora il flusso totale concatenato con il conduttore 1 nelle tre posizioni:

(1 tratto)

(2 tratto)

(3 tratto)

Il flusso mediamente concatenato con il conduttore 1 :

da cui essendo risulta:

Posto si ha la stessa formula di prima per linduttanza totale equivalente del conduttore 1:

e la stessa vale per il conduttore 2 o per il conduttore 3.

Essendo si ricava:

con e definita come la media geometrica delle distanze medie geometriche tra i conduttori.

Sostituendo lespressione di M nella formula dellinduttanza totale equivalente:

Si ottiene infatti:

(11)

Anche nel caso in cui la linea non materialmente simmetrica possiamo considerare per ogni conduttore, effettuata la trasposizione, uninduttanza totale equivalente pari a L-M, purch nellespressione di M si ponga la media geometrica delle distanze.

Se i conduttori sono poi immersi in aria si ricava che:

avendo posto Req = D11.

Quindi linduttanza di servizio per ogni conduttore della linea trasposta per unit di lunghezza :

In genere Req e Deq sono tabellati distintamente.

Req dipende dalle caratteristiche del conduttore.

Deq dalla distanza tra i conduttori.

Linduttanza totale equivalente si pu scrivere nella forma:

.

Il primo termine porta in conto il flusso che compete ad un conduttore dalla distanza di Req ad una distanza unitaria; mentre il secondo termine considera il flusso da una distanza unitaria a Deq. Per una linea in alta tensione Deq maggiore di un metro e si trovano tabulati distintamente i valori di Req e Deq. Per linee in bassa tensione pu invece accadere che Deq sia minore di un metro ed in tal caso si trovano direttamente le tabelle dellinduttanza di servizio.

I valori medi orientativi sono:

induttanza di servizio per linee aeree (1,2(10-3 ( 1,5(10-3)

a cui corrispondono a 50 Hz valori di reattanze (0,37 ( 0,46) .

Per una linea a doppia terna, se le due terne fossero perfettamente simmetriche non ci sarebbe flusso mutuo tra esse in regime di correnti di sequenza diretta e inversa.

In realt, per la non perfetta simmetria delle due terne, anche se trasposte, esiste un certo flusso mutuo tra esse. Ci comporta un lieve aumento dellinduttanza in sequenza diretta o inversa.

Si trovato sperimentalmente che una linea a doppia terna presenta una reattanza alle correnti di sequenza diretta o inversa maggiore di quella di una linea equivalente ad una terna di una quantit variabile dal 2 all8%.

2.4 Impedenza della linea alle correnti di sequenza omopolare

Si consideri una linea trifase interessata da un sistema di correnti di sequenza omopolare uguali in modulo, fase e verso, la cui somma pertanto diversa da zero. In tal caso la corrente che scorre in un qualsiasi conduttore della linea, non ha il ritorno mediante gli altri due conduttori, bens attraverso il terreno, le funi di guardia, il conduttore neutro o una combinazione di questi mezzi.

Escludendo il caso di conduttore neutro isolato, il ritorno di queste correnti interessa sempre parzialmente o totalmente la terra, e quindi la resistivit della terra e la distribuzione di corrente in essa, influenzano il valore della Z00 cio dellimpedenza presentata dal circuito alle correnti di sequenza omopolare.

Questa influenza si manifesta sia sulla resistenza che sulla reattanza.

2.4a Auto e mutua impedenza dei circuiti comprendenti la terra

Sul passaggio di corrente attraverso il terreno ci sono state diverse teorie. Il problema stato affrontato in Europa da Rudemberg, Mayr e Pollaczek, e negli Stati Uniti da Carson e Campbell.

Si far riferimento alla teoria pi accreditata ovvero quella di Carson.

Si considera il terreno come un piano orizzontale, indefinitamente esteso, con resistivit ( uniforme e parallelo ai conduttori di energia (considerati trasposti in modo da poterli ritenere mediamente tutti alla stessa altezza dal terreno).

Per prima cosa si considera il terreno come un conduttore perfetto con ( = 0.

Le formule ricavate con tali ipotesi vengono poi corrette per tenere conto della resistivit del terreno che si suppone uniforme, ma non nulla.

Si consideri un circuito formato da un conduttore a, a distanza ha dal terreno, e dalla terra di ritorno.

Quando il conduttore percorso da corrente, si genera un campo magnetico le cui linee di flusso in vicinanza del terreno, risultano ad esso parallele ed aperte (si richiudono allinfinito).

Quindi non ci sono linee di flusso che attraversano il terreno.

FIGURA 2.4a

Infatti si immagini che vi sia una spira ideale nel terreno, e che, per assurdo, una linea di flusso del campo magnetico si concateni con essa.

FIGURA 2.4b

Nella spira nasce una forza elettromotrice indotta ed una corrente indotta che si oppone alla causa che lha generata.

Applicando il secondo principio di Kirchhoff alla spira si ottiene:

Ma essendo ( = 0 (per ipotesi), anche r = 0.

Inoltre e = 0 poich nel terreno non ci sono sorgenti di fem.

Per cui , cio risulta ( = costante.

Perci il flusso rimane costante allinterno del terreno (legge di costanza del flusso concatenato) e le correnti di ritorno circolano in un sottilissimo strato sulla superficie del terreno con densit variabile trasversalmente in modo da impedire lentrata in esso di qualunque linea di flusso magnetico.

Si pu ottenere lo stesso risultato, considerando a come conduttore di andata, e come ritorno la sua immagine, ovvero un conduttore a( percorso dalla stessa corrente di a ma di verso opposto, delle stesse dimensioni di questo, e posto simmetricamente ad a rispetto al terreno, cio a profondit ha.

Il flusso magnetico dovuto alla corrente circolante nel circuito uguale alla met superiore del flusso prodotto dalla corrente circolante nel circuito formato dal conduttore e dalla sua immagine elettrica.

FIGURA 2.4c

Pertanto volendo calcolare limpedenza propria Zaag del circuito in esame, si ha che questa costituita dalla reattanza che quella di un circuito tutto metallico formato da due conduttori uguali e paralleli, distanti tra loro il doppio dellaltezza di ciascun conduttore dal terreno, e dalla resistenza coincidente con la resistenza del conduttore considerato.

Per cui lautoimpedenza per unit di lunghezza (Km) del circuito :

(12)

dove:

r la resistenza per unit di lunghezza in del conduttore;

ha laltezza da terra del conduttore in ;

D11 il raggio medio geometrico in del conduttore.

Si supponga di avere un conduttore b, a distanza hb dal terreno e posto in vicinanza di a e si considerino i due circuiti formati dal conduttore a e dalla terra di ritorno e dal conduttore b e dalla terra di ritorno e si applichi il principio delle immagini elettriche.

FIGURA 2.4d

La mutua impedenza Zabg tra i circuiti a e b :

(13)

dove:

Dab la distanza in [m] tra i conduttori a e b;

Dab la distanza in [m] tra conduttore a e immagine elettrica b( del conduttore b;

f la frequenza in [Hz].

In tal caso la resistenza dellimpedenza mutua Zabg nulla, essendo il terreno la parte in comune ai 2 circuiti.

Il Carson, per tener conto della resistivit del terreno supposta uniforme, ma non nulla, modifica la (12) e (13) nel modo seguente:

Come si vede la resistivit del terreno influenza sia i valori delle resistenze che delle reattanze.

I valori delle quantit P, P, Q, Q sono dati dalle seguenti relazioni:

dove:

( la resistivit del terreno in [((m]

(P, (P, (Q, (Q sono dati da serie infinite di termini funzioni della frequenza, della resistivit del terreno, dellaltezza dei conduttori da terra e della distanza tra ogni conduttore e limmagine elettrica dellaltro.

Per usare queste formule perci necessario conoscere la resistivit del terreno.

tipo di terrenoResistivit del terreno [((m]

acqua marina, terreni paludosi 0,01(1

terreno vegetale 10(100

terreno asciutto e roccioso 1000

ardesia pura 107

arenaria109

Il valore medio consigliabile in mancanza di unindicazione pi precisa dellordine di 100 [((m].

A frequenze industriali (50(60 Hz), si possono trascurare (P, (P, (Q, (Q, per cui le espressioni di Zaag e Zabg diventano:

(14)

Per problemi particolari, come ad esempio problemi a frequenze superiori a quelle industriali o con distanze tra i circuiti molto grandi, le (14) non risultano pi soddisfacenti.

In questi casi bisogna tener conto anche delle quantit (P, (P, (Q, (Q e considerare tanti pi termini del loro sviluppo in serie, quanto pi alta lapprossimazione che si vuole ottenere. Generalmente non si va oltre il ( o ( termine.

In alcuni manuali sono tabellati e diagrammati gli incrementi (R e (X della resistenza e della reattanza dovuti alle quantit (P, (P, (Q, (Q in funzione delle distanze, della frequenza e della resistivit del terreno.

Per evitare calcoli piuttosto onerosi, questi grafici e tabelle sono molto utili e danno una sufficiente approssimazione.

Evidentemente, nel calcolo delle impedenze di circuiti con ritorno attraverso il terreno non ci si pu attendere la stessa precisione che si ha nel calcolo delle stesse grandezze per circuiti completamente metallici.

Infatti lipotesi di resistivit del terreno uniforme, in pratica non mai rispettata poich il terreno, di per se stesso, formato da tanti strati di natura differente, ed inoltre sul cammino del terreno si possono incontrare strati di carbone o altri minerali, binari ferroviari, condutture di liquidi e qualunque altra struttura sotterranea, che concorrono a rendere sempre pi disuniforme la resistivit del terreno.

Inoltre la parte superficiale del terreno, lhumus specialmente, risente molto delle condizioni atmosferiche e stagionali.

Se si volessero per i circuiti in esame dei valori delle impedenze molto precisi, si dovrebbe procedere a rilievi sperimentali in loco.

In ogni modo per i problemi trattati, questa grande precisione, non interessa.

Ritornando alle formule (14), si ponga : si ottiene lautoreattanza prodotta da un conduttore posto ad altezza hg dal terreno, avente ( = 0.

Si noti che hg non dipende da ha, per cui la sua espressione valida anche per valori negativi di ha, cio valida sia per linee aeree che per linee in cavo interrate.

Quindi lautoreattanza risulta indipendente dallaltezza del conduttore da terra, e cos pure la reattanza mutua.

E importante sottolineare inoltre che, sempre considerando le (14), la resistenza che il terreno presenta al passaggio della corrente indipendente da (, in quanto si osserva sperimentalmente che il rapporto costante.

Infatti il terreno un conduttore che non ha una sezione definita, per cui la corrente nel terreno pu occupare la sezione che vuole.

A resistivit pi elevata corrisponde una maggiore sezione conduttrice di terreno, e viceversa, a resistivit minore si riduce (a parit di frequenza) la sezione impegnata dalla corrente, che interessa solo strati superficiali del terreno, lasciando cos praticamente invariata la resistenza del terreno.

La resistenza dipende invece dalla frequenza e questo si spiega con leffetto pelle sempre presente: quanto maggiore la frequenza, tanto pi la corrente si distribuir su uno strato pi sottile superficiale del terreno e quindi aumenter la resistenza. Dalle (14) si vede che anche la resistenza del terreno indipendente dallaltezza dei conduttori da terra.

Evidentemente, se si considerano anche i termini (P, (P, (Q, (Q, la resistenza del terreno sar influenzata anche dalla resistivit del terreno e dallaltezza dei conduttori da terra, come le reattanze dei circuiti dipenderanno anche dallaltezza dei conduttori da terra.

Indagini sperimentali hanno evidenziato che la corrente nel terreno diminuisce allontanandosi dalla proiezione dei conduttori su di esso.

Ci d ragione alla conclusione del Rudemberg. Questi ha affermato che la corrente alternata, non segue nel terreno i percorsi a minor resistenza, ma si concentra sotto il conduttore, seguendo perci tutte le tortuosit del tracciato della linea e non la linea retta. Ci si spiega col fatto che sotto il conduttore, per leffetto di prossimit, la reattanza minore e la corrente segue perci questo cammino. Infatti in queste condizioni il conduttore di ritorno pi vicino a quello di andata, riducendo cos lenergia magnetica immagazzinata nel circuito.

2.4b Linea trifase senza funi di guardia

Si consideri una linea trifase senza funi di guardia; anche se i suoi conduttori sono disposti simmetricamente tra loro, e cio ai vertici di un triangolo equilatero, a causa della presenza del terreno, essi non costituiscono una linea materialmente simmetrica.

Si pu parlare di linea materialmente simmetrica solo se si effettua la trasposizione per la valutazione dellimpedenza alle correnti di sequenza omopolare Z00, si assume nei calcoli una distanza tra i conduttori pari alla media geometrica delle distanze tra coppie di conduttori per la valutazione dellimpedenza alle correnti di sequenza omopolare Z00, si assume nei calcoli unaltezza da terra di ciascun conduttore pari alla media geometrica delle altezze dei conduttori da terra. Cos si possono assumere le autoimpedenze dei circuiti formati, ciascuno da un conduttore di fase e dalla terra di ritorno uguali tra loro, cio Zaag = Zbbg = Zccg.

Analogamente le mutue impedenze tra ogni coppia di questi circuiti uguali tra loro, ovvero Zabg = Zbcg = Zcag.

La caduta di tensione nella fase a dovuta al passaggio della corrente omopolare risulta:

e poich e , si ottiene:

e due relazioni identiche varranno per le fasi b e c.

Quindi:

Ricordando le (14) si ricava:

Come parte reale, Z00 ha la resistenza di uno dei conduttori, pi tre volte la resistenza del ritorno attraverso terra. Questo vero perch nel conduttore di ritorno passa una corrente pari a tre volte quella che attraversa ciascuna fase (ecco perch c 0,3 e non 0,1 come prima).

Nel calcolo delle impedenze alle correnti di sequenza omopolare delle linee a doppia terna, non lecito trascurare, anche in prima approssimazione, la mutua induzione tra le due terne. Sempre nellipotesi di linee materialmente simmetriche, il calcolo dellimpedenza alle correnti di sequenza omopolare di una linea a doppia terna non si discosta sostanzialmente da quello esposto per una linea ad una terna.

2.4c Linea trifase con funi di guardia

Le funi di guardia sono conduttori metallici atterrati almeno alle due estremit della linea e correnti parallelamente ai conduttori di fase, in modo da risultare accoppiati con essi magneticamente.

Sono percorse da correnti solo qualora nascano correnti di sequenza omopolare. Servono principalmente a proteggere la linea dalle scariche atmosferiche.

La presenza di funi di guardia non ha praticamente influenza sullimpedenza delle linee alle correnti di sequenza diretta e inversa. Infatti per tali sequenze, se la fune di guardia in posizione simmetrica rispetto ai conduttori, (considerati trasposti) il flusso alternato che si concatena con tale fune nullo e tale risulta anche la corrente che lattraversa. Questo sarebbe rigorosamente vero se le funi di guardia fossero atterrate solo alle estremit della linea ed un eventuale guasto sulla linea, tra le fasi, avvenisse solo nelle sezioni di trasposizione.

In realt, le funi di guardia sono atterrate in ogni sostegno e non detto che un guasto debba avvenire soltanto nelle sezioni di trasposizione.

Malgrado ci, accettabile considerare limpedenza della linea alle correnti di sequenza diretta o inversa indipendente dalla presenza, o meno, di funi di guardia.

La stessa cosa non pu dirsi, invece, per limpedenza della linea alle correnti di sequenza omopolare. In tal caso i flussi prodotti dalle tre correnti sono in fase, perci la loro somma, diversa da zero, comporta nella fune di guardia una corrente non nulla.

Le funi di guardia fanno diminuire limpedenza omopolare della linea perch rappresentano un ulteriore cammino in parallelo con il terreno, offerto alle correnti di sequenza omopolare.

Nel calcolo dellimpedenza omopolare si immaginano le funi di guardia:

in parallelo al terreno; messe a terra solo allestremit della linea, in modo da considerare uniforme la distribuzione della corrente lungo ogni fune di guardia. In realt, come gi detto, le funi di guardia sono collegate a terra in corrispondenza di ogni sostegno, ma, da rilievi effettuati su linee di esercizio, si visto che appena qualche campata prima o dopo il punto di origine delle correnti omopolari (guasto a terra), la corrente lungo la fune di guardia pu ritenersi praticamente uniforme. Infatti la corrente varia nelle prime campate; poi si stabilizza e rimane pressocch costante. Considerata quindi una tratta di linea, tutto accade come se la corda di guardia fosse isolata dal terreno nelle campate intermedie.

Si consideri ora una linea trifase perfettamente simmetrica con una fune di guardia w.

Sia la corda di guardia simmetricamente disposta rispetto ai tre conduttori di fase: si assuma cio come distanza della fune di guardia da ogni conduttore di fase, la media geometrica delle tre distanze della fune di guardia dai conduttori.

Chiaramente, occorre ora considerare, rispetto al caso precedente, un altro circuito formato dalla fune di guardia e dal terreno.

E quindi necessario modificare le equazioni precedenti.

Lautoimpedenza Zwwg del circuito formato dalla corda di guardia e dalla terra, e la mutua impedenza Zawg tra questo circuito e ciascun circuito formato da un conduttore di fase e dal terreno, si calcolano tramite le (14).

Al passaggio di un sistema di correnti di sequenza omopolare nella linea si determina:

la caduta di tensione nella fase a uguale a quella nelle fasi b e c;

la caduta di tensione nella fune di guardia nulla perch questa atterrata ai due estremi, ovvero a potenziale di terra.

Infatti, indicando con la corrente circolante nella fune di guardia, si ottiene:

(15)

da si ricava e sostituendola nella (15) si ha:

(16)

Si posto:

Zaag = autoimpedenza conduttore di linea-terra;

Zwwg = autoimpedenza fune di guardia-terra

Zawg = mutuaimpedenza conduttore di linea-terra e fune di guardia-terra

Zabg = mutuaimpedenza conduttore di linea-terra e conduttore di linea-terra

Dalla (16) si vede che limpedenza della linea con una fune di guardia in sequenza omopolare :

ossia limpedenza in sequenza omopolare di una linea con una fune di guardia data dalla impedenza in sequenza omopolare della stessa linea senza fune di guardia, meno il termine .

Per una linea con n funi di guardia, simmetricamente disposte rispetto ai conduttori di fase e tra loro, indicando con Zwvg la mutua induzione tra due qualunque funi di guardia, e nellipotesi che le autoimpedenze fune di guardia-terra siano uguali tra loro e cos anche le impedenze mutue tra le funi di guardia si ha:

sostituendo nellespressione: segue:

Conduttori neutri atterrati e contrappesi, saranno trattati come le funi di guardia ai fini del calcolo della impedenza di fase alla sequenza omopolare.

2.5 Capacit di servizio

Nelle linee elettriche di trasmissione ogni conduttore accoppiato ad un altro conduttore o alla terra, costituisce una forma particolare di condensatore del quale i due conduttori considerati o il conduttore e la terra sono le armature e laria (o altro mezzo isolante) ne il dielettrico. Ogni linea di trasmissione pu essere sostituita in generale da un sistema pi o meno complesso di questi condensatori, la cui capacit cresce evidentemente con la lunghezza della linea.

Il calcolo della capacit si effettua con precisione per le linee lunghe, per tale calcolo in alcuni casi importante anche se la linea corta per lo studio dei fenomeni di ferrorisonanza.

Limportanza della capacit nelle linee di trasmissione dipende non solo dalla lunghezza della linea, ma anche dal tipo di problema che si considera.

In certi calcoli tali capacit si trascurano, ma in altri, come il calcolo della corrente di cortocircuito in condizioni di fase a terra in una linea trifase con neutro isolato, la loro presenza essenziale.

Infatti tale corrente si richiude proprio attraverso queste capacit oltre che tramite la conduttanza.

Si fa riferimento ad una linea monofase costituita da due conduttori a e b.

Nel calcolo delle capacit si fanno le seguenti ipotesi semplificative:1) Si immagina il terreno, costituito da una superficie piana, indefinita, perfettamente conduttrice ed a potenziale nullo; in questo modo possiamo applicare il principio delle immagini elettriche.2) La carica si immagina uniformemente distribuita lungo tutta la lunghezza del conduttore.3) Si ipotizza che il potenziale di ogni conduttore verso terra rimanga costante in ogni sezione della linea, cio si trascura la presenza dellimpedenza longitudinale che produce le cadute di tensione.4) Si considera perfetto il dielettrico (aria), cio sono trascurabili i parametri dissipativi (g).5) Non essendo possibile trascurare la presenza del terreno, si pu ipotizzare la linea materialmente simmetrica solo con una perfetta operazione di trasposizione dei conduttori e le distanze che si considerano nella trattazione sono sempre le distanze medie geometriche.6) I conduttori si considerano paralleli al terreno, anche se in realt si dispongono secondo un arco di catenaria.

Tra i potenziali verso terra, Vi di n conduttori isolati e le cariche elettriche Qi , su essi concentrate, esistono due relazioni, le cosiddette equazioni lineari di Maxwell, che in forma matriciale possono scriversi:

dove evidentemente:

(17)

Esplicitando le relazioni matriciali, si ha:

Gli elementi della matrice [P] si chiamano coefficienti di potenziale: ogni elemento con pedici uguali, Pii , rappresenta il potenziale verso terra assunto dal conduttore i, quando su esso presente una carica elettrica unitaria positiva e gli altri conduttori sono scarichi:

(i ( j)

Ogni elemento con pedici differenti, Pij (i,j=1n), rappresenta il potenziale verso terra assunto dal conduttore i, per la presenza della carica elettrica unitaria positiva sul conduttore j, mentre tutti gli altri conduttori sono scarichi:

(i ( j)

Per i sistemi lineari si ha che: Pij = Pji

Per loro natura tutti gli elementi della matrice P sono positivi, in quanto una carica positiva crea un potenziale positivo in tutti i punti dello spazio.

Gli elementi della matrice [C] hanno tale significato: ogni elemento con pedici uguali, Cii, rappresenta la carica sul conduttore i isolato, quando questo ha tensione unitaria verso terra, mentre tutti gli altri conduttori sono atterrati; tali elementi si chiamano coefficienti di capacit, in quanto legano la carica ed il potenziale del medesimo conduttore e sono sempre positivi, dato che un conduttore isolato con cariche positive ha potenziale maggiore di zero:

(i ( j)

Invece ogni elemento con pedici diversi, Cij(i,j=1n), rappresenta la carica sul conduttore i atterrato, quando j isolato ed ha tensione unitaria verso terra, mentre tutti gli altri conduttori sono atterrati; tali elementi si chiamano coefficienti di mutua induzione elettrostatica, in quanto legano il potenziale di un conduttore alla carica su un altro conduttore e sono sempre negativi, in quanto la carica indotta ha sempre segno opposto a quella inducente:

(i ( j)

Poich i coefficienti Cij , al contrario di quelli Cii , non possono essere assimilati alla definizione di capacit in quanto sono negativi, si pone:

Cii = Cii

(18) Cij = -Cij

Di queste quantit, quelle con pedici uguali, Cii , rappresentano la capacit del conduttore i isolato verso terra, quando tutti gli altri conduttori sono atterrati; mentre quelle con pedici differenti, Cij , rappresentano la capacit fra il conduttore i isolato, ed il conduttore j atterrato insieme a tutti gli altri conduttori. Essendo il sistema lineare Cij = Cji

La matrice [C] pu dirsi matrice dei coefficienti di capacit, tutti positivi per quanto detto.

Facendo riferimento alla figura 2.4d, il potenziale verso terra Va assunto dal conduttore a, per la presenza su di esso di una carica elettrica unitaria positiva (Qa = 1), mentre il conduttore b scarico, dato da:

(19)

dove:

r il raggio della sezione del conduttore a;

( la costante dielettrica assoluta del dielettrico, in cui sono immersi i conduttori.

La relazione (19), se laltezza del conduttore da terra ha molto maggiore del raggio r di questo, si semplifica con buona approssimazione in:

(20)

Usare la (20) invece che la (19), significa ammettere che la distribuzione di cariche sul cilindro conduttore sia equivalente ad una distribuzione di cariche sullasse di questo; questa semplificazione pi che accettabile.

Il potenziale verso terra Vab del conduttore a, scarico, per la presenza di una carica elettrica unitaria positiva sul conduttore b dato, con la stessa semplificazione usata nello scrivere la (20), da:

(21)

Secondo le definizioni date, il potenziale Va rappresenta il coefficiente di potenziale, Paa, proprio del conduttore a, mentre Vab rappresenta il coefficiente di potenziale mutuo, Pab , tra il conduttore a ed il conduttore b.

Per conduttori immersi in aria si ha:

Passando ai logaritmi decimali, dalle (20) e (21), si ricavano i coefficienti di potenziale riferiti allunit di lunghezza di conduttore (Km) nella forma:

e

(22)

Se i conduttori sono corde non si commette sensibile errore nellusare le (22) se per r si intende il raggio della circonferenza circoscritta alla sezione della corda.

I conduttori a fascio, presentano coefficienti di potenziali propri, minori di quelli di conduttori cilindrici massicci di uguale sezione, poich per essi il raggio r da introdurre nella Paa maggiore. Conseguentemente i coefficienti di capacit, per la (17) e la (18) sono maggiori.

Ci era prevedibile perch un conduttore a fascio, a parit di sezione con un conduttore cilindrico massiccio, ha una superficie laterale maggiore e quindi presenta una capacit maggiore.

2.5a Linea trifase senza funi di guardia

Per il calcolo della capacit di una linea, si consida un sistema trifase globalmente simmetrico (conduttori trasposti) e senza funi di guardia.

Per esso sono valide le seguenti relazioni:

Caa = Cbb = Ccc

Paa = Pbb = Pcc

Cab = Cbc = Cca

Pab = Pbc = Pca

Can = Cbn = Ccn = Cn

Quindi lo schema equivalente ai fini della capacit della linea quello di figura (2.5a), ricordando le semplificazioni ammesse in precedenza, in particolare trascurando limpedenza longitudinale e la conduttanza di dispersione:

FIGURA 2.5a

Ricordando che:

e quindi Caa data dal parallelo di Cac (= Cab), Cab e Cn, si ricava:

Si vuole determinare la capacit alla sequenza diretta C1 , ovvero la capacit che inserita fra ciascun conduttore e la terra, sottoposta alla tensione di fase, attraversata da una corrente uguale a quella capacitiva drenata da ciascun conduttore, quando alla linea si applica un sistema di tensioni verso terra di sequenza diretta.

Facendo riferimento al conduttore a (lo stesso pu farsi per b e c), la corrente da esso drenata capacitivamente data dalla somma di una corrente capacitiva verso terra , di una corrente capacitiva derivata da a verso b e di una corrente capacitiva derivata da a verso c ; allora si deve scrivere:

(23)

Dal diagramma vettoriale di figura (2.5b), relativo ad una terna simmetrica di tensioni, si pu valutare il valore della tensione :

ed essendoci anche concordanza di fase si ha:

EMBED Equation.3

FIGURA 2.5b

Perci sostituendo nella (23) si ricava:

C1 la capacit alla sequenza diretta, detta anche capacit di servizio della linea.

Evidentemente la capacit alla sequenza inversa uguale alla capacit alla sequenza diretta.

Dalla figura 2.5a, risulta evidente che se applichiamo alla linea un sistema di tensioni verso terra di sequenza omopolare, le uniche capacit che hanno effetto sono le Cn; infatti i conduttori sono allo stesso potenziale, in quanto .

Quindi la capacit alla sequenza omopolare, C0, della linea rappresentata proprio da Cn, cio: C0 = Caa - 2Cab = Cn.

Si possono ricavare i coefficienti di capacit (Caa, Cab) in funzione dei coefficienti di potenziale (Paa, Pab) . Ricordando che [C] = [P]-1 , basta invertire la matrice

per ottenere:

Il determinante della matrice [P] vale:

Pertanto:

Si sono cos ottenuti i due coefficienti di capacit. Andando a sostituire le espressioni cos ottenute, in C1 e C0 si ottiene la capacit alla sequenza diretta e omopolare in funzione dei coefficienti di potenziale:

Si ricava quindi:

(24)

Si calcola ora la capacit alla sequenza omopolare:

Se ora nella (24) si sostituiscono a Paa e Pab i loro valori dati dalle (22), si ottiene la capacit per unit di lunghezza (km) alla sequenza diretta o inversa, C1, della linea:

Poich 2ha dello stesso ordine di grandezza di Dab, non si commette un errore apprezzabile se queste due quantit si considerano uguali.

In base a questa semplificazione si ricava:

E questa la formula usualmente adoperata per il calcolo di C1.

Identico ragionamento si pu fare per la capacit alla sequenza omopolare:

Anche in questo caso si considera 2ha ( Dab, per cui si ricava:

Ovviamente, moltiplicando C1 e C0 per 2(f , si ottengono le suscettanze capacitive della linea per unit di lunghezza in [S/km].

Il calcolo delle capacit di una linea a doppia terna procede come quello esposto per una linea ad una terna; esso non presenta particolari difficolt se, partendo dalle equazioni lineari di Maxwell, si ipotizza sempre la perfetta simmetria della linea.

2.5b Linea trifase con funi di guardia

La presenza della fune di guardia comporta una variazione della capacit alla sequenza omopolare.

Si consideri una linea trifase ad una terna, materialmente simmetrica, con una fune di guardia w. Se si immagina la fune simmetricamente disposta rispetto ai conduttori, cio si considera come distanza della corda di guardia da ciascun conduttore la media geometrica delle tre distanze della fune di guardia dai conduttori, si possono scrivere le equazioni di Maxwell in forma esplicita, facendo riferimento ai valori istantanei:

(25)

La tensione verso terra della fune di guardia nulla, perch la fune atterrata ai due estremi.

Paw il coefficiente di potenziale mutuo tra la fune di guardia e ciascun conduttore di fase; mentre Pww il coefficiente di potenziale proprio della fune di guardia.

Ricavando Qw dalla quarta relazione delle (25), , e sostituendola nelle prime tre, si ottiene il sistema:

E, facendo le seguenti posizioni:

e (26)

il sistema diventa:

Ossia, ai fini del calcolo delle capacit, la linea con funi di guardia equivalente ad una linea senza funi di guardia, ma con coefficienti di potenziali P( dati dalle (26) e diminuiti tutti di un valore costante pari a .

Analogamente a quanto fatto in assenza di funi di guardia, si ricava:

e

Si osserva che la presenza della fune di guardia non ha nessun effetto sul valore della capacit alla sequenza diretta o inversa, mentre fa aumentare la capacit alla sequenza omopolare. Questo risultato poteva intuitivamente essere anticipato se si fosse osservato che linstallazione della fune di guardia equivale elettrostaticamente ad avvicinare la terra alla linea, rendendo, per cos dire, il sistema elettrico meno isolato da terra (diminuisce la distanza fra le armature di questo ipotetico condensatore).

Generalizzando al caso di pi funi di guardia e considerando n corde di guardia, sempre simmetricamente disposte rispetto ai conduttori di fase e tra loro, se si indica con Pwv il coefficiente di potenziale mutuo tra due funi di guardia qualsiasi, si ottiene:

e

Valori medi della capacit di servizio per grandi linee di trasmissione sono:

C1 = (0,008 ( 0,0095) ( 10-6 [F/km]

a cui corrispondono, a 50 Hz, suscettanze pari a:

B1 = (2,5 ( 3) ( 10-6 [S/km]

2.6 Conduttanza di dispersione

La conduttanza di dispersione delle linee molto piccola e quindi molto spesso si trascura. Essa non mai uniformemente distribuita, ma risulta concentrata in corrispondenza degli isolatori, e, anche a frequenza fissa, non costante. E infatti un fattore estremamente variabile con il tempo, perch influenzato dalle condizioni atmosferiche. Si considera, per, uniformemente distribuita e costante essendo le linee molto lunghe, sia per facilitare i calcoli, sia perch, essendo piccola, lerrore che si commette accettabile. A differenza degli altri parametri della linea, la conduttanza di dispersione non facilmente determinabile dalle dimensioni e dalle propriet fisiche del materiale della linea, cio non dipende dalla struttura geometrica della linea; in genere o la si calcola con formule sperimentali, o la si ricava con misure dirette.

Se si indica con P la potenza in kW dispersa per km di conduttore [kW/km] e con E la tensione di fase (cio la tensione stellata) in kV di conduttore, la conduttanza di dispersione g per km data da:

EMBED Equation.3

(27)

Lordine di grandezza 10-7.

A seconda che P ed E si riferiscano ad un regime in sequenza diretta (o inversa), o ad un regime in sequenza omopolare, la (27) fornisce la conduttanza di dispersione in sequenza diretta (o inversa), esistente anche tra conduttore e conduttore, o in sequenza omopolare, esistente solo tra conduttore e terra.

Si gi visto che, a causa dellaccoppiamento capacitivo, si manifesta una corrente di dispersione trasversalmente ai conduttori di linea; tale corrente, essendo in quadratura con la tensione, non d luogo a perdite di potenza attiva. In effetti bisogna tener conto anche di una componente attiva della corrente di dispersione dovuta ai seguenti fattori:

perdite nel dielettrico (nei cavi);

scariche superficiali lungo gli isolatori (nelle linee aeree);

effetto corona (nelle linee aeree).

Le perdite nel dielettrico sono legate alla natura del dielettrico ed in aria possono ritenersi trascurabili.

Le perdite per scariche lungo gli isolatori sono dovute alla non perfetta tenuta superficiale degli stessi, che consente la richiusura a terra, attraverso il sostegno, di una piccola corrente trasversale. La valutazione esatta dellentit di queste perdite piuttosto difficile, se non impossibile, dato che dipendono da diversi fattori, alcuni dei quali piuttosto aleatori. Si pu dire comunque che esse aumentano allaumentare della tensione e al diminuire della distanza del conduttore dal sostegno, dipendono inoltre dallo stato di pulizia dellisolatore (per isolatori sporchi sono maggiori) e dalle condizioni atmosferiche. Infatti gli isolatori sono costruiti con materiali pregiati (pi isolanti dellaria), ma sulla loro superficie pu depositarsi sporcizia, sia conduttrice (come fumi industriali),che non conduttrice (come polvere e sabbia) ma che diventa conduttrice in presenza di elevata umidit; si crea cos una patina che pu drenare corrente. Per isolatori non sporchi, con tempo bello e asciutto, queste perdite sono trascurabili, mentre aumentano con tempo piovoso. Pi precisamente queste perdite possono variare da 13 watt per isolatore, con tempo asciutto, fino a 520 watt per isolatore, con tempo piovoso. Si pu nel complesso arrivare ad un massimo di 1kW, o poco pi, di perdita per km. Molto dipende dalle tecniche di manutenzione delle linee e dalle zone.

Leffetto corona quel fenomeno che si verifica quando la tensione di un conduttore con un diametro piccolo in relazione alla distanza dagli altri conduttori, supera un certo valore chiamato tensione critica. I conduttori sono immersi nel dielettrico aria che si suppone perfetto. Nei loro dintorni si instaura un campo elettrico che ha valore massimo sulla loro superficie. Se tale campo supera la rigidit dielettrica dellaria (circa 21 kV/cm) si produce una scarica con conseguente ionizzazione dellaria. Se altri conduttori o la terra sono vicini al conduttore in esame, essi possono essere investiti da tale effluvio di cariche e si verifica una scarica distruttiva. Mentre, se gli altri conduttori sono abbastanza lontani, pu darsi che tale effluvio di cariche non li raggiunga e si abbia soltanto leffetto corona che si manifesta visivamente come un alone luminoso, la cosiddetta corona, di aria ionizzata che aumenta la sezione del conduttore. Il fenomeno si pu manifestare anche attraverso scintille che si verificano localmente nei punti curvi delle linee (effetto delle punte). Il fenomeno risulta perci evidente, non solo per la presenza dellalone, ma anche per un suono sibilante (hissing), produzione di ozono, perdita di potenza ed interferenza radio. Questultimo aspetto il pi fastidioso perch produce disturbi sulle linee di telecomunicazioni. Infatti il limite di accettabilit non dato tanto dalle perdite di potenza (che sono sempre globalmente piccole), ma dal livello di interferenza radio ammesso.

Quanto pi alta la tensione, tanto pi grande leffetto corona. Con il continuo aumento delle tensioni di esercizio, leffetto corona diventato sempre pi importante, da tener presente nella progettazione e nellesercizio delle linee elettriche. Leffetto corona pu in alcuni casi essere benefico, in quanto riduce le sovratensioni, dovute a fulmini o ad apertura di interruttori, su lunghe linee (si tenga presente che leffetto corona aumenta la capacit apparente della linea).

Gli studi hanno condotto alla conclusione che, ad una data tensione, leffetto corona determinato:

dal diametro del conduttore (aumenta al diminuire del diametro);

dalla configurazione della linea (aumenta in presenza di punte);

dal tipo di conduttore;

dalla condizione della sua superficie;

dalle condizioni atmosferiche.

Tra i fattori atmosferici il pi importante la pioggia (con la pioggia leffetto corona aumenta). Le grandi perdite riscontrate nelle linee sperimentali per la presenza di nebbia o brina, non sono probanti; probabilmente queste sono dovute alle conversioni del vapore acqueo presente, condizione questa probabilmente non verificabile nelle linee reali, dove i conduttori hanno sempre una temperatura superiore a quella ambiente. Le prove sulla influenza della nebbia o della brina dovrebbero essere condotte con i conduttori alla temperatura di esercizio.

Inoltre leffetto corona varia con:

temperatura;

umidit relativa;

pressione atmosferica;

campo elettrico terrestre.

Pressione e temperatura influenzano la densit dellaria data da:

dove:

p la pressione atmosferica in mm di mercurio;

t la temperatura in C.

In particolare, =1 quando p = 760 mm di mercurio e t = 20C.

La densit dellaria influenza il valore di tensione critica.

Leffetto corona con tempo bello trascurabile fino ad una tensione quasi uguale alla tensione critica; al di sopra di questo valore, invece, leffetto corona aumenta rapidamente. Un alto valore della tensione critica non il solo elemento per giudicare un soddisfacente comportamento della linea nei riguardi delleffetto corona. E necessario considerare anche la sensibilit del conduttore al cattivo tempo: alle volte, per esempio, co