Lezione 3

I paradossi del movimento

Zenone (V sec. a. C.)

➲ Allievo di Parmenide, voleva contribuire a dimostrare che solo l'Essere è, e il non Essere non può in alcun modo essere

➲ Quindi il movimento è impossibile, in quanto passaggio dall'essere al non-essere

Percorso di Zenone

➲ Zenone segue il percorso contrario di Parmenide, ovvero una dimostrazione per assurdo che parte dal movimento, e ne dimostra l'impossibilità, la assurdità, la contraddittorietà, per inferire da lì l'immobilità dell'essere

Paradossi del moto

➲ Non si può partire➲ Non si può essere in viaggio➲ Non si può arrivare

Non si può partire

➲ Se parto da A per raggiungere B, devo prima raggiungere la metà del percorso, e prima di raggiungere la metà del percorso dovrò raggiungere la metà della metà, e così via (1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32....etc).

➲ Da notare il presupposto nascosto dietro questo ragionamento: non si può andare all'infinito!

Non si può essere in viaggio (la freccia)

➲ Non si può nemmeno essere in viaggio: Una freccia lanciata è in realtà una successione infinita di istanti in cui essa è immobile. Presi ciascuno per sè, essa è immobile, dunque è impossibile che una serie di immobilità dia luogo al movimento

➲ Come dire: una serie di fotogrammi non può fare un film

Non si può arrivare

➲ Non si può arrivare: Per raggiongere la tartaruga nel punto B, Achille deve impiegare un certo tempo t❶, durante il quale la tartaruga si è spostata in C, e mentre raggiunge C in un tempo t❷ essa si sposta in D, e così via...

➲

Non si può arrivare

➲ Quindi Achille non raggiungerà mai la tartaruga

➲ Anche qui, nascosto, c'è il presupposto dell'impossibilità di procedere all'infinito

Il presupposto nascosto

➲ Il presupposto nascosto a questi ragionamenti è la divisibilità dello spazio all'infinito, che per i greci è impossibile!

➲ Ovvero, posso ridurre lo spazio ad una somma infinita di punti nello spazio?

➲ Oppure questa è una idealizzazione dei matematici, ma per la fisica non si può fare?

Regresso all'infinito

➲ Anche Democrito aveva rifiutato la divisibilità (dei corpi) all'infinito, ed aveva supposto l'esistenza di atomi, mattoni indivisibili della materia.

➲ L'equivalente logico della divisibilità fisica all'infinito è il

➲ Regresso all'infinito

Rifiuto dell'infinito

➲ Per i greci il concetto di infinito è irrazionale, e lo rifiutano

➲ Quindi rifiutano il movimento ed ogni forma di regressione all'infinito da un p.d.v. logico

Chuang-Tsu (IV sec. a. C.)

Se ogni volta che muore il re si taglia lo scettro a metà, non si finirà mai, c'è sempre una metà della metà, ache se le dinastie fossero infinite.

E' una diversa versione, presente anche nella cultura orientale

Scetticismo

Pirrone (IV sec. a.C.), Agrippa (I sec. a.C.) e Sesto Empirico (II sec. a.C.) trasportano il paradosso in ambito gnoseologico:

→ Niente si può dimostrare, perchè gni affermazione si fonda su un'ipotesi, e questa su un'altra ipotesi e così via all'infinito

→ Niente si può definire: ogni definizione si basa su termini, per definire i quali servono altri termini, e così via all'infinito, cosa impossibile etc...

Soluzioni

Una semplice soluzione fu introdotta da Euclide col metodo assiomatico, ovvero col fondare la costruzione teorematica della Matematica di Euclide su

assiomi, postulati e nozioni primitive

Essi non si dimostrano e non si definiscono

Teologia

Aristotele, (III sec. a.C.) San Tommaso d'Aquino (XIV sec.) applicano

la impossibilità della reductio ad infinitumalla teologia, per dimostrare l'esistenza di Dio.

Le cinque vie di Tommaso sintetizzano tutti gli argomenti

Le cinque vie

Dio come: Ente necessario Ente perfetto Primo motore Causa prima Fine ultimo

1. Dio come Ente necessario

Gli enti finiti sono contingenti.Sono, ma possono non essere, hanno in altro

la ragion necessaria del proprio essere.Questo “altro” a sua volta è contingente,

rimanda ulteriormente ad un “altro”, ragion d'essere dell'ente finito/contingente,etc.

→ Il regresso all'infinito è impossibile → ci deve essere un Essere necessario, la cui ragion d'essere è in sé e non in altro

1. Dio Essere necessario

Il fondamento della contingenza del mondo è nella necessità dell'Essere, Dio, che non può non essere, che è necessario che sia.

2. Dio Essere perfetto

Si desume dall'imperfezione degli enti finiti→ impossibilità del regresso all'infinito

→ Essere perfetto, la cui perfezione è implicita nella imperfezione degli enti

3. Dio causa del moto

Omne quod movetur ab alio movetur = Tutto ciò che si muove riceve da altro il suo movimento (Il principio di inerzia verrà intuito da Galileo e definito da Cartesio, XVII sec.)

→ Impossibilità del rimando all'infinito→ Deve Esistere un Primo motore che muove

senza muoversi, causa immota del movimento degli altri esseri che muove ed attrae a sé come l'amato attrae l'amante: Dio

4. Dio causa prima

Analogo ragionamento, dagli enti all'Essere, questa volta applicato alla causalità.

Tutti gli enti hanno una causa del loro esistere (causa efficiente, che li porta all'essere, che

li fa essere)→ Impossibilità del rimando all'infinito→ Deve Esistere una Causa Prima che causa

senza essere causata, Dio

5. Dio causa finale

Simmetricamente alla causa efficiente della 4° prova, c'è la 5° via della causa finale

Ogni ente ha un fine, uno scopo verso cui tende

→ Impossibilità del rimando all'infinito→ Deve Esistere una Causa Ultima, termine

ultimo e fine ultimo di ogni ente, che non tende a null'altro che a sé stessa, che si autorealizza: Dio

Gregorio di S. Vincenzo (XVII sec.)

Soluzione matematica: non c'è paradosso nel concepire una serie infinita di intervalli finiti.

½ + ¼ + 1/8 + 1/16.... = 1

Una somma infinita di intervalli finiti puòTENDERE ad un valore FINITO,a condizione che sia una serie

CONVERGENTE

(v. Teoria delle serie)

Laurence Sterne

Nel romanzo Tristan Shandy (1760):

Rivisitazione del Paradosso – versione “Impossibile arrivare”

→ Qui: impossibile scrivere la propria autobiografia

Lewis Carroll

“Ciò che la tartaruga disse ad Achille” (1895)

→ Non è possibile ragionare, c'è bisogno di regole, ma come applicare queste regole?

Altre regole, e così via...

Joshua Royce (1899)

Joshua Royce utilizza l'intuizione zenoniana per derivarne il "teorema del punto fisso", dividendo (v. figura sotto) una mappa all'infinito si arriva prima o poi ad un punto che rimane fermo (quello piccolo rosso).

Franz Kafka (1917)

Il messaggio dell'imperatore,Il processo, Il castello ed altri romanzi.

→ Tutti i protagonisti di Kafka devono sempre superare una serie di ostacoli infinita, dopo uno ce n'è sempre un altro, poi un altro etc...

→ angoscia

Josè Louis Borges

Metempsicosi della Tartaruga (1941)

Un detective è sulle tracce di un assassino, che dissemina tracce di sè, dandogli

”appuntamento” al prossimo delitto, e così via, fino a che il D raggiunge l'assassino, che lo stava aspettando e lo uccide.

Maurits Escher

Sempre più piccolo (1956)

Soluzione

Quale dunque la vera soluzione?

Soluzione fisica newtoniana

Il moto di Achille è una retta passante per l'origine, quello della Tartaruga è rappresentato da una retta con intercetta diversa da zero (il vantaggio iniziale di T)

La pendenza delle rette è la Velocità

→ il punto di incontro delle due rette rappresenta l'istante in cui A raggiunge T

Soluzione matematica

E' quella di Gregorio di San Vincenzo (XVII sec.) → teoria delle serie

L origine del paradosso nell assumere, ’ è ’implicitamente, che un numero infinito di lassi di tempo implica un tempo infinito. Questo sarebbe vero se tutti i lassi di tempo avessero la stessa durata.

Invece i lassi di tempo sono sempre pi ùpiccoli ed `e quindi possibile sommarne un numero infinito.