2. Il paradosso del mentitore

Epimenide (VI sec. a.C.) era cretese Affermava:

“Tutti i cretesi sono bugiardi”

E' una frase paradossale? Cioè autocontraddittoria? → NO

Il paradosso

Chiariamo cosa si intende per paradosso, almeno in logica.

Il paradosso è una situazione autocontraddittoria, o che porta a conseguenze tali

Diciamo paradossale una frase che mi porta ad una contraddizione, ovvero a non poter decidere se questa frase è vera o falsa.

Il paradosso

Si presuppone infatti che la frase p o è vera (V) o è falsa (F) Se è V, il suo contrario è F

ovvero

se p è V, non p è F

Epimenide

La frase di Epimenide (chiamiamola p) non è un paradosso, non è auto-contraddittoria, è solo falsa.

Infatti: se p fosse vera sarebbe falsa (Epimenide sarebbe un bugiardo, in quanto cretese, dunque direbbe in questo caso il falso)

Se p fosse falsa, il suo contrario sarebbe vero, cioè sarebbe vero che “Non tutti i cretesi dicono sempre il falso” → E quindi p sarebbe davvero falsa, in quanto esisterebbe almeno 1 cretese (Epimenide) che dice (talvolta?) la verità

Epimenide

La frase è stata creduta un paradosso semplicemente perchè nella logica antica i quantificatori logici (tutti, nessuno) non erano ancora stati ben definiti

In particolare, il contrario della ns. frase

“Tutti i cretesi sono bugiardi”

non è “Nessun cretese è bugiardo”, ma

“Non tutti i cretesi sono bugiardi”

Epimenide

In particolare , se il contrario di p

(“Tutti i cretesi sono sempre bugiardi”)

fosse

“Nessun cretese è mai bugiardo”

→ La frase sarebbe paradossale

Eubulide

Eubulide (V. sec. a.C) disse:

Io sto mentendo Effettivamente qui c'è il paradosso, ovvero non

posso dire se è vera o falsa Infatti, se è falsa è vera, se è vera è falsa

Diogene Laerzio (II sec. d.C.)

Il coccodrillo, la mamma e il bambino Il coccodrillo dice alla mamma: tuo figlio si

salverà soltanto se tu indovini quello che gli farò. Se la mamma dice che lo mangerà, dice il vero,

così lo salva (ma non era vero che lo mangiava???)

Se la mamma dice un'altra cosa, se lo mangia Quindi in ogni caso se lo mangia...o no? →

paradosso

Diogene Laerzio

Anche qui il paradosso: per salvare il bambino bisogna dire la verità, cioè far sì che la verità non si realizzi, ma se menti in realtà dici il vero, e dunque?

Non c'è modo di stabilire una soluzione alla situazione che non sia autocontraddittoria

Autoreferenzialità

Allora:

“Io sto mentendo”,

“Tu mangerai il mio bambino” et similia →

Sono paradossali perchè autoreferenziali, ovvero sono frasi che parlano di se stesse.

Questo almeno si credette per buona parte del Medioevo

Buridano (XIV sec)

Per Buridano il problema non è l'autoreferenzialità:

Se Socrate dice : Platone mente (p)

E Platone dice: Socrate mente, (q)

In nessun caso io posso dire se p è vera o falsa, né q.

Infatti, se è vera, → è falsa

Se è falsa, → è vera

Autoreferenzialità

Allo stesso modo: (Philip Jourdain, matematico, 1913)

”La frase successiva è falsa”

“La frase precedente è vera”

è indecidibile, → paradossale

Come si vede, non è l'auto-referenzialità il problema,

Qui le frasi sono 2, l'autoreferenzialità l'abbiamo spaccata in due frasi diverse

Incompossibilità

Le frasi sono incompossibili, cioè prese una per conto proprio, od all'interno di un discorso che parla d'altro, sono logiche, sensate, ma se le metti insieme ti danno dei problemi.

Esattamente come un uomo e una donna che, presi singolarmente, sono equilibrati e gentili, ma se poi si mettono insieme, danno prova del peggio di sè.

Esempio

Ad es. se dico:

La frase successiva è falsa, e

Il prof. è un ombrello,

Non c'è paradosso, ovvero c'è decidibilità

Soluzioni del paradosso

Quali sono le soluzioni alle frasi paradossali secondo la logica antica? Sono sostanzialmente 2, alle quali aggiungiamo le 2 raggiunte dalla logica moderna.

Una delle quali è stata anticipata da un medievale, Guglielmo d'Ockam 1290-1347) nella Summa Logicae

Soluzioni del paradosso – 1 Non senso

Ci sono delle frasi che non possono essere nè vere nè false, per l'unico motivo che non hanno nessun senso. Sono frasi che sembrano grammaticalmente corrette, sembrano fatte come le altre frasi e quindi dovrebbero a prima vista essere o vere o false, poi però c'è qualche cosa di nascosto, qualche germe che inficia la loro correttezza sintattica

(Crisippo)

Soluzioni del paradosso – 2Uso e menzione

Aristotele distingue tra uso e menzione: un conto se io uso la frase, “dall'esterno”, cioè dico della stessa che è V o F, (USO),

Un conto invece se io menziono la frase con la stessa frase, cioè cado nella auto-referenzialità (MENZIONE)

Il paradosso nasce dalla confusione tra i due livelli, uso e menzione.

Soluzioni del paradosso – 3Il metalinguaggio

La terza via fu proposta da Guglielmo di Ockham (1290-1347) nella Summa Logicae: essa anticipa la soluzione della logica moderna:

quando si parla di verità o falsità ci si riferisce ad altre frasi, ed una frase non può quindi dire di se stessa che è vera o falsa.

C'è bisogno di un metalinguaggio (di un linguaggio che parla di un altro linguaggio) per decidere il valore di verità di una frase.

All'interno di un linguaggio, non v'è una decidibilità completa.

Soluzioni del paradosso - 3Il metalinguaggio: Tarski e Goedel

Tarski e Goedel diedero la soluzione oggi comunemente accettata al paradosso del mentitore.

La verità non è definibile nel linguaggio, solo nel metalinguaggio .

Ovvero, per dare una definizione di verità all'interno di un certo linguaggio, dobbiamo necessariamente uscirne, e farlo dal di fuori, trattando il linguaggio come “oggetto”,

→ con un metalinguaggio

Soluzioni del paradosso - 4

L'ultima soluzione: la fuzzy logic, o logica “sfumata”

→ è una logica in cui si può attribuire a ciascuna proposizione un grado di verità compreso tra 0 e 1.

un neonato è "giovane" ha valore 1

un diciottenne è "giovane" ha valore 0,8

un sessantacinquenne è "giovane" ha valore 0,15

Altre forme del paradosso del mentitore

Successivamente si presenteranno altre forme di paradosso del mentitore:

Il ponte di don Quijote

Il barbiere di Russell (e Reichenbach)

La concezione dell'arte di O. Wilde

Le provocazioni di John Cage

Il ponte di don Quijote

C'è un ponte, dal quale possono passare i veritieri, i bugiardi verranno impiccati.

Siamo alle solite, se mento dico la verità, ma mi impiccano; se dico la verità mento (ma mi salvo)

Ironia di Don Quijote: impicchiamo la metà che mente...ma il paradosso resta.

Il barbiere di Russell

Chi rade l'unico barbiere del villaggio che rade solo gli uomini che non si radono da soli? Non certo lui stesso, altrimenti farebbe come i suoi concittadini, non dovrebbe radersi da solo ma andare dal barbiere (lui stesso, dato che è l'unico) e quindi radersi da sé etc....

Stesso problema del paradosso di Eubulide: impossibile rispondere con V/F

Il barbiere di Reichenbach

Un ufficiale ordina : “Soldato, radi tutti e soli i militari della caserma che non si radono da soli!”

c'è il solito circolo vizioso:

se lui non si rade, allora dovrebbe radersi e

se invece si rade, allora non dovrebbe radersi.

Gregory Bateson

Ebefrenici e paranoici.

L'ebefrenico è fissato sul linguaggio: io gli dico “va' a dormire”, quello non capisce che gli sto dicendo di togliersi dai piedi, non capisce il valore metaforico del linguaggio. É una patologia.

Il paranoico è l'esatto contrario : chi vede dietro ogni frase un secondo significato, anche dove non c'è

→ ossessione, mania di persecuzione, paranoia

Ebefrenici e paranoici

Il paranoico è fissato sul metalinguaggio, l'ebefrenico sul linguaggio.

O si è logici o si è patologici, o si distinguono i due livelli o si è malati.

Terapia

E' curioso che come terapia per gli ebefrenici si usi il paradosso, ovvero una situazione contraddittoria che serve a... squilibrare lo squilibrato, a creargli un corto circuito nel cervello, creando un contatto tra linguaggio e metalinguaggio.

Ad esempio con un ordine del tipo:

“Disobbediscimi!!!!!”

Paradossale, no?

Oscar Wilde : l'arte è menzogna

Per O. Wilde tutta l'arte è menzogna, ovvero è un linguaggio che distorce la realtà per parlare meglio della realtà stessa, o meglio del significato che l'artista le attribuisce.

Ad esempio la prospettiva: linee distorte appositamente per dare la sensazione dello spazio, della profondità.

Si mente per dire la verità

Ad es. la anamorfosi della Cappella sistina : le figure sono state distorte da Michelangelo per darci una percezione vera, reale, da terra, dal punto di osservazione di chi le guarda.

Il linguaggio è l'immagine, la fotografia, il meta linguaggio è il significato,

Cappella Sistina

Durante il restauro della basilica, si vedevano questi dipinti tutti distorti. Perché? Ma perché sono stati disegnati da Michelangelo per l’appunto in modo distorto, così che, coloro che li guardano dal di sotto, possano vederli come se fossero invece nelle proporzioni giuste.

Anche qui, il paradosso del mentitore.

Si mente per dire la verità, ma si dice la verità solo se si usa un po' di menzogna. Almeno con l'arte.

John Cage

Famoso musicista, aveva il gusto del paradosso.

“Non ho niente da dire, e lo sto dicendo”

Oppure è famoso il suo pezzo per pianoforte dal titolo: ”4 minuti e 33 secondi”

In realtà si sedeva di fronte al pianoforte e non faceva nulla.

I significati erano molti, tra cui che l'arte, a suo dire, era morta, non aveva più niente da dare.

ConclusioneChe conclusione si può trarre?

1) I paradossi esistono, ma si possono risolvere.

Alcuni sono solo apparenti, altri derivano da una mancanza di distinzione tra linguaggio e metalinguaggio.

Per capire bene questa soluzione, dobbiamo aspettare di conoscere la dimostrazione di Tarski e di Goedel

Conclusione

2) Tuttavia, abbiamo scampato un pericolo: quello di cadere in uno scetticismo nihilista e distruttivo, per cui con tutti questi paradossi, la verità non esiste, è solo un gioco di parole...

se noi prendiamo la frase “la verità non esiste” (scetticismo), capiamo che essa non è un paradosso (per il fatto che, almeno lei, deve essere vera). E' solo F, e ciò per i logici è già una bella conquista: (Almeno) una verità esiste!